Nevlastní integrál
Lenka Přibylová 3. srpna 2006
Obsah
/ —\— dx J\   x ln x
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Najděte / -5— dx.
1   x ln x
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
V horní mezi má integrál singularitu vlivem meze. Navíc má singularitu uvnitř intervalu integrace v bodě x = 1, protože zde funkce
1
není definovaná. Jde o výraz typu
. Nelze spočítat určitý integrál,
protože v x = 1 neexistuje primitivní funkce a interval integrace je nekonečný.
|   El   IM   IH reSIgnlca Wihvlnva Ulil
I Rozdělíme integrál na dva. První má sigularitu v horní mezi vlivem I funkce. Druhý má dvě singularity - v dolní mezi vlivem funkce, v horní mezi vlivem meze._I
I Druhý integrál rozdělíme na dva např. v bodě x = 2. Každý integrál I má nyní pouze jednu singularitu.
Najděte / -5— dx.
11   xlnx
1
1 f1    1 Z00 1
dx = / -=— dx + / -=— dx
xln2x J \ xln2x        A   x ln2 x
1    1 z-2    1 /-°° 1
dx + / -=— dx + / -=— dx
xln2x        A xln2x        A xln2x
1                    /*2    1 1
lim / -=— dx + lim / -=— dx + lim / -^— dx
t^i-Jí xln x        t^i+Jt  xln x        t^^Ji xln x
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t z levého okolí x = 1 je nyní první integrál určitý, podobně další dva, lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. Najdeme primitivní funkci v pomocném výpočtu.
I    ■    ■    ■-. L„k.W,l-;.k-...i«»4
NajděteA l^Tx
•s j      X 11L Ji
dx.
)
1
x In2 x
dx
1 1
dx +
1
dx
1 1
^ x ln2 x        A   x ln2 x
1 í00 1
řl xln2x
t-»i
dx +
2
lim
i x ln2 x
dx +
2   x ln2 x
dx
5 xln2x
dx + lim
1
t->i+ V t  x ln2 x
dx + lim
1
lim
t-»i-
1
lnx
+ lim
i t->i+
1
lnx
+ lim
ŕ—>0Q
t^ooj2 xln2 X lnx
dx
1
xln2 x
dx =
lnx = ŕ dx = dŕ
1
t2
dt =
+ c =
lnx
+ c
©LenkaPřibylová, 2006B
NajděteA ltá~x
*> 9      Ji 11L Ji
dx.
1
1
xln2 x
dx
1 1
dx +
1
dx
1 1
^ xln2x        A xln2x
1 f00 1
řl xln2x
t-»i
dx +
2
lim
i x ln2 x
dx +
2   x ln2 x
dx
5 xln2x
dx + lim
1
t->i+ A  x ln2 x
dx + lim
1
lim
t-»i-
lim
t-»i-
1
lnx
+ lim
i t->i+
1
lnx
+ lim
ŕ—>0Q
t^ooj2 xln2X lnx
dx
1        1 \
-;--1--T     + llm
Iní    In i / t^i+
1 1 v— + -— ) + lim ln2    lni) r^oo
"lni + ln2
1
Dosadíme meze.
^Lm^lllUIJlUUJ.lUUll
Najděte
1
x In2 x
dx.
/Spočteme limity. Integrál diverguje.
lim -—
t->i- m ŕ
lim ;—
t->i+ m ŕ
lim -—
ŕ^oo ln t
0"
1
Ô+ 1
oo
lim [ —;--1--t- 1 + lim
t->i-V   lni    lni/ t^i+
1
oo H--- + oo
ln 2
1 1 -í—r + ;— ) + lim ln2    lnŕ / ŕ^oo
1
~\ň~t
+
ln2
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Konec
©Lenka Přibylová, 2006