Masarykova univerzita
Fakulta sportovních studií
SPORT, MATEMATIKA, POČÍTAČ
Josef Kopřiva
Brno 2011
© 2011, Josef Kopřiva, dědicové
ISBN 978-80-210-4591-0
Recenzenti: RNDr. Pavel Popela Ph.D., Mgr. Martin Sebera, Ph.D.
Editor: Mgr. Martin Sebera, Ph.D.
Vydala Masarykova univerzita Brno v roce 2011
První vydání
Náklad 100 výtisků
Tisk Knihovnicka.cz, Cejl 32, 602 00 Brno
OBSAH
A. Úvod
A00 Obsah
A01 Předmluva
A02 Význam matematiky v tělesné výchově a sportu
B. Statistika
B01 Aritmetický průměr a směrodatná odchylka
B02 Statistika párovaných dat
B03 Průměry, směrodatné odchylky, součinitel korelace, regresní přímka pro párovaná data
B04 Průměry, směrodatné odchylky, matice korelačních součinitelů
B05 Klouzavý průměr
B06 F-test a t-test nepárovaných dat
B07 t-test párovaných dat
B08 Analýza variance ANOVA
B09 Parciální korelace dvou činitelů ze tří
B10 Parciální korelace dvou činitelů ze čtyř
B11 Kontingenční tabulka 2 × 2
B12 Kontingenční tabulka 2 × 2 pro malé četnosti (Fischer)
B13 Kontingenční tabulka m × n
B14 Korelační součinitel pro kontingenční tabulku
B15 2
-test jednoduchého výběru
B16 Kvantily
B17 Kvantily z průměru a směrodatné odchylky
B18 Kvantily a směrodatná odchylka
B19 Vyhodnocení testové baterie procentily a grafem
B20 Graf procentního rozdělení
B21 Pravděpodobnostní papír
C. Matematika
C01 Aproximace empirické funkce
C02 Lineární regrese funkcí y = a + b · x
C03 Korelační pole, regresní přímka
C04 Aproximace polynomem 2.stupně y = a + b · x + c · x2
C05 Aproximace polynomem zvoleného stupně
C06 Aproximace 16 funkcemi se dvěma parametry y = f(x,a,b)
C07 Aproximace lineární funkcí dvou proměnných y = f(x,y)
C08 Aproximace vývojové křivky sportovní výkonnosti
C09 Graf funkce
C10 Graf funkce a její derivace
C11 Funkce hustoty a Abbottova křivka
C12 Harmonická analýza empirické křivky
C13 Rychlá Fourierova transformace (FFT)
C14 Matice ve sportu
C15 Numerické řešení diferenciální rovnice II. řádu
C16 Diferenční rovnice v mechanice
D. Antropometrie, somatometrie
D01 Relativní hmotnost částí lidského těla
D02 Těžiště lidského těla, momenty a poloměr setrvačnosti
D03 Staré antropometrické indexy
D04 Součinitel tělesného typu (Šolc-Hochman)
D05 Somatotyp Heathové a Cartera
D06 Graf somatotypu HC
D07 Index rozptylu somatotypu SDI
D08 Procento tuku z kožních řas
E. Fyziologie práce
E01 Změny srdeční frekvence při změně zatížení
E02 Laktátový práh
E03 Síla svalových skupin
E04 Opakovací maximum
E05 Výkon člověka a jeho trvání
F. Psychologie, nervová činnost
F01 Měření reakční doby
F02 Zkrácení reakční doby
F03 Měření frekvence ťukání
G. Mechanika
G01 Parabolická dráha
G02 Optimální počáteční úhel parabolické dráhy
G03 Parabolická dráha a měření času
G04 Dostředivá a odstředivá síla
G05 Účinek síly při různém časovém průběhu
G06 Moment setrvačnosti
G07 Analogie mezi translačním a rotačním pohybem
G08 Vztah mezi hmotností těla a svalovou silou
G09 Výdej energie při kolísavé rychlosti
H. Sporty obecně
H01 Kvalita a četnost sportovního výkonu
H02 Křivka světových rekordů
H03 Relativní výkony žen při srovnání s muži
H04 Charakteristické rovnice vybraných sportovních disciplin
H05 Ztráta a zisk startem
H06 Maximální rychlosti v lokomočních sportech
H07 Zpracování mezičasů
H08 Kvantitativní kriterium vytrvalosti
H09 Zlepšování sportovních výsledků
H10 Dlouhodobé tabulky
H11 Zdánlivá velikost branek a terčů
H12 Vyhodnocení intervalového tréninku lokomočních sportech
I. Hry, míče
I01 Maximální rychlost pádu ve vzduchu
I02 Pružnost tenisových míčů
I03 Úspěšnost střelby na koš
I04 Volný hod v košíkové
I05 Půdorys hřiště kopané
K. Gymnastika
K01 Výdej energie, výkon a účinnost při některých cvicích
K02 Maximální odrazová síla na pružném odrazovém můstku
K03 Kývání a otáčení tělesa
K04 Rychlost gymnasty při veletoči na hrazdě
K05 Síly při veletoči na hrazdě
K06 Svislé síly při veletoči na hrazdě
K07 Trvání veletoče na hrazdě
L. Atletika
L01 Dynamika sprinterského startu
L02 Vytrvalost sprintera
L03 Zvedání těžiště při běhu
L04 Běh v zatáčce
L05 Výdej energie při běhu
L06 Fyziologický výkon při běhu různou rychlostí
L07 Práce a účinnost při běhu
L08 Skok vysoký a měření času
L09 Skok o tyči
L10 Vliv sklonu dopadové plochy při vrzích a hodech
M. Plavání
M01 Odpor vody a jeho měření vlekem
M02 Odpor vody a hnací síla
M03 Výdej energie a výkon při plavání
M04 Účinnost plavání kolísavou rychlostí
M05 Startovní skok
M06 Diferenciální rovnice splývání po startu a obrátce
M07 Závislost výkonu plavců seniorů na věku
M08 Hodnocení výkonu plavců seniorů
M09 Grafy souhry
M10 Graf vyváženosti disciplin plavce polohového závodu
N. Skoky do vody
N01 Trvání skoku do vody
N02 Rychlosti při skocích do vody
O. Cyklistika
O01 Frekvence šlapání při světových rekordech
P. Lukostřelba
P01 Elementární teorie luku
R. Rychlobruslení
S01 Bodování rychlobruslařských čtyřbojů
Z. Seznam literatury
7 / 180
A. ÚVOD
A01 Předmluva
Většina sportovců patří k typům s dominujícími tělesnými vlastnostmi. Naproti tomu
matematika bývá zajímavá jen pro malý počet lidí převážně duševního typu. Averse sportovců
vůči matematice je dobře známá. Proto je téma i název knihy určitým způsobem rozpor. Protože
však sporty a zejména světové rekordy dosáhly velmi vysoké úrovně, není další zlepšování
možné jen praktickými metodami, a ve všech sportech je nezbytný teoretický přístup
k problémům sportovní techniky, tréninku i závodů. Roste podíl měření a zpracování údajů,
naštěstí jsme v době, kdy vývoj počítačů a jejich dostupnost dovolují a usnadňují použití
matematických metod, zejména statistiky.
Starší knihy o matematice ve sportu byly pro tehdejší nedostatek informací z měření,
filmování a snímání televizním záznamem věnovány pouze teoretickým úvahám a výpočtům,
vzdáleným praxi a skutečnosti. Dnes velké množství informací nejen můžeme, ale i musíme
zpracovávat matematickými metodami, které převádí data na ukazatele, umožňující nalézt
souvislosti a vztahy, z původních dat nevyplývající.
Tato kniha se snaží ukázat použití matematických metod ve sportu, spojit praxi sportu
s matematikou v poměrně větším rozsahu od elementární statistiky až po diferenciální rovnice
druhého řádu. Právě ty jsou jedním z nejabstraktnějších nástrojů k popisu sportovní techniky.
Značná část knihy byla iniciována problémy studentů a učitelů tělesné výchovy a proto
doufáme, že kniha bude praktičtější a méně akademická, nežli podobné starší i novější knihy
o matematice ve sportu, jejichž seznam následuje.
Kniha se snaží ukázat použití matematiky sportovnímu teoretikovi, trenérovi nebo
i sportovci, a dát příklady pro vyučování matematiky nebo mechaniky, které by mohly být
zajímavější pro žáky a studenty, protože jsou ze sportu.
Programy jsou napsány v QBasicu, protože tento jazyk je volně přístupný, (tzv. freeware),
poměrně „malý“ (okolo 325 kB i s nápovědou), dobře vyjadřuje algoritmus úlohy a proto jej lze
snadno přeložit do jiných jazyků. Mnohé problémy lze řešit v profesionálních programech jako
Excel, Statistica, SPSS, MAPLE, Matlab a pod, které jsou ale většinou drahé nebo nejsou
k dispozici, pokud nechceme porušit autorská práva. Navíc neřeší některé speciální požadavky,
takže jsou nutné programy, stavěné „na míru“ v programovacích jazycích. Programování je
v dnešních systémech (Windows apod.) zanedbáno, protože většina dnešních použití počítačů je
zaměřena na zpracování textu a hry.
Doufáme, že kniha poslouží jako sbírka příkladů, jak užívat matematiku ve sportu
a programovat jednodušší úlohy.
8 / 180
A02 Význam a použití matematiky v tělesné výchově a sportu
V tělovýchově a sportu bude odborný pracovník, ať teoretik nebo praktik dříve nebo
později studovat souvislosti mezi některými jevy nebo veličinami. Nejracionálnějším nástrojem
studia souvislostí je matematika. Málokdy se nám podaří popsat nebo vyjádřit nějakou souvislost
v praxi jako příčinnou pomocí matematické funkce. Daleko častěji budeme sledovat volné
souvislosti pomocí statistických metod.
Jednoduché příčinné souvislosti nacházíme u neživých objektů, a to ještě často za cenu
velkého zjednodušení nebo řady předpokladů, které nemusí platit obecně.
U živých objektů souvisí vlastnosti a děje navzájem většinou volně, pravděpodobně,
statisticky. Na příklad výkon sportovce závisí na jeho věku, váze, výšce, pohlaví, typu těla, síle,
trénovanosti, zkušenostech, motivaci, povaze, počasí, denní době, závodišti, konkurenci a mnoha
dalších činitelích, pro každý sport jiných. Každý z uvedených činitelů je opět složitý a má
proměnlivý vliv, takže není možné stanovit výkon sportovce jakýmkoliv teoretickým způsobem.
Statistické (volné) souvislosti se objevují tam, kde počet vlivů je velmi velký a účinek
jednotlivých vlivů nelze definovat zejména pro složitost procesů v lidském těle a mysli.
Statistika spočívá na zákonech pravděpodobnosti a zákonech velkých čísel.
Pravděpodobnost, s jakou se vyskytují různé hodnoty kteréhokoliv údaje je popsána Gaussovou
zvonovitou křivkou, zákon velkých čísel říká, že střední hodnota souboru dat je spolehlivější
nežli jednotlivé měření, nebo že relativní četnost se dá použít k odhadu neznámé
pravděpodobnosti.
Kromě Gaussova normálního rozdělení používáme podobná rozdělení pro vyhodnocení
statistických testů: F, t, a 2 rozdělení jsou popsána statistickými tabulkami nebo je lze najít jako
speciální funkce v nejlepších kalkulátorech (Sharp PC-E500, HP-48/49, CASIO 9970 apod.)
Příkladem použití matematiky ve sportu nebo tělovýchově mohou být
a) výpočet průměrů případně variačních součinitelů u ročních nebo dlouhodobých tabulek
b) návrh a výpočet bodovacích tabulek pro víceboje nebo hodnocení výkonů v měřitelných
sportech
c) stanovení korelace mezi různými činiteli nebo parametry za účelem stanovení souvislostí,
regresní přímky nebo křivky a výpočet regresních hodnot
d) aproximace empirických závislostí matematickými funkcemi, které mohou ukázat povahu
závislosti a dovolit přibližné prognózy
e) hodnocení testů různými stupnicemi (t nebo Z body, procentily)
f) studium složitých souvislostí vícenásobnými korelacemi, analýzou rozptylu (ANOVA),
faktorovou nebo shlukovou analýzou
g) přepočty a zobrazení výsledků tak, aby vynikla názorně některá souvislost nebo vývoj
h) výpočet ukazatelů, vyjadřujících těžko měřitelné vlastnosti jako vytrvalost, stabilita,
přednosti a nedostatky sportovce
i) pohyby sportovce popsat analyticky nebo kinogramem, který lze vyhodnotit
j) bateriemi testů studovat soubory vlastností, ukazatelů, nedostatků
k) ovlivňovat sportovní techniku analýzou biomechanických ukazatelů
l) ovlivňovat sportovní trénink analýzou fyziologických a psychologických ukazatelů
m) vyhodnocovat trénink, dávky a intensitu i odpočinky matematickými a grafickými
metodami
a řada dalších.
9 / 180
Dnešní trenér a teoretik má vynikajícího pomocníka v počítači, zejména přenosném
(laptop, notebook), bez něhož nelze používat na příklad řadu statistických metod. Počítače jsou
dnes nenahraditelnou součástí měřicích přístrojů a dovolují takové typy měření, které dříve
nebyly ani známé, ani možné.
Literatura o použití matematiky a počítačů v tělesné výchově a sportu:
1. Brancazio P. J. Sport Science. 1954, New York, Simon and Schster
2. Brodie D. A. - Thornhill J. J.: Microcomputing in Sport and Physical Education. 1983,
New York, Sterling Publ.Co.
3. Donelly Joseph E. (Edit): Using Microcomputers in Physical Education and the Sport
Sciences. 1987, Champaign - llinois, Human Kinetics Publishers Inc.
4. Griffing D. F.: The Dynamics of Sports. 1987, Oxford - Ohio, Dalog Co.
5. Lampe E.: Mathematik und Sport. 1956, Leipzig, B.G.Teubner
6. Sadovskij L. E.- Sadovskij A.L.: Matematika i sport. 1969, FiS, Moskva
7. Townsend M. S.: Mathematics in Sport. 1984, Chichester, Ellis Horwood.
8. Zaciorskij V. M.: Kibernetika, matematika, sport. 1969, FiS, Moskva.
10 / 180
B. STATISTIKA
B01 Aritmetický průměr a směrodatná odchylka
Kvantitativní údaje o nějakých vlastnostech nebo výkonech členů dané skupiny lze
vyjádřit čísly. Na příklad tělesná hmotnost, výška, výkon v běhu, počet shybů jsou údaje
popisující jednotlivce v takové skupině. Celou skupinu pak charakterizují průměry všech
naměřených dat. Aritmetický průměr počítáme vzorcem
n
xxx
n
x
x n21
n
1i i 


Údajem o tom, jak rozptýleny jsou naměřené hodnoty jest rozptyl čili střední kvadratická
odchylka všech hodnot od průměru. Její druhá odmocnina je směrodatná odchylka, kterou
počítáme upraveným vzorcem
 
1)(n
n
x
x
s
2
2
x





Aritmetický průměr a směrodatná odchylka jsou charakteristiky souborů při statistických
testech, o nichž bude řeč později. Lze je také počítat lepšími vědeckými kalkulátory, zde uvádíme
program pro jejich výpočet z čísel, uvedených v řádku DATA.
DATA 10,13,12,14,17,18,16
a:
READ x: ON ERROR GOTO b
s = s + x: k = k + x * x
n = n + 1: GOTO a
b:
p = s / n
sx = SQR((k - s * s / n) / (n - 1))
LPRINT „prum,smer.odch,n=„; p, sx, n
END
Výsledek:
prum,smer.odch,n= 14.28571 2.870208 7
Pozn.: není-li k dispozici tiskárna, změníme příkaz LPRINT v předposledním řádku
programu na pouhé PRINT, a výsledky musíme opisovat z obrazovky.
11 / 180
B02 Statistika párovaných dat
Máme-li n párů dat x, y, můžeme potřebovat jejich průměry
n
x
px

n
y
py

a směrodatné odchylky
 
1)(n
n
x
x
s
2
2
x





 
1)(n
n
y
y
s
2
2
y





Páry můžeme zakreslit do korelačního pole, a má-li toto pole lineární trend, můžeme počítat
pomocí kovariance
1)(n
n
yx
xy
cov yx,





součinitel korelace r
yx
yx
ss
,cov
r 
Tento součinitel ukazuje těsnost souvislosti mezi činiteli x, y. Všechny potřebné sumace
a výpočty lze provést programem:
DATA 76,81,71,85,57,52,49,52,70,70,69,63,26,33,65,83,59,62
a:
READ x, y: ON ERROR GOTO b
sx = sx + x: kx = kx + x * x
sy = sy + y: ky = ky + y * y
xy = xy + x * y: n = n + 1: GOTO a
b:
px = sx / n: py = sy / n
s1 = SQR((kx - sx * sx / n) / (n - 1))
s2 = SQR((ky - sy * sy / n) / (n - 1))
c = (xy - sx * sy / n) / (n - 1)
r = c / (s1 * s2)
LPRINT „px,sx=„; px; „ „; s1
LPRINT „py,sy=„; py; „ „; s2
LPRINT „r,n=„; r; „ „; n
END
Příklad: z dat v řádku DATA dostaneme:
px,sx = 60,222 15,28707
py,sy = 64,555 17,24174
r,n = 0,8877378 9
12 / 180
B03 Aritmetické průměry, směrodatné odchylky, součinitel korelace a graf
lineární regrese pro párovaná data
Máme-li n párů dat x,y, můžeme potřebovat jejich průměry
n
x
px

n
y
py

a směrodatné odchylky
 
1)(n
n
x
x
s
2
2
x





 
1)(n
n
y
y
s
2
2
y





Páry můžeme zakreslit do korelačního pole, a má-li toto pole lineární trend, můžeme počítat
pomocí kovariance
1)(n
n
yx
xy
cov yx,





součinitel korelace
yx
yx
ss
,cov
r 
Tento součinitel ukazuje těsnost souvislosti mezi činiteli x, y. Je-li dostatečně blízký jedničce, je
vhodné najít regresní přímku y = a + b · x, která dovoluje počítat teoretické hodnoty y pro daná x.
Součinitele a, b počítáme podle vzorců:
2
x
yx,
s
cov
b 
xy pbpa 
13 / 180
Všechny potřebné sumace, výpočty a nakreslení grafu provede následující program:
DATA 100,110,120,107,140,115,160,125,180,132,200,138
DATA 220,147,240,152,260,154,280,159,300,165,320,167
DATA 340,173,360,175,380,179,400,182
CLS: INPUT „xmin,xmax=„; x1, x2
INPUT „ymin,ymax=„; y1, y2
CLS: SCREEN 12: KEY OFF
LINE (50, 10)-(50, 300): LINE -(640, 300)
FOR x = x1 TO x2 STEP (x2 - x1) / 10
v = 50 + (x - x1) / (x2 - x1) * 500
LINE (v, 300)-(v, 305)
LOCATE 21, v / 8 - 1: PRINT x;: NEXT x
FOR y = y1 TO y2 STEP (y2 - y1) / 10
s = 300 - (y - y1) / (y2 - y1) * 280
LINE (50, s)-(52, s)
LOCATE s / 14 + 1, 2: PRINT y: NEXT y
p:
READ x, y: ON ERROR GOTO q
CIRCLE (50 + (x - x1) / (x2 - x1) * 500, 300 - (y - y1) / (y2 - y1) * 280), 3
sx = sx + x: kx = kx + x * x: sy = sy + y: ky = ky + y * y
xy = xy + x * y: n = n + 1: GOTO p
q:
p1 = sx / n: p2 = sy / n
s1 = kx - sx * sx / n: s2 = ky - sy * sy / n
c = xy - sx * sy / n: b = c / s1: a = (sy - b * sx) / n
y3 = a + b * x1: y4 = a + b * x2
LINE (50, 300 - (y3 - y1) / (y2 - y1) * 280)-(550, 300 - (y4 - y1) / (y2 - y1)
* 280)
LOCATE 15, 42: PRINT „px,py=„; p1, p2
LOCATE 16, 42: PRINT „sx,sy=„; SQR(s1 / (n - 1)); SQR(s2 / (n - 1))
LOCATE 17, 42: PRINT „a,b=„; a; b
r = c / SQR(s1 * s2): LOCATE 18, 42: PRINT „r=„; r
END
14 / 180
B04 Vyhodnocení matice dat výpočtem aritmetických průměrů,
směrodatných odchylek, matice korelačních součinitelů a součinitelů
mnohonásobné korelace a determinace
Změříme-li u každé z n-osob m-hodnot (výsledky testů, antropometrická data apod.), budou nás
zajímat
1. průměry a směrodatné odchylky jednotlivých sloupců (testů)
2. matice korelačních součinitelů mezi všemi možnými dvojicemi sloupců (testů)
3. součinitelé mnohonásobné korelace a determinace každého sloupce (testu) se všemi ostatními.
Následující program počítá všechny tyto ukazatele tím, že
a) uloží data do matice n × m (počet osob × počet testů)
b) vypočítá aritmetické průměry všech sloupců (testů)
c) odečte tyto průměry od hodnot příslušných sloupců
d) vypočítá matici m × m variancí a kovariancí
e) z variancí, ležících v diagonále této matice vypočítá směrodatné odchylky, z kovariancí
a variancí matici korelačních součinitelů
f) provede inverzi této matice
g) z diagonálních prvků původní a invertované matice počítá součinitele mnohonásobné
korelace a determinace, ukazující korelaci jednotlivých sloupců se všemi ostatními a podíl
vlivu ostatních sloupců (testů) na veličinu, danou sloupcem (testem).
Literatura
9. Sassouri. Communications of Association of Computer Manufacturers (CACM) 1961, č. 3
10. Agejev N. I.: Algoritmy 1-50. Moskva, VC AN SSR, 1966, s. 71-73
11. Jahn W. - Vahle H.: Die Faktorenanalyse und ihre Anwendung. 1970, Verlag Die Wirtschaft,
Berlin, str. 41
12. Lohse H. - Ludwig R. - Roehr L.: Statistische Verfahren. 1982, Volk und Wissen, Berlin, str.
208-209.
13. Storm Regina: Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik und statistische
Qualitaetskontrolle. 1976, Fachbuchverlag, Leipzig, str. 244 - 245.
DATA 1,1.1,5
DATA 2,1.4,5
DATA 3,1.8,4
DATA 4,1.9,6
DATA 5,2.4,4
DATA 6,2.4,6
DATA 7,3.1,4
DATA 8,3.2,5
DATA 9,3.5,5
DATA 10,3.7,6
PRINT
INPUT „radku,sloupcu „; n, m
DIM x(n, m), p(m), s(m, m), c(m, m), t(m, m), r(m, m)
FOR i = 1 TO n: FOR j = 1 TO m
READ x(i, j): NEXT j: NEXT i
FOR j = 1 TO m: s = 0
FOR i = 1 TO n: s = s + x(i, j)
15 / 180
NEXT i: p(j) = s / n: NEXT j
FOR j = 1 TO m: FOR i = 1 TO n
x(i, j) = x(i, j) - p(j): NEXT i: NEXT j
FOR j = 1 TO m: FOR k = 1 TO m: FOR i = 1 TO n
s(k, j) = s(k, j) + x(i, k) * x(i, j)
NEXT i: NEXT k: NEXT j
FOR k = 1 TO m: FOR j = 1 TO m
s(k, j) = s(k, j) / (n - 1)
NEXT j: NEXT k: PRINT
PRINT „prumery, smer.odch“
FOR i = 1 TO m
PRINT „i,p,s=„; i, p(i), SQR(s(i, i))
NEXT i: PRINT
PRINT „matice korel.soucinitelu“
FOR i = 1 TO m: FOR j = 1 TO m
r(i, j) = s(i, j) / SQR(s(i, i) * s(j, j))
PRINT TAB(5 * j - 4); USING „#####“; INT(r(i, j) * 1000);
NEXT j: PRINT: NEXT i: PRINT
FOR i = 1 TO m: FOR j = 1 TO m
t(i, j) = s(i, j): NEXT j: NEXT i
FOR i = 1 TO m
IF ABS(s(i, i)) < 1E-09 THEN PRINT „spatne podminena matice“: END
q = 1 / s(i, i): s(i, i) = 1
FOR k = 1 TO m: s(i, k) = s(i, k) * q: NEXT k
FOR j = 1 TO m: IF i = j THEN GOTO a
q = s(j, i): s(j, i) = 0
FOR k = 1 TO m: s(j, k) = s(j, k) - q * s(i, k): NEXT k
a:
NEXT j: NEXT i
PRINT „souc.mnohonas.korelace a determinace“
FOR i = 1 TO m
mk = 1 - 1 / (t(i, i) * s(i, i)): PRINT „mk“; i; „=„; SQR(mk); mk
NEXT i: END
Výsledky:
prumery, směr.odch.
i,p,s= 1 5.5 3.02765
i,p,s= 2 2.45 .9009255
i,p,s= 3 5 .9164966
matice korel. souc.
1000 991 224
991 1000 105
224 105 1000
souc.mnohonas.korelace a determinace
mk 1 = .9991829 .9983666
mk 2 = .9991491 .9982989
mk 3 = .9487171 .9000641
16 / 180
B05 Klouzavý průměr
Má-li řada hodnot náhodné kolísání, můžeme ji vyhladit pomocí klouzavého průměru, tj.
průměru n sousedních členů řady. Po výpočtu průměru se od součtu odečte první člen, a přičte
další člen řady. Tak se přes všechny členy řady posouvá okno, obsahující n členů a pro každou
polohu tohoto okna se počítá nový průměr. Následující program provádí tyto operace:
1. sečte prvních n členů řady, součet je s
2. vypočítá průměr p = s / n
3. odečte od součtu první člen
4. všechny členy řady přenese o 1 úroveň níž: index proměnné xi = xi+1
5. k součtu přičte další člen řady
6. vrátí se na bod 2.
DATA 10,12,9,10,8,14,14,10,8,12,15,18
INPUT „prumer pro n=„; n: DIM b(n)
s = 0: FOR i = 1 TO n
READ b(i): s = s + b(i): NEXT i
q:
a = s / n: PRINT a;
s = s - b(1): FOR i = 1 TO n - 1
b(i) = b(i + 1): NEXT i
READ b(n): ON ERROR GOTO e
s = s + b(n): GOTO q
e:
PRINT „KONEC“: END
Klouzavé průměry pro n =
3 4 5 6 7 8 9
10,33 10,25 9,6 10,5 11 10,87 10,55
10,33 9,75 9,6 11,66 11 10,62 10,77
9,- 10,25 11,- 10,83 10,43 10,62 11,11
10,66 11,5 11,2 10,66 10,86 10,37 12,11
12 11,5 10,6 11 11,57 12,37
12,66 11,5 11,6 12,06 13
10,66 11 11,8 12,83
10 11,25 12,6
11,66 13,25
15
17 / 180
B06 Statistický test rozdílu aritmetických průměrů dvou nepárovaných
souborů
Často potřebujeme zjistit, zda se dva soubory (sportovci-nesportovci, pokusná a kontrolní
skupina, apod.) od sebe liší v některém parametru, který lze změřit (tělesná výška, sportovní
výkon, fyziologická hodnota apod.) K tomu použijeme tzv. test nepárovaných hodnot.
K provedení tohoto testu se používají aritmetické průměry, směrodatné odchylky
a četnosti (počty osob) obou souborů. Nejdříve porovnáme velikosti směrodatných odchylek Ftestem.
Ten porovnáme s kritickou hodnotou Fkrit ze statistických tabulek pro četnosti obou
souborů a zvolenou hladinu významnosti (v tělovýchově zpravidla p = 0.05 = 5 %). Podle
výsledku F-testu provedeme pak jeden ze dvou možných t-testů. K vypočítané hodnotě t vložíme
kritickou hodnotu tk rozdělení t ze statistických tabulek pro zvolenou hladinu významnosti a je-li
vypočítané t větší nežli kritická hodnota, je rozdíl aritmetických průměrů statisticky významný na
zvolené hladině významnosti. Můžeme ještě ověřit, zda je vypočítané t větší nežli tk pro p = 1 %,
tedy pro 99 % pravděpodobnost (téměř jistotu) našeho závěru.
INPUT „m1,s1,n1=„; m1, s1, n1
INPUT „m2,s2,n2=„; m2, s2, n2
g1 = s1 * SQR(n1 / (n1 - 1)): g2 = s2 * SQR(n2 / (n2 - 1))
F = (g1 / g2) ^ 2
IF F < 1 THEN F = 1 / F
PRINT „F=„; F
INPUT „Fkrit=„; Fc
IF Fc < F THEN GOTO c
t = ABS(m1 - m2) * SQR((n1 + n2 - 2) / (n1 * s1 * s1 + n2 * s2 * s2) /
(1 / n1 + 1 / n2))
PRINT „t,n1,n2=„; t; „ „; n1; „ „; n2
INPUT „tkrit=„; tc: GOTO d
c:
a = s1 * s1 / (n1 - 1)
b = s2 * s2 / (n2 - 1)
t = ABS(m1 - m2) / SQR(a + b)
PRINT „t=„; t
PRINT „n1-1=„; n1 - 1: INPUT „t1=„; t1
PRINT „n2-1=„; n2 - 1: INPUT „t2=„; t2
tk = (t1 * a + t2 * b) / (a + b)
PRINT „tk=„; tk
d:
IF tk > t THEN PRINT „rozdíl není statisticky významný !“: GOTO e
PRINT „rozdíl je statisticky významný!!!“
e:
END
Příklad: m1,s1,n1 = 40,2.32,20
m2,s2,n2 = 38,3.31,18
F = 2.047516
Fk = 2.49
t = 2.115398
tk = 2.09
18 / 180
B07 Statistický test významnosti rozdílu mezi dvěma párovanými soubory
Změříme-li jedné skupině osob některý parametr dvakrát, např. na začátku a konci daného
časového intervalu nebo před působením nějakého vlivu (např. tréninku) a po něm,dostaneme
dva soubory dat, kterým říkáme párované, protože ke každé osobě patří dva výsledky měření.
Statistickou významnost rozdílu těchto dvou párovaných souborů posoudíme pomocí
testu párovaných dat. V něm počítáme rozdíly mezi dvojicemi, jejich aritmetický průměr p
a směrodatnou odchylku sx a nakonec testovací kriterium
xs
1n
abs(p)t


Hodnotu tohoto kriteria porovnáme s kritickou hodnotou tk z tabulek rozdělení t pro zvolenou
hladinu významnosti p a počet stupňů volnosti 1nν  
DATA .38,.39,.56,.58,.45,.44,.49,.52,.38,.41,.41,.45
DATA .6,.59,.36,.37,.26,.28,.41,.42,.43,.42,.4,.38
a:
READ x, y: ON ERROR GOTO b
sx = sx + x: kx = kx + x * x
sy = sy + y: ky = ky + y * y
xy = xy + x * y: d = x - y
sd = sd + d: kd = kd + d * d
n = n + 1: GOTO a
b:
mx = sx / n: my = sy / n
s1 = SQR((kx - sx * sx / n) / (n - 1))
s2 = SQR((ky - sy * sy / n) / (n - 1))
c = (xy - sx * sy / n) / (n - 1)
r = c / (s1 * s2)
t = ABS(sd) / SQR((n * kd - sd * sd) / (n - 1))
PRINT
PRINT „mx,sx=„; mx, s1
PRINT „my,sy=„; my, s2
PRINT „r=„; r
PRINT „t,n=„; t, n
END
Příklad: z dvojic dat, vepsaných do řádků DATA dostaneme
mx,sx = .4275, 9.056643E-02
my,sy = .4375, 8.884319E-02
r = .9775883
t,n = 1.816588, 12
Pro počet stupnů volnosti 11 najdeme kritickou hodnotu tkrit (2.201) a protože
t je menší, není rozdíl statisticky významný na hladině p=5%.
19 / 180
B08 Analýza variance (ANOVA)
Testujeme-li rozdíl mezi dvěma průměry dvou souborů (např. t-testem), předpokládáme
účinek změny jediného faktoru na aritmetický průměr závislé proměnné. Pro více nežli dva
průměry a více než jeden faktor byl tento test zobecněn FISCHERem, zakladatelem analýzy
variance (ANOVA). Jednoduchá analýza variance testuje účinek jednoho faktoru na více
průměrů. Následující program může vzít libovolný počet souborů dat, každý s libovolným
počtem dat. Program vypočítá průměry všech souborů a kriterium F, které srovnáme s kritickou
hodnotou F ze statistických tabulek pro daný pár stupňů volnosti a zvolenou hladinu významnosti
p (%).
Literatura:
14. Clauss G.-Ebner H.: Grundlagen der Statistik fuer Psychologen, Pedagogen und Soziologen.
Berlin,Volk u. Wissen, 7. vyd., 1983
15. Thomas J. R. - Nelson J. K.: Research Methods in Physical Activity Human Kinetics,
Champaign, Illinois, 1990, 2nd. ed., p. 140
DATA 9,11,10,12,7,11,12,10,13,11,13,11,10,12,13
DATA 15,16,15,10,13,14,15,7,13,15,15,14,11,15,10
DATA 18,14,17,9,14,17,16,15,16,8,14,10,16,15,17
INPUT „pocet souboru=„; n: DIM b(n), c(n)
FOR i = 1 TO n: PRINT i;
INPUT „pocet prvku=„; b(i)
NEXT i: PRINT
d = 0: e = 0: f = 0
FOR i = 1 TO n: s = 0
FOR j = 1 TO b(i)
READ x
s = s + x: d = d + x * x: e = e + 1
NEXT j: g = g + s
c(i) = s * s: p = s / b(i)
PRINT „p“; i; „=„; p
NEXT i
me = 0
FOR i = 1 TO n
me = me + c(i) / b(i)
NEXT i
me = me - g * g / e
ce = d - g * g / e
uv = ce - me
f = me / (n - 1) / uv * (e - n)
PRINT „F=„; f
PRINT „n1,n2=„; n - 1; e - n
END
20 / 180
Příklad: z dat v řádcích DATA dostaneme:
pocet souboru=? 3
1 pocet prvku=? 15
2 pocet prvku=? 15
3 pocet prvku=? 15
p 1 = 11
p 2 = 13.2
p 3 = 14.4 F= 7.149618
n1,n2= 2 42
V tabulkách najdeme pro n1, n2 kritickou hodnotu Fk = 4,05 (p=5%). Protože
vypočítané F je větší, je rozdíl mezi třemi soubory statisticky významný.
21 / 180
B09 Součinitel parciální korelace mezi dvěma ze tří parametrů
Známe-li všechny tři korelační součinitele mezi třemi parametry téhož souboru, které
označíme r12, r13, r23, pak můžeme stanovit částečnou (parciální) korelaci mezi kterýmikoliv
dvěma parametry s vyloučením vlivu třetího, tedy za předpokladu, že třetí parametr je konstantní.
Vzorce pro parciální korelační součinitele jsou
)1()1(
)(
r
2
23
2
13
231312
12.3
rr
rrr



)1()1(
)(
r
2
23
2
12
231213
13.2
rr
rrr



)1()1(
)(
r
2
13
2
12
131223
23.1
rr
rrr



Příklad: u skupiny dětí byly vypočítány korelační součinitele mezi
tělesnou výškou a hmotností r12 = 0,91
výškou a výkonem ve skoku vysokém r13 = 0,86
hmotností a výkonem ve skoku vysokém r23 = 0,69
Korelace mezi hmotností a výkonem ve skoku vysokém je překvapivě vysoká a kladná.
Uvědomíme-li si ale, že těžší dítě bývá také vyšší, je zřejmé, že vazbu hmotnost/výkon
zprostředkuje tělesná výška, kterou bychom měli vyloučit. Pak parciální korelační součinitel mezi
hmotností a výkonem ve skoku vysokém tuto vazbu vylučuje:
438,0
)0,86(1)0,91(1
0,86)0,91(0,69
r
2223.1 



Místo původní kladné korelace jsme dostali zápornou parciální korelaci, protože byl
vyloučen zprostředkující vliv tělesné výšky. S rostoucí hmotností při stálé tělesné výšce výkon ve
skoku vysokém klesá.
Literatura:
16. Jahn W., Wahle H.: Die Faktoranalyse. Die Wirtschaft, Berlin, 1970, str. 36
17. Storm Regina: Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik und statistische
Qualitatskontrolle. Fachbuchverlag, 1976, str. 242
INPUT „r12,r13,r23=„; r12, r13, r23
p12 = (r12 - r13 * r23) / SQR((1 - r13 * r13) * (1 - r23 * r23))
p13 = (r13 - r12 * r23) / SQR((1 - r12 * r12) * (1 - r23 * r23))
p23 = (r23 - r12 * r13) / SQR((1 - r12 * r12) * (1 - r13 * r13))
PRINT „p12,p13,p23=„; p12, p13, p23
END
22 / 180
B10 Součinitel parciální korelace mezi dvěma ze čtyř parametrů
Naměříme-li u souboru data o 4 nezávislých proměnných, existuje mezi proměnnými
4.3/2 = 6 možných korelací: r12, r13, r14, r23, r24, r34. Součinitele parciální korelace mezi dvojicemi
s vyloučením vlivu zbývajících dvou proměnných počítáme pomocí následujících vzorců, např.
pro r12.34, kde 1, 2 jsou indexy proměnných a 3, 4 jsou indexy konstantních parametrů.:
)1()1(
)(
r
2
23
2
13
231312
12.3
rr
rrr



)1()1(
)(
r
2
34
2
13
341314
143
rr
rrr



)1()1(
)(
r
2
34
2
23
342324
24.3
rr
rrr



Z nich pak hledaný
)1()1(
)(
r
2
3.24
2
3.14
3.243.143.12
12.34
rr
rrr



Je nutno poznamenat, že ne všechny možné kombinace součinitelů korelace musí dát
reálný výsledek. Při výpočtu podle následujícího programu bude takový případ hlášen jako
chyba.
input „r12,r13,r14=„;r12,r13,r14
input „r23,r24,r34=„;r23,r24,r34
r123=(r12-r13*r23)/sqr((1-r13*r13)*(1-r23*r23))
r143=(r14-r13*r34)/sqr((1-r13*r13)*(1-r34*r34))
r243=(r24-r23*r34)/sqr((1-r23*r23)*(1-r34*r34))
r12=(r123-r143*r243)/sqr((1-r143*r143)*(r243*r243))
print „r12.34=„;r12
end
Příklad: r12=0.8 r13=0.7 r14=0.9 r23=0.7 r24=0.6 r34=0.5 r12.34 = 0.59375
23 / 180
B11 Čtyřpolní tabulka 2x2 a 2-test
Máme-li dvě kvalitativně rozdílné skupiny (např. muže a ženy), u nichž známe dva
alternativní kvalitativní znaky (např. plavec-neplavec), můžeme každou osobu zařadit do jedné ze
4 možných kombinaci a, b, c, d. Stanovíme-li četnosti těchto kombinací, můžeme je zapsat do
tzv. čtyřpolní tabulky 2×2:
plavci neplavci
muži a b s1 = a + b s2 = c + d s3 = a + c s4 = b + d
ženy c d s = s1 + s2
Pro rozhodnutí, zda je mezi skupinami v alternativním znaku statisticky významný rozdíl
potřebujeme vypočítat kriterium
4321
2
2
ssss
c)bd(as
χ



Je-li toto kriterium větší nežli kritická hodnota 2
k ve statistických tabulkách pro četnost
n = 1 a zvolenou hladinu významnosti (obvykle p = 5 %), je rozdíl mezi skupinami statisticky
významný. Můžeme použít následující program:
data 125,80,89,26
read a,b,c,d
s1=a+b:s2=c+d
s3=a+c:s4=b+d
s=s1+s2
ch=s*(a*d-b*c)^2/(s1*s2*s3*s4)
print „chikv=„;ch
end
Příklad:
ve skupině mužů bylo 125 plavců a 80 neplavců, u žen 89 plavkyň a 26 neplavkyň.
Vypočítané 2
= 8,98 je větší nežli kritická hodnota 2
k = 3,8 pro n = 1 a hladinu významnosti
p = 5 %, i pro hladinu p = 1 % (2
k = 6,6). Proto je rozdíl mezi ženami a muži statisticky
významný i na hladině 1 % (skutečná hladina je p = 0,276 %).
24 / 180
B12 Fischerův test pro kontingenční tabulku 2 × 2
Jsou-li četnosti v kontingenční tabulce 2 × 2 nízké, tzn. když n = a + b + c + d < 20 nebo
kterákoliv četnost je nižší nežli 5, pak musíme použít tzv. Fischerův test, který počítá přímo
pravděpodobnost p jako hladinu významnosti:
d!c!b!a!n!
d)!(bc)!(ad)!(cb)!(a
p


