Integrace iracionálních funkcí
Lenka Přibylová 28. července 2006
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
dx
■\J~X~ ~\~ X
1/4
dx
3 18
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
I Nájdete / ^2x + 1 dx.
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
I Funkce obsahuje odmocninu z lineárního členu,
©Lenka Přibylová, 5iJÍV>|
Najdete /--dx.
}
\/2x + 1
dx =
\/2x + 1 = t
1
proto zavedeme substituci t = \/2x + 1.
^L^lllUpiUllM
I Nájdete / ^2x + 1 dx.
}
\/2x + 1
dx =
\/2x + 1 = t 2x + l = t2
Umocníme.
I Vyjádříme inverzní substituci.
©Lenka Přibylová, 5UUr>|
Najděte
\/2x + l
dx.
}
\/2x + 1
dx =
\/2x + 1 = ŕ 2x + 1 = ŕ2
ŕ7
1
dx = t dt
J
Diferencuj eme.
dx = tdt
Dosadíme.
1
Najdete /--dx. I
Najdete /--dx. I
Upravíme složený zlomek na jednoduchý.
©Lenka Přibylová, 5UIV>|
Jde o neryze lomenou racionální funkci, proto buď podělíme, nebo I upravíme na polynom + ryze lomená funkce. V tomto případě je I jednodušší doplnit v čitateli jmenovatel, tj. —1 + 1,
I Nájdete / ^2x + 1 dx.
}
\/2x + 1
dx =
\/2x + 1 = t 2x + l = t2 t2-l
dx = t dt
t               { iL tdt = 2 / ^--dt
fi-i
2
t2-l
2 /    .„        dŕ = 2 / 1 dŕ + 2 / -—r dŕ
ŕ2-l
ŕ2-l
J
a rozdělit na 2 zlomky.
I Nájdete / ^2x + 1 dx.
}
\/2x + 1
dx =
\/2x + 1 = t 2x + l = t2 t2-l
dx = t dt
t               { iL tdt = 2 / ^--dt
fi-i
2
t2-l
2 /    .„        dŕ = 2 / 1 dŕ + 2 / -—- dt
ŕ2-l
ŕ2-l
J
a rozdělit na 2 zlomky.
I Nájdete / ^2x + 1 dx.
}
\/2x + 1
dx =
\/2x + 1 = t 2x + l = t2 t2-l
dx = ŕ dŕ
t               f tz tát = 2 / -=--dŕ
fi-i
2
t2-l
2 /    .„        dŕ = 2 / 1 dŕ + 2 / -—r dŕ
ŕ2-l
ŕ2-l
= 2ŕ - - ln 2
1 + ŕ
1 - t
+ c
J
Integrujeme.
Najdete /--dx.
}
\/2x + 1
dx =
\/2x + 1 = ŕ 2x + 1 = t2 t2-l
dx = tdt
t               f tz tdt = 2 / ^--dt
fi-i
2
r2-l
2 /    .„        dt = 2   ldt + 2 I -—- dt
t2-l
t2-l
= 2t - - ln 2
1 + r
1 - ŕ = 2\/2x + 1 - ln
+ c
i + VzťTT
i - V2x + 1
+ c
1
Upravíme.
^Lm^lllUIJlUUJ.lUUll
Najděte / dx. I
1 J   ^fx + X1^
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Najděte / dx.
dx
\fx + ^fx
Funkce obsahuje druhou a čtvrtou odmocninu z x, proto hledáme jejich nejmenší společný násobek, číslo 4.
Najděte
sjx + x
1/4
dx.
\/x + ^fx
dx =
J
Zavedeme substituci t = \fx.
Umocníme, čímž vyjádříme inverzní substituci.
©Lenka Přibylová, 5UIV>|
Najděte
sjx + x
1/4
dx.
\/x+ \fx
dx =
x = ř
dx = 4ř3 dř
Diferencuj eme.
Najděte
s/x + x
1/4
dx.
\fx + tfx
dx =
tfx = t
x = r
dx = 4r3 dř
Dosadíme.
I Dosadíme. I
I Dosadíme. I
Upravíme.
I Dostáváme neryze lomenou racionální funkci. Před podělením si
I můžeme všimnout, že lze krátit t (ve jmenovateli t můžeme vytknout).
Najděte
sjx + x
1/4
dx.
\/x + ^fx
dx =
tfx = t
x = ř
dx = 4ř3 dř
Ať dt = A
= 4 / t-^-t dř = 4 f(t-l + —V— ) dt
t+1
t + 1
/Dělíme:
t2 + t
dt
t2 : (t + 1) = Í-1 +
-(f2 + 0
- ř
1
ř + 1
Najděte
s/x + x
1/4
dx.
\/x + ^fx
dx =
tfx = t
x = r
dx = 4r3 dř
Ať dt = A
t2 + t
dt
= 4
1    dr = 4 /Yr-1 + —'— )dř = 4 Ítdt-A í dŕ + 4 / —'-r
t+1
t + 1
t + 1
J
Sčítance integrujeme každý zvlášť.
Integrujeme podle vzorců. ■ ■ ■ ■
(c) Lenka Pŕibylovä, uí)í)ŕ>
I Dosadíme původní proměnnou.
(C) Lenka ťhfcylova, »1
Konec
©Lenka Přibylová, 2006