Průběh funkce
Lenka Přibylová 28. července 2006
Obsah
y
x3 + Ax2 + 5x........................ 3
2{x2-x + 1) ........... 43
y~ (x-1)2
y
= ln
*2   \ ...... 91
x+ 2,
■ i \„x ...... 152
y = (x+l)e.......................
©Lenka Přibylová, 20061
n n m
x3 + 4x2 + 5x
)
©Lenka Přibylová, 20061
x3 + 4x2 + 5x |D(/) =R;
Definiční obor je celá množina R.
©Lenka Přibylová, 20061
x3 + Ax2 + 5x I D (f) =R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
f (-x) = (-x)3 + 4(-x)2 + 5(-x) = -x3 + Ax2 -5x^ ±/(x)]
©Lenka Přibylová, 20061
]
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0,0]
Dosadíme x = 0 do předpisu funkce f [x) a dostaneme průsečík s osou
y-
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0,0]
x3 + Ax2 + 5x = 0
Řešením rovnice y = 0 dostaneme průsečík s osou x.
©Lenka Přibylová, 20061
j^^^^^^^^j D (f) = IR; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0]
x3 + Ax2 + 5x = 0 x(x2 +4x + 5) = 0
Vytkneme x. Součin je roven nule právě tehdy, když některý z činitelů je roven nule. Červený činitel dává triviální řešení, zelený činitel vede na kvadratickou rovnici.
©Lenka Přibylová, 20061
j^^^^^^^^j D (f) = IR; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0]
x3 + Ax2 + 5x = 0
x(x2 +4x + 5) = 0 x = 0
Kvadrativká rovnice x2 + Ax + 5 = 0 nemá reálné řešení, protože diskriminant je záporný: D = 16 — 20.
j^^^^^^^^j D (f) = IR; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0]
x3 + Ax2 + 5x = 0
x(x2 +4x + 5) = 0 x = 0
Průsečík s osou x je jediný: x = 0.
©Lenka Přibylová, 20061
j y = x3 + Ax2 + 5x J D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0]
x3 + Ax2 + 5x = 0
x(x2 +Ax + 5) = 0 x = 0
Na osu x zaneseme průsečík. Nemáme žádné body nespojitosti.
©Lenka Přibylová, 20061
j^^^^^^^^j D (f) = IR; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0]
x3 + Ax2 + 5x = 0
x(x2 +4x + 5) = 0 x = 0
/(-l) = -l+4-5=-2<0
Funkční hodnota /(— 1) je záporná a protože se znaménko na intervalu I (—oo, 0) nemůže změnit, je funkce záporná na celém tomto intervalu.
j^^^^^^^^j D (f) = IR; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0]
x3 + Ax2 + 5x = 0
x(x2 +Ax + 5) = 0 x = 0
+
/(-l) = -l+4-5=-2<0 /(l) = 10 > 0
[ Funkce je kladná ^^^^l^edy také na (O^ô^
©Lenka Přibylová, 20061
]
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0,0]
lim x3 + Ax2 + 5x = oo
Vypočteme limity v ±00. Začneme limitou v +00. Protože platí 00 + 00 = 00, je výsledek zřejmý.
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0,0]
lim x3 + Ax2 + 5x = oo lim x3 + Ax2 + 5x
Pro —oo není výsledek na první pohled vidět, protože dostáváme neurčitý výraz oo — oo.
]
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0,0]
lim x3 + Ax2 + 5x = oo lim x3 + Ax2 + 5x = lim x3
Vytkneme-li nej vyšší mocninu x , dostáváme
4 5
x3 + Ax2 + 5x = x3(l + - + -^),
kde druhý činitel konverguje k jedné. Obecně platí pravidlo, že u polynomu (i racionálni lomené funkce) se chování v nevlastních bodech nemění, jestliže zanedbáme členy s nižšími mocninami.__
SI    El   H    B3 ©LenkaPřibylová,2006|
]
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0,0]
lim x3 + Ax2 + 5x = oo lim x3 + Ax2 + 5x =  lim x3 = —oo
©Lenka Přibylová, 20061
]
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0,0]
lim x3 + Ax2 + 5x = oo lim x3 + Ax2 + 5x =  lim x3 = —oo
Asymptota bez směrnice neexistuje, protože je funkce definovaná na celém R. Asymptota se směrnicí také neexistuje, protože
x3 + Ax2 + 5x      ,.      7 . k =  hm -=  hm x + Ax + 5 = oo.
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + 4x2 + 5.v | D(/) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _| _
©LenU ľíil.ylnv:i. 21)06 |
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _ ~'~
O
y' = (x3 +Ax2 + 5x)'
Vyšetříme chování derivace.
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _ ~'~
O
y' = (x3 + Ax2 + 5x)' = 3x2 + 8x + 5
Derivujeme každý člen zvlášť.
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _i
O
y' = (x3 + Ax2 + 5x)' = 3x2 + 8x + 5
3x2 + 8x + 5 = O
Hledáme stacionární body, proto položíme derivaci rovnu nule.
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _|
O
y' = (x3 + Ax2 + 5x)' = 3x2 + 8x + 5
3x2 + 8x + 5 = O
-8 ± V64 - 60     -8 ±2
xl,2 = -7- = -7-
Vyřešíme kvadratickou rovnici.
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _|
O
y' = (x3 + Ax2 + 5x)' = 3x2 + 8x + 5
3x2 + 8x + 5 = O
-8 ± V64 - 60     -8 ±2
Xl'2 =-6-=
5 1
*i = --, x2 = -1
Vyřešíme kvadratickou rovnici.
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _ ~'~
O
y' = 3x2 + 8x + 5; _,_
.5 -1
3
Na reálnou osu zaneseme stacionární body. Nemáme žádné body nespojitosti.
y = x3 + 4x2 + 5x J D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
+
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _|_
O
y' = 3x2 + 8x + 5; ^      , ^
.5 -1
3
Graf derivace je parabola:
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _|
O
y    MAX \
ý = 3x2 + 8x + 5; x       , N
_5 -1
3
50
/(-5/3) = -g
5
Ve stacionárním bodě x = — - nastává lokální maximum. Dopočteme v tomto bodě funkční hodnotu.
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _|
y' = 3x2 + 8x + 5;
y     MAX \
0
mm
H-h-
_5 -1
3
/(-5/3) = -|     /(-l) = -2
Ve stacionárním bodě x = —1 nastává lokální minimum. Dopočteme v tomto bodě funkční hodnotu.
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _|_
O
y    MAX \
y' = 3x2 + 8x + 5;
mm
/(-5/3) = -| /(-l)
y" = 6x + 8
H-r—
.5 -1
3
Spočteme druhou derivaci a vyšetříme její chování.
