Gaussova eliminační metoda Robert Mařík a Lenka Přibylová 27. července 2006 EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 20060 Obsah Řešte soustavu lineárních rovnic ................... 3 Řešte soustavu lineárních rovnic ................... 27 Řešte soustavu lineárních rovnic ................... 49 Řešte soustavu lineárních rovnic ................... 72 Řešte soustavu lineárních rovnic ................... 97 BBl El 18 133 ©LenkaPřibylová, 20060 6xi+2x2— X3+7X4 = O 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Řešte soustavu xi+ xi~ X3— X4 = 0 Xx + X3 =3 EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 20060 Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ X2— X3— X4 = 0 Xx + X3 =3 /6 2 -1 7 4 2 -3 5 -4 1 1 -1 -1 0 l 1 0 1 0 3 J 1 Napíšeme rozšířenou matici soustavy Ar. ^Lm^lllUIJlUUJ.lUUll Řešte soustavu 7 6 2 -1 7 4 2 -3 5 1 1 -1 -1 v 1 0 1 0 6xi+2x2— x3+7x4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xl+ X2— X4 = 0 + x3 =3 -4 0 3 y v / 1 o 3\ Jako klíčový řádek zvolíme řádek poslední. Tento řádek napíšeme jako první. Řešte soustavu 7 6 2 -1 7 4 2 -3 5 1 1 -1 -1 v 1 0 1 0 6xi+2x2— x3+7x4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 + x3 =3 0 \ -4 °T 3M-i) / 1 0 0 1 V 3\ -3 | ^3 ~ ^4 = (C) Lenka Přibylovi, Mt| Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ %2~ X3— X4 Xx + x3 7 6 2 -1 7 0 > 4 2 -3 5 -4 v 1 1 -1 -1 °) v 1 0 1 0 1 o -2 -1 -7 5 3\ -3 -16 Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 Xx + x3 z'6 2 -1 7 °\\ 4 2 -3 5 1 1 -1 -1 0 J V 1 0 1 0 3<( / 1 o o 1 0 2 V O 2 1 0 2 -1 7 5 7 7 3\ -3 -16 -18 / 6i?4 = ■ ■ ■ 1 Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ xi— X3— X4 = 0 Xx + X3 =3 (6 2 4 2 1 1 V 1 o / 1 o 1 0 1 -2 V 7 5 -1 O 3'\ -3 o \ 71 o 1 o -4 01-2 -1 O ~ 0 2-7 5 3 ] \ O 2 -7 7 3\ -3 -16 -18 y První řádek zůstane a druhý řádek bude novým klíčovým řádkem. Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ x2— X3— X4 = 0 Xx + X3 =3 (6 2 4 2 1 1 V 1 o / 1 o 1 0 1 -2 0 0-3 V 7 5 -1 O 3'\ -3 -10 ) -4 O 3 / 0 1 0 0 1 -2 -1 0 2 -7 5 \o 2 -7 7 3\ -18 -3^ (-2) -16' 1 -2i?2 + £3 = • • • ^Lm^lllUIJlUUJ.lUUll Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ x2— X3— X4 = 0 Xx + X3 =3 (6 2 4 2 1 1 V 1 o / 1 o 1 0 1 -2 0 0-3 \ O O -3 7 5 -1 O 3'\ -3 -10 -12 ) -4 O 3/ 0 1 0 3\ 0 1 -2 -1 -3 v (-2) 0 2 -7 5 -16)1 ~ \o 2 -7 7 -18 ' -2i?2 + i?4 = ■ ■ ■ 6xi+2x2— X3+7X4 = O 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Řešte soustavu xi+ xi~ X3— X4 = 0 Xx + X3 =3 T 6 2 -1 7 0 1 0 3\ 4 2 -3 5 -4 0 1 -2 -1 -3 1 1 -1 -1 0 0 2 -7 5 — 16 \ 1 0 1 0 3 ) l0 2 -7 7 - 18 / 0 1 0 ( 1 0 1 0 0 1 -2 -1 -3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 -3 7 -10 0 -3 9 -12 ) V ) • První dva řádky zůstanou. • Třetí řádek bude novým klíčovým řádkem a zůstane také. 6xi+2x2 — X3+7X4 = 0 N Řešte soustavu 4xi+2x2 X\ + x2 —3x3+5x4 — X3 — X4 = 0 4 v. Xi + x3 = 3 A ^, n 2 4 2 -1 -3 7 5 °\ -4 0 0 1 1 -2 0 -1 -3 1 1 -1 -1 0 0 2 -7 5 — 16 ^ 1 0 1 0 3 ) 1 ° 2 -7 7 - 18 / /! 0 0 1 1 -2 - 0 -1 3 -3 0 0 1 1 2 0 -1 -3 0 0 -3 7 -10 r 0 0 3 7 -10 0 -3 9 -12 V 0 0 0 2 "2 ) I -R3 + R4 = ©Lenka Přibylová, 5í)í)r>| Řešte soustavu p 0 1 0 0 1 -2 -1 0 0 -3 7 \o 0 0 2 6X!+2X2— X3 + 7X4 = 0 4x!+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ X2— X3— X4 = 0 + x3 =3 3\ -3 -10 "2 / Rozšířená matice soustavy je řádkově ekvivalentní modré matici, která I je ve schodovitém tvaru. Bl B B B-cclLenkWibylova.tol | Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ X2— X3— X4 = 0 Xx + X3 =3 / 1 0 0 1 0 o V o o 1 o -2 -1 -3 7 O 2 3 \ -3 -10 -2 2x4 = -2 r > • Soustava má řešení, neboťh (A) = h (Ar) = 4. Navíc n = 4 (počet neznámých) a soustava má tedy jediné řešení (nula parametrů). • Začneme dopočítávat neznámé. Napíšeme rovnici odpovídající poslednímu řádku ... v_ EE1 Q Q ©LenkaPřibylová, 2006B Řešte soustavu í1 0 1 0 0 1 -2 -1 0 0 -3 7 \o 0 0 2 6xi+2x2— x3+7x4 = 0 4x!