Analytické myšlení a úsudky - Diskusní fórum k přijímacímu řízení 2012 - Diskuse
výroková logika
Byl by někdo, prosím, schopný mně vysvětlit tyto dva příklady? Díkec :)
Které z následujících vět jsou logicky ekvivalentní větě: „Nemám-li bratra, pak
nemám ani sestru.“
1. Mám-li bratra, pak mám i sestru.
2. Mám-li sestru, pak mám i bratra.
3. Nemám bratra ani sestru.
a) pouze 1 a 2
b) pouze 2
c) žádné
d) pouze 3
nejvýše však ke dvěma druhům (mají alespoň jednu z níže zmíněných vlastností),
přičememž platí, že:
všechny věci jsou bachraté nebo slizké.
Z níže uvedených možností určete právě tu jednu, kterou lze z daných informací
logicky korektně odvodit.
a) Některé věci jsou bachraté nebo slizké.
b) Některé věci jsou bachraté a některé věci jsou slizké.
c) Některé věci jsou bachraté a slizké.
d) Všechny věci jsou bachraté a slizké.
e) Všechny věci jsou bachraté a všechny věci jsou slizké.
Které z následujících vět jsou logicky ekvivalentní větě: „Nemám-li bratra, pak
nemám ani sestru.“ B' => S'
1. Mám-li bratra, pak mám i sestru. B => S
2. Mám-li sestru, pak mám i bratra. S => B
3. Nemám bratra ani sestru. B' & S'
Vytvořím si tabulku (negace značím ' )
B | S | B' => S' | B => S | S => B | B' & S'
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1
Pouze sloupec výroku 2 (S => B) obsahuje 0 a 1 ve stejném pořadí jako zadání.
Správná odpověď je tedy b).
mu logicky ekvivalentní a stačilo by pouze ověřit, jestli i výrok 1 je také
logicky ekvivalentní se zadáním (pak by byla správně možnost a)) nebo s ním
ekvivalentní není (pak by byla správně odpověď b))
to prostě nechápu jak na to dojdete, na ty jedničky a nule, prostě tam nic
nevidím :(
Existují 4 základní operace výrokové logiky -
disjunkce - spojka "nebo". Pokud mám napsáno, že Petr je malý nebo hubený, kdy
disjunkce platí? Pokud je Petr hubený, tak je pravda, že je malý nebo hubený,
takže výrok platí. Totéž v případě, kdy je malý. A pozor - výrok platí i tehdy,
pokud je malý i hubený, prostě stačí, když platí aspoň jedna část výroku.
Tabulkou to znázorníme takto: M je malý, tedy první výrok; H je druhý výrok. 1
znamená platnost, 0 neplatnost. Každý z těch výroků může buď platit, nebo
neplatit, nás zajímají všechny možné společné situace - platí jen jeden, žádný,
nebo oba. Znázorníme je na jednotlivých řádcích.
M H
1 1
1 0
0 1
0 0
A teď přidáme další sloupec s údajem o pravdivosti výroku jako celku, to už jsem
rozebrala nahoře. K tomu, aby mi disjunkce jako celek platila, potřebuju aspoň
jednu jedničku.
M H M v H
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
konjunkce - spojka "a". Platí jen tehdy, pokud platí obě části výroku. Takže
pokud máme základní výrok Petr je malý a hubený, nebude platit, pokud je Petr
jen malý nebo jen hubený (nebo nedejbože ani jedno). Tady potřebuju samé
jedničky, aby výrok platil.
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
A pokračování, nesnáším dlouhé příspěvky, co se neukládají, takže radši takhle.
ekvivalence - "právě když". Tady nám je vcelku jedno, jestli jsou ty dílčí části
výroku platí, nebo ne. Důležité totiž je, aby měly obě stejnou pravdivostní
hodnotu - obě zaráz buď platily, nebo neplatily. Petr je malý, právě tehdy,
je-li hubený. Petr je malý jenom tehdy, pokud je hubený (a hubený jenom tehdy,
pokud je i malý), takže pokud mi někdo tvrdí, že je malý a současně není hubený,
je tento výrok nepravdivý. U ekvivalence potřebuju dvě stejná čísla na řádku.
Ten znak je oboustranná šipka.
M H M ↔ H
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
implikace - "jestliže, pak". Jestliže je Petr malý, pak je hubený. Nebo jiná
varianta, která je taky implikace: Jestliže je Petr malý, je i hubený.
U implikace na rozdíl od ostatních operací záleží na pořadí dílčích výroků.
Implikaci můžeme laicky rozdělit na jakýsi předpoklad a důsledek, přičemž
důsledek plyne z předpokladu, nebo lépe předpoklad implikuje důsledek.
Představme si větu, že jestliže dodržím slovo, pak dostaneš zmrzlinu. Dodržení
slova je předpoklad, důsledek je ta sladká odměna. Pokud slovo dodržím a ty
dostaneš zmrzlinu, výrok samozřejmě platí. Pokud slovo nedodržím a ty zmrzlinu
nedostaneš, taky je to v pořádku. Ovšem OK je i případ, kdy slovo nedodržím a ty
zmrzlinu přesto dostaneš (třeba ti ji koupí babička). Naopak případ, kdy slovo
držím a zmrzlina nebude, je logický rozpor. Když řeknu, že slovo držím, tak ho
prostě držím včetně následků. Když ho nedržím, tak následek buď nebude, nebo
bude i tak. Znak je jednosměrná šipka.
M H M → H
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
výrok jako celek platí. Pokud první část platí, tak musí platit i druhá část,
pokud ne, výrok jako celek neplatí.
Tak a po obecném výkladu to zkusím konkrétně. První dva sloupce jsou zase
všechny možné kombinace bratra a sestry, které mohou nastat (mám bratra, ale ne
sestru; mám sestru a už ne bratra...).
Menší poznámka - pokud si nezvládáš negace (obrácení pravdivostní hodnoty - co
platilo, neplatí, a opačně) představit z hlavy a tabulku ti to neznepřehlední,
udělej si další dva sloupce B´ a S´ . Jinak je potřeba si představit, že pokud
mám v daném řádku u B 1, je hodnota B´ 0, takže pokud mám B jako první část
výroku a jedná se o implikaci, můžu rovnou psát 1 - implikace platí.
Fajn, třetí sloupec je zadaný výrok. Je to implikace, ovšem se dvěma negacemi.
Teď jedu po řádcích a píšu pravdivostní hodnotu výroku. V prvním řádku mám po
znegování 0 a 0, taková implikace platí vždycky. V druhém řádku je 0 a 1, první
část je 0, takže implikace zrovna platí. Ovšem ve třetím řádku je 1 a 0, což je
právě jediný případ, kdy implikace neplatí. Čtvrtý řádek 1 a 1 zase platí.
možnosti, tak ve sloupci budou tři 1 a jedna 0 (protože ve 4 základních
možnostech je i ta 1 a 0). Pak už se jen podívám, který sloupec je totožný s
tím, ve kterém mám zadaný výrok.