Matematika L a II. Robert Mařík a Lenka Přibylová 23. května 2011 Obsah Základy matematické logiky Základní množinové pojmy Množina reálnych čísel a její podmnožiny Funkce Složená funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce Komplexní čísla Polynomy Celočíselné kořeny 59 Racionální lomená funkce 82 Číselné vektory 84 Lineární kombinace vektorů 101 Lineární závislost a nezávislost vektorů. 102 Matice 104 Operace s maticemi 108 Hodnost matice 127 Inverzní matice 132 Determinant matice 139 EE1 El Ba IBa ©Lenka Přibylová, 2011Q Soustavy lineárních rovnic 154 Gaussova eliminační metoda 159 Cramerovo pravidlo 160 Analytická geometrie v rovině 161 Kuželosečky 168 Analytická geometrie v prostoru 174 Významné plochy v prostoru 183 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 185 Limita funkce 187 Jednostranná limita 190 EE1 El Ba IBa ©Lenka Přibylová, 2011Q Nevlastní body 194 Nevlastní limita 196 Limita v nevlastním bodě 199 Spojitost funkce 200 Pravidla pro počítání s limitami 202 Výpočet limity funkce 206 Derivace funkce 208 Vzorce a pravidla pro derivování 214 Diferenciál funkce 217 Derivace vyšších řádů 219 EE1 El Ba IBa ©Lenka Přibylová, 2011Q Užití derivací k výpočtu limit 221 Monotónnost funkce. Lokální extrémy. 223 Konvexnost a konkávnost. Inflexní body. 226 Asymptoty funkce 229 Průběh funkce 231 Taylorův polynom 232 Integrální počet funkcí jedné proměnné 235 Základní vzorce a pravidla 237 Metoda per partes 240 Substituční metoda 242 EE1 El Ba IBa ©Lenka Přibylová, 2011Q Integrace racionálních lomených funkcí 245 Integrace goniometrických funkcí. 249 Integrace iracionálních funkcí. 250 Integrace složené exponenciální funkce 252 Určitý integrál 253 Newtonova-Leibnizova formule 257 Vlastnosti určitého integrálu 258 Výpočet určitého integrálu 259 Geometrické aplikace určitého integrálu 260 Nevlastní integrál 263 EE1 El Ba IBa ©Lenka Přibylová, 2011Q Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 266 Parciální derivace 272 Diferenciál a tečná rovina plochy 274 Lokální extrémy funkcí dvou proměnných 276 Absolutní extrémy 280 Integrální počet funkcí dvou proměnných 282 EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Základy matematické logiky Definice: Výrok je sdělení o jehož pravdivosti můžeme rozhodnout. Pravdivostní hodnotou výroku V je číslo p(V) = 1, pokud je výrok V pravdivý a p(V) = 0, pokud je výrok V nepravdivý. Logické spojky umožňují z jednotlivých výroků tvořit složitější. negace -^A není pravda, že A konjunkce A AB A a zároveň B disjunkce AVB A nebo B implikace A =>■ B jestliže A, pak B ekvivalence A o B A právě když B ©Lenka Přibylová, 2011Q Tabulka pravdivostních hodnot základních výroků: p(A) p(B) p (A A B) p (A V B) 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 p(A) p(B) p(A => B) p(A o B) 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Tautologie je složený výrok, který má vždy pravdivostní hodnotu 1 bez ohledu na to, jaké jsou pravdivostní hodnoty výroků, z nichž je utvořen. (-s Věta: Následující výroky jsou tautologie: AV^A, A o A, -.-.A<^A, (A =>■ ->A) =>■ -^A -.(A VB) o (-.A A-.B), -.(A AB) o (-.A V ^B) -■(A 4B)o(4A -iB), (AoB)o(^Ao^B) EE1 Q B ©Lenka Přibylová, 2011 Q Sdělení "celé číslo x je větší než ľ'není výrok, protože nelze rozhodnout o jeho pravdivosti či nepravdivosti. Teprve když za x dosadíme nějakou přípustnou konstantu, dostaneme výrok. Takovéto sdělení se nazývá výroková forma. Je-li V(x) výroková forma, pak její definiční obor je množina těch a takových, že V(cĺ) je výrok. Obor pravdivosti výrokové formy V(x) je množina těch a z definičního oboru, že V (a) je pravdivý výrok. Z výrokové formy můžeme vytvořit výrok dosazením konstanty z definičního oboru nebo tzv. kvantifikací proměnných. Kvantifikovaný výrok vytvoříme z výrokové formy tak, že udáme počet objektů, pro něž z výrokové formy utvoříme výrok pomocí kvantifikátoru "každý"(V), "alespoň jeden"(3), "nejvýše dva", "právě tři"atd. =>■ Příklady z logiky •<= EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Základní množinové pojmy Množina je soubor