+2x2—3x3+5x4 = —4 Xl+ X2— x3~ xi = 0 + x3 =3 3\ -3 -10 "2 / Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ xi— X3— X4 = 0 Xx + X3 =3 / 1 0 0 1 0 o y o o -3X3 + 7x4 = 2x4 = -2 X4 = -1 1 Napíšeme rovnici odpovídající předposlednímu řádku. ^L^niupiuiuuu Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ xi— X3— X4 = 0 Xx + X3 =3 11 0 1 0 0 1 -2 -1 0 0 -3 7 \o 0 0 2 -3x3 + 7x4 ■ -3x3 - 7 -10 -10 3\ -3 -10 "2 / 2x4 = -2 X4 = -1 1 Dosadíme X4 = — 1 ... ^Lm^lllUIJlUUJ.lUUll Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ xi— X3— X4 = 0 Xx + X3 =3 11 0 1 0 0 1 -2 -1 0 0 -3 7 \o 0 0 2 3\ -3 -10 "2 / 2x4 = -2 X4 = -1 -3x3 + 7x4 = —10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ x2 — X3— X4 = 0 = 3 Xi + x3 í1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 \o 0 0 2 -2 —3X3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 2x4 = -2 X4 = -1 X4 = —3 1 Napíšeme rovnici odpovídající druhému řádku. ^L^niupiuiuuu Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ xi— X3— X4 = 0 Xx + X3 =3 ( 1 0 0 3 -3 -10 2x4 X4 \ 0 0 0 2 -2 ; 1-1 —3x3 + 7x4 = —10 X2 — 2x3 — X4 = —3 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2 + 1 = -3 x3 = 1 1 Dosadíme X4 = — 1 a X3 = 1 ... ^L^lllUpiUllM Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ x2 — X3— X4 = 0 Xi + X3 =3 / 1 0 0 1 0 o V o o —3X3 + 7x4 = -- -10 -3x3 - 7 = -- -10 x3 = = 1 3^ -3 2x4 = -2 -10 X4 = —1 x2 — 2x3 — X4 = - -3 x2 -2+1=-x2 = - -3 -2 1 a vyřešíme vzhledem k x2. wlk,lL111UPU,UUUII Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ xi— X3— X4 = 0 Xx + X3 / 1 0 0 1 0 o y o o —3X3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 1 Napíšeme rovnici odpovídající prvnímu řádku. ^Lm^lllUIJlUUJ.lUUll Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ x2 — X3— X4 = 0 Xx + X3 =3 / 1 0 0 1 0 o V o o —3X3 + 7x4 = -- -10 -3x3 - 7 = -- -10 x3 = = 1 3^ -3 2x4 = - -2 -10 X4 = - -1 x2 — 2x3 — X4 = - -3 Xx + X3 = 3 x2 -2+1=- -3 Xx + 1 = 3 x2 = - -2 1 Dosadíme X3 = 1. ^LenM-lWpVi.JJJUU Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ x2 — X3— X4 = 0 Xi + X3 =3 / 1 0 0 1 0 o V o o —3X3 + 7x4 = -- -10 -3x3 - 7 = -- -10 x3 = = 1 3^ -3 2x4 = - -2 -10 X4 = - -1 x2 — 2x3 — X4 = - -3 Xi + X3 = 3 x2 -2+1=- -3 x1 + 1 = 3 x2 = - -2 Xx = 2 Najdeme X\ = 2. Řešte soustavu 6xi+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ x2 — X3— X4 = 0 Xx + X3 =3 / 1 0 0 1 0 o y o o 3\ -3 -10 "2 / 2x4 = -2 X4 = -1 —3X3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 X2 — 2x3 — X4 = —3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 Jediné řešení je \x\ = 2, x2 = — 2, X3 = \,xnt = —1]. Xx + X3 = 3 X1 + 1 = 3 Xx = 2 1 Vypočítali jsme všechny neznámé. ^Lm^lllUIJlUUJ.lUUll 3*1— 2x2+6x3+2x4 — 4^5 = 5 X\ +2x3 — X4+2X5 = 3 Řešte soustavu rovnic X\ + 2x2+2x3 = 1 2x\— 6x2+4x3+2x4— 4x5 = 5 EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 20060 3*1— 2x2+6x3+2x4 — 4^5 = 5 X\ +2x3 — X4+2X5 = 3 Řešte soustavu rovnic X\ + 2x2+2x3 = 1 2x\— 6x2+4x3+2x4— 4x5 = 5 Ar ~ 3 -2 6 2 -4 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 v 2 -6 4 2 -4 5 ) Napíšeme rozšířenou matici soustavy. (C) Lenka ťhfcylova, »1 Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 %i +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 = 1 2xx—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 í3 Z1 2 6 1 0 2 1 2 2 V 2 -6 4 0 2-1 2 -4 -1 2 0 0 5\ -4 5/ 3\ □ Druhý řádek bude klíčový a opíšeme jej na první místo. Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 xi +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 = 1 2xx—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 0 V 1 1 V2 0 2 -2 0 -2 6 0 2 2 2 -6 4 -1 5 2 -1 0 2 2 -10 3' (-3) 3\ -4 1 Upravíme první řádek. ^L^lllUyllJIUlUUU Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 xi +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 = 1 2xx—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 ( 1 0 0 V 1 1 V2 0 2 2 -2 6 0 2 2 2 -6 4 2 -1 0 5 0 1 2 -1 0 2 2 -10 -2 -4 2 0 -4 -4 -2 ) 5\ 1* 1 Upravíme třetí řádek. ^L^lllUpiUllM Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 xi +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 = 1 2xx—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 í3 -2 6 2 -4 1 0 2 -1 2 1 2 2 0 0 V 2 -6 4 2 -4 0 2 -1 2 3 -2 0 5 -10 -4 2 0 1 -2 -2 -6 0 4 -8 -1 /1 o o 5\ 3 x (-2) 1 Upravíme poslední řádek. ^L^lllUyllJIUlUUU Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 xi +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 = 1 2xx—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 ŕ3 -2 6 2 -4 5 \ A ~ , 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 l2 -6 4 2 -4 5 / 0 2 -1 2 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 -6 0 4 -8 -1 ) 0 2 2 0 3\ -2 • První řádek zůstane. • Červený řádek bude nový klíčový řádek a