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
průsečík s osou y je [0,0]
-oo; _|_
/(+oo) = oo, /(-oo) y' = 3x2 + 8x + 5;
0
y     MAX \
mm
H-h-
_5 -1
3
/(-5/3) = -|     /(-l) = -2
y" = 6x + 8
6x + 8 = 0
Položíme druhou derivaci nule.
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _|
O
y    MAX \
y' = 3x2 + 8x + 5;
/(-5/3) = -| /(-l)
mm
^-1—
.5 -1
3
y" = 6x + 8;
+
Nakreslíme reálnou osu s kritickým bodem. Nemáme žádný bod nespojitosti, proto se druhá derivace může měnit pouze v inflexním bodě.
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _|
y' = 3x2 + 8x + 5;
y     MAX \
0
mm
H-h-
_5 -1
3
/(-5/3) = -|     /(-l) = -2
y" = 6x + 8; _Q_
+
/ 4\
Funkce ke na intervalu I — oo, — - I konkávni, protože
-2 e í-oo, -| j   a y"(-2) = 6 ■ (-2) + 8 = -4 < 0.
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _|
y' = 3x2 + 8x + 5;
y     MAX \
0
mm
H-h-
_5 -1
3
/(-5/3) = -|     /(-l) = -2 y" = 6x + 8; n
+
Funkce j e konvexní na intervalu ( —-, oo j, protože 0 £ ^ —-,oo ) a
y"(0) = 8 > 0.
©Lenka Přibylová, 20061
y = x3 + Ax2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
]
průsečík s osou y je [0,0]
y(+oo) = oo, /(— oo) = —oo; _|
y' = 3x2 + 8x + 5;
y     MAX \
0
mm
H-h-
_5 -1
3
/(-5/3) = -|     /(-l) = -2 y" = 6x + 8; _n ^ u
+
_4 3
/(-4/3) = -g
4
Bod x = — - je tedy inflexní. Spočteme jeho funkční hodnotu.
1
©Lenka Přibylová, 20061
mm/ p  in. U
5—1 _4
3 3
/(0) = 0 J  5\ _   50 J  A\ _ 52
/(+oo) = oo \   3)       27 J \   3) 27
/(-oo) = -co /(-l) = -2
Shrneme dosažené výpočty.
©Lenka Přibylová, 20061
mm/ p  in. U
5—1 _l
3 3
/(O) = o /(+oo) = /(-oo) =
5\ _ _50 3J ~ 27 /(-!) =-2
52 "27
0
Nakreslíme souřadný systém.
©Lenka Přibylová, 20061
/(O) = o /(+oo) = /(-co) =
5\ _ _50 3J ~ 27 /(-!) =-2
52 "27
Označíme průsečík s osou x: x = 0. Funkce v tomto bodě roste. ]
©Lenka Přibylová, 20061
_i_ /MAX\     .    * „ .
— / \< mm / PI  m. U
-1- -1-1- -1-
O _5      -1 _l
3 3
/(O) = o /(+oo) = /(-co) =
5\ _ _50 3J ~ 27 /(-!) =-2
52 "27
Nakreslíme značky v blízkosti nevlastních bodů. Funkce roste v okolí obou nevlastních bodů.
		/	
	J	0	
			©Lenka Přibylová, 2006 Q
+
*MAX-
\, mm „ \-1-
n in. u
_4
3
/(O) = 0 /(+oo) = /(-co) =
5\ _ _50 3 J ~ 27 /(-1) = -2
52 "27
	1 '		
Nakreslíme lokální minimum a maximum. |			
	-5/3 -1	t	
	J_ 1	0 -2	
©Lenka Přibylová, 20061
_i_ /MAX\     .    * „ .
—        ~T / \< mm / PI  m. U
-1- -1-1- -1-
O _5      -1 _l
3 3
/(°) = ° f(A\ = _™.      fí-í\ JI
/(+oo) = 00 V3/       27 J\3J 27
/(-oo) = -oo /(-l) = -2
	1 '		
Nakreslíme inflexní bod. Funkce v něm klesá. |			
	-5/3 -4/3 -1	r	
	III 1 J- J_ !	0 -2	
EB    El   B    139 ©Lenka Přibylová, 2006 Q
/(O) = o /(+oo) =
/(-«>) =
5
3
50 "27
52 "27
Spojíme nakreslené části do grafu
©Lenka Přibylová, 20061
1)2
©Lenka Přibylová, 2006
D(/)=R\{1},
r-"»
Určíme definiční obor z podmínky
i-l/O.
Platí
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D(/)=R\{1},
y(0) = 2(0-0 + 1) =
3/1  j (0-1)2
• Určíme průsečík s osou y.
• Dosadíme x = 0 a hledáme y(0).
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D(/)=R\{l},y(0)=2, 2(x2 - x + 1)
o
• Určíme průsečík s osou x.
• Dosadíme 1/ = 0 a řešíme rovnici
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D(/)=R\{l},y(0)=2,
2(x2-x + l) x2 - x + 1 = O
Čitatel musí být nula.
2(x2 - x + 1) (*"1)2
|D(/) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x 2(x2-x + l)
(X-1)2
x2 - x + 1 = 0
Tato kvadratická rovnice nemá řešení, protože má záporný diskriminant.
D = b2 - Aac = 2 - 4.1.1 = -2 < 0
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
■e-1
Nakreslíme osu x a bod nespojitosti x = 1.
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
|D(/) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
+
Víme, že y(0) = 2 > 0. Funkce je kladná na (—oo, 1).
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
|D(/) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
+
+
2(4-2 + 1)
Vypočteme 1/(2) = —-V^—^— ^ 0. Funkce je kladná na (l,oo).
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
+
+
2(x2 - x + 1)
lim
*->i+    (x - l)2
lim
2(x2 - x + 1) i- (x-1)2
Určíme jednostranné limity v bodě nespojitosti
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
+
+
2(x2-x + l) hm —--——
x->l +      (X - í)2
2(x2 - x + 1)
lim
*->i-
(X -1)2
Dosadíme x = 1.
EE1    Q B
©Lenka Přibylová, 2006 Q
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
+
+
2(x2-x + l) hm —--——
x->l +      (X - í)2
2(x2 - x + 1)
lim
x->l-
(X -1)2
2
+Ô 2
+Ô
+00
+00
Jmenovatel je v obou případech kladné číslo.
EBl   E] Q
©Lenka Přibylová, 2006 Q
2(x2 - x + 1) (*"1)2
|D(/) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
+
+
lim
lim
lim
2{x2	-x + 1)	2
(x	-1)2	+0
2(x2	-x + 1)	2
(x	-1)2	+0
2(x2	-x + 1)	
(x	-1)2	
+00
+00
Určíme limity v ±oo.
