Asymptoty grafu funkce Lenka Přibylová 28. července 2006 Obsah Najděte asymptoty grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 . . . . . . . . . 3 Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 : D(f) = R − {2} lim x→2+ 1 − x2 x − 2 = −3 0+ = −∞ lim x→2− 1 − x2 x − 2 = −3 0− = ∞ Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 : D(f) = R − {2} lim x→2+ 1 − x2 x − 2 = −3 0+ = −∞ lim x→2− 1 − x2 x − 2 = −3 0− = ∞ Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2. Nejprve nalezneme definiční obor funkce. Asymptota bez směrnice může nastat pouze v nedefinovaném bodě x0 = 2. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 : D(f) = R − {2} lim x→2+ 1 − x2 x − 2 = −3 0+ = −∞ lim x→2− 1 − x2 x − 2 = −3 0− = ∞ Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2. Hledáme jednostranné limity v x0 = 2, nejprve zprava. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 : D(f) = R − {2} lim x→2+ 1 − x2 x − 2 = −3 0+ = −∞ lim x→2− 1 − x2 x − 2 = −3 0− = ∞ Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2. Dosazením dostáváme limitu typu k 0 . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 : D(f) = R − {2} lim x→2+ 1 − x2 x − 2 = −3 0+ = −∞ lim x→2− 1 − x2 x − 2 = −3 0− = ∞ Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2. Pro x → 2+ je jmenovatel kladné číslo. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 : D(f) = R − {2} lim x→2+ 1 − x2 x − 2 = −3 0+ = −∞ lim x→2− 1 − x2 x − 2 = −3 0− = ∞ Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2. Záporný čitatel a kladný jmenovatel dává záporné číslo. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 : D(f) = R − {2} lim x→2+ 1 − x2 x − 2 = −3 0+ = −∞ lim x→2− 1 − x2 x − 2 = −3 0− = ∞ Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2. Hledáme limitu v x0 = 2 zleva. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 : D(f) = R − {2} lim x→2+ 1 − x2 x − 2 = −3 0+ = −∞ lim x→2− 1 − x2 x − 2 = −3 0− = ∞ Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2. Dosazením dostáváme limitu typu k 0 . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 : D(f) = R − {2} lim x→2+ 1 − x2 x − 2 = −3 0+ = −∞ lim x→2− 1 − x2 x − 2 = −3 0− = ∞ Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2. Pro x → 2− je jmenovatel záporné číslo. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 : D(f) = R − {2} lim x→2+ 1 − x2 x − 2 = −3 0+ = −∞ lim x→2− 1 − x2 x − 2 = −3 0− = ∞ Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2. Záporný čitatel a záporný jmenovatel dává kladné číslo. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 : D(f) = R − {2} lim x→2+ 1 − x2 x − 2 = −3 0+ = −∞ lim x→2− 1 − x2 x − 2 = −3 0− = ∞ Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2. Obě jednostranné limity v bodě x0 = 2 jsou nevlastní, funkce má tečnu t : x = 2 v nevlastních bodech [2, ±∞]. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → ∞: k = lim x→∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→∞ −2 1 = −2 Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → ∞: k = lim x→∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→∞ −2 1 = −2 Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2. Podle předpisu k = lim x→∞ f(x) x je k = lim x→∞ 1−x2 x−2 x . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → ∞: k = lim x→∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→∞ −2 1 = −2 Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2. Roznásobíme jmenovatel. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → ∞: k = lim x→∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→∞ −2 1 = −2 Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2. Víme, že stačí uvažovat hlavní členy polynomů. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → ∞: k = lim x→∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→∞ −2 1 = −2 Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2. Krácením dostaneme k = −1. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → ∞: k = lim x→∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→∞ −2 1 = −2 Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2. Podle předpisu q = lim x→∞ (f(x) − kx) je q = lim x→∞ 1 − x2 x − 2 − (−1)x . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → ∞: k = lim x→∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→∞ −2 1 = −2 Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2. Převádíme na společného jmenovatele. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → ∞: k = lim x→∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→∞ −2 1 = −2 Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2. Upravíme čitatel. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → ∞: k = lim x→∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→∞ −2 1 = −2 Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2. Limitu typu ∞ ∞ řešíme např. l’Hospitalovým pravidlem. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → ∞: k = lim x→∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→∞ −2 1 = −2 Funkce má pro x → ∞ asymptotu se směrnicí a je jí přímka y = −x − 2. Obě čísla k a q existují, existuje tedy také asymptota se směrnicí y = kx + q. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → −∞: k = lim x→−∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→−∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→−∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→−∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→−∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→−∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→−∞ −2 1 = −2 Funkce má i pro x → −∞ asymptotu se směrnicí a je jí také přímka y = −x − 2. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → −∞: k = lim x→−∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→−∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→−∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→−∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→−∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→−∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→−∞ −2 1 = −2 Funkce má i pro x → −∞ asymptotu se směrnicí a je jí také přímka y = −x − 2. Analogicky řešíme limity pro x → −∞. U racionálních lomených funkcí je pravidlem, že je výsledek stejný jako pro x → ∞. POZOR - u ostatních funkcí tomu tak není!!! ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → −∞: k = lim x→−∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→−∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→−∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→−∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→−∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→−∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→−∞ −2 1 = −2 Funkce má i pro x → −∞ asymptotu se směrnicí a je jí také přímka y = −x − 2. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → −∞: k = lim x→−∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→−∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→−∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→−∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→−∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→−∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→−∞ −2 1 = −2 Funkce má i pro x → −∞ asymptotu se směrnicí a je jí také přímka y = −x − 2. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → −∞: k = lim x→−∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→−∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→−∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→−∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→−∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→−∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→−∞ −2 1 = −2 Funkce má i pro x → −∞ asymptotu se směrnicí a je jí také přímka y = −x − 2. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → −∞: k = lim x→−∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→−∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→−∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→−∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→−∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→−∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→−∞ −2 1 = −2 Funkce má i pro x → −∞ asymptotu se směrnicí a je jí také přímka y = −x − 2. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → −∞: k = lim x→−∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→−∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→−∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→−∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→−∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→−∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→−∞ −2 1 = −2 Funkce má i pro x → −∞ asymptotu se směrnicí a je jí také přímka y = −x − 2. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → −∞: k = lim x→−∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→−∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→−∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→−∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→−∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→−∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→−∞ −2 1 = −2 Funkce má i pro x → −∞ asymptotu se směrnicí a je jí také přímka y = −x − 2. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → −∞: k = lim x→−∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→−∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→−∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→−∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→−∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→−∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→−∞ −2 1 = −2 Funkce má i pro x → −∞ asymptotu se směrnicí a je jí také přímka y = −x − 2. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = 1 − x2 x − 2 pro x → −∞: k = lim x→−∞ 1 − x2 x(x − 2) = lim x→−∞ 1 − x2 x2 − 2x = lim x→−∞ −x2 x2 = −1 q = lim x→−∞ 1 − x2 x − 2 + x = lim x→−∞ 1 − x2 + x(x − 2) x − 2 = lim x→−∞ 1 − 2x x − 2 l’H = lim x→−∞ −2 1 = −2 Funkce má i pro x → −∞ asymptotu se směrnicí a je jí také přímka y = −x − 2. Obě čísla k a q existují, existuje tedy také asymptota se směrnicí y = kx + q. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×