Výpočet p provedeme následujícím programem a výslednou pravděpodobnost převedeme na
procenta a porovnáme se zvolenou hladinou významnosti v %.
Literatura:
18. Clauss G. - Ebner H.: Grundlagen der Statistik fur Psychologen, Pedagogen und Soziologen.
1983, 7 th ed., Volk u. Wissen, Berlin, str. 263 - 267
DATA 8,5,4,1
READ a, b, c, d
x = a: GOSUB f1: n = f
x = b: GOSUB f1: n = n * f
x = c: GOSUB f1: n = n * f
x = d: GOSUB f1: n = n * f
x = a + b + c + d: GOSUB f1: n = n * f
x = a + b: GOSUB f1: m = f
x = c + d: GOSUB f1: m = m * f
x = a + c: GOSUB f1: m = m * f
x = b + d: GOSUB f1: m = m * f
p = m / n
PRINT „p=„; p
END
f1:
f = 1
FOR i = 2 TO x
f = f * i
NEXT i
RETURN
Příklad: pro data v řádku DATA dostaneme p = 0,3466, tedy 34,66 %. Pro hladinu
p = 5 % je výsledek testu negativní.
25 / 180
B13 Kontingenční tabulka m × n a 2
-test
Máme-li m kvalitativních proměnných x, které mohou nabývat n kvalitativních hodnot y,
můžeme zapsat četnosti všech kombinací x, y do kontingenční tabulky m × n
f11 f12 f13 f1n
f21 f22 f23 f2n
   
fm1 fm2 fm3 fmn
Chceme-li vědět, zda existuje mezi x, y statisticky významná závislost, vypočítáme kriterium
 


m
1i
n
1j ij
ijij2
e
ef
χ
fij četnosti z kontingenční tabulky
eij četnosti očekávané při rovnoměrném rozdělení
Potřebné výpočty provede následující program. Je-li vypočítané kriterium větší, nežli
kritická hodnota rozdělení 2
ze statistických tabulek pro n = (m – 1) · (n – 1) a zvolenou hladinu
významnosti p = 5 %, pak můžeme prohlásit závislost mezi proměnnými x, y za statisticky
významnou.
DATA 75,36,31
DATA 27,19,33
DATA 31,62,86
INPUT „řádků,sloupců=„; r, c
DIM m(r, c), o(r, c), a(r), b(c): d = 0: n = 0
FOR i = 1 TO r: FOR j = 1 TO c
READ m(i, j): n = n + m(i, j)
a(i) = a(i) + m(i, j)
NEXT j: NEXT i
FOR j = 1 TO c: FOR i = 1 TO r
b(j) = b(j) + m(i, j)
NEXT i: NEXT j
FOR i = 1 TO r: FOR j = 1 TO c
o(i, j) = a(i) * b(j) / n
d = d + (m(i, j) - o(i, j)) * (m(i, j) - o(i, j)) / o(i, j)
NEXT j: NEXT i
nu = (r - 1) * (c - 1)
PRINT „chiq,n=„; d, nu
c1 = SQR(d / (d + n))
PRINT „kontingenční souč.=„; c1
END
Příklad: z dat v řádku DATA dostaneme:
chiq, = 48.2678 4
kontingenční souč.= .3281406
Porovnáním s kritickou hodnotou 2
k (9,5 pro p = 5 % nebo 13,3 pro
p = 1 %) plyne, že závislost je statisticky významná i na 1 % hladině
významnosti.
26 / 180
B14 Korelační součinitel pro kontingenční tabulku
U kontingenční tabulky m × n vypočítáme kriterium 2
, které rozhodne, zda závislost,
popsaná tabulkou je statisticky významná. Neurčí ale stupeň závislosti mezi kvalitativními znaky.
K tomu použijeme korelační součinitel pro seskupená data, který používá četnosti v kontingenční
tabulce k výpočtu míry závislosti
   
     2222
yfyfnxfxfn
yfxfyxfn
r
 




K výpočtu použijeme následujícího programu, do jehož řádků DATA vepíšeme četnosti
z kontingenční tabulky.
Literatura:
19. The Essentials of Statistics II, Research and Education Association, New Jersey, 1989, str.
182 - 183
DATA 52,17,0
DATA 34,54,9
DATA 2,12,36
DATA 1,7,88
INPUT „ř,s=„; r, s
FOR y = 1 TO r
FOR x = 1 TO s
READ f
sx = sx + f * x: kx = kx + f * x * x
sy = sy + f * y: ky = ky + f * y * y
xy = xy + f * x * y: n = n + f
NEXT x: NEXT y
k = (n * xy - sx * sy) / SQR((n * kx - sx * sx) * (n * ky - sy * sy))
PRINT „r=„; k
END
Příklad: pro DATA, vepsaná do programu a ř,s = 4,3 dostaneme: r = 0,7949191
27 / 180
B15 2
-test pro jeden výběr
Máme-li skupinu lidí, kterou rozdělíme podle kvalitativního znaku (pořadí apod.) na m
skupin, můžeme v jednotlivých skupinách stanovit četnosti f1, f2, f3,  fn. K rozhodnutí, zda se
tyto četnosti liší od očekávaných rovnoměrných fe = n / m, vypočítáme kriterium



n
1i e
2
ei2
f
)f(f
χ
Tuto hodnotu vypočítáme následujícím programem a srovnáme s kritickou hodnotou 2
pro počet stupňů volnosti n = n – 1 a pro zvolenou hladinu významnosti (zpravidla p = 5 %). Je-li
kriterium větší nežli kritická hodnota, liší se rozdělení od rovnoměrného statisticky významně.
data 3,4,9,10,10,6,7,2,2,6
a:
read f:on error goto b
n=n+f:m=m+1:goto a
b:
e=n/m:restore
read f:c=c+(f-e)^2/e
next i
print „chikv,n=„;c,m-1
end
Příklad: žebříček tenistek TWA ke dni 8. 5. 1995 obsahoval v první tisícovce
tyto četnosti českých tenistek v jednotlivých stovkách:
pořadí jednotlivci dvouhra
1-100 3 3 Vypočítaná kriteria:
101-200 4 12 pro jednotlivce 2
= 14.73
201-300 9 7 pro dvouhru 2
= 26.93
301-400 10 9 Protože kritická hodnota je 18.34,
neliší se rozdělení tenistek
statisticky významně od
rovnoměrného, ve dvojhře však ano.
401-500 10 10
501-600 6 10
601-700 7 8
701-800 2 3
801-900 2 4
901-1000 6 0
28 / 180
B16 Kvantily
Někdy potřebujeme rozdělit statistický soubor na určitý počet stejně velkých částí. Na
takovém rozdělení je možno na příklad vybudovat klasifikační stupnici sportovní nebo školní.
Je-li soubor dostatečně velký a náhodně vybraný, pak křivka četností jednotlivých znaků
(frekvenční křivka) bude podobná Gaussově zvonovité křivce. (Pozn.: reálné soubory obsahují
nejmenší a největší znak, proto se křivka četností dotýká svými konci vodorovné osy x na rozdíl
od teoretické Gaussovy křivky). Protože plocha pod celou křivkou četností je úměrná počtu všech
znaků, je naším úkolem rozdělit tuto plochu na zvolený počet stejných ploch. Hodnoty znaku x,
které ukazují polohu dělících svislých čar jsou tzv. kvantily. Tento obecný název můžeme
nahradit názvem, prozrazujícím, na kolik částí daný kvantil dělí celou plochu pod frekvenční
křivkou a tedy i celý soubor:
 medián je kvantil, dělící soubor na dvě stejné poloviny, protože je tak definován.
 tercil je kvantil, určující hodnotu znaku, oddělujícího od celého souboru jednu třetinu.
Protože soubor má třetiny tři, jsou tercily dva - dolní a horní.
 kvartily jsou kvantily, dělící soubor na čtvrtiny, proto jsou tři a to: dolní, střední
(= mediánu) a horní.
 kvintily dělí soubor na pětiny, existují dva dolní a dva horní. Tento kvantil se hodí
k návrhu pětistupňové hodnotící stupnice, podobné školní klasifikaci.
 sextily dělí soubor na šestiny, je jich 5, střední se rovná mediánu
 decilů je devět, střední je roven mediánu.
 procentil (percentil) dělí soubor na 100 dílů,střední je roven mediánu.
Obecně platí, že kvantilů sudého jména je lichý počet a střední je roven mediánu. Kvantily
lichého jména mají sudý počet a nemají střední kvantil.
Protože najít souřadnice kvantilů na ose x pomocí statistických tabulek nebo vypočítat je
není snadné, je v praxi výhodné uvést jejich souřadnice jako násobky směrodatné odchylky. Bez
ní není soubor dostatečně popsán, proto ji vždy počítáme známými vzorci nebo vědeckými
kalkulátory. Následující tabulka uvádí názvy kvantilů a jejich souřadnice jako násobky
směrodatné odchylky:
Příklad: v několika školách byl změřen skok vysoký u hochů ve věku 15 let. Vypočítáno: průměr
p = 125 cm, směrodatná odchylka s = 15 cm. Pro známkování 1 až 5 vypočítáme kvintily:
známka kvintil výkon (cm)
5 p – 0,8416 · s horší nežli 112,4
4 p – 0,2533 · s mezi 112,4 a 121,2
3 p + 0,2533 · s mezi 121,2 a 128,8
2 p + 0,8416 · s mezi 128,8 a 137,6
1 lepší nežli 137,6
Graficky můžeme kvantily určit snadno pomocí kumulační křivky zvoleného (zpravidla
normálního) rozdělení. Ta je dána také statistickými tabulkami nebo jednoduchými vzorci
(polynomy nebo racionálními lomenými funkcemi). Tím se zabývají následující kapitoly.
29 / 180
B17 Kvantily, vypočítané z průměru a směrodatné odchylky
Známe-li aritmetický průměr a směrodatnou odchylku určitého souboru, můžeme volit
počet částí, na který bude rozdělen. Kvantily mohou klasifikovat různé výsledky, jestliže průměr
je významnější nežli nejlepší hodnota neboli rekord. To je případ školní klasifikace, ne však
bodování ve sportu.
Následující program vypočítá všechny kvantily pro daný počet částí.
Literatura:
20. Abramowitz M.-Stegun Irene A.: Handbook of mathematical functions. NBS, 1963, vzorec
26.2.23
a = .010328: b = .802853: c = 2.515517
d = .001308: e = .189269: f = 1.432788
INPUT „pruměr,smodch „; m, s
INPUT „pocet částí „; n
q = 1 / n: DIM y(n)
FOR i = 1 TO n / 2: p = i * q
t = SQR(LOG(1 / (p * p)))
g = (a * t + b) * t + c
h = ((d * t + e) * t + f) * t + 1
z = t - g / h: x = m - z * s: y(i) = m + z * s
PRINT p * 100; „%“; TAB(12); USING „#####.###“; x
NEXT i
FOR i = INT(n / 2) + 1 TO n - 1
PRINT i * q * 100; „%“; TAB(12); USING „#####.##“; y(n - i)
NEXT i
END
Příklad: průměr = 125, směr.odchylka = 15.
Zvolíme-li počet částí n = 5 (kvíntily), dostaneme:
část kvintil
20% 112.378
40% 121.206
60% 128.793
80% 137.621
Ve školní praxi budeme výkon horší nežli 112.4 klasifikovat 5, mezi
112.4 a 121.2 jako 4, mezi 121.2 a 128.8 jako 3, mezi 128.8 a 137.6 jako 2 a
lepší nežli 137.6 jako nejlepší 1.
30 / 180
B18 Procentily a směrodatná odchylka
Má-li vzorek normální rozdělení, můžeme počítat procentily z aritmetického průměru
a směrodatné odchylky. Pro m = 0 a sx = 1 můžeme použít tuto tabulku:
desítky procentilů
jednotkyprocentilů
1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-99
1 -2.326 -1.227 -0.806 -0.496 -0.227 0.025 0.279 0.553 0.878 1,341
2 -2.054 -1.175 -0.772 -0.468 -0.202 0.050 0.405 0.583 0.915 1.405
3 -1.881 -1.126 -0.739 -0.440 -0.176 0.753 0.332 0.613 0.964 1.476
4 -1.751 -1.080 -0.706 -0.412 -0.151 0.100 0.358 0.643 0.995 1.555
5 -1.645 -1.036 -0.674 -0.385 -0.125 0,125 0.385 0.674 1.036 1.645
6 -1.555 -0.995 -0.643 -0.358 -0.100 0.151 0.412 0.706 1.080 1.751
7 -1.476 -0.954 -0.613 -0.332 -0.075 0.176 0.440 0.739 1.126 1.881
8 -1.405 -0.915 -0.583 -0.305 -0.050 0.202 0.468 0.772 1.175 2.054
9 -1.341 -0.878 -0.553 -0.279 -0.025 0.227 0.496 0.806 1.227 2.326
10 -1.282 -0.842 -0.524 -0.253 0 0.253 0.524 0.841 1.282 Jiné
kvantily lze počítat pomocí této tabulky. Na příklad kvartily jsou 25., 50. a 75.
procentil. Odpovídající hodnoty jsou -0.674, 0 a 0.674. Těmito hodnotami násobíme směrodatnou
odchylku a výsledek přičteme k průměru. Pro průměr m = 120 a směrodatnou odchylku 10 budou
kvartily
1. kvartil 120 – 0.674 x 10 = 113.25
2. kvartil 120
3. kvartil 120 + 0.674 x 10 = 126.74
31 / 180
B19 Vyhodnocení testové baterie procentily jednotlivců a jejich grafem
K měření základních nebo speciálních vlastností sportovců (rychlosti, síly, vytrvalosti,
pohyblivosti apod.) se používají vhodně sestavené testové baterie. Ty se skládají z řady testů,
jejichž průměry a směrodatné odchylky lze vypočítat jiným programem (B04). Pak je možné
srovnávat výkony jednotlivce s průměry celé skupiny pomocí procentilů, které ukazují, kolik
procent členů skupiny je horších nežli tento jednotlivec. Průměru skupiny při tom odpovídá
50. procentil. Všechny výpočty a kreslení grafů provede následující program.
Po jeho spuštění vložíme počet disciplin, pak názvy disciplin, jejich průměry
a směrodatné odchylky a (= ano) jestliže s růstem výsledku roste i jeho hodnota (skoky, vrhy),
n (= ne) jestliže je tomu opačně (časy).
Po vložení dat o souboru vkládáme data jednotlivců (pouze členů skupiny!): jméno, data
narození, specializace, pak podle názvu discipliny výsledky jednotlivce. Po vložení všech dat
jednotlivce se na obrazovce objeví data o jednotlivci, jeho výkony a odpovídající procentily,
nakreslí se sloupkové diagramy procentilů se základem na společné ose 50. procentilu
(odpovídajícího průměru).
Zkontrolujeme, zda všechny údaje a grafy jsou v pořádku a vše vytiskneme příkazem
(klávesou) PrtSc (Print Screen). Pak můžeme zpracovat další osobu.
INPUT „pocet disciplin „; n
DIM t$(n), p(n), s(n), x(n): FOR i = 1 TO n
PRINT i;: INPUT „disciplina,prumer,smer.odch,stoupe a „; t$(i), p(i), s(i),
i$(i)
NEXT i
a:
INPUT „jmeno,naroz,sport „; j$, d$, s$
FOR i = 1 TO n: PRINT t$(i): INPUT „x=„; x(i): NEXT i
CLS: SCREEN 10: KEY OFF
PRINT j$; „ „; d$; „ „; s$
LOCATE 3, 14: PRINT „vykon procentil“
LOCATE 3, 44: PRINT „50%“
FOR i = 1 TO n: GOSUB g
IF i$(i) = „a“ THEN pr = 50 + q ELSE pr = 50 - q
LOCATE i + 3, 1: PRINT t$(i);
LOCATE i + 3, 12: PRINT USING „####.###“; x(i); pr
LINE (275 + pr * 1.5, i * 14 + 40)-(350, i * 14 + 30), , B
NEXT i: SLEEP 50
GOTO a
END
g:
x = (x(i) - p(i)) / s(i)
a = x: s = x: b = -x * x / 2: m = 1
h:
a = a * b / m: c = a / (2 * m + 1)
IF ABS(c) > .000001 THEN LET s = s + c: m = m + 1: GOTO h
q = s * 39.89423: RETURN
Příklad: skupina měla průměry a směrodatné odchylky pro
beh 60m 8.1 0.32
skok vys 148 6.4
vrh kouli 11.42 1.21
Pak atlet Novák, naroz. 1975 dostal za běh 7.8 s, skok 153 a vrh koulí
10,96 tyto procentily: 82.575, 78.267, 35.191.
32 / 180
B20 Graf procentního rozdělení
Je-li výkon sportovce určen součtem 3 časů, po sobě následujících (triatlon) nebo 3 čísly
pro různé discipliny, můžeme potřebovat hodnotit nejen celkový součet, ale i procentní rozdělení.
Pak použijeme následující program s grafickým výstupem.
DATA 250,260,300
DATA 180,300,240
DATA 120,240,190
DIM m(3, 3), n(3, 3)
FOR i = 1 TO 3: FOR j = 1 TO 3
READ m(i, j): NEXT j: NEXT i
FOR i = 1 TO 3: n(i, 1) = m(i, 1): FOR j = 2 TO 3
n(i, j) = n(i, j - 1) + m(i, j)
NEXT j: NEXT i
ma = 0
FOR i = 1 TO 3
IF n(i, 3) > ma THEN LET ma = n(i, 3)
NEXT i
s = 300 / ma
SCREEN 10: CLS: KEY OFF
FOR i = 1 TO 3
FOR j = 1 TO 3
LINE (230, i * 40 - 28)-(230 + s * n(i, j), i * 40 - 4), , B
NEXT j: NEXT i
FOR i = 1 TO 3: FOR j = 1 TO 3
p(i, j) = m(i, j) / n(i, 3) * 100
LOCATE i * 3 - 1, j * 8 - 6: PRINT USING „####.#“; p(i, j)
LOCATE i * 3 - 1, 70: PRINT n(i, 3)
NEXT j: NEXT i
END
33 / 180
B21 Pravděpodobnostní papír
Všechny postupy a vzorce statistiky, zejména testy významnosti předpokládají normální
rozdělení souboru, tj. podle Gaussovy zvonovité křivky, dané funkcí
2
x
eky 
 .
Chceme-li ověřit, zda rozdělení výběru odpovídá normálnímu rozdělení, můžeme provést
Kolmogorov-Smirnovův test. Jeho grafická verse se dá provést na tzv. pravděpodobnostním
papíře, který není u nás vždy k dostání. V dalším textu si popíšeme jeho narýsování.
Pravděpodobnostní papír má vodorovnou osu danou rozsahem  6 směrodatných
odchylek a průměrnou hodnotou uprostřed. Svislá osa má uprostřed 50 % a sahá zpravidla od
0,02 % do 99,98 %. Do tohoto obdélníku (nebo čtverce) můžeme zakreslit kumulativní křivku
Gaussovy křivky jako přímku metodou, kterou popisuje Reisenauer. Hlavní problém
pravděpodobnostního papíru je právě v nelinearitě svislé osy. Následujícím programem můžeme
vypočítat souřadnice této nelineární stupnice.
Jak jsme uvedli v úvodu, existují profesionální statistické programy, které nabízejí
širokou škálu funkcí a procedur s velmi dobrou možností grafických výstupů. Srovnání
základních statistických metod několika vybraných sw (Adstat, Unistat, Statgraphics, Microsoft
Excel) předkládají skripta [23].
Literatura:
21. Reisenauer R.: Metody matematické statistiky. Praha, SNTL, 1965, str. 119 (1970, str. 128)
22. Abramowitz M.- Stegun Irene: Handbook of Mathematical Functions, NBS, 1964, vzorec
26.2.23
23. Seberová, H. - Sebera, M. Počítačové zpracování dat II. 1. vyd. Vyškov: VVŠ PV, 1999.
134 s. ISBN 80-7231-052-6.
INPUT „delka stup.=„; l: l = l / 1.18
b:
INPUT „proc=„; p: IF p > 50 THEN r = 1 - p / 100: zn = -1: GOTO c
r = p / 100: zn = 1
c:
t = SQR(LOG(1 / (r * r)))
g = (.010328 * t + .802853) * t + 2.515517
h = ((.001308 * t + .189269) * t + 1.432788) * t + 1
z = t - g / h
y = - z * l / 6
PRINT p; using „######.##“; y * zn
GOTO b
END
Příklad: L = 100 mm
proc. kóta(mm) proc. kóta(mm)
0.02 -50
1 -32.86 60 3.57
10 -18.10 70 7.40
20 -11.88 80 11.88
30 - 7.40 90 18.10
40 - 3.57 99 32.86
50 0 99.98 50.00
34 / 180
C. MATEMATIKA
C01 Aproximace empirických funkcí
Empirická funkce je závislost mezi dvěma proměnnými - jednou nezávislou (x) a druhou
závislou (y), která je popsána jen tabulkou dvojic x, y. Takové dvojice získáme zpravidla
měřením a můžeme je zpracovat několika metodami:
1. interpretovat v původní číselné formě, což je obtížné a subjektivní,
2. zobrazit jako korelační pole zakreslením jednotlivých dvojic nebo jako graf spojením
jednotlivých bodů,
3. závislost mezi daty aproximovat matematickou funkcí vhodného typu:
 lineární závislostí y = a + b · x
 polynomem stupně n y = a + b · x + c · x2
+  + j · xn
 různými funkcemi (mocninnou, exponenciální, logaritmickou, hyperbolickou atd., viz
další kapitoly).
Nejčastěji použijeme metodu nejmenších čtverců, která najde parametry aproximační
funkce y = f(x) nalezením minima výrazu
 

n
1i
2
ii )f(xxV
Řešením této podmínky podle parametrů funkce f(x) dostaneme jejich hodnoty, jak
ukážeme v dalších kapitolách. Součinitel korelace dovoluje vybrat aproximační funkci, která
nejlépe koreluje s vloženými daty.
35 / 180
C02 Lineární regrese neboli aproximace lineární funkcí y = a + b.x
Má-li bodový diagram (korelační pole) závislosti y na x lineární trend, můžeme použít
lineární aproximační funkci
y = a + b · x
Základní podmínkou metody nejmenších čtverců je
  minimumx)b(ay
n
1
2

kde n je počet bodů nebo dvojic x, y. Algebraickými operacemi a parciální derivací podle a, b
dostaneme charakteristické rovnice
b · x2
+ a · x =  x · y
b · x + a · n = y
Tuto soustavu rovnic můžeme řešit pomocí determinantů a následujícím programem, ke
kterému jsou připojeny regresní výpočty.
DATA 50,5.61,60,6.46,70,7.3,80,8.13,90,9,100,9.86
a:
READ x, y: ON ERROR GOTO b Příklad: mezičasy Carla Lewise
sx = sx + x: kx = kx + x * x při světovém rekordu na 100 m
sy = sy + y: ky = ky + y * y za 9,86 sek byly:
xy = xy + x * y: n = n + 1: GOTO a L(m) t(s)
b: 0 0,14
px = sx / n: py = sy / n 10 1,88
s1 = SQR((kx - sx * sx / n) / (n - 1)) 20 2,97
s2 = SQR((ky - sy * sy / n) / (n - 1)) 30 3,88
c = (xy - sx * sy / n) / (n - 1) 40 4,77
r = c / (s1 * s2) 50 5,61
b = c / (s1 * s1) 60 6,46
a = py - b * px 70 7,30
PRINT „px,sx=„; px, s1 80 8,13
PRINT „py,sy=„; py, s2 90 9,00
PRINT „a,b,r=„; a, b, r 100 9,86
e: Z bodů 50 - 100 m dostaneme
INPUT „x=„; x regresní rovnici
y = a + b * x t = 1,36238 + 0,084857.L(m)
PRINT „y=„; y r = 0,999974
INPUT „dalsi x? a/n“; d$ a = 1,36 je časová ztráta
IF d$ = „a“ THEN GOTO e startem a rozbíháním
END
b = 0,084857 je strmost lin. části
dat a převratná hodnota rychlosti
mezi 50 a 100 m v = 11,4845 m/s.
36 / 180
C03 Korelační pole a graf regresní přímky
Naměříme-li nějakou lineární závislost pomocí dvojic dat x, y, můžeme potřebovat
1. zobrazit příslušné korelační pole (bodový graf)
2. proložit body regresní přímku, tj. vypočítat metodou nejmenších čtverců součinitele a, b
regresní přímky
y = a + b · x
3. doplnit výsledky součinitelem korelace, který ukáže těsnost vazby, zatím co regresní součinitel
b ukázal strmost této souvislosti.
DATA 100,110,120,107,140,115,160,125,180,132,200,138
DATA 220,147,240,152,260,154,280,159,300,165,320,167
DATA 340,173,360,175,380,179,400,182
CLS: INPUT „xmin,xmax=„; x1, x2
INPUT „ymin,ymax=„; y1, y2
CLS: SCREEN 10: KEY OFF
LINE (50, 10)-(50, 300): LINE -(640, 300)
FOR x = x1 TO x2 STEP (x2 - x1) / 10
v = 50 + (x - x1) / (x2 - x1) * 500
LINE (v, 300)-(v, 305)
LOCATE 23, v / 8 - 1: PRINT x;: NEXT x
FOR y = y1 TO y2 STEP (y2 - y1) / 10
s = 300 - (y - y1) / (y2 - y1) * 280
LINE (50, s)-(52, s)
LOCATE s / 14 + 1, 2: PRINT y: NEXT y
p:
READ x, y: ON ERROR GOTO q
CIRCLE (50 + (x - x1) / (x2 - x1) * 500, 300 - (y - y1) / (y2 - y1) * 280), 3
sx = sx + x: kx = kx + x * x: sy = sy + y: ky = ky + y * y
xy = xy + x * y: n = n + 1: GOTO p
q:
s1 = kx - sx * sx / n: s2 = ky - sy * sy / n
c = xy - sx * sy / n: b = c / s1: a = (sy - b * sx) / n
y3 = a + b * x1: y4 = a + b * x2
LINE (50, 300 - (y3 - y1) / (y2 - y1) * 280)-(550, 300 - (y4 - y1) / (y2 - y1)
* 280)
LOCATE 20, 30: PRINT „a,b=„; a; b
r = c / SQR(s1 * s2): LOCATE 21, 30: PRINT „r=„; r
END
Příklad: z dat v řádcích DATA dostaneme a= 83,93382 (úsek na ose y)
b= .2592647 (strmost regresní přímky)
r= .9869513
a na obrazovce bude následující graf. Ten vytiskneme klávesou PrtSc.
37 / 180
C04 Aproximace empirické funkce polynomem druhého stupně
Máme-li empirická data o vztahu y = f(x), který je kvadratický, (např. odpor vody nebo
vzduchu v závislosti na rychlosti), můžeme použít k aproximaci kvadratický polynom
y = a + b · x + c · x2
Součinitele a, b, c lze určit metodou nejmenších čtverců, která vychází z podmínky minimalizace
výrazu
  minimum)xcxb(ay
n
1
22

n  počet párů dat (x, y)
Algebraickými operacemi a parciální derivací výrazu podle a, b, c dostaneme
charakteristické rovnice
c · x4
+ b · x3
+ a ·x2
= xy2
c · x3
+ b · x2
+ a ·x = xy
c ·x2
+ b · x + a · n = x
Tyto rovnice vyřešíme pomocí uvedených sumací metodou determinantů následujícím
programem, který vypočítá i potřebné sumace.
DATA 1,68,2,59.6,3,56.9
s:
READ x, y: ON ERROR GOTO t
d = d + x: k = x * x
e = e + k: f = f + k * x
g = g + k * k: h = h + y
i = i + x * y: j = j + k * y
n = n + 1: GOTO s
t:
l = e - d * d / n
m = i - d * h / n
c = f - d * e / n
p = j - e * h / n
q = g - e * e / n
r = l * q - o * o
a = (p * l - m * o) / r
b = (m * q - p * o) / r
c = (h - b * d - a * e) / n
PRINT „a,b,c=„; a; „ „; b; „ „; c
u:
INPUT „x=„; x
y = (a * x + b) * x + c
PRINT „y=„; y
INPUT „dalsi y ? a/n“; z$
IF z$ = „a“ THEN GOTO u
END
Příklad: z dat v řádku DATA dostaneme a= 2,850031
b= -16,95013
c= 82,10011
a můžeme počítat regresně.
38 / 180
C05 Aproximace empirické funkce polynomem zvoleného stupně
Má-li empirická funkce složitější průběh, nelze ji uspokojivě aproximovat jednoduchými
dvouparametrovými funkcemi ani polynomem druhého stupně. Použijeme-li aproximaci
polynomem vyššího stupně, vznikne problém s volbou tohoto stupně. Příliš vysoký stupeň
polynomu vede k oscilacím regresních hodnot mezi vloženými body empirické funkce. Proto je
nutné vyzkoušet několik stupňů a vybrat regresními výpočty nejlepší.
Při metodě nejmenších čtverců najdeme součinitele polynomu řešením charakteristických
rovnic, obsahujících sumace až do x2n
a ·x2n
+ b ·x2n-1
+ c ·x2n-2
 = xn
· y
a ·x2n-1
+ b ·x2n-2
+ c ·x2n-3
 = xn-1
· y
…
a ·xn
+ b ·xn-1
+ c ·xn-2
 + j · n = y
Následující program provede všechny potřebné sumace, vyřeší charakteristické rovnice
podle a, b, c,  maticovou metodou a nakonec umožní regresní výpočty podle výsledného
polynomu.
DATA 40,4.79,60,6.48,80,8.18,100,9.92
INPUT „pocet dvojic,stupen polynomu=„; m, n
DIM a(n + 1, n + 2), m(2 * n), p(n)
FOR i = 0 TO n: FOR j = 1 TO m
READ x, y: IF x = 0 THEN x = .000001
m(i) = m(i) + x ^ i: p(i) = p(i) + y * x ^ i: NEXT j
RESTORE: NEXT i: RESTORE
FOR i = n + 1 TO 2 * n: FOR j = 1 TO m
READ x, y: m(i) = m(i) + x ^ i: NEXT j: RESTORE: NEXT i
FOR r = 1 TO n + 1: FOR s = 1 TO n + 1
a(r, s) = m(r + s - 2): NEXT s: NEXT r
FOR r = 1 TO n + 1: a(r, n + 2) = p(r - 1): NEXT r
FOR s = 1 TO n + 1: FOR r = 1 TO n + 1
IF r = s OR a(r, s) = 0 THEN GOTO a
p = a(s, s) / a(r, s)
FOR t = 1 TO n + 2: a(r, t) = p * a(r, t) - a(s, t): NEXT t
a:
NEXT r: NEXT s
FOR r = 1 TO n + 1: a(r, n + 2) = a(r, n + 2) / a(r, r): NEXT r
FOR r = 0 TO n
PRINT „a“; r; „=„; a(r + 1, n + 2): NEXT r
b:
INPUT „x=„; x: p = a(n + 1, n + 2)
FOR i = n TO 1 STEP -1
p = p * x + a(i, n + 2): NEXT i
PRINT „p=„; p
INPUT „dalsi x? a/n“; c$
IF c$ = „a“ THEN GOTO b
END
Příklad: data v programu jsou mezičasy C.Lewise na 100m na OH 1988. Zvolíme-li
stupeň polynomu a = 3, dostaneme
a0 = 1,3199971
a1 = 0,089750244
a2 = 1,0000377E-4
39 / 180
a3 = 6,2501783E-7
Tato aproximace vyhovuje, protože vrací vložená data a neosciluje mezi
nimi. Pro n = 4 je výsledná aproximace nevyhovující. a0 je časová ztráta
startem a rozběhem, a1 je převratná hodnota rychlosti v=11,142 m/s, další
součinitele polynomu jsou korekční na nerovnoměrnost rychlosti.
40 / 180
C06 Aproximace empirické závislosti 16 funkcemi
Je-li dána empirická závislost dvou veličin řadou dvojic souřadnic x, y nebo křivkou
y = f(x), na které lze tyto souřadnice stanovit, může být výhodné nahradit tyto formy dat
aproximační funkcí typu
y = f(x, a, b)
např. funkcí y = a + b · x, nebo některou funkcí, kterou lze vhodnou transformací (linearizací) na
tuto funkci převést:
y= a + b · x2
, y = a + b / x, y = a · xb
apod.
Následující program zpracuje data ve formě dvojic x, y výpočtem a, b pro 16 funkcí
a k tomu součinitelů nelineární korelace, pomocí nichž můžeme vybrat funkci, nejlépe
aproximující vstupní data. Přirozeně nemůže dvouparametrová funkce dobře aproximovat složité
průběhy, v takovém případě musíme použít aproximaci polynomem, splinem nebo jinou
metodou.
Literatura:
24. Kočí V.: Několik programů pro kalkulátor Sharp PC-1211. Elektrotechnický Obzor 75, 1985,
č. 5-6, s. 301-310
25. Djakonov V. P.: Spravočnik po algebram i programmam na jazyke Bejsik dlja personalnych
EVM. 1987, Moskva, Nauka, s. 229
DATA 1,1,2,8,3,27,4,64
CLS: DIM m(88): n = 0
za:
z = -4
READ x, y: ON ERROR GOTO v
e = x: f = y: GOTO b
a:
z = z + 5
m(z) = m(z) + x: m(z + 1) = m(z + 1) + y: m(z + 2) = m(z + 2) + x * y
m(z + 3) = m(z + 3) + x * x: m(z + 4) = m(z + 4) + y * y: RETURN
b:
GOSUB a
x = 1 / e: GOSUB a
x = e * e: GOSUB a
x = e: y = 1 / f: GOSUB a
GOSUB a
x = 1 / e: GOSUB a
x = e: y = e / f: GOSUB a
x = e * e: GOSUB a
x = LOG(e): y = LOG(f): GOSUB a
x = e: GOSUB a
GOSUB a
x = 1 / e: GOSUB a
x = e * e: GOSUB a
x = e: y = LOG(f / e): GOSUB a
x = EXP(-e): y = 1 / f: GOSUB a
x = LOG(e): y = f: GOSUB a
n = n + 1: GOTO za
v:
px = m(1) / n: py = m(2) / n
sx = SQR((m(4) - m(1) * m(1) / n) / (n - 1))
41 / 180
sy = SQR((m(5) - m(2) * m(2) / n) / (n - 1))
PRINT „px,py=„; TAB(12); px; TAB(28); py
PRINT „sx,sy=„; TAB(12); sx; TAB(28); sy
PRINT
z = -4: w = 0
c:
z = z + 5: w = w + 1: IF w > 16 THEN PRINT „KONEC“: END
j = m(z + 3) - m(z) * m(z) / n
k = m(z + 4) - m(z + 1) * m(z + 1) / n
c = m(z + 2) - m(z) * m(z + 1) / n
a = (m(z + 1) - c / j * m(z)) / n
b = c / j: r = c / SQR(j * k)
ON w GOTO 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
1 PRINT „y=a+bx“;: GOTO vy
2 PRINT „y=a+b/x“;: GOTO vy
3 PRINT „y=a+bx^2“;: GOTO vy
4 PRINT „y=1/(a+bx)“;: GOTO vy
5 d = a: a = 1 / b: b = a * d: PRINT „y=a/(b+x)“;: GOTO vy
6 a = 1 / a: b = a * b: PRINT „y=ax/(b+x)“;: GOTO vy
7 PRINT „y=x/(a+bx)“;: GOTO vy
8 PRINT „y=x/(a+bx^2)“;: GOTO vy
9 a = EXP(a): PRINT „y=a*x^b“;: GOTO vy
10 a = EXP(a): b = EXP(b): PRINT „y=a.b^x“;: GOTO vy
11 a = EXP(a): PRINT „y=a.exp(bx)“;: GOTO vy
12 a = EXP(a): PRINT „y=a.exp(b/x)“;: GOTO vy
13 a = EXP(a): PRINT „y=a.exp(bx^2“;: GOTO vy
14 a = EXP(a): PRINT „y=ax.exp(bx)“;: GOTO vy
15 PRINT „y=1/(a+b.exp(-x))“;: GOTO vy
16 PRINT „y=a+b.ln(x)“;
vy:
PRINT TAB(20); „a,b,r=„; TAB(30); a; TAB(45); b; TAB(60); r
GOTO c
END
Příklad: z dat na řádku DATA dostaneme:
px,py = 2,5 25
sx,sy = 1,290994 28,22528
y=a+bx a,b,r= -27 20.8 .9513699
y=a+b/x a,b,r= 58.97438 -65.2308 -.776354
y=a1bx^2 a,b,r= -6.976744 4.263566 .9905329
y=1/(a+bx) a,b,r= 1.054687 -.3041088 -.8304403
y=a/(b+x) a,b,r= -3.288297 -3.468126 -.8304403
y=ax/(b+x) a,b,r= -2.372121 -3.260907 .9767918
y=x/(a+bx) a,b,r= 1.09375 -.2951389 -.8725318
y=x/(a+bx^2) a,b,r= .7441053 -5.17603e-02 -.7772519
y=a.x^b a,b,r= 1 3 1
y=a.b^x a,b,r= .3535533 3.932615 .9801841
y=a.exp(bx) a,b,r= .3535533 1.369305 .9801841
y=a.exp(b/x) a,b,r= 169.6574 -5.280461 -.9835591
y=a.exp(bx^2) a,b,r= 1.590411 .2559397 .9305829
y=ax.exp(bx) a,b,r= .5000002 .9128695 .9801837
y=1/(a+b.exp(-x)) a,b,r= -.1228715 2.921578 .9762235
y=a+b.ln(x) a,b,r= -7.594613 41.02462 .8737795
KONEC
42 / 180
C07 Lineární aproximace funkce dvou nezávislých proměnných f(x, y)
Je-li závislost z = f(x, y) popsána alespoň čtyřmi trojicemi x, y, z, můžeme těmito body
v prostoru proložit rovinu, jejíž rovnice je z = a0 + a1 · x + a2 · y. Použijeme-li metodu nejmenších
čtverců, musí být splněna podmínka
  minimumy)axa(az
n
1
2
210 
Umocněním, úpravami a parciální derivací podle a0, a1, a2 dostaneme charakteristické rovnice
a2 ·y2
+ a1 ·xy + a0 ·y = yz
a2 ·xy + a1 ·y + a0 · x = xz
a2 ·y + a1 ·x + a0 · n = z
Tyto rovnice řešíme podle a0, a1, a2 pomocí determinantů, což provede následující program, který
připraví potřebné sumace a dovoluje i regresní výpočty.
Literatura:
26. c/s: Slaboproudý Obzor 42, 1981, č. 1, str. 41-42.
27. Storm Regina: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Statistiche
Qualitatskontrolle. VEB Fachbchverlag Leipzig, 1976, 6.vyd., str. 236-237
DATA 1,3,24,2,8,62,4,6,54,5,12,99
s:
READ x, y, z: ON ERROR GOTO v
sx = sx + x: kx = kx + x * x
sy = sy + y: ky = ky + y * y
sz = sz + z: kz = kz + z * z
xy = xy + x * y: xz = xz + x * z: yz = yz + y * z
n = n + 1: GOTO s
v:
px = sx / n: py = sy / n: pz = sz / n
LPRINT „px,py,pz=„; px, py, pz
s1 = SQR((kx - sx * sx / n) / (n - 1))
s2 = SQR((ky - sy * sy / n) / (n - 1))
s3 = SQR((kz - sz * sz / n) / (n - 1))
LPRINT „sx,sy,sz=„; s1, s2, s3
a = n * kx - sx * sx: d = n * xy - sx * sy
b = n * ky - sy * sy: e = n * xz - sx * sz
c = n * kz - sz * sz: f = n * yz - sy * sz
a2 = (a * f - d * e) / (a * b - d * d)
a1 = (e - a2 * d) / a
a0 = (sz - a1 * sx - a2 * sy) / n
LPRINT „a0,a1,a2=„; a0, a1, a2
r1 = SQR(d * d / (a * b)): r2 = SQR(e * e / (a * c))
r3 = SQR(f * f / (b * c))
LPRINT „rxy,rxz,ryz=„; r1, r2, r3
r:
INPUT „x,y=„; x, y: LPRINT „x,y=„; x, y
z = a0 + a1 * x + a2 * y
LPRINT „z=„; z
GOTO r
LPRINT
END
43 / 180
Příklad: z dat v řádku DATA dostaneme:
px,py,pz = 3 7.25 59.75
sx,sy,sz = 1.825742 3.774917 30.85855
a0,a1,a2 = 0 3 7
rxy,rxz,xyz = .7738413 .8401411 .9936606
x,y=
44 / 180
C08 Aproximace vývojové křivky sportovního výkonu
Vývoj biologických objektů nejlépe popisuje Robertsonův zákon růstu, který je popsán
vzorcem xb
max
ea1
y
y 


Křivka, zobrazující tento zákon, má tvar podle obr. 1
Ve sportu musíme rozlišovat vývoj, v němž výsledky
rostou (atletické skoky, hody a vrhy, vzpírání, u lokomočních sportů hodinovky a časově
omezené výkony),
klesají jako časy ve všech lokomočních sportech (běhy, chůze, cyklistika, rychlobruslení, plavání,
veslování a vodácké sporty)
U první skupiny můžeme tabulku věk-výkon aproximovat uvedenou funkcí, kdy a, b
vypočítáme prvním programem, u druhé skupiny musíme tabulku věk-čas přepočítat na věkrychlost,
provést aproximaci druhým programem, který vypočítá a, b pro závislost
 věěb
max ea1tt 