nějakých věcí nebo objektů, které nazývme prvky množiny. Přitom o každém objektu lze jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří. Množiny značíme zpravidla velkými písmeny A, B, C,..., jejich prvky malými písmeny a, b, c, x,.... Příslušnost, resp. nepříslušnost, prvku x do množiny A značíme x G A, resp., x £ A Množiny můžeme popsat např. výčtem prvků A = {1,4,7} nebo zadáním pravidla, které určí, zda daný prvek do množiny patří nebo ne A = {x : x je sudé A 0 < x < 7} = {0,2,4,6} ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Sjednocením množin A a B nazýváme množinu AUB = {x : x e AV x e B}, průnikem množin A a B nazýváme množinu ADB = {x : x e A A x e B}, rozdílem množin A a B nazýváme množinu A-B={x:xeAAx^B}. Prázdná množina je množina, která neobsahuje žádný prvek. Značíme ji 0. Množina, která obsahuje konečný počet prvků se nazývá konečná. Množina, která obsahuje nekonečný počet prvků se nazývá nekonečná. EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Základní číselné množiny mají pevně dohodnutá označení: Definice: N = {1,2,3,...}... množina přirozených čísel Z = {..., —3, —2, —1,0,1,2,3,...}... množina celých čísel [m 1 Q=< — : m G Z, iiéNL. množina racionálních čísel ]R = (—oo,oo)... množina reálných čísel I = ]R — Q ... množina iracionálních čísel C = {a + ib : a, b E ÍR} ... množina komplexních čísel EBl EJ Q ©Lenka Přibylová, 2011Q Množina reálnych čísel a její podmnožiny Definice: Podmnožinou B množiny A rozumíme libovolnou množinu, jejíž všechny prvky jsou obsaženy v množině A. Tuto vlastnost množiny B zapisujeme takto: B C A --^nnnnnnnv-- ■———— 1 Množinu ]R zobrazujeme jako přímku. Typickými podmnožinami množiny ]R jsou intervaly. EBl EJ Q ©Lenka Přibylová, 2011Q Otevřený interval (a, b) označujeme kulatými závorkami a na přímce úsečkou s prázdnými krajními body. 9-9 a < x < b i i -i-1- a b uzavřený interval {a, b) označujeme hranatými závorkami a na přímce úsečkou s plnými krajními body. a < x < b i i -i-1- a b Další možné typy intervalů jsou například tyto: -9 i i i -i-1- -1- a b a (a,b) {—co,a) a < x < b —oo < x < a ©Lenka Přibylová, 2011 Q Funkce Definice: Nechťjsou dány neprázdné množiny D a H. Pravidlo /, které každému prvku x E D přiřazuje právě jeden prvek y E H, se nazývá funkce. Zapisujeme y = f (x) nebo f : x —► y. Množina D = D (f) se nazývá definiční obor funkce /. Množina všech y E H, pro která existuje x E D s vlastností f (x) = y se nazývá obor hodnot funkce / a označujeme jej H (f). Pokud jsou D (f) a H(f) podmnožiny R, mluvíme o reálné funkci jedné reálné proměnné. Operace s funkcemi: Funkce lze sčítat, odčítat, násobit a dělit. Platí komutativní, asociativní EBl EJ B ©Lenka Přibylová, 2011EJ a distributivní zákon. (f±g)(x)=f(x)±g(x) Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů původních funkcí D(f) HD (g). gj g(x) Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů původních funkcí mimo bodů, kde je jmenovatel nulový: D(f)nD(g)-{x:g(x) = 0}. Další operací je skládání funcí. EE1 Q B ©Lenka Přibylová, 2011 Q Složená funkce Definice: Nechť u = g(x) je funkce s definičním oborem D(g) a oborem hodnot H(g). Nechť y = f(u) je funkce s definičním oborem D(f) D H(g). Složenou funkcí (f ° g)(x) = f(g(x)) rozumíme přiřazení, které Vx 6 D(g) přiřazuje y = f(u) = f(g(x)). Funkci g nazýváme vnitřní složkou a funkci / vnější složkou složené funkce. f°g EB El B 139 ©Lenka Přibylová, 2011Q Definice: Grafem funkce rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic [x,f(x)],x označujeme jako nezávislou proměnnou a y jako závislou proměnnou. EEI EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Vlastnosti funkcí Definice: Nechť/ je funkce a M C D (f) podmnožina definičního oboru funkce /. 1. Řekneme, že funkce / je na množině M zdola ohraničená, jestliže 3 d £ IR takové, že pro Ví E M platí d < f(x). 