Nevlastní integrál vlivem meze
Lenka Přibylová 3. srpna 2006
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Obsah
Definice - singularita v horní mezi 3
f<x> 1
/   -^di................................. 3
h x1
/   -dx................................. 10
Jl X
Definice - singularita v dolní mezi 16
f° 1
/    ^^dx.............................. 16
J-co 1 + X2
Definice - singularity v obou mezích 23
/oo dx.................................. 23 -OO
EE1   El   ra   Igg ©LenkaPřibylová, 20060
Definice - singularita v horní mezi
y = /(*)
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Najděte / dx.
J 2 %
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte / dx.
-i dx
xz
V horní mezi má integrál singularitu. Nelze spočítat určitý integrál, I protože je interval integrace nekonečný.
É   B   1   H-cclLenkWibylova.tol |
Najděte
dx.
dx = lim
dx
12 Xz
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t v okolí oo je nyní integrál určitý,
É   B   1   H-cclLenkWibylova.tol |
Najděte
dx.
2
dx = lim
2 X^
ř^ooJ2 X
dx = lim
t—>oo
1"
X
"1
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
Najděte
dx.
2 Xz
dx = lim
2 X^
t^ooj2 X
dx = lim
ř—>oo
lim
ř—>oo
1 1
7 + 2
Dosadíme meze.
Najděte
dx.
2 Xz
dx = lim
2 X^
t^ooj2 X
lim
ř—>oo
dx = lim
ř—>oo
1
2
1"
x
1 1 7 + 2
Spočteme limitu.
lim -
ř^oo t
f00 1
Najděte /   - dx.
J1 X
}
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
— dx
i x
V horní mezi má integrál singularitu. Nelze spočítat určitý integrál, protože je interval integrace nekonečný.
É   ■   ■   ■-cclLenk.Wibylova.ml |
1 r* 1
- dx = lim /  - dx
1    X ŕ->oo,/l X
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t v okolí oo je nyní integrál určitý,
É   ■   ■   ■-cclLenk.Wibylova.ml
1 f* 1 ř
- dx = lim /  - dx = lim íln Ixll.
X ř^ooJi  X ř^ooL Ui
"1
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
f00 1 ft 1 t
'   — dx = lim /  — dx = lim [in Ixll.
1    X ŕ^ooJi  X ŕ^ooL Ui
= lim(ln|ŕ| -lnl]
ŕ^co
| Dosadíme meze. I
dx = lim / — dx = lim íln \x
t —     v ř^ooL
■ lni) =00
ř^ooJi X
= lim (In Iři
Spočteme limitu.
lim ln 111 = oo
t—>oo
Limita je nevlastní, integrál proto diverguje.
£—————--_-,—___-. ____
Definice - singularita v dolní mezi
y = /(*)
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
I NaJděte / YT^ŕ dx-
-
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
V dolní mezi má integrál singularitu. Nelze spočítat určitý integrál, I protože je interval integrace nekonečný.
ÍTT1-cclLenk.Wibylovä.ml
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t I v okolí —oo je nyní integrál určitý,
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. á B B M
(c) Lenka Pŕibylovä, uí)í)ŕ>
I NaJděte / YT^2dx-
}
„■ dx = lim   / -^ dx = lim ľarctg xl °,
1+X2 t^-oojt    1 + X2 r^-ooL       b J*
lim (arctg 0 — arctg ŕ)
ŕ—>oo
I Dosadíme meze. I
= lim (arctg O — arctg t) = —
Spočteme limitu.
lim arctg t
ř^-oo       ° 2
1
Definice - singularity v obou mezích
!     y = /(*)
f(x)dx= /    f(x)dx+ / f(x)dx
= lim   / f(x) dx + lim / f(x) dx
Najděte / dx.
BB1   EJ Q
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte / dx.
dx
I Integrál má singularity v obou mezích. Nelze spočítat určitý integrál, I protože je interval integrace nekonečný.
É   B   1   H-cclLenkWibylova.tol |
Najděte / dx.
dx =        dx + / dx
J
Rozdělíme na dva nevlastní integrály s jednou singularitou.
Cc) Lenka l-¥ibylová, 2006
./:
/O řoo ,-0 i-t
dx + / dx = lim / dx + lim / dx -oo JO t^-caJt t^<x>J0
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná ř v okolí ±00 jsou nyní integrály určité,
3   □  D   [33 ^T"T^I ..II.-. .
Najděte / dx.
dx =
dx +
dx = lim
0 rt
dx + lim / dx
= lim íxl °t + lim íxl'
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. Hledáme primitivní I funkci k 1 v proměnné x.
Najděte / dx.
dx =
dx +
dx = lim
0 rt
dx + lim / dx
= lim Ixl° + lim IxlJ. = lim (0 — t) + lim(t — 0)
ř—> — co      *      ř—>oo      ^      ř—> — oo ř—>oo
Dosadíme meze.
Najděte / dx.
dx =
dx +
dx = lim
0 rt
dx + lim / dx
lim Ixl° + lim Ixlj. = lim (0 — t) + lim(t — 0) = oo
ř—> — oo      *      ř—>oo      ^      ř—> — oo ř—>oo
J
Spočteme limity. Integrál diverguje.
Konec
©Lenka Přibylová, 2006