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
|D(/) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
+
+
lim
lim
lim
x^±co
2{x2	-x + 1)	2
(x	-1)2	+0
2{x2	-x + 1)	2
(x	-1)2	+0
2{x2 (x	* ľt     = lim - I)2 x^±o°	
+00
+00
2x2
Uvažujeme jenom vedoucí členy.
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
|D(/) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
+
+
lim
lim
lim
2{x2	-x + 1)	2
(x	-1)2	+0
2{x2	-x + 1)	2
[x	-1)2	+0
2{x2 [x	* ľt     = lim - I)2 x^±o°	
+00
+00
=  lim ^ = 2
Xz       x^±oo 1
Funkce má limitu v ±oo. Přímka y = 2 je asymptotou ke grafu v ±oo. j
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
ý = 2
x1 — x + 1 (*-l)2
Vypočteme derivaci.
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
ý = 2
= 2
x1 — x + 1 (*"1)2
(2x - l)(x - l)2 - (x2 - x + l)2(x - 1)(1 - 0) ((*-l)2)2
M\'      UV — UV
Užijeme vzorec pro derivaci podílu.
• Užijeme vzorec pro derivaci složené funkce při derivování výrazu (x-1)2.
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
ý = 2
= 2
x1 — x + 1 (*"1)2
(2x - l)(x - l)2 - (x2 - x + l)2(x - 1)(1 - 0)
2(x-l)
((x-1)2)2 (2x-l)(x-l) - (x2-x + l)2 (*"1)4
Vytkneme (x — 1).
EE1    Q B
©Lenka Přibylová, 2006 Q
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
ý = 2
= 2
x1 — x + 1 (*"1)2
(2x - l)(x - l)2 - (x2 - x + l)2(x - 1)(1 - 0)
((*-l)2)2 „. (2x - í)(x - 1) - (x2 - x + 1)2
-(x^lŤ-
2x2 -2x-x + í- (2x2 -2x + 2)
(*"1)3
Roznásobíme závorky a zkrátíme (x — 1).
EE1    Q B
©Lenka Přibylová, 2006 Q
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
x + 1
(X -1)2
(2x - l)(x - l)2 - (x2 - x + l)2(x - 1)(1 - 0)
((*-l)2)2 (2x-l)(x-l) - (x2-x+ 1)2
2x2 - 2x - x + 1 - (2x2 - 2x + 2)
2(x-l) 2
= 2
—x — 1
(x^Tp
EE1    Q B
©Lenka Přibylová, 2006 Q
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
x + 1
(X -I)2
(2x - l)(x - l)2 - (x2 - x + l)2(x - 1)(1 - 0)
((*-l)2)2 (2x-l)(x-l) - (x2 -x + 1)2
2x2 - 2x - x + 1 - (2x2 - 2x + 2)
2(x-l) 2
(x-1)3 —x — 1 x + 1
(X-1)3 =        (X-1)3
EE1    Q B
©Lenka Přibylová, 2006 Q
2(x2 - x + 1) (*"1)2
' x+1
(x-ir
D(f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
■(X-1)3
Řešíme rovnici yl = 0.
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
(X-1)3'
D(/) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
-2 X + 1 =0 "(x-l)3
x+ 1 = 0
X = —1
Čitatel musí být nula. Stacionárním bodem je tedy x = — 1.
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
x + T
"2--TT^T, ^!  = -1
■(X-1)3'
Zakreslíme stacionární bod a bod nespojitosti.
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
o  x+1 1 \
Určíme y'(—2).
y>(_2) = -2  ~2 + *   = -2Záp0máh0dn0ta < 0 (—2 — 1)^ záporná hodnota
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
o  x+1 1
"2(^-1)3^1 =-1
N.
Určíme y'(0).
...       „0+1 „ kladná hodnota
y'(0) = -2-——j = -2--t—-      > 0
(0 — \)ä záporná hodnota
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
x+1 3
1/' = —2--r-=-, Xi = — 1... lok. minimum, vf — 1) = -
y (x-1)3 yy 2
'(X -1)3
N.
mm —I-
Lokálni minimum pro x = —í. Funkční hodnota je
2((-l)2- (-1) + 1) _ 2.3 _ 3
y(-i) =
(-1 - 1)2 4 2'
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
, x+1
■(X-1)3
D{f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
3
, Xi = — 1... lok. minimum, y{ — 1)
mm —I-
2
EE1    Q B
©Lenka Přibylová, 2006 Q
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
x+l 3
1/' = —2--r-=-, Xi = — 1... lok. minimum, v( — 1) = -
y (x-1)3 yy 2
'(X -1)3
x+l
Vypočteme druhou derivaci.
©Lenka Přibylová, 20061
y
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
x+l 3
y' = —2--r-=-, Xi = — 1... lok. minimum, y( — 1) = -
y (x-1)3 yy 2
■{x-iy y" = -2
= -2
x+l (x~^l)\
l(x - l)3 - (x + l)3(x - 1)2(1 - 0) ((*-l)3)2
• Použijeme pravidlo pro derivaci podílu.
• Jmenovatel budeme derivovat jako složenou funkci.
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
, x+1
■(X-1)3
y" = -2
= -2
D(/) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
3
, Xi = — 1... lok. minimum, y{ — 1)
x+1
l(x - l)3 - (x + l)3(x - 1)2(1 - 0)
-2(x-l)
((X- 1)3)2
2(x - 1) - (x + 1)3
(x-iy
Vytkneme (x — l)2 v čitateli.
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
, x+1
■(X-1)3
y" = -2
= -2
D(/) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
3
, Xi = — 1... lok. minimum, y{ — 1)
x+1
l(x - l)3 - (x + l)3(x - 1)2(1 - 0)
-2(x-l) -2x - 4
((X- I)3)2
2(x - 1) - (x + 1)3
(x-l)í
Upravíme.
EE1    Q B
©Lenka Přibylová, 2006 Q
2(x2 - x + 1) (*"1)2
, x+1
■(X-1)3
y" = -2
= -2
D(/) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
3
, Xi = — 1... lok. minimum, y{ — 1)
x+1
l(x - l)3 - (x + l)3(x - 1)2(1 - 0)
-2(x-l)
((X- 1)3)2
2(x - 1) - (x + 1)3
(X-1)6
x + 2
'(X-1)4 ~'(X-1)4
„ -2x - 4 -2---r = 4
Obdrželi jsme druhou derivaci.
EBl   E] Q
©Lenka Přibylová, 2006 Q
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
3
y' = —2-^—"~j~J3' xi = — 1- ■ ■ l°k- minimum, y( — 1) ^ y" = 4 * + 2
(x-ir
4 X+2 =0 4(x-l)4
Řešíme y =0.