2. Řekneme, že funkce / je na množině M shora ohraničená, jestliže 3 h 6 ]R takové, že pro VieM platí f{x) < h. 3. Řekneme, že funkce / je na množině M ohraničená, je-li na M ohraničená zdola i shora. Nespecifikujeme-li množinu M, máme na mysli, že uvedená vlastnost platí na celém definičním oboru funkce f. i _._Á ©Lenka Přibylová, 20111 Graf zdola ohraničené funkce leží nad nějakou vodorovnou přímkou: y = f(x) ©Lenka Přibylová, 20111 Graf shora ohraničené funkce leží pod nějakou vodorovnou přímkou: BEI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Graf ohraničené funkce leží mezi nějakými dvěma vodorovnými přímkami: BEI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: 1. Řekneme, že funkce / je sudá, pokud pro \fx E D (f) platí, že -xeD(f) A /(-*)=/(*). 2. Řekneme, že funkce / je lichá, pokud pro Vx E D (f) platí, ze -x e D(/) A f(-x) = -f(x). EEI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Graf sudé funkce je symetrický podle osy y: y. y = f(x) EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Graf liché funkce je symetrický podle počátku: Definice: Nechť p 6 R, p > 0. Řekneme, že funkce / je periodická s periodou p, pokud pro Vx 6 D(f) platí x+peD(f) A f(x) = f(x + p). 1 1 1 V y = /(*) ©Lenka Přibylová, 20111 Definice: Nechť/ je funkce a M C D(f) podmnožina definičního oboru funkce /. 1. Řekneme, že funkce / je na množině M rostoucí, pokud pro Vxi,X2 £ M splňující < x2 platí /(^i) < /(*2)- 2. Řekneme, že funkce / je na množině M klesající, pokud pro Vxi,X2 £ M splňující xi < X2 platí/(xi) > f(x2). 3. Funkci / nazýváme ryze monotónní na množině M , je-li buď rostoucí nebo klesající. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Graf rostoucí funkce: BEI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Graf klesající funkce: BEI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Nechť/ je funkce a M C D(f) podmnožina definičního oboru funkce /. 1. Řekneme, že funkce / je na množině M neklesající, pokud pro Vx1,x2 £ M splňující *i < x2 platí /(xl) < /(*2)- 2. Řekneme, že funkce / je na množině M nerostoucí, pokud pro Vxi,X2 £ M splňující xi < x2 platí/(xi) > f(x2). 3. Funkci / nazýváme monotónní na množině M , je-li buď nerostoucí nebo neklesající. EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Graf neklesající funkce: BEI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Graf nerostoucí funkce: Následující on-line kviz obsahuje také otázky na vlastnosti funkcí, které budou teprve probrány, lze se k němu tedy později vrátit. =>■ Interaktivní kvizy na vlastnosti funkcí. •<= EE1 El Ba IBa ©Lenka Přibylová, 20111 Definice: Nechť/ je funkce a M C D(f) podmnožina definičního oboru funkce /. Řekneme, že funkce / je na množině M prostá, pokud pro Vxi, X2 E M splňující x\ 7^ X2 platí f(xi) 7^/(^2)- Graf prosté funkce protínají všechny vodorovné přímky nejvýše jednou: y = /(*) y \ \ \ ■ 0 \x \ \ BEI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Inverzní funkce Definice: Nechť / je prostá funkce. Funkci / , která každému y E H(f) přiřazuje právě to x G D (f), pro které platí y = f {x), nazýváme inverzní funkcí k funkci /. EBl E] Q ©Lenka Přibylová, 2011Q ©Lenka Přibylová, 2011Q =>■ Elementární funkce •<= =>■ Interaktivní kvizy na grafy funkcí v posunutém tvaru. •<= Poznámka 1 (výpočet inverzní funkce). Inverzní funkci k funkci y = f [x) určíme takto: zaměníme formálně v zadání funkce proměnné x a y, máme tedy x = f(y). Z této rovnice vyjádříme proměnnou y (pokud to lze). Protože je funkce / prostá, je toto vyjádření jednoznačné. =>■ Příklad na nalezení inverzní funkce •<= EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ U základních elementárních funkcí je inverzní funkce jiná základní elementární funkce: Vzájemě inverzní elementární funkce: y = \fx y = x2, x > 0 y = Vx y = xó y = ex y = lnx y = ax,a>0,a^l y = sinx, x G ( — n 17., k/2) y = arcsin x y = cos x, x (z (0, k) y = arccos x y = tgx, x G { — k/2, k/2) y = arctg x y = cotg x, x G (0, k) y = arccotg x ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 2. Platí tedy například: ln(e*) = x elnx = x arcsin(sinx) = x Příklad . Vypočtěte, pro které x platí lnx = 3. Použijeme inverzní funkci k logaritmické, kterou je funkce exponenciální a dostaneme: lnx = 3 elnM = e3 x = e3 = 20.0855 EEI