Nevlastní integrál vlivem funkce
Lenka Přibylová 3. srpna 2006
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Obsah
Definice - singularita v horní mezi 3
r1 l
/ -^dx ............................... 3
JO I-*
Definice - singularita v dolní mezi 10 Definice - singularita uvnitř intervalu integrace 18
[j^W^ ............................ 18
r1 l
/   -dx ................................. 26
J-i x
©Lenka Přibylová, 2006EJ
Definice - singularita v horní mezi
y = /(*)
b x
b rt
f(x)dx= lim / f(x)dx = lim [F (t) — F (a)]
t-»fc- Ja t-»6-
© Lenka Přibylová, 20061
Najděte
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
o 1
dx
V horní mezi má integrál singularitu vlivem funkce, protože pro x = 1
1
funkce není definovaná. Jde o výraz typu
. Nelze spočítat určitý
integrál, protože v x = 1 neexistuje primitivní funkce.
o 1 — x        t-»i- Jo 1
dx = lim /--dx
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t z levého okolí x = 1 je nyní integrál určitý,
é   ■   ■   ■-ccllenk.wibylova.ml
o  1 — X t-»l- Jo 1 — X t-»l
dx = lim / -dx = lim T—In II
"1
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
o 1
dx = lim / -dx = lim ľ— ln II — x|L
t^i-Jo l-x        t^i-1      1 IJo
= lim (-ln II - t\ +lnl)
í->l-
| Dosadíme meze. I
o 1
dx = lim / -dx = lim [— ln II — x|L
t^i-Jo l-x        t^i-1      1 IJo
= lim (-lnll - t\ +lnl) = oo
t-»i-
Spočteme limitu. Integrál diverguje.
lim lnll - t\ = ln|0+| = oo
t-»i-
Definice - singularita v dolní mezi
y = /(*)
b x
fbf(x)dx= lim řf(x)dx= lim [F(b) - F(t)j
a t^a+ J t t^a+
EEl   Q 19
©LenkaPřibylová, 20060
Najděte / —r-7- dx.
O
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte /  —^7- dx.
o xl/i
V dolní mezi má integrál singularitu vlivem funkce, protože pro x = 0
1
funkce není definovaná. Jde o výraz typu -integrál, protože v x = 0 neexistuje primitivní funkce.
. Nelze spočítat určitý
Najděte
Jo x
1/3
dx.
1 ŕ 1
—=dx = lim /   —= dx
O   \f X ř^O+Jř
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t I z pravého okolí x = 0 je nyní integrál určitý,
bl   b   b   b-ccllenkwibylova.tol |
Najděte
o x
1/3
dx.
dx = lim
ř^0+ Jt
dx = lim
2/3
"1
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
Najděte
o x
1/3
dx.
dx = lim
ŕ^0+ J t
= - lim
2 ř^o+
: dx = lim
2/3
1
Zjednodušíme zlomek. Konstantu lze vytknout až před limitu.
Najděte
o x
1/3
dx.
dx = lim
ŕ^0+ J t
= - lim
2 ř^o+
: dX
lim
ř^0+
2/3
= - lim [ 4 - Vfl
2 ř^o+
Dosadíme meze.
Najděte
o x
1/3
dx.
dx
lim
ř^0+ Jt
= — lim
2 ř^o+
: dX
lim
= - lim
2 ř^o+
x2/3 2/3
4-
WA=6
Spočteme limitu.
lim Vfi = 0
■v
ii
Definice - singularita uvnitř intervalu integrace
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
NaJdětey0 (^1)273 d-
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
ŕ i
Najděte /---r-^ dx.
O   (X -I)2/3
1
2
dx
O   (X-l)2/3
Integrál má singularitu uvnitř intervalu integrace. Funkce není definovaná pro x = 1. Nelze spočítat určitý integrál, protože zde funkce není ohraničená.
|   ■   ■   ■-ccllenk.wibywa.mt
ŕ i
■dx = I--dx + /--——r dx
O   (X-l)2/3 Jo   (X-l)2/3        '  Jl   (X-1)2/3
J
Rozdělíme na dva nevlastní integrály s jednou singularitou.