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 -x + l) (*"1)2
D{f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
3
y' = —2-^—~~Yj3' xi = — 1- ■ ■ l°k- minimum, y( — 1) ^
ľ = 4,.. x2 = -2
4 X+2 =0 4(x-l)4
x + 2 = 0
x = -2
Jediné řešení je x
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
x+l 3 1/' = —2--r-=-, Xi = — 1... lok. minimum, vf — 1) = -
y (x-1)3 yy 2
u    „  x + 2
y =4(*-3T)4'*2 = -2
Určíme intervaly konvexnosti a konkavity.
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
3
y' = —2-^—~~j~J3' xi = — 1- ■ ■ l°k- minimum, y( — 1) ^
//    „  * + 2 í/" = 4(Í3I)4^ = ~2
n
v"(_3) = 4-L±2-      < Q
kladná hodnota
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
x+l 3 1/' = —2--r-=-, Xi = — 1... lok. minimum, v( — 1) = -
y (x-1)3 yy 2
u    „  x + 2
y =4(*-3T)4'*2 = -2
n
u
y"(Q) = 4-°_±^- > Q
kladná hodnota
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
x+l 3 1/' = —2--r-=-, x- = — 1... lok. minimum, vf — 1) = -
y (x-1)3 yy 2
u     •  x + 2
y =4(*-3T)4'*2 = -2
n
m. —I—
U
Inflexní bod v bodě x = —2. Funkční hodnota je
14
y(-2) = y.
©Lenka Přibylová, 20061
2(x2 - x + 1) (*"1)2
D (f) = ]R \ {1}, 1/(0) = 2, není průs. s osou x
x+l 3 1/' = —2--r-=-, Xi = — 1... lok. minimum, v( — 1) = -
y (x-1)3 yy 2
u    „  x + 2
y =4(*-3T)4'*2 = -2
n
m. —I—
U
U
2 4- 1
y"l2) = 4-—-       > 0
kladná hodnota
©Lenka Přibylová, 20061
+        + \,min/*       \, l~l  in.  U U
-e-I -1-e- -1-e-
1_■ 11 2 1
f(0) = 2 /(l±) = +oo /(-2) = -
/(±oo)=2 /("l) = f 9
I Shrneme dosavadní znalosti.
-
FFl    Fl   fa    fga ©Lenka Přibylová, 2006 Q
+        + \,min/*       \, PI  in.  U U
-e-■ -1-e- -1-e-
1_■ 11 2 1
/(O) = 2 /(±oo)=2
/(1±) = /(-1) =
y
+ 00
3 2
f (-2) =
14
Nakreslíme souřadnou soustavu.
	
-2 -1	1 X
©Lenka Přibylová, 20061
+        + \,min/*       \, PI  in.  U U
-e-■ -1-e- -1-e-
1_■ 11 2 1
/(O) = 2 /(±oo)=2
/(1±) = +oo /(-1) = ^
/(-2) =
14
Vyznačíme průsečík s osou y.
2	
-2 -1	1 *
©Lenka Přibylová, 20061
+ +
-e-
\, min /* \,
-1-e-
-1 1
n m. u u
-1-e-
-2 1
/(O) = 2 /(±oo)=2
/(1±) = +oo /(-1) = ^
/(-2) =
14
Funkce v tomto bodě roste.
2	
-2 -1	1 *
©Lenka Přibylová, 20061
+ + \,min/* \, PI in. U U -e- -1-e- -1-e-
f(0) = 2 /(l±) = +oo
/(±oo)=2 /("l) = f
	y	1 1	1	
Nakreslíme funkci v okolí svislé asymptoty. J				
	2 ✓			
	-2 -1	1 *		
EH    B   Q ©Lenka Přibylová, 2006 Q
+ + \,min/* \, PI in. U U -e- -1-e- -1-e-
f(0) = 2 /(l±) = +oo
/(±oo)=2 /(-1) = 2
	y	1 1	1	
Nakreslíme funkci v okolí vodorovné asymptoty. J				
	2	ŕ.		
				
	-2 -1	1 X		
EQ    Q   Q ©Lenka Přibylová, 2006 Q
+ + \,min/* \, PI in. U U -e- -1-e- -1-e-
/(O) = 2 /(±oo)=2
/(1±) = +00 /(-1) = Š
/(-2) =
14
íl
Nakreslíme lokálni minimum funkce.
-1-h
-2 -1
©Lenka Přibylová, 20061
EE1    Q B
©Lenka Přibylová, 2006 Q
©Lenka Přibylová, 20061
D(f) = (-2,0) U (0,oo);
x2
Funkce y (x) je definována pro x + 2 7^ 0 a —-j—^ > 0.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
Plyne z nesymetričnosti definičního oboru.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
y = o
Hledáme průsečíky s osou x.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
y = 0 ln
Položíme funkci y (x) rovnu 0
©Lenka Přibylová, 20061
y = O ln
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x + 2
Odlogaritmováním dostaneme kvadratickou rovnici.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
y = 0 ln
x + 2
xL = x + 2
Vynásobíme jmenovatelem x + 2
©Lenka Přibylová, 20061
y = O ln
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x + 2
xL = x + 2
x-2 = 0
a převedeme na levou stranu.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
y = 0 ln
x + 2
xL = x + 2 x2 - x-2 = 0
íi^/TTš
*1,2 =
Podle vzorce vypočítáme kořeny.
©Lenka Přibylová, 20061
y = O =$> ln
D(/) = (—2,0) U (0,oo); není ani sudá ani lichá;
= 0 =>•
x + 2
xl,2
x = x + 2
x2 -x -2 = 0
1± yT+8 2
X! = 2 G D(f)
©Laik:! ľíil-ylnv:i. 21)1)6 |
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
y = 0 ln
x + 2
xL = x + 2 x2 - x - 2 = 0
i±^/r+8
*i,2 =-j-
x, = 2 e D(/)
xä = -l e D(/)
Oba leží v definičním oboru funkce.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
+
I-h
Na reálnou osu naneseme nulové body a body, kde funkce není definována_
SI    El   H    Ba ©LenkaPFibylová,2006|
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
+
I-h
a dosazením bodů z jednotlivých intervalů zjistíme znaménko funkce, j
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
+
I-h
a dosazením bodů z jednotlivých intervalů zjistíme znaménko funkce, j
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
+
I-h
+
a dosazením bodů z jednotlivých intervalů zjistíme znaménko funkce, j
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
Vypočteme limitu funkce v +00
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
= ln lim
X^CQ \ X + 2 J X^CQ \ X + 2
Podle věty o limitě složené funkce zaměníme pořadí limity a logaritmu. |
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
= ln lim
X^CQ \ X + 2 J X^CQ \ X + 2
= ln lim —
x^oo 1
Pro řešení limity použijeme např. L'Hospitalovo pravidlo.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
= ln lim
X^CQ \ X + 2 J X^CQ \ X + 2
= ln lim — = oo
Funkce ln x pro x —► oo diverguje.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
= ln lim
X^CQ V   X + 2
= ln lim — = oo
lim ln
*->-2+
x + 2
Chování funkce na levém okraji definičního oboru určíme výpočtem limity funkce v bodě —2 zprava.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
x^oo
x + 2
= ln lim
X^CQ V x + 2
= ln lim — = oo
lim ln
*->-2+
x + 2
ln lim
x^-2+ \ X + 2
Zaměníme pořadí limity a logaritmu,
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
x^oo
x + 2
= ln lim
X^CQ V x + 2
= ln lim — = oo
lim ln
*->-2+
x + 2
ln lim .
