Metoda per partes
Robert Mařík a Lenka Přibylová 28. července 2006
Obsah
Metoda per partes 4
J (x + l)]nxdx............................. 4
J xsinxdx................................ 12
J(x-2)sm(2x)dx........................... 18
J xarctgxdx .............................. 25
Jlnxdx................................. 31
Vícenásobná per partes 37
^(x2 + l)sinxdx............................ 37
J(x2 + l)e-xdx............................. 47
EE1    El   13    133 ©Lenka Přibylová, 2006^
J x3 sin x dx............................... 64
j (x3 + 2x)e-xdx............................ 68
Řešení pomocí rovnice 72
/ e*cosxdx............................... 72
©Lenia Přibylová, 2006 B
Metoda per partes
BEI   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Vypočtěte / (x + 1) -\nxdx
Funkce je součinem polynomu a logaritmické funkce —► per partes.
J
(V) Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte / (x + 1) ■ In x dx\
(x + 1) lnxdx
u = In x u'
v' = x + 1 v
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u ■ v' dx = u ■ v — I u' ■ vdx
kde u = \nx a v' = x + 1.
Vypočtěte / (x + 1) ■ In x dx
(x + 1) lnxdx
	1
u = In x	u'=-
	X
	x2
v' = x + 1	V = ——h X
	2
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u ■ v' dx = u ■ v — I u' ■ v dx kde u = \nx a v' = x + 1.
Vypočtěte / (x + 1) ■ In x dx
(x + 1) lnxdx
	, ill
u = In x	m' = -
	x
	K2
v' = x + 1	v = — + x
	2
ln x I — + x
1 í x
x \ 2
+ x ] dx
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u ■ v' dx = u ■ v — I u' ■ v dx kde u = \nx a v' = x + 1.
Vypočtěte / (x + 1) ■ lnx dx
(x + 1) lnxdx
	1
u = lnx	
	x
	x2
v' = x + 1	0 = ——h X
	2
ln x [ — + x
+ x I ln x
1 /X2
x ^ 2
1
2
+ x J dx x + 1^ dx
B
Roznásobíme závorku.
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte / (x + 1) ■ lnx dx
(x + 1) lnxdx
	1
u = lnx	
	x
	x2
v' = x + 1	0 = ——h X
	2
ln x [ — + x
+ x I ln x
+ x ) ln x
1 /x2
x ^ 2
1
2
1 x2
+ x j dx x + 1^ dx
2 2
+ x   + c
J
Dokončíme integraci.
Vypočtěte / (x + 1) ■ ln x dx
(x + 1) lnxdx
	1
u = ln x	
	x
	x2
v' = x + 1	0 = — + x
	2
ln x [ — + x
x2		lnx
2	+ x	
x2	/ >^	lnx
2	+ x	
x2		lnx
	+ x	
T		
x ^ 2
1
2
1 x2
+ x j dx x + 1 ) dx
2 2
+ x   + c
x + c
BB1   Q 19
©Lenka Přibylová, 20060
Vypočtěte
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte / xsinxdx
x ■ sin x dx
	i
U = X	u =
v' = sin x	v =
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u ■ v' dx = u ■ v — I u' ■ v dx
kde u = x a v' = sin x.
-
Vypočtěte / xsinxdx
x ■ sin x dx
u = x
u' = 1
v = sin x     v = — cos x
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u ■ v' dx = u ■ v — I u' ■ v dx
kde u = x av' = sin x.
-
Vypočtěte / xsinxdx
x ■ sin x dx
u = x
v = smi
u' = l
■ COS X
x cos x — / 1 ■ (— cos x) dx
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u ■ v' dx = u ■ v — I u' ■ v dx
kde u = x a v' = sin x.
©LenkaPřibylová, 2006B
Vypočtěte / xsinxdx
]
x ■ sin x dx
u = x
u' = 1
v = sin x     v = — cos x
-x cos x — J 1 ■ (— cos x) dx -x cos x + f cos x dx
Upravíme.
