Cramerovo pravidlo
Lenka Přibylová
19. září 2006
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Obsah
Cramerovým pravidlem řešte soustavu. . . . . . . . . . . . . . . 3
Cramerovým pravidlem řešte soustavu. . . . . . . . . . . . . . . 14
Cramerovým pravidlem řešte soustavu. . . . . . . . . . . . . . . 19
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
6x1+13x2 = 5
2x1+ 7x2 = 3
D =
6 13
2 7
= 42 − 26 = 16
x1 = −
1
4
, x2 =
1
2
.
D1 =
5 13
3 7
= 35 − 39 = −4
⇒ x1 =
D1
D
= −
4
16
= −
1
4
D2 =
6 5
2 3
= 18 − 10 = 8
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
6x1+13x2 = 5
2x1+ 7x2 = 3
D =
6 13
2 7
= 42 − 26 = 16
x1 = −
1
4
, x2 =
1
2
.
D1 =
5 13
3 7
= 35 − 39 = −4
⇒ x1 =
D1
D
= −
4
16
= −
1
4
D2 =
6 5
2 3
= 18 − 10 = 8Nejdříve spočteme determinant matice soustavy.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
6x1+13x2 = 5
2x1+ 7x2 = 3
D =
6 13
2 7
= 42 − 26 = 16
x1 = −
1
4
, x2 =
1
2
.
D1 =
5 13
3 7
= 35 − 39 = −4
⇒ x1 =
D1
D
= −
4
16
= −
1
4
D2 =
6 5
2 3
= 18 − 10 = 8Matice je řádu 2, můžeme tedy použít křížové pravidlo.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
6x1+13x2 = 5
2x1+ 7x2 = 3
D =
6 13
2 7
= 42 − 26 = 16
x1 = −
1
4
, x2 =
1
2
.
D1 =
5 13
3 7
= 35 − 39 = −4
⇒ x1 =
D1
D
= −
4
16
= −
1
4
D2 =
6 5
2 3
= 18 − 10 = 8
Napíšeme determinant D1, který vznikne záměnou 1. sloupce za
pravou stranu soustavy.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
6x1+13x2 = 5
2x1+ 7x2 = 3
D =
6 13
2 7
= 42 − 26 = 16
x1 = −
1
4
, x2 =
1
2
.
D1 =
5 13
3 7
= 35 − 39 = −4
⇒ x1 =
D1
D
= −
4
16
= −
1
4
D2 =
6 5
2 3
= 18 − 10 = 8Spočteme jeho hodnotu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
6x1+13x2 = 5
2x1+ 7x2 = 3
D =
6 13
2 7
= 42 − 26 = 16
x1 = −
1
4
, x2 =
1
2
.
D1 =
5 13
3 7
= 35 − 39 = −4
⇒ x1 =
D1
D
= −
4
16
= −
1
4
D2 =
6 5
2 3
= 18 − 10 = 8Podíl těchto determinantů je neznámá x1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
6x1+13x2 = 5
2x1+ 7x2 = 3
D =
6 13
2 7
= 42 − 26 = 16
x1 = −
1
4
, x2 =
1
2
.
D1 =
5 13
3 7
= 35 − 39 = −4
⇒ x1 =
D1
D
= −
4
16
= −
1
4
D2 =
6 5
2 3
= 18 − 10 = 8
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
6x1+13x2 = 5
2x1+ 7x2 = 3
D =
6 13
2 7
= 42 − 26 = 16
x1 = −
1
4
, x2 =
1
2
.
D2 =
6 5
2 3
= 18 − 10 = 8
⇒ x2 =
D2
D
=
8
16
=
1
2
Napíšeme determinant D2, který vznikne záměnou 2. sloupce za
pravou stranu soustavy.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
6x1+13x2 = 5
2x1+ 7x2 = 3
D =
6 13
2 7
= 42 − 26 = 16
x1 = −
1
4
, x2 =
1
2
.
D2 =
6 5
2 3
= 18 − 10 = 8
⇒ x2 =
D2
D
=
8
16
=
1
2
Spočteme jeho hodnotu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
6x1+13x2 = 5
2x1+ 7x2 = 3
D =
6 13
2 7
= 42 − 26 = 16
x1 = −
1
4
, x2 =
1
2
.
D2 =
6 5
2 3
= 18 − 10 = 8
⇒ x2 =
D2
D
=
8
16
=
1
2
Podíl těchto determinantů je neznámá x2.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
6x1+13x2 = 5
2x1+ 7x2 = 3
D =
6 13
2 7
= 42 − 26 = 16
x1 = −
1
4
, x2 =
1
2
.
Máme výsledek.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+ 5x2 = 2
2x1+10x2 = 7
D =
1 5
2 10
= 10 − 10 = 0
Cramerovým pravidlem nemůžeme tuto úlohu řešit, protože je matice
soustavy singulární. Stejně tak bychom nemohli soustavu řešit
Cramerovým pravidlem v případě, kdyby nebyla matice soustavy
čtvercová. Pro výpočet musíme použít Frobeniovu větu a případně
Gaussovu eliminační metodu. Zde evidentně soustava nemá řešení.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+ 5x2 = 2
2x1+10x2 = 7
D =
1 5
2 10
= 10 − 10 = 0
Cramerovým pravidlem nemůžeme tuto úlohu řešit, protože je matice
soustavy singulární. Stejně tak bychom nemohli soustavu řešit
Cramerovým pravidlem v případě, kdyby nebyla matice soustavy
čtvercová. Pro výpočet musíme použít Frobeniovu větu a případně
Gaussovu eliminační metodu. Zde evidentně soustava nemá řešení.