napíšeme jej jako druhý. I I B M-•£> Lenka ťhbylova, »1 3*1— 2x2+6x3+2x4 — 4^5 = 5 X\ +2x3 — X4+2X5 = 3 Řešte soustavu rovnic X\ + 2x2+2x3 = 1 2x\— 6x2+4x3+2x4— 4x5 = 5 -2 6 2 -4 5 \ 1 0 2 -1 2 3 1 l2 2 -6 2 4 0 2 0 -4 1 5 / 0 2 -1 2 / 1 0 2 -1 2 0 -2 0 5 -10 -4 J 0 2 0 1 -2 -2 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 -6 0 4 -8 -1 V / Upravíme druhý řádek. CeLmkaťhfcyWmi Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 xi +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 = 1 2xx—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 -2 6 2 -4 5 \ 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 l2 -6 4 2 -4 5 ) \ ŕ 1 0 2 -1 2 3 0 -2 0 5 -10 -4 1 ~ 0 2 0 1 -2 -2 -6 0 4 -8 -1 V 1 0 2 -1 2 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 v 0 0 0 7 -14 "7/ 1 Upravíme poslední řádek. cyLenM-lWpVi.JJJUU Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 xi +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 = 1 2xx—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 ( 3 1 1 V2 0 ■2 2 6 / 1 0 2 0 2 0 0 0 0 V 0 0 0 ( 1 0 o -2 6 0 2 2 2 -6 4 2 -1 0 5 0 1 0 4 -1 1 -1 -1 - 2 -1 0 2 2 -10 -2 3\ -2 -1 "I / 3\ -4 -2 1 y 5\ 3 1 5 / 1 0 2 -1 2 3^ 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 v 0 0 0 7 -14 "7 J Modré ř£ 1 Modré řádky můžeme vydělit čísly 6 a 7. ^Lm^lllUylUUJ.lUUU 3*1— 2x2+6x3+2x4 — 4^5 = 5 %i +2x3 — X4+2X5 = 3 Řešte soustavu rovnic X\ + 2x2+2x3 = 1 2x-y— 6x2+4x3+2x4— 4x5 = 5 -2 6 2 -4 5 \ 4 , 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 l2 -6 4 2 -4 5 / 0 2 -1 2 / 1 0 2 -1 2 3\ 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 -6 0 4 -8 -1 V 0 0 0 7 -14 "7/ / 1 0 2 -1 2 0 2 0 1 -2 3^ -2 0 0 0 1 -2 -1 \ Poslední dva řádky jsou stejné a stačí dále pracovat jenom s jedním z nich. Řešte soustavu rovnic 3xi~ 2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 Xi +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 = 1 2xx—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 10 2-1 2 0 2 0 1 -2 0 0 0 1 -2 • Rozšířená matice soustavy má hodnost 3, matice soustavy také. Systém proto má řešení. • Počet parametrů je neznámé — hodnost = 5 — 3 = 2. I Q ES (c) Lenka l*bylova,i!l)lŕfä Řešte soustavu rovnic 3xi~ 2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 Xi +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 = 1 2xx—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 10 2-1 2 0 2 0 1 -2 0 0 0 1 -2 1 Napíšeme rovnici příslušnou poslednímu řádku. ^LmJ^lllUpiUlUUU Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 xi +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 2*1 — 6x2+4x3+2x4 —4x5 1 2 = -1 x5 = ŕ X4 = 2t- 1 • Jsou zde dvě neznámé, ale jenom jedna rovnice. Jednu z neznámých volíme rovnu parametru. • Buď tedy X5 = t, kde ŕ je libovolné reálné číslo. Vypočteme X4. HTi Ba-Cíl Lenka Wibylová, Í006H Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 xi +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 2*1 — 6x2+4x3+2x4 —4x5 1 2x2 + X4 — 2x5 1 Napíšeme rovnici odpovídající dalšímu řádku. cyLenM-lWpVi.JJJUU Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 %i +2x3— X4+2X5 = 3 Xi+ 2x2+2x3 2xi — 6x2+4x3+2x4 —4x5 1 2x2 + X4 — 2x5 = —2 2x2+(2ř-l)-2ř= -2 "1 Dosadíme za. x^. a . Zůstává pouze neznámá X2. Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 %i +2x3— X4+2X5 = 3 Xi+ 2x2+2x3 2xi — 6x2+4x3+2x4 —4x5 1 2x2 + X4 — 2x5 = -2 2x2+(2ř-l) -2ř = -2 x2 = 1 ~2 Nalezneme X2. Dostáváme 2x2 = —2 — 2ř + l + 2řa odsud určíme X2. Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 xi +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 2*1 — 6x2+4x3+2x4 —4x5 1 2x2 + X4 — 2x5 = -2 2x2+(2r-l) -2t = -2 x2 = 1 ~2 □ Napíšeme rovnici odpovídající prvnímu řádku. Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 xi +2x3— X4+2X5 = 3 Xi+ 2x2+2x3 2xi — 6x2+4x3+2x4 —4x5 1 0 2 2 0 0 0 2x2 + X4 — 2x5 = 2x2+ (2t - 1) -2t = Xi + 2x3 — X4 + 2x5 = 3 X! + 2x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = w • Dosadíme. Po dosazení zůstanou neznámé X\ a X3. Jedna z těchto | neznámých musí být parametr. • Volme např. X3 = u, kde u je libovolné reálné číslo. Řešte soustavu rovnic 3*1—2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 %i +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 2*1 — 6x2+4x3+2x4 —4x5 1 10 2-1 2 Ar ~ | 0 2 0 1 -2 0 0 0 1 -2 2x2 + X4 — 2x5 = -2 2x2+(2ř-l) -2t = -2 1 x2 = ~2 X4 — 2 X5 = —1 X5 = t x4 = 2ř - 1 Xx + 2x3 — X4 + 2x5 = 3 xx + 2x3 - (2t - 1) + 2ř = 3 x3 = « x1+2w-(2ř-l) + 2ř = 3 1 Vypočteme X\. Řešte soustavu rovnic 3xi~ 2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 Xi +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 = 1 2*1 — 6x2+4x3+2x4 —4x5 2x2 + X4 — 2x5 = -2 2x2+ (2t - 1) - -2t = -2 1 x2 = ~2 Řešení je [2 — 2«, 1 ~2' u, 2ř Xx + 2x3 — X4 + 2x5 = 3 X! + 2x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = « x1+2w-(2ŕ-l) + 2ŕ = 3 X! = 2 ■ 2« 1, t], kde ŕ a u jsou parametry. EEl Q B ©LenkaPřibylová, 20060 Řešte soustavu rovnic 3xi~ 2^2+6x3+2x4—4x5 = 5 Xi +2x3— X4+2X5 = 3 X\ + 2x2+2x3 = 1 2*1 — 6x2+4x3+2x4 —4x5 2x2 + X4 — 2x5 = -2 2x2+ (2t - 1) - -2t = -2 1 x2 = ~2 Řešení je [2 — 2«, 1 ~2' u, 2ř Xx + 2x3 — X4 + 2x5 = 3 X! + 2x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = « x1+2w-(2ŕ-l) + 2ŕ = 3 X! = 2 ■ 2« 1, t], kde ŕ a u jsou parametry. EEl Q B ©LenkaPřibylová, 20060 2x!+2x2—2x3+ X4 = 1 X!+2x2+ x3—2x4 = 1 Řešte soustavu 3xi+4x2 — x3+2x4 = 5 X!+3x2+3x3—2x4 = 4 ■- * EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 20060 Řešte soustavu / 2 2 1 2 3 4 \ 1 3 2xi+2x2—2*3+ xnt = \ Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 Xx+3x2 + 3x3—2x4 = 4 1 \ 1 5 4/ EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 20060 Řešte soustavu 2x!+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 Xi +3x2+3x3— 2x4 = 4 / 2 2 1 2 3 4 V 1 3 M / 1 4; V 1 -2 1 \ 1 Druhý řádek bude klíčový, protože «21 = 1- ^L^lllUpiUllM Řešte soustavu 2x!+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 3xi+4x2~ X3+2X4 = 5 Xi +3x2+3x3— 2x4 = 4 / 2 2 1 2 3 4 V 1 3 ■ (-2) o 1 \ Řešte soustavu 2x!+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 Xx+3x2 + 3x3—2x4 = 4 / 2 2 1 2 3 4 V 1 3 1 \ (-3) 5 4 1 \ -1 2 2x!+2x2—2x3+ *4 = 1 Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 Řešte soustavu 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 Xi +3*2+3x3— 2x4 = 4 v___, ŕ2 2 -2 1 1 \ ŕ 1 2 1 -2 1 \ Ar ~ 1 2 1 -2 -2 -4 5 -1 3 4 -1 2 5 0 -2 -4 8 2 I 1 3 3 -2 4 / 1 5 47 V 1 2 1 0 1 2 2 -2 -2 1 -2 0 1 -4 -4 2 1 \ 3 / -2 5 8 0 1 \ -1 2 3/ První dva řádky zůstanou. Řešte soustavu 2x!+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3xi+4x2- x3+2x4 = 5 X!+3x2+3x3-2x4 = 4 (22 1 2 3 4 V 1 3 / 1 2 1 0 1 2 0 0 0 V o o o 2 1 1 -2 1 2 3 -2 1 \ 3 5 H-5 1 ^ (1 2 1 -2 i 1 0 -2 -4 5 -i 5 0 -2 -4 8 2 V o 1 2 0 3 /l 2 1 -2 1 ^ 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 V 0 0 0 1 1 y Poslední řádky můžeme vydělit, lil y u — 2x!+2x2—2x3+ *4 = 1 Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 Řešte soustavu 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 Xi +3*2+3x3— 2x4 = 4 v___, r 2 2 - 2 1 2 1 -2 1 \ 1 2 1 -2 1 0 -2 -4 5 -1 3 4 — 1 2 5 0 -2 -4 8 2 l 1 3 3 -2 4 J \° 1 2 0 3 2 1 -2 1 f1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 1 1 0 0 8 8 ) V Poslední dva řádky jsou stejné a stačí uvažovat pouze jeden z nich. I Vynecháme tedy poslední řádek. Bl B B B-Cíl Lenka Wibylová, 2006 Q Řešte soustavu 2x!+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 3xi+4x2 — X3+2X4 = 5 X!+3x2+3x3—2x4 = 4 1 2 1 0 1 2 0 0 0 • Rozšířená matice soustavy je ve schodovitém tvaru. • h(A) = 3,h(Ar) = 3, n =4 Soustava má nekonečně mnoho řešení s jedním parametrem. Řešte soustavu 2x!+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 3xi+4x2 — X3+2X4 = 5 X!+3x2+3x3—2x4 = 4 1 Napíšeme rovnici odpovídající poslednímu řádku. Tím známe X4. I ■ ■ ■-© Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 2x!+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 Xx+3x2 + 3x3—2x4 = 1 Napíšeme rovnici odpovídající prostřednímu řádku. ^LmJ^lllUpiUlUUU Řešte soustavu 2x!+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 3xi+4x2~ X3+2X4 = 5 Xi +3x2+3x3— 2x4 = 4 1 2 1 0 1 2 0 0 0 X4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = ŕ Ze dvou neznámých bude jedna rovna parametru. Nechť například X3 = t, kde t je libovolné reálné číslo. Řešte soustavu 2x!+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 3xi+4x2~ X3+2X4 = 5 Xi +3x2+3x3— 2x4 = 4 X4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t X2 = 3 — 2ř 1 Nalezneme X2. cyLenM-lWpVi.JJJUU Řešte soustavu 2x!+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 3xi+4x2 — X3+2X4 = 5 X!