Vypočtěte / xsinxdx
x ■ sin x dx
u = x
u' = 1
v = sin x     v = — cos x
= — x cos x — J 1 ■ (— cos x) dx
= —x cos x + j cos x dx = —x cos x + sin x + c
Integruje druhou část: / cos xdx = sin x
Cc) Lenka Wibylox
Vypočtěte   (x — 2) ■ sin(2x) dx
Funkce je součinem polynomu a sinu —► per partes.
Vypočtěte   (x — 2) ■ sin(2x) dx
(x — 2)sin(2x) dx =
u = x — 2 u' = v' = sin(2x)     v =
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u ■ v' dx = u ■ v — I u' ■ v dx
kde u = x — 2av' = sin(2x).
Vypočtěte   (x — 2) ■ sin(2x) dx
(x — 2)sin(2x) dx =
u = x-2       u' = 1
v' = sin(2x)     v = — - cos2x
(Platí
protože
v= j v'(x)dx= j sin(2x) dx = — - cos(2x),
sinxdx=—cosx      a       j f(ax + b) = -F(ax + b).
©Lenka Přibylová, 201
Vypočtěte   (x — 2) ■ sin(2x) dx
(x — 2)sin(2x) dx =
« = x - 2       u' = 1
v' = sin(2x)     v-   —-cos2x
= (x-2)
■cos(2x)
cos 2x dx
u - v' dx
u - v
u ■ v dx
^Lm^lllUIJlUUJ.lUUll
Vypočtěte   (x — 2) ■ sin(2x) dx
(x — 2)sin(2x) dx =
« = x - 2       u' = 1
v' = sin(2x)     v = — - cos2x
= (x - 2) ■ ^-^ cos(2x)^ - J 1 ■ ^-^ cos2x ) dx
1 1 f
= —-(x — 2)cos(2x) + 2 / cos2xdx
Vytkneme konstantu ( — - ) z integrálu.
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte   (x — 2) ■ sin(2x) dx
(x — 2)sin(2x) dx =
u = x — 2
u' = l
v' = sin(2x)     v = — - cos2x
(x-2) 1
; COs(2x)
cos 2x dx
2 (x — 2) cos(2x) + - J cos 2x dx
1 11
■-(x — 2) cos(2x) + - ■ - sin(2x) + c
Platí j cos(2x) dx =-sin(2x), protože
cosxdx = sinx      a      J f (ax + b) = -F(ax + b).
m Lenka l-¥ibylová, 2l}l}b 1
Vypočtěte   (x — 2) ■ sin(2x) dx
(x — 2)sin(2x) dx =
u = x — 2
v' = sin(2x)
v = — - cos 2x 2
(x-2) 1
; COs(2x)
cos 2x dx
^ (x — 2) cos(2x) + - J cos 2x dx
1 11
--(x — 2) cos(2x) + - ■ - sin(2x) + c
1 1
■-(x — 2) cos(2x) + - sin(2x) + c
1
Upravíme.
^Lm^lllUylUUJ.lUUU
Vypočtěte
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Vypočtěte / xarctgxdx.
x arctg x dx
Jedná se o součin polynomu a funkce arkustangens.
1
Vypočtěte / xarctgxdx.
x arctg x dx
	, 1
u = arctex	" = ~,-?
o	1 + x2
	X2
v = X	v = —
	2
I Budeme integrovat metodou per partes. Budeme integrovat polynom a I derivovat arkustangens.
fTTI-,''l«„l..IW-;.l-,l,.'»l|
Vypočtěte
^^fárctex^^^B —
x arctg x dx
— arctg x — „ 2      6      2 7 1 + x2
dx
V  = X
x^ ~2
uv' dx = uv — / u'v dx
Cc) Lenka L¥ibylo\
Vypočtěte
x arctg x dx
	, 1
u = arctex	" = -?