Oba programy pak dovolují regresní výpočty pro zvolený věk.
Literatura:
28. Technický průvodce Matematika, Praha, ČMT, 1944, str. 318
29. Návod k počítači SHARP PC-1500, str. 47
Program 1:
Data v1,L1,v2,L2,. . . vn,Ln
input „Lmax=„;k
a:
read v,L: on error goto b
y=log(k/L-1)
e=e+v
f=f+v*v
g=g+y
h=h+y*y: n=n+1
goto a
b:
b=n*f-e*e
a=(f*g-e*h)/b
45 / 180
b=(n*h-e*g)/b
a=exp(a): b=-b
print „a,b=„;a,b
c:
input „vek“;x
y=k/(1+a*exp(-b*x))
print „výkon=„;y
goto c: end
Příklad: S.Bubka se vyvíjel ke světovému rekordu ve skoku o tyči podle této
tabulky: věk výkon Zvolíme-li Hmax = 616 cm, dostaneme
12 270 programem aproximační funkci
14 360
16 480 H = 616 / (1 + 69.7286*exp(-0.3374459617))
18 540
20 572 a regresními výpočty tabulku:
22 600 věk výkon
24 603 12 278
26 600 14 380
28 612 16 460
30 615 18 530
20 569
22 591
24 603
26 609
28 612
30 614
Samozřejmě nemůže tato aproximace brát v úvahu nepravidelnosti vývoje,
způsobené onemocněním či zraněním, olympijskými hrami nebo mistrovstvím světa
apod.
Program 2: Příklad: britský sprinter L.Christie se
Data v1,t1,v2,t2,. . . .vn,tn vyvíjel podle této tabulky:
input „trať,nejl.čas=„;L,k věk čas(100m) rychlost(m/s)
w=L/k 17 10,9 9.174
a: 20 10.73 9.319
read v,t: on error goto b 22 10.5 9.524
y=log(w*t/L-1) 24 10.44 9.5765
e=e+v 26 10.04 9.96
f=f+v*v 28 9.97 10.03
g=g+y 30 10.02 9.98
h=h+y*y: n=n+1 33 9.87 10.13
goto a
b: Z těchto dat dá program pro tmax=9.85
b=n*f-e*e t= 9.85.(1+9.221385.exp(-0.232872))
a=(f*g-e*h)/b a tabulku regresních časů:
b=(n*h-e*g)/b věk čas
a=exp(a): b=-b 17 11.58
print „a,b=„;a,b 20 10.71
c: 22 10.39
input „věk=„;x 24 10.19
t=k*(1+a*exp(-b*x)) 26 10.06
print „čas=„;t 28 9.98
goto c 30 9.93
end 33 9.89
Regresní výpočty neuvažují nepravidelnost vývoje a dávají hladkou křivku.
46 / 180
C09 Graf funkce
Známe-li rovnici nějaké křivky y = f(x), můžeme potřebovat pro názornost nakreslit
průběh této funkce v určitém intervalu hodnot nezávislé proměnné x. Následující program
provede tuto úlohu, vložíme-li za label g rovnici funkce, po spuštění pak vložíme rozsah x,
program stanoví rozsah y, který můžeme změnit a nakonec se objeví průběh funkce s popisem
rozsahů.
INPUT „xmin,xmax=„; x1, x2
y1 = 1000000!: y2 = -1000000!
FOR x = x1 TO x2 STEP (x2 - x1) / 100
GOSUB g: IF y < y1 THEN y1 = y
IF y > y2 THEN y2 = y
NEXT x
PRINT „ymin,ymax=„; y1, y2
INPUT „zmena ymin,ymax ? a/n“; a$: IF a$ <> „a“ THEN GOTO b
INPUT „ymin,ymax=„; y1, y2
b:
SCREEN 10: CLS: KEY OFF
PRINT „xmin,xmax=„; x1, x2
PRINT „ymin,ymax=„; y1, y2
x = x1 / (x1 - x2) * 640
IF x1 * x2 <= 0 THEN LINE (x, 50)-(x, 320)
y = 320 - y1 / (y1 - y2) * 260
IF y1 * y2 <= 0 THEN LINE (o, y)-(640, y)
x = x1: GOSUB g: PSET (x, 320 - (y - y1) / (y2 - y1) * 260)
FOR x = x1 TO x2 STEP (x2 - x1) / 100
GOSUB g
LINE -((x - x1) / (x2 - x1) * 640, 320 - (y - y1) / (y2 - y1) * 260), 12
NEXT x
END
g:
y = SQR(x) / (.0042095 * x + .562045)
RETURN
Příklad:
funkci y= sqr(x)/(.042095*x + 0.562045), připsanou za label g zobrazí program
grafem, který následuje.
562045,0042095,0 

x
x
y
47 / 180
C10 Graf funkce a její derivace
Máme-li dánu funkci analytickým výrazem y = f(x) a má-li derivace této funkce význam derivace
dráhy dle času je rychlost, derivace rychlosti podle času je zrychlení - může být
zajímavý graf funkce a její derivace. Takový graf můžeme získat následujícím programem, který
musíme doplnit za labelem g podprogramem, definujícím funkci ve formě y = f(x).
Program vyžádá rozsah nezávislé proměnné x, zjistí rozsah závislé proměnné y a zeptá se,
zda tento rozsah chceme změnit. Souhlas se změnou vyjádříme písmenem a, vložíme jiné meze y
a program zobrazí průběh funkce a její derivace, která se počítá numericky vztahem
dx
f(x)dx)f(x
y


bod za bodem. Funkce a její derivace jsou odlišeny barevně, funkce je nakreslena červenou
čarou, derivace modrou.
INPUT „xmin,xmax=„; x1, x2
y1 = 1000000!: y2 = -1000000!
FOR x = x1 TO x2 STEP (x2 - x1) / 100
GOSUB g: IF y < y1 THEN y1 = y
IF y > y2 THEN y2 = y
NEXT x
PRINT „ymin,ymax=„; y1, y2
INPUT „zmena ymin,ymax? a/n“; a$
IF a$ <> „a“ THEN GOTO a
INPUT „ymin,ymax=„; y1, y2
a:
SCREEN 9: CLS: KEY OFF
PRINT „xmin,xmax=„; x1, x2
PRINT „ymin,ymax=„; y1, y2
PRINT „funkce cervena,derivace modra“
x = x1 / (x1 - x2) * 640
IF x1 * x2 <= 0 THEN LINE (x, 50)-(x, 320)
y = 320 - y1 / (y1 - y2) * 260
IF y1 * y2 <= 0 THEN LINE (0, y)-(640, y)
x = x1: GOSUB g: PSET (x, 320 - (y - y1) / (y2 - y1) * 260), 4
d = (x2 - x1) / 300: x0 = x: y0 = y
FOR x = x1 + d TO x2 STEP d: GOSUB g
CIRCLE ((x - x1) / (x2 - x1) * 640, 320 - (y - y1) / (y2 - y1) * 260), 2, 12
de = (y - y0) / d
CIRCLE ((x - x1) / (x2 - x1) * 640, 320 - (de - y1) / (y2 - y1) * 260), 2, 9
y0 = y: NEXT x
END
g:
y = EXP(-x * x)
RETURN
Příklad: zapíšeme-li za label g funkci y = exp(-x*x), dostaneme pro rozsah
x od -3 do 3 následující graf.
48 / 180
Graf funkcí:
22
2y;y xx
exe 

49 / 180
C11 Funkce hustoty a Abbottova křivka empirické funkce
Má-li empirická funkce y = f(x) omezený rozsah funkčních hodnot, takže ymin < y < ymax,
je možné sestrojit funkci hustoty hodnot y a Abbottovu křivku této funkce následujícím
způsobem:
1. rozdělíme interval y na n částí o šířce d = (ymax - ymin) / n
2. osu nezávislé proměnné x nebo t rozdělíme na dostatečně malé intervaly dx (dt)
3. spočítáme, v kolíka intervalech dx nebo dt je hodnota y v určitém intervalu y. Četnosti v těchto
intervalech tvoří funkci hustoty. Pozn.: tzv. úrovňové čítače mohou stanovit tyto četnosti
během měření.
4. postupným sčítáním četností od nejvyšší úrovně dolů dostaneme souřadnice Abbottovy křivky.
Všechny tyto operace a grafické zobrazení výsledků provede následující program.
Literatura:
30. Abbott F. J. - Firestone F. A.: Specifying surface quality. Mechanical Engineering 55, 1933,
str. 569-572
31. Technisches Messen 1980, č. 10, str. 361-368
DATA 5,5,6,8,10,14,18,23,28,32,35,37,39,40,40,38,37,37,38,39,41
DATA 44,48,51,54,55,55,51,46,38,31,28,26,25,24,20,13,10
ma = 0: mi = 100000!: CLS
a:
READ y: ON ERROR GOTO v
IF y > ma THEN LET ma = y
IF y < mi THEN LET mi = y
n = n + 1: GOTO a
v:
INPUT „počet úrovní „; m
RESTORE: DIM u(m), s(m): d = (ma - mi) / m
FOR i = 1 TO n
READ y: a = (y - mi) / d
u(a) = u(a) + 1: NEXT i
FOR i = m - 1 TO 0 STEP -1
s = s + u(i): s(i) = s
LPRINT i, u(i), s(i): NEXT i
SCREEN 10: CLS: KEY OFF
LINE (20, 20)-(20, 300)
LINE (350, 20)-(350, 300)
LINE (500, 20)-(500, 300)
LINE (20, 300)-(640, 300)
RESTORE
dx = 330 / n: du = 15: su = 2.5
my = 200 / (ma - mi): mh = my * ma / (m + 1)
FOR i = 0 TO n - 1
READ y: CIRCLE (20 + i * dx, 300 - (y - mi) * my), 2
NEXT i:
FOR i = 1 TO m
CIRCLE (350 + u(i) * du, 300 - i * mh), 2, 9
CIRCLE (500 + s(i) * su, 300 - i * mh), 2, 12
NEXT i
END
50 / 180
Příklad: z dat v prvních dvou řádcích programu dostaneme:
úroveň čet součet
9 3 3
8 2 5
7 8 13
6 4 17
5 4 21
4 4 25
3 2 27
2 2 29
1 3 32
0 3 35
a následující graf.
51 / 180
C12 Harmonická analýza empirické křivky
V cyklických sportech existuje řada veličin (síla, rychlost, rychlení atd.), jejichž časový
průběh je téměř periodický a lze jej změřit. Získaná křivka je téměř periodická, protože se
opakuje s periodou T a její tvar se opakuje s pravidelností, úměrnou výkonnosti sportovce. Proto
je cennou informací o sportovní technice, a výsledky analýzy takové křivky dovolují srovnávat
techniku sportovců exaktním způsobem.
Analýzou periodických křivek se zabýval francouzský matematik Fourier (1786-1830),
který zjistil, že libovolný periodický průběh lze popsat trigonometrickou řadou
y = a0 + a1 · sin(t + f1) + a2 · sin(t + f2) +  + an · sin(nt + fn)
kde
a0 stálá složka y (aritmetický průměr všech hodnot y)
 = 2/T základní úhlová rychlost
T trvání jedné periody
a1  an amplitudy jednotlivých harmonických složek
f1  fn fázové úhly jednotlivých harmonických složek
Tzv. Fourierova analýza je vlastně výpočet amplitud a fázových úhlů ze souřadnic y,
získaných vzorkováním křivky v dostatečně malých pravidelných odstupech. Tento výpočet
provedeme následujícím programem, který fázové úhly normuje tak, aby f1 = 0.
Nakonec program nakreslí vektorový diagram harmonických složek který dovoluje
snadnější srovnávání jednotlivých sportovců. Diagram můžeme vytisknout klávesou PrtSc.
DATA.25,1.4,2,3,3.3,3,2.4,2.1,2.2,2.8,3.4,4.05,3.8,3.3
DATA 2.7,2.6,2.65,2.85,3,2.6,2,1.5,1.2,1.15
INPUT „jméno,datum,disciplina „; n$, d$, c$: LPRINT n$, d$, c$: LPRINT
DIM y(50), c(25), f(25): s = 0: n = 1: pi = 3.14159265#
a:
READ y(n): ON ERROR GOTO b
s = s + y(n): n = n + 1: GOTO a
b:
n = n - 1: c0 = s / n
LPRINT „c0=„; c0: LPRINT
d = 2 * pi / n: h = 0
c:
a = 0: b = 0: e = 0: h = h + 1
FOR i = 1 TO n
a = a + y(i) * COS(h * e)
b = b + y(i) * SIN(h * e)
e = e + d: NEXT i
v = SQR(a * a + b * b)
IF b = 0 THEN LET u = pi / 2 * SGN(a): GOTO d
u = ATN(a / b) - pi * (b < 0)
d:
c(h) = 2 * v / n: f(h) = u
LPRINT „c,f“; h; „=„; c(h), f(h) * 180 / pi
IF h < n / 2 - 1 THEN GOTO c
LPRINT: LPRINT „redukce fází na f(1)=0“
FOR h = 2 TO n / 2
f(h) = f(h) - h * f(1)
e:
IF f(h) < 0 THEN f(h) = f(h) + 2 * pi: GOTO e
52 / 180
f(h) = f(h) - 2 * pi * INT(f(h) / (2 * pi))
LPRINT „f(„; h; „)=„; f(h) * 180 / pi
NEXT h: f(1) = 0: LPRINT
LPRINT „modrá = 1“
LPRINT „zelená = 2“
LPRINT „tyrkys = 3“
LPRINT „červená = 4“
LPRINT „fialová = 5“
LPRINT „hnědá = 6“
LPRINT „bílá = 7“
LPRINT „šedá = 8“
SCREEN 9: CLS
FOR h = 1 TO n / 2
LINE (100, 160)-(100 + c(h) * 400 * COS(f(h)), 160 - c(h) * 400 * SIN(f(h))),
h
NEXT h
END
Příklad: z dat v prvním řádku programu dostaneme:
c0= 2.510417
c,f 1 = .8451707 -78.57519
c,f 2 = .2911244 -22.51807
c,f 3 = .627077 -55.60263
c,f 4 = .257225 159.8265
c,f 5 = 7.802891E-02 167.1409
c,f 6 = 6.833781E-02 142.4315
c,f 7 = 2.559826E-02 32.39182
c,f 8 = 3.333294E-02 90.00003
c,f 9 = 0.0187169 75.38255
c,f 10= 1.777586E-02 -83.84866
c,f 11= 2.980548E-02 48.56192
redukce fází pro f(1)=0
f(2) = 134.6323
f(3) = 180.1229
f(4) = 114.1272
f(5) = 200.0169
f(6) = 253.8827
f(7) = 222.4181
f(8) = 358.6016
f(9) = 62.55928
f(10)= 341.9032
f(11)= 192.889
53 / 180
C13 Rychlá Fourierova tranformace (FFT)
V předchozí kapitole jsme popsali harmonickou analýzu křivky, dané libovolným počtem
vzorků pro jednu periodu. Pro velký počet vzorků by trvala harmonická analýza dlouho, a proto
byla objevena tzv. rychlá Fourierova transformace (FFT – Fast Fourier Transform). Na rozdíl od
předchozí analýzy vyžaduje, aby počet vzorků byl 2n
, kde n je celé číslo, tedy 22
= 4, 23
= 8,
24
= 16, 25
= 32, 26
= 64 atd. Splňuje-li počet vzorků tuto podmínku, je možno použít rychlou
Fourierovu transformaci k výpočtu harmonických složek původní periodické funkce. Existují dvě
možnosti:
A. vědecké kalkulátory Hewlett Packard HP-48, HP-49 mají FFT vestavěnu (MTH –
NEXT). Data vepíšeme do tabulkového procesoru MATRIX a stiskneme FFT. Dostaneme
výsledky v komplexních číslech, které snadno převedeme do POLAR, případně změníme radiány
na stupně (RAD).
B. tabulkový procesor Microsoft EXCEL obsahuje FFT v oddíle NÁSTROJE. Použití je
následující:
1. spustíme EXCEL myší na ikoně EXCEL
2. do sloupce tabulky vepíšeme analyzované vzorky y1, y2, …, ya, na příklad pro 16 vzorků
použijeme B2:B17.
3. myší volíme NÁSTROJE - ANALÝZA DAT – HARMONICKÁ ANALÝZA, ENTER
4. vepíšeme vstupní oblast B2:B17, výstupní oblast C2:C17 OK
5. FFT je hotova, výsledky jsou v komplexních číslech x + iy.
6. převod do polárního tvaru: myší označíme D2:D17
7. do D2 vepíšeme fx: Inženýrská analýza: =ImAbs(C2) ENTER
8. myší volíme ÚPRAVY – VYPLNIT – DOLU, ENTER převede zbytek sloupce
9. myší označíme E2:E17
10. do E2 vepíšeme fx: =ImArgument(D2), ENTER
11. myší volíme ÚPRAVY – VYPLNIT – DOLU, ENTER převede zbytek sloupce
12. myší označíme F2:F17
13. do F2 vepíšeme =E2/16, ENTER přepočítá na skutečnou hodnotu amplitudy, které byly 2n
–
krát větší
14. myší volíme ÚPRAVY – VYPLNIT – DOLU, ENTER přepočítá zbytek sloupce
15. myší označíme G2:G17
16. do G2 vepíšeme fx: Matematické funkce: =DEGREES(F2), ENTER
17. myší volíme ÚPRAVY – VYPLNIT – DOLU, ENTER přepočítá zbytek sloupce z radiánů na
stupně
18. tabulku doplníme hlavičkami v řádce 1:
nad sloupec B vepíšeme y
nad sloupec C vepíšeme FFT
nad sloupec D vepíšeme ABS
nad sloupec E vepíšeme ARG(RAD)
nad sloupec F vepíšeme ABS/16
nad sloupec G vepíšeme ARG(DEG)
19. myší volíme písmo, velikost písma, potvrdíme OK
20. myší volíme ikonu tiskárny, tabulka se vytiskne.
54 / 180
C14 Použití matic ve sportu
Způsob, kterým se zpracují prvky matic při jejich násobení dovoluje použít součin dvou
matic k rychlému výpočtu bodů z tabulky vítězství, remíz a porážek na příklad v kopané a hokeji.
První matici tvoří tabulka vítězství, remíz a porážek, která má proto rozměr n × 3 pro n mužstev.
Druhou matici tvoří jednosloupcový vektor 3 × 1, v němž jsou body za vítězství, remízu
a porážku: 2, 1, 0.
Příklad: výsledek soutěže je zapsán tabulkou:
vítězství remízy porážky
2
1
0
body
17 3 5 37
11 11 3 33
13 5 7 31
12 6 7 30
13 4 8 30
9 10 6 28
11 6 8 28
9 5 11 23
6 5 11 21
8 5 12 21
9 3 13 21
6 8 11 20
3 8 14 14
3 7 15 13
Po výpočtu bodů je nutno použít další pravidla pro stanovení pořadí družstev se stejným počtem
bodů.
Pozn.: počet sloupců první matice se musí rovnat počtu řádků druhé matice.
Literatura:
32. Jelínek M.: Matice. SPN, Praha, 1976, str. 39-40
DATA 17,3,5
DATA 11,11,3
DATA 13,5,7
DATA 12,6,7
DATA 13,4,8
DATA 9,10,6
DATA 11,6,8
DATA 9,5,11
DATA 6,5,11
DATA 8,5,12
DATA 9,3,13
DATA 6,8,11
DATA 3,8,14
DATA 3,7,15
DATA 2,1,0
INPUT „r1,s1=r2,s2 „; m, n, l
55 / 180
DIM a(m, n), b(n, l), c(m, l)
FOR i = 1 TO m: FOR j = 1 TO n
READ a(i, j): NEXT j: NEXT i
FOR i = 1 TO n: FOR j = 1 TO l
READ b(i, j): NEXT j: NEXT i
FOR k = 1 TO m: FOR j = 1 TO l: s = 0
FOR i = 1 TO n: s = s + a(k, i) * b(i, j): NEXT i
c(k, j) = s: NEXT j: NEXT k
FOR k = 1 TO m: FOR j = 1 TO l
PRINT c(k, j);: NEXT j: PRINT: NEXT k
END
Vidíme, že za matici vítězství, remíz a porážek je připsán vektor bodů 2,1,0.
Po spuštění programu vložíme r1,s1=r2,s2 14,3,1 a ENTER dá výsledek.
56 / 180
C15 Numerické řešení diferenciální rovnice
Biomechanická analýza sportovního pohybu může vést ke vzniku matematického modelu
a ten může dát tzv. pohybovou rovnici.
Pokud taková rovnice obsahuje dráhu, rychlost, zrychlení nebo síly či jiné mechanické
veličiny, jde o diferenciální rovnici, protože jmenované veličiny jsou k sobě ve vztahu proměnné
a některých jejích derivací. Řešením takové rovnice není kořen, ale funkce, která dosazena do
této rovnice spolu s příslušnými derivacemi tuto rovnici splňuje.
Řešení diferenciálních rovnic může být někdy snadné, jindy obtížné nebo dokonce
nemožné, snažíme-li se rovnici řešit analyticky, obecně, ve tvaru funkce. Existuje ale ještě další
metoda řešení, které nazýváme číselné (numerické), protože dává číselné tabulky hodnot
proměnných nezávislých i závislých. Existuje řada metod numerického řešení diferenciálních
rovnic, z nichž asi nejznámější a nejpropracovanější jsou metody dvou německých matematiků
Rungeho (1895) a Kutty (1901). Ti navrhli různě komplikované a přesné metody pro různé typy
rovnic. Jejich výhodou je, že mohou vyřešit i rovnice, analyticky neřešitelné.
Ukážeme si na příkladu splývání plavce po obrátce vznik, řešení a výsledky diferenciální
rovnice analytické, pak uvedeme program pro numerickou integraci diferenciální rovnice II. řádu
(s druhou derivací) metodou Runge - Kutta 4. řádu (se 4 korekcemi). Srovnáním obou řešení
uvidíme, že numerické řešení dosahuje velmi vysoké přesnosti.
Příklad: plavec po obrátce se odrazí a vzdaluje se od stěny počáteční rychlostí v0. Ještě než začne
aktivně plavat, překonává odpor Fo = k.v2
, a zpomaluje se se zpomalením a. Proto vzniká
setrvačná síla Fs = m.a. Podle principu akce a reakce musí být tyto vodorovné síly v rovnováze,
takže platí pohybová rovnice sil
Fo + Fs = 0 (1)
Dosazením
k · v2
+ m · a = 0 (2)
Odvodíme-li rychlost v a zpomalení a od dráhy y jako derivace podle času, bude rovnice
k · y´2
+ m · y´´ = 0 (3)
To je diferenciální rovnice 2. řádu, protože obsahuje druhou derivaci dráhy podle času:
y´´ = -k / m · y´2
(4)
Dosazením
dv / dt = -k / m · v2
(5)
Můžeme separovat proměnné na obě strany rovnítka
dv / v2
= -k / m · dt
integrací
1 / v = k / m · t + c (6)
Pro t = 0 je v = v0, takže integrační konstanta c = 1 / v0, a rovnice bude
1 / v = k / m · t + 1 / v0 = (k · v0 · t + m) / m.v0
a rychlost
v = m · v0 / (k · v0 · t + m) (7)
S tímto vzorcem můžeme počítat časový průběh rychlosti v(t), známe-li odpor vody Fo při
některé rychlosti v, protože z nich můžeme stanovit k = Fo / v2
· Z rovnice (7) bude
dy / dt = m · v0 / (k · v0 · t + m)
dostaneme po separaci proměnných další integrací
y = m / k · ln(1 + k / m · v0 · t) (8)
57 / 180
Tento výraz dovoluje počítat usplývanou dráhu. Obě veličiny, dráhu a rychlost, analyticky
vyjádřené jako funkce času můžeme srovnat s výsledky numerického řešení rovnice (4),
provedeného následujícím programem pro metodu Runge - Kutta.
Literatura:
33. Rychnovský R.: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich řešení. Praha, SNTL - Práce, 1972
34. Abramowitz M. - Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions, NDS, 1964, vzorec
25.5.20
INPUT „x0,y0,y!0,h=„; x0, y0, z0, h
INPUT „xmax=„; xm
a:
x = x0: y = y0: z = z0
GOSUB fun: k1 = h * f: PRINT x, y, z, f
x = x0 + h / 2
y = y0 + z0 * h / 2 + k1 * h / 8
z = z0 + k1 / 2
GOSUB fun: k2 = h * f
z = z0 + k2 / 2
GOSUB fun: k3 = h * f
x = x0 + h
y = y0 + z0 * h + k3 * h / 2
y = y0 + k3
GOSUB fun: k4 = h * f
x0 = x
y0 = y0 + h * (z0 + (k1 + k2 + k3) / 6)
z0 = z0 + (k1 + 2 * (k2 + k3) + k4) / 6
IF x < xm THEN GOTO a
END
fun:f = -z * z / 3
RETURN
END
Před spuštěním programu vepíšeme za label fun: upravený výraz pro
x“ = -k/m . x´2 ve zkrácené formě: f = - z*z / 3
Po spuštění programu vložíme x0 ( = t0)´= 0 (s)
y0 ( = L0) = 0 (m)
y´0( = v0) = 4 (m/s)
h ( = dt) = 0,1 (s)
a dostaneme numerické řešení. K uvedeným dobám x (=t) počítáme podle vzorců,
získaných analytickým řešením dráhy a rychlosti, připíšeme je na shodné řádky
a můžeme porovnávat přesnost numerického řešení:
t x(anal] x(numer] v(anal) v(numer) a(anal) a(numer)
0 0 0 4 4 -5,333333 -5,333333
0,1 0,3754894 0,3754815 3,529412 3,529416 -4,152248 -4,152258
0,2 0,7091662 0,709154 3,157895 3,157900 -3,324100 -3,324111
0,3 1,009417 1,009403 2,857143 2,857148 -2,721088 -2,721099
0,4 1,282332 1,282317 2,608696 2,608701 -2,268432 -2,268440
0,5 1,532477 1,532461 2,4 2,400000 -1,92 -1,920008
0,6 1,76336 1,763344 2,222222 2,222226 -1,646090 -1,646096
0,7 1,977737 1,977721 2,068965 2,068969 -1,426872 -1,426878
0,8 2,177811 2,177795 1,935484 1,935487 -1,248699 -1,248704
0,9 2,365372 2,365356 1,818182 1,818185 -1,101929 -1,101932
1,0 2,541893 2,541878 1,714286 1,714289 -0,979592 -0,979595
58 / 180
C16 Diferenční rovnice v mechanice
Působí-li na volné těleso o hmotnosti m proměnlivá síla F stálého směru, a můžeme-li tuto
sílu zapsat ve stejně dlouhých intervalech času, dostatečně krátkých, můžeme přibližně řešit
průběh zrychlení, rychlosti a dráhy pomocí jednoduchých diferenčních rovnic:
pomocí druhého Newtonova principu počítáme zrychlení a = F / m
pomocí zrychlení změněnou rychlost vi+1 = vi + a · t
pomocí rychlosti změněnou dráhu si+1 = si + v · t
Abychom dosáhli dostatečnou přesnost, měl by interval mezi sousedními silami, rychlostmi i
drahami být kratší nežli 0,05 sek.
Všechny tyto výpočty provede program:
data F1,F2,F3,… FN
input „hmotnost(kg),počát.rychlost(m/s),krok času(s)=„;m,v,d
lprint m,v,d: lprint
lprint tab(7)“T“; tab(16)“F“;tab(25)“A“;tab(34)“V“;tab(43)“S“: lprint
V:
read f: on error goto K
a=f/m: v=v+a*d: s=s*d: lprint using „#####.###“;t;f;a;v;s
t=t+d: goto V
K:
end
Do řádku „data“ vepíšeme ekvidistantní hodnoty sil F v newtonech,
program spustíme a vložíme hmotnost objektu v kg, jeho počáteční rychlost
v m/s a krok času v s. Vytiskne se tabulka vypočítaných hodnot. Použijeme-li
příkaz „print“ místo „lprint“ v řádku mezi labely V a K, dostaneme tabulku na
obrazovce monitoru.
59 / 180
D ANTROPOMETRIE, SOMATOMETRIE
D01 Relativní hmotnost částí lidského těla
Při biomechanické analýze některých sportů potřebujeme znát hmotnosti hlavních částí
lidského těla. Měřením těchto hmotností různými metodami se zabývala řada autorů, v [36] je
přehled jejich výsledků v procentech hmotnosti celého těla. Vážené průměry s ohledem na počet
změřených osob jsou v následující tabulce:
část těla muži ženy
hlava 7,14 7,14
trup+hlava +45,59 = 52,73 52,64
paže 2 × 2,856 = 5,712 2 × 2,825 = 5,65
předloktí 2 × 1,733 = 3,466 2 × 1,653 = 3,305
ruka 2 × 0,655 = 1,310 2 × 0,502 = 1,004
stehno 2 × 12,556 = 25,112 2 × 12,26 = 24,52
bérec 2 × 4,476 = 8,952 2 × 5,059 = 10,118
noha 2 × 1,437 = 2,974 2 × 1,256 = 2,513
S = 100,16 % S = 99,97 %
Těmito procenty počítáme hmotnost částí těla z hmotnosti celého těla. Jestliže současně
s hmotností části těla byla měřena nejen hmotnost celého těla M, ale i jeho výška H, můžeme
získat (programem pro lineární aproximaci funkce dvou nezávislých proměnných z=f(x,y)) C07
rovnice pro dvojnásobnou regresi:
mi = ai . M + bi . H + ci
V uvedené literatuře jsou tyto rovnice:
hlava m1 = 0,0171  M + 0,0143  H + 1,296
trup m2 = 0,5072  M - 0,07574  H + 7,8974
paže m3 = 0,0312  M - 0,0027  H + 0,25
předloktí m4 = 0,01445  M - 0,00114  H + 0,3185
ruka m5 = 0,0036  M + 0,00175  H - 0,1165
stehno m6 = 0,1463  M + 0,0137  H - 2,649
bérec m7 = 0,03616  M + 0,0121  H - 1,592
noha m8 = 0,0077  M + 0,0073  H - 0,829
horní končetina mh = 0,04925  M - 0,00209  H + 0,452
dolní končetina md = 0,19016  M + 0,0331  H - 5,067
Má-li součinitel b u tělesné výšky H kladné znaménko, pak hmotnost této části těla roste
s rostoucí výškou (hlava, ruka, všechny části dolní končetiny), při záporném znaménku hmotnost
klesá s rostoucí tělesnou výškou (trup, nadloktí, předloktí a celá horní končetina).
Příklad: muž s M = 75 kg a H = 175 cm bude mít
hmotnost hlavy m1 = 5,081 kg 6,77 %
hmotnost trupu m2 = 32,6829 kg 43,58 %
hmotnost paží mh = 7,56 kg 10,06 %
hmotnost paží a nohou md = 29,975 kg 39,97 %
celkem 75,2689 kg 100,38 %
60 / 180
Literatura:
35. Hay J. G.: The biomechanics of sports techniques. 1985, Prentice Hall Intrnat. Inc.,
Englewood Cliffs, New Jersey, str. 157
36. Zaciorskij V. M. - Aruin A. S. - Selujanov V. N.: Biomechanika dvigatělnogo apparata
čeloveka. 1981, FiS, Moskva, str. 29, 38-39, 118
37. Donskoj D. D.- Zaciorskij V. M.: Biomechanika. 1979, FiS, Moskva, str. 61
61 / 180
D02 Těžiště a momenty setrvačnosti lidského těla
V biomechanice sportů je poloha těžiště sportovce významná v řadě sportů, např. skocích,
gymnastice a akrobacii apod. Protože části těla mohou měnit svou relativní polohu ve velkém
rozsahu, může se tak měnit i poloha těžiště vůči tělu. S rozvojem snímací a výpočetní techniky již
není problém analyzovat 3D model pohybu [39].
Stanovíme ji pomocí jejích souřadnic v prostoru:
xT =  xi · mi / mi = xi · pi / 100
yT = yi · mi / mi = yi · pi / 100
zT = zi · mi / mi = zi · pi / 100
kde xi, yi, zi jsou prostorové souřadnice těžiště částí těla
mi hmotnosti částí těla
pi  procentní hmotnosti částí těla (předchozí kapitola)
Pozn.: zpravidla je zobrazení sportovce rovinné (film, fotografie, videozáznam) a počítáme jen
xT, yT.
Chyby stanovení souřadnic těžiště jsou způsobeny odchylkami procentního rozdělení
hmotností u daného sportovce od uvedených středních hodnot, nepřesností zobrazení a stanovení
polohy těžišť jednotlivých částí těla.
Při rotačních pohybech (překotech a vrutech) je setrvačnost těla jako odpor proti změně
rotací závislá na momentu setrvačnosti, nikoliv na hmotě těla. Momenty setrvačnosti počítáme
vzorci
Ix =  yi
2
· mi = yi
2
· pi / k
Iy = xi
2
· mi = xi
2
· pi / k
kde xi, yi… vzdálenosti těžiště od osy y,x
mi hmotnosti části těla
pi procentní hmotnosti části těla
s  měřítko zobrazení (např. 1:20 = 0.05)
k = 100 · s2
/ M … konstanta, vyjadřující vliv měřítka zobrazení s
a hmotnosti celého těla M
Moment setrvačnosti k ose z, (procházející kolmo na osy x,y jejich průsečíkem) je Iz = Ix + Iy.
Poloměr setrvačnosti je odmocnina momentu setrvačnosti k těžištní ose, děleného
hmotností těla. Je to míra setrvačnosti těla při rotačních zrychleních.
Následující program provede všechny potřebné výpočty (sumace) jestliže vkládáme podle
obrazovky žádané souřadnice x, y, nakonec hmotnost těla (kg) a měřítko zobrazení jako
desetinný zlomek.
Literatura:
38. Hay James G.: The Biomechanics of Sports Technique. 1985, 3. vyd.Prentice-Hall
International Inc., Englewood Cliffs, N. J., USA
39. Zvonař, Martin , Sebera, Martin. Simi motion 3D biomechanická analýza. Studia sportiva,
Brno, FSpS MU Brno. ISSN 1802-7679, 2007, vol. 2/1, no. 1, 116 s.
62 / 180
INPUT „jméno,datum=„; n$, d$
PRINT „hlava „;: p = 7.14: GOSUB g
PRINT „trup „;: p = 45.59: GOSUB g
PRINT „pravá paže „;: p = 2.856: GOSUB g
PRINT „levá paže „;: GOSUB g
PRINT „pravé předloktí „;: p = 1.733: GOSUB g
PRINT „levé předloktí „;: GOSUB g
PRINT „pravá ruka „;: p = .655: GOSUB g
PRINT „levá ruka „;: GOSUB g
PRINT „pravé stehno „;: p = 12.556: GOSUB g
PRINT „levé stehno „;: GOSUB g
PRINT „pravý bérec „;: p = 4.476: GOSUB g
PRINT „levý bérec „;: GOSUB g
PRINT „pravá noha „;: p = 1.437: GOSUB g
PRINT „levá noha „;: GOSUB g
xt = sx / 100: yt = sy / 100
PRINT „souřadnice těžiště x,y „; xt, yt
INPUT „hmotnost těla „; m
INPUT „měřítko délek „; s
k = 1E+08*s*s/ m
ix = ky / k: iy = kx / k
PRINT „Ix,Iy „; ix, iy
i = ix + iy
it = i - 100 * (xt * xt + yt * yt) / k
PRINT „It=„; it
r = SQR(it / m)
PRINT „poloměr setrvačnosti „; r
END
g:
INPUT „xt,yt „; x, y
sx = sx + p * x: kx = kx + p * x * x
sy = sy + p * y: ky = ky + p * y * y
RETURN
Příklad: v knize J.G.Haye je na str. 136 obrázek skokana do dálky. Odměříme-li
souřadnice těžišť částí těla, dostaneme
část těla x y
hlava 3 23
trup 3 3
pravá paže 10 17.5
levá paže -2.5 18
pravé předloktí 12 25
levé předloktí -12 26.5
pravá ruka 16 36
levá ruka -21 36
pravé stehno -11 -11.5
levé stehno 4 -20.5
pravý bérec -31,5 -9.5
levý bérec 12.5 -30
pravá noha -49 -10.5
levá noha 22 -20.5
souřadnice těžiště x= –0.043 y= 0.008
Protože počátek souřadnic je v průsečíku os x,z, mají být tyto souřadnice 0,0.
Vidíme, že chyba je malá.
Hmotnost těla: 75 Měřítko délek 0.0543 Ix,Iy 5.623 3.406
It 9.028 Poloměr setrv. 0.347
63 / 180
D03 Starší antropometrické indexy
Chceme-li popsat tělesný typ sportovce bez měření mnoha para- metrů a výpočtu
somatotypu Heathové a Cartera, můžeme někdy použít starší antropometrické indexy, navržené
slavnými antropology. Ty také umožňují srovnání dřívějších sportovců, u nichž jsou tyto indexy
známé, s dnešními.
Starší indexy vycházejí z hmotnosti M (kg), tělesné výšky H (cm, dm), obvodu hrudníku
O (cm) a vitální kapacity VK (litrů).
Bouchardův index BC = M / H (kg/dm)
Brockův index BR = M / (H-100) (kg/cm)
Brugschův index BG = OH . 100 / H (bez rozměrů)
Erismannův index E = OH – H / 2 (cm)
Pignet-Pinnierův index PP = M + OH - H
Šulcův typový součinitel T = M / H2,5 .105 (kg/cm2,5)
povrch těla podle Du-Bois Reymonda PO = 7,148.M0,425
.H0,725
vitální kapacita na 1 m2 povrchu těla V = VK / PO
Povrch těla lze určit nomogramem, nahrazujícím uvedený vzorec
Nomogram najdeme v knihách:
40. Drastich L.: Tělověda. 1948, Praha-Brno, Komenium, str. 151
41. Sobolová V.- Zelenka V.: Fysiologie tělesných cvičení a sportu 1973, Praha, Olympia, obr.37
Normy pro antropometrické indexy:
muži ženy
index pyknik atlet leptosom průměr pyknička atletka leptosomka průměr
bc 4.05 4.14 3.96 4.08 3.93 3.8 3.5 3.74
br 1.1 1 0.8 1
bg 55.7 54.8 53 54.6 53.8 53 51 52.6
e 9.9 7.7 5.3 8 6 5.2 1.6 4.3
pp -6.2 -6.2 -12.9 9 -10.5 -14.4 -23 -16
vk/po 2.78 2.77 2.7 2.74 1.9 2.12 2.13 2.07
Program pro výpočet indexů:
input „hmotnost (kg), výška (cm)=„; m,h
input „obvod hrudníku (cm), vitální kapacita (litrů) =„; o,v
bc=10*m/h: print „Bouchardův index=„;bc
br=m/(h-100): print „Brocův index=„;br
t=m/h^2.5*10e05:print „Šolcův typový součinitel=„;t
po=7.148E-03*m^.425*h^.725:print „povrch těla=„;po
v=vk/po:print „vitální kapacita na 1 m^2=„;v
if o=0 then goto k
bg=o*100/h:print „Brugschův index=„;bg
e=o-h/2:print“Erismannův index=„;e
pp=m+o-h:print „Pignet-Pinnierův index=„;pp
k:
end
Příklad: muž s m=75 kg, h=175 cm, o=100 cm, vk=7 litrů:
bc= 4.29, br=1, bg= 57.1, e=12.5, pp= 0, t= 18.51, po= 1.8935 m2
vk/po= 3.697 litrů/m2
64 / 180
D04 Typový součinitel podle Šolce a Lochmana
Není-li možné změřit všechna data, potřebná k výpočtu složek somatotypu, nebo chcemeli
jednoduše hodnotit typ lidského těla, můžeme použít typový součinitel, založený jen na
hmotnosti m a výšce těla h pomocí vzorce
t = m / h2,5
(kg, m)
Příklady: m(kg) h(m) t typ
gymnastka 42 1,592 14,3 velmi štíhlá
gymnasta 51 1,626 15,4 štíhlý
basketbalista 75,5 1,885 16,8 štíhlý
volejbalistka 73,3 1,834 16,1 štíhlá
fotbalista 71 1,735 17,9 průměrný
vzpěrač 100 1,80 23 velmi robustní
nesportovec 130 1,80 29,9 velmi obézní
Následující nomogram usnadňuje určení typového součinitele a srovnávání různých
skupin sportovců podobně, jako somatotyp.
Literatura:
42. Šolc I. - Lochman J.: Kvantitativní vztahy v typologii člověka. Vesmír 61, 1982, č. 3, str. 71-
74
cls: screen 10: key off
pset(0,0)
draw „d320;r640“
for h=130 to 210 step 10
y=320-(h-130)*4
line(0,y)-(5,y)
next h
for m=30 to 130 step 10
x=(m-30)*6
line(x,320)-(x,325)
next m
for k=13 to 25 step 2:
pset(0,320)
for m=30 to 130 step 30
m=(m*100000/k)^.4
line-((m-30)*6,320-(h,130)*4)
next m: next k
end
65 / 180
D05 Výpočet složek somatotypu podle Heathové a Cartera
V roce 1967 publikovali B. H. Heathová a J. E. Carter metodu, jak stanovit složky
somatotypu. Musíme změřit tyto parametry:
tělesnou výšku v cm, tloušťky tří kožních řas v mm, šířky epikondylů kosti pažní a stehenní
a obvody bicepsu paže a lýtka v cm a tělesnou hmotnost. Pak můžeme vypočítat složky
somatotypu následujícím programem.
Literatura:
43. Heath B. H. - Carter J. E.: A modified somatotype method. Amer. J. Phys. Anthrop. 27, 1967,
p. 57-74
44. Kopřiva J. - Čechovský K.: Determination of Heath-Carter somatotype and somatotype
dispersion index using a computer. Anthropologie 28, 1990, p. 31-33
input „součet tří kožních řas(mm)=„;s
if s<31.3 mm then en=.125*s-.625 else en=24.447*s/(195.207+s)
input „těles.výška(cm)=„;h
input „šířka pažního epikondylu=„;u
input „šířka stehenního epikondylu=„;f
input „obvod bicepsu paže=„;b
input „obvod lýtka=„;c
n1=(h-78.7)/3.81132
n2=(u-2.87)/.14566
n3=(f-4.09)/.207736
n4=(b-13.1)/.664151
n5=(c-15.3)/.771358
me=(n2+n3+n4+n5-4*n1)/8+4
input „těles.hmotnost (kg)=„;m
i=h/m^(1/3)
ek=.709671*i-27.434
print „somatotyp: en-me-ek „;sing „##.##“;en,me,ek
end
Příklad: s=35 mm, h=175 cm, šířka epik.p= 6 cm, šířka epik.s = 10 cm,
obvod bicepsu paže = 29 cm, obvod lýtka = 40 cm,
těles.hmotnost = 73 kg.
en - me - ek = 3.44 4.60 2.28
66 / 180
D06 Grafické vyjádření somatotypu Heathové a Cartera
Tři složky somatotypu Heathové a Cartera (endomorfie, mesomorfie a ektomorfie) lze
zobrazit v rovinném grafu pomocí transformačních rovnic:
x = (ek - en) · cos 30° = (ek - en) · 0,866
y = me - (en + ek) · sin 30° = me - (en + ek) · 0,5
Pak můžeme somatotyp vyjádřit bodem v souřadnicích x,y uvnitř sférického trojúhelníka,
jehož středy křivosti leží v jeho vrcholech. Kreslení několika somatotypů různě barevnými body
provede následující program.
screen 9: cls: key off
locate 20,22: print „endo“
locate 1,50: print „meso“
locate 20,76: print „ekto“
circle(400,10),400,,4.189,5.236
circle(200,265),400,,0,1.047
circle(600,262),400,,2.094,3.1416: b=0
locate 1,1
a:
input „en,me,ec=„;en,me,ec: b=b+1
if b=1 then print „modrý“
if b=2 then print „zelený“
if b=3 then print „tyrkys“
if b=4 then print „červený“
if b=5 then print „purpur“
if b=6 then print „světle červený“
if b=7 then print „světlý purpur“
if b=8 then print „šedý“
if b=9 then print „světle modrý“
x=(ec-en)*.866
y=me-(en+ec)*.5
circle(400+x*38.5,178-y*28),3,b
goto a
end
Příklad: po spuštění programu se nakreslí sférický trojúhelník, vložíme
vyžádané složky a somatotyp se zakreslí barevným kroužkem. Zapíšeme si barvu
ke jménu osoby a vkládáme další somatotyp. Skončíme kombinací CTRL+C.
67 / 180
D07 SDI - index rozptylu somatotypu
Používáme-li somatotyp podle Heathové a Cartera, můžeme někdy potřebovat popsat
určitou skupinu sportovců
1. somatotypy jednotlivců
2. průměrným somatotypem celé skupiny
3. nějakým měřítkem rozptylu těchto somatotypů.
Pro toto použití navrhli Ross a Wilson SDI, tj. index rozptylu somatotypů, který lze vypočítat
následujícím programem.
Literatura:
45. Ross W. D. - Wilson B. D.: A Somatotype Dispersion Index. Research Quarterly, 44, 1973,
str. 372-374.
data en1,me1,ec1,en2,me2,ec2,… enp,mep,ecp
input „počet osob „;p: print
dim n(p),m(p),k(p),x(p),y(p)
for i=1 to p
read n(i),m(i),k(i)
a=a+n(i):b=b+m(i):c=c+k(i)
x(i)=k(i)-n(i)
y(i)=2*m(i)-k(i)-n(i)
next i
a=a/p:b=b/p:c=c/p
print „průměrný somatotyp =„;a,b,c: print
x=c-a:y=2*b-a-c
d=0:for i=1 to p
d=d+sqr((3*x(i)-x)^2+(y(i)-y)^2)
next i: d=d/p
print „SDI=„;d
end
Příklad:
som1 = 3 - 5 - 2
som2 = 2 - 6 - 3
som3 = 2 - 5 - 4
som4 = 3 - 4 - 4
som5 = 3 - 5 - 4
průměrný somatotyp 2,6 - 5,0 - 3,4
SDI 2,49
68 / 180
D08 Celkové procento tělesného tuku z tloušťky 4 kožních řas
V literatuře [46] jsou údaje a poměrně složité vzorce pro výpočet celkového procenta
tělesného tuku ze 4 kožních řas
s1 uprostřed nadloktí nad m.triceps brachii
s2 na zádech na dolním konci lopatky
s3 na hrudní axilární čáře ve výšce 7. žebra
s4 na břiše v horní části mezi pupkem a crista illiaca
Ze součtu všech 4 řas s = s1 + s2 + s3 + s4 můžeme počítat velmi jednoduchým vzorcem
procento tuku
u mužů t % = 11,8686 · ln(s) - 28,413 r=0,9999920
u žen t % = 14,0123 · ln(s) - 32,774 r=0,999994
Literatura:
46. Mohr M.: Methods of Epidemiological Nutritional Status Assesment of Adults. In: Methods
of Functional Anthropology. Proc. Symposium, 5-8. 9. 1977 in Prague. Prague, 1979, str.
139-144
69 / 180
E. FYZIOLOGIE PRÁCE
E01 Změny srdeční frekvence při změně zatížení
1. stoupání srdeční frekvence na začátku zátěže
Člověk s klidovou srdeční frekvencí f0 začne náhle pracovat s intensitou, které odpovídá
ustálená srdeční frekvence f1. Přechod srdeční frekvence z klidové hodnoty na pracovní není
okamžitý, jeho průběh můžeme vyšetřit přibližně matematicky, předpokládáme-li, že rychlost
stoupání je úměrná rozdílu mezi okamžitou hodnotou srdeční frekvence f a
frekvencí,0020odpovídající zátěži f1:
f´ = df / dt = k · (f1 - f)
Toto je diferenciální rovnice I. řádu, první derivace je funkcí téže proměnné. Řešíme ji separací
proměnných:
df / (f - f1) = -k · dt
Integrací obou stran
ln(f - f1) = -k · t + c
Odlogaritmováním
f - f1= e-k.t
· ec
Člen s integrační konstantou určíme z podmínky t = 0, f = f0,
e - k.t = 1, pak ec
= f0 - f1 a dosazením zpět
f - f1 = (f0 - f1) · e-k.t
f = f1 - (f1 - f0) · e-k.t
Průběh okamžité srdeční frekvence je exponenciální a je na první části
70 / 180
2. klesání srdeční frekvence po ukončení zátěže
Zde předpokládáme, že rychlost klesání srdeční frekvence je úměrná rozdílu mezi
okamžitou frekvencí a konečnou (klidovou) srdeční frekvencí. Diferenciální rovnice bude
podobná:
f´ = df / dt = -k · (f - f0)
Separací proměnných
df / (f - f1) = -k · dt
integrací obou stran
ln(f - f1) = -k · t + c
odlogaritmováním
f - f1 = e-k.t
· ec
Stanovením ec
podobným způsobem jako v předchozím případě dostaneme průběh frekvence
f = f0 + (f1 - f0) · e-k.t
Obě řešení jsou si podobná a byla popsána v [47]. Nahradíme-li k = 1 / t, kde t = časová
konstanta, dostaneme tyto dvě rovnice:
pro stoupání f = f1 - (f1 - f0) · e-t / t1
pro klesání f = f0 + (f1 - f0) · e-t / t2
Časové konstanty t1, t2 nejsou obecně shodné, a s trénovaností sportovce klesají, takže srdeční
frekvence se rychleji přizpůsobují změně zátěže. Proto jsou cennou informací o trénovanosti
sportovce. V [48] uvádí Suggs tyto rovnice:
pro začátek zátěže f = 144 - 51,5 · e-t/1,183 (min)
pro uklidňování f = 83 + 49 · e-t/2,053 (min)
Literatura:
47. Schilpp R. W.: A mathematical description of the heart rate curve of response to exercise.
Research Quarterly 22, 1951, str. 437-445.
48. Suggs C. W.: An analysis of heart rate response to exercise. Research Quarterly 39, 1968, str.
195-205
49. Seliger V. - Vinařický R. - Trefný Z.: Fysiologie tělesných cvičení. Avicenum, Praha, 1980,
str. 94, obr. 39
Příklad: v lit.[48] najdeme data, z nichž aproximační metodou dostaneme následující rovnici:
t(min) f-f0 Aproximací dostaneme
0 80
2 49 f = 65 + 71,2 . e-t/4,825
(min) r = -0,985
3 35 Časová konstanta t = 4,825 minuty znamená, že
5 23 měřená osoba má nízkou trénovanost.
6 19
9 13
71 / 180
E02 Stanovení laktátového prahu při stupňované zátěži
Křivka koncentrace laktátů v krvi při stupňované zátěži má dvě části: ze začátku pomalu
stoupající, pak rychleji stoupající. Budeme-li považovat tyto dvě části za přímky, pak v jejich
průsečíku leží bod, zvaný laktátový práh, od něhož roste rychleji koncentrace laktátů v krvi
a který je cennou informací o trénovanosti sportovce.
Matematicky nalezneme práh lineární aproximací obou části křivky regresními přímkami
(např. metodou nejmenších čtverců) a pak vyřešením společného kořene obou rovnic přímek.
Tím dostaneme souřadnice bodu, určujícího laktátový práh
Dvě rovnice regresních přímek jsou
y1 = a1 + b1 · x1
y2 = a2 + b2 · x2
Řešíme-li tuto soustavu determinanty, bude determinant soustavy
D = b2 - b1
a kořeny
x = Dx / D = (a1 - a2) / D
y = Dy / D = (a1 · b2 - a2 · b1) / D
jsou souřadnicemi laktátového prahu.
Literatura:
50. Placheta Z.: Submaximal exercise testing. 1988, Brno, J. E. Purkyně University, str. 116, obr.
II - 22.
Příklad: data pro pomalu stoupající část křivky v grafu II-22 a regresní rovnice:
N(W) LA(mmol/l) LA = 0,4686 + 6,2143.10-3. N
80 1
160 1,4
200 1,7
240 2
Pro rychleji stoupající část:
N(W) LA(mmol/l) LA = -14,833 + 0,0625. N
280 3
320 4,5
350 8
Řešením soustavy dostaneme souřadnice laktátového prahu:
N = 271,8 W, LA = 2,158 mmol/l.
Tento bod můžeme zakreslit do původního grafu.
72 / 180
E03 Kriterium síly svalové skupiny
Změříme-li sílu některé svalové skupiny dynamometrem, výsledek bude záviset na
velikosti měřené osoby. Svalová síla roste s průřezem svalu, který je úměrný druhé mocnině
rozměrů těla, na příklad výšky:
Fm = k1 · H2
Hmotnost těla je úměrná třetí mocnině výšky:
m = k2 · H3
Pak
H = k3 · m1/3
a
Fm = k · m2/3
Tento vztah poprvé uvedl Lietzke v [50].
Kriteriem síly svalové skupiny, dovolujícím srovnávat jednotlivce různých tělesných
hmotností je konstanta úměrnosti
k = Fm / m2/3
Literatura:
51. Lietzke M. H.: Science 124, 1956, č. 3213, str. 486
input „svalová skupina „; m$
b:
input „jméno, hmotnost, síla „;n$,m,f
k=f/m^(2/3)
print „m=„;m;“ f=„;f;“ k=„;k
print: goto b
end
Příklad: m=70 kg, F=120 N, k= 7,065 N/kg^2/3
73 / 180
E04 Opakovací maximum síly
U silových cviků klesá počet možných opakování s rostoucím procentem zatížení. Za
100 % považujeme takové zatížení, při němž je možné jen jediné provedení cviku.
V [53] se uvádí tabulka závislosti procent zatížení na počtu opakování:
opakování % zatížení
1 100
3 94
5 86
10 70
Budeme-li tuto závislost aproximovat, musíme některé funkce vyloučit, protože pro velký
počet opakování dají negativní %.
Vhodná se ukázala hyperbolická funkce
p% = 2053,7 / (19,15 + n) r = -0,996
Pro velký počet opakování uvedeme jiný soubor dat a funkci.
Příklad: při shybech zanedbáme setrvačnou sílu (poměrně velká chyba). Procento tíhy
z maximální síly je p% = G / Fmax · 100, a položíme-li tento výraz jako rovný předchozímu,
dostaneme počet opakování n = 20,537 · Fmax / G - 19,15. Roste tedy počet opakování shybů
s maximální silou cvičence. Naopak z počtu shybů můžeme stanovit maximální sílu jako násobek
tíhy:
Fmax = G · (n + 19,15) / 20,537
Platí tabulka:
shyby Fmax / G p%
1 0,98 98
2 1,03 103
3 1,08 108
5 1,18 118
10 1,42 142
20 1,90 190
30 2,39 239
Vzorce by bylo možno využít ve vzpěračském tréninku ke stanovení počtu opakování při
různém naložení činky.
Zaciorskij uveřejnil v [55] data pro velký počet opakování.
opakování % z Fmax
1 100
10 80
17 70
27 60
36 50
58 40
110 25
666 15
1507 7
74 / 180
Pro n  10 bude vhodná aproximace
p% = 264,13 · A-0,47455
r = -0,989
Tohoto vzorce lze použít k výpočtu přibližné teoretické síly pro posilování v disciplinách
s velkým počtem pohybů (plavání, veslování apod.)
Příklad: plavec-krauler na 100 m potřebuje 48 temp, t j. 96 záběrů paží. Ze vzorce vyjde
p% = 30,3 z Fmax, kterou musíme změřit pro paži v poloze záběrové. Krauler potřebuje na 1500 m
kraul 700 temp, 1400 záběrů a měl by tedy posilovat silou 8,5 % z Fmax. Podobně počítáme
v jiných sportech, problém je jen ve stanovení Fmax bez poškození svalů, kloubů nebo šlach.
Literatura:
52. Měkota K. - Blahuš P.: Motorické testy v tělesné výchově. 1983, Praha, SPN, str. 122
53. Berger R. A.: Determination of method to predict 1-RM chin and dip from repetitive chins
and dips. Research Quarterly, 8, 1967, str. 330-335
54. Beránková, L. Možnosti objektivizace diagnostiky úrovně svalové síly při posuzování
funkčního stavu svalového systému pohybového aparátu. Ternčianské teplice: Slovenská
společnosť telovýchovného lekárstva, 2004. s. 16-17. 11.9.2004, Trenčianské Teplice,
Slovesnká republika.
55. Zaciorskij V. M. - Godik N. G. - Smirnov J. I.: Issledovanije vzaimo svjazi meždu fizičeskimi
kačestvami. TPFK 1969, č.1, str. 2, obr. 12
56. Feser R.: Die Entwicklung der motorischen Kraft qualifizierter Gewichtheber. Leistungssport
7, 1977, č. 4, str. 251-256.
75 / 180
E05 Závislost mechanického výkonu člověka na trvání zatížení
Největší mechanický výkon může člověk podat v explosivních činnostech jako jsou
skoky, vrhy a hody. S rostoucím trváním práce klesá průměrný výkon, kterého je člověk schopen.
Následující data byla naměřena na různě zdatných osobách za různých okolností různými
metodami, přístroji nebo ergometry. Tím lze vysvětlit velké rozdíly mezi autory dat.
Jedno z nejstarších měření provedl Blix, kterého cituje Boruttau (1916), Bělehrádek
(1942) a Černoch (1947):
t(sek) N(W) N(W) = 1730 · t(sek)-0,3564
3 1569
4 992,4 = 402 · t(min) - 0,3564
30 598,2
48 294,2 = 93,45 · t(hod) - 0,3564
420 183,4
1080 133,4 r = -0,982
36000 49
Nověji (1939) byla při výstavě v Zurychu naměřena na netrénované veřejnosti tato data (E. O.
1941):
t(sek) N(W) N(W) = 953,9 · t(sek) - 0,2435
60 350
120 300 = 351,98 · t(min) - 0,2435 r = -0,9998
600 200
1200 170 = 129,88 · t(hod) - 0,2435
Nejnižší výkonnost měla skupina, kterou měřil Williams (1956)
t(sek) N(W) N(W) = 314,85 · t(sek) - 0,17905
600 116
3600 65 = 151,26 · t(min) - 0,17905 r = -0,944
36000 40
360000 37 = 72,67 · t(hod) - 0,17905
Nejvyšší výkonnost měla skupina, jejíž data uvedl Scientific American 1985:
t(sek) N(W) N = 1332 · t(sek) - 0,18033
12 1060
30 720 = 636,6 · t(min) - 0,18033
60 575
120 495 = 304 · t(hod) - 0,18033
300 420
600 390 r = -0,939
1800 370
3600 350
Zde byl uveden také výkon belgického cyklisty Eddy Merckxe na ergometru po dobu 1 hodiny:
430 W.
76 / 180
Literatura:
57. Boruttau H.: Die Arbeitsleistungen des Meschen. 1916, B. G. Teubner, Leipzig-Berlin
58. Bělehrádek J.: Člověk v číslech. 1942, Borový, Praha
59. Černoch S.: Strojně technická příručka I. 1947, Práce, Praha
60. Elektrotechnický Obzor 1941, str. 145
61. Williams: Man powered flight. Science Journal (GB), 2, 1966, č. 3, str. 74-79
62. Scientific American 253, 1985, č. 5, str. 122-129
77 / 180
F. PSYCHOLOGIE, NERVOVÁ ČINNOST
F01 Jednoduchá metoda měření reakční doby
Délka pádu v gravitačním poli je dána vzorcem
L = 0,5 · t2
v metrech a sekundách = 4,9033 · t2
v cm a sekundách = 490,33 · t2
v palcích a tisícinách = 193,044 · t2
Tyto vzorce můžeme použít k nakreslení časové stupnice na plochém pravítku délky okolo 0,5 m.
Časové značky nakreslíme v následujících vzdálenostech od nulového bodu stupnice:
t (sec) L (cm) L (in.mil) L (inches)
0 0 0 0
0,10 4,9 1,93 1 15/16
0,12 7,06 2,78 2 25/32
0,14 9,61 3,784 3 25/32
0,16 12,55 4,94 4 15/16
0,18 15,89 6,255 6 1/4
0,20 19,61 7,72 7 23/32
0,22 23,73 9,343 9 11/32
0,24 28,24 11,12 11 1/8
0,26 33,15 13,05 13 1/16
0,28 38,44 15,135 15 1/8
0,30 44,13 17,374 17 3/8
Měření provedeme takto:
1. experimentátor drží pravítko ve svislé poloze za horní konec s nulou stupnice dole
2. měřená osoba má 0 stupnice v mezeře mezi palcem a ukazováčkem
3. v neočekávaném okamžiku pustí experimentátor pravítko
4. měřená osoba se snaží zachytit padající pravítko co nejdříve
5. reakční doba je u prstů měřené osoby.
78 / 180
F02 Zkrácení reakční doby tréninkem
Reakční doba je významná při startu sprinterů, v šermu a boxu, ve stolním tenise,
míčových hrách, motorismu atd. Závisí na typu a stavu nervové soustavy, na typu a intensitě
impulsu, na který se má reagovat, na typu a složitosti reakce a na dalších činitelích.
V literatuře jsou data o zkrácení reakční doby opakovaným cvičením. Nepříliš podstatné
zkrácení nastane teprve po velkém počtu opakování reakce. Trénink reakční doby musí být
časově koncentrovaný, bez delších přestávek, stabilita jeho účinku bude záviset na řadě činitelů.
počet opakování reakční doba
25 195
50 176
75 180
100 170
125 166
150 158
200 157
225 158
250 157
275 156
300 156
325 157
350 154
Tuto závislost lze nejlépe aproximovat hyperbolickou funkcí
t = n / (0,0066 · n - 0,0585)
s korelací r = 0,99977. Inverzní závislost pro potřebný počet opakování platí jen v omezeném
rozsahu:
n = 0,00228 · exp(1818 / t(ms)) r = 0,965
Literatura:
63. Zelený: Acta Univ.Carol., Suppl. IV, 1957, str. 55-59
64. Rujbr Z.: Doba reakce. TPTV 15, 1967, str. 92-105.
79 / 180
F03 Měření frekvence ťukání
V jazyce TurboBasic (Borland International) existuje pozoruhodná funkce MTIMER,
dovolující měřit čas na mikrosekundy. Tuto funkci můžeme použít k měření rovnoměrnosti
a frekvence ťukání na klávesu. Lze vypočítat průměr, směrodatnou odchylku a variační součinitel
a nakreslit graf naměřených časů následujícím programem (v TurboBasicu). Jako vstup musíme
vložit jméno, datum narození a datum testu s požadovaným počtem úderů. Po vyčkání ťukáme na
klávesu ENTER požadovanou maximální nebo optimální frekvencí až se ozve akustický signál.
Tiskárna vytiskne všechny výsledky, klávesa PrtSc vytiskne graf časů. Pak můžeme měřit další
osobu.
TURBOBASIC !!!
input „jméno,datum naroz,,datum měření „;j$,b$,d$
lprint j$,b$,d$
input „n=„;n: dim t(n)
mtimer
for i=0 to n
input a$: if a$=„„ then let t(i)=mtimer
mtimer: next i
beep: delay 2
for i=1 to n: t=t(i)/1E6: lprint using „###.######“;t;
s=s+t: k=k+t*t: next i
lprint
p=s/n:sx=sqr((k-s*s/n)/(n-1)):f=1/p
lprint „ p s v% f“
lprint using „###.###“;m,sx,sx/p*100,f
delay 3: screen 9
for i=1 to n
line (0,i*3)-(t(i)/5E3,i*3+3),,B
next i
end
Příklad:
jméno naroz měřeno
0.242898 0.228034 0.220598 0.205663 0.205685 0.213144 0.220610
0.213108 0.220608 0.220634 0.213091 0.220613 0.205639 0.213137
m s v% f
0.2171 0.0097 4.4707 4.6061
80 / 180
G. MECHANIKA
G01 Parabolická dráha ve sportu
Parabolická dráha je nejčastějším případem dráhy těžiště buď sportovcova těla nebo
letícího předmětu, je-li možno zanedbat odpor vzduchu (viz kapitola I01 – Mezní rychlost pádu).
Jsou to tyto případy:
běžec nebo skokan ve fázi letu (ničeho se nedotýká)
koule v lehké atletice (ostatní nářadí nikoliv)
míče s velkou mezní rychlostí na krátké dráze.
V ostatních případech, kdy odporem vzduchu rychle klesá rychlost, (stolní tenis,
badminton) se musí počítat dráha jako balistická.
Nejsložitější případy, kdy pohyb ovlivňuje i vztlak vzduchu (hod diskem, skok na lyžích),
nedovolují přesnější výpočet dráhy vůbec.
Rovnici dráhy pro vztah mezi souřadnicemi y = f(x) odvodíme nejsnadněji
z parametrických rovnic, v nichž parametrem je čas t:
vodorovná souřadnice
x = v · cos  · t
svislá souřadnice
y = h + v · sin  · t – 0,5 · g · t2
kde
v  počáteční rychlost (m/s)
 počáteční úhel dráhy
h výška počátečního bodu dráhy (m)
t  čas (s)
g gravitační zrychlení (9,80665 m2
/s)
Čas z první rovnice
t = x / v · cos 
dosadíme do druhé a tím jej vyloučíme:
y = h + v · sin  · x / v · cos  – 4,9033 · x2
/ (v · cos )2
= h + x · tg  – 4,9033 · x2
/ (v · cos )2
= c + b · x + a · x2
Porovnáním posledních dvou rovnic bude
c = h
b = tg 
a = -4,9033 / (v · cos  2
Pro určitou parabolickou dráhu známe většinou tři dvojice souřadnic těžiště těla nebo
míče x, y: pro začátek dráhy, pro místo, blízké středu dráhy a pro konec dráhy (většinou dopad).
Z těchto dvojic je snadné vypočítat činitele a, b, c metodou nejmenších čtverců a posledními
vzorci vypočítat
 = arc tg b
v = (-4.9033 / a · cos2
)1/2
81 / 180
Zajímá-li nás vrchol dráhy, dané rovnicí y = ax2
+ bx + c, použijeme derivaci, kterou
položíme rovnu 0:
y´ = 2 · a · x + b = 0
Odtud pak
xm = -b / 2a
ym = a · xm
2
+ b · xm + c.
Známe-li počáteční rychlost v, jejíž směr je dán úhlem , pak vodorovná rychlost je vx = v
· cos , a z vodorovné délky dráhy x3 můžeme počítat dobu letu: T = x3 / vx . Pro basketbal je
zajímavý i směr dráhy při dopadu. Určíme jej ze složek rychlosti vy, vx kde vy = v · sin  –
9,80665 . T, a vodorovná rychlost vx = v · cos se prakticky nemění. Pak úhel dopadu
tg  = vy / vx = (v · sin  - 9.80665 · T) / v · cos 
Program, který ze tří vložených dvojic souřadnic vypočítá všechny zde uvedené veličiny je tento:
PRINT: PRINT
DATA 0,2.2,1.7,5,3.225,3.05
FOR w = 1 TO 3: READ x, y: PRINT x, y: NEXT w
RESTORE
a:
READ x, y: ON ERROR GOTO b
d = d + x: k = x * x: e = e + k: f = f + x * k: g = g + k * k
h = h + y: i = i + x * y: j = j + y * k: n = n + 1: GOTO a
b:
l = e - d * d / n: m = i - d * h / n: o = f - d * e / n: p = j - e * h / n
q = g - e * e / n: r = l * q - o * o: a = (p * l - m * o) / r
b = (m * q - p * o) / r: c = (h - b * d - a * e) / n
PRINT „a,b,c=„; a; „ „; b; „ „; c
u = ATN(b): v = SQR(-4.905 / (a * COS(u) * COS(u)))
PRINT „alfa,v0=„; u * 57.29578; „ „; v
xm = -b / (2 * a): ym = (a * xm + b) * xm + c
PRINT „xm,ym=„; xm; „ „; ym
RESTORE: FOR w = 1 TO 5: READ x: NEXT w
t = x / (v * COS(u)): PRINT „T=„; t
be = ATN((v * SIN(u) - 9.81 * t) / (v * COS(u)))
PRINT „uhel dopadu=„; be * 57.29578
c:
INPUT „x=„; x: y = (a * x + b) * x + c: PRINT „y=„; y: GOTO c
END
Poslední část od labelu c dovoluje regresní výpočty bodů trajektorie.
Příklad: skok vysoký přes laťku ve výšce 2.35 bude mít DATA:
x y Dostaneme: a,b,c= -O.406954 1.33827 1.3
0 1.3 alfa,v0 = 53.339032° 5.800937 m/s
1.6 2.4 xm,ym = 1.644688 m, 2.400812 m, T=1.008141 s, beta= -59.71058°
3.5 1.0
Příklad: skok daleký 7.8 m může mít DATA:
x y Výsledky: a,b,c = -0.061572 0.371288 1.3
0 1.3 alfa,v0 = 20.369397° 9.520739 m/s
4 1.8 xm,ym = 3.015069 m, 1.859730 m, T=0.873911 s, beta= -42.035856°
7.8 0.45
82 / 180
Příklad: vrh koulí 20 m:
x y Výsledky: a,b,c = -0.049 0.87 2.2
0 2.2 alfa,v0 = 41.023° 13.26 m/s
10 6 xm,ym= 8.877 m, 6.06 m, T= 1.999 s, beta = -55.9°
20 0
Příklad: trestný hod v basketbalu:
x y
0 2 Výsledky: a,b,c=-0.331228 1.647960 2.0
2.1 4 alfa,v0= 58.75° 7.418 m/s
4.225 3.05 xm,ym = 2.48765 m, 4.05 m, T = 1.0979 s, beta= -55,55°
83 / 180
G02 Optimální počáteční úhel parabolické dráhy
Z parametrických rovnic parabolické dráhy
x = v · t · cos 
y = h + v · t · sin · g · t2
/ 2
můžeme eliminovat čas t = x / (v · cos ) a dostaneme vztah mezi x, y:
y = h + x · sin / cos  - g · x2
/ (2 · v2
· cos2
)
V místě dopadu x = L, y = 0:
0 = h + L · sin  / cos  - g · L2
/ (2 · v2
· cos2
)
Násobením 2 · v2
· cos2
 dostaneme
2 · h · v2
· cos2
+ 2 · L · v2
· sin  · cos  = g · L2
S trigonometrickou identitou 2 · sin · cos = sin 2
2 · h · v2
· cos2
 · L · v2
· cos2= g · L2
Maximum délky L je funkcí počátečního úhlu  a najdeme je derivováním poslední rovnice
podle :
-4 · h · v2
· cos  · sin + 2 · L · v2
· cos 2 = 0
h · sin 2 = L · cos 2
tg 2L / h
Optimální úhel
 = 0,5 · arctg (L / h)
Tento vzorec byl použit k výpočtu následující tabulky pro vrh koulí:
h(m) L(m)
10 12 14 16 18 20 22 24
2 39,3 40,3 40,9 41,4 41,8 42,1 42,4 42,6
2,1 39,1 40 40,7 41,3 41,7 42 42,3 42,5
2,2 38,8 39,8 40,5 41,1 41,5 41,9 42,1 42,4
2,3 38,5 39,6 40,3 40,9 41,4 41,7 42 42,3
2,4 38,3 39,3 40,1 40,7 41,2 41,6 41,9 42,1
Z tabulky vyplývá pravidlo:
Čím větší délka vrhu a menší výška počátečního bodu, tím více se
optimální úhel blíží 45°.
V literatuře najdeme vzorce pro výpočet optimálního úhlu, je-li známa počáteční rychlost
v, kterou ale nutno měřit.
Lampe uvádí vzorec
h)g(v2
v
arcsinα
2opt