x^-2+ \ X + 2
ln lim--
x^-2+ X + 2
částečně dosadíme a
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
lim ln
*->-2+
= ln lim
X^CQ V x + 2
= ln lim — = oo
x + 2
ln lim .
x^-2+ \ X + 2
ln lim--
x^-2+ X + 2
4
dostáváme limitu typu
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
x^oo      \* + 2
lim ln
*->-2+
= ln lim
X^CQ V x + 2
= ln lim — = oo
x + 2
ln lim .
x^-2+ \ X + 2
ln lim--
x^-2+ X + 2
4
což je nekonečno.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
X^CQ \X + 2
lim  ln .
x^-2+      \ X + 2
4
lim ln
x2  \ í x2 \ x
= ln lim - ) = ln lim — = oo
x^oo \ x + 2 J x^oo 1
x^o±    \x + 2
= oo
ln lim .
x^-2+ \ X + 2
ln lim--
x^-2+ X+ 2
Chování funkce v okolí dalšího nedefinovaného bodu 0 určíme výpočtem limity funkce v bodě 0 zprava a zleva.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
x^oo      V^ + 2
lim ln
*->-2+
= ln lim
x + 2
4
lim ln .
x^o±    V x + 2
= oo
■J-
x^co V x + 2
= ln lim — = oo
ln lim .
x^-2+ \ X + 2
ln lim
o± V x + 2
ln lim--
x^-2+ X + 2
Zaměníme pořadí limity a logaritmu,
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
X->0O \X + 2
lim  ln .
x^-2+      \ X + 2
4
lim ln
x2  \ í x2 \ x
= ln lim - ) = ln lim — = oo
x^oo \ x + 2 J x^oo 1
x^o±    V x + 2
= 00
ln lim .
x^-2+ V X + 2
ln lim
o± V x + 2
ln lim --
x^-2+ X + 2
ln lim —
x^o± 2
částečně dosadíme a
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
X^CQ \X + 2
lim  ln .
x^-2+      \ X + 2
4
lim ln
x2  \ í x2 \ x
= ln lim - ) = ln lim — = oo
x^oo \ x + 2 J x^oo 1
x^o±    \x + 2
= oo
ln lim .
x^-2+ \ X + 2
ln lim
ln lim--
x^-2+ X+ 2
o± V x + 2
ln lim — = ln
x^o± 2
2
v obou případech dostáváme typ
2
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
lim ln
X^CQ \X + 2
lim  ln .
x^-2+      \ X + 2
4
lim ln
x2  \ í x2 \ x
= ln lim - ) = ln lim — = oo
x^oo \ x + 2 J x^oo 1
x^o±    V x + 2
= 00
ln lim .
x^-2+ V X + 2
ln lim
ln lim--
x^-2+ X + 2
o± V x + 2
ln lim — = ln
x^o± 2
2
proto lze dosadit do logaritmu, který je definován pouze pro pravé okolí nuly.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
, _ x + 22x(x + 2) - x2
y =
(x + 2)2
Funkce y (x) je složená, proto nejdříve derivujeme vnější složku
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
, _ x + 22x(x + 2) - x2
y =
(x + 2)2
a násobíme derivací vnitřní složky. Tu derivujeme jako podíl.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x + 22x(x + 2) - x2
y =
(x + 2)2
1 x2 + Ax x2 x+ 2
Zelené části se zkrátí,
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x + 22x(x + 2) - x2
y =
(x + 2)2
1 x2 + Ax x2 x+ 2
x(x + A) x2(x + 2)
v čitateli vytkneme x
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x + 22x(x + 2) - x2
y =
(x + 2)2
1 x2 + Ax x2 x+ 2
x(x + A) x2(x + 2)
x + 4 x(x + 2)
a zkrátíme.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x + 4
x(x + iy
Hledáme stacionární body.
©Lenka Přibylová, 20061
x + A
x(x + iy
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x + A x(x + 2)
Dosadíme vypočtenou derivaci funkce.
©Lenka Přibylová, 20061
x + A
x(x + iy
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x + A
0
x(x + 2) x + A = 0
Zlomekje roven nule právě tehdy, když je roven nule jeho čitatel.
©Lenka Přibylová, 20061
x + A
x(x + iy
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x + A
0
x(x + 2) x + A = 0 x=-A£ D(f)
Vypočtená hodnota neleží v definičním oboru funkce, proto funkce nemá žádný stacionární bod.
D(f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x + 4
x(x + iy
Znaménko derivace se tedy může měnit jen v bodech, kde není definována._
SI    El   H    B3 ©LenkaPFibylová,2006|
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x + 4
x(x + iy
N.
Do červeně označené derivace dosadíme body z jednotlivých intervalu. Kladné znaménko znamená, že zde funkce roste, záporné, že klesá.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x + 4
x(x + iy
N.
Do červeně označené derivace dosadíme body z jednotlivých intervalu. Kladné znaménko znamená, že zde funkce roste, záporné, že klesá.
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x + A
x(x + iy
x + A x(x + 2)
Druhou derivaci dostaneme derivací první,
©Lenka Přibylová, 20061
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x + 4
x(x + iy
x + 4 V
x(x + 2)/ x(x + 2) - (x + 4)(2x + 2) x2(x + 2)2
kterou derivujeme jako podíl.
EBl   E] Q
©Lenka Přibylová, 2006 Q
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x + A
x(x + iy
x + A x{x + 2)t x(x + 2) - (x + 4)(2x + 2)
xz{x + 2)z x2 + 2x - 2x2 -8x-2x-í xz{x + 2)z
V čitateli nelze nic vytknout, proto jej roznásobíme
EBl   E] Q
©Lenka Přibylová, 2006 Q
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x + A
x(x + iy
x + A x{x + 2)t x(x + 2) - (x + 4)(2x + 2)
x2(x + 2)2 x2 + 2x - 2x2 -8x-2x-í x2{x + 2)2 x2 + 8x + 8 ~ x2(x + 2)2_
a příslušné mocniny sečteme.
