Derivace - základní pravidla
Lenka Přibylová 28. července 2006
Obsah
y - x5 - x3 + 1
y — 2x4 + Jx H— y x
y — (x2 + 2) sinx y — 3 ln x arctg x
x2
V ~ x + xex
Derivujte y — x5 — x3 + 1.
y' = (x5 - x3 + 1)'
©Lenka Pribylová, 2006 ■
Derivujte y — x5 — x3 + 1
y> = (x5 -x3 + 1)' = (x5Y - (x3Y + (1)'
• Funkce je ve tvaru součtu.
• Derivace součtu je součet derivací.
CEl   El   19 199
©Lenka Přibylová. 2006 Kl
Derivujte y — x5 — x3 + 1
y' = (x5 - x3 + 1)' = (x5)' - (x3)' + (1)' = 5x4 - 3x2
• První dva členy derivujeme podle vzorce (x™)' = nx™ 1
• Derivace konstanty je 0.
CEl   E] 13
©Lenka Přibylová. 2006 Bi
Derivujte y — 2x4 + yfx H—.
x
y' = [2x4 + ^x~ +
lV
EBi b raj raa
©Lenka Pribylová, 2006 ■
Derivujte y — 2x4 + \fx H—
x
]
y' = (2xA + yfa + i) = (2x4)' + (VS)' + Q
• Funkce je ve tvaru součtu.
• Derivace součtu je součet derivací.
Derivujte y — 2x4 + \fx H—
x
]
y' = (2xA + yfa + i) = (2x4)' + (VS)' + Q
2(x4)' + (x5)' + (x-1)'
• Konstantu v prvním členu lze vytknout.
• Všechny členy přepíšeme do tvaru xn .
Derivujte y — 2x4 + yfx H—
x
]
y' = (2xA + ^ + i) = (2x4)' + (VS)' + Q)
= 2(x4)' + (ar*)' + (x-1)' = 2 • 4r3 + |a;-i + (-1) • x'2
Členy derivujeme podle vzorce (x™)' =
nx
©Lenka Přibylová, 2006 i
Derivujte y — 2x4 + yfx H—
x
]
y' = (2xA + ^ + i) = (2x4)' + (VS)' + Q)
= 2(x4)' + (x*)' + (x"1)' = 2 • 4r3 + ^aT* + (-1) • aT
= 8x3 + — - —
ÄyJ X X
Výsledek upravíme.
©Lenka Přibylová, 20061
yf = í (x2 + 2)smx
©Lenka Přibylová, 2006
y' = \(x2 + 2)sinx
Funkce je ve tvaru součinu.
y' = ((x2 + 2)sinx^
= {x2 + 2)'sin x + (x2 + 2) (sin x)'
Součin derivujeme podle pravidla
y' = ((x2 + 2)sinx^
= {x2 + 2)'sin x + (x2 + 2) (sin x)' — 2a;sinaľ + (x2 + 2)cosaľ.
I Červeně označený člen derivujeme jako součet, přičemž derivace I konstanty je 0.
EH    El    19   133 ©Lenka Přibylová. 2006 Kl
3 ln x arctg x
©Lenka Přibyle
y' — ^3 ln x arctg x — 3 ln xarctg x
Vytkneme-li konstantu, je funkce ve tvaru součinu.
y' — ^3 In x arctg x
— 3 ^ln xarctg x
— 3  (ln 2ľ)'arctg x + ln x (arctg x)'
Součin derivujeme podle pravidla
lf(x)g(x)}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
Dermijtejy^S^^
y' — ^3 ln x arctg x — 3 ln xarctg x
3  (ln x)'arctg x + ln x (arctg x)'
3|IaretgI + lnl_L
x í + x
Elementární funkce derivujeme podle vzorců.
©Lenka Přibylová, 2006 i
©Lenka Přibylová, 2006
Derivujte y = ——. I _ x + 1 J
I Funkce je ve tvaru podílu.
EBl   El   19 199
I
©Lenka Přibylová, 2006 ■
Derivujte y
x + 1
x2   V     (x2)'(a;+ 1) -x2(x+ 1)'
2ľ + 1
Podíl derivujeme podle pravidla
f'(x)g(x) - f{x)g'(x) g2 (x)
Derivujte y
x + 1
x2   V     (x2)'(a;+ 1) -x2(x+ 1)'
x+l/ (x+l)2 2x(x + 1) - x2l (x + l)2
Jednotlivé členy derivujeme podle základních vzorců._|
EH    El    19   133 ©Lenka Přibylová. 2006 Kl
Derivujte y
x + 1
x2   V     (x2)'(x+ 1) -x2(x+ 1)'
x+l/ (x+1)2 2x(x + 1) - x2l     2x2 + 2x-x2     x2 + 2x
(x + l)2
(x + l)2 (x + l)2
I Výsledek upravíme.
CEl   E] 13
I
©Lenka Přibylová, 2006 ■
Derivujte y
x + 1
x e
x + í
©Lenka Přibylová. 2006 d
Derivujte y
x + 1
x e
x + í
I Funkce je ve tvaru podílu.
CEl   E] 13
I
©Lenka Přibylová, 2006 ■
Derivujte y
x + 1
x e
(xex)'(x + í) - xex(x + í)' (x + 1)2
Podíl derivujeme podle pravidla
f'(x)g(x) - f{x)g'(x) g2 (x)
©Lenka Přibylová, 20061
Derivujte y
x + 1
x e
x + í
' _ (xex)'(x + 1) - xex(x + í)'
~ (X + 1)2
(ex + xex)(x + 1) — xexl (x + 1)2
Červený člen derivujeme jako součin podle pravidla
lf(x)g(x)}' = /'(a;)ff(a;) +
]
©Lenka Přibylová, 20061
Derivujte y
x + 1
x e
' _ (xex)'(x + 1) - xex(x + í)'
~ (X + 1)2
X + 1
(e2"' + xex)(x + 1) — xe^l (x+ 1)2
e2"'x + e2"' + e2':r2 + xe2' — xex     ex(x2 + x + 1)
I Výsledek upravíme.
CEl   E] 13
I
©Lenka Přibylová. 2006 d