Nejdříve spočteme determinant matice soustavy.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+ 5x2 = 2
2x1+10x2 = 7
D =
1 5
2 10
= 10 − 10 = 0
Cramerovým pravidlem nemůžeme tuto úlohu řešit, protože je matice
soustavy singulární. Stejně tak bychom nemohli soustavu řešit
Cramerovým pravidlem v případě, kdyby nebyla matice soustavy
čtvercová. Pro výpočet musíme použít Frobeniovu větu a případně
Gaussovu eliminační metodu. Zde evidentně soustava nemá řešení.
Matice je řádu 2, můžeme tedy použít křížové pravidlo.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+ 5x2 = 2
2x1+10x2 = 7
D =
1 5
2 10
= 10 − 10 = 0
Cramerovým pravidlem nemůžeme tuto úlohu řešit, protože je matice
soustavy singulární. Stejně tak bychom nemohli soustavu řešit
Cramerovým pravidlem v případě, kdyby nebyla matice soustavy
čtvercová. Pro výpočet musíme použít Frobeniovu větu a případně
Gaussovu eliminační metodu. Zde evidentně soustava nemá řešení.
Matice je singulární.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+ 5x2 = 2
2x1+10x2 = 7
D =
1 5
2 10
= 10 − 10 = 0
Cramerovým pravidlem nemůžeme tuto úlohu řešit, protože je matice
soustavy singulární. Stejně tak bychom nemohli soustavu řešit
Cramerovým pravidlem v případě, kdyby nebyla matice soustavy
čtvercová. Pro výpočet musíme použít Frobeniovu větu a případně
Gaussovu eliminační metodu. Zde evidentně soustava nemá řešení.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D1 =
1 2 −1
2 1 −3
−2 2 −1
= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15
⇒ x1 =
D1
D
=
15
5
= 3
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D1 =
1 2 −1
2 1 −3
−2 2 −1
= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15
⇒ x1 =
D1
D
=
15
5
= 3
Nejdříve spočteme determinant matice soustavy.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D1 =
1 2 −1
2 1 −3
−2 2 −1
= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15
⇒ x1 =
D1
D
=
15
5
= 3
Matice je řádu 3, můžeme tedy použít Sarrussovo pravidlo.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D1 =
1 2 −1
2 1 −3
−2 2 −1
= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15
⇒ x1 =
D1
D
=
15
5
= 3Napíšeme determinant D1, který vznikne záměnou 1. sloupce za
pravou stranu soustavy.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D1 =
1 2 −1
2 1 −3
−2 2 −1
= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15
⇒ x1 =
D1
D
=
15
5
= 3
Spočteme jeho hodnotu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D1 =
1 2 −1
2 1 −3
−2 2 −1
= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15
⇒ x1 =
D1
D
=
15
5
= 3
Podíl těchto determinantů je neznámá x1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D1 =
1 2 −1
2 1 −3
−2 2 −1
= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15
⇒ x1 =
D1
D
=
15
5
= 3
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D2 =
1 1 −1
−2 2 −3
0 −2 −1
= −2 − 4 − 6 − 2 = −14
⇒ x2 =
D2
D
= −
14
5
Napíšeme determinant D2, který vznikne záměnou 2. sloupce za
pravou stranu soustavy.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D2 =
1 1 −1
−2 2 −3
0 −2 −1
= −2 − 4 − 6 − 2 = −14
⇒ x2 =
D2
D
= −
14
5Spočteme jeho hodnotu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D2 =
1 1 −1
−2 2 −3
0 −2 −1
= −2 − 4 − 6 − 2 = −14
⇒ x2 =
D2
D
= −
14
5
Podíl těchto determinantů je neznámá x2.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D2 =
1 1 −1
−2 2 −3
0 −2 −1
= −2 − 4 − 6 − 2 = −14
⇒ x2 =
D2
D
= −
14
5
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D3 =
1 2 1
−2 1 2
0 2 −2
= −2 − 4 − 4 − 8 = −18
⇒ x3 =
D3
D
= −
18
5
Napíšeme determinant D3, který vznikne záměnou 3. sloupce za
pravou stranu soustavy.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D3 =
1 2 1
−2 1 2
0 2 −2
= −2 − 4 − 4 − 8 = −18
⇒ x3 =
D3
D
= −
18
5Spočteme jeho hodnotu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
D3 =
1 2 1
−2 1 2
0 2 −2
= −2 − 4 − 4 − 8 = −18
⇒ x3 =
D3
D
= −
18
5
Podíl těchto determinantů je neznámá x3.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:
x1+2x2− x3 = 1
−2x1+ x2−3x3 = 2
2x2− x3 = −2
D =
1 2 −1
−2 1 −3
0 2 −1
= −1 + 4 + 6 − 4 = 5
x1 = 3, x2 = −
14
5
, x3 = −
18
5
.
Máme výsledek.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Konec
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×