EBl    EJ 19
©Lenka Přibylová, 2006 EJ
x + 4 x(x + 2)'
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2 '
y" = 0
Hledáme inflexní body.
©Lenka Přibylová, 20061
x + 4 x(x + 2)'
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
_   x2 + 8x + 8 = ~ x2{x + 2)2 '
y" = o
x2 + 8x + 8 _ ~ x2(x + 2)2 ~
Dosadíme vypočtenou druhou derivaci funkce.
©Lenka Přibylová, 20061
x + 4 x(x + 2)'
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2 '
y" = o
= o
x2 + 8x + 8 " xz{x + 2)z x2 + 8x + 8 = 0
Zlomekje roven nule právě tehdy, když je roven nule jeho čitatel.
©Lenka Přibylová, 20061
x + 4 x(x + 2)'
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2 '
y" = o
= o
Xl,2 =
x2 + 8x + 8 " x2{x + 2)2 x2 + 8x + 8 = 0 -8 ± V64 - 32
Podle vzorce vypočítáme kořeny kvadratické rovnice.
©Lenka Přibylová, 20061
x + 4 x(x + 2)'
D (f) = (—2,0) U (0, co); není ani sudá ani lichá;
_   x2 + 8x + 8 = ~ x2{x + 2)2 '
y" = o
x2 + 8x + 8 _
~ x2(x + 2)2 ~
x2 + 8x + 8 = 0
-8 ± V64 - 32 xh2 =-2-
Xi/2 = -4 ± 2^2
Upravíme.
©Lenka Přibylová, 2006 Q
x + 4 x(x + 2)'
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
_   x2 + 8x + 8 = ~ x2(x + 2)2 '
X\ = -4-2V2 i D(f)
Xi není inflexní bod, protože neleží v definičním oboru funkce,
©Lenka Přibylová, 20061
x + 4 x(x + 2)'
x2
D(f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
_   x2 + 8x + 8 = ~ x2{x + 2)2 '
Xl = -4-2V2 i D(f) = -4 + 2V2 = -1.17 e D (f)
X2 leží v definičním oboru funkce.
©Lenka Přibylová, 20061
x + 4 x(x + 2)'
x2
D(f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x2 + 8x + 8 = ~ x2{x + 2)2 '
Xl = -4-2V2 i D(f) = -4 + 2V2 = -1.17 e D (f)
-2        -A + 2V2 0
Znaménko druhé derivace se tedy může měnit jen v bodech, kde není definována a v bodě x2-
1
©Lenka Přibylová, 20061
x + A x(x + 2)'
x2
D(f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x2 + 8x + 8 = ~ x2{x + 2)2 '
Xl = -4-2^2 $É D(/) = -A + 2V2 = -1.17 e D (f)
,—y-1-1-
-2        -A + 2V2 0
Do červeně označené druhé derivace dosadíme body z jednotlivých intervalu. Kladné znaménko znamená, že je zde funkce konvexní, záporné, že je konkávni.
©Lenka Přibylová, 20061
x + 4 x(x + 2)'
x2
D(f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x2 + 8x + 8 = ~ x2(x + 2)2 '
Xl = -4-2V2 i D(f) = -4 + 2V2 = -1.17 e D (f)
I--1-□-1—
"2        -4 + 2\/2 0
funkce se v x2 mění z konvexní na konkávni,
©Lenka Přibylová, 20061
x + A x(x + 2)'
x2
D(f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x2 + 8x + 8 = ~ x2(x + 2)2 '
Xl = -4-2V2 i D(f) = -4 + 2V2 = -1.17 e D (f)
U      in. n -A + 2V2
X2 je proto inflexním bodem,
©Lenka Přibylová, 2006 EJ
D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá;
x2 + 8x + 8 = ~ x2{x + 2)2 '
X\ = -4-2V2 i D(f) = -4 + 2V2 = -1.17 e D (f)
u m. n n 1---1---1-—
-2        -4 + 2V2 0
©Lenka Přibylová, 2006 Q
+ — — + \, y u m. n n i-1-1-1- i-1- i-1-1-
-2     -1      0       2 -2      0 -2-4 + 2\/2°
/(-1) = 0 /(oo) = oo /(-4 + 2V2) =
f (2) = 0 /(0±) = -oo 0.505
Vypíšeme nej důležitější výsledky.
©Lenka Přibylová, 20061
+   -   - +
I-1-1-1-
-2-10 2
\i y u m. n n i-1- i—-—i—-—i——
-2      0 -2-4 + 2V2 0
/(-1) = 0 f (2) = 0
/(co) = /(0±)
/(-4 + 2V2) = 0.505
	j v		
	-1	0 1	
	-2	2 ,	
Zakreslíme souřadný systém. Pro hodnoty menší nebo rovny -2 a v 0 funkce není definována. J			
©Lenka Přibylová, 20061
+ + N, S i-1-1-1- i-1-
-2-10       2 -2 0
/(-1) = 0 /(oo) = oo
f (2) = 0 /(0±) = -oo
	j v -i ! ""i	0 1	
	-2	2	
Vyznačíme průsečíky s osou x. Funkce klesá v bodě -1 a roste v bodě 2.			
Q]   Q   B   Q ©LenkaPřibylová,2006Q
u m. n n i—-—i—-—i——
-2-4 + 2^2 0
/(-4 + 2V2) = 0.505
+   -   - +
I-1-1-1-
-2-10 2
\i y u m. n n i-1- i—-—i—-—i——
-2      0 -2-4 + 2^2°
/(-1) = 0 f (2) = 0
/(co) = /(0±)
/(-4 + 2V2) = 0.505
!\ y -1 ! ""i	0 1
I ^ \	f
Nakreslíme funkci v okolí svislých asymptot.
EE1    Q B
©Lenka Přibylová, 2006 Q
|-2     -1      O       2 -2      0 -2-4 + 2\/2°
/(-1) = 0 /(oo) = oo /(-4 + 2V2) =
/(2) = 0 /(0±) = -oo 0.505
	11                  V '		
			
Vyznačíme inflexní bod a spojíme graf. 1			
EE1    Q B
©Lenka Přibylová, 2006 Q
©Lenka Přibylová, 2006 Q
y=(x+iy |D(/) = R;
Definiční obor je celá množina R.
