Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými
Lenka Baráková 2. listopadu 2005
BEI   Q Q
©Lenka Baráková, 2005 q
Obsah
Řešte diferenciální rovnici y1 = x(2 — y)............... 3
BEI   Q Q
©Lenka Baraková, 2005 q
Řešte diferenciální rovnici yl = x{2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
BEI   Q Q
©Lenka Baráková, 2005 q
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
y' = x(2 - y)
I Rovnice je separovatelná. f(x) = x, g(y) = y — 2.
©Lenka Baráková, 2005
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
y' = x(2-y) y^2
Před samotnou separací proměnných (tj. podělením funkcí g(y) = y — 2) najdeme konstantní řešení. To splňuje podmínku g(y) = y — 2 = 0. Konstantním řešením je tedy funkce y(x) = 2.
1
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
y' = x(2-y)      y ^2
y'
— = x
2-y
Separujeme proměnné pro y ^ 2. gj i b n-
©Lenka Baráková, 2005
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
ý = x{2-y) y^2
ý
J      = X
2-y
dx = I xdx
2-y
Integrujeme.
■   ■   ■   ■ '.'Lni. lUtlli-.l .?»«
J
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
ý = x{2-y) y^2
ý
J      = X
2-y
^    dx = I xdx
2-y
-dy = I xdx
2-y
Můžeme použít "substituci"	y = y(x) dy = y{x)' dx	a přejít nalevo k
proměnné y. >*		
Cc)Lenka Baráková, 200b |
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
ý = x{2-y) y^2
ý
J      = X
2-y
^    dx = I xdx
2-y
-dy = xdx
2-y J
ln |2 - y\ = x2 + c
I Obě strany integrujeme a dostáváme obecné řešení diferenciální rovnice v implicitním tvaru.
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
-ln|2-y| = x2 + c
I Budeme se snažit vyjádřit y.
©Lenka Baráková, 2005
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
-ln|2-y| = x2 + c ln\2-y\ = -x2 + c
I Osamostatňujeme y na levé straně, tj. násobíme —1.
im-"-caLenka Barákova, Mi
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
-ln|2-y| = x2 + c ln\2-y\ = -x2 + c
gln|2-y| _ £-x1+c
I Odlogaritmujeme, tj. použijeme inverzní funkci k přirozenému I logaritmu, kterou je exponenciála.
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
-ln|2-y| = x2 + c ln\2-y\ = -x2 + c
gln|2-y| _ £-x1+c
\2-y\ = e-x2k,      k e 1R+
elnC? = 9
Navíc platí e~x2+c = e~%2 ■ ec = e~%2k, přičemž k je nutně kladné.
1
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
-\n\2-y\ = x2 + c ln\2-y\ = -x2 + c
gln|2-y| _ £-x1+c
\2-y\ = e-x2k,      k E 1R+ 2 - y = e-x2k,      k e R - {0}
Absolutní hodnota je vždy kladná, zrušíme-li ji, dostaneme i záporná čísla. Můžeme to zapsat pomocí konstanty k, kterou povolíme kladnou i zápornou - mimo nuly.
©Lenka Baraková, 200b |
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
- In 12 — y | = x2 + c ln\2-y\ = -x2 + c
gln|2-y| _ £-x1+c
\2-y\ = e-x2k,      k e 1R+
v2,
2 — y = e~x k,      k e R - {0} y = 2 - e~*2Á:,      A: e R - {0}
Vyjádříme y.
1
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
ln|2-	3/1 =	x2 + c	
ln|2-	y| =	—x2 + c	
eln|2	-yl =		
|2-	y| =	e-x2k,	k e R+
2-	-y =	e-x2k,	teR-{0}
	y =	2 - e-xlk,	tER-{0}
	y =	2 - e-x2k,	
Konstantní řešení y = 2 můžeme do tohoto řešení zahrnout - pro k = 0. Dostáváme tak obecné řešení v explicitním tvaru.
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
y(x) = 2-e %2k
Hledáme partikulární řešení.
©Lenka Baráková, 2005
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
y(x) = 2-e %2k y{-\) = 2-e-{-^2k
I Do obecného řešení dosadíme počáteční podmínku.
im-caLenka Barákova, Mi
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
y(x) = 2- e~%2k y(-l) = 2 - e-(-^2k = 2- e^k = 3
Upravíme.
©Lenka Baráková, 2005
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
y(x) = 2- e~%2k y(-l) = 2 - e-(-^2k = 2- e^k = 3
- e^k = 1
Vyjádříme k.
BEI   Q   B E3
©Lenka Baráková, 2005
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
y(x) = 2- e~%2k y(-l) = 2 - e-(-^2k = 2- e^k = 3
- e^k = 1
Vyjádříme k.
BEI   Q   Q E3
©Lenka Baráková, 2005
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
y(x) = 2- e~%2k y(-l) = 2 - e-(-^2k = 2- e^k = 3
- e^k = 1
Vyjádříme k.
BEI   Q   B E3
©Lenka Baráková, 2005
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
y(x) = 2 - e~^k y(-l) = 2 - e-(~V2k = 2- e"1* = 3
- e^k = 1
ifc—1
e
k=-e
y(x) = 2 + e~x2e
J
Dosadíme k do předpisu řešení.
Řešte diferenciální rovnici y' = x(2 — y) s počáteční podmínkou y( — 1) = 3
y{x) = 2- e~x'k y{-\) = 2-e-^2k = 2-e-lk = ?,
- e~lk = 1
e
k=-e
y(x) = 2 + e~xZe y{x) = 2 + e~x2+1
Upravíme.
■   ■   ■   ■ CclLenkaUarakova,200i
Konec
©Lenka Baráková, 2005 q