+3x2+3x3—2x4 = 4 Xi + 2x2 + x3 — 2x4 = 1 X4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3-2t 1 Pokračujeme k další rovnici. cyLenM-lWpVi.JJJUU Řešte soustavu 2*i+2*2 —2*3+ X4 = 1 *i+2*2+ x3— 2x4 = 1 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 *i+3*2+3*3—2*4 = 4 1 2 1 0 1 2 0 0 0 *1 + 2*2 + *3 — 2*4 = 1 *i+2(3-2ř) + ř-2-l = 1 *4 = 1 *2 + 2 *3 = 3 *3 = ř *2 = 3 — 2ř 1 Dosadíme za. Xg a x^. ^Lm^lllUylUUJ.lUUU Řešte soustavu 2*i+2*2 —2*3+ X4 = 1 *i+2*2+ x3— 2x4 = 1 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 *i+3*2+3*3—2*4 = 4 1 2 1 0 1 2 0 0 0 *1 + 2*2 + *3 — 2*4 = 1 *i+2(3-2ŕ) + ŕ-2-l = 1 *i — 4ř + ŕ + 4 = 1 *4 = 1 *2 + 2 *3 = 3 *3 = ŕ *2 = 3 — 2ŕ 1 Upravíme. ^Lm^lllUpUJ.lUUU 2xi+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 Řešte soustavu I 3xi+4x2~ X3+2X4 = 51 +3*2 + 3x3—2x4 = 4 ^- 1 _ x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3-2t Xi + 2x2 + x3 — 2x4 = = 1 X!+2(3-2ŕ) + ŕ-2-l = = 1 xi — 4ř + ŕ + 4 = = 1 Xi — 3t = - -3 X4 = 1 Upravíme. (C) Lenka Wibylova, i!UUt| 2x!+2x2—2x3+ *4 = 1 X!+2x2+ x3—2x4 = 1 Řešte soustavu I 3xi+4x2 — x3+2x4 = 51 X!+3x2+3x3—2x4 = 4 ^- 1 _ x2 + 2 x3 = 3 x3 = ŕ x2 = 3 - 2t Xi + 2x2 + x3 — 2x4 = = 1 X!+2(3-2ŕ) + ŕ-2-l = = 1 xi — 4ŕ + ŕ + 4 = = 1 X! — 3t = = -3 Xi = = 3i-3 X4 = 1 Nalezneme x^. CÖLenkaWibylova.üUUtl Řešte soustavu 2x!+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2x2+ x3 — 2x4 = 1 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 Xi +3*2+3x3— 2x4 = 4 1 2 1 0 1 2 0 0 0 X4 = 1 Xx + 2x2 + x3 — 2x4 = = 1 X!+2(3-2ŕ) + ŕ-2-l = = 1 xi — 4ř + ŕ + 4 = = 1 Xx — 3ŕ = = -3 x ^ = -- 3ŕ - 3 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t X2 = 3 — 2ŕ Řešení je Xx = - 3 + 3ŕ X2 = 3 -2t X3 = t X4 = 1 kde ŕ e R. EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 20060 %i — X3+3X4 = o Xi+x2 — X4 — X5 = o Řešte soustavu 5X\+X2— 4*3+3x4—9*5 = 0 xl~ x2~ 2X3+ X4 —5X5 = 0 EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 20060 Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5x\+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 xi~ x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 ( 1 1 5 V 1 -1 o -4 -2 o o o / 1 Napíšeme rozšířenou matici soustavy. cyLenM-lWpVi.JJJUU Řešte soustavu r i 5 V i %i — X3+3X4 = o Xi+x2 — X4 — X5 = o 5x\+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 xi~ x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 -1 0 -4 -2 o O 1 -1 -1 ) I Zvolíme klíčový řádek (s jedničkou na začátku a nejnižšími ciframi na I dalších pozicích). Tento řádek opíšeme jako první. m El B M-Cíl Lenka Wibylová, Mbl Řešte soustavu 5 %i — X3+3X4 = o Xi+x2 — X4 — X5 = o 5xi+x2 — 4x3+3x4—9x5 = 0 X}— x2 — 2x3+ X4—5x5 = 0 -1 0 -4 -2 0' -1 o o Vynulujeme prvek a.\\. Řešte soustavu ( 1 1 5 V i -1 o -4 -2 *! — X3 + 3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5xi+X2~4x3+3x4—9x5 = 0 x2~ 2X3+ X4 —5X5 = 0 Ox -5 o T1 1 o -1 O -4 O -1 -4 O O Vynulujeme prvek a^. X\ — X3+3X4 \ = 0 Řešte soustavu X\+X2 — X4-5Xi+X2~4*3 + 3X4- x5 9x5 = 0 = 0 v. Xx—X2—2X3+ X4- 5x5 = 0 / 1 0-1 3 0 0 \ ( 1 1 0 -1 -1 0 \ 1 1 0 -1 -1 ■ ■ 0 -1 -1 4 1 0 5 1 -4 3 -9 0 -4 -4 8 -4 0 \ 1 -1 -2 1 -5 o^y {0 -2 -2 2 -4 0 1 Vynulujeme prvek «41. Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5x\+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 xi~ x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 0 -1 3 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 V 1 -1 -2 1 -5 0 / 11 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 \o -1 -1 1 -2 0) T 1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 V 0 -2 -2 2 -4 0 / H-4 První dva řádky opíšeme, poslední dva vydělíme společným dělitelem všech čísel v řádku. EEl B B m-Cíl Lenka WibyWa, i)06| | f-v Xi — X3+3X4 = O Xi+x2 — X4 — X5 = O Řešte soustavu 5x\+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 x\— x2~ 2X3+ X4 —5X5 = 0 v.__-i 0 -1 3 0 0 \ T 1 1 0 -1 -1 0 \ 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 5 1 -4 3 -9 0 0 -4 -4 8 -4 0 V 1 -1 -2 1 -5 0 / V 0 -2 -2 2 -4 0 / f1 1 0 -1 -1 0 \ < 1 1 0 -1 -1 0 ^1 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 \o -1 -1 1 -2 0 1 V / I První řádek opišme, druhý řádek bude klíčový a opišme jej také. f-v X\ — X3+3X4 = O X1+X2 — X4 — X5 = O Reste soustavu 5x\+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 x\— x2~ 2X3+ X4 —5X5 = 0 v.