Tiráž

Geometrická interpretace algebraických výrazů

RNDr. Růžena Blažková, CSc.

Katedra matematiky
Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity

1. vydání

Vydala Masarykova univerzita, Brno 2015

Vytvořilo Servisní středisko pro e-learning na MU,
Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, Brno 2013–2015

Publikováno na Elportále, ISSN 1802-128X

ISBN 978-80-210-7956-4 (HTML verze)
ISBN 978-80-210-7957-1 (ePub verze)

Cover

Geometrická interpretace algebraických výrazů

Při výuce matematiky na základní škole zpravidla respektujeme etapy poznávacího procesu, kdy by žáci měli být vhodně motivováni, aby se vůbec učit chtěli, na základě svých zkušeností by měli postupně přecházet od konkrétních modelů k modelům univerzálnějším a na základě abstrakce by měl vzniknout matematický poznatek. Ten by se pak měl zařazovat do systému matematických poznatků. Důležitý přitom je aktivní podíl žáka na vytváření jednotlivých matematických pojmů a zejména poznatků v algebraickém učivu.

Učivo algebry má svá specifika v tom, že má mnoho předností, ale ve školské matematice také mnoho úskalí. Algebraické výrazy umožňují přesný, ekonomický a úsporný zápis, jsou jednoduché srozumitelné a mají obecnou platnost. Jsou využitelné v mnoha dalších vědních oborech. Jejich úskalí však spočívá v tom, že mohou být nositelem formalismu, kdy žáci se naučí určité poučky a vzorce zpaměti, bez jakéhokoliv pochopení. Proto je vhodné hledat nejrůznější přístupy, kterými žákům chápání algebraického učiva usnadníme.

Vzhledem k tomu, že někteří žáci preferují vizuální představy, nabízíme v tomto textu ukázat, jak lze algebraické výrazy interpretovat prostřednictvím grafického znázornění. Rozvíjí se schopnost vnímat různé interpretace téže situace, schopnost chápat s porozuměním odborný jazyk, jazyk symbolický i grafické vyjádření. Rozvíjí se komunikativní kompetence žáků, kdy jsou vedeni k tomu, aby k symbolickému zápisu zakreslili geometrickou prezentaci a naopak aby k obrázku zapsali skutečnost symbolickým zápisem.

V textu je ilustrována souvislost jednotlivých témat matematiky – aritmetiky, algebry, geometrie. Žáci jsou vedeni k přemýšlení v různých dimenzích, k vnímání krásy matematiky.

Přejít na publikaci online

Autorka


	RNDr. Růžena Blažková, CSc. Katedra matematiky – Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity Osobní stránka v IS MU

Geometrická interpretace algebraických výrazů

Vztah – aritmetický průměr ∼ geometrický průměr

Dokažte, že platí: aritmetický průměr dvou nezáporných čísel je větší nebo roven jejich geometrickému průměru.

Důkaz 1.

algebraicky

√ -- a+-b-≥ ab 2 (a + b)2 ≥ 4ab a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab a2 − 2ab + b2 ≥ 0 (a − b)2 ≥ 0 -plat´ı vˇzdy

geometricky

sestrojíme úsečku AC o velikosti $a + b$
sestrojíme kružnici $k$ o poloměru $a-+-b 2$
v bodě B narýsujeme kolmici k úsečce AC
v trojúhelníku ACD je úsečka BD výškou ke straně AC
podle Euklidovy věty $√ -- v = ab$

d = a+ b (a+ b) r = ------- √-2 a-+-b≥ ab 2

Jiný důkaz věty o vztahu aritmetického a geometrického průměru

geometricky

(a+ b)2 ≥ 4ab √-- a + b ≥ 2 ab a-+-b √-- 2 ≥ ab

Geometrická interpretace algebraických výrazů

Úsečky

Násobek úsečky

Dělení usečky na n shodných dílků

Dělení usečky v daném poměru 2:3

Geometrická interpretace algebraických výrazů

Použitá literatura

KUŘINA, F.: Deset pohledů na geometrii. Matematický ústav ČSAV, 1996, ISBN 80-85823-21-7.
KUŘINA, F.: Praktikum algebraické techniky. Praha: Matematický ústav ČSAV, 1992, ISBN 80-901218-4-5.
NELSEN, R., B.: Proofs without words I, II. The Mathematical Association of Amerika, 1993.