Townend
hgv
hg
arccos0,5α 2opt



Závěrem je nutné poznamenat, že jediný případ parabolické dráhy je vrh koulí, protože
u něj můžeme zanedbat odpor vzduchu. U ostatních hodů je rychlost příliš vysoká a dráha příliš
dlouhá, takže je balistická, tzn. vlivem odporu vzduchu o něco zkrácená oproti parabolické.
84 / 180
Literatura:
65. Kopřiva J.: Optimální úhel hodů a vrhů. TPTV 16, 1968, 4, s. 251
66. Lampe E.: Mathematik und Sport. 1956, B. G. Teubner, Leipzig, s. 16
67. Townend M. S.: Mathematics in sport. 1984, Ellis Horwood, Chichester, s. 45.
85 / 180
G03 Parabolická dráha a měření času
V kapitole G01 jsme stanovili parametry parabolické dráhy ze souřadnic 3 bodů této
dráhy. Při televizních přenosech nebývá možné stanovit souřadnice druhého bodu někde
uprostřed dráhy, zato je snadné změřit dobu letu koule nebo dálkaře. Pokud je dosažena přesnost
kolem 0,01 sek, můžeme použít následující metodu. Potřebujeme znát vodorovnou délku
parabolické dráhy (měřený výsledek u koule, výsledek dálkaře, korigovaný na sklon při odrazu
a dopadu), pokles těžiště během letu H0 a trvání letu. Pak plyne z Pythagorovy věty
86 / 180
  2
2
0
22
LHTg
2
1
Tv 






Odtud počáteční rychlost
 
T
LHT4.905
v
22
0
2
2


vodorovná složka rychlosti vx = L / T
počáteční úhel dráhy a = arc cos (vx / v)
Pro počítače bez arc cos p = (vx / v)
a počáteční úhel
p
p1
arctana
2


Použijeme program v Qbasicu:
input „H0=„;H
a:
input „L,T=„; L,T
vx=L/T
v=sqr((4.905*T*T-H0)^2+L*L)/T
p=vx/v
a=atn(sqr(1-p*p)/p)*57.296
print „v,alfa=„;v,a
goto a
Příklad 1: vítěz ve vrhu koulí na OH 1988 Ulf Timmerman (NDR) měl při
vrhu délky L=22,02 m naměřen čas T=1,97 s. Pro výšku počátečního bodu H0 = 2,3
m dostaneme v = 14,04 m/s a úhel 37,240
. Optimální úhel podle G02 je 42,020
a pro něj by byl vrh dlouhý L = 22,276 m, tedy o 0,25 m delší.
Příklad 2: na mistrovství světa 1987 v Římě skočili do dálky
Carl Lewis (USA) L=8,67 m, T=0,89 s, v=10,418 m/s, a=20,750
Robert Emmjan (SSSR) L=8,49 m, T=0,97 s, v=8,934 m/s, a=27,570
(před výpočtem byla délka korigována na vodorovnou dráhu těžiště o dL=0,8 m,
pokles těžiště odhadnut na 0,7m)
Ze srovnání rychlostí a úhlů vyplývá známá skutečnost, že Lewis byl
sprinterský skokan do dálky, a Emmjan odrazový.
87 / 180
G04 Dostředivá a odstředivá síla
V případě rychlého křivočarého pohybu (běh, rychlobruslení, cyklistika a motocyklové
závody, lyžování, hod diskem nebo kladivem apod.) musí existovat dostředivá síla, protože jinak
by pohyb byl lineární (Newtonův I. zákon). Avšak Newtonův III. zákon říká, že musí ke každé
akci existovat reakce, a tou je odstředivá síla. Výpočet obou těchto sil je poměrně jednoduchý.
Z obrázku lze odvodit následující vztahy:
v2 = v1 + dv
r2 = r1 + dr
dv / v = dr / r
Pak
dv = v / r · dr
a dělením dt
ar = dv / dt = v · dr / r · dt = v2
/ r
Je-li radiální zrychlení ar, pak dostředivá síla je
Fr = m · ar = m · v2
/ r = m · w2
· r
kde úhlová rychlost
w = v / r
Odstředivá síla je
Fc = -Fr
88 / 180
Příklad:
běžec s rychlostí v = 10 m/s v zatáčce s r = 31,8 m a hmotností m = 75 kg musí vytvořit
dostředivou sílu F = 75 · 102 / 31,8 = 235,8 newtonů a musí se naklonit směrem do středu
zatáčky s úhlem a = arc tan(F / m · g) = 17,77° ke svislé rovině.
Mimořádně velké úhly musí mít motocyklový závodník v zatáčce malého poloměru při vysoké
rychlosti:
v v poloměr (m)
km/h m/s 50 75 100 150 200
100 27,77 57,57 46,37 38,18 27,7 21,4
120 33,33 66,19 56,5 48,57 37,06 29,5
140 38,89 72,04 64,06 57,04 45,8 37,6
160 44,44 75,06 69,6 63,6 53,3 45,2
180 50 78,9 73,6 68,58 59,5 51,9
200 55,56 81 76,6 72,37 64,5 57,5
Tyto úhly musí být vzaty v úvahu při konstrukci pneumatik, stupaček a obrysu motocyklu.
89 / 180
G05 Záznam časového průběhu svalové síly
V řadě explosivních sportovních disciplin urychluje sportovec buď své tělo (skoky) nebo
nářadí (vrhy a hody). Používá k tomu výbušné síly, která v krátkém okamžiku vzroste z nuly na
maximum a pak klesá zpět na nulu. Bude-li impuls síly
I = F(t) · dt
konstantní, pak při jakémkoliv časovém průběhu síly bude konečná rychlost stejná, protože je
v = I / m. Časový průběh má ale vliv na jinou významnou veličinu - dráhu. Průběh může být
1. časově souměrný
2. s časným maximem
3. s pozdním maximem
Z grafů vyplývá tento závěr:
čím později dosáhne urychlující síla svého maxima (při stejném impulsu), tím kratší je dráha,
potřebná k dosažení stejné maximální rychlosti. Protože v praxi je tato dráha vždy omezená, je
pro sportovce výhodné používat sílu tak, aby její maximum bylo dosaženo co nejpozději, tedy
explosivně vystupňované. K tomu musí být zaměřen také posilovací trénink.
90 / 180
G06 Moment setrvačnosti
Tento moment, významný pro mechaniku otáčivého pohybu si vysvětlíme analogií mezi
pohybem posuvným a otáčivým (translačním a rotačním).
Při posuvném pohybu jsou dráhy všech bodů tělesa stejné, ať přímkové nebo křivkové.
Příklady: jízda na saních po přímé dráze, sjezd lyžaře ve stálé poloze.
Při otáčivém pohybu jsou dráhy všech bodů tělesa kružnice se středy na ose otáčení.
Příklady: pirueta krasobruslaře ve stálé poloze těla, veletoč gymnasty při stálém držení těla.
Naprostá většina sportovních pohybů jsou pohyby složené z posuvných a otáčivých.
Příklady: noha cyklisty se otáčí okolo osy pedálů a posouvá s bicyklem, (výsledná dráha je
zkrácená cykloida), tělo skokana do vody se může otáčet okolo podélné osy (vruty) i příčné osy
(překoty) a při tom posuvným pohybem padá po parabolické dráze, diskař nebo kladivář provádí
otočky kolem své osy a při tom se posouvá k bodu odhodu.
Moment setrvačnosti při otáčivém zrychlování nebo zpomalování má obdobný vliv jako
hmotnost při pohybu posuvném:
Posuv Otáčení
Síla F = m · a moment síly M = I · 
Zrychlení a = F / m úhlové zrychlení  = M / I
Při posuvném pohybu brání zrychlování hmotnost tělesa m,
při otáčivém pohybu brání zrychlování moment setrvačnosti I.
Pro těleso, skládající se z jednoduchých částí o hmotě mi, které mají těžiště na poloměru ri od osy
otáčení je moment setrvačnosti dán součtem I =  mi · ri
2
Při tvaru daném nějakou závislostí musíme integrovat:
I =  r2
· dm
Momenty setrvačnosti lidského těla pro průměrnou velikost těla jsou v tabulce:
Poloha těla osa prochází
moment
setrvačnosti (kg · m2
)
vzpřímená připažená svislá těžištěm 1 – 1,5
vzpřímená upažená svislá těžištěm 2 – 2,5
dřep svislá těžištěm 2,3
dřep příčná těžištěm 4,5 – 6
vzpřímená připažená příčná těžištěm 10,5 – 13
vzpřímená připažená předozad. těžištěm 12 – 15
vzpřímená vzpažená příčná těžištěm 15 – 18
vzpřímená vzpažená příčná dlaněmi 85 – 90
Známe-li moment setrvačnosti v nějaké poloze, pak k ose posunuté o vzdálenost d bude
moment setrvačnosti Id = I + m · d2
. Tento vzorec vyjadřuje tzv. Steinerovu větu. Tento vztah
platí pro poslední dva případy v tabulce, kdy osa byla přemístěna z těžiště do dlaní.
Zatím co hmotnost těla sportovec změnit nemůže, moment setrvačnosti změnit lze, jak
vidíme z tabulky. Protože platí zákon o zachování energie Ekin = 0,5 · m · v2
pro pohyb posuvný,
pro pohyb otáčivý platí Ekin = 0,5 · I · 2
91 / 180
Změní-li se moment setrvačnosti z I1 na I2, změní se úhlová rychlost z 1 na 2 a protože
energie zůstane nezměněna, bude poměr úhlových rychlostí 1 /2 = (I2 / I1)0,5
.
Tak si lze vysvětlit zrychlení piruety krasobruslaře který přitáhne paže k tělu a zmenší
tak moment setrvačnosti. Podobně může měnit rychlost otáčení skokan do vody: připažením
zrychlí vruty, polohou skrčeně pak překoty.
Moment setrvačnosti tedy potřebujeme k vysvětlení některých změn otáčivých pohybů
v krasobruslení, gymnastice, skocích do vody a podobných sportech.
92 / 180
G07 Analogie mezi translačním a rotačním pohybem
translace rotace
a) ustálený stav (d / dt=0)
dráha s = v · t otočení (úhel) a = w · t
rychlost v = s / t úhlová rychlost w = a / t
zrychlení a = v / t úhlové zrychlení e = w / t
setrvačná hmota m moment setrvačnosti I= r2 · dm
II. Newtonův zákon
síla setrvačnosti F = m · a moment síly M = I · e = F · r
zrychlení a = F / m úhlové zrychlení e = M / I
hybnost H = m · v rotační hybnost H = I · w
impuls síly I = F · t rotační impuls R = M · t
rovnost impulsu a změny hybnosti
I = H2 - H1 = m · (v2 – v1) R = H2 - H1 = I · (w2 – w1)
práce síly A = F · s práce momentu A = M · a
pohybová (kinetická) energie
E = m · v2 / 2 E = I · w2 / 2
rovnost práce síly a změny kinetické energie
A = E2 - E1 = m · (v22 – v12) A = I · (w22 - w12)
výkon síly N = A / t = F · v N = A / t = M · w
b) neustálený stav (d / dt <> 0)
dráha ds = v(t) · dt otočení da = w(t) · dt
rychlost v(t) = ds / dt úhlová rychlost w(t) = da / dt
zrychlení a(t) = dv / dt úhlové zrychlení e(t) = dw / dt
impuls proměnlivé síly
dI = F(t) · dt
proměnlivého momentu
dI = M(t) · dt
práce proměnlivé síly
dA = F(t) · ds = F(t) · v(t) · dt
proměnlivého momentu
dA = M(t) · da = M(t) · w(t) · dt
výkon N(t) = dA / dt = F(t) · v(t) N(t) = dA / dt = M(t) · w(t)
Pozn: d / dt je symbol derivace podle času, d diferenciál, veličiny se závorkou (t) jsou veličiny
časově proměnlivé, a proto je nutno jejich součin s jinou veličinou, také proměnlivou integrovat
v čase. Součin těchto veličin dává okamžitou hodnotu, také proměnlivou v čase.
93 / 180
G08 Vztah mezi hmotností a svalovou silou sportovce
Tělesná hmotnost při stálé průměrné hustotě těla je úměrná objemu těla
m ~ V
Objem těla je při stálém tvaru těla úměrný třetí mocnině tělesné výšky
V ~ h3
a tedy i hmotnost
m ~ h3
Inversně
h ~ m1/3
Svalová síla při stálém svalovém napětí je úměrná průřezu svalu
F ~ A
Průřez svalu jako plocha je úměrný druhé mocnině tělesné výšky
A ~ h2
a tedy i síla
F ~ h2
dosazením
F ~ m2/3
= m0,666666
Úměrnost můžeme nahradit konstantou úměrnosti
F = c · m0,6666666
Konstanta úměrnosti
c = F / m0,6666666
závisí na kvalitě a trénovanosti svalu, věku, pohlaví, teplotě atd. Platnost tohoto vztahu můžeme
ověřit na světových rekordech ve vzpírání pro různé váhové kategorie. Použít k tomu můžeme
dvě tabulky světových rekordů: jednu k 31. 12. 1992, uzavřenou před změnami váhových
kategorií, a druhou k 1. 8. 1998 s novými váhovými kategoriemi. Dostaneme tabulky, v nichž c1
je konstanta úměrnosti pro trh, c2 pro nadhoz a c3 pro dvojboj. Ke dni 31. 12. 1992:
94 / 180
m(kg) trh c1 nadhoz c2 dvojboj c3
52 121 8,685 155 11,126 272,5 19,560
56 135 9,223 171 11,682 300 20,496
60 152,5 9,950 190 12,397 342,5 22,347
67,5 162,5 9,802 200,5 12,094 355 21,414
75 170 9,559 215,5 12,117 382,5 21,507
82,5 183 9,656 225 11,873 405 21,371
90 192,5 9,585 235 11,701 422,5 21,038
100 200,5 9,306 242,5 11,256 440 20,423
110 210 9,147 250,5 10,911 455 19,819
(135) 216 8,208 266 10,108 475 18,050
Ke dni 1.8.1998:
m(kg) trh c1 nadhoz c2 dvojboj c3
54 132,5 9,274 162,5 11,374 290 20,300
59 147,5 9,732 170 11,217 307,5 20,290
64 151,5 9,469 187,5 11,719 335 20,937
70 163 9,597 200,5 11,804 360 21,195
76 170 9,475 208 11,593 372,5 20,761
83 180 9,460 214 11,247 392,5 20,628
91 187,5 9,268 228,5 11,294 414 20,463
99 192,5 8,995 235 10,981 420 19,626
108 200 8,819 235,5 10,384 435 19,181
(135) 205,5 7,809 262 9,956 465 17,670
Pozn. nejtěžší váhy nad 110 a 108 kg byly odhadnuty číslem (135).
Z obou tabulek plyne, že:
1. staré a dnes neplatné rekordy k 31.12.1992 byly vyrovnanější, protože průběh hodnot
c1, c2, c3 je plynulý. Ukazuje totiž delší historický vývoj, nežli nové rekordy, vyvíjející se teprve
n2kolik let (od 1. 1. 1993).
2. nejlepší ukazatele mají střední váhové kategorie mezi 60 - 70 kg, protože u nižších vah
je konkurence (počet vzpěračů) statisticky menší, u nejtěžších vah má vliv tělesný tuk, který u
středních kategorií neexistuje. Tento závěr potvrzuje i mocninná aproximace závislosti rekordu
na hmotnosti. I zde je exponent menší, nežli očekávané 2/3, protože nejtěžší kategorie mají
relativně nižší výkony. To platí i v říši zvířat: zatím co mravenec zvedne mnohonásobek své
hmotnosti, slon jen zlomek. I tento jev souvisí s mocninnou závislostí
F = c · m2/3
kterou jako první popsal Lietzke.
Literatura:
68. Lietzke T. H.: Science 124, 1956, č. 3220
95 / 180
G09 Výdej energie při kolísavé rychlosti v lokomočních sportech
V lokomočních sportech (běh, chůze, plavání, lyžování, rychlobruslení, cyklistika, vodní sporty)
je výsledkem čas T pro danou trať L, závisející na průměrné rychlosti v
T = L / v
Zvyšování rychlosti brání kromě vnitřních sil v těle také odpor prostředí, rostoucí s druhou
mocninou rychlosti
R = k · v2
Práce pro celý závod o délce L je pak
A = R · L = k · L3
/ T2
Jestliže na příklad plavec z závodě na 100 m za 50 s uplave obě půlky stejně rychle (25 + 25 s)
nebo s rostoucím rozdílem, musí při tom vykonat práci, úměrnou výrazu
A = 503
· (1/t12
+ 1/t22
)
t1+t2(s) A účinnost %
25+25 400 100
24+26 401,925 99,5
23+27 407,76 98,1
22+28 417,7 95,8
Z tabulky vyplývá pravidlo:
Čím větší jsou změny rychlosti, tím větší je výdej energie a tím nižší je účinnost lokomoce.
Důvodem je nelineární závislost odporu prostředí na rychlosti, která má za následek
zvětšení výdeje při zvýšení rychlosti větší nežli je snížení výdeje při poklesu rychlosti.
Kolísání rychlosti během každého cyklu lokomoce (kroku, tempa, záběru vesla či pádla)
bývá často mnohem větší nežli mezi jednotlivými úseky závodu. Změříme-li tachografem průběh
okamžité rychlosti, můžeme vyvzorkovat časově ekvidistantní rychlosti a pomocí nich vypočítat
výdej energie při této kolísavé rychlosti.
Výkon N při okamžité rychlosti vi je
N = Ri · vi = k · 3
iv
Element práce
dA = N · dt = k · 3
iv · dt
a pro celý cyklus, trvající dobu T je to součet
 