__-é 0 -1 3 0 °1 r 1 1 0 -1 -1 0 \ 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 5 1 -4 3 -9 0 0 -4 -4 8 -4 0 V 1 -1 -2 1 -5 0 J l 0 -2 -2 2 -4 0 / z1 1 0 -1 -1 0 \ 1 1 0 -1 -1 0 \ 0 0 -1 -1 -1 -1 4 2 1 -1 o-1 -1 ■ 0 0 -1 0 -1 0 4 -2 1 -2 0 0 \o -1 -1 1 -2 oj l / I Nulujeme a^. CÖ Lenka Mibylová, Mt| f-v X\ — X3+3X4 = O X1+X2 — X4 — X5 = O Reste soustavu 5x\+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 x\— x2~ 2X3+ X4 —5X5 = 0 v.__-é í1 0 -1 3 0 0 ^ 1 1 0 -1 -1 0 \ 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 5 1 -4 3 -9 0 0 -4 -4 8 -4 0 V 1 -1 -2 1 -5 0 l 0 -2 -2 2 -4 0 J ŕ1 1 0 -1 -1 0 \ í 1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 °\ -1 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 °J 0 0 0 -2 -2 0 \o -1 -1 1 -2 0^ { 0 0 0 -3 -3 0 J I Nulujeme a^- CÖ Lenka Wibylova.üUUbl Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5x\+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 x\ — x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 0 -1 3 0 0 \ 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 V 1 -1 -2 1 -5 0 f1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 \o -1 -1 1 -2 0 11 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 \o 0 0 -1 -1 0 1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 / 1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 / 1 Vydělíme poslední dva řádky společným dělitelem všech čísel v řádku. X\ - X3+3X4 \ = 0 Řešte soustavu X\+X2 — X4-5xi +X2— 4x3+3x4- x5 9x5 = 0 = 0 v. X!" -X2—2x3+ X4- 5x5 = 0 / 1 0 -1 3 0 0 ^ í 1 1 0 -1 -1 0 \ 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 5 1 -4 3 -9 0 0 -4 -4 8 -4 0 \ 1 -1 -2 1 -5 0 ) l 0 -2 -2 2 -4 0 / / 1 1 0 -1 -1 0 ^ f 1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 0 0 -2 -2 0 \ 0 -1 -1 1 -2 0 ) l0 0 0 -3 -3 0 J / 1 1 0 -1 -1 0 ^ 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 Poslední dva řádky jsou shodné a stačí uvažovat pouze jeden z nich. Tím je matice převedena do schodovitého tvaru. É ■ ■ ■-. L„k.W,l-;.k-...i«»É Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5x\+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 xi~ x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 í1 0 -1 3 0 0 \ 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 V 1 -1 -2 1 -5 0 ŕ1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 -1 -1 1 -2 0 ŕ1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry 1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 / 1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 / EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 20060 Řešte soustavu Xi — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5x\+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 x\ — x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 1 Uvažujeme matici ve schodvitém tvaru. cyLenM-lWpVi.JJJUU Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5x\+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 x\ — x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 0 0 0 -1 -1 "1 Přepíšeme poslední řádek jako klasickou rovnici. Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5x\+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 x\ — x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 0 0 0 -1 -1 I Protože neznámé v jedné rovnici jsou dvě, musí se jedna z nich rovnat I parametru. Nechť například X5 je parametr. m El B M-"-Cíl Lenka Wibylova,!!l)l)t| Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5x\+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 x\ — x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 X4. = 0 x5 = t —X4 — t = 0 X4 = -ŕ 1 Dosadíme parametr a vypočteme X4. ^LenM-lWpVi.JJJUU Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5x\+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 x\ — x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 X4. = 0 x5 = t —X4 — t = 0 X4 = -ŕ 1 Přepíšeme další řádek do tvaru rovnice. ^Lm^lllUpUJ.lUUU Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5xi+x2 — 4x3+3x4—9x5 = 0 x\ — x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 —x2 — x3 + 4x4 + X5 = 0 -x2 - x3 +4(-ŕ) + t = 0 X4. = 0 x5 = t —X4 — t = 0 X4 = -t 1 Dosadíme všechno co jsme vypočetli dříve. ^LenM-lWpVi.JJJUU Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5xi+x2 — 4x3+3x4—9x5 = 0 x\ — x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 —x2 — x3 + 4X4 + X5 = 0 -x2 - x3 +4(-ŕ) + ŕ = 0 x3 = s X4. = 0 x5 = t —X4 — t = 0 X4 = -t 1 Zůstaly dvě neznámé, jedna z nich musí být parametr. cyLenM-lWpVi.JJJUU Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5xi+x2 — 4x3+3x4—9x5 = 0 x\ — x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 —x2 — x3 + 4X4 + X5 = 0 -x2 - x3 +4(-ŕ) + t = 0 x3 = s —x2 — s — 3t = 0 X4. = 0 x5 = t —X4 — t = 0 X4 = -t 1 Dosadíme parametr. cyLenM-lWpVi.JJJUU /-N X\ — X3+3X4 = O X1+X2 — X4 — X5 = O Reste soustavu 5xi+x2 — 4x3+3x4—9x5 = 0 I xl~ x2~ 2X3+ X4 —5X5 = 0 I v. ■< _ —X4 — X5 = 0 x5 = ŕ —X4 — t = 0 X4 = —t —x2 — x3 + 4X4 + X5 = 0 -x2 - x3 +4(-ŕ) + t = 0 x3 = s —x2 — s — 3t = 0 x2 = -s -3t / 1 1 o -1 -1 0\ Ar ~ 0 -1 -1 4 10 \ 0 o 0-1-10/ I Vypočteme x2. CÖ Lenka Mibylová, Mt| Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5xi+x2 — 4x3+3x4—9x5 = 0 x\ — x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 —x2 — x3 + 4X4 + X5 = 0 -x2 - x3 +4(-ŕ) + t = 0 x3 = s —x2 — s — 3t = 0 x2 = -s -3ŕ X4. = 0 x5 = t —X4 — ŕ = 0 X4 = -t x\ + x2 — X4 — X5 = 0 1 Přepíšeme zbývající řádek do tvaru rovnice. cyLenM-lWpViJJJUU Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5xi+x2 — 4x3+3x4—9x5 = 0 xi~ x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 0 0 0 -1 -1 x^ = 0 x5 = t —X4 — ř = 0 X4 = -t —x2 — x3 + 4x4 + X5 = 0 -x2 - x3 +4(-ř) + t = 0 x3 = s —x2 — s — 3t = 0 x2 = -s-3t x\ + x2 — X4 — X5 = 0 x1 + (-s -3ř) - (-í) - t = 0 Xx = s + 3ř "1 Dosadíme vypočtené hodnoty a vyjáříme X\. Řešte soustavu %i — X3+3X4 = 0 Xi+x2 — X4 — X5 = 0 5xi+x2 — 4x3+3x4—9x5 = 0 x\ — x2~ 2x3+ X4—5x5 = 0 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 0 0 0 -1 -1 x^ = 0 x5 = t —X4 — ř = 0 X4 = -t —x2 — x3 + 4x4 + X5 = 0 -x2 - x3 +4(-ř) + t = 0 x3 = s —x2 — s — 3t = 0 x2 = -s-3t x\ + x2 — X4 — X5 = 0 x1 + (-s -3ř) - (-í) - t = 0 Xx = s + 3ř Soustava je vyřešena. %i+ x2+ x3+ X4 = O x2+ x3+ X4+ X5 = O Řešte soustavu X1+2X2+3X3 = 0 ^2+2x3+3x4+4x5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 20060 %i+ x2+ x3+ X4 = O x2+ x3+ X4+ X5 = O Řešte soustavu Xi+2x2+3x3 =0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 (1 1 1 1 0 0 ^ 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 0 ) EE1 EJ Q ©Lenka Přibylová, 20060 %i+ x2+ x3+ X4 = O x2+ x3+ X4+ X5 = O Řešte soustavu Xi+2x2+3x3 =0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 11 1 1 1 0 0 \ /lil 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 \o 0 1 2 3 0 1 V / I První řádek bude klíčový řádek. (C) Lenka Wibylova, i!UUt| %i+ x2+ x3+ X4 = O x2+ x3+ X4+ X5 = O Řešte soustavu Xi+2x2+3x3 =0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 f 1 1 1 1 0 0 \ /lil 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 0 0 11 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 0 1 v I Druhý řádek zůstává, má už nulu na začátku. © Lenka Přibylová, 2l) 1)61 Xi+ x2+ x3+ X4 = 0 x2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xi+2x2+3x3 =0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 ŕ 1 1 1 1 0 °\ (-1) ŕ 1 1 1 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 °J 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 O* 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 0 ) V / CÖLenkaWibylova.üUUtl Řešte soustavu %i+ x2+ x3+ X4 = 0 x2+ x3+ X4+ X5 = 0 X\ + 2X2+3^3 = 0 ^2+2x3+3x4+4x5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 f 1 1 1 1 0 0 \ (1 1 1 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Ar ~ 1 2 3 0 0 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 0 1 v I Čtvrtý řádek zůstává, má už nulu na začátku. ©LenkaPřibylovi, Mt| Řešte soustavu %i+ x2+ x3+ X4 = 0 x2+ x3+ X4+ X5 = 0 X\ + 2X2+3^3 = 0 ^2+2x3+3x4+4x5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 11 1 1 1 0 0 ^ ( 1 1 1 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 \o 0 1 2 3 0 ) 0 1 2 3 0 ) Poslední řádek zůstává, má už nulu na začátku. cyLenM-lWpVilUUU Řešte soustavu %i+ x2+ x3+ X4 = 0 x2+ x3+ X4+ X5 = 0 X\ + 2X2+3*3 = 0 X2+2*3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = o 11 1 1 1 0 0 ^ ( 1 1 1 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 \o 0 1 2 3 0 ) 0 1 2 3 0 ) (XXX o 1 1 o \ o 1 První řádek zůstane a druhý řádek bude nový klíčový řádek. Řešte soustavu %i+ x2+ x3+ X4 = 0 x2+ x3+ X4+ X5 = 0 X\ + 2X2+3^3 = 0 ^2+2x3+3x4+4x5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 / 1 1 1 1 0 0 1111 1 2 0 1 \ 0 0 1 /lil 1 0 11 1 0 0 1-2 0 0 3 4 2 3 0 1 -1 0 ^ ( 1 1 1 1 0 o\ 0 0 1 1 1 1 0 ^ (-1) 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 ) 0 1 2 3 0 ) o \ o o v (C) Lenka Přibylová, 2l) 1)61 Řešte soustavu %i+ x2+ x3+ X4 = 0 x2+ x3+ X4+ X5 = 0 X\ + 2X2+3^3 = 0 ^2+2x3+3x4+4x5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 / 1 0 1 0 /111 o 1 1 o o 1 o o 1 v 1 o 1 1 o o 3 4 2 3 0 1 -1 3 O \ O o o o / o \ o o o /1 o o o © Lenka Přibylová, Mt| %i+ x2+ x3+ X4 = O x2+ x3+ X4+ X5 = O Řešte soustavu Xi+2x2+3x3 =0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 z1 1 1 1 0 0 ^ ( 1 1 1 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Ar ~ 1 2 3 0 0 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 \° 0 1 2 3 0 J 0 1 2 3 0 ) Z 1 1 1 1 0 0 ^ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 c J I Poslední řádek již má dvě nuly na začátku a ponecháme jej tedy beze I změny. Bl B B B-Cíl Lenka Wibylová, i)06| | %i+ x2+ x3+ X4 = O x2+ x3+ X4+ X5 = O Řešte soustavu Xi+2x2+3x3 =0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 (1 1 1 1 0 0 \ ( 1 1 1 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 \° 0 1 2 3 0 ) \° 0 1 2 3 0 J /1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 ^ 0 ( 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 -1 °\ 0 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 \ —z v ) I Poslední dva řádky jsou stejné a jeden z nich lze vynechat. První tři I řádky zůstanou a třetí z nich bude nový klíčový řádek. fm-Cíl Lenka WibyWa, *0í> □ Řešte soustavu %i+ x2+ x3+ X4 = 0 x2+ x3+ X4+ X5 = 0 X\ + 2X2+3^3 = 0 ^2+2x3+3x4+4x5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 / 1 0 1 0 /111 o 1 1 o o 1 o o 1 v 1 o 1 1 o o 3 4 2 3 0 1 -1 3 O \ O o o o / (1 1 1 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 \° 0 1 2 3 0 1 / 1 1 1 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 V 0 0 0 4 4 0 1 CeLmkaťhfcyW!lUU/.| Řešte soustavu %i+ *2+ x3+ X4 = 0 *2+ *3 + *4 + *5 = 0 *1+2*2+3*3 = 0 *2+2*3+3*4+4*5 = 0 *3+2*4+3*5 = 0 (XXX o 1 1 o o 1 o o 1 v / 1 1 1 1 o l o \ 0 1111 1 2 3 0 0 0 12 3 4 V O O 1 2 3 (XXX 1 O O \ O O O O / O \ O o o ) o 1 1 O 1 2 O 1 2 V O O 1 /lil O 1 1 0 0 1- V o o o 1 1 -1 o 3 4 2 3 0 1 -1 4 O O O o / °\ o o o / 1 Matice je ve schodovitém tvaru, h(A) = h(Ar) = 4 a soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na (5 — 4) = 1 parametru. Xi+ X2+ X3 + X4 X2+ X3 + X4 + X5 Řešte soustavu Xi+2x2+3x3 ^2+2x3+3x4+4x5 X3+2X4+3X5 /I 1 1 1 0 M 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 \o 0 0 4 4 01 Řešte soustavu Xi+ x2+ x3+ X4 = 0 x2+ x3+ X4+ X5 = 0 X\ + 2X2+3^3 = 0 ^2+2x3+3x4+4x5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 11 1 1 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 \o 0 0 4 4 0 1 4x4 + 4X5 = 0 X4 + X5 = 0 x5 = t X4 = -t EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 20060 Řešte soustavu %i+ x2+ x3+ X4 = 0 x2+ x3+ X4+ X5 = 0 X\ + 2X2+3^3 = 0 ^2+2x3+3x4+4x5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 11 1 1 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 \o 0 0 4 4 0 1 4x4 + 4X5 = 0 X4 + X5 = 0 x5 = t X4 = -t X3 — 2x4 — X5 = o x3 -2(-t) - t = 0 x3 = -t EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 20060 Xi+ X2+ X3 + X4 X2+ X3 + X4 + X5 Řešte soustavu Xi+2x2+3x3 ^2+2x3+3x4+4x5 X3+2X4+3X5 ŕ1 1 1 1 0 0 ^ 4x4 + 4x5 = 0 0 1 1 1 1 0 X4 + X5 = 0 0 0 1 -2 -1 0 X5 = ŕ \o 0 0 4 4 0 ) X4 = —ŕ x3 — 2x4 — X5 = 0 X2 + X3 + X4 + X5 = 0 x3 - -2(-í) - t = 0 x2+ ( -t) + (-t) + t = 0 x3 = -t x2 = t = o = o = o EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 20060 Xi+ X2+ X3 + X4 X2 + X3 + X4 + X5 Řešte soustavu Xi+2x2+3x3 ^2+2x3+3x4+4x5 X3+2X4+3X5 Ar ~ ŕ1 1 1 1 0 0 ^ 4x4 + 4x5 = 0 0 1 1 1 1 0 X4 + X5 = 0 0 0 1 -2 -1 0 X5 = ŕ \o 0 0 4 4 0 J X4 = —ŕ x3 — 2x4 — X5 = 0 Xi + X3 + X4 + X5 = 0 x3 - -2(-t) - t = 0 x2+ ( -t) + (-t) + t = 0 x3 = -t x2 = t x\ + x-i + X3 + X4 = 0 x1 + ŕ+(-ŕ) + (-ŕ) = 0 Xi = ŕ = 0 = 0 = 0 Xi+ X2+ X3 + X4 X2+ X3 + X4 + X5 Řešte soustavu Xi+2x2+3x3 ^2+2x3+3x4+4x5 X3+2X4+3X5 ŕ1 1 1 1 0 0 ^ 4x4 + 4x5 = 0 0 1 1 1 1 0 X4 + X5 = 0 0 0 1 -2 -1 0 X5 = ŕ \o 0 0 4 4 0 J X4 = —ŕ x3 — 2x4 — X5 = 0 X2 + X3 + X4 + X5 = 0 x3 - -2(-t) - t = 0 x2+ ( -t) + (-t) + t = 0 x3 = -t x2 = t x\ + x-i + X3 + X4 = 0 x1 + ŕ+(-ŕ) + (-ŕ) = 0 Xi = ŕ = 0 = 0 = 0 Konec ©Lenka Přibylová, 2006