Geometrická interpretace algebraických výrazů

Zlatý řez

Rozdělte úsečku AB na dvě části tak, aby poměr celé úsečky k delší číásti byl roven poměru delší části ke kratší části:

a x --= ----- x a− x

Konstrukce úsečky v poměru zlatého řezu

Konstrukce odmocnin přirozených čísel

Geometrická interpretace algebraických výrazů

Některé vlastnosti přirozených čísel

Součet lichých po sobě jdoucích přirozených čísel

1 + 3+ 5 = 9

Další zajímavosti

Geometrická interpretace algebraických výrazů

Druhá mocnina mnohočlenů

Druhá mocnina mnohočlenu $2 (a + b+ c)$

algebraicky

(a+ b + c)⋅(a+ b + c) = a2 + ab+ ac + ab+ b2 + bc+ ac + bc+ c2 2 2 2 = a + 2ab+ 2ac + 2bc+ b + c

geometricky

2 2 2 2 (a+ b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac+ 2bc

Součet druhých mocnin dvojčlenů

algebraicky

(a + b)2 + (a− b)2 = a2 + 2ab+ b2 + a2 − 2ab + b2 = = 2a2 + 2b2 = 2(a2 + b2)

geometricky

a2 + 3b2 + 2b(a − b)+ (a− b)2 = = a2 + 3b2 + 2ab − 2b2 + a2 − 2ab+ b2 = = 2a2 + 2b2 = 2(a2 + b2)

Geometrická interpretace algebraických výrazů

Třetí mocnina dvojčlenu

Algebraická krychle

algebraicky

(a + b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

geometricky

Sestrojíme krychli o hraně $a + b$

Obr. 01: Náhled složené 3D krychle.

Obr. 02: Náhled rozložené 3D krychle.

Geometrická interpretace algebraických výrazů

Euklidovy věty

Euklidova věta o výšce

V každém pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami a, b, s přeponou c a výškou k přeponě v_c platí:

Obsah čtverce nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony.

Euklidova věta o odvěsně

V každém pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami a, b a s přeponou c platí:

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a přilehlého úseku.

Konstrukce odmocnin pomocí Euklidovy věty o výšce

Geometrická interpretace algebraických výrazů

Pythagorova věta

Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s odvěsnami a, b a přeponou c.

Dokažte, že v tomto trojúhelníku platí:

a2 + b2 = c2

Důkaz

geometricky

Sestrojíme dva čtverce o straně $a + b$ a různě je rozdělíme:

Obsahy obou čtverců se sobě rovnají:

a ⋅b (a + b)2 = a2 + b2 + 4--- 2

(a + b)2 = c2 + 4⋅ a⋅b-= c2 + 2ab 2

a2 + b2 = c2

Jiný důkaz Pythagorovy věty

geometricky

Je dán pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami $a$ , $b$ , přeponou $c$ .

Sestrojíme čtverec o straně $a + b$ .

Vyjádříme obsah čtverce dvěma způsoby:

S = 4ab+ (a − b)2 S = c2 + 4ab = 4ab+ a2 − 2ab+ b2 = c2 + 2a2b 2 2 = a + b + 2ab

2 2 2 a + b = c

Jiný důkaz Pythagorovy věty (James Garfield)

geometricky

Je dán pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami $a$ , $b$ , přeponou $c$ .

Sestrojíme lichoběžník – podle animace a vypočítáme dvěma způsoby jeho obsah.

