Nevlastní integrál vlivem funkce Lenka Přibylová 3. srpna 2006 H H ©Lenka Přibylová, 20060 Obsah Definice - singularita v horní mezi 3 ŕ i / z------dx ............................... 3 Definice - singularita v dolní mezi 10 ,8 l I —Tyj dx................................ 10 Jo xi/á Definice - singularita uvnitř intervalu integrace 18 ŕ i JO (X- I)2/3 ľ1 i / -dx ................................. 26 J-l X BEI El 13 iaa ©Lenka Přibylová, 20060 Definice - singularita v horní mezi y = f(x) b x b ft f(x)dx= lim / f(x)dx= lim [F(t) - F (a)] t—>b Ja t—>b ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte /------dx. ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte /-------dx. o 1 -x dx V horní mezi má integrál singularitu vlivem funkce, protože pro x = 1 1 funkce není definovaná. Jde o výraz typu - integrál, protože v x = 1 neexistuje primitivní funkce. . Nelze spočítat určitý ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte /-------dx. 1 1 ŕ 1 dx = lim /-------dx o 1 - x í->i- Jo 1 - x Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t z levého okolí x = 1 je nyní integrál určitý ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte /-------dx. 1 1 ŕ 1 -------dx = lim /-------dx = lim ľ-lnll - xl 1-X ŕ->l- Jo l-x ŕ->l- lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte /------dx. o 1 ■ dx = lim /------dx = lim ľ-lnll - x|L = lim (-In 11-íl +lnl) ŕ->l- Dosadíme meze. —I...I...... . ... g Najděte /-------dx. o 1 ■ dx = lim /-------dx = lim ľ-lnll - x|L = lim (- In 11 - íl + In 1) = oo ŕ->i- Spočteme limitu. Integrál diverguje. lim In li — t\ = In |0+| = oo í->i- ^^MBBMB^WW^IB^ Definice - singularita v dolní mezi y = f(x) b x f(x)dx= lim / f(x)dx= lim [F(b) - F(t)} ©Lenka Přibylová, 2006| ,8 l Najděte / —rjr dx. o x 1/3 ] ©Lenka Přibylová, 2006| ,8 l Najděte / —t-tj dx. Jo xL/i ) 8 1 dx V dolní mezi má integrál singularitu vlivem funkce, protože pro x = 0 1 funkce není definovaná. Jde o výraz typu - integrál, protože v x = 0 neexistuje primitivní funkce. . Nelze spočítat určitý ^^^^HB^^^^^W^^^^J 8 J o x1 Najděte / —rj; dx. ) 8 1 r8 1 —■= dx = lim / —-= dx Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t z pravého okolí x = 0 je nyní integrál určitý ,8 l Najděte / —t-tj dx. Jo xL/i ) 8 1 dx = lim ŕ^0+ J t 8 1 dx = lim x2/3 2/3 lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. ^^^^HB^^^^^W^^^^J ,8 l Najděte / —t-tj dx. Jo xL/i ) 8 1 dx = lim ŕ^0+ J t = - lim 2ŕ^o+ 8 1 : dx = lim x2/3 2/3 Zjednodušíme zlomek. Konstantu lze vytknout až před limitu. (C) Lenka ťřibylová, 2UU6 £ ,8 l Najděte / —t-tj dx. Jo xL/i ) 8 1 ŕ 1 dx = lim / —■= dx = lim x2/3 2/3 = - lim 2ŕ^o+ = - lim (i-y/fi 2 ŕ^o+ Dosadíme meze. —I...I...... . ... g ,8 l Najděte / —t-tj dx. Jo xL/i ) 8 1 ŕ 1 dx = lim / —■= dx = lim x2/3 2/3 = - lim 2ŕ^o+ = - lim [4-^2] =6 2 ŕ^o+ Spočteme limitu. lim Ví2 = o (c) LenkäTTTPyWW^BWTf Definice - singularita uvnitř intervalu integrace rb rC rb / f(x)dx= / f(x)dx+ f(x)dx Ja Ja Je B B ©Lenka Přibylová, 20060 Najděte o (x -I)2/3 dx. ©Lenka Přibylová, 2006| Najděťe/02(^T)^dx- O (X -I)2/3 dx Integrál má singularitu uvnitř intervalu integrace. Funkce není definovaná pro x = 1. Nelze spočítat určitý integrál, protože zde funkce není ohraničená. 