T
0
3
ivdtkAn
Účinnost je pak poměr práce při rovnoměrné rychlosti a nerovnoměrné rychlosti





 3
i
3
3
i
3
v
vn
vdt.k
vTk
An
A
e
kde n = T / dt je počet vzorků okamžité rychlosti vi.
96 / 180
Příklad: americký znakař Templeton s nejlepším výkonem na 100 m 57,60 s (1976) zaplaval na
tachografu 11.12.1976 trať 100 m za 1:01,4 s následujícím průběhem okamžité rychlosti:
t(s) v(m/s)
0,0 1,2
průměrná rychlost v = 24,22 / 15 =
= 1,6147 m/s
účinnost e = 15 · 1,614733 / 66,204 =
= 0,9536 = 95,36 %
0,05 1,4
0,10 1,65
0,15 1,85
0,20 1,88
0,25 1,85
0,30 1,86
0,35 1,84
0,40 1,72
0,45 1,57
0,50 1,53
0,55 1,54
0,60 1,52
0,65 1,45
0,70 1,36
n=15 vi=24,22 m/s
 3
iv =66,204 (m/s)3
Všechny potřebné sumace a výpočty provedeme snadno a rychle programem:
data 1.2,1.4,1.65,1.85,1.88,1.85,1.86,1.84,1.72,1.57,1.53
data 1.54,1.52,1.45,1.36
a:
read v: on error goto b
s=s+v:k=k+v*v*v
n=n+1:goto a
b:
vs=s/n
e=n*vs^3/k
print „prům.rychlost,účinnost=„;vs,e
end
Z dat v řádcích data dostaneme: prům. rychlost, účinnost = 1,614, 0,9534
97 / 180
H. SPORTY OBECNĚ
H01 Kvalita a četnost sportovních výkonů
V disciplinách se světovými rekordy rozlišujeme dva případy:
1. discipliny s maximálními výsledky jako rekordy (skoky, vrhy a hody, vzpírání, hodinovky
a jiné časově omezené lokomoce)
2. disciplíny s minimálními časy jako rekordy (běhy, plavání, rychlobruslení, cyklistika)
Rekord je jediný, a s klesající hodnotou výkonů poroste jeho četnost, tj. počet sportovců, kteří
výkon dosahují. To vyjádří dva grafy:
Inversní závislost výsledku na jeho četnosti je na obrázku
Takový model popsali Karvonen a Kihlberg (literatura 69, 70), a odpovídá mu mocninná funkce
jako model Parettova rozdělení
p = a · nb
kde
98 / 180
a … součinitel, blízký světovému rekordu
b … exponent blízký nule, kladný pro časy, záporný pro rostoucí výkony
n … četnost sportovců
p … výsledek (výkon)
Činitele a, b lze vypočítat metodou nejmenších čtverců, což jsme provedli pomocí světového
rekordu a několika výkonů, jejichž četnost jsme zjistili pomocí tabulek lehkoatletických výkonů v
roce 1989. Dostali jsme tyto výsledky:
běhy muži ženy
100m 9,94 · n0.00897
10,74 · n0.014605
200m 19,96 · n0.009473
22,04 · n0.013836
400m 44,27 · n0.009312
50,01 · n0.01183
800m 103,16 · n0.0082404
114,4 · n0.01513
1500m 210,55 · n0.009415
239,23 · n0.012444
1 míle 229,9 · n0.010308
255,61 · n0.02398
3 km 449,45 · n0.01106
518,48 · n0.01115
5 km 784,24 · n0.00878
899,01 · n0.01638
10 km 1628,23 · n0.01259
1848,51 · n0.017528
maratón 7681,0 · n0.009297
8673,0 · n0.018033
110m př. 12,92 · n0.016344
12,60 · n0.0145
400m př. 47,86 · n0,011874
53,73 · n0.01728
3km př. 485,35 · n0.013634
skok vysoký 244 · n-0.01954
204 · n-0.018894
skok daleký 870 · n-0.020946
730 · n-0.02688
trojskok 17,65 · n-0.01397
14,52 · n-0.03246
skok o tyči 603 · n-0.019977
koule 22,66 · n-0.038835
20,78 · n-0.05279
disk 70,92 · n-0.035875
75,56 · n-0.05984
oštěp 87,60 · n-0.028854
76,88 · n-0.065733
kladivo 82,84 · n-0.03142
desetiboj 8549 · n-0.02707
sedmiboj: 7007 · n-0.045
20km chůze 4734 · n-0.01557
5km 1225 · n-0.02495
50km chůze 13061 · n-0.0289
0km 2536 · n-0.023435
4x100m 38,23 · n0.008357
41,87 · n0.014494
4x400m 180,99 · n0.00731
203,05 · n0.013375
Pozn.: vzorce pro časy platí pro sekundy! V roce 1990 nebyly ještě běžné ženská tyč,
kladivo a 3 km přek.
Souhrnně lze říci, že čím větší absolutní hodnota exponentu, tím rychleji klesá hodnota
výkonu s četností výkonu. Nejrychlejší pokles je u ženských vrhů a hodů.
Literatura:
69. Kihlberg J.-Karvonen M. J. Comparison on statistical basis of achievement in track and field
events. Reseach Quarterly, 28, 1957, 3, 244 - 256
70. Kihlberg J. - Karvonen M. J.: Statistical distribution and predictability of top class
achievements in track and field sporting events. Wychowanie Fyziczne i Sport, 4, 1960, 145-56
71. Světové tabulky 1989, Praha, ASTAT, 1990
99 / 180
H02 Křivka světových rekordů
Někdy můžeme potřebovat světový rekord v lokomočních sportech na neobvyklé trati.
Vypočítat jej ze známých světových rekordů můžeme pomocí aproximační funkce. Osvědčila se
aproximace polynomem stupně o 1 nižším, nežli je počet vložených rekordů. Součinitele pro
polynom typu
t = an · Ln
+ an-1 · Ln-1
+ … + a1 · L + a0
vypočítáme metodou nejmenších čtverců, uvedenou v kap. C05.
Pod tabulkami rekordů jsou uvedeny získané polynomy v Hornerově tvaru:
Atletické rekordy v běhu ke dni 1. 6. 2003
trať (m) muži ženy
400 43,18 47,60
800 101,11 113,28
1500 206 230,46
5000 759,36 868,09
10000 1582,75 1771,78
muži: t = (((0,045261 · L - 0,9127) · L + 6,7922) · L + 137,653) · L - 12,91
ženy: t = (((-0,0557106 · L + 0,56279) · L + 1,67246) · L + 161,62) · L - 17,35
Plavecké rekordy ke dni 1. 6. 2003
trať (m) muži ženy
100 47,84 53,77
200 104,06 116,64
400 220,08 243,85
800 459,16 496,22
1500 877,48 952,10
muži: t = (((0,00150656 · L - 0,06592) · L + 1,00526) · L + 53,63) · L - 6.74
ženy: t = (((0,004857 · L) - 0,12006) · L + 0,9155) · L + 60,891) · L - 7,92
Rychlobruslařské rekordy ke dni 1. 6. 2003
trať (m) muži ženy
500 34,32 37,29
1000 67,18 74,06
1500 103,95 114,02
3000 222,75 237,70
5000 374,66 406,91
10000 778,92
Muži: t = ((((-0.01062 · L + 0,343936) · L - 3,77254) · L + 17,052) · L + 46,154) · L + 7,433
Ženy: t = (((0,411035 · L - 4,5114) · L + 17,345) · L + 54,647) · L + 6,168
100 / 180
Cyklistické světové rekordy k 1. 6. 2003
trať (km) muži ženy
1 58,875 73,377
3 210,764
4 251,114
10 647,102 731,99
44,767 3600
49,441 3600
Muži: t = ((-0,000370372 · L + 0,21871) · L + 62,994) · L - 4,337
Ženy: t = ((-0,0010248 · L + 0,7843) · L + 65,69) · L + 6,9135
Pozn.: uvedené polynomy nepoužíváme mimo rozsah tratí, které byly vloženy. Rekordy
byly postiženy zrušením výkonů na speciálních kolech. Přehled jiných aproximačních funkcí
uvádí kniha
Literatura:
72. Zaciorskij V. M. Kibernetika, matěmatika, sport. Moskva, FiS, 1969, str. 94 - 95
101 / 180
H03 Relativní výkonnost žen vůči mužům podle světových rekordů (podle
stavu k 15. 8. 2005)
Ženy dosahují nižších výkonů nežli muži z mnoha důvodů, mezi nimiž hlavní jsou menší
průřez svalů, jiná stavba těla a hormonální funkce. Nejjednodušší srovnání dává poměr světových
rekordů. U výkonů, rostoucích s číselným výsledkem (např. skok vysoký) použijeme poměr
r = rekord žen / rekord mužů × 100 (%)
u výkonů, klesajících s rostoucím číselným výsledkem (např. běh na 100 m) naopak
r = rekord mužů / rekord žen x 100 (%)
Teoretický přepočet na jiné kriterium (fysiologický výdej, mechanický výkon nebo práce)
by musel být dobře zdůvodněn, aby nebyl subjektivní.
Z poměrů pro jednotlivé rekordy lze vypočítat průměry pro jednotlivé sporty, které tvoří
následující pořadí:
1. rychlobruslení r = 91,67 % (n = 6 tratí)
2. plavání r = 90,01 % (n = 17 disciplin)
3. atletika r = 88,66 % (n = 20 disciplin)
4. cyklistika r = 87,82 % (n = 9 tratí)
celkem všechny sporty 88,52 % (n = 52 disciplín)
Vzpírání není možné porovnat pro rozdíly váhových kategorií
Jednotlivé discipliny, trati nebo váhové kategorie ukazují následující tabulky:
1. rychlobruslení
500 m 34,22 / 37,29 92,0 %
1000 m 1:07,18 / 1:14,06 90,7 %
1500 m 1:46,43 / 1:58,95 91,0 %
3000 m 3:43,95 / 3:57,50 !max! 94,7 %
5000 m 6:14,66 / 6:46,91 92,1 %
10000 m 12:58,92 / 14:22,6 90,3 %
celkem 91,67 %
2. plavání
50 m kr 21,64 / 24,13 89,7 %
100 m kr 47,84 / 53,52 89,4 %
200 m kr 1:44,06 / 1:56,64 89,2 %
400 m kr 3:40,08 / 4:03,85 90,3 %
800 m kr 7:38,65 / 8:16,22 92,4 %
1500 m kr 14:37,89 / 15:52,10 92,2 %
kraul 90,53 %
50 m df 22,96 / 25,57 89,8 %
100 m df 50,40 / 56,61 89,0 %
200 m df 1:55,22 / 2:05,96 90,7 %
delfín 89,83 %
50 m zn 24,80 / 28,19 (88,0 %)
100 m zn 53,17 / 59,58 89,2 %
102 / 180
200 m zn 1:54,66 / 2:06,62 90,6 %
znak 89,27 %
50 m pr 27,18 / 30,57 88,8 %
100 m pr 59,30 / 1:06,20 89,6 %
200 m pr 2:09,04 / 2:21,72 91,1 %
prsa 90,1 %
100 m pol 53,10 / 1:00,6 87,6 %
200 m pol 1:55,94 / 2:09,72 89,4 %
400 m pol 4:08,26 / 4:33,59 90,7 %
polohový 90,05 %
celkem 90,01 %
3. atletika
běhy: 60 m 6,39 / 6,92 92,3 %
100 m 9,77 / 10,49 !max! 93,1 %
200 m 19,32 / 21,34 90,5 %
400 m 43,18 / 47,60 90,7 %
800 m 1:41,11 / 1:53,28 89,3 %
1000 m 2:11,96 / 2:28,98 88,6 %
1500 m 3:26,00 / 3:50,46 89,4 %
2000 m 4:44,79 / 5:25,36 87,5 %
3000 m 7:20,64 / 8:06,13 90,6 %
5000 m 12:37,35 / 14:24,68 87,6 %
10000 m 26:20,31 / 29:31,78 89,2 %
Hodina 21,101 km/ 18,340 km 86,1 %
Maratón 2:04:55 / 2:15:25 92,2 %
běhy 89,80 %
skoky: vysoký 245 / 209 85,3 %
daleký 895 / 752 84,0 %
trojskok 18,29 / 15,50 84,9 %
tyč 615 / 501 81,5 %
skoky 84,70 %
vrhy, hody a překážkové běhy nelze srovnávat
chůze: 5 km 18:07,08 / 20:02,60 90,4 %
10 km 38:02,60 / 41:04,0 82,9 %
20 km 1:17:21 / 1:35:41 90,3 %
chůze 87,87 %
celkem 88,49 %
4. cyklistika
200m let 9,865 / 10,831 91,1 %
500m let 26,325 / 29,655 88,8 %
1000m let 57,224 / 1:05,232 87,7 %
1 km pev 58,875 / 1:13,377 80,2 %
5 km pev 5:27,039 / 6:05,198 89,6 %
10 km 10:47,102 / 12:11,99 88,4 %
103 / 180
20 km 21:23,932 / 24:55,028 85,9 %
Hodina 49,700 km/ 44,767 km 90,1 %
100 km 2:10:08,29 / 2:28:26,26 87,7 %
celkem 87,72 %
Desítka nejlepších žen:
1. Niemannová 3 km rychlobruslení 94,7 %
2. Griffithová 100 m běh 93,1 %
3. Evansová 800 m kraul 92,4 %
4. Privalova 60 m běh 92,3 %
5. Redcliffe maratón 92,2 %
6. Le Doan 500 m rychlobruslení 92,0 %
7. Jones 200 m prsa 91,1 %
8. Wittyová 1000 m rychlobruslení 90,7 %
9. Egerszegyi 200 m znak 90,7 %
10. Kločková 400 m polohový závod 90,7 %
V první desítce jsou 3 rychlobruslařky, 4 plavkyně a 3 atletky
Resumé:
1. Sporty, v nichž se ženy nejvíce blíží mužským výkonům jsou rychlobruslení, plavání
a cyklistika (91 - téměř 94 %)
2. Nejméně se blíží ženy mužům ve vzpírání (65 - 73 %). Ženy nemají předpoklady pro
silové sporty.
3. V bězích klesá relativní výkonnost žen s délkou trati (Redcliffová je výjimka), v plavání
je tomu naopak. Plavání je výhodné pro vytrvalost dík vodnímu prostředí.
4. Srovnání bylo provedeno jen ve sportech s měřenými výsledky, v jiných sportech nelze
podobné objektivní srovnání provést.
104 / 180
H04 Charakteristické rovnice vybraných sportovních disciplin
V mnoha sportovních disciplinách je možno nalézt matematické vztahy mezi výsledkem
sportovce a několika hlavními činiteli, určujícími tento výsledek. Tyto rovnice, někdy jen
symbolické můžeme nazvat charakteristickými, a v následujícím textu uvedeme některé příklady.
1. sprinterské běhy. Výsledný čas má tři části:
t = tr + tz + tv = tr +
a
s
2 +
kk
v
Lf
L

tr … reakční doba na startu, kterou nelze podstatně zkrátit
tz … doba zrychlování, závisí na zrychlování a proto na výbušné svalové síle nohou
tv … doba běhu poměrně stálou rychlostí, závisí na součinu délky kroku Lk a frekvence kroků fk
Sprinter může zkrátit svůj čas, jestliže
a) zkrátí svou reakční dobu
b) zvýší výbušnou svalovou sílu nohou
c) prodlouží délku kroku nebo zvýší frekvenci kroků, nejlépe obojí současně
d) zvýší sprinterskou vytrvalost a udrží tak rychlost déle
2. střední a dlouhé běžecké tratě jsou problémem omezených fysiologických zdrojů energie
a vytrvalosti. Běžec musí
a) urychlit na střední rychlost běhu a proto vykonat práci, úměrnou kinetické energii 2
svm
2
1
E 
b) překonávat odpor vzduchu Fo prací Ao = k · vs
2
· L
c) vykonat práci na zvedání těžiště těla při každém kroku
Az = n · m · g · ∆H
n … počet kroků
m … hmotnost těla
g … gravitační zrychlení
∆H … zvednutí těžiště při každém kroku
d) vykonat práci na zvedání těžiště při běhu v zatáčce (viz. L06)
e) vykonat práci, spojenou se zrychlováním
Běžec na středních a dlouhých tratích musí
a) být štíhlý, aby zmenšil práci v gravitačním poli
b) optimalizovat délku a frekvenci kroku
c) udržovat stálou rychlost, aby zmenšil ztráty zrychlováním
3. skoky vysoký. Maximální výška laťky, kterou skokan překoná, je součet tří výšek: výšky
těžiště těla nad zemí v odrazové poloze, zdvihu těžiště impulsem odrazové síly, a rozdílu mezi
výškou laťky a těžiště v nejvyšším bodě H = Ht + Hodr + ∆Hl
Skokan do výšky dosáhne velké výšky, jestliže bude mít
a) vysoko těžiště těla, tedy dlouhé nohy
b) nízkou hmotnost těla (štíhlost), aby lépe využil výbušné síly a impulsu této síly
c) dokonalou techniku přechodu nad laťkou
Podrobnější analýza by ukázala význam dalších činitelů (anatomie těla a odrazové nohy,
orientace v prostoru při flopu, optimální rychlost rozběhu atd.)
105 / 180
4.skok o tyči. Zde skočená výška je součtem pěti výšek:
a) výšky těžiště těla při odrazu
b) zdvihu těžiště těla svislým odrazem
c) zdvihu tyčí, který závisí na rychlosti rozběhu a technice
d) zdvihu pažemi před puštěním tyče
e) rozdílu mezi laťkou a obrysem těla
Skokan o tyči musí mít vysoko těžiště těla, velkou svislou odrazovou sílu, co největší rychlost
rozběhu a tím i kinetickou energii, kterou uloží do ohýbající se laminátové tyče, laminátovou tyč
vysoké pružnosti, aby využil uloženou energii ke stoupání, velkou sílu paží při odrazu od tyče,
a dokonalou techniku přechodu přes laťku.
5. vrhy a hody. Platí jednoduché pravidlo: největší vzdálenosti dosáhne vrhač maximální
možnou počáteční rychlostí a optimálním počátečním úhlem dráhy náčiní. Pro parabolickou
dráhu je optimální úhel (podle G02) αopt = ½ arctan(L / H0)
L … vodorovná délka vrhu
H … počáteční výška dráhy
U parabolických vrhů (koulí) bude výsledek nejlepší, bude-li mít vrhač maximální výbušnou sílu
a optimální počáteční úhel dráhy, vždy menší nežli 45°, u ostatních vrhů s balistickou drahou
(vlivem odporu vzduchu) musí vrhač natrénovat optimální počáteční úhel, jiný nežli
u parabolické dráhy. Zkušenost a technika se silou je nepostradatelná.
6. Plavání a veslování mají společný odpor vody a setrvačnost, takže sportovec musí překonávat
součet těchto dvou sil. Většinou bývá setrvačná síla, kterou je nutno překonávat větší, nežli odpor
vody:
F = Fo + Fs = k · v2
+ m · a
Zrychlení a zpoždění během každého tempa jsou závislé prakticky jen na plavecké technice, tj.
provedení záběrových a přípravných pohybů, odpor vody a tedy i zpožďování závisí hlavně na
poloze těla.
Úspěšný plavec musí zvládnout dva hlavní problémy své plavecké techniky: polohu těla
s nejmenším možným odporem vody, a záběrové pohyby s maximální a maximálně rovnoměrnou
silou a výslednou rychlostí.
106 / 180
H05 Vliv startu v lokomočních sportech
Ve většině lokomočních sportů začíná závod pevným startem (z klidu), výjimkou jsou jen
cyklistické sprinty letmo. U dlouhých tratí má start zanedbatelný vliv na celkový výsledek a proto
se zde omezíme jen na krátké závody.
Podle vlivu startu na průběh okamžité rychlosti sportovce musíme rozlišovat
1. sporty, u nichž start a následující zrychlování je pomalejší, než zbytek závodu. Sem patří
běh, cyklistika, rychlobruslení, lodní sporty apod.
2. sporty, u nichž start a bezprostředně následující část závodu je rychlejší, nežli zbytek
závodu. Sem patří plavání se startovním skokem.
Obr. H05 ukazuje graficky rozdíl mezi těmito dvěma skupinami.
Vynecháme-li startovní reakční dobu, můžeme přibližně lineární částí grafu proložit dvě regresní
přímky:
L = v1 · t - L1 t = L / v1 + t1
L = v2 · t + L2 t = L / v2 - t2
kde L1 … ztráta dráhy startem
L2 … zisk dráhy startem
t1 … ztráta času startem
t2 … zisk času startem
107 / 180
Příklad: Carl Lewis měl na OH 1988 v Soulu na 100 m za 9,92 s následující mezičasy, časy
úseků a rychlosti podle tabulky:
L(m) t(s) ∆t(s) v(m/s)
10 1,89 1,89 5,29
20 2,96 1,07 9,35
30 3,90 0,94 10,54
40 4,79 0,89 11,23
50 5,65 0,86 11,63
60 6,48 0,83 12,05
70 7,33 0,85 11,76
80 8,18 0,85 11,76
90 9,04 0,86 11,63
100 9,92 0,88 11,36
Z tabulky plyne, že rozběh byl další než 40 m. Proložíme-li úseky a časy od 50 do 100 m regresní
přímku, dostaneme
L = 11,3943 · t - 13,53 (s)
t = L / 11,4045 + 1,1913 (m)
Pozn.: regresní činitelé nejsou navzájem převratné hodnoty, protože součinitel korelace není 1
(0,99955).
Ztratil tedy Lewis startem 1,19 s, což dává při průměrné rychlosti ztrátu dráhovou 13,53 m. Pro
některé vrcholové sprintery dostaneme:
jméno čas čas regresně dráha regresně
Lewis C. 9,92 t = 0,087685 · L + 1,1913 L = 11,3943 · t - 13,53
Christie L. 9,97 t = 0,086 · L + 1,355 L = 11,6272 · t - 15,75
Smith C. 9,99 t = 0,0866 · L + 1,312 L = 11,54 · t - 15,138
Ženy:
Griffith-Joyner 10,54 t = 0,0916 · L + 1,383 L = 10,9169 · t - 5,097
Ashford E. 10,85 t = 0,0956 · L + 1,283 L = 10,46 · t - 13,42
S těmito údaji můžeme srovnávat kvalitu startu a rozběhu. Plavání se na rozdíl od
ostatních sportů vyznačuje vyšší rychlostí po startovním skoku nežli ve zbývající části závodu: ve
vzduchu letí plavec po odskoku vodorovnou rychlostí 4 - 6 m/s, zatím co rychlost plavání bývá
pod 2 m/s.
Příklad: brazilská štafeta 4x100m kraul na mistrovství světa v krátkém bazéně v prosinci 1995
v Rio de Janeiro zaplavala mezičasy, z nichž můžeme vypočítat lineární regresní rovnice:
jméno čas čas regresně délka regresně
Scherer 47,63 t = 0,4825 · L - 0,74 L = 2,07185 · t + 1,538
Masura 48,16 t = 0,4984 · L - 1,85 L = 2,00579 · t + 2,006
Cordera 49,16 t = 0,51304 · L - 2,205 L = 1,94894 · t + $,305
Borges 47,47 t = 0,4912 · L - 1,725 L = 2,0359 · t + 3,5146
U prvního člena štafety se projevuje vliv reakční doby na startu, který z velké části
odpadá u dalších, protože mohou startovat podle dohmatu předchozího, tedy s návěštím. Také
zde nám absolutní členy rovnic vypovídají o kvalitě startu.
108 / 180
H06 Maximální rychlosti mužů a žen v lokomočních sportech (ke dni 1. 1. 2001)
muži ženy
trať čas v (m/s) v (km/h) v (mph) čas v (m/s) v (km/h) v (mph) r (%)
lyžování
1 km letmo 14,510 68,92 248,105 154,17 15,35 65,15 234,528 145,73 94,5
cyklistika
200m letmo 9,865 20,27 72,985 45,35 10,83 18,47 66,476 41,306 91,1
l km pev. 1:00,148 16,626 59,852 37,19 1:13,38 13,63 49,06 30,484 82,0
10 km 10:47,102 15,454 55,633 34,539 12:11,99 13,66 49,18 30,56 88,4
56,376 km 1 hour 15,66 56,37 35,03 1 hour 13,378 48,159 29,925 85,4
rychlobruslení
500m 34,76 14,38 51,78 32,18 37,40 13,37 48,13 29,91 92,9
1500 m 1:46,43 14,09 50,74 31,53 1:55,50 12,99 46,75 29,05 92,1
5000 m 6:18,72 13,20 47,53 29,53 6:55,34 12,04 43,34 26,93 91,2
10000 m 13:03,40 12,76 45,95 28,55 14:22,6 11,59 41,73 25,93 90,8
běh
100 m 9,79 10,21 36,77 22,85 10,49 9,53 34,32 21,32 93,3
200 m 19,32 10,352 37,267 23,157 21,34 9,37 33,74 20,96 90,5
800 m 1:41,11 7,912 28,484 17,70 1:53,26 7,06 25,43 15,80 89,3
1500 m 3:26,00 7,28 26,214 16,289 3:50,46 6,51 23,43 14,56 89,4
5000 m 12:39,36 6,58 23,70 14,73 14:28,09 5,76 20,73 12,88 87,5
10000 m 26:22,75 6,318 22,745 14,133 29:31,78 5,64 20,32 12,62 89,3
42195 m 2:05:42 5,59 20,14 12,51 2:20:47 4,99 17,98 11,17 89,6
veslování
2 km skif 6:38,97 5,013 18,046 11,216 7:17,09 4,567 16,473 10,23 91,3
2 km osma 5:18,8 6,274 22,585 14,034 5:59,26 5,567 20,04 12,45 88,7
plavání
50 m 21,64 2,31 8,32 5,17 24,13 2,07 7,46 4,63 89,7
100 m 47,84 2,09 7,53 4,68 53,77 1,86 6,69 4,16 89,0
400 m 3:40,59 1,81 6,53 4,05 4:03,85 1,64 5,91 3,67 90,5
1500 m 14:41,66 1,70 6,125 3,81 15:52,1 1,57 5,67 3,52 92,6
109 / 180
H07 Zpracování mezičasů
V běhu, plavání, cyklistice, rychlobruslení a jiných sportech se měří mezičasy pro úseky
stejné délky (kola, bazény, 100 m nebo 1 km). Protože rovnoměrná rychlost je velmi důležitá pro
dosažení nejlepšího výkonu, můžeme ji kontrolovat pomocí
 nejlepšího, průměrného a nejhoršího času úseku
 výpočtem variačního součinitele časů úseků v %
Potřebné výpočty a operace provede následující program
DATA .553,1.5364,2.5261,3.5159,4.5059,5.4967,6.49,7.4827,8.4743
DATA 9.4691,10.4628,11.4586,12.4623,13.4597,14.4348
INPUT „jmeno,datum „; j$, d$
INPUT „trat(m), cas(m.s),počet mezicasu „; l, t, n
CLS: PRINT j$, d$, l, t: PRINT
mi = 1000000!: p = ma = 0: l1 = l / n
FOR i = 1 TO n: READ t
s = 60 * INT(t) + 100 * (t - INT(t))
d = s - p: a = a + d: k = k + d * d
g = g + 1 / (d * d): r = l1 / d
IF d < mi THEN LET mi = d
IF d > ma THEN LET ma = d
p = s: PRINT t, s, d, r: NEXT i: PRINT
m = a / n: sx = SQR((k - a * a / n) / (n - 1))
v = sx * 100 / m: e = n * n * n / (a * a) / g
PRINT „min,prum,max,sx „; mi, m, ma, sx
PRINT „var.koef.,ucinnost „; v; „%“; , e
END
Příklad: z mezičasů světového rekordu na 1500 m kraul muži (K. Perkins) v prvních řádcích
programu dostaneme:
1 55.30
2 58.34
3 58.97
4 58.98
5 59.00
6 59.08
7 59.33
8 59.27
9 59.16
10 59.48
11 59.37
12 59.58
13 60.37
14 59.74
15 57.51
min 55.3
průměr 58.852
max 60.37
var % 3.13
110 / 180
Chceme-li názorně porovnat mezičasy z několika závodů, např. světových rekordů,
použijeme k tomu trojrozměrný graf, který je schopen vytvořit systém MAPLE V. Postupujeme
takto:
a) do programu vepíšeme časy úseků, vypočítané jako v předešlém příkladu, jako jednotlivé
vektory vi
b) z vektorů vytvoříme matici dat
c) matici dat necháme nakreslit jako trojrozměrný graf na monitoru
d) kurzorovými klávesami můžeme graf naklápět a natáčet, až je nejnázornější
e) nakonec graf vytiskneme
Následují dva příklady:
1. mezičasy světových rekordmanů na 200 m motýl muži, kde jsou uvedeny i příkazy MAPLE
V a výsledný graf
2. mezičasy na 1500 m kraul muži s výpočtem časů úseků a jejich poměru qi k průměrnému
času úseku a výsledný graf. Tyto poměrné součinitele lze použít k výpočtu analogických časů
pro jiný výsledný a tedy i průměrný čas.
Jména plavců, rok a rekord nepíšeme do MAPLE V, ale až na vytisknutý graf psacím strojem.
111 / 180
112 / 180
113 / 180
H08 Kvantitativní kriterium vytrvalosti
Vytrvalost je definována jako schopnost pracovat intensivně po dlouhou dobu vzdor
únavě. Je to tedy kombinovaná vlastnost fyziologicko - psychologická.
Stroj (automobil, motorový člun, letadlo, …) může udržovat svou rychlost po dlouhou
dobu, protože únava nehraje žádnou roli.
Člověk jako fyziologický „stroj“ musí překonávat únavu, která roste s intensitou a trváním
zátěže. Žádný sportovec není schopen udržet vysokou rychlost po neomezenou dobu, a časy pro
delší trati porostou rychleji, nežli délka trati.
Na příklad světový rekordman etiopský běžec Haile Gebreselasie dosáhl těchto nejlepších
časů:
trať čas čas rychlost
(km) (m:s) (s) (m/s)
0,8 1:50,39 110,39 7,25
1,5 3:31,76 211,76 7,08
2 4:52,86 292,86 6,83
3 7:25,09 445,09 6,74
5 12:39,36 759,36 6,58
10 26:22,75 1582,75 6,32
Jeho aproximační funkce, vhodná pro vztah mezi délkou trati a časem v sekundách se
ukázala t = t1 · Ln
Vypočítáme-li metodou nejmenších čtverců čas t1 pro jednotkovou trať 1 km a exponent
n, dostaneme pro Gebreselasieho vztah
t = 139,54 · L1,05469
a součinitel korelace této funkce s tabulkou bude r = 0,999974. Součinitel t1 je čas na 1 km
v sekundách, tedy 2:19,54 v minutách a sekundách. To je vynikající ukazatel rychlosti tohoto
vytrvalce.
Exponent n = 1,05469 ukazuje, jak rychle se zhoršují časy s délkou trati, a je to tedy ukazatel
vytrvalosti. U stroje by bylo n = 1, u sportovců jsme vyhodnocením velkého množství běžců,
plavců, cyklistů a rychlobruslařů nalezli tyto hodnoty:
n vytrvalost
1 - 1,04 velmi vysoká
1,05-1,1 vysoká
1,2 -1,4 střední
1,5 -1,8 nízká
1,9 a více velmi nízká
Nejvyšší vytrvalost, tedy nejnižší hodnotu exponentu n jsme nalezli v plavání
u australského světového rekordmana Stephena Hollanda - n = 1,013. Vysvětlení podává
fysiologie práce. V plavání je lidské tělo vodou chlazený „stroj“ a může se snadno zbavovat
odpadového tepla, což jiné sporty nedovolují.
V cyklistice, kde závodník dosahuje velmi vysokých rychlostí po podstatně delším
zrychlování nežli v jiných sportech, má exponent někdy překvapivě nízkou hodnotu, a také u
rychlobruslení jsou časy ne 1 km často lepší, nežli dvojnásobek času na 500m. Musíme tedy
exponent interpretovat opatrně a hlavně srovnávat s jinými případy. Program pro výpočet t1, n
pomocí aproximace mocninnou funkcí následuje.
114 / 180
Literatura:
73. Kopřiva J. Kvantitativní měřítko vytrvalosti. Teor. praxe. těl.vých.,35, 1987, č. 5, str. 271-274
74. Kopřiva J. Rychlostní a vytrvalostní složka výkonnosti v lokomočních sportech. Teor. praxe
těl.vých. 38, 1990, č. 10, str. 603DATA
.8,1.5039,1.5,3.3176,2,4.5286,3,7.2509,5,12.3936,10,16.2275
a:
READ x, t: ON ERROR GOTO v
y = 60 * INT(t) + 100 * (t - INT(t))
x = LOG(x): y = LOG(y)
sx = sx + x: kx = kx + x * x
sy = sy + y: ky = ky + y * y
xy = xy + x * y: n = n + 1: GOTO a
v:
j = kx - sx * sx / n
k = ky - sy * sy / n
c = xy - sx * sy / n
b = c / j
a = (sy - b * sx) / n: a = EXP(a)
r = c / SQR(j * k)
PRINT „t1,n,r=„; a; „ „; b; „ „; r
b:
INPUT „l=„; l
t = a * l ^ b
m = INT(t / 60)
s = t - 60 * m
PRINT „t=„; m; „:“; s
GOTO b
END
Z dat, uvedených v řádku DATA dostaneme výsledek, uvedený v textu. Pro některé další světové
rekordmany uvádíme data a vyhodnocení:
Plavec Grant Hackett, Australie, světový rekordman na 1500 m kraul s osobními rekordy:
200m 1:46,11 t = 51,72 · L1,048
regresní hodnoty: 1:46,94
400m 3:42,51 r = 0,99993 3:41,11
800m 7:42,51 7:37,18
1500m 14:34,56 14:43,48
Rychlobruslař Jochem Uytdehage, Holandsko
1,5 km 1:44,57 t = 68,10 · L1,05864
regresní hodnoty 1:44,61
5 km 6:14,66 r =0,99999954 6:14,22
10 km 12:58,92 12:59,14
Cyklista Chris Boardman, Velká Britanie
4 km 4:11,114 t = 64,235 · L0,99968
regresní hodnoty 4:16,82
5km 5:27,039 r = 0,99990 5:21,01
10km 10:47,102 10:41,87
20km 21:23,932 21:23,46
56,3759 km 1 hod. 1:00:16,69
V tomto případě jsou časy kromě 4 km z jediného závodu - hodinovky. Proto klesl exponent pod
1,00.
115 / 180
H09 Zlepšování sportovních výsledků v čase
Různé sportovní discipliny se zlepšují různě rychle. Tato rychlost je dána povahou
discipliny. Na příklad skok o tyči se může zdokonalovat mnohem rychleji, nežli běh na 100 m.
Rychlost zlepšování lze popsat relativním zlepšením v % za určitou dobu, na příklad rok.
Relativní zlepšení výsledku v1 na v2 je
z = 100 · (v2 – v1) / r1
Čas mezi dvěma daty v dd.mm.rrrr (den.měsíc.rok) přepočítáme na roky a jejich desetinné
zlomky pomocí vzorce
t = r2 – r1 + (m2 - m1) / 12 + (d2 - d1) / 365
Malé chyby z výpočtu s měsíci stejné délky můžeme zanedbat. Procentní zlepšení za 1 rok je
P = z / t
Tyto výpočty lze provést následujícím programem:
a:
INPUT „dd.mmrrrr 1“; a
INPUT „vysledek 1(sek nebo m) „; b
INPUT „dd.mmrrrrr 2“; c
INPUT „vysledek 2(sek nebo m)“; d
d1 = INT(a): m = 100 * (a - d1)
m1 = INT(m): r1 = 10000 * (m - m1)
d2 = INT(c): m = 100 * (c - d2)
m2 = INT(m): r2 = 10000 * (m - m2)
t = r2 - r1 + (m2 - m1) / 12 + (d2 - d1) / 365
z = (d - b) / b
p = z / t * 100
PRINT „zmena % za rok „; p
PRINT: GOTO a
END
muži p ženy p
100 m 10,8 17.7.1900 13,4 1.9.1917
9,78 14.9.2002 -,0913% / r 10,49 16.7.1988 -,306% / r
200 m 21,6 31.8.1904 27,8 28.8.1922
19,32 2.9.1996 -,115% / r 21,34 29.9.1988 -,351% / r
400 m 50,4 7.6.1867 1:01,9 15.9.1945
43,18 26.8.1999 -,108% / r 47,60 6.10.1985 -,576% / r
800 m 1:56,0 1.9.1904 2:30,2 20.8.1922
1:41,11 24.8.1997 -,138% / r 1:53,28 26.7.1983 -,403% / r
1 km 2:32,3 22.6.1913 3:08,2 15. 8. 1926
2:11,96 5.9.1999 -,154% / r 2:28,98 25.8.1996 -,297% / r
1,5 km 4:16,8 20.5.1845 4:37,8 (1.7).1946
3:26,00 14.7.1998 -,130% / r 3:50,46 11.9.1993 -,361% / r
1 míle 4:56,0 (1.7).1864 4:59,6 (1.7).1954
3:43,13 7.7.1999 -,188% / r 4:12,56 14.8.1996 -,372% / r
2 km 5:30,4 16.6.1918 5:43,94 17.4.1976
4:44,79 7.9.1999 -,170% / r 5:25,36 9.7.1994 -,296% / r
3 km 8:36,8 12.7.1912 9:23,4 (1.7).1971
7:20,67 1.9.1996 -,175% / r 8:06,11 2.9.1993 -,618% / r
2 míle 9:09,6 11.6.1904
116 / 180
7:58,62 20.7.1997 -,139% / r
5 km 14:36,7 10.7.1912 15:52,27 (15).4.1977
12:39,36 13.6.1998 -,155% / r 14:28,09 23.10.1997 -,436% / r
10 km 30:58,8 16.11.1911 34:01,4 (1.7).1975
26:22,75 1.6.1998 -,173% / r 29:31,78 8.9.1993 -,726% / r
1 hodina 18555 28.7.1884
21101 30.3.1991 +,128% / r
Maratón 2:58:50 10.4.1896 3:15:22,8 15).5.1967
2:05:38 14.4.2002 -,281% / r 2:15:25 12.4.2003 -,854% / r
110m př. 14,4 29.5.1920 100m 13,2 (15).6.1965
12,91 20.8.1993 -,141% / r 12,21 20.8.1988 -,323% / r
400 m př. 55,0 22.7.1908 56,83 (1.7).1973
46,78 5.8.1992 -,178% / r 52,61 11.8.1994 -,351% / r
3 km př. 10:47,8 22.7.1908 9:48,88 31.7.1999
7:53,17 16.8.2002 -,287% / r 9:16,51 27.7.2002 -1,445% / r
Skok vysoký 197 (1.7).1895 155 2.8.1926
245 27.7.1993 +,248% / r 209 30.8.1987 +,570% / r
Skok daleký 761 5.8.1901 516 6.8.1922
895 30.8.1991 +,195% / r 752 11.6.1988 +,694% / r
Skok o tyči 330 10.4.1896 375 (15).7.1988
615 21.2.1993 +,891% / r 481 9.6.2001 +2,17% / r
Trojskok 15,39 31.7.1909 13,79 (1.7).1985
18,29 7.8.1995 +0,219% / r 15,50 10.8.1995 +1,226% / r
Koule 14,81 31.8.1904 10,84 28.5.1927
23,12 21.5.1990 +,654% / r 22,63 7.6.1987 +1,811% / r
Disk 34,04 12.9.1896 34,15 20.5.1926
74,08 6.6.1986 +1,310% / r 76,80 9.7.1988 +2,009% / r
Oštěp 54,82 17.7.1908 35,49 11.7.1926
98,48 25.5.1996 +,906% / r 80,00 9.9.1988 +2,016% / r
Kladivo 49,73 16.7.1900 48,06 27.4.1987
86,74 30.8.1986 +,864% / r 76,07 29.8.1999 +4.59% / r
117 / 180
H10 Dlouhodobé tabulky sportovních výkonů
Dlouhodobé tabulky deseti (nebo více) nejlepších výkonů všech dob obsahují nejlepší
výkony bez ohledu na rok výkonu. Na příklad v roce 1968 skočil na OH v México City Bob
Beamon světový rekord ve skoku dalekém výkonem 890 cm. Koncem tohoto roku platila tato
dlouhodobá tabulka:
pořadí
invertované
pořadí
jméno
výkon
(cm)
rok
1 10 Beamon 890 1968
2 9 Boston 835 1965
3 8 Ovanesjan 836 1967
4 7 Davies 825 1968
5 6 Brown 821 1949
6 5 Beer 819 1968
7 4 Steele 818 1948
8 3 Ahey 817 1962
9 2 Hopkins 816 1964
10 1 Robinson 816 1965
Z této tabulky můžeme vypočítat řadu zajímavých ukazatelů:
1.aritmetický průměr m = x / 10 = 829,2 cm ukazuje stav disciplíny a při srovnání s jinými roky
její vývoj. Mohl by také sloužit jako základní údaj při návrhu bodovacích tabulek pro skok
daleký.
2.směrodatná odchylka sx = 22,55 cm je mírou rozptýlení výkonů, ale nehodí se ke srovnávání,
protože má rozměr cm a závisí na zvolených jednotkách.
3.variační součinitel v % = 100 · sx / m = 2,72 %. Jím můžeme srovná- vat rozptýlení výkonů
v různých disciplinách: u nových a mladých disciplin (skok o tyči žen) bývá větší (přes 2 %), u
starých a přirozených disciplin (běh 100 m) bývá malý (i pod 0,5 %).
4.poslední výkon v tabulce je současně limitem dalších výkonů v dalších letech vývoje.
5.číselný histogram nahrazuje grafický, a říká, kolik výkonů spadá do 10 stejně širokých
intervalů mezi nejlepším a nejhorším výkonem. V uvedené tabulce je rozpětí výkonů 890-816 =
74 cm. 10 intervalů po 7,4 cm je pak obsazeno takto: 10000 000216.
první jednička světový rekord (890 cm)
osmá dvojka výkony 835,835 cm
devátá jednička výkon 825 cm
desátá šestka výkony 821-816 cm.
Rovnoměrně rozdělené výkony by měly histogram 11111 11111.
Největší odstup od ostatních: histogram 10000 00009
Nejmenší odstup od ostatních 90000 00001.
Kromě tohoto histogramu musíme vzít v úvahu i variační součinitel.
118 / 180
Beamon i Griffith-Joynerová (100m běh 10,43 s) mají stejný histogram, ale liší se podstatně
variačním součinitelem: Beamonova tabulka má v = 2,72 %, Griffith-Joynerové v = 1,03 %.
Proto je Beamonův výkon výjimečnější a byl také nazván „skokem do 21. století“.
6.index výjimečnosti přepočítává histogram na jediné číslo využitím pořadí v tabulce. Číslo
pořadí násobíme stejnolehlým číslem histogramu a součiny sečteme:
Beamon má 1x1 + 2x8 + 1x9 + 6x10 = 86.
Histogram s rovnoměrným rozdělením 11111 11111 by dal 51, maximální 10000 00009 dá index
91, minimální 90000 00001 dává index 10.
7.ukazatel historického významu sportovce dostaneme pomocí inverzního pořadí (viz tab.).
Sečteme inversní pořadí sportovce za celou dobu, po kterou se vyskytoval v tabulkách. Na
příklad Beamon se výkonem 890 cm zařadil na první místo, kde zůstal do roku 1990, tedy 23 let.
Součin s 10 body za první místo dává 230 bodů
V letech 1991-2000 (10 let) byl druhý po 9 bodech, celkem 90 bodů
Celkový součet k 1. 1. 2001 je 320 bodů a ještě v budoucnosti poroste, dokud Beamon nevypadne
z tabulky. Tento ukazatel pomáhá najít nejvýznamnějšího sportovce minulosti, neuvažujeme-li
jeho úspěchy na olympijských hrách, mistrovství světa nebo Evropy či počet světových rekordů a
jiné skutečnosti.
Literatura:
75. Kopřiva J.: Bodování a vývojová tabulka sportovních výsledků Teor. praxe těl. vých. 26,
1978, č.10, str.637-639
Popsané ukazatele snadno vypočítáme programem:
data x1,x2,.. x10
mi=1E6:ma=0:dim m(10),c(10)
for i=1 to 10
read m(i):s=s+m(i)
k=k+m(i)*m(i)
if m(i)<mi then mi=m(i)
if m(i)>ma then ma=m(i)
next i
m=s/10: w=(ma-mi)/9.999
for i=1 to 10
r=int((m(i)-mi)/w)+1
c(r)=c(r)+1: next i
sx=sqr((k-sx*sx/10)/9): v=100*sx/m
print „prům,sx,v%=„;m,sx,v
if m(1)<m(10) the goto a
for i=10 to 1 step –1
print c(i);:next i:end
a:
for i=1 to 10
print c(i);:next i
end
119 / 180
H11 Zdánlivá velikost branek a terčů
Sportovec, střílející na branku nebo terč v míčových hrách nebo střeleckých disciplinách
má větší naději na zásah, jestliže branka nebo terč jsou
1. velké
2. blízko
3. kolmo na směr míče nebo střely či šípu.
Při kolmém pohledu se jeví zdánlivá šířka branky úměrná úhlu  = šířka / vzdálenost.
Výška branky se analogicky jeví jako  = výška / vzdálenost. Plocha branky je jeví jako úměrná
součinu
 =  ×  = šířka × výška / vzdálenost2
Tak je ale definován prostorový úhel, který měříme ve steradiánech (srad). Pro míčové
hry můžeme počítat prostorové úhly branek z místa volných nebo trestných kopů či hodů, pro
střelecké sporty prostorové úhly terčů ze známých vzdáleností. Zde jsou výsledky:
SPORT branka plocha vzdálenost prost. úhel (srad)
kopaná 7,32 × 2,44 m 17,84 m2
11 m 0,147416
halový kop. 3 × 2 m 6 m2
7 m 0,12245
házená 3 × 2 m 6 m2
7 m 0,12245
hokej 1,83 × 1,22 m 2,2297 m2
?
pozemní hokej 3,66 × 2,14 m 7,8324 m2
6,4 m 0,19122
kolová 2 × 2 m 4 m2
4 m 0,25
vodní pólo 3 × 0,9 m 2,7 m2
4 m 0,16875
Střelecké
sporty:
terč
D(m)
desítka
d(m)
vzdálenost
L(m)
prost. úhel
srad (x104
)
desítky
srad (x107
)
lukostřelba 1,22 0,061 90 1,443 3,608
lukostřelba 1,22 0,061 70 2,386 5,964
ženy 1,22 0,061 60 3,247 8,118
krátké vzdál. 0,80 0,05 50 2,011 7,754
30 5,585 21,82
libovolná pistole 0,5 0,05 50 0,7854 7,854
velkorážní pistole 0,5 0,05 25 3,142 31,42
standardní pistole 0,5 0,05 25 3,142 31,42
vzduchová pistole 0,156 0,012 10 1,911 11,31
malorážka 0,1624 0,0124 50 0,08268 0,4831
standardní puška 1 0,1 300 0,08727 0,8727
vzduchovka 0,046 0,001 10 0,1662 0,0077
skeet 0,11 19,2 0,2578
baterie 0,11 15 0,4224
Při šikmých úhlech je nutné násobit prostorový úhel kosinem úhlu, měřeného od kolmice.
Volný hod v košíkové je analyzován v kapitole míčových her.
120 / 180
H12 Vyhodnocení intervalového tréninku v lokomočních sportech
Hledá-li trenér nebo sportovec souvislost mezi tréninkem a závodním výkonem, je na
jedné straně poměrně složitý proces tréninkový, který lze popsat řadou parametrů, a na druhé
straně poměrně jednoduchý výsledek závodu. Aby se složitost obou srovnávaných informací
přiblížila, je nutné popsat tréninkovou jednotku zmenšeným počtem ukazatelů s vysokým
informačním obsahem. Ty musí tréninkový proces vyhodnotit kvantitativně i kvalitativně.
Kvantitu intervalového tréninku lze popsat délkou úseků, jejich počtem a celkovou délkou
nebo dobou trvání tréninku.
Kvalitu intervalového tréninku popisuje buď vynaložené úsilí nebo rychlost lokomoce.
Protože zatím nebylo nalezeno žádné přijatelné stanovení nebo dokonce měření úsilí, zůstává
měřítkem kvality nebo intensity tréninku poměr rychlosti tréninkové k závodní. Intensitu závodu
položíme rovnu jedničce (100 %). Abychom nemuseli rychlost počítat, použijeme přímo časů
nebo průměrů časů v obráceném poměru:
3
tr
záv
3
záv
tr
t
t
v
v
i 