EJ Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Komplexní čísla Definice: Komplexním číslem rozumíme uspořádanou dvojici reálných čísel a, b zapsanou ve tvaru z = a + bi (algebraický tvar komplexního čísla). Číslo a = Re z nazýváme reálnou, číslo b = Im z imaginární částí komplexního čísla z. Číslo z = a — bi nazýváme číslem komplexně sdruženým s číslem z. Definujeme operace součet a součin takto: z1 + z2 = (fli + a2) + (i>i + b2)i ziz2 = (aia2 — bib2) + (flii>2 + a2bi)í Tyto operace vycházejí ze základní definice i = s/—1. Platí tedy především i1 = -1. EEl Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta: Pro komplexní čísla Z\, z2, z3 platí • Z1 + Z2 = Z2 + Z\ • Z\Z2 ~ Z2Z;[ • Zi + (z2 + z3) = (Zi + z2) + z3 • Zi(z2Z3) = (Z!Z2)Z3 • Zi(z2+Z3) =z1z2 + z1z3 Zl Poznámka 3. Podíl — dvou komplexních čísel Zi,z2, z2 7^ 0, je komplexní Z2 Zl číslo, které vyjádříme v algebraickém tvaru a + bi tak, že zlomek — rozšíříme Z2 číslem z2 ©Lenka Přibylová, 20111 Příklad. 2 + 5z 3-4/ EEI EJ Q ©Lenka Přibylová, 2011 Příklad. 2 + 5z _ (2 + 5z)(3 + 4z) 3-4/ _ (3-40(3 + 4/) I Zlomek rozšíříme číslem 3 + 4z, protože je komplexně sdružené s I jmenovatelem 3 — 4z. Příklad. 2 + 5z _ (2 + 5z)(3 + 4z) _ -14 + 23; 3-4/ _ (3-40(3 + 4/) ~ 9 + 16 Roznásobíme, přitom 5 z ■ 4z = - -20 a ve jmenovateli použijeme vzorec (« + &)(« - b) = a2 - b2, kde (4z')2 = —16. Jmenovatel je tedy nutně reálné číslo. Příklad. 2 + 5/ _ (2 + 50(3 + 4/) _ -14 + 23/ _ 14 23. 3-4/ _ (3-4/)(3 + 4/) _ 9 + 16 ~25 + 25* I Dostáváme tak vždy výsledek v algebraickém tvaru. Geometrické znázornění komplexních čísel. Komplexní číslo z = a-\-bi znázorňujeme v Gaussově rovině: EE1 Q 19 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Absolutní hodnotou komplexního čísla z = a + bi rozumíme reálné číslo |z| = \/a2 + b2. V Gaussově rovině představuje |z| vzdálenost z od počátku. Platí |Z| = VZZ, |ZiZ2| = |Zi||Z2|. Zi +z2 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Goniometrický tvar komplexního čísla Každé nenulové komplexní číslo z = a + bi lze jednoznačně zapsat v goniometrickém tvaru z = r (cos cp + i sin cp), kde r = |z| a cp je úhel, který svírá průvodič komplexního čísla z s reálnou osou, platí tedy Re z Im z COS Cp = —r—r-, Sin Cp = —r—-. \z\ \z\ Číslo cp E (— 7T, 7i) se nazývá argument (nebo též amplituda) komplexního čísla z a značí se cp = Arg z. EEI EJ Q ©Lenka Přibylová, 2011 EJ I když se nebudeme zabývat funkcemi komplexní proměnné, poznamenejme alespoň, že e"? = cos cp + / sin cp. Dostáváme takto Eulerův tvar komplexního čísla z = r(cos cp + i sin cp) = re"?. Věta: Je-li z\ = r\(cos a + i sin a) a z2 = r2 (cos ß + i sin ß), pak z\ -z2 = r\em ■ r2elP = rir2el(-a+^ = rir2(cos(a + ß) + z'sin(a + ß)). BEI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 4. Pomocí násobení komplexních čísel lze elegantně odvodit základní goniometrické vzorce pro násobné argumenty, např. cos(2a) + řsin(2a) = <řla = ei{a+a^ = eia ■ eia = = (cos(a) + zsin(a)) ■ (cos(a) + zsin(a)) = = cos2 a. — sin2 a + i2 sin a cos a Věta (Moivreova věta): Je-li z = r(cos cp + z sin cp) = re"f, pak pro m G Z platí zm =rmeiq>m = r™ (cos m(j? + / sm m(j?). EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta (Odmocnina z komplexního čísla): n-tá odmocnina z komplexního čísla z = |z| (cos cp + i sin ) leží na kruhu s poloměrem \fz a jejich průvodiče rozdělují kruh na n stejných částí. Průvodič první z hodnot svírá s reálnou osou úhel —. n Im \ Z2 _ y \ / \ / \ 1 1 \ 1 \ \ \ ______*\ .----- 1 , *3 \ \ \ V /Re / \ / \ y V s - Z4 EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Polynomy Definice: Funkci P(x) = anxn + fl„_1x"_1 + ■ ■ ■ + a\X + a0, kde an 7^ 0, ao,...,an E IR nazýváme polynom stupně n. Čísla ao,...,an nazýváme koeficienty polynomu P(x). Koeficient se nazývá absolutní člen. Definice: Kořenem polynomu P(x) je číslo xq 6 C, pro které platí P(x0) = 0. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Je-li Xq kořenem polynomu, pak lineární polynom (x — Xq) s proměnnou x nazýváme kořenový činitel příslušný kořenu xq. Číslo xq je fc-násobným kořenem polynomu P, jestliže P(x) = (x — xqÝG(x), kde G je polynom a xq již není jeho kořenem. Věta (Základní věta algebry): Polynom stupně n má právě n komplexních kořenů. EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ /■- Věta: Kvadratická rovnice ax2 + bx + c = 0 má právě dva kořeny, a to -b ± Vb2 - 4ac Xl'2 =-2a-' EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Celočíselné kořeny /-N Věta (Homérovo schéma): Nechť f(x) = anxn + fl„_1x"_1 + ■ ■ ■ + a\X + a0, g(x) = bn^x"^1 + bn_2x"~2 H-----1- bix + b0 jsou polynomy. Je-li f(x) = (x — cc)g(x) + b_\, pak platí an = bn_i a b^-i = u-b^ + cifr, pro k = 0,1,...,n — 1. Homérovo schéma se používá k vypočtení funkční hodnoty polynomu v daném bodě. V případě, že je funkční hodnota nulová, je dané číslo kořenem polynomu. EEI EJ Q ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Nalezněte hodnotu polynomu P„(x) = x4 — 4x3 — Ax2 + 7vi= -3. I EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Nalezněte hodnotu polynomu P„(x) = x4 — 4x3 — 4x2 + 7 v x = —3. Do záhlaví tabulky sepíšeme sestupně všechny koeficienty. | ■ ■ ■ . l^nL.ItT-KVHiJ Nalezněte hodnotu polynomu P„(x) = x4 — 4x3 — 4x2 + 7 v x = —3. ] 1 -4 -4 0 7 -3 I Číslo -3 zapíšeme vlevo do záhlaví řádku. — Nalezněte hodnotupobynom^ — 4r^ —4i^ + 7vi=-3J 1 -4 -4 0 7 -3 1 I Sepíšeme hlavní koeficient. (c) Lenka Přibylová, 2U11 Nalezněte hodnotu polynomu P„(x) = x4 — 4x3 — Ax2 + 7 v x = —3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3-1 - 4= -7 Nalezněte hodnotu polynomu P„(x) = x4 — 4x3 — Ax2 + 7 v x = —3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3- (-7) - 4 = 17 -(cl Lenka Wibylová, 2l)H| Nalezněte hodnotu polynomu P„(x) = x4 — 4x3 — 4x2 + 7 v x = —3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 I Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme I následující koeficent: I -3-17-0 = -51 ■I ■ ■ ■-Cii Lenka Wibylová, 2011 Nalezněte hodnotu polynomu P„(x) = x4 — Ax3 — Ax2 + 7 v x = —3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3- (-51)+ 7= 160 -(cl Lenka Wibylová, 2l)H| Nalezněte hodnotu polynomu P„(x) = x4 — 4x3 — Ax2 + 7 v x = —3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Na posledním místě v řádku dostaneme hodnotu polynomu P(-3) = 160. Celočíselné kořeny polynomu Pn(x) s celočíselnými koeficienty lze pomocí Hornerova schématu hledat mezi děliteli absolutního členu an, jak je vidět z následujícího roznásobení: 2(x-2)(x + 3)(x2 + 5) = 2(x2 + x -6)(x2 + 5) = 2x4 + ...-60. Hornerovo schéma je také výhodné pro nalezení rozkladu na kořenové činitele, protože v případě dosazení kořene a (tedy b_\ = 0) po řádcích dělí polynom příslušným kořenovým činitelem (x — cĺ). ©Lenka Přibylová, 2011EJ Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 5xó - 9xz - 24x - 36 = 0. EE1 Q 19 ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. Vypíšeme dělitele čísla 36 (i záporné). Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. 1 1-5-9 -24 -36 I Budeme počítat hodnoty pomocí Hornerova schématu. Připravíme I si proto koeficienty polynomu z levé strany rovnice do tabulky. Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 I Dosadíme x = 1. Je-li P(x) polynom z pravé strany rovnice, vidíme, I žeP(l) = —72 a toto číslo x = 1 není kořenem. ■I ■ ■ ■-(cl Lenka Wibylovä, 2l)H Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 2Ax — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 I Podobně ani x = — 1 není kořenem. C£) Lenka Mibylovä, 2l)H Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou , ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 Ani x = 2 není kořenem. gen El ra iaa mfc, Přibylová, 2011 Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou , ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 -2 1 -1 -3 -3 -18 0 Nyní jsme zjistili, že x = —2 je kořenem. Levou stranu rovnice je tedy možno přepsat do tvaru (x + 2)(x4 - x3 - 3x2 - 3x - 18) = 0. Dál zkoumáme jenom polynom, který stojí v tomto součinu jako druhý. Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou , ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. -18 Dosadíme opět x = —2. Opět je toto číslo kořenem a levou stranu rovnice je možno přepsat do tvaru (x + 2)2(x3 - 3x2 + 3x - 9) = 0. Řešte v oboru celých čísel x + x — 5x — 9x — 2Ax — 36 Děliteli čísla 36 jsou , ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. -2 -2 1 -3 3 -9 -2 1 -5 13 -35 Dosadíme opět x = —2. Nyní již se o kořen nejedná. Protože na konci polynomu, do kterého nyní dosazujeme, stojí číslo 9, zajímáme se jen o dělitele tohoto čísla. Řešte v oboru celých čísel x + x — 5x — 9x — 2Ax — 36 Děliteli čísla 36 jsou ,±3, ,±9, -2 -2 1 -3 3 -9 -2 0 1 -5 1 0 13 3 -35 0 • Vyškrtneme čísla která nedělí číslo 9 a dosazujeme další na řadě, x = 3. • Vidíme, že x = 3 je kořenem. Řešte v oboru celých čísel x + x — 5x — 9x — 2Ax — 36 Děliteli čísla 36 jsou ,±3, -2 -2 0 1 0 3 Polynom má dvojnásobný kořen x = — 2 a jednoduchý kořen x = 3. I Koeficienty 1,0,3 znamenají, že v součinu stojí polynom I x2 + Ox + 3, který nemá reálné kořeny. ■I ■ ■ ■- '! L„LIW-;.1<-.. . II Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 2Ax — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou ,±3, -2 -2 0 1 0 3 Rozklad na součin je (x + 2)2(x — 3)(x2 + 3) = 0. ©Lenka Přibylová, 20111 Racionální lomená funkce P„(x) Definice: Funkce R(x) = " , kde P, Q jsou polynomy stupně Qtn{x) n, m,]e racionální funkce. Je-li n>m, nazývá se funkce R(x) neryze lomená, je-li n < m, nazývá se funkce R(x) ryze lomená. Věta: Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze lomené funkce. P„(x) Každou ryze lomenou funkci R(x) = " . . lze rozepsat na součet Qm{x) parciálních zlomků. V rozkladu na parciální zlomky přísluší každému r-násobému reálnému kořeni polynomu Qm{x) právě r parciálních BI B H Bl ©Lenka Přibylová, 2011KJ zlomků + -,-^ +----h ■ ax + b (ax + b)2 (ax + b)r' Dvojici s-násobných komplexně sdružených kořenů polynomu Qm(x) přísluší právě s parciálních zlomků B\X + Q B2x + C2 Bsx + Cs flx2 + bx + c (ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)s' Koeficienty A\, A2,..., Ar,B\,C\,B2,C2,..., Bs,Cs jsou určeny jednoznačně. =>■ Příklady na dělení polynomu polynomem •<= =>■ Příklady na rozklad na parciální zlomky •<= =>■ Interaktivní kvizy na racionální funkce a dělení polynomů. <í= =>■ Interaktivní kvizy na rozklad na parciální zlomky. •<= BI B H H ©Lenka Přibylová, 20111 Číselné vektory Ve fyzice a technických disciplínách se zkoumají veličiny • skalární: představují velikost - hmotnost, čas, teplota,... • vektorové: mají více složek, mohou popisovat kromě velikosti také směr a orientaci - síla, okamžitá rychlost, posunutí..., nebo mohou představovat data - časová řada, barva (RGB), souřadnice pozice ... ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Množinu R" uspořádaných n-tic reálných čísel a = (cii,a2,... ,an) s operacemi sčítání a násobení reálným číslem definovanými (alra2r. ■ -,an) + (blrbZr ■ ■.,b„) = (ai + blra2 + b2,...,an+bn) k{ai,a2l. ■ ■ ,an) = (kai,kci2,. ■ ■ ,kan) pro všechna A: £ IR a (a-y, a2,..., an), (b\, b2, ■ ■ ■, b„) G R" nazýváme lineárním vektorovým prostorem. Prvky tohoto prostoru, tj. uspořádané n-tice reálných čísel nazýváme vektory. Čísla a.\,...,an nazýváme složky vektoru a. Číslo n nazýváme dimenze (rozměr) vektoru a. Vektor (0,0,..., 0) dimenze n nazýváme nulovým vektorem. EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 6. Geometricky 2 a 3-rozměrné vektory zobrazujeme jako orientované průvodiče bodů: y A =[1,2] = [2,1-5] /(l,2p> 0 x Vektor v — ÁB je orientovaná úsečka spojující bod A s bodem B. Složky vektoru v jsou dány rozdílem souřadnic B — A. EEl Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Operace s vektory a= (1,2,1), b= (3,0,-1), c= (2,1,0) fl + 2-S-c EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Operace s vektory a= (1,2,1), b = (3,0,-1), c = (2,1,0) a+ 2 -b-c = (1,2,1)+ 2- (3,0,-1) - (2,1,0) = (1,2,1) + (6,0,-2) - (2,1,0) I Dosadíme za vektory a vynásobíme vektor b dvěma (násobíme tedy I každý prvek tohoto vektoru dvěma). dW B M- '! L„LIW-;.1<-.. . ll| | Operace s vektory a =(1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a+ 