o	1 + x2
	X2
v = X	v = —
	2
— arcte x — „ . „ 2      6      2 7 1 + x2
d:
y arctg x - -
1+x2
dx
Racionální funkci, která není ryze lomená, dělíme:
(x2 + l) -1 _ x2 + l
x2 + l
x2 + l
x2 + l    x2 + l
= 1
x2 + l
Vypočtěte
x arctg x dx
	, 1
u = arctex	" = ~,-?
o	1 + x2
	X2
v = X	v = —
	2
— arctg x — . . _ 2      6      2 7 1 + x2
dx
— arctg x - -
1+x2
dx
= — arctgx — - [ x — arctgx j + c.
I K dokončení zbývá integrovat jedničku a jeden parciální zlomek. To I provedeme pomocí příslušných vzorců.
Bl   B   B   B-Cíl Lenka Wibyloví, 20061 |
Vypočtěte
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte / lnxdx
1 ■ ln x dx
u = lnx u'
v = 1 v
Funkci je součinem polynomu a logaritmické funkce:
1 ■ lnxdx.
Integrujeme per partes při volbě u = ln x a c' = 1.
-<£_
Vypočtěte / lnxdx
1 ■ In x dx
u = lnx u'
v' = 1
V = X
(lna:)' =
1
x
\dx = x
Vypočtěte / lnxdx
1 ■ In x dx
u = In x u'
v' = 1
V = X
= x ln x — I 1 dx
u ■ v' dx = u ■ v — I u' ■ v dx
1
Užijeme vztah —x = l.
x
I    ■    ■    ■-. L„l.W,l-;.k-...i«»%
Vypočtěte / lnxdx
1 ■ In x dx
u = lnx u'
v' = 1
V = X
= x ln x — I 1 dx
= xlnx — x + c
1 dx = x
1
Vypočtěte / lnxdx
1 ■ In x dx
u = lnx u'
v' = 1
V = X
= x ln x — I 1 dx
= xlnx — x + c = x (lnx — 1) + c
Vícenásobná per partes
BEI   Q 19
©Lenka Přibylová, 2006 EJ
Vypočtěte / (x2 + 1) sin x dx
BB1   Q B
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte / (x2 + 1) sin x dx
1
(x2 + 1) ■ sinxdx
u = x2 + 1     u' =
V  = SIM 27
Funkce je součinem polynomu a funkce sinus. Budeme integrovat per partes podle vzorce
u ■ v' dx = u ■ v — I u' ■ v dx
při volbě u = [x2 + 1) a v' = sinx.
—•>
—tt^—i—tttt:—i—.
Vypočtěte / (x2 + 1) sin x dx
}
(x2 + 1) ■ sinxdx
u = x2 + 1    u' = 2x
v = srn x       v = — cos x
(x2 + l)' = 2x sin x dx = — cos x
\_
EE1   Q Q
©LenkaPřibylová, 2006B
Vypočtěte / (x2 + 1) sin x dx
1
[x2 + 1) ■ sinxdx
u — x2 + 1    u' = 2x
v = sin x       v = — cos x
-(x2 + 1) cosx + 2 / x-cosxdx
u ■ v' dx = u ■ v — J u' ■ v dx Konstantní násobek 2 a znaménko minus dáme před integrál.
© Lenka Přibylová, HOOb 1
Vypočtěte / (x2 + 1) sin x dx
}
(x2 + 1) ■ sinxdx
u = x2 + 1    u' = 2x
v = srn x       v = — cos x
-(x2 + 1) cos x + 2 / x-cosxdx
	1
u = x	u =
v' = cos x	v =
1
Ještě jednou integrujeme per partes. Nyní u = x a v' = cos x.