Třetí mocninu lze zdůvodnit fyziologicky, protože se stejnou mocninou rychlosti roste
výdej energie. Plyne to z fyziologických měření, jejichž výsledky uvádějí knihy o fyziologii
sportu. Např. [77] uvádí pro různé sporty tabulky dvojic rychlost-výdej, z nichž aproximací
metodou nejmenších čtverců dostaneme řadu funkcí, které s vysokou korelací nahrazují
experimentální data:
Běh N(kW) = 0,58. exp(0,039.v2
) r=0,996
Chůze N(kW) = 0,105. exp(0,853.v) r=0,9983
Plavání
Kraul N(kW) = 0,439 · v3,02
r=0,9949
Znak N(kW) = 0,385 · v4,02
r=0,9987
Delfín N(kW) = 0,89 · v2,27
r=0,9995
Prsa N(kW) = 1,184 · v2,097
r=0,999
cyklistika N(kW) = 0,0103 · v1,3557
r=0,996
rychlobruslení N(kW) = 0,00423 · v1,6777
r=0,994
Práce, vykonaná v n-úsecích, trvajících t sekund je pak
A(kJ) = N(kW) · t(sek) · n
Ze známých osobních rekordů můžeme počítat intensity podle (1) a pomocí intensity
roztřídíme práce na úsecích do intensitních pásem 0,5 až 1 (po 0,1). Praxe ukázala, že trénink
intensity nižší nežli 0,5 nemá fyziologický účinek. Z tohoto rozdělení práce na různé intensity
můžeme počítat váženou průměrnou intensitu

 

i
ii
p
A
iA
i
a doplnit celkovou délkou tréninku
Lc = Σ Li · ni
121 / 180
Literatura:
76. Seliger V., Vinařický R., Trefný Z.: Fysiologie tělesných cvičení 1980, Praha, Avicenum, str.
23, tab.1
77. Vinařický R. Výdej energie při sportovní činnosti. Tělovýchovný sborník 10, 1967, 77
78. Vinařický R., Kubalová S., Frank V., Vodička P. Výdej energie při lehkoatletických bězích,
vztah rychlosti běhu a výdeje energie, využití individuálních rozdílů v tréninkové praxi.
Teor. praxe těl. vých.19, 1971, 722
79. Kopřiva J. Vyhodnocení tréninkového deníku v lokomočních sportech grafem nebo
počítačem. Teor. praxe těl. vých, 37, 1989, 261
DIM V(20), W(20), A(20), I(20), S(20): J = 1: C = 0
LPRINT „ rych „; „ vykon „; „ prace „; „ intensita“
A:
INPUT „L,N,T,Tr=„; L, N, T, TR
V(J) = L / T: W(J) = .58 * EXP(.039 * V(J) * V(J))
A(J) = W(J) * T * N: I(J) = (TR / T) ^ 3: C = C + L * N
LPRINT L; USING „#####.###“; V(J); W(J); A(J); I(J)
INPUT „dalsi trat ? a/n“; x$: IF x$ <> „a“ THEN GOTO B
J = J + 1: GOTO A
B:
FOR K = 1 TO J
M = (I(K) - .5) * 10: S(M) = S(M) + A(K): NEXT K
LPRINT „intensita-prace“
FOR M = 1 TO 4: LPRINT M / 10 + .5; S(M)
NEXT M
FOR K = 1 TO J
SI = SI + A(K) * I(K): SA = SA + A(K): NEXT K
IP = SI / SA: LPRINT „prum.intensita=„; IP
LPRINT „celk.delka=„; C
LPRINT „celk.prace=„; SA; „kJ“: END
122 / 180
I. HRY, MÍČE
I01 Maximální rychlost pádu míče
Pohybuje-li se těleso tekutinou (kapalinou nebo plynem) o hustotě h rychlostí v, vznikne
dynamický tlak
p = 1/2 · h · v2
Z tohoto tlaku vznikne odpor prostředí proti pohybu tělesa. Ten roste s velikostí předmětu, tedy
jeho průřezem S, a závisí na tvaru tělesa, jež vyjadřuje tvarový součinitel odporu cx:
Fo = p · S · cx = 1/2 · cx · h · S · v2
Sportovní míče mají kulový tvar, pro který cx = 0,3 a
S =  · d2
/ 4 = 0,7854 · d2
. Ve vzduchu, kde h = 1,25 kg / m3
bude odpor
F = 1/2 · 0,3 · 1,25 · 0,7854 · d2
· v2
= 0,014726 · d2
· v2
= k · v2
kde k = 0,014726 · d2
Gravitační zrychlení g bude zrychlovat padající míč až do okamžiku, kdy odpor vzduchu F se
vyrovná s tíhou G = m · g
k · v2
= m · g
Rychlost pádu již neporoste a bude rovna
v = (m · g / k)0.5
Pro lehkoatletickou kouli a různé míče dostaneme tabulku:
d (m) m (kg) k v (m/s) v (km/h)
koule atletická 0,12 7,27 2,120544E-4 579,83 2087,4
míče:: kopaná 0,22 0,45 7,127384E-4 78,69 283,27
házená muži 0,188 0,45 5,204757E-4 92,08 331,49
házená ženy 0,175 0,352 4,5098375E-4 87,49 314,96
volejbal 0,2244 0,27 7,41533E-4 59,76 215,12
basketbal 0,2435 0,625 8,731376E-4 83,78 301,62
basebal 0,07 0,145 7,21574E-4 140,38 505,74
vodní pólo 0,22 0,425 7,127384E-4 76,47 275,20
pozemní hokej 0,0729 0,16 7,826E-5 141,60 509,74
kolová 0,17 0,55 4,255814E-4 112,58 405,28
tenis 0,066 0,0577 6,414646E-5 93,92 338,11
tenis stol. 0,0372 0,0025 2,0378428-5 34,69 124,86
golf 0,042 0,045 2,5976664E-5 130,34 469,22
Význam mezní (maximální) rychlosti:
Dosahuje-li míč ve sportu jen zlomek mezní rychlosti a je-li dráha dostatečně krátká, lze
dráhu míče považovat za parabolickou a lze zanedbat odpor vzduchu. Nejvíce se parabole blíží
dráha lehkoatletické koule, protože její mezní rychlost je nadzvuková (580 m/s). Při světovém
rekordu má koule rychlost jen málo nad 14 m/s, a dráha je krátká. Opakem je míček při stolním
tenisu, jehož mezní rychlost 34,7 m/s (125 km/hod) je překračována při podání a smečích. Dráha
tohoto míčku je balistická, odpor vzduchu zanedbat nelze, rychlost míčku rychle klesá.
Zvláštním případem je pád parašutisty: podle polohy je mezní rychlost mezi 150 – 280
km/h, dolní mez je dosažena při vodorovné poloze těla při akrobacii a skupinových skocích.
123 / 180
I02 Pružnost tenisových míčů
Tenisový míč, puštěný z výšky H = 100 palců (2,54 m) se má podle oficiálních pravidel
odrazit do výšky minimálně 53 palců (1,3462 m) a maximálně 58 palců (1,4732 m). Pružnost
popisující restituční součinitel má být tedy mezi dvěma hodnotami:
minimem r1 =
100
53
= 0,728
a maximem r2 =
100
58
= 0,7616
S takovým měřením narazíme na potíže: počáteční výška je velká, změřit výšku maxima po
odraze není snadné. Proto navrhl Machalický [80] jinou metodu, založenou na měření času pro
několik odrazů míče:
1. míč pustíme svisle z počáteční výšky H, kterou můžeme volit, např. 2 m
2. při prvním dopadu míče na zem spustíme stopky
3. při n-tém dopadu míče na zem stopky zastavíme na Tn
4. z počáteční výšky H a času Tn vypočítáme ukazatel
H
T
1,01717
g
H
22
T
A nn
n 


g = 9,80665 m/s2
5. Tento ukazatel porovnáme s minimální hodnotou
Amin = r1 · (1 - r1
n
) / (1 - r1) = 2,67662 · (1 - 0,728n
)
a maximální hodnotou
Amax = r2 · (1 - r2
n
) / (1 - r2) = 3,19423 · (1 - 0,7616n
)
6. jestliže An < Amin, míč není dost pružný a má být vyřazen
jestliže Amin< An < Amax, míč vyhovuje pravidlům
jestliže An > Amax, míč je pružnější a hra s ním je prý
zajímavá. Potřebné výpočty provede program v Qbasicu.
Literatura:
80. Machalický J.: Tenisové míče a pravidla. Teor. praxe těl. vých. 16, 1968, č. 3, str. 180-181
input „vyska H,počet odrazu n, cas T „;h,n,t
a=1.10717*t/sqr(h)
print „a=„;a
mi=2.67662*(1-.727^n)
ma=3.19423*(1-.7616^n)
if a>ma then print „mic je pruznejsi“:goto e
if a<mi then print „mic nevyhovuje“:goto e
print „mic je v norme“
e:
end
124 / 180
I03 Úspěšnost střelby v košíkové
Roste-li vodorovná vzdálenost hráče košíkové od koše, klesá s touto vzdáleností procento
úspěšnosti střelby. V jsou uvedena tato data:
vzdálenost úspěšnost
stop m %
3 0,91 62
6 1,83 52
9 2,74 40
12 3,66 32
15 4,57 28
18 5,49 24
21 6,40 21
24 7,31 19,5
27 8,23 18
30 9,14 17
40 12,2 13
Závislost úspěšnosti v % na vzdálenosti koše můžeme aproximovat funkcí
ú % = 183,77 / (L + 1,9977) r = 0,993
Regresními výpočty pomocí této funkce dostaneme tabulku:
vzdálenost (m) úspěšnost (%)
0,91 63,2
1,83 48,0
2,74 38,8
3,66 32,5
4,57 28,0
5,49 24,5
6,40 21,9
7,31 19,7
8,23 18,0
9,14 16,5
12,2 13,0
Shoda regresně vypočítaných a původních procent je dobrá, o čemž svědčí součinitel
korelace r = 0,993.
Literatura:
81. Čelikovský a kol. Antropomotorika pro studující tělesné výchovy. SPN, Praha, 1979, s. 89,
obr. 16
125 / 180
I04 Trestný hod při košíkové
Protože míč při trestném hodu má nízkou rychlost a let není dlouhý, můžeme dráhu míče
považovat za parabolickou. Parabola je určena třemi body, použijeme-li metodu nejmenších
čtverců, můžeme vložit bodů víc, metoda vypočítá parametry paraboly, procházející co nejlépe
mezi nimi.
Rovnici odvodíme ze dvou parametrických rovnic
pro x x = v · cos  · t (1)
pro y y = v · sin  · t – 0,5 · g · t2
+ H (2)
Eliminaci času t = x / v · cos  (3)
provedeme dosazením do (2)
y = v · sin  · x / v · cos  – 4,905 · x2
/ v2
· cos2
 + H =
= (-4,905 / v2
· cos2
 ) · x2
+ tg · x + H (4)
Srovnáme-li tuto rovnici s obecnou rovnicí paraboly
y = a · x2
+ b · x + c (5)
bude a = -4,905 / (v · cos 
(6)
b = tg  (7)
c = H (8)
Protože tyto parametry dostaneme aproximací polynomem 2 stupně – viz rovnici (5), jsou
hledané veličiny
počáteční úhel  = arc tg a (9)
počáteční rychlost v = αcos
a
4,905 2


(10)
(protože a je negativní !)
Nejvyšší bod paraboly najdeme jako extrém, položíme-li derivaci rovnice paraboly rovnu nule:
2 · a · x + b = 0 (11)
souřadnice vrcholu jsou
xm = -b / 2a (12)
ym = axm
2
+ bxm + c (13)
trvání letu míče
T = x3 / v · cos  (14)
úhel dopadu β je dán poměrem složek rychlosti:
tg (v.sin  - g · T) / v · cos  (15)
 = arctg ((v · sin  - g · T) / v · cos  (16)
Tento úhel ovlivňuje velikost, pod kterou se jeví koš pro dopadající míč. Tuto velikost ale
ovlivňuje také délka dráhy míče, kterou počítáme integrací
L = √(1 + y´2
) dx (17)
Dosazením bude L = √(1 + (2ax + b)2
) dx (18)
126 / 180
Prostorový úhel, vyjadřující velikost koše z místa, kde začíná dráha míče je zdánlivá plocha koše,
dělená čtvercem vzdálenosti:
 = P.sin  / L2
(19)
= .d2
/ 4 · L2
· sin  (20)
protože d = 0,45 m (průměr koše)
= 0,159 · sin  / L2
(21)
Pozn.: metodu lze použít pro výpočty skoků a vrhu koulí, vynecháme-li poslední parametr –
prostorový úhel koše.
Program pro výpočet uvedených parametrů se nejsnadněji realizuje v kalkulátorech
CASIO CFX-9970 nebo CASIO Algebra FX 2.0, protože zde je možno snadno naprogramovat
aproximaci paraboly kvadratickým polynomem i integraci délky paraboly. Program v QBasicu
bez této integrace je následující:
DATA 0,2.2,1.7,5,3.225,3.05
FOR w = 1 TO 3: READ x, y: PRINT x, y: NEXT w
RESTORE
a:
READ x, y: ON ERROR GOTO b
d = d + x: k = x * x: e = e + k: f = f + x * k: g = g + k * k
h = h + y: i = i + x * y: j = j + y * k: n = n + 1: GOTO a
b:
l = e - d * d / n: m = i - d * h / n: o = f - d * e / n: p = j - e * h / n
q = g - e * e / n: r = l * q - o * o: a = (p * l - m * o) / r
b = (m * q - p * o) / r: c = (h - b * d - a * e) / n
PRINT „a,b,c=„; a; „ „; b; „ „; c
u = ATN(b): v = SQR(-4.905 / (a * COS(u) * COS(u)))
PRINT „alfa,v0=„; u * 57.29578; „ „; v
xm = -b / (2 * a): ym = (a * xm + b) * xm + c
PRINT „xm,ym=„; xm; „ „; ym
RESTORE: FOR w = 1 TO 5: READ x: NEXT w
t = x / (v * COS(u)): PRINT „T=„; t
be = ATN((v * SIN(u) - 9.81 * t) / (v * COS(u)))
PRINT „úhel dopadu=„; be * 57.29578
c:
INPUT „x=„; x: y = (a * x + b) * x + c: PRINT „y=„; y: GOTO c
END
Příklad: počáteční bod trestného hodu má souřadnice x1 = 0, y1 = 2 m bod blízký středu
parabolické dráhy x2 = 1,6 m, y2 v rozsahu 2,8 to 4,6 m
koncový bod – střed koše x3 = 3,225 m, y3 = 3,05 m.
y2 rovnice paraboly y =  °  v (m/s) 
  msrad
2,8 -.10733x2
+.6717x+2 33,89 8,14 -1,18 0,275
3,0 -.18426x2
+.9198x+2 42,61 7,01 -15,04 3,272
3,2 -.26118x2
+1.1679x+2 49,43 6,69 -27,38 5,323
3,4 -.3381x2
+1,416x +2 54,77 6,60 -37,41 6,362
3,8 -.49195x2
+1,91212x+2 62,39 6,81 -51,58 6,502
4,0 -.56887x2
+2,1602y+2 65,16 7,00 -56,47 6,123
4,6 -.7996x2
+2,9044x+2 71,00 7,61 -66,07 4,684
127 / 180
V tabulce jsou dva extrémy: maximální prostorový úhel 6,502 msrad pro y2 = 3,8 m, minimální
počáteční rychlost 6,6 m/s pro y2 = 3,4 m. Kruh koše má vnitřní průměr d1 = 0,45 m, míč má
průměr d2 = 0,78 /  = 0,248 m. Mezní úhel pro čistý hod je  = arccos(d2 / d1) = 56,560
. Tento
úhel je možný pro y2 > 3,8 m.
Resumé: nejčetnější trestné hody budou v rozsahu y2 = 3,4 – 3,8 m, protože
s prostorovým úhlem roste pravděpodobnost zásahu, s minimální rychlostí roste přesnost hodu
a pro y2 > 3,8 m roste možnost čistého hodu (bez dotyku koše).
128 / 180
I05 Půdorys fotbalového hřiště
K záznamu pohybu jednotlivých hráčů během zápasu lze použít půdorys fotbalového
hřiště, nakreslený podle pravidel. Tento půdorys nakreslí následující program v Qbasicu. Velikost
obrázku je možné změnit při xerografickém kopírování.
SCREEN 10: CLS: KEY OFF
LINE (20, 45)-(620, 405), , B
LINE (320, 45)-(320, 405)
CIRCLE (320, 225), 55
LINE (15, 203)-(20, 247), , B
LINE (620, 203)-(625, 247), , B
LINE (29, 269)-(53, 181), , B
LINE (620, 269)-(587, 181), , B
LINE (20, 345)-(120, 105), , B
LINE (620, 105)-(520, 345), , B
CIRCLE (86, 225), 55, , 5.4, .9
CIRCLE (554, 225), 55, , 2.25, 4
END
129 / 180
K. GYMNASTIKA
K01 Výdej energie, srdeční frekvence a účinnost při základních
gymnastických cvicích
Výdej energie a srdeční frekvenci měřili Zajkin a kol. (82) při těchto cvicích: shyby,
dřepy, kliky, zvedání nohou leže, leh/sed a skákání přes švihadlo. Vypočítán byl výdej energie a
počet tepů na 1 cvik (cyklus), a údaje byly korigovány na basální metabolismus a klidovou
srdeční frekvenci. Výsledky:
cvik frekvenční cvičení kJ / cvik tepů / cvik
shyb 16,5 2,68 4,48
dřep 30 1,34 2,2
klik 30,9 1,19 1,58
zvedání nohou 28 0,82 1,30
leh/sed 30,4 0,77 1,20
skákání švihadlo 117,1 0,37 1,58
Nejdříve jsme nalezli korelaci mezi kJ/cvik a tepy/cvik - byla r = 0,996 (p = 1 %).
Z frekvence cviků a výdeje na 1 cvik lze vypočítat
výkon ve W: Pw = 1000 · E1 · f / 60
Vykonanou mechanickou práci můžeme vypočítat přibližně ze zvedané hmotnosti m
a zdvihu h: A = m · g · h = G · H
A konečně účinnost je poměr vykonané práce a výdeje energie (v %)
η = A / E · 100
cvik výkon (W) výdej (kJ) G (N) h (m) A (kJ) η (%)
shyby 737 2,68 700 0,63 0,455 17
dřepy 670 1,34 600 0,67 0,402 30
kliky 603 1,19 500 0,35 0,175 14,7
zvedání noh 383 0,82 234 0,60 0,140 17
leh/sed 390 0,77 466 0,45 0,210 27
švihadlo 722 0,37 700 0,1 0,07 19
Literatura:
82. Zajkin V., Utkin V., Zimina O. Eněrgetičeskaja i pulsovaja stojimosti obščerazvivajuščich
gimnastičeskich upražněnij Těor. prakt. fiz. kult. 1987, č. 9, str. 45-47
130 / 180
K02 Maximální síla při odrazu na pružném nářadí
Gymnasté a skokani do vody používají pružné můstky nebo prkna (1 a 3 m), které
umožňují získat velkou výšku po odrazu a tím i dostatek času pro složité skoky. Pružnost těchto
zařízení se uvažuje jako lineární vztah mezi působící silou a odpovídající deformací (průhybem)
F = k · y (1)
Konstanta pružnosti
k = F / y (2)
se dá vypočítat ze známého zatížení (např. tíhy osoby F = m · g) a jemu odpovídajícího průhybu.
Protože maximální síla při odrazu zatěžuje klouby dolních končetin a páteř sportovce, snažíme se
zjistit její velikost. To je možné
1. přímo změřením konstanty pružnosti k podle (2) a průhybu ymax. Pak
Fm = k · ym
2. nepřímo z výšky h, o kterou klesne těžiště sportovce před dopadem. Potenciální energie polohy
E1 = m · g · h se přemění v kinetickou energii a ta zase v pružnou energii nářadí:
m.g.h = ½ · Fm
2
· ym
odtud
khm4,43khgm2F mmm 
Příklad: gymnasta s m = 60 kg dopadne z výšky hm = 0,4 m, na můstek se změřenou konstantou
pružnosti k = 700 N / 0,1 m = 7000 N/m.
Maximální síla Fm = 4,43 · √(60 · 0,4 · 7000) = 1815,5 N
Pozn.: síla 1 N odpovídá 0,102 kp, staré jednotky síly.
131 / 180
K03 Kývání a otáčení tělesa
Kyvadlu podobné pohyby provádí gymnasta na hrazdě, kruzích či koni na šíř nebo skokan
o tyči. Společné pro ně je přeměna polohové energie v krajních polohách ve směs pohybové
a polohové energie mezi těmito polohami. V nejnižším bodě je pak celá energie pohybová.
Polohová energie v krajní (nejvyšší) poloze
E = m · g · h0 = m · g · r · (1 – cos α0)
α0 … úhel mezi svislicí a spojnicí těžiště tělesa se středem otáčení.
V nejnižší poloze se celá polohová energie změní v pohybovou a platí
2
m0 vm
2
1
)cosα(1rgm 
Maximální rychlost v nejnižší poloze bude
)cosα(1r4,429)cosα(1rg2v 00m 
Pro r = 1 m a různé hodnoty výchylky α0 dostaneme tabulku:
α0(0)
vm (m/s)
10 0,546
20 1,088
30 1,621
40 2,142
50 2,647
60 3,132
70 3,592
80 4,026
90 4,429
100 4,798
110 5,130
120 5,424
130 5,676
140 5,885
150 6,050
160 6,168
170 6,239
180 6,263
Pro jiné poloměry násobíme tabulkovou hodnotu odmocninou √r.
132 / 180
K04 Rychlost gymnasty při veletoči na hrazdě
Začíná-li gymnasta veletoč ve stoji s nulovou rychlostí, pak začne-li se otáčet, bude se
jeho potenciální energie polohy měnit v kinetickou podle vztahu
m · g · h = m · v2
/ 2
kde h … pokles těžiště z nejvyšší polohy
Bude-li počáteční rychlost těžiště v nejvyšší poloze v0, platí
m · g · h + m · v0
2
/ 2 = m · v2
/ 2
Při otáčení těžiště těla kolem hrazdy na poloměru r bude pokles těžiště
h = r · (1 - cos )
a rychlost těžiště
2
0v)cosα(1rg2v 
Následující program dovoluje nakreslit polární diagram rychlosti gymnasty pro různé počáteční
rychlosti v0.
SCREEN 10: CLS: KEY OFF: p = 1.5708
LINE (150, 120)-(490, 120)
LINE (320, 0)-(320, 350)
FOR v0 = 0 TO 4
FOR a = -p TO 3 * p STEP .01
v = 24 * SQR(24 * (1 - COS(a + p)) + v0 * v0)
x = 320 + v * COS(a)
y = 120 + v * SIN(a)
PSET (x, y)
NEXT a: NEXT v0
END
133 / 180
K05 Síly při veletoči na hrazdě
Potenciální energie, uvolněná pootočením těžiště gymnasty z nejvyššího bodu veletoče o úhel a
je
Ep = m · g · r · (1-cos a)
m … hmotnost těla
g … zrychlení tíže 9,807 m/s2
r … poloměr otáčení těžiště těla
Měl-li gymnasta v nejvyšší poloze rychlost v0, bude celková jeho kinetická energie
m · v2
/ 2 = m · v0
2
/ 2 + m · g · r · (1 - cos a)
Rychlost v2
= v0
2
+ 2 · g · r · (1-cos a)
Odstředivá síla při této rychlosti je
Fo = m · v2
/ r = m · v0
2
/ r + 2 · m · g · (1 - cos a)
Tíhu gymnasty G = m · g můžeme rozložit na tečnou složku, způsobující rotaci těla kolem hrazdy
Ft = G · sin a
a radiální složku,ve směru poloměru
Fr = G · cos a
která se skládá se silou odstředivou, takže výsledná radiální síla, působící na hrazdu je
F = m · v0
2
/ r + 2 · G · (1 - cos a) - G · cos a = m · v0
2
/ r + G · (2 - 3 · cos
a)
Polární diagram této výslednice v závislosti na úhlu a nakreslí následující program (Qbasic)
INPUT „m,r,v0=„; m, r, v0
pi = 3.14159: g = 9.807 * m
SCREEN 9: CLS: KEY OFF
PRINT „m=„; m: PRINT „r=„; r: PRINT „v0=„; v0
LINE (0, 90)-(640, 90)
LINE (320, 0)-(320, 350)
FOR a = -pi / 2 TO 3 * pi / 2 STEP .1
f = m * v0 * v0 / r + g * (2 - 3 * COS(a + pi / 2))
fx = f * COS(a): fy = f * SIN(a) + g
xs = 320 + 50 * r * COS(a)
ys = 90 + 50 * r * SIN(a)
LINE (xs, ys)-(xs + fx / 20, ys + fy / 20)
NEXT a
END
134 / 180
K06 Svislé síly při veletoči na hrazdě
V kapitole o silách při veletoči jsme odvodili pro radiální sílu, působící na hrazdu, vzorec
F = m · v0
2
/ r + G · (2 - 3 · cos a)
Její svislá složka je pak
Fy = F · cos a =
= (m · v0
2
/ r + G · (2 - 3 · cos a)) · cos a
K výpočtu použijeme program, v němž nejdříve vypočítáme z doby veletoče T a poloměru dráhy
těžiště r rychlost v nejvyšším bodě v0 (viz předchozí kapitola) a pak průběh svislé síly:
INPUT „m,r=„; m,r: G = 9.807 * m
INPUT „T=„;T
v0 = (22.42 + 12.905 * log(r)) * exp(-1.5214 * r^(-0.4876) * T)
SCREEN 9: CLS: KEY OFF
LINE(),100) - (640,100): LINE (190,30) - (190,350)
FOR i = 500 TO 3000 STEP 500
LINE (186,100 + i/12) - (194,100 + i/12): NEXT i
PRINT „m=„;m, „r=„;r, „T=„;T: PSET (0,100)
FOR a = -0.8 TO 7.2 STEP .1
fy = (m*v0^2/r + G*(2 - 3 * cos(a)) * cos(a)
LINE -(a*40 + 64, 100 + fy / 19.5)
NEXT a
END
135 / 180
K07 Trvání veletoče na hrazdě
je dáno rychlostí těžiště těla v0 nejvyšším bodě veletoče a poloměrem otáčení těžiště r kolem
hrazdy. V kapitole o rychlosti jsme odvodili vzorec
v = (v0
2
+ 2 · g · r · (1-cos a))1/2
= ds / dt
pak diferenciál času
dt = ds / (v0
2
+ 2 · g · r · (1-cos a))1/2
a celkový čas pro půl veletoče (a od 0 do radiánu) bude po dosazení ds = r · da
 


