F2182 Lineární a multilineární algebra

Přírodovědecká fakulta
jaro 2023
Rozsah
3/1/0. 3 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Pavla Musilová, Ph.D. (cvičící)
Mgr. Martina Havlíčková (pomocník)
Garance
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: Mgr. Pavla Musilová, Ph.D.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
St 8:00–10:50 F1 6/1014
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
F2182/01: Po 14:00–14:50 F3,03015, P. Musilová
F2182/02: Po 11:00–11:50 F3,03015, P. Musilová
Předpoklady
Základní znalosti o algebraických strukturách, základy teorie matic jejich užití při řešení soustav lineárních rovnic.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Předmět je součástí základního kursu lineární a multilineární algebry pro fyziky. Vzhledem k tomu, že lineární a multilineární algebra patří ke klíčovým disciplinám tvořícím matematický aparát většiny fyzikálních teorií, je cílem předmětu poskytnout studentům možnost dostatečně hlubokého pochopení pojmu lineárního zobrazení a jeho základních vlastností. Jen tak lze docílit toho, aby se studenti dobře zorientovali ve vektorové a tenzorové algebře, matematicky korektně používali tenzorového počtu a pochopili podstatné rysy chování vektorových a tenzorových fyzikálních veličin. Předmět rovněž poskytuje důkladnou algebraickou průpravu pro integrální počet forem na euklidovských prostorech a diferencovatelných varietách.
Výstupy z učení
Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Hluboké pochopení pojmu linearity a lineárního zobrazení vektorových prostorů obecné dimenze.
* Porozumění algebraické formulaci geometrických problémů (např. obecná projekce).
* Praktická manipulace s lineárními zobrazeními pomocí maticového počtu.
* Praktické řešení problému vlastních hodnot lineárního operátoru, diagonalizace.
* Zvládnutí pojmu multilineálního zobrazení a jeho aplikace na tenzorové fyzikální veličiny.
* Praktické počítání s tenzory a tenzorovými operacemi.
Osnova
  • 1. Lineární zobrazení vektorových prostorů konečné dimenze: reprezentace vektorů v bázích, podprostory.
  • 2. Skalární součin, ortogonalizace, ortogonální projekce.
  • 3. Lineární operátory ve vektorových prostorech a jejich reprezentace v bázích.
  • 4. Vlastní hodnoty a vlastní vektory, diagonální reprezentace.
  • 5. Unitární lineární operátory, samoadjungované lineární operátory.
  • 6. Spektrální reprezentace.
  • 7. Jordanův normální tvar: Polynomické matice a JNT.
  • 8. Jordanův normální tvar: JNT a invariantní podprostory.
  • 9. Tenzorová algebra: duální prostor a duální báze, tenzorový součin vektorových prostorů.
  • 10.Tenzory jako multilineární operátory, reprezentace v bázích, operace.
  • 11. Algebraická struktura tenzorových prostorů.
  • 12. Vnější algebra.
  • 13. Indukovaná zobrazení tenzorových prostorů.
  • 14. Fyzikální aplikace-kartézské tenzory.
Literatura
    povinná literatura
  • MUSILOVÁ, Jana a Pavla MUSILOVÁ. Matematika II pro porozumění i praxi. první. Brno: VUTIUM (Vysoké učení technické v Brně), 2012, 697 s. ISBN 978-80-214-4071-5. info
    doporučená literatura
  • MUSILOVÁ, Jana a Demeter KRUPKA. Lineární a multilineární algebra. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 281 s. info
  • SLOVÁK, Jan. Lineární algebra. Učební texty. Brno: Masarykova univerzita, 1998, 138 s. elektronicky dostupné na www.math.muni.cz/~slovak. ISBN nemá. info
Výukové metody
Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady
Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru, domácí úlohy, testy
Metody hodnocení
Výuka: klasická prednáska, klasické cvičení.
Zkouška: písemná (dvě části-(a) příklady, (b) test) a ústní.
Navazující předměty
Informace učitele
Podmínky přístupu ke zkoušce: účast ve cvičeních nejméně 75 procent, získání alespoň 50 procent možných bodů z písemných testů ve cvičení. Požadavky ke zkoušce: 1. Porozumět podstatným vlastnostem lineárních a multilineárních zobrazení a umět využívat vlastností linearity při důkazech a výpočtech. 2. Pochopit podstatu problému vlastních hodnot a vektorů lineárního zobrazení vektorového prostoru do sebe, charakterizovat a dokázat speciální vlastnosti řešení tohoto problému pro případ samoadjungovaných zobrazení včetně spektrální reprezentace. 3. Pochopit souvislost reprezentace lineárního zobrazení vektorového prostoru do sebe v Jordanově normálním tvaru s problémem vlastních hodnot a vektorů. 4. Dokázat charakterizovat tenzorové veličiny jako multilineární zobrazení, zvládnout důkazy vlastností operací s tenzory a především praktické výpočty v indukovaných bázích v tenzorových prostorech. Písemná část zkoušky obsahuje (a) příklady (90 min.), jejichž řešením má student dokumentovat schopnost praktických a zčásti i rutinních výpočtů týkajících se lineárních zobrazení vektorových prostorů: nalezení vlastních hodnot a vektorů lineárního zobrazení, redukce matice na Jordanův normální tvar, nalezení spektrální reprezentace samoadjngovaného lineárního zobrazení. (b) test (60 min.), jehož cílem je zjistit prostřednictvím jednoduchých testových úloh, vyžadujících spíše jistý vtip a pohotovost, než početní rutinu, na jaké úrovni porozumění zvládl student potřebné pojmy a jk umí využívat jejich vlastností. Další informace na http://www.physics.muni.cz/~pavla/teaching.php
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, jaro 2000, jaro 2001, jaro 2002, jaro 2003, jaro 2004, jaro 2005, jaro 2006, jaro 2007, jaro 2008, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020, jaro 2021, jaro 2022, jaro 2024, jaro 2025.