Vypočtěte / (x2 + 1) sin x dx
)
(x2 + 1) ■ sinxdx
u = x2 + 1    u' = 2x
v = srn x       v = — cos x
-(x2 + 1) cos x + 2 / x-cosxdx
u = x
u' = 1
v = cos x     v = srn x
x' = 1 cos x dx = sin x
\_
BB1   Q Q
©LenkaPřibylová, 2006B
Vypočtěte / (x2 + 1) sin x dx
}
(x2 + 1) ■ sinxdx
u = x2 + 1    u' = 2x
v = srn x       v = — cos x
-(x2 + 1) cos x + 2 / x-cosxdx
u = x
u' = 1
v = cos x     v = srn x
= — (x2 + 1) cos x + 2\x sin x — j sin x dx
u ■ v' dx = u ■ v — I u' ■ v dx
^Lm^lllUylUUJ.lUUU
Vypočtěte / (x2 + 1) sin x dx
(x2 + 1) ■ sinxdx
u = x2 + 1    u' = 2x
v = smx
■ cos x
-(x2 + 1) cos x + 2 / x-cosxdx
u = x
u' = 1
v = cos x     v = srn x
= — (x2 + 1) cos x + 2\x sin x — j sin x dx ^ = —(x2 + 1) cosx + 2Íxsinx — (— cosx)) + c
1
Integrujeme sinus: / sin x dx = — cos x
m Lenka l%bylová, 'IWb
Vypočtěte / (x2 + 1) sin x dx
(x2 + 1) ■ sinxdx
u = x2 + 1    u' = 2x
v = smx
■ cos x
-(x2 + 1) cos x + 2 / x-cosxdx
u = x
u' = 1
v = cos x     v = srn x
= — (x2 + 1) cos x + 2\x sin x — j sin x dx '
= —(x2 + 1) cosx + 2^xsinx — (— cosx) j + c - (1 — x2)cosx + 2xsinx + c_
1
Upravíme.
^L^lllUyllJlUlUUU
Vypočtěte   (x2 + l)e xdx.
)
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Vypočtěte j(x2 + l)e xdx.
]
(x2 + l)-e xdx
"1
Integruje součin polynomu a exponenciální funkce.
Vypočtěte j(x2 + l)e xdx.
]
(x2 + l)-e x dx
u = x2 + 1    u' = 2x
v = e
v = —e
Integrujeme per partes.
Polynom budeme derivovat a exponencielu integrovat.
Nezapomeňme,že je   dx = —e .
rif
Vypočtěte j(x2 + l)e xdx.
]
(x2 + l)-e x dx
u - x2 + 1    u' = 2x
v' = e-x
v - — e
= -(x1 + l)e x + 2   xe x dx
Vzorec je
u ■ v' dx = u ■ v — / u' ■ vdx
Vypočtěte j(x2 + l)e xdx.
]
(x2 + l)-e x dx
u = x2 + 1    u' = 2x
v = e
v = —e
= -(x2 + l)e x + 2   xe x dx
U = X
u' = l
• Opět polynom krát exponenciální funkce.
• Opět integrujeme per partes. Opět derivujeme polynom.
I   B   M-•£> Lenka ťhbylova, UUU/.|
Vypočtěte j(x2 + l)e xdx.
]
(x2 + l)-e x dx
u = x2 + 1    u' = 2x
v' = e-x
v = — e
= -(x2 + l)e x + 2   xe x dx
u = x        u' = 1
(x2 + l)e x + 2[-xe x+    e xdx
1
Vzorec pro červenou část je / uvl dx = uv — / ulv dx, zbytek zůstane.
(č) Lenka l%bylová, 'IWb
Vypočtěte j(x2 + l)e xdx.
]
(x2 + l)-e x dx
u = x2 + 1    u' = 2x
v = e
v = —e
= -(x2 + l)e x + 2   xe x dx
U = X
u' = l
v = — e
-(x2 + l)e x + 2y-xe x+ je xdx -(x2 + l)e~* + 2{-xe~x - e~x) + c
1
e x áx = — e
(č) Lenka Fíibylová, 'IWb
Vypočtěte j(x2 + l)e xdx.