π
0
2
0 cosa)(1rg2v
dar
t
Pro celý veletoč je hodnota dvojnásobná. Tento určitý integrál jsme počítali na počítači
Rombergovou metodou, na kalkulátorech
HP-49 a Casio CFX-9970. Pro r od 1 m do 1.3 m, (krok 0,05 m), v0 od 0.5 m/s do 3 m/s (krok 0,5
m/s) jsme dostali tabulku:
v0 (m/s)
r(m) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
1.00 2.497 2.048 1.782 1.591 1.441 1.318
1.05 2.574 2.115 1.842 1.647 1.493 1.368
1.10 2.651 2.180 1.902 1.702 1.545 1.416
1.15 2.725 2.245 1.960 1.756 1.596 1.464
1.20 2.799 2.308 2.018 1.809 1.646 1.511
1.25 2.871 2.371 2.074 1.862 1.695 1.558
1.30 2.943 2.432 2.130 1.913 1.743 1.604
136 / 180
Program pro výpočet tabulky Rombergovou integrací:
REM „trvani veletoce“
k = 7: DIM t(17): CLS
FOR r = 1 to 1.3 step .05: LPRINT USING „##.##“; r;
FOR v0 = .5 to 3 step .5
a = 0: b = 3.1416: d = b - a
x = a: GOSUB fun: f = y
x = b: GOSUB f: t(1) = (f + y] / 2: n = 1
FOR i = 1 to 6
s = 0: n = 2 * n: h = d / n
FOR j = 1 to n step 2
x = a + j * h: GOSUB fun: s = s + y
NEXT j
t(i + 1) = (2 * s / n + t(i)) / 2: m = 1
FOR j = i to 1 STEP -1
m = 4 * m: t(j) = t(j + 1) + (t(j + 1) - t(j)) / (m - 1)
NEXT j: NEXT i: in = t(1) * d * 2 * r
LOCATE r * 20 - 19, v0 * 18: LPRINT USING „####.###“; in;
NEXT v0: LPRINT: NEXT r
END
fun:
y - 1 / sqr(19.62 * r * (1 - COS(x)) + v0 ^ 2)
RETURN
Aproximací závislosti rychlosti nad hrazdou v0 na trvání veletoče dostaneme s velmi vysokou
korelací (-0.99997) funkci
v0 = a · exp(-b · t)
Pro jednotlivé poloměry r dostaneme řadu těchto funkcí:
r = 1,00 m v0 = 22,3880 · exp(-1,5202 · T)
r = 1,05 m v0 = 23,1337 · exp(-1,4876 · T)
r = 1,10 m v0 = 23,5807 · exp(-1,4516 · T)
r = 1,15 m v0 = 24,1937 · exp(-1,4214 · T)
r = 1,20 m v0 = 24,7378 · exp(-1,3919 · T)
r = 1,25 m v0 = 25,3169 · exp(-1,3650 · T)
r = 1,30 m v0 = 25,8089 · exp(-1,3383 · T)
Najdeme-li závislost obou faktorů a, b těchto funkcí na poloměru r, dostaneme
aproximační funkci pro výpočet rychlosti nad hrazdou jako funkci dvou proměnných: r, T.
v0 = (22,42 + 12,905 · ln(r)) · exp(-1,5214 · r-0,4876
) · T)
Stanovíme-li z fotografie nebo kinogramu poloměr otáčení r a změříme-li dobu trvání
veletoče T, můžeme tímto vzorcem počítat rychlost těžiště gymnasty v0 v nejvyšším bodě
veletoče a kontrolovat tak, zda se při opakovaných veletočích zvyšuje.
137 / 180
L. ATLETIKA
L01 Dynamika startu
Po startovním výstřelu se po dobu reakční doby sprinter nehýbe. Po jejím uplynutí začne
stoupat zatížení startovních bloků podle grafu, který uvádí Griffing (83). Z něj je možné
vyvzorkovat následující tabulku celkové síly, působící na bloky:
t(s) F(lbf) F(N)
0,125 70 311,4
0,150 230 1023,1
0,175 390 1734,8
0,200 340 1512
0,225 245 1089,8
0,250 185 823
0,275 165 734
0,300 170 756
0,325 200 889,7
0,350 212 943
0,375 240 1067,6
0,400 237 1054,2
0,425 200 889,7
0,450 100 444,8
0,475 10 44,5
Celkem 2994 13317,6
Protože schází zcela údaje o směru síly, je i výpočet rychlosti z impulsu jen přibližný:
impuls síly je
I = ∫ F · dt = 13318,2 N · 0,0125 s = 332,95 N·s
Při hmotnosti sprintera m = 75 kg dostaneme přibližnou rychlost
v = I / m = 332,95 / 75 = 4,439 m/s
Protože v tabulce jsou uvedeny hodnoty výsledné síly, není vypočítaná rychlost
vodorovná. Při sklonu sprintera k zemi okolo 45o
by byla vodorovná složka Vx = 3,138 m/s.
Z původního grafu lze odečíst reakční dobu tr = 0,12 s. Průběh pohybu, tj. zrychlení, rychlosti
a dráhy počítáme postupně podle vzorců:
ax = Fx / m
vx = v + ax · dt
s = s + vx · dt
Literatura:
83. Griffing D. F. The Dynamics of Sports. (3rd.ed.),1987, Dalog Co.,Oxford, Ohio, str. 87
138 / 180
Tyto výpočty provedeme pomocí programu.
data F1,F2,F3,.... Fn
input „m,dt=„; m,dt
v=0: s=0
a:
read F: on error goto b
a=F/m: v=v+a*dt: s=s+v*dt
print using „#####.###“;F;a;v;s:goto a
b:
end
Příklad: z dat v citované knize dostaneme:
F(N) a(m/s2) v(m/s) s(m)
311.4 4.152 0.104 0.003
1023.1 13.641 0.445 0.014
1734.8 23.131 1.023 0.039
1512.0 20.160 1.527 0.077
1089.8 14.531 1.890 0.125
823.0 10.973 2.165 0.179
734.0 9.787 2.409 0.239
756.0 10.080 2.661 0.306
889.7 11.863 2.958 0.380
943.0 12.573 3.272 0.461
1067.6 14.235 3.628 0.552
1054.2 14.056 3.980 0.652
889.7 11.863 4.276 0.758
444.8 5.931 4.424 0.869
44.4 0.592 4.439 0.980
Pozn: síla má dva zřetelné vrcholy, asi maxima od obou nohou.
139 / 180
L02 Vytrvalost běžce sprintera
Průměrná rychlost sprintera bude u nejkratších sprintů do 60 m snížena vlivem reakční
doby, pohybů v blocích a zrychlováním. U delších sprintů pak začne snižovat okamžitou
i průměrnou rychlost únava, se kterou souvisí sprinterská vytrvalost. Tu můžeme posoudit
pomocí délky trati, na které sprinter dosahuje maxima své průměrné rychlosti. Tato trať nebývá
shodná s délkou trati, na které dosáhne sprinter maxima okamžité rychlosti.
Nalezení trati pro maximální průměrnou rychlost nemusíme provést prakticky, tj.
opakovanými sprinty na různě dlouhých tratích. To by ostatně nebylo dostatečně přesné. Známeli
několik stejně kvalitních výkonů pro různě dlouhé sprinty, můžeme proložit těmito body
vhodnou funkci a pak její derivací získáme snadno teoretické maximum. Jako vhodná se
osvědčila funkce
t = (a · L + b) · L (1)
Průměrná rychlost je pak
bLa
L
t
L
v

 v = L / t = L / (a · L + b) (2)
Součinitele a, b pro tuto funkci můžeme najít metodou nejmenších čtverců a hledané maximum
pomocí derivace
0aL
L
b
0,5aL0,5
dt
dv

Zjednodušením Lm · a = b
a trať Lm = b / a (3)
rychlost
bLa
L
v
m
m

 (4)
I když výpočet pomocí následujícího programu lze provést i pro 2 časy a trati, je přesnější
vložit více těchto dvojic do 300m. Pro trati delší je vhodnou metodou universální kvantitativní
kriterium vytrvalosti v kap. H08.
140 / 180
Program v Qbasicu:
DATA 60,6.46,100,9.86,200,19.75
s:
READ x, y: ON ERROR GOTO v
sx = sx + x: k = x * x
kx = kx + k: cx = cx + k * x
s1 = s1 + y * SQR(x)
s2 = s2 + y * x * SQR(x)
GOTO s
v:
ds = sx * cx - kx * kx
da = sx * s2 - kx * s1
db = cx * s1 - kx * s2
a = da / ds: b = db / ds
PRINT „a,b=„; a, b
lm = b / a: vm = SQR(lm) / (a * lm + b)
PRINT „Lmax,vmax=„; lm, vm
r:
INPUT „L=„; l
t = (a * l + b) * SQR(l)
v = l / t
PRINT „t,v=„; t, v
GOTO r
END
Pozn.: do řádku DATA byly vepsány výkony Carla Lewise na 60, 100 a 200 m. Protože
nebyly tyto výkony dosaženy v tomtéž roce, vyjadřují různou vytrvalost a výsledky neuspokojují
přesností regrese:
a = 0,00405271, b= 0,5853357, Lm=144,43 m, vm=10,266 m/s.
Doporučujeme použít data z jediného roku.
141 / 180
L03 Zvedání těžiště při běhu
Nedotýká-li se běžec dráhy, musí se těžiště jeho těla pohybovat po parabole, jejíž výška je
h = 0,5 · g · (t / 2)2
= 0,125 · g · t2
= 1,228 · (L / v)2
t … trvání 1 kroku (s)
L… délka 1 kroku (m)
v … rychlost běhu (m/s)
Pro L = 1,5 – 2,6 m a v = 5 – 11 m/s můžeme vypočítat tabulku zvednutí v m pro každý krok:
L v (m/s)
(m) 5 6 7 8 9 10 11
1,6 ,126 0,087 0,064 0,049
1,8 0,111 0,081 0,062 0,049
2,0 0,136 0,100 0,077 0,061 0,049
2,2 0,121 0,093 0,073 0,059 0,049
2,4 0,144 0,111 0,087 0,071 0,059
2,6 0,130 0,102 0,083 0,069
Počet kroků pro trať D je n = D / L
a celkové zvednutí pro všechny kroky na tuto trať
H = n · h = 1,228 · D · L / v2
= 1,228 · L · T2
/ D
142 / 180
Pro olympijské tratě můžeme počítat následující tabulku celkového zvednutí v m: T(m:s)
D(km) L(m) 1:42 1:44 1:46 1:48 1:50
0,8 1,8 28,7 29,9 31,0 32,2 33,4
2,0 31,9 33,2 34,5 35,8 37,1
2,2 35,1 36,5 37,9 39,4 40,8
2,4 38,3 39,8 41,4 43,0 44,6
1,5 3:30 3:35 3:40 3:45 3:50
1,8 65,0 68,1 71,3 74,6 78
2,0 72,2 75,7 79,2 82,9 86,6
2,2 79,4 83,3 87,2 91,2 95,3
2,4 86,6 90,8 95,1 99,5 103,9
5 13:00 13:20 13:40 14:00 14:20
1,6 239 252 264 277 291
1,8 269 283 292 312 327
2,0 299 314 330 347 363
2,2 329 346 363 381 400
10 27:00 27:45 28:30 39:15 30:00
1,6 516 545 575 605 637
1,8 580 613 646 681 716
2,0 645 681 718 757 796
2,2 709 749 790 832 875
hod:min
Marathon 2:00 2:10 2:20 2:30 2:40
1,6 2414 2833 3286 3772 4291
1,8 2716 3187 3696 4243 4828
2,0 3017 3541 4107 4715 5364
Z této tabulky je zřejmé, že delší krok znamená větší zvednutí a výdej energie.
U maratónu je zdvih velmi velký, jako výstup na vysokou horu. Kratší krok je ekonomičtější
z tohoto hlediska, ale jiné výdeje mohou být větší
143 / 180
L04 Běh v zatáčce
Běh v zatáčce je podstatnou částí atletických běhů na dráze, delších nežli 100 m. Kromě
toho se vyskytuje při rozběhu při skoku vysokém a v různých hrách. Běh v zatáčce není
kruhovým pohybem, protože běžec se dotýká země jen přerušovaně a směr pohybu těžiště může
měnit jen při styku se zemí. Proto dráha těžiště těla je mnohoúhelníkem se zaoblenými vrcholy.
Při délce kroku Lk je počet kroků v jedné zatáčce atletické dráhy roven
n = p · R / Lk
Při každém kroku musí atlet změnit směr dráhy těžiště o úhel
α = 180 / n = 180 · Lk / p · R
což pro poloměr dráhy R = 36,8 m dá
α = 1,55695 · Lk
Běžec s hmotností m má při rychlosti v lineární hybnost
G = m · v
a k pootočení vektoru hybnosti o úhel α potřebuje impuls síly, kolmé na vektor hybnosti
I = G · tg α
Dotýká-li se běžec při každém kroku země po dobu dt, vytvoří potřebný impuls střední silou F,
kolmou na dráhu
F = I / dt = m · v · tg α / dt
Při tomto kolmém působení se musí naklonit dovnitř zatáčky o úhel, daný
tg β = F / G = m · v · tg α / m · g · dt =
= 0,10197 · v · tg(1,55695 · Lk) / dt
Nakloněný běžec došlapuje na místo, vyšší nežli to, ze kterého se odrazil. Jeho výška pro jeden
krok
dH = dR · tg β = (1 - cos α ) · R · tg β
V zatáčce udělá n kroků a celé zvednutí za zatáčku je
H1 = n · (1 - cos α ) · R · tg β
144 / 180
Z těchto všech vztahů můžeme vypočítat následující tabulku:
L(m) v(m/s) L(m) dt(s) B H1(m) Nz H(m)
200 10 2,3 0,14 24,43 1,646 1 1,646
400 9 2,4 0,15 21,43 1,505 2 3,012
1500 7,2 2 0,17 13,18 0,738 7 5,1654
10000 6 1,8 0,18 9,415 0,4703 25 11,759
Ze zvednutí těžiště v jedné zatáčce H1 a zvednutí v celém závodě H plyne, že
běh v zatáčce je běh do kopce.
K výpočtům můžeme použít program:
input „v,Lk,dt=„;v,L,d
n=115.61/L: a=1.55695*L
t=.10197*v*tan(a)/d
H1=n*36.8*(1-cos(a))*t
print „H1=„;H1
end
145 / 180
L05 Výdej energie při běhu na různě dlouhé trati
V literatuře najdeme údaje o rozsahu výdeje energie při běhu na různě dlouhých tratích.
Ve starých jednotkách (kcal):
L(km) A(kcal)
0,1 35 - 53
0,2 46 - 68
0,4 48 - 84
0,8 80 - 90
1,5 107 - 202
5 370 - 400
10 750
Převedeme-li tyto mezní hodnoty a jejich průměry na nové jednotky (kilojoule, kJ), dostaneme:
L(km) A1 A2 A3
(km) min prům max
0,1 146,5 184,2 222
0,2 192,6 238,6 284,7
0,4 201 276,3 351,7
0,8 335 356 376,8
1,5 448 649 845,8
5 1549 1612 1674,7
10 3140 3140 3140
Tato data nejlépe aproximují lineární funkce
min A1 = 302,4 · L + 80,7 (kJ, km) r=0,999
prům A2 = 297 · L + 158,8 (kJ, km) r=0,9995
max A3 = 291,3 · L + 236 (kJ, km) r=0,997
Dostáváme nečekaný výsledek:
Energetický výdej při běhu roste lineárně s délkou trati
a) čím lepší běžec, tím menší absolutní člen této funkce
b) strmost této lineární funkce (regresní součinitel) klesá poměrně pomalu s rostoucí úrovní běžce
Tyto závěry je možné vysvětlit rozdíly v technice běhu a její účinnosti i ve fyziologii
práce (trénovanosti).
Literatura:
84. Klokov L. A. - Vasiljeva E. S. Gaswechseluntersuchungen beim Laufüber verschiedene
Strecken. Arbeitsphysiologie 7, 1934, 62-
85. Vinařický R. - Kubalová S. - Frank V. - Vodička P. Výdej energie při lehkoatletických
bězích, vztah rychlosti běhu a výdeje nergie, využití individuálních rozdílů v tréninkové
praxi. Teor. praxe těl. vých. 19, 1971, č.12, str. 722-729
146 / 180
L06 Fyziologický výkon při běhu různou rychlostí
Japonský fyziolog Yamaoka naměřil u dvou skupin běžců - světové a slabé výkonnosti výdej
energie a vypočítal z něj výkon. Po přepočtu na nové jednotky dostaneme dvě tabulky:
A. světová úroveň
B.
v(m/s) N(kW)
5 1,29
6 2,163
7 3,63
8 6,49
8,42 8,38
Tuto tabulku lze nahradit aproximační funkcí
N = 0,08238 · e0,546.v
r = 0,9995
B. Slabá výkonnost
v(m/s) N(kW)
4,3 1,4
5 2,16
6 3,6
6,95 6,28
Aproximační funkce
N = 0,12819 · e0,5592.v
r = 0,9994
Porovnáním obou aproximačních funkcí plyne:
1. běžec nižší úrovně musí podávat při stejné rychlosti větší výkon
2. výkon běžce roste s rychlostí běhu přibližně podle exponenciální funkce typu N = a · eb
·v
, tedy
progresivněji nežli podle funkce mocninové (N = a · vb
).
Literatura:
86. Yamaoka S. Studies on metabolismus in athletics sports. Res. Jour. Physiol. Educ. 9, 1965, 28
147 / 180
L07 Práce a účinnost při běhu
Rychlost běhu na delší trati (nad 1 km) je podíl délky trati a času:
v = L / t
Kinetická energie při této rychlosti je rovna práci, vykonané při rozběhu:
E = ½ · m · v2
= A1
Odpor vzduchu při této rychlosti
F = 0,027 · v2
(muži)
F = 0,021 · v2
(ženy)
Práce proti tomuto odporu
A2 = F · L = 0,027 · v2
· L
Délka kroků závisí na rychlosti přibližně podle vztahů
Lk = 1,37 · v0,19
(muži)
Lk = 1,21 · v0,21
(ženy)
Práce pro zvedání těžiště závisí na rychlosti běhu a délce kroku
 
k
2
k
42
3
L
L
Lgvv
4
m
A 



 
g … 9,81 m/s2
Práce při běhu v zatáčkách (viz L04)
A4 = 0,0427 · m · Lk · v2
· int(L / 200)
Celková práce
A = A1 + A2 + A3 + A4
Fyziologický výkon při běhu
N = 0,0824 · exp(0,545 · v)
a práce z něj
Af = N · t
Účinnost je poměr nutné práce A a fyziologického výdeje energie Af
η = A / Af
Příklad:
běžec s m = 75 kg uběhne L = 5000 m za 13:00 min, tedy 780 sek. v = 5000 / 78 = 6,41 m/s
A1 = 1,541 kJ A2 = 5,5469 kJ
Lk = 1,95 m A3 = 227,151 kJ
A4 = 6,41475 kJ A = 240,65345 kJ
N = 2,7892 kW Af = 2114,501 kJ
η = 240,65345 / 2114,501 = 0,1138
Přibližná účinnost práce tohoto běžce je 11 %.
148 / 180
L08 Skok vysoký a měření času
Skokan, který má na konci odrazu těžiště ve výšce h1 a stoupavou rychlost v, bude svým
těžištěm stoupat podle vztahu
h = h1 + v · t - ½ · g · t2
kde g = 9,80665 m/s2
Maximální výšku těžiště najdeme, když derivaci tohoto výrazu podle času položíme rovnu nule:
v - g · t = 0
Stoupání bude trvat
t = v / g
Tento čas je ale možné změřit. V něm stoupne těžiště o dráhu
h - h1 = ½ · g · t2
a čas
111 hh0,4156hh
g
2
t 
Stejný výraz platí pro trvání pádu z vrcholu dráhy na doskočiště:
t2 = 0,4516 · 1hh 
takže trvání celého letu skokana bude
t = t1 + t2 = 0,4516 · ( 1hh  + 1hh  )
Z tohoto vzorce nelze isolovat hledanou max.výšku těžiště h, ale vypočítat ji z t, h1, h2 je
možné numericky funkcí SOLVER, kterou mají lepší vědecké kalkulátory. Jedinou podmínkou je
dostatečně přesné změření trvání letu skokana: změnou výšky h skoku o ±1 cm se změní čas t o
± 0,004 - 0,005 sek. Chceme-li vypočítat maximální výšku h s chybou max. 1 cm, musíme čas
změřit s uvedenou přesností, a to buď kinogramem s frekvencí snímání 250 - 200 obr / sek nebo
elektronicky. Zde je ale problém se snímači začátku a konce letu skokana.
Pro minimální dovolenou výšku doskočiště podle pravidel atletiky h2 = 0,7 m dostaneme
tabulku maximálních výšek h:
t (sek)
h1 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
1,2 1,427 1,577 1,754 1,960 2,188
1,25 1,454 1,607 1,783 1,987 2,216
1,3 1,492 1,638 1,813 2,016 2,244
1,35 1,526 1,670 1,843 2,044 2,272
1,4 1,561 1,702 1,873 2,074 2,300
1,45 1,596 1,734 1,904 2,103 2,330
149 / 180
Pro výšku doskočiště h2 = 1 m dostaneme tabulku:
t (sek)
h1 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
1,2 1,547 1,705 1,888 2,095 2,328
1,25 1,575 1,732 1,915 2,122 2,354
1,3 1,604 1,760 1,942 2,148 2,380
1,35 1,634 1,788 1,969 2,176 2,407
1,4 1,664 1,817 1,997 2,203 2,434
1,45 1,695 1,847 2,026 2,230 2,461
Stanovit maximální výšku těžiště těla při skoku je důležité proto, že můžeme určit rozdíl
mezi touto výškou a výškou laťky, tedy dokonalost techniky přechodu přes laťku. Zůstává
problém, zda skok vrcholil nad laťkou, před ní nebo za ní. To může ukázat kinogram.
Příklad: v literatuře bylo uvedeno, že světový rekordman Javier Sotomayor (Cuba) měl na
konci odrazu těžiště těla ve výšce h1 = 1,42 m. Kdyby doskočiště bylo vysoké h2 = 1 m, a max.
výška 2,45 + 0,1 = 2,55 m, pak by let trval
1,04212,551,422,550,4156t  sek.
Budou tedy lety skokana, trvající více nežli 1 sek poměrně vzácné a jsou důkazem velké
odrazové schopnosti skokana.
150 / 180
L09 Skok o tyči
Výška, do které zvedne skokan o tyči své těžiště, je součtem čtyř výšek:
1. výšky těžiště h1 nad zemí před svislým odrazem
2. zdvihu svislým odrazem h2
3. zdvihu pomocí rozběhu a pružnosti tyče h3
4. zdvihu pažemi na svislé tyči h4.
Obratnost skokana a technika přechodu přes laťku rozhodne o tom, zda skokan musí
zvednout těžiště nad laťku, do její výšky nebo pod ni, protože tělo má tvar ∩.
1. výška těžiště skokana nad zemí na konci rozběhu h1  1,3 m závisí na tělesné výšce skokana a
rozložení hmoty (skokani o tyči mívají lehké nohy a masivní ramena).
2. svislým odrazem může skokan o tyči zvednout těžiště méně nežli skokan do výšky, tedy
h3  0,5 - 0,8 m.
3. na konci rozběhu má skokan vodorovnou rychlost v1, pro přechod laťky si musí ponechat
vodorovnou rychlost v2, takže do pružnosti tyče může uložit rozdíl kinetických energií
Ek = 0,5 · m · ( 2
1v – 2
2v )
Tato energie se dá přeměnit v energii polohy Ep = m · g · h3 a zdvih pomocí této energie bude
h3 = ( 2
1v – 2
2v ) / 2 · g
při účinnosti tyče < 1 bude násobena tato výška účinností.
4. uložením kinetické energie do tyče se tyč ohne do oblouku, takže konce tyče spolu svírají úhel
blízký 90°. Pak se tyč narovná a při tom katapultuje skokana vzhůru. Na narovnané tyči může
skokan zvednout své těžiště pažemi o h4  0,3 m.
Maximální výška těžiště je pak H = h1 + h2 + h3 + h4.
Praktický příklad: h1 = 1,3 m, h2 = 0,6 m,
h3 = (92 - 22
) / 19,61 = 3,93 m, h4 = 0,3 m.
H = 1,3 + 0,6 + 3,93 + 0,3 m = 6,13 m (světový rekord je 6,15 m). V procentech: h1 = 20,7 %,
h2 = 9,6 %, h3 = 65 %, h4 = 4,8 %. Je tedy energetický příspěvek rozběhu a přenosu tyčí
největší.
151 / 180
L10 Vliv skloněné dopadové plochy na délku vrhů a hodů
Podle pravidel atletiky (Pravidlo 187, bod 11) „sklon výseče pro dopad náčiní ve směru
vrhu nebo hodů nesmí překročit hodnotu 1:1000“.
V rovnici
 2
2
0
αcosv
L4,905
αtgLyy



dosadíme y= ± L / 1000 nebo 0.
Pro
kouli dosadíme y0 = 2,3 m, α = 42˚, v = 14 m/s
pro oštěp y0 = 2,3 m, α = 36˚, v = 30 m/s
Koule: ± L / 1000 = 2,3 + L · tg 42˚ - 4,905 · L2
/ (14 · cos 42˚)2
Oštěp: ± L / 1000 = 2,3 + L · tg 36˚ - 4,905 · L2
/ (30 · cos 36˚)2
Rovnice řešíme podle L pomocí funkce Solver:
y koule oštěp
0 22,16 90,311
+ L / 1000 22,14 90,195
- L / 1000 22,18 90,427
Kolísá tedy délka vrhu koulí při sklonu ± 1 / 1000 o ± 2 cm
hodu oštěpem při sklonu ± 1 / 1000 o ± 11,5 cm
Rekordy by se proto měly schvalovat jen při zlepšení vrhu koulí minimálně o 3 cm, při hodu
oštěpem o 12 cm.
152 / 180
M. PLAVÁNÍ
M01 Měření odporu vody vlekem plavce
V hydrodynamickém kanále můžeme změřit odpor vody při různých rychlostech vleku
plavce. Dostáváme minimální odpor, protože všechny pohyby plavce tento odpor značně zvětší.
Rychlost vleku musí být konstantní, protože se zrychlováním nebo zpomalováním souvisí
setrvačné síly.
Odpor vody má dvě složky:
lineární odpor je třecí, povrchová nebo laminární složka, převažující při malých rychlostech:
F1 = c · η · s · v = a · v
c … drsnost povrchu
η … dynamická viskosita vody
s … povrch těla
v … rychlost plavce
Kvadratický odpor - turbulentní složka, převažující při velkých rychlostech:
F2 = 0,5 · cx · h · P · v2
= b · v2
cx… tvarový součinitel těla plavce
h … hustota vody
P … průřez těla (plocha)
v … rychlost plavce
Celkový odpor je součet
F = F1 + F2 = a · v + b · v2
Abychom mohli z naměřených dat stanovit činitele a, b, použijeme aproximační metodu
nejmenších čtverců, obsaženou v následujícím programu.
Literatura
87. Juřina K. K teorii a metodice plaveckého tréninku. 1972, Praha, Fak. těl. vých. a sportů,
Karlova Universita.
data v1,f1,v2,f2,…,vn,fn
a:
read x,y: on error goto b
k=x*x: s2=s2+k: s3=s3+x*k
s4=s4+k*k: xy=xy+x*y: yk=yk+y*k
goto a
b:
ds=s2*yk-s3*s3
da=s4*xy-s3*yk
db=s2*yk-s3*xy
153 / 180
a=da/ds: b=db/ds: print „a,b=„;a,b
c:
input „v=„;v
f=(a+b*v)*v
print „odpor=„;f
goto c
end
Příklad: Juřina naměřil a publikoval následující data o rychlosti vleku (m/s), průřezu těla (dm2
)
a odporu vody (v newtonech):
v P(dm2
)
(m/s) 5 6 7 8 9 10
1,0 24,5 26,5 28,4 30,2 32,4 34,3
1,2 32,3 34,3 36,3 39,3 41,2 44,1
1,4 42,2 45,1 47,1 51,0 53,0 56,9
1,6 54,9 58,8 61,8 65,7 68,6 72,6
1,8 69,6 73,5 77,5 82,4 86,3 90,2
2,0 84,3 89,2 95,1 100 104,9 110,8
Programem vypočítáme součinitele a,b a dostaneme tyto rovnice:
pro P=5 dm2
: F = 4,696 · v + 18,696 · 2
pro P=6 dm2
: F = 5,857 · v + 19,334 · v2
pro P=7 dm2
: F = 6,665 · v + 20,771 · v2
pro P=8 dm2
: F = 7,851 · v + 20,974 · v2
pro P=9 dm2
: F = 8,425 · v + 21,850 · v2
pro P=10 dm2
:F = 10,059 · v + 22,40 · v2
Dále můžeme aproximovat závislost a,b na průřezu P:
a = 1,05 · P - 1,77
b = 0,75 · P + 15
Výsledné rovnice pro odpor vody, je-li dána rychlost v a průřez těla P:
F = (1,05 · P - 1,77) · v + (0,75 · P + 15) · v2
Průřez těla plavce lze stanovit fotograficky.
154 / 180
M02 Odpor vody vlečeného plavce a hnací síla upoutaného plavce
Safarjan publikoval data o odporu plavce, vlečeného různými rychlostmi:
v (m/s) F (kp) F (N)
0,35 1,76 17,26
1,35 4,41 43,25
1,65 6,43 62,06
1,8 8,07 79,14
1,95 9,39 92,08
2,1 10,94 107,28
Z těchto dat dostaneme aproximací
F(N) = 23,93 · v2,0258
r = 0,99982
Hnací síla při plavání na závěsu dynamometru byla měřena na místě (v = 0 m/s) a při rychlosti
vypouštění závěsu v = 0,85 m/s:
čas v = 0 v = 0,85
na 50 m (m/s) (m/s)
F(N) F(N)
23 26 13,7
24 23,7 12,8
25 21,4 11,9
26 19,8 11,1
27 18,3 10.3
28 17,3 9,5
29 16,2 8,2
30 15,2 7,9
31 14,2 7,1
32 13,3 6,3
33 12,5 5,7
Nejlepší aproximace:
v = 0: F(N) = 245,316 / (t - 13,649) r = 0,9989
v = 0,85 m/s F(N) = 83,821 - 22,303 · ln(t) r = 0,9996
Pokles síly v závěsu při plavání s omezenou rychlostí je způsoben odporem vody.
Rychlost klesání hnací síly s rychlostí vypouštění je mírou plavecké schopnosti vytvářet velkou
hnací sílu i při vyšší rychlosti, což je schopnost velmi důležitá.
Literatura
88. Safarjan I. G. Faktory, určujcí rychlost plavání kraulem. (rusky) Těor. prakt. fiz. kult. 1969,
č. 4, str. 11 - 16
155 / 180
M03 Fyziologický výkon při plavání
Rychlost výdeje energie (fyziologický výkon) při plavání v cal/min, kcal/hod nebo
Wattech lze změřit analýzou vydýchaných plynů, které se říká nepřímá kalorimetrie. Takové
měření je poměrně obtížné, a přesto jej provedla v případě plavání celá řada autorů. U některých
zpracujeme jejich data aproximacemi závislosti výkonu na průměrné rychlosti plavání
jednoduchou mocninnou funkcí, která svým exponentem ukazuje strmost této závislosti.
Teoreticky podle mechaniky by exponent měl být n = 3. Fyziologicky je tato závislost ovlivněna
odváděním tepla do vody. Protože autoři neuvádějí teplotu vody, ve které měřili, mohou být mezi
jejich výsledky systematické rozdíly kromě individuálních.
89. Karpovich P. V. - Millman N. Energy expenditure in swimming. Amer. Jour. of Physiology
142, 1944, s. 140-.
Po převodu ft/s na 0,3048 m/s a cal/min na 0,06978 W dostaneme:
Kraul:
m/s N / kW
N(kW) = 1,7645 · v2,315
r = 0,958
0,671 0,84
1,22 0,96
1,341 2,8
1,524 5,075
1,585 5,32
1,768 8,68
Znak:
N(kW) = 2,306 · v2,546
r = 0,991
0,61 0,7
0,914 1,75
1,22 3,36
1,524 6,16
1,585 9,1
Prsa:
N(kW) = 2,952 · v2,972
r = 0,998
0,655 0,84
0,704 1,05
1,067 3,36
1,183 5,25
1,250 5,6
Pozn.: data byla vyvzorkována z grafů v knize
90. Krůta – Hornof – Seliger, Úvod do fyziologie tělesných cvičení, 1954, Praha, SZN, str. 350 -
351 a 423.
91. Klissouras V. Energy metabolism in swimming the doplhin stroke Internat. Zeit. angew.
Physiologie, 25,1968, č. 2, s. 142-150
156 / 180
m/s N(kW)
N(kW) = 1,485 · v3,077
r = 0,997
0,61 0,35
0,91 1,05
1,22 2,45
1,514 5,25
1,707 8,75
92. Yancher R. - Larsen O. - Lubaer C. Power and velocity relationship in swimming. Swimming
Technique 19, 1983, č. 4, s.16-18:
0,8 0,057
N(kW) = 0,183 · v5,218
r = 0,999999
Pozn.: velmi vysoká hodnota
exponentu i korelačního
součinitele vyvolávají dojem,
že data byla upravena.
1,0 0,183
1,2 0,474
1,4 1,059
1,6 2,125
1,8 3,928
2,0 6,807
2,2 11,191
93. Vinařický R. Výdej energie při sportovní činnosti. Tělovýchovný sborník 10, 1967, s. 77 -
Kraul:
1 0,698
N(kW) = 0,674 · v3,542
r = 0,994
1,5 2,617
1,75 5,7
Prsa:
0,333 0,266
N(kW) = 2,013 · v2,042
r = 0,982
0,5 0,419
0,833 1,047
94. Seliger V. - Trefný Z. Základy fysiologie tělesných cvičení 1967, Praha, SZN, s. 89 –
0,333 0,2763
N(kW) = 2,172 · v2,086
r = 0,99
0,5 0,4438
0,833 1,1304
1,5 5,024
1,75 8,457
157 / 180
95. Sobolová Z. - Zelenka V. Fysiologie tělesných cvičení a sportu 1973, Praha, Olympia, tab. 33
0,333 0,276
N(kW) = 2,172 · v2,056
r = 0,987
0,5 0,46
0,6 0,787
0,833 1,164
1,5 4,296
1,75 9,203
96. Seliger V. - Vinařický R. - Trefný Z. Fysiologie tělesných cvičení. 1980, Praha, Avicenum,
s.20-21
V grafech jsou data pro plavce na úrovni 370 a 650 bodů, a pro světové rekordmany.
Poslední dvě skupiny jsme porovnali:
KRAUL:
Plavci 650 b.
N(kW) = 0,471 · v3,021
r = 0,99993
1,44 1,4
1,63 2,1
1,8 2,8
1,95 3,5
Plavci SR
1,662 2,141
N(kW) = 0,510 · v2,8306
r = 0,9998
1,727 2,409
1,813 2,743
2,023 3,747
ZNAK:
Plavci 650 b.
N(kW) = 0,564 · v4,365
r = 0,9999
1,10 0,86
1,35 2,07
1,59 4,3
Plavci SR
1,385 1,4
N(kW) = 0,364 · v4,158
r = 0,9996
1,52 2,1
1,63 2,8
1,725 3,48
MOTÝL:
Plavci 650 b.
1,0 1,24
N(kW) = 1,183 · v2,162
r = 0,9896
1,16 1,56
1,33 2,24
1,53 3,01
Plavci SR
1,22 1,4
N(kW) = 0,884 · v2,286
r = 0,9998
1,465 2,1
1,66 2,8
1,815 3,48
158 / 180
PRSA:
Plavci 650 b.
N(kW) = 1,49 · v2,156
r = 0,992
0,57 0,84
1,0 1,45
1,19 2,04
1,28 2,69
Plavci SR:
1,085 1,4
N(kW) = 1,17 · v2,1296
r = 0,9993
1,325 2,1
1,5 2,8
Na str. 289 v tab. 83 téže knihy najdeme data, která dají tyto závislosti:
Kraul N(kW) = 0,658 · v3,018
Znak N(kW) = 0,919 · v3,138
Motýl N(kW) = 1,049 · v2,548
Prsa N(kW) = 1,615 · v1,980
Ze všech uvedených dat plyne:
1. energetický metabolismus při plování vysokou rychlostí je 50-90× větší, nežli klidový
metabolismus (80 – 100 W).
2. ekonomičtější způsoby mají větší součinitel a menší exponent. Neekonomické způsoby (prsa
a motýl) mají totiž velký výdej již při malých rychlostech, překvapuje, že roste pomaleji.
3. Najdeme-li průsečíky aproximačních funkcí, dostaneme několik zajímavých výsledků:
kraul je ekonomičtější, než znak pro rychlost v > 1,24 m/s
znak je ekonomičtější, nežli motýl pro rychlost v < 1,61 m/s
Ostatní průsečíky křivek leží v oblasti rychlostí, které plavci nedosahují.
159 / 180
M04 Účinnost plavání kolísavou rychlostí
Plavec vytváří hnací sílu záběry svých paží a nohou. Protože má jen dvě paže a dvě nohy,
bude hnací síla kolísat a s ní i okamžitá rychlost mezi maximem a minimem. Při tom střední
(průměrná) rychlost je dána poměrem dráhy a času (pro celý závod, jeden bazén nebo jedno
tempo):
v = L / t
Okamžitá rychlost kolísá a proto ji musíme stanovit pro velmi krátký okamžik dt:
v0 = dL / dt
Průběh okamžité rychlosti měřila řada autorů různými metodami (viz následující seznam
literatury). Máme-li změřenu okamžitou rychlost, bude výsledek měření buď
1. ve formě číslicové, tj. vzorků rychlosti v pravidelných dostatečně krátkých intervalech, nebo
2. ve formě grafu, z něhož musíme předchozí formu získat tzv. vzorkováním, převodem křivky
na čísla. To je samozřejmě zatíženo chybami, křivka má ale výhodu, že je ihned vidět
pravidelnost křivky a tedy správná funkce měřicích přístrojů.
K následující analýze potřebujeme data o jednom typickém cyklu, tj. jednom tempu, který
u kraulových způsobů zahrnuje dva úplné záběry, u motýlka a na prsa jedno úplné tempo.
Nejdříve můžeme vypočítat střední (průměrnou) rychlost pro jedno tempo


n
1i
i
s
n
v
V
ze které lze počítat čas pro celou závodní trať.
Odpor vody, plavcem překonávaný je úměrný druhé mocnině okamžité rychlosti:
Fo = k · vi
2
a výkon proti tomuto odporu
No = Fo · vi = k · vi
3
Elementární práce je
dA = No · dt
a práce pro celé tempo
A = k · dt ·  3
1v
Práce při rovnoměrné rychlosti, rovné střední je
As = k · T · 3
sv
a tato práce je vždy menší, nežli za tutéž dobu při kolísavé rychlosti. Proto je poměr obou prací
roven účinnosti
 = As / A = n · 3
sv /  3
1v
která je vždy menší nežli jednička. Jedničce se blíží tím více, čím menší je kolísání rychlosti.
Platí tedy pravidlo:
Plavecká technika je dokonalejší, klesne-li kolísání okamžité rychlosti.
160 / 180
K výpočtu střední rychlosti a účinnosti plavecké techniky můžeme použít následující program.
data 1.2,1.4,1.65,1.85,1.88, 1.85, 1.86, 1.84
data 1.72,1.57,1.53,1.54,1.52,1.45,1.36
a:
read v: on error goto b
s=s+v: k=k+v*v*v: n=n+1
goto a
b:
c=s/n: e=n*c*c*c/k
print „prum.rychlost,účinnost=„;c,e
end
Příklad: do řádků data jsou vepsána data od amerického znakaře Templetona, naměřená 17. 12.
1973 v Brně. Program dá vs = 1,6147 m/s, což dává na 100 m čas 1:01,93. Účinnost byla
 = 0,9538, což je daleko více, nežli u tehdejších našich plavců.
Literatura:
97. Karpovich P. V. Swimming speed analyzed. Scientific American 146, 1930, March, str. 224-
225
98. Karpovich P. V. An Analysis of Propelling Force in the Crawl Stroke. Research Quarterly 6,
1935, č. 2, s. 49 - 58
99. Karpovich P. V. - Pestrecov K. Mechanical Work und Efficiency in Swimming Crawl Stroke
and Back Stroke. Arbeitsphysiologie, 10, 1938, s. 504 - 514
100. Karpovich P. V. - Karpovich G. P. Magnetic Tape Natograph. Research Quarterly, 41, 1970,
č.1, str. 119 -
101. Myiashita M. An Analysis of Fluctuation of Swimming Speed. In: Levillie L. - Clarys J. P.
First International Symposium on Biomechanics of Swimming. 1970, Proceedings,
Bruxelles, 1971, str. 54 -
102. Zschorlich V. - Heeren K. - Wolf H. Der Einsatz der Technik-analyse im Training des
Brustschwimmens. Schwimmtrainer (BRD) 1988, Heft 56/57, str. 13 - 21
103. Motyčka J. Kinematická a dynamická analýza plování a veslování. Disertační práce, Brno
1959.
104. Kent M.R. The physics of Swimming. Physics Education 15, 1980, č. 5 (Sept), s. 275 - 279
105. Zschorlich V. - Heeren K. - Wolf H. Der Einsatz der Technikanalyse im Techniktraining des
Brustschwimmens. Der Schwimmtrainer (BRD), 1988, No. 56/57, s. 14 - 21
161 / 180
M05 Startovní skok
má tyto části:
a) reakční doba
b) pohyby na bloku
c) let vzduchem
d) dopad na vodu a splývání před plaváním
a) reakční dobu můžeme změřit přímo časoměrným zařízením, spuštěným elektrickou pistolí
startéra a zastaveným dynamometrickou plošinou na startovním bloku, nepřímo počítáním
jednotlivých obrázků na filmu nebo videozáznamu a výpočtem pomocí známé frekvence snímání
b) pohyby na bloku analyzujeme pomocí filmu nebo videozáznamu. S těmito pohyby souvisí
změny vodorovných a svislých sil, kterými plavec působí na blok. Protože tyto síly souvisí
s rychlostí, kterou plavec opouští blok, je cenné měření těchto sil pomocí 2 dynamometrů,
protože musíme měřit obě složky, abychom mohli určit směr odrazu. Z okamžitých hodnot těchto
dvou sil je možno kreslit hodogram výsledné odrazové síly 2
y
2
x0 FFF  . Z průběhu obou
složek můžeme stanovit impulsy obou sil