9 B B B--------------------------------------------------------------------------------------------------------------(ö Laika ťnbylova, MJ6| Najděťe/02(^T)^dx- 2 1 , ľ1 ax = 0 (X-I)2/3 JO (X-1)2/3 dx (X-1)2/3 dx Rozdělín BEI Q Q OS Rozdělíme na dva nevlastní integrály s jednou singularitou. (c) Lenka ťňbylová, 2UU6 £ Najděte o (x -I)2/3 dx. 1 ■ dx = 1 O (X- I)2/3 JO (X-1)2/3 = lim dx 1 1 (X-1)2/3 2 dx dx + lim t^l-Jo (X- 1)2/3 ' t^1+yt (x- 1)2/3 dx Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t v levém resp. pravém okolí x = 1 jsou nyní integrály určité, BEJ 0~"^ (ty Lenka Přibylová, 2UU61 | Najděte o (x -I)2/3 dx. O (X- 1)2/3 dx = 1 = lim O (X- 1)2/3 t 1 dx 1 1 (X-1)2/3 2 dx dx + lim t^l-Jo (X- 1)2/3 ' t^1+yt (x- 1)2/3 dx = lim ř->l- 3^i lim r->i+ 3^x-l lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte o (x -I)2/3 dx. O (X- 1)2/3 dx = 1 = lim O (X- 1)2/3 t 1 dx 1 1 (X-1)2/3 2 dx dx + lim t^l-Jo (X- 1)2/3 ' t^1+yt (x- 1)2/3 dx = lim ř->l- 3^ lim r->i+ 3^i = lim (3^ř-l + 3) + lim (3 - 3y/t - li Dosadíme meze. —I...I...... . ... g Najděte o (x -I)2/3 dx. O (X- 1)2/3 dx = 1 = lim O (X- 1)2/3 t 1 dx 1 1 (X-1)2/3 2 dx dx + lim t^l-Jo (X- 1)2/3 ' t^1+yt (x- 1)2/3 dx = lim ř->l- 3^ lim r->i+ 3^x-l = lim (3^ř-l + 3) + lim (3 - 3y/t - l) = 6 Spočteme limity. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte Tz) ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte Tz) - dx -i x Integrál má singularitu uvnitř intervalu integrace. Funkce není definovaná pro x = 0. Nelze spočítat určitý integrál, protože zde funkce není ohraničená. 9 B B B--------------------------------------------------------------------------------------------------------------(ö Laika ťnbylova, MJ6| Najděte BEI Tz) 1 1 r0 1 r1 1 - dx = / - dx + / - dx -1 x J-i x Jo x Rozdělíme na dva nevlastní integrály s jednou singularitou. (c) Lenka ťiibylová, 2UU6 £ Najděte Tz) 1 1 r0 1 r1 1 - dx = / - dx + / - dx -1 x J-i x Jo x ŕ 1 ľ1 1 = lim / - dx + lim / - dx ř->0- J-l X ŕ^0+ Jt X Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t v levém resp. pravém okolí x = 0 jsou nyní integrály určité, BEJ 0~"^ (ty Lenka Přibylová, 2UU61 | Najděte Tz) 1 1 r0 1 r1 1 - dx = / - dx + / - dx -1 x J-i x Jo x ŕ 1 ľ1 1 = lim / - dx + lim / - dx ř->0- J-l X ŕ^0+ Jt X = lim [lnlxll , + lim [lnlxll. lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte Tz) 1 1 r0 1 r1 1 - dx = / - dx + / - dx -1 x J-i x Jo x ŕ 1 ľ1 1 = lim / - dx + lim / - dx ř->0- J-l X r^0+ Jt X = lim [lnlxll , + lim [lnlxll, = lim (lnlřl -lni) + lim (lnl-lnlřl) Dosadíme meze. a El Q Cä--------------------------------------------------------------------------------------------------------------icj Lenka ťnbylova,ÍJdt,| Najděte Tz) 1 1 r0 1 r1 1 - dx = / - dx + / - dx -1 x J-i x Jo x ŕ 1 ľ1 1 = lim / - dx + lim / - dx ř->0- J-l X r^0+ Jt X = lim [lnlxll , + lim [lnlxll, = lim (lnlřl -lni) + lim (lnl-lnlřl) Spočteme limity. Integrál neexistuje. lim ln Iři = —oo © Lenka Přibylova, 2UU6| Konec H H ©Lenka Přibylová, 20060