Obsah lichoběžníka je roven polovičnímu součinu součtu obou základen a výšky.

(a+ b)⋅(a + b) a2 + 2ab + b2 S = --------------= ------------ 2 2

Obsah lichoběžníka je součet obsahů tří trojúhelníků.

2 2 S = 2a-⋅b + c- = 2a-⋅b+-c- 2 2 2

a2 +-2ab-+-b2 2ab-+-c2 2 = 2

a2 + b2 = c2

Pythagorejské trojice

Pythagorejské trojice jsou trojice přirozených čísel $a$ , $b$ , $c$ , pro které platí:

a2 + b2 = c2

např.

32 + 42 = 52

Jsou to např. čísla tvaru:

a = 2n + 1 b = 2n2 + 2n 2 c = 2n + 2n + 1

nebo tvaru

a = 2n 2 b = n − 1 c = n2 + 1

kde $n$ je přirozené číslo.

Geometrická interpretace algebraických výrazů

Pythagorejské trojice

Animace Pythagorejské trojice

32 + 42 = 52

Animace Pythagorejské trojice

2 2 2 5 + 12 = 13

Geometrická interpretace algebraických výrazů

Součet čísel

aritmeticky

součet čísel $3 + 4$

algebraicky

součet čísel $a + b$

geometricky

grafický součet úseček

Rozdíl čísel

aritmeticky

Rozdíl čísel $7− 4$

algebraicky

Rozdíl čísel $a − b$

geometricky

grafický rozdíl úseček

Součin čísel

aritmeticky

součin čísel $3⋅ 4$

3 ⋅4

algebraicky

součin čísel $a ⋅b$

geometricky

obsah obdélníka se stranami $a$ , $b$

a ⋅b

Násobení dvojčlenu jednočlenem

aritmeticky

(20 + 7)⋅3 = 20⋅3 + 7 ⋅3 = 60 + 21 = 81

algebraicky

(a+ b) ⋅c = ac + bc

geometricky

(a + b)⋅c = ac+ bc

Násobení dvojčlenu dvojčlenem

aritmeticky

(3 + 4)⋅(5+ 6) = 5 ⋅3+ 5 ⋅4+ 6 ⋅3+ 6 ⋅4 = 15+ 20 + 18 + 24 = 77

algebraicky

(a + b)⋅(c+ d) = ac+ bc + ad+ bd

geometricky

(a+ b) ⋅(c + d) = ac+ bc+ ad+ bd

Druhá mocnina dvojčlenu $(a+ b)2$

aritmeticky

(7 + 9)2 = (7 + 9)⋅(7+ 9) = 49 + 63+ 63 + 81 = 256

algebraicky

(a + b)2 = (a+ b) ⋅(a+ b) = a2 + ab + ab+ b2 = a2 + 2ab+ b2

geometricky

Narýsujeme čtverec o straně $(a+ b)$ . Jeho obsah je $a2 + ab+ ab + b2 = a2 + 2ab + b2$ .

2 2 2 (a + b) = a + 2ab+ b

Druhá mocnina dvojčlenu $(a− b)2$

aritmeticky

(12 − 5)2 = (12 − 5)⋅(12− 5) = 144 − 60− 60 + 25 = 49

algebraicky

2 2 2 2 2 (a − b) = (a− b) ⋅(a− b) = a − ab − ab+ b = a − 2ab+ b

geometricky

Narýsujeme čtverec o straně $a$ , odečteme $b$ .

2 2 (a − b) = a − ab− (a − b)⋅b = a2 − ab− ab + b2 2 2 = a − 2ab+ b

a2 − ab− [b(a− b)] = a2 − ab− ab+ b2 = a2 − 2ab + b2

Rozdíl čtverců $a2 − b2$

aritmeticky

72 − 42 = (7− 4)(7+ 4) = 3 ⋅11 = 33

algebraicky

a2 − b2 = (a+ b) ⋅(a − b)