©Lenka Přibylová, 20061
y = (x + l)ex I D (J) = R; průsečík s osou y je [0,1],
Dosadíme x = 0 do předpisu funkce f (x) a dostaneme průsečík s osou
y-
©Lenka Přibylová, 20061
y = (x + l)ex I D (J) = R; průsečík s osou y je [0,1],
(x + l)ex = 0
Řešením rovnice y = 0 dostaneme průsečík s osou x.
y={x+l)ex \D(f)
= R; průsečík s osou y je [0,1],
{x + l)ex = 0 x + 1 = 0
• Součin je roven nule právě tehdy, když je roven nule jeden z činitelů.
• Činitel ex je vždy kladné číslo.
©Lenka Přibylová, 20061
I^^^^iyj D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou 3/je [-1,0],
{x + l)ex = 0 x + 1 = 0 x = —í
Průsečík s osou x je x
©Lenka Přibylová, 20061
j^=^^^l)ŕ^J D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s 3/je [-1,0],
{x + l)ex = 0 x + 1 = 0 x = —í
• Na osu x zaneseme průsečík.
• Nemáme žádné body nespojitosti.
©Lenka Přibylová, 2006
y = [x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
(x + l)e* = 0 x + 1 = 0 x = —1
/(-2) = (-2+l)-e-z = -e-2<0
Funkční hodnota /(—2) je záporná a protože se znaménko na intervalu (—oo, — 1) nemůže změnit, je funkce záporná na celém tomto intervalu.
©Lenka Přibylová, 2006 EJ
y = [x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
{x + l)ex = 0 x + 1 = 0 x = —1
+
/(-2) = (-2+1)-e"2 =-e~2 <0
/(O) = 1 > 0_
[ Funkce je kladná vi = Q, tedy také na ( — 1/ oo).
©Lenka Přibylová, 20061
j^=^^^l)ŕ^J D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s
y > [-1,0],
lim (x + l)ex = oo ■ oo = oo
• Vypočteme limity v ±oo. Začneme limitou v +oo.
• Platí oo + 1 = oo a lim ex = oo.
B B
©Lenka Přibylová, 2006
y = [x + l)ex I D(/) = R; průsečík s osou i/je [0,1], průsečík s osou
y > [-1,0],
lim (x + l)e* = oo ■ oo = oo
X^CQ
lim (x + l)e* = (-oo) ■ e-°° = (-oo) ■ O
Vypočteme limitu v —oo. "Dosadíme" x = —oo a dostaneme
—oo + 1 = —oo a lim ex = 0. Dostáváme neurčitý výraz O x oo. K
x^t — oo
výpočtu tedy musíme použít jinou metodu.
©Lenka Přibylová, 20061
y = (x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
lim (x + l)e* = oo ■ oo = oo
X^CQ
lim (x + l)e* = (-oo) ■ e-°° = (-oo) ■ O
c—> — OO
x + 1
lim
X^r — OO g
— 00 00
• Přepíšeme výraz na zlomek
e =
Limita je ve tvaru, kdy
je možno použít L'Hospitalovo pravidlo.
©Lenka Přibylová, 20061
y = (x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
lim (x + l)e* = oo ■ oo = oo
X^CQ
lim (x + l)e* = (-oo) ■ e-°° = (-oo) ■ O
c—> — oo
x + 1 —oo
= lim
oo e x oo
= lim -
x^—oo —e
Použijeme L'Hospitalovo pravidlo (derivujeme zvlášť čitatel a jmenovatel). Funkci e~x derivujeme jako složenou:(e~x)' = e~x(-x)' = e~x ■ (-1)
©Lenka Přibylová, 20061
y = [x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
lim (x + l)e* = oo ■ oo = oo
X^CQ
lim (x + l)e* = (-oo) ■ e-°° = (-oo) ■ O
c—> — oo
,      x +1 —oo =  hm —-— = -
X^r — OO    e    * 00
1
=  lim —— =  lim — ex
x^r — ca —e   x       x^r — ca
Zjednodušíme.
©Lenka Přibylová, 20061
y = (x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
lim (x + l)e* = oo ■ oo = oo lim (x + l)e* = (-oo) ■ e-°° = (-oo) ■ O
c—> — oo
,      x +1 —oo =  hm —-— = -
X^r — OO    g    ■- 00
1
=  lim —— = lim
x-^ — oo —e   x       x^r — o;
Dosadíme. Z grafu funkce vidíme, že lim ex = e
©Lenka Přibylová, 20061
j y = (x+l)ex j D(f) = R; průsečík s osou y je [0,1],průsečík s osou 3/je [-L0],
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_|_+_
-1
Vyšetříme chování derivace.
J^^O^^l)^^! D (f) = ÍR; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje[-l,0],
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_|__t_
-1
ý = {x+l)' -ex + {x + l)-{ex)'
Funkci y = (x + 1) ■ ex derivujeme j ako součin: (u ■ v)' = u' ■ v + u ■ v'
©Lenka Přibylová, 20061
y = (x + l)ex j D(f) = R; průsečík s osou y je [0,1],průsečík j/je [-1,0],
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; -^JL_
-1
y' = (x + iy -ex + {x + l)-(exy = 1-ex + (x + í) ■ ex
s osou
©LenU l'íil-vlnv:i. 21)061
J^^O^^^^^I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje[-l,0],
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_|__t_
-1
ý = {x+l)' -ex + {x + l)-{ex)' = l-ex + {x + l)-ex = ex(l + x + l)
Výtku
©Lenka Přibylová, 20061
J^^O^^^^^I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje[-l,0],
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_|_+_
-1
ý = {x+l)' -ex + {x + l)-{ex)' = l-ex + {x + l)-ex = ex(l + x + l) = ex(x + 2)
Zjednodušíme.
j y = (x+l)ex j D(f) = R; průsečík s osou y je [0,1],průsečík s osou 3/je [-1,0],
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_|__t_
-1
y' = ex(x + 2);
| Dostáváme derivaci.
EE1    Q   Q ES
©Lenka Přibylová, 2006 Q
j/^^^^l)ŕ^j D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > [-1,0],
/(+oo) = oo,/(-oo) = 0; _—
-1
„-2
+
y' = ex{x + 2);       stac. bod je x = -2;       f (-2)
-0.14
Derivace je rovna nule právě tehdy, když (x + 2) = 0 , jelikož ex 7^ 0. Dostáváme stacionární bod x = —2.
Dosadíme f (—2) = (—2 + l)e~2 = — e~2 a s pomoci kalkulátoru dostaneme/(— 2) = —0.14.