(c) Lenka l-¥ibylovä, 2006
/O   (x -l)2/3
dx
= lim
1
O   (X- l)2/3 ř 1
dx +
1
1   (X- 1)2/3 . 2
dx + lim
dx
t^l-Jo   (X- I)2/3 r^l+iř    (X- 1)2/3
dx
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t I v levém resp. pravém okolí x = 1 jsou nyní integrály určité,
O   (x- l)2/3
dx
= lim
1
O   (X- l)2/3 ř 1
dx +
t^l-7o   (X- 1)2/3 ř
1
1   (X- 1)2/3 . 2
dx + lim
dx
1
lim
t-»i-
3\/x — 1
+ lim
t->i+
o
t^l+Jt    (X- 1)2/3 , 2
3\/x — 1
dx
1
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
^Lm^lllUIJlUUJ.lUUll
O   (x -l)2/3
dx
= lim
1
O   (X- l)2/3 ř 1
dx +
t^l-7o   (X- 1)2/3 ř
1
1   (X- 1)2/3 . 2
dx + lim
dx
1
lim
t-»i-
3\/x — 1
+ lim
r->i+
o
t^l+Jt    (X- 1)2/3 , 2
3\/x — 1
dx
= lim (3^-1 + 3) + lim (3-3^-11
1
Dosadíme meze.
^Lm^lllUIJlUUJ.lUUll
O   (x -l)2/3
dx
= lim
1
O   (X- l)2/3 ř 1
dx +
t^l-7o   (X- 1)2/3 ř
1
1   (X- 1)2/3 . 2
dx + lim
dx
1
lim
t-»i-
3\/x — 1
+ lim
r->i+
o
ř^l+Jř    (X- 1)2/3 , 2
3\/x — 1
dx
= lim (3^-1 + 3) + lim (3-3^-1) = 6
1
Spočteme limity.
^L^niupiuiuuu
Najděte
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
— dx
-1 x
Integrál má singularitu uvnitř intervalu integrace. Funkce není definovaná pro x = 0. Nelze spočítat určitý integrál, protože zde funkce není ohraničená.
1 1        ŕ í        r1 í
- dx =      - dx + /   - dx
-1 X J-l x Jo x
J
Rozdělíme na dva nevlastní integrály s jednou singularitou.
(c) Lenka l-¥ibylovä, 2006
r1 í        ŕ í        r1 í
/   - dx =      - dx + /   - dx
J-l X J-l x Jo x
ŕ l ŕ l
= lim /   - dx+ lim /   - dx
í->cr J-i x       t^o+ Jt x
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t I v levém resp. pravém okolí x = 0 jsou nyní integrály určité,
fl  1 fO  1 /-li
/   - dx =      - dx + /  - dx
J-l X J-l X Jo x
1 r1 1
= lim /   - dx + lim /   - dx
t-»0~ J-l X ř^0+ Jt x
= lim ílnlxll* . + lim ílnlxll,
t->o-L      J~1    ř^o+L Jř
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
1 1        ŕ í        r1 í
- dx =      - dx + /   - dx
-1 X J-l x Jo x
= lim /   - dx + lim /   - dx
t-»0~ i-l x t^0+ Jt x
= lim [lnlxll* . + lim [lnlxll^
t->o-L      J_1    ŕ^o+L Jŕ
= lim (ln Iři - lni) + lim (lni -ln Iři)
1
Dosadíme meze.
1 I
-1 X
dx
o i
-1 X
lim
t->o-
dx + 1
-1 x
1 1 o x
dx
dx + lim
ř^O+ Jt x
dx
= lim ílnlxll* . + lim ílnlxll^
lim (ln Iři - lni) + lim (lni -ln Iři)
Spočteme limity.
lim ln Iři = —oo
Integrál neexistuje.
Konec
©Lenka Přibylová, 2006