]
(x2 + l)-e x dx
u = x2 + 1    u' = 2x
v = e
v = —e
= -(x2 + l)e x + 2   xe x dx
U = X
u' = l
-(x2 + l)e x + 2y-xe x+ je xdx^ -(x2 + l)e~x + 2(-xe~x - e~x) + c= -e~x(x2 + 2x + 3) + c,
1
Vytkneme (— e x).
^Lm^lllUylUUJ.lUUU
Vypočtěte / ln2xdx
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Vypočtěte / ln2xdx
1 ■ ln2 x dx
u = ln2 x u'
v' = 1 v
Je zde součin polynomu a druhé mocniny logaritmu.
Upravíme funkci ln2x na součin (1) ■ (ln2x) a integrujeme per partes při volbě u = ln2 x a v' = 1
Vypočtěte / ln2xdx
1 ■ In2 x dx
o ,    2 In x
u = m x     u = -
v' = 1 v = x
(ln2x)' = 21nx(lnx)' = 21nx:
1 dx = x
Vypočtěte / ln2xdx
1 ■ ln2 x dx
/    2 ln x
u — ln x     u = -
v' = 1 v = x
x\n2x — 2 / lnxdx
u ■ v' dx = u ■ v — / u' ■ v dx
Vypočtěte / ln2xdx
1 ■ ln2 x dx
o , 21nx
u = m x     u = -
v' = 1 v = x
x\n2x — 2 / lnxdx
u = \nx u'
v' = 1 v =
Tento trik již známe: Napíšeme funkci ln x jako součin (1) ■ ln x a integrujeme per partes při volbě u = ln x a z/ = 1.
Vypočtěte / ln2xdx
1 ■ ln2 x áx
o ,    2 lnx
u = m x     u = -
v' = l
V = X
x ln2 x — 2 / lnxdx
u = lnx «'
o = x
(lnx)' =
1
x
1 dx = x
©LenkaPřibylová, 2006H
Vypočtěte / ln2xdx
1 ■ In2 x dx
o , 21nx
u = m x     u = -
v' = l
V = X
x\n2x — 2 / lnxdx
, 1
u = lux u
v' = 1 V = X
x ln2 x — 2 ( x ln x — / 1 dx
w ■ v' dx = u ■ v — I u' ■ v dx
Vypočtěte / ln2xdx
1 ■ ln2 x dx
o , 21nx
u = m x     u = -
v' = l
V = X
x\n2x — 2 / lnxdx
u = \nx u'
v' = í
V = X
x ln2 x — 2 ( x ln x — / 1 dx
= xln x — 2(xlnx — x]+c
1
Dopočítáme integrál z jedničky.
^L^iiiupiuiuuu
Vypočtěte / ln2xdx
1 ■ ln2 x dx
u = ln2 x     u' =
21nx
v' = l
V = X
x ln2 x — 2 / lnxdx
u = \nx u'
v' = í
V = X
x ln2 x — 2 ( x ln x — / 1 dx
= xln x — 2(xlnx — x]+c
x ln x — 2x ln x + 2x + c
1
Upravíme. Hotovo.
^Lm^lllUylUUJ.lUUU
Najděte
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte / x3 sin x dx.
x sin x dx =
derivace_H pri vare_H pri vare_derivace
U = X3 3x2 ÓX 6 O
integrace integrace integrace integrace
V = Sin X
cosx
sin x cos x sin x
• Třikrát integrujeme per partes, ale všechno zapíšeme do jednoho schématu.
• Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu.
• Červená šipka reprezentuje integrování.
J
v' = sin x — cos x — sin x cos x sin x
= —x3 cos x— (— 3x2sinx)+6xcosx—6 sin x + c
Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme.