T
0
xx dtFI
  
T
0
yy dtFI G
Tíhu G musíme odečíst, protože potřebujeme jen zrychlující sílu. Při odlepení nohou od bloků má
pak plavec výslednou (šikmou) rychlost
 
m
II
m
I
v
2
y
2
xv


Tato rychlost bývá 4 – 5 m/s. Její směr je dán úhlem
β = arc tan (Iy / Ix)
c) let vzduchem je určen parabolickou drahou těžiště, protože odpor vzduchu můžeme zanedbat.
Dráha je totiž krátká a rychlost poměrně malá. Na videozáznamu s vhodným pozadím
(souřadnicová mříž) lze stanovit 3 polohy těžiště: na začátku letu, ve střední části letu a při
dopadu na vodu. Těmito třemi páry souřadnic proložíme parabolu y = a · x2
+ b · x + c tím, že
součinitele a, b, c najdeme metodou nejmenších čtverců (kap. C04, G01). Počáteční bod dráhy je
určen vodorovnou vzdáleností těžiště od hrany bloku xo, a svislá poloha je určena výškou bloku
(podle FINA 0,5 – 0,75 m) a šikmou polohou těla.
Příklad:
počáteční bod x0 = 1,3 m, y0 = 0,75 + 0,5 = 1,25 m
střední bod x1 = 2 m, y0 = 1 m
bod dopadu x2 = 3,12 m, y0 = 0 m
Programem dostaneme
y = -0,29435 · x2
+ 0,6142 · x + 0,949
počáteční úhel α0 = 31,56°
počáteční rychlost V0 = 4,79 m/s
vrchol dráhy Xmax = 1,043 m Ymax = 1,269 m
162 / 180
doba letu T = 0,764 s
úhel dopadu β = -50,72°
d) splývání pod vodou bez plavání začíná rychlostí dopadovou, tedy vyšší nežli je průměrná
rychlost plavání. Plavec proto má začít plavat, až jeho rychlost klesne na tuto průměrnou
rychlost. Ověřit, zda to dělá můžeme výpočtem doby, za jakou má začít plavat, a to je možné
dvěma metodami:
1. přímou integrací pohybové rovnice: setrvačná síla je rovna právě odporu vody, tedy
Fs = F0
m · dv / dt = k · v2
separací proměnných
dv / v2
= m / k · dt
integrací
 
T
0
V
V
2
dt
m
k
v
dv
p
st
T
m
k
v
1 pl
st
V
V







Potom čas splývání z rychlosti vst na rychlost vpl bude
T = m / k (1 / vpl – 1 / vst)
Dosazením
75 / 34,6 · (1 / 1,7 – 1 / 4 ) = 0,733 s
Po této době splývání by měl plavec začít plavat.
2. číselnou integrací diferenciální rovnice II. řádu
m · a = k · v2
a = y“ = k / m · y´2
= 0,4613 · y´2
Rovnice
y“ = 0,4613 · y´2
dá pro počáteční podmínky t = 0, s = 1,3 m, v = 4 m/s, dt = 0,1 sek
tyto hodnoty pro čas t (sek), dráhu s (m), rychlost v (m/s) a zrychlení a (m/s2
):
t s v a
0 1,3 4 -7,38
0,1 1,67 3,38 -5,26
0,2 1,98 2,92 -3,94
0,3 2,25 2,58 -3,06
0,4 2,50 2,30 -2,44
0,5 2,72 2,08 -2,00
0,6 2,92 1,90 -1,66
0,7 3,10 1,75 -1,41
0,8 3,27 1,62 -1,20
Lineární interpolací rychlostí v posledních dvou řádcích (1,746 a 1,6154 m/s) na hodnotu
vpl = 1,7 m/s dostaneme čas 0,735 sek, což je v dobré shodě s předchozím výpočtem (0,733 sek).
163 / 180
M06 Diferenciální pohybová rovnice plavce po startu nebo obrátce
Plavec má po startu nebo po obrátce vyšší vodorovnou rychlost nežli rychlost plavání.
Tato rychlost odporem vody rychle klesá a vznikají dvě otázky:
 jaký má průběh rychlost plavce bez záběrů
 ve kterém okamžiku nebo vzdálenosti klesne rychlost po startu nebo obrátce na rychlost
plavání, aby plavec začal plavat.
Pohyb plavce pod vodou bez záběrů je ovládán dvěma vodorovnými silami: odporem vody, který
je úměrný druhé mocnině rychlosti
Fo = k · v2
= k · s´2
Tento odpor snižuje plavcovu rychlost, tomu ale jako reakce brání setrvačná síla
Fs = m · a = m · v´ = m · s”
kde zrychlení a je první derivací rychlosti v podle času, nebo druhou derivací dráhy s podle času.
Součinitel odporu vody v první rovnici lze změřit vlekem plavce vodou rovnoměrnou rychlostí:
2
v
F
k 
Podle Newtonova III.principu jsou tyto dvě síly stále v rovnováze, takže platí rovnice sil
Fs + Fo = 0
Dosazením
m · a + k · v
2
= 0
0
m
vk
dt
dv 2



V této diferenciální rovnici prvního řádu můžeme separovat
Proměnné
dt
m
k
v
dv
2

a integrovat od počáteční rychlosti v0 do konečné v:
m
tk
v
1
v
v0






čas pro pokles rychlosti v0 na v je pak







0v
1
v
1
k
m
t
164 / 180
Z téže rovnice je průběh rychlosti v čase







0
0
v
1
v
1
/vmv
dosazením v = ds / dt a separací proměnných po úpravách bude






 1
m
t
kvln
k
m
s 0
Příklad: plavec s hmotností m = 75 kg byl při vleku stálou rychlostí 1 m/s vlečen silou F0 = 25 N.
Jeho k = 25 kg / (m · s2
), při závodě na 100 m za 52 sek má průměrnou rychlost 1,923 m/s.
Při startu byla naměřena vodorovná rychlost po odrazu v0 = 4 m/s, takže vzorec pro čas je
t = 75 / 25 · (1 / v – 1 / v0) = 3 · (1 / 1,923 – 1 / 4) = 0,81 sek.
Rychlost závisí na čase podle vzorce v = m · v0 / (v0 · k · t + m) = 300 / (100 · t + 75),
dráha vzorcem s= m / k · ln(v0 · k · t / m +1). Oba průběhy jsou v tabulce:
t (s) v (m/s) s (m)
0 4 0
0,2 3,158 0,709
0,4 2,609 1,282
0,6 2,222 1,763
0,8 1,935 2,177
1 1,714 2,542
1,5 1,333 3,296
2 1,094 3,897
Na průměrnou rychlost plavání 1,923 m/s klesne rychlost po dopadu na vodu za přibližně 0,8 sek
ve vzdálenosti okolo 2,2 m.
165 / 180
M07 Závislost rekordů plavců seniorů na věku
Mezinárodní plavecká amatérská federace FINA vede světové rekordy plavců seniorů od
25 do 90 let. Závislost těchto rekordů na věku nejlépe aproximuje hyperbolická funkce
teoretický rekord = délka / (základní rychlost – konst. věk)
Z této funkce vyplývá, že mezi 25 a 75 lety klesá rychlost při rekordu lineárně s věkem.
Metodou nejmenších čtverců je možné vypočítat základní rychlost a konstantu z řady světových
rekordů pomocí následujícího programu.
Literatura
106. FINA Masters News
DATA .254,.2505,.2589,.2635,.2708,.2865,.3005,.3034,.3280,.3477
INPUT „L(m),zpus,m/z „; l, z$, s$
FOR a = 25 TO 70 STEP 5
READ t: i = INT(t)
x = 1 / (60 * i + 100 * (t - i))
sx = sx + x: kx = kx + x * x
ax = ax + a * x: NEXT a
j = 2062.5: k = kx - sx * sx / 10
c = ax - 47.5 * sx
b = (sx - c / j * 475) / 10 * l
d = -c / j * l
LPRINT l; z$; s$; TAB(12); b; TAB(25); USING „##.########“; d
END
Příklad: rekordy pro krátký bazén na 50 m delfín muži v jednotlivých věkových kategoriích od 25
do 70 let vepsány do řádku DATA.
Výsledek:
50 dfm v0 = 2,35804 m/s, k = 0,01247763
tr = L / (v0 – k . věk)
Teoretický světový rekord na 50 m delfín muži můžeme počítat podle uvedeného vzorce, kde
L … délka trati
v0 …teoretická rychlost pro věk = 0
k … konstanta
věk … počet let plavce
166 / 180
M08 Hodnocení a srovnávání seniorských plaveckých výkonů
V předchozí kapitole vypočítané hodnoty parametrů v0 a k dovolují vypočítat pro
libovolný věk od 25 do 70 let teoretický světový rekord podle vzorce
Tr = délka trati(m) / (v0 - k · věk)
S tímto teoretickým rekordem porovnáme skutečný výkon plavce ve formě procent:
p(%) = (rekord / výkon ) · 100
Dostaneme relativní hodnotu rekordu s ohledem na pohlaví a věk plavce, rozlišenou po 1 roce (na
rozdíl od kategorií po 5 letech).
Příklad: 53 let starý motýlkář zaplaval 50 m za 33,5 sek. Pro jeho věk dostaneme teoretický
rekord (podle předchozí kapitoly)
Tr = 50 / (2,35804 - 0,01247763 · 53) = 29,4685 sek,
a procentní hodnota výkonu je
p = 29,4685 / 33,5 · 100 = 87,96 %.
Tato metoda dovoluje srovnávat výkony mužů a žen různého věku, plavající různými způsoby
různě dlouhé tratě. Parametry (v0, k) lze počítat po každém vydání rekordů věkových kategorií
organizací FINA, tedy každoročně.
Literatura
107. Kopřiva J. Závislost výkonnosti a vytrvalosti v lokomočních sportech na věku. Teor. praxe
těl. vých. 36, 1988, č. 8, s. 466-8
167 / 180
M09 Grafy popisující souhru plaveckých pohybů
Při plavání je významné pro dosažení vysoké rychlosti, v jaké časové posloupnosti jsou
prováděny pohyby paží a nohou. Této posloupnosti říkáme také souhra pohybů. Nejdůležitější je
při plavání na prsa, protože u tohoto způsobu provádí plavec pohyby pod vodou ve směru
plavání, tedy silně brzdící. Proto musí plavec své pohyby optimalizovat nejen v prostoru, ale
i v čase. Abychom mohli posoudit souhru pohybů, potřebujeme tzv. kinogram, tedy záznam
pohybů plavce, rozložený do dostatečné blízkých obrázků, snímaných pravidelnou frekvencí buď
na film nebo televizní kamerou (kamkorderem). Pak můžeme počítat, kolik obrázků trvá každá
důležitá fáze pohybů a jak se tyto fáze překrývají. Máme-li spočítány tyto počty, pomůže nám
následující program převést získaná čísla v grafické vyjádření, ke kterým připojí přepočet
jednotlivých počtů na procenta. S výsledkem tohoto programu je srovnávání souhry různých
plavců-prsařů daleko snadnější a přehlednější.
Počty obrázků počítáme zvlášť pro paže a nohy, začínáme od začátku záběru paží.
INPUT „jmeno, datum „ ; j$, d$
INPUT „paže: záběr,vpřed,pausa „; n1, n2, n3
INPUT „nohy: pausa,vpřed,záběr „; n4, n5, n6
n = n1 + n2 + n3
p1 = n1 / n * 100: p2 = (n1 + n2) / n * 100
p3 = 100: p4 = n4 / n * 100
p5 = (n4 + n5) / n * 100: p6 = 100
CLS: SCREEN 9: KEY OFF
PRINT j$, d$
LINE (0, 30)-(300, 30)
LINE (0, 30)-(p1 * 3, 35), 12, BF
LINE (p1 * 3, 30)-(p2 * 3, 25), 12, BF
LINE (0, 50)-(300, 50)
LINE (p4 * 3, 50)-(p5 * 3, 45), 9, BF
LINE (p5 * 3, 50)-(p6 * 3, 55), 9, BF
LOCATE 6, 1: PRINT „paže“;
PRINT USING „#####.#“; n1; n2; n3
PRINT „ „; USING „#####.#“; p1; p2; p3;: PRINT „ %“
LOCATE 8, 1: PRINT „nohy“;
PRINT USING „#####.#“; n4; n5; n6
PRINT „ „; USING „#####.#“; p4; p5; p6;: PRINT „ %“
END
168 / 180
N. SKOKY DO VODY
N01 Trvání skoků do vody
Volný pád nebo stoupání tělesa v gravitačním poli se zrychlením g z výšky nebo do výšky
H bude trvat
h0,4516
4,9033
H
t  (1)
Protože skok se svislým odrazem má část vzestupnou a sestupnou, bude celkový čas
 hhΔhΔh0,4516ttt t21  (2)
h…zvednutí těžiště po odraze do vrcholu dráhy
ht…výška těžiště těla nad plošinou v okamžiku odlepení nohou
h…výška plošiny prkna nebo věže nad hladinou vody (1 nebo 3 m u prkna, 5 nebo 10 m u věže)
Dosazením h = 1, 3, 5, nebo 10 m,
h = 0,5 m u věže, 2,2 m u prkna
ht = 1,2 m
do rovnice (2) dostaneme tabulku
h (m) tstoup tkles tcelk
prkna 1 0,6648 0,9473 1,6171
3 0,6648 1,1425 1,8123
věže 5 0,3193 1,1689 1,4882
10 0,3193 1,5447 1,8640
Není tedy velký rozdíl mezi trváním letu při skocích z prkna a věže. Všechny pohyby ve
vzduchu, t.j. překoty a vruty a změny poloh částí těla (např. schylmo nebo skrčeně) nemají vliv
na pohyb těžiště a proto nemění trvání skoku.
K výpočtům potřebujeme znát zvednutí h po odraze. Inversní úloha - výpočet tohoto
zvednutí, známe-li trvání skoku - není proveditelná analyticky, protože rovnice (2) je
transcendentní a řešit ji podle h není možné. Pomůžou ale numerické metody, z nichž jednou z
nejelegantnějších je metoda SOLVER u vědeckých kalkulátorů. Vepíšeme-li rovnici (2) do
tohoto programu, můžeme řešit rovnici podle kterékoliv proměnné.
Příklad: na mistrovství světa v Perthu při soutěži mužů z 1 m prkna jsme 16. 1. 1998 naměřili
časy skoků od 1,05 do 1,51 sek.
169 / 180
Pro ht = 1,2 m a h = 1 m dostaneme Solverem tabulku pro zvolené časy:
t (s) h (m)
1,0 0,3726
1,1 0,5872
1,2 0,8366
1,3 1,1177
1,4 1,4285
1,5 1,7678
1,501 1,77138
1,51 1,8033
Z posledních tří řádků tabulky plyne, že při chybě měření času 0,001 s je chyba stanovení
zvednutí z 3,5 mm, při chybě 0,01 s je chyba zvednutí 3,5 cm. Proto stačí k orientačnímu výpočtu
zvednutí změřit čas s přesností 0,1 sek, což ale nelze zaručit při ručním měření času.
Následuje tabulka časů pro výšky 1,3,5 a 10 m a jim odpovídající zvednutí těžiště
odrazem:
čas(sek) 1m 3m 5m 10m
0,67 1E-7
0,68 5E-4
0,70 4E-3
0,72 0,0115
0,74 0,022
0,76 0,035
0,78 0,051
0,80 0,07
0,82 0,091
0,84 0,115
0,86 0,140
0,88 0,168
0,90 0,198
0,92 0,229
0,94 0,262 0,001
0,96 0,297 0,006
0,98 0,334 0,014
1,00 0,373 0,025
1,02 0,412 0,040
1,04 0,454 0,057
1,06 0,497 0,078
1,08 0,541 0,101
1,10 0,587 0,127
1,12 0,634 0,155
1,14 0,683 0,185 0,001
1,16 0,733 0,218 0,006
1,18 0,784 0,253 0,014
1,20 0,836 0,290 0,026
1,22 0,890 0,329 0,041
170 / 180
1,24 0,945 0,370 0,059
1,26 1,002 0,413 0,081
1,28 1,059 0,457 0,105
1,30 1,118 0,504 0,131
1,32 1,178 0,552 0,161
1,34 1,239 0,602 0,193
1,36 1,301 0,654 0,227
1,38 1,364 0,707 0,264
1,40 1,429 0,761 0,303
1,45 1,595 0,905 0,409
1,50 1,768 1,058 0,529
1,55 1,948 1,219 0,661 0,007
1,60 2,135 1,389 0,804 0,036
1,65 2,328 1,568 0,957 0,087
1,70 2,528 1,754 1,121 0,156
1,75 2,735 1,948 1,294 0,242
1,80 2,948 2,149 0,346
1,85 2,358 0,464
1,90 2,574 0,597
1,95 2,798
2,00 3,028
Sloupce končí u nedosažitelných hodnot - u prkna 3 m, u věže 0,6 m.
Literatura
108. Dawson W. S. Mechanics of the Inward Dive. Swimming Technique, 1970
109. Competitive diving is safe with proper precautions. Swimming Technique, 6, 1970, č.4
(Jan), str. 128
171 / 180
N02 Rotace při skocích do vody
Z celkového pootočení  a doby letu vzduchem t lze vypočítat potřebnou průměrnou
úhlovou rychlost rotace (překotu nebo vrutu):
 =  / t
přičemž za překot nebo vrut považujeme otočení podle příčné nebo podélné osy o 360o
.
Vezmeme-li v úvahu celkové časy skoků tcelk, dostaneme pro různé výšky různé úhlové rychlosti:
počet úhel 1 m 3 m 5 m 10 m
1/2 180 111,31 99,32 120,95 96,57
1 360 222,62 198,64 241,90 193,13
1,5 540 333,93 297,96 362,85 289,70
2 720 445,24 397,28 483,81 386,27
2,5 900 556,55 496,60 604,76 482,83
S těmito úhlovými rychlostmi rotace těla při skocích do vody souvisí jednak různý způsob
odrazu, který rotace vytváří, jednak poloha těla při rotacích: přímé polohy těla mají velký
moment setrvačnosti k příčné ose rotace a vyžadují větší rotační impuls, nežli polohy schylmo
nebo dokonce skrčeně. Při překotech napřed se musí skokan při odrazu nohama přibrzdit, při
překotech zpětných se musí podběhnout. Vrutové rotace vznikají při brzdivých nebo
zrychlujících odrazech mimo svislou rovinu, procházející těžištěm těla.
172 / 180
N03 Skok do vody jako parabolická dráha
Protože při skocích do vody můžeme zanedbat odpor vzduchu, je dráha těžiště
parabolická a můžeme použít program pro vyšetření parametrů parabolické dráhy (G01).
Potřebujeme jen dostatečně přesné odhady souřadnic těžiště x, y 3 bodů této dráhy: prvním bude
poloha těžiště na začátku skoku, druhým ve vrcholu dráhy a posledním poloha těžiště při dopadu
do vody.
Pro prkno 1 m dostaneme:
x y
0 2,2
0,6 4,4
1,5 0
Z těchto souřadnic dostaneme rovnici paraboly
y = -5,7037 x2
+ 7,0889 x + 2,2
z ní pak
počáteční úhel  = 81,97°
počáteční rychlost v = 6,639 m/s
vodorovnou složku rychlosti vx = 0,9273 m/s
svislou složku rychlosti vy = 6,574 m/s
souřadnice vrcholu dráhy xm = 0,621 m
ym = 4,402 m
trvání letu T = 1,6175 sek
úhel dopadu  = - 84,302°
délka paraboly L = 6,896 m
Věž 10 m:
x y
0 11,2
0,5 11,7
2 0
Dostaneme rovnici
y = 4,4 x2
+ 3,2 x + 11,2
počáteční úhel  = 72,646°
počáteční rychlost v = 3,540 m/s
vodorovná složka vx = 1,0558 m/s
svislá složka vy = 3,3786 m/s
vrchol xm = 0,3636 m
ym = 11,782 m
trvání letu T = 1,894 sek
úhel dopadu  = -86,0275°
délka dráhy L = 12,715 m
173 / 180
O. CYKLISTIKA
O01 Frekvence šlapání
Vzdálenost, kterou ujede bicykl na jednu otočku pedálů je dána vzorcem
L =  · D · Z1 / Z2
D … průměr zadního kola
Z1 …počet zubů talíře
Z2… počet zubů pastorku
Vzdálenost, ujetá za 1 hodinu je rovna rychlosti v km/h
v = n · L · 60 / 1000
n … počet otáček pedálů za minutu, rovný hledané frekvenci
n = v / 0,06 · L
Z dat o vývoji světového rekordu v hodinovce dostaneme následující tabulku:
rekordman datum v L n Z1/Z2 D
km/h m ot/m = převod m
Slaats 29.7.37 45,535 7,32 103,7 24/7=3,4286 0,6796
Archambaud 3.11.37 45,817 7,32 104,3 24/7
Coppi 7.11.42 45,848 7,40 103,3 52/15=3,466 0,6795
Anquetil 29.6.56 46,159 7,40 104 52/15
Baldini 19.9.56 46,393 7,40 104,5 52/15
Riviere 8.9.57 46,923 7,40 105,7 52/15
Riviere 23.9.58 47,346 7,54 104,7 53/15=3,533 0,6793
Bracke 30.10.67 48,093 7,54 106,3 53/15
Ritter 10.10.68 48,653 7,69 105,4 54/15=3,6 0,6799
Merckx 25.10.72 49,431 7,93 103,9 52/14=3,714 0,6759
Moser 19.1.84 50,808 8,17 103,6 56/15=3,733 0,6966
Moser 23.1.84 51,151 8,27 103,1 57/15=3,8 0,6927
Obree 17.7.93 51,596 9,25 93 52/12=4,33 0,6795
Boardman 23.7.93 52,270 8,70 100,1 53/13=4,416 0,6793
Obree 27.4.94 52,713 9,25 95 52/12=4,33 0,6795
Indurain 2.9.94 53,040 8,76 100,9 59/14=4,214 0,6617
Rominger 22.10.94 53,832 8,76 102,4 59/14 0,6617
Rominger 5.11.94 55,291 9,02 102,2 60/14=4,286 0,6699
Boardman 6.9.96 56,375 9,02 104,2 56/13=4,308 0,6695
174 / 180
Z této tabulky můžeme učinit tyto závěry:
1. zlepšování světového rekordu v hodinovce za posledních 60 let nastalo střídavě
a) rostoucí frekvencí šlapání (1937, 1942-1957, 1958-1967, 1993-1996)
b) rostoucím převodem a tedy růstem svalové síly
2. relativně stálou frekvenci během posledních 60 let (100 - 106 ot / min) lze vysvětlit
pozoruhodným vztahem nejpříjemnější frekvence šlapání k srdeční frekvenci.
3. Francesco Moser v roce 1984 použil speciální bicykl s velmi velkým zadním kolem, avšak
z dat byl vypočítán standardní průměr zadního kola okolo 0,69 m. V tomto případě musí mít L
nebo Z1 a Z2 jiné hodnoty, nežli uvedené.
Literatura
110. Superman! Peloton (český časopis), 1996, č. 11, str. 18-19.
111. Nagornyj V. E. Javlenije sichronizacii ritma serdečnoj dějatelnosti s ritmom fizičeskoj
raboty. Těor.Prakt.Fiz.Kult. 1964,č.12,str.13-15.
175 / 180
P. LUKOSTŘELBA
P01 Elementární teorie luku
Kdyby vodorovná síla, kterou napíná lukostřelec tětivu rostla lineárně se zdvihem tětivy
x, platilo by
F = k · x
Práce, vykonaná lukostřelcem při napínání tětivy do celkového zdvihu D je při proměnné
síle F rovna
2
D
0
D
0
Dk
2
1
dxxkdxFA  
Šíp, opouštějící luk má rychlost v0 a tedy kinetickou energii
2
0kin vm
2
1
E 
Při mechanické účinnosti luku, rovné 1 (100 %) se bude vykonaná práce rovnat kinetické energii:
Ekin = A
22
0 Dk
2
1
vm
2
1

Odtud počáteční rychlost letu šípu
D
m
k
v0 
Roste tedy rychlost šípu s posuvem tětivy, s odmocninou tvrdosti k luku a klesá
s odmocninou hmotnosti šípu m.
Příklad:
Šíp s hmotností m = 0,028 kg má dosáhnout počáteční rychlost v0 = 60 m/s při zdvihu tětivy D
= 0,3 m. Luk musí pak mít konstantu tvrdosti k = m · v0
´2
/ D2
= 1120 kg/s2
= 1120 N/m, a síla,
potřebná k napnutí tětivy bude F = k · D = 335 N = 34,3 kp.
176 / 180
R. RYCHLOBRUSLENÍ
R01 Bodování velkého a sprinterského čtyřboje v rychlobruslení.
Bodování rychlobruslařských čtyřbojů se provádí součtem časů pro průměrné pětistovky
ze všech 4 tratí. U čtyřboje mužů se čas na 5000 m dělí deseti, na 1500 m se dělí 3, a na 10 km se
dělí 20.
U žen se čas na 1000 m dělí 2, na 3000 m šesti. U sprinterského čtyřboje se opakuje
dvojice 500 a 1000 m, druhý čas se dělí 2.
Použijeme programy:
Sprinterský 4boj - společný pro muže i ženy
PRINT „prvníˇ den“
INPUT „t500 (sek)“, b: GOSUB d: b = t
INPUT „t1000 (min.sek)“, t: GOSUB s: b = b + t / 2: GOSUB d
PRINT „druhý den“
INPUT „t500 (sek)“, t: b = b + t: GOSUB d
INPUT „t1000 (min.sek)“, t: GOSUB s: b = b + t / 2: GOSUB d
END
s:
t = 60 * INT(t) + 100 * (t - INT(t)): RETURN
d:
PRINT „body=„, b: RETURN
Čtyřboj muži
PRINT „prvníˇ den“
INPUT „t500 (sek)“, b: GOSUB d
INPUT „t5000 (min.sek)“, t: GOSUB s: b = b + t / 10: GOSUB d
PRINT „druhý den“
INPUT „t1500 (min.sek)“, t: GOSUB s: b = b + t / 3: GOSUB d
INPUT „t10000 (min.sek)“, t: GOSUB s: b = b + t / 20: GOSUB d
END
s:
t = 60 * INT(t) + 100 * (t - INT(t)): RETURN
d:
PRINT „body=„, b: RETURN
Čtyřboj ženy
PRINT „první den“
INPUT „t500 (sek)“, b: GOSUB d
INPUT „t1500 (min.sek)“, t: GOSUB s: b = b + t / 3: GOSUB d
PRINT „druhý den“
INPUT „t1000 (min.sek)“, t: GOSUB s: b = b + t / 2: GOSUB d
INPUT „t3000 (min.sek)“, t: GOSUB s: b = b + t / 6: GOSUB d
END
s:
t = 60 * INT(t) + 100 * (t - INT(t)): RETURN
d:
PRINT „body=„, b: RETURN
177 / 180
Z. SEZNAM LITERATURY
1. Brancazio P. J. Sport Science. 1954, New York, Simon and Schster
2. Brodie D.A. - Thornhill J. J. Microcomputing in Sport and Physical Education. 1983, New
York, Sterling Publ. Co.
3. Donelly Joseph E.(Edit). Using Microcomputers in Physical Education and the Sport
Sciences. 1987, Champaign - llinois, Human Kinetics Publishers Inc.
4. Griffing D.F. The Dynamics of Sports. 1987, Oxford - Ohio, Dalog Co.
5. Lampe E. Mathematik und Sport. 1956, Leipzig, B. G. Teubner
6. Sadovskij L. E. - Sadovskij A.L. Matematika i sport. 1969, FiS, Moskva
7. Townsend M. S. Mathematics in Sport. 1984, Chichester, Ellis Horwood.
8. Zaciorskij V.M. Kybernetika, matematika, sport. 1969, FiS, Moskva.
9. Sassouri. Communic.of Assoc.Computer Manufactur. (CACM), 1961, č. 3
10. Agejev N. I. Algoritmy 1-50. Moskva, VC AN SSR, 1966, s. 71-73, algoritmus 39a.
11. Jahn W. - Wahle H. Die Faktorenanalyse und ihre Anwendung. 1970, Verlag Die Wirtschaft,
Berlin, str. 41
12. Lohse H. - Luwig R. - Roehr L. Statistische Verfahren. 1982, Volk und Wissen, Berlin, str.
208/209
13. Storm Regina: Wahrscheinlichkeitsrechnung, methematischeStatistik und statistische
Qualitaetskontrolle. 1976, Fachbuchverlag, Leipzig, str. 244-245
14. Clauss G. - Ebner H. Grundlagen der Statistik fuer Psychologen, Pedagogen und Soziologen.
Berlin,Volk u.Wissen, 7 vyd.,1983
15. Thomas J.R. - Nelson J. K. Research Methods in Physical Activity, Human Kinetics,
Champaign, Illinois, 1990, 2nd. ed., p.140
16. Jahn W., - Wahle H. Die Faktoranalyse. Die Wirtschaft, Berlin, 1970, str. 36
17. Storm Regina. Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik und statistische
Qualitatskontrolle. Fachbuchverlag, 1976, str. 242
18. Clauss G. - Ebner H. Grundlagen der Statistik fur Psychologen, Pedagogen und Soziologen.
1983, 7th ed., Volk u Wissen, Berlin, str. 263-267
19. The Essentials of Statistics II, Research and Education Association, New Jersey, 1989,
str.182-183
20. Abramowitz M. - Stegun Irene A. Handbook of mathematical functions. NBS, 1963, vzorec
26.2.23
21. Reisenauer R. Metody matematické statistiky. Praha, SNTL, 1965, str. 119 (1970, str. 128)
22. Abramowitz M. - Stegun Irene: Handbook of Mathematical Functions, NBS, 1964, vzorec
26.2.23
23. Seberová, H. - Sebera, M. Počítačové zpracování dat II. 1. vyd. Vyškov: VVŠ PV, 1999.
134 s. ISBN 80-7231-052-6.
24. Kočí V. Několik programů pro kalkulátor Sharp PC-1211. Elektrotechnický Obzor 75, 1985,
č. 5-6, s. 301-310
25. Djakonov V. P. Spravočnik po algebram i programmam na jazyke Bejsik dlja personalnych
EVM. 1987, Moskva, Nauka, s. 229
26. c/s: Slaboproudý Obzor 42, 1981, č.1, str. 41-42.
27. Storm Regina. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Statistiche
Qualitatskontrolle. VEB Fachbchverlag Leipzig, 1976, 6. vyd., str. 236-237
28. Technický průvodce Matematika, Praha, ČMT, 1944, str. 318
29. Návod k počítači SHARP PC-1500, str. 47
178 / 180
30. Abbott F. J. - Firestone F. A. Specifying surface quality. Mechanical Engineering 55, 1933,
str. 569-572
31. Technisches Messen 1980, č.10, str. 361-368
32. Jelínek M. Matice. SPN, Praha, 1976, str. 39-40
33. Rychnovský R.: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich řešení. Praha, SNTL - Práce, 1972
34. Abramowitz M. - Irene A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions, NDS, 1964, vzorec
25.5.20
35. Hay J.G. The biomechanics of sports techniques. 1985, Prentice Hall Intrnat. Inc., Englewood
Cliffs, New Jersey, str.157
36. Zaciorskij V. M. - Aruin A. S. - Selujanov V. N. Biomechanika dvigatělnogo apparata
čeloveka. 1981, FiS, Moskva, str. 29, 38-39, 118.
37. Donskoj D. D. - Zaciorskij V. M. Biomechanika. 1979, FiS, Moskva, str. 61
38. Hay James G. The Biomechanics of Sports Technique. 1985, 3. vyd. Prentice-Hall
International Inc., Englewood Cliffs, N. J.,USA
39. Zvonař, Martin , Sebera, Martin. Simi motion 3D biomechanická analýza. Studia sportiva,
Brno, FSpS MU Brno. ISSN 1802-7679, 2007, vol. 2/1, no. 1, 116 s.
40. Drastich L. Tělověda. 1948, Praha-Brno, Komenium, str. 151
41. Sobolová V. - Zelenka V. Fysiologie tělesných cvičení a sportu 1973, Praha, Olympia, obr.
37
42. Šolc I. - Lochman J. Kvantitativní vztahy v typologii člověka. Vesmír 61, 1982, č. 3, str. 71-
74
43. Heath B.H. - Carter J.E. A modified somatotype method. Amer. J. Phys. Anthrop. 27, 1967,
p. 57-74
44. Kopřiva J. - Čechovský K. Determination of Heath-Carter somatotype and somatotype
dispersion index using a computer. Anthropologie 28, 1990, p. 31-33
45. Ross W.D. - Wilson B.D. A Somatotype Dispersion Index. Research Quarterly, 44, 1973, str.
372-374.
46. Mohr M. Methods of Epidemiological Nutritional Status Assesment of Adults. In: Methods of
Functional Anthropology. Proc. Symposium, 5-8.9.1977 in Prague. Prague, 1979, str.139-144
47. Schilpp R.W. A mathematical description of the heart rate curve of response to exercise.
Research Quarterly 22, 1951, str. 437-445.
48. Suggs C.W. An analysis of heart rate response to exercise. Research Quarterly 39, 1968, str.
195-205
49. Seliger V. - Vinařický R. - Trefný Z. Fysiologie tělesných cvičení. Avicenum, Praha, 1980,
str. 94, obr. 39
50. Placheta Z. Submaximal exercise testing. 1988, Brno, J. E. Purkyně University, str. 116, obr.
II-22.
51. Lietzke M. H. Science 124,1956, č. 3213, str. 486
52. Měkota K. - Blahuš P. Motorické testy v tělesné výchově. 1983, Praha, SPN, str. 122
53. Berger R. A. Determination of method to predict 1-RM chin and dip from repetitive chins and
dips. Research Quarterly, 8, 1967, str. 330-335
54. Beránková, L. Možnosti objektivizace diagnostiky úrovně svalové síly při posuzování
funkčního stavu svalového systému pohybového aparátu. Ternčianské teplice: Slovenská
společnosť telovýchovného lekárstva, 2004. s. 16-17. 11.9.2004, Trenčianské Teplice,
Slovesnká republika.
55. Zaciorskij V. M. - Godik N. G. - Smirnov J. I. Issledovanije vzaimosvjazi meždu fizičeskimi
kačestvami. TPFK 1969, č.1, str. 2, obr. 12
179 / 180
56. Feser R. Die Entwicklung der motorischen Kraft qualifizierter Gewichtheber. Leistungssport
7, 1977, č. 4,str. 251-256.
57. Boruttau H. Die Arbeitsleistungen des Meschen. 1916, B.G. Teubner, Leipzig-Berlin
58. Bělehrádek J. Člověk v číslech. 1942, Borový, Praha
59. Černoch S. Strojně technická příručka I. 1947, Práce, Praha
60. Elektrotechnický Obzor 1941, str. 145
61. Williams. Man powered flight. Science Journal (GB), 2, 1966, č. 3, str. 74-79
62. Scientific American 253, 1985, č. 5, str. 122-129
63. Zelený. Acta Univ. Carol., Suppl. IV, 1957, str. 55-59
64. Rujbr Z. Doba reakce. TPTV 15, 1967, str. 92-105.
65. Kopřiva J. Optimální úhel hodů a vrhů. TPTV 16, 1968, 4, s. 251
66. Lampe E. Mathematik und Sport. 1956, B.G. Teubner,Leipzig, s. 16
67. Townend M. S. Mathematics in sport. 1984, Ellis Horwood, Chichester, s. 45.
68. Lietzke T. H. Science 124, 1956, č. 3220
69. Kihlberg J. - Karvonen M. J. Comparison on statistical basis of achievement in track and field
events. Reseach Quarterly, 28, 1957, 3, s. 244-256
70. Kihlberg J. - Karvonen M. J. Statistical distribution and predictability of top class
achievements in track and field sporting events. Wychowanie Fyziczne i Sport, 4, 1960, s.
145-56
71. Světové tabulky 1989, Praha, ASTAT, 1990
72. Zaciorskij V. M. Kibernetika, matěmatika, sport. Moskva, FiS, 1969, str. 94-95
73. Kopřiva J. Kvantitativní měřítko vytrvalosti. Teor. praxe. těl. vých., 35, 1987, č. 5, str. 271-
274
74. Kopřiva J. Rychlostní a vytrvalostní složka výkonnosti v lokomočních sportech. Teor. praxe
těl.vých. 38, 1990, č.10, str.603-
75. Kopřiva J. Bodování a vývojová tabulka sportovních výsledků. Teor. praxe těl. vých. 26,
1978, č.10, str. 637-639
76. Seliger V. - Vinařický R. - Trefný Z. Fysiologie tělesných cvičení 1980, Praha, Avicenum,
str. 23, tab.1
77. Vinařický R. Výdej energie při sportovní činnosti. Tělovýchovný sborník 10,1967, 77-
78. Vinařický R. - Kubalová S. - Frank V. - Vodička P. Výdej energie při lehkoatletických
bězích, vztah rychlosti běhu a výdeje energie, využití individuálních rozdílů v tréninkové
praxi. Teor. praxe těl. vých.19, 1971, 722-
79. Kopřiva J. Vyhodnocení tréninkového deníku v lokomočních sportech grafem nebo
počítačem. Teor. praxe těl. vých, 37,1989, 261
80. Machalický J. Tenisové míče a pravidla. Teor. praxe těl. vých. 16, 1968, č. 3, str. 180-181
81. Čelikovský a kol. Antropomotorika pro studující tělesné výchovy. SPN, Praha, 1979, s.89,
obr. 16
82. Zajkin V. - Utkin V. - Zimina O. Eněrgetičeskaja i pulsovaja stojimosti obščerazvivajuščich
gimnastičeskich upražněnij Těor. prakt. fiz. kult. 1987, č. 9, str. 45-47
83. Griffing D. F. The Dynamics of Sports. (3rd.ed.),1987, Dalog Co.,Oxford, Ohio, str. 87
84. Klokov L. A. - Vasiljeva E. S. Gaswechseluntersuchungen beim Laufüber verschiedene
Strecken. Arbeitsphysiologie 7,1934, 62-
85. Vinařický R. - Kubalová S. - Frank V. - Vodička P. Výdej energie při lehkoatletických
bězích, vztah rychlosti běhu a výdeje energie, využití individuálních rozdílů v tréninkové
praxi. Teor. praxe těl. vých. 19, 1971, č.12, str. 722-729
86. Yamaoka S. Studies on metabolismus in athletics sports. Res. Jour. Physiol.Educ. 9, 1965, 28
180 / 180
87. Juřina K. K teorii a metodice plaveckého tréninku. 1972, Praha, Fak. těl. vých. a sportů,
Karlova Universita.
88. Safarjan I.G. Faktory, určující rychlost plavání kraulem. (rusky) Těor. prakt. fiz. kult. 1969, č.
4, str. 11-16
89. Karpovich P. V. - Millman N. Energy expenditure in swimming. Amer. Jour. of Physiology
142, 1944, s. 140-
90. Krůta – Hornof – Seliger. Úvod do fysiologie tělesných cvičení, 1954, Praha, SZN, str. 350-
351 a 423.
91. Klissouras V. Energy metabolism in swimming the doplhin stroke Internat. Zeit.angew.
Physiologie, 25, 1968, č. 2, s. 142-150
92. Yancher R. - Larsen O. - Lubaer C. Power and velocity relationship in swimming. Swimming
Technique 19, 1983, č. 4, s. 16-18
93. Vinařický R. Výdej energie při sportovní činnosti. Tělovýchovný sborník 10, 1967, s. 77-
94. Seliger V.- Trefný Z. Základy fysiologie tělesných cvičení 1967, Praha, SZN, s. 89-
95. Sobolová Z. - Zelenka V. Fysiologie tělesných cvičení a sportu 1973, Praha, Olympia, tab. 33
96. Seliger V. - Vinařický R. - Trefný Z. Fysiologie tělesných cvičení. 1980, Praha, Avicenum, s.
20-21
97. Karpovich P.V. Swimming speed analyzed. Scientific American 146, 1930, March, str. 224-
225
98. Karpovich P. V. An Analysis of Propelling Force in the Crawl Stroke. Research Quarterly 6,
1935, č. 2, s. 49-58
99. Karpovich P.V. - Pestrecov K. Mechanical Work und Efficiency in Swimming Crawl Stroke
and Back Stroke. Arbeitsphysiologie, 10, 1938, s. 504-514
100. Karpovich P. V. - Karpovich G. P. Magnetic Tape Natograph. Research Quarterly, 41, 1970,
č. 1, str. 119-
101. Myiashita M. An Analysis of Fluctuation of Swimming Speed. In: Levillie L. - Clarys J. P.
First International Symposium on Biomechanics of Swimming. 1970, Proceedings, Bruxelles,
1971, str. 54-
102. Zschorlich V. - Heeren K. - Wolf H. Der Einsatz der Technikanalyse im Training des
Brustschwimmens. Schwimmtrainer (BRD) 1988, Heft 56/57, str. 13-21
103. Motyčka J. Kinematická a dynamická analýza plování a veslování. Disertační práce, Brno
1959.
104. Kent M. R. The physics of Swimming. Physics Education 15, 1980, č. 5 (Sept), s. 275-279
105. Zschorlich V. - Heeren K. - Wolg H. Der Einsatz der Technikanalyse im Techniktraining des
Brustschwimmens. Der Schwimmtrainer (BRD), 1988, No. 56/57, s. 14-21
106. FINA Masters News
107. Kopřiva J. Závislost výkonnosti a vytrvalosti v lokomočních sportech na věku. Teor. praxe
těl. vých. 36, 1988, č. 8, s. 466-8
108. Dawson W.S. Mechanics of the Inward Dive. Swimming Technique 1970
109. Competitive diving is safe with proper precautions. Swimming Technique 6, 1970, č. 4 (Jan),
str. 128
110. Superman! Peloton (český časopis), 1996, č. 11, str. 18-19.
111. Nagornyj V. E. Javlenije sichronizacii ritma serdečnoj dějatelnosti s ritmom fizičeskoj raboty.
Těor. Prakt. Fiz. Kult. 1964, č. 12, str. 13-15.