©Lenka Přibylová, 20061
J^^O^^^^^I D(f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou 3/je [-1,0],
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_|_+_
-1
y' = ex(x + 2);       stac. bod je x = -2;       /(-2) =-e~2 = -0.14
Na reálnou osu zaneseme stacionární bod. Nemáme žádné body nespojitosti.
y = (x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _I_|_JL
-1
,-2
y' = ex(x + 2);       stac. bod je x = -2;       /(-2) = -e    = -0.14 \
Zvolíme např. x = —3 a dosadíme do první derivace:
y'(-3) = e~3(-3 + 2) = -e~3 < 0. Funkce v bodě x = -3 klesá a
totéž platí na celém intervalu (—oo, — 2).
©Lenka Přibylová, 20061
y = [x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_|_JL
-1
,-2
y' = ex(x + 2);       stac. bod je x = -2;       /(-2) = -e    = -0.14
\ Z1
Dosazením x = O do první derivace máme
y'(0) = e°(0 + 2) = 2 > 0. Funkce v bodě roste x = 0 a to také platí na celém intervalu (— 2, oo).
©Lenka Přibylová, 20061
J^^O^^^^^I D(f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou 3/je [-1,0],
/(+oo) = oo, /(-co) = 0; _Z_|__t_
-1
y' = ex(x + 2);       stac. bod je x =-2;       /(-2) =-e~2 = -0.14
\, min /*
V bodě x = — 2 má funkce lokální minimum.
y = [x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _I_|_JL
1
-2
y' = ex(x + 2);       stac. bod je x = -2;       /(-2) =-e 7 = -0.14
\,            min /* -1-
y" = ex ■ (x + 2) + ex ■ 1
Spočteme y". Derivujeme y' = ex ■ (x + 2) jako součin (u ■ v)' = u' ■ v + u ■ v'
©Lenka Přibylová, 20061
y = [x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_h +
-1
y' = ex(x + 2);       stac. bod je x = -2;       /(-2) =-e~2 = -0.14
\,            min /* -1-
y" = ex ■ (x + 2) + ex ■ 1 = e*(x + 2 + l) = ex(x + 3)
Zjednodušíme.
©Lenka Přibylová, 20061
y = [x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_|_JL
1
-2
y' = ex(x + 2);       stac. bod je x = -2;       /(-2) =-e    = -0.14
\, min -1-
y" = e*(x + 3);
Máme druhou derivaci.
©Lenka Přibylová, 20061
y = [x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_|_JL
1
-2
y' = ex(x + 2);       stac. bod je x = -2;       /(-2) = -e    = -0.14
\,            min /* -1-
y" = ex(x + 3);     y" = 0 pro x = -3,     /(-3) = -2e"3 = -0.01
Hledáme bod, ve kterém platí y" = 0. Protože ex je vždy různá od nuly, musí platit (x + 3) = 0, proto x = —3.
f (-3) = (-3 + l)e~3 = -2e~3 = -0.01
©Lenka Přibylová, 20061
y = [x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_|_JL
1
-2
y' = ex(x + 2);       stac. bod je x = -2;       /(-2) =-e 7 = -0.14
\,            min /* -1-
y" = ex(x + 3);     y" = 0 pro x = -3,     /(-3) = -2e~3 = -0.01
Nakreslíme reálnou osu s kritickým bodem. Nemáme žádný bod nespojitosti, proto se druhá derivace může měnit pouze v bodě x = —3.
y = [x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_|_JL
1
-2
y' = ex(x + 2);       stac. bod je x = -2;       /(-2) = -e    = -0.14
\,            min /* -1-
y" = e*(x + 3);     y" = 0 pro x = -3,     /(-3) = -2e~3 = -0.01
n
Funkce ke na intervalu (—oo, —3) konkávni, protože —4 E (—oo, —3) ay"(-4) = e~4(-4 + 3) = -e~4 < 0.
©Lenka Přibylová, 20061
y = [x + l)ex I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou
y > i-i,oj,
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_|_JL
1
-2
y' = ex(x + 2);       stac. bod je x = -2;       /(-2) =-e    = -0.14
\,            min /* -1-
y" = e*(x + 3);     y" = 0 pro x = -3,     /(-3) = -2e~3 = -0.01
n u
Funkce j e konvexní na intervalu (—3, oo), protože —2 E (— 3, oo) av bodě x = -2 je lok. minimum a y"(-2) = e~2(-2 + 3) = e~2 > 0.
©Lenka Přibylová, 20061
J^^O^^^^^I D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje[-l,0],
/(+oo) = oo, /(-oo) = 0; _Z_|_+_
-1
y' = ex(x + 2);       stac. bod je x = -2;       /(-2) =-e~2 = -0.14
\, min /*
y" = e*(x + 3);     y" = 0 pro x = -3,     /(-3) = -2e~3 = -0.01
_n_m._u_
-3
Bod x = — 3 je tedy inflexní.
EBl   E] Q
©Lenka Přibylová, 2006 q
/(O) = 1 f (-2) = -0.14 /(+oo)
/(-1) = 0 /(-3) = -0.01 /(-oo)
Shrneme dosažené výpočty.
©Lenka Přibylová, 20061
/(O) = 1 f (-2) = -0.14 f(+oo) = oo
/(-1) = 0 /(-3) = -0.01 /(-oo) = 0
y				
Nakreslíme souřadný systém.				
-3 -2	-1			
i iii			0	X
EB    El   B    139 ©Lenka Přibylová, 2006 q
/(O) = 1 /(-1) = 0
f (-2) = -0.14 /(-3) = -0.01
/(+oo) = 00 /(-oo) = 0
y		
Označíme průsečík s osou x: x =	— 1. Funkce v tomto bodě roste.	
-3 -2	-i	
i                                i i		0 x
EB    El   B    139 ©Lenka Přibylová, 2006 q
/(O) = 1 /(-1) = 0
/(-2) = -0.14 /(-3) = -0.01
/(+oo) = oo /(-oo) = 0
y	
Označíme průsečík s osou y.y = 1. Funkce v tomto bodě roste.	
i 7 -3                -2 -1 i i	
1                                   \                      \ sr	0 x
CE1    Cl   13    igg ©Lenka Přibylová, 2006 q
/(O) = 1 /(-1) = 0
f (-2) = -0.14 /(-3) = -0.01
/(+oo) = 00 /(-oo) = 0
y	
* > Nakreslíme značky v blízkosti asymptoty v —oo. Je třeba si uvědomit, že v blízkosti — oo je funkce záporná a klesající, proto bude graf pod asymptotou.	
i 7 -3                -2 -1 -1-1-^-	
0 x
/(O) = 1 /(-1) = 0
f (-2) = -0.14 /(-3) = -0.01
/(+oo) = 00 /(-oo) = 0
y
o x
©Lenka Přibylová, 20061
Konec
©Lenka Přibylová, 2006