I   ■   ■   ■-cclLenk.WibyWa.ilOlť
1
Najděte / x3 sin x dx.
x sin x dx =
u = x3	3x2	6x	6	0
v' = sin x	— cos x	— sin x	cos x	sin x
= —x3 cos x— (— 3x2sinx)+6xcosx—6 sin x + c = (—x3 + 6x) cos(x) + (3x2 — 6) sinx + c
Upravíme.
B El B B-,''L„l.!?^.Ul
Najděte / (x3 +2)e x dx.
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Najděte / (x3 +2)e x dx.
(x3 + 2x)e x dx
derivace_derivace     derivace derivace
U = X5 + 2x 3x + 2 6x
integrace integrace    integrace integrace
v = e
• Třikrát integrujeme per partes, ale všechno zapíšeme do jednoho schématu.
• Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu.
• Červená šipka reprezentuje integrování.
©Lenka Přibylová, 201
106 E
(x3 + 2x)e xdx
(xá + 2x)e~x-(3x2 + 2)e~x+(-6xe-x)-6e~x + c
Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme.
I   ■   ■   ■-(cl Lenka Wibylová, Mť
1
Najděte   (x3+2)e x dx.
J (x3 + 2x)e xdx
u = x3 + 2x	3x2 + 2	6x	6	0
v' = e~x	-e-x	e-x	-e-*	e-*
= -(x3 + 2x)e~x-(3x2 + 2)e-x+(-6xe-x)-6e-x + c = -e~x(x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6) + c = -e~x(x3 + 3x2 + 8x + 8) + c
Upravíme.
CeLmkaťhfcyWmi
Řešení pomocí rovnice
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Vypočtěte
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Vypočtěte / rcosidi.
)
e*-cosxdx
J
Integrujeme součin exponenciální a goniometrické funkce.
© Lenka Přibylova, 2006
Vypočtěte / rcosidi.
]
e*-cosxdx
u = e
u' = ex
v = cos x     v = sin x
Integrujeme per partes. Je jedno, jak zvolíme u a v'.
í~m-•£>Lenka ťhbylova,
Vypočtěte / e*cosxdx.
e*-cosxdx
u = e
u' = ex
v = cos x     v - sin x
= ex sin x —    ex sin x dx
Vzorec je
u ■ v' dx = u ■ v — / u' ■ vdx
_✓
Vypočtěte / e*cosxdx.
e*-cosxdx
u = e
u' = ex
v = cos x     v = sin x
= ex sin x —    ex sin x dx
v = sin x     v = — cos x
Opět součin exponenciální a goniometrické funkce.
Integrujeme per partes, nyní musíme zachovat stejnou volbu u a
v'.
Vypočtěte J ex cosxdx.j
/
ex -cosxáx
u — e
v = cos x     v = sm x
= ex sin x — / ex sin x dx
u	= ex	u' = ex
v'	= sinx	v =  — COS X
■x-.l
-ex cosxdx
Vzorec pro červenou část je / uv' dx = uv - J u'v dx, zbytek zůstane.
Vypočtěte / rcosidi.
)
ex cos xáx = ex sin x + ex cos x —    ex cos x dx
I Po dvou per partes jsme se dostali zpátky k integrálu, který chceme I spočítat.
Vypočtěte / rcosidi.
)
e cos xdx = e sin x + e cos x —    e cos x dx
2   e cos xdx = e sin x + e cos x + c
I Řešíme jako rovnici s neznámým integrálem, proto jej převedeme na levou stranu. Připíšeme integrační konstantu.
É   B   B   B-til Lenka Tylova, 20061
Vypočtěte / rcosidi.
)
ex cos xáx = ex sin x + ex cos x —    ex cos x dx
2 / ex cos xdx = ex sin x + ex cos x + c
ex cos xdx = — (sin x + cos x) + c
"1
Dělíme dvěma a dostáváme výsledek.
Konec
©Lenka Přibylová, 2006