Analytické myšlení a úsudky - Diskusní fórum k přijímacímu řízení 2009 - Diskuse
TSP 2007/05, interakt. verze, ot. 34
Jde o tuto úlohu:
Ve třídě je 20 žáků. Každý má rád alespoň jeden z těchto předmětů: tělocvik,
dějepis, kreslení. Dále víme:
- Všechny tři předměty současně má rádo právě pět žáků.
- Každý z předmětů má rádo právě deset žáků.
Vyberte tvrzení, jehož pravdivost vyplývá z uvedených informací:
a) Uvedená situace nemůže nastat.
b) Tělocvik a kreslení současně má rádo více než pět žáků.
c) Každý z žáků má rád alespoň dva z předmětů.
d) Některý z žáků má rád právě dva z předmětů.
e) Každý z žáků má rád buď pouze jeden z předmětů, nebo všechny tři.
To je příklad na Vennovy diagramy, ne?
Jestliže mám tři předměty, které má dohromady rádo 5 žáků, zbývá mi jich 15.
Každý z předmětů má rádo 10 lidí. Takže z těch 15 přiřadím ke každému předmětu
po 5 lidech.
Takže teď mám lidi, co mají rádi buď jen jeden předmět, nebo všechny tři.
Nevím, co si představuješ pod důkazem tohoto tvrzení :) Vylučovací metoda mi
přijde jako nejrychlejší.
a) Situace může nastat, jak jsem napsal výše.
b) Nevíme, kdo má jaký předmět, takže toto je bezpředmětné.
c) Kdyby měl každý rád dva předměty, nevycházely by nám počty.
d) Totéž.
e) Správná odpověď.
Honzo, díky za odpověď, avšak postupy, které v ní uvádíš, jsou pro mně bohužel
neprůkazné. Důkazem tvrzení, že odpověď e) je správná, rozumím myšlenkový
postup, který ukazuje, že tato odpověď správná je. Je snad jasné, že přitom
nelze užít neověřený předpoklad, že právě jedna z nabízených odpovědí je
správná, a tvrzení "dokazovat" vyloučením možností a) - d). Avšak co chci
vlastně dokázat? Chci dokázat, že z konjunkce výroků
Třída má právě 20 žáků. (a)
Každý z nich má rád aspoň jeden z předmětů tělocvik, dějepis, kreslení. (b)
Právě 5 žáků má rádo každý z těchto předmětů. (c)
Pro každý z předmětů je počet žáků, kteří ho mají rádi, roven deseti. (d)
logicky vyplývá závěr e). Ke splnění tohoto úkolu uvedeným způsobem jsem se však
zatím pouze přiblížil. Jsem schopen dokázat, že konjunkce výroků (a) - (d)
implikuje výrok e), ne však už to, že výrok e) z této konjunkce logicky vyplývá
(viz popř. vlákno s názvem "TSP 2008, varianta 02, př. 47 - papírové zadání",
kde logické vyplývání rámcově definuji). Můj důkaz implikace (a) & (b) & (c) &
& (d) -> e) vypadá takto:
Označme symboly "T", "D", "K" po řadě množinu všech žáků, kteří mají rádi
tělocvik, množinu všech žáků, kteří mají rádi dějepis a množinu všech žáků,
kteří mají rádi kreslení a předpokládejme, že (a) & (b) & (c) & (d) & -e). Pak
existuje dvojice různých množin z množiny {T, D, K} takových, že rozdíl jejich
průniku a průniku množin T, D, K je neprázdná množina (viz
http://y.l.a.m.sweb.cz//class.jpg). Označme symbolem "{X, Y}" libovolnou
takovou dvojici a symbolem "Z" množinu z trojice {T, D, K}, která není prvkem
dvojice {X, Y}. Pak počet prvků rozdílu průniku množin X, Y a průniku množin T,
D, K je menší nebo roven pěti, počet prvků množiny X - Y je menší než 5, stejně
tak množiny Y – X, a počet prvků rozdílu množiny Z a sjednocení množin X, Y je
menší nebo roven pěti, takže počet prvků sjednocení těchto množin (tj. množin, o
jejichž počtech jsme se právě vyjádřili) je menší než 20. Sjednocení těchto
množin je přitom danou třídou žáků, takže tato třída má méně než 20 žáků, což
znamená, že (a) neplatí, a tedy neplatí celý předpoklad, ze kterého jsme vyšli.
Daný předpoklad tedy implikuje svoji negaci, takže platí tato negace (podle
Claviova zákona), což znamená, že je-li (a) & (b) & (c) & (d), pak e).
vlastně nejen na něm.