2 -b-c = (1,2,1)+ 2- (3,0,-1) - (2,1,0) = (1,2,1)+ (6,0,-2)-(2,1,0) = (1 + 6-2,2 + 0-1,1-2-0) I Sečteme (odečteme) odpovídající si komponenty vektorů. B B ■ Dl ^^■■■■■■■■■■^^'^^^■■■■■■■■■■■■■HPRRIlUylova.iUll Operace s vektory a =(1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a+ 2 -b-c = (1,2,1)+ 2- (3,0,-1) - (2,1,0) = (1,2,1)+ (6,0,-2)-(2,1,0) = (1 + 6-2,2 + 0-1,1-2-0) = (5,1,-1) Upravíme. Operace s vektory a= (1,2,1), £=(3,0,-1), c= (2,1,0) fl + 0 Přičteme-li k libovolnému vektoru nulový vektor, Operace s vektory a = (1,2,1), £=(3,0,-1), c = (2,1,0) fl + 0 = (1,2,1) + (0,0,0) ©Lenka Přibylová, 2011Q Operace s vektory a= (1,2,1), £=(3,0,-1), c= (2,1,0) a + 0= (1,2,1)+ (0,0,0) = (1,2,1) = a původní vektor se nemění, protože ke každé komponentě přičteme nulu. Operace s vektory a= (1,2,1), b= (3,0,-1), c= (2,1,0) fl + 0= (1,2,1)+ (0,0,0) = (1,2,1) = a O-a + 0-b + O-c Násobení skalární nulou Operace s vektory a= (1,2,1), £=(3,0,-1), c= (2,1,0) a + 0= (1,2,1)+ (0,0,0) = (1,2,1) = a 0-a + 0-b + 0-c= (0,0,0) = 0 je nulový vektor, protože každý vektor po vynásobení nulou přejde na nulový vektor a součet nulových vektorů je opět nulový vektor. B g ■ B--BBBBBBBBBBBBBI Operace s vektory a= (1,2,1), £=(3,0,-1), c= (2,1,0) a + 0= (1,2,1)+ (0,0,0) = (1,2,1) = a 0-a + 0-b + 0-c= (0,0,0) = 0 a + b-2-c Někdy nulový vektor dostaneme i jako součet nenulových vektorů. Operace s vektory a= (1,2,1), £=(3,0,-1), c= (2,1,0) a + 0= (1,2,1)+ (0,0,0) = (1,2,1) = a O-a + 0-b + O-c = (0,0,0) = 0 a + b-2-c= (1,2,1)+ (3,0,-1) - (4,2,0) = (0,0,0) ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Vektor —a = —1 ■ a nazýváme vektorem opačným k vektoru a. Definice: Velikostí vektoru a nazveme nezáporné číslo a\ + a\-\-----Y a\ = y Y^af- Vektor a nazveme jednotkovým vektorem, jestliže \a\ = 1. Velikost vektoru a = (-2,1,4,0, -3) je \a\ = \/4 + 1 + 16 + 9 = VŠO. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Skalárním součinem vektorů a = (fli,«2/- • ->an), b (b\, bi,...,b-n) nazýváme číslo a ■ b = a.\ ■ b\ + «2 ■ bi + ■ ■ ■ + an ■ bn = ^ a{b{. Skalární součin je možné vyjádřit také jako číslo a ■ b = \a\ ■ \b\ ■ cos q kde q> je úhel, který svírají vektory a a b. Naopak tedy pro nenulové vektory platí, že svírají úhel cp, pro který platí a ■ b cos cp cp = arccos a\ ■ \b\ a ■ b a\ ■ \b\ ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Úhel, který svírají vektory a = (2, —1,3,2), b = (1,—2,—2,1) splňuje 2+2-6+2 0 cos co = -= , = 0, V4 + 1 + 9 + VI +4 + 4+1 V18 ■ 10 cp = | = 90° Vektory jsou kolmé (ortogonální) O je jejich skalární součin roven nule. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Lineární kombinace vektorů Definice: Nechť u\, ui, ■ ■ ■, un jsou vektory stejné dimenze a klrk2,...,kn 6 R. Vektor n v = k\Ú\ + /<2«2 + ■ ■ ■ + knun = kiiii í'=l nazýváme lineární kombinací vektorů U\, «2,.. .,un. Příklady na lineární kombinaci vektorů. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Lineární závislost a nezávislost vektorů. Definice: Vektory U\, Ui, ■ ■ ■, un nazýváme lineárně závislé, je-li aspoň jeden z vektorů lineární kombinací ostatních. V opačném případě je nazýváme lineárně nezávislé. Věta: Vektory u-y, Ui, ■ ■ ■, un jsou lineárně nezávislé O nulový vektor je právě jen jejich nulovou lineární kombinací, tj. Ô = k\Ui + k2U2 + ■ ■ ■ + knun právě pro k\, ki, ■ ■ ■ ,kn = 0. EBI EJ Q ©Lenka Přibylová, 2011EJ Věta: Platí-li O = k\Ui + k2U2 + ■ ■ ■ + k„u„ a alespoň jedno kt je nenulové, jsou vektory u-y, «2, ■ ■ ■, un lineárně závislé. Poznámka 7. Vektory jsou jistě závislé, pokud • je mezi nimi alespoň jeden nulový. • jsou mezi nimi dva vektory stejné. • je-li některý vektor násobkem jiného. Definice: Báze vektorového prostoru dimenze n je libovolná lineárně nezávislá soustava n vektorů. Věta: Libovolný vektor vektorového prostoru je lineární kombinací vektorů báze. Báze tedy generuje celý vektorový prostor. EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Matice Definice: Maticí typu m x n rozumíme uspořádané schéma A = I au «21 «12 «22 «13 «23 \«ml «wj2 maj 1,. «ln\ «2n a mn kde E IR pro i = 1,.. ných matic typu m x n označujeme symbolem ]R zapisujeme Amxn = (fl,-y) . n. Množinu všech reál-mxn. Zkráceně EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Je-li m = n nazývá se matice A čtvercová matice a často říkáme, že je řádu n místo typu n x n. Je-li A čtvercová matice, nazýváme prvky tvaru a,-,-, tj. prvky, jejichž řádkový a sloupcový index jsou stejné, prvky hlavní diagonály. Definice: Matice Amxn = (a^), kde = 0 pro všechna i = 1,..., m a j = 1,..., n se nazývá nulová matice. Definice: Jednotková matice je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále jedničky a na ostatních místech nuly. Jednotkovou matici značíme I. Definice: Schodovitá (stupňová) se nazývá matice, jejíž každý řádek začíná větším počtem nul než předcházející. EBl EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ /3 4 2 -1 1 A = í O 3 1 1 1 \0 O O 2 O Matice A je schodovitá, matice B není schodovitá - druhý a třetí řádek začíná stejným počtem nul. Definice: Buď A = £ Rmx". Matice AT = (fl;-,-) e Rnxm, tj. matice, která vznikne záměnou řádků a sloupců matice A, se nazývá matice transponovaná k matici A. ^—- i ©Lenka Přibylová, 2011 Q (2-1 2 \ 3 1 -2 2 O 1 \4 -2 i y ( 2 3 2 4 \ AT = -1 1 0-2 \ 2 -2i i y ©Lenka Přibylová, 2011 Operace s maticemi /- Definice: • Nechť A = (ciij), B = (bij) £ Rmx". Součtem matic A a B rozumíme matici C = (cjj) G Rmx", kde Cjj = + bjj. Zapisujeme C = A + B. • A = (ciij) E Rmxn a k E R Součinem čísla k a matice A rozumíme matici D = (d^) £ Rmx", kde djj = k ■ a^. Zapisujeme D = k A. S maticemi tedy pracujeme stejně jako s čísly, sčítáme a číslem násobíme jednotlivé prvky. Platí proto komutativní, asociativní i distributivní zákon. EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. | \ 1 -2 X\ + 0 1 3 \2 4 1/ EEl Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3.1 -3 3N I Při sčítání sčítáme odpovídající komponenty zvlášť. EB B B M -^^■■■■■i^^—UJLeAkalJnbylova.JUll Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3.1 '2-1 2 \ /l -2 1\ /3 -3 3N 3 1 -2 + 0 1 3 = I 3 2 1 a 0 1 / \2 4 1/ I Při sčítání sčítáme odpovídající komponenty zvlášť. Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. 2-1 2 \ /l -2 1\ /3 -3 3\ 3 1 -2 + 0 1 3 = 3 2 1 20 1/ \2 4 1/ \442y I Při sčítání sčítáme odpovídající komponenty zvlášť. EB B B M ^"^i**"-*"*^^^- UJLeAkalJnbylova.JUll Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. Při násobení matice číslem násobíme každou položku matice samostatně. Definice: A = e RmxP a B = (ř>,;) e RPX". Součinem matic A a B (v tomto pořadí) rozumíme matici C = (c(j) G Rmxn, kde p cí; = ailb\j + flí'2^2; + " " " + aipbpj = ^ ^ik^kj = ai ' bj k=l pro všechna f = 1,..., m, j = 1,..., n, tj. prvek na /-tém řádku a /-tém sloupci vznikne jako skalární součin z-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Zapisujeme C = AB (v tomto pořadí). EEl EJ Q ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Vynásobte matice (2-1 2 \ / 2 4\ 3 1 -2-12 \2 0 1 ] \ 3 l) \A-B = C, Cjj = Y^aikbkj k :j Lenka Přibylová, 2011 II ^ynásobte^naticej '2-2+(-l)-(-l)+2-3 Na místě i j ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. Vynásobte matice <2 3 1 a o i '2-2+(-l)-(-l)+2-3 2-4-1-2 + 2-ť Na místě i j ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. Vynásobte matice 1 '2-2+(-l)-(-l)+2-3 3-2 + 1 ■ (-1) -2-3 2-4-1-2 + 2-r Na místě i j ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. Vynásobte matice 1 '2-2+(-l)-(-l)+2-3 3-2 + 1 ■ (-1) -2-3 I Na místě i j ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku I matice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je I tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. ■I ■ ■ ■—■^■■■■■■■■p^—1; i«„i.. i .. 111 i Vynásobte matice 1 '2-2+(-l)-(-l)+2-3 3-2 + 1 ■ (-1) -2-3 2-2 + 0-(-l) + l-3 I Na místě i j ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku I matice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je I tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. ■I ■ ■ ■--^■■■■■■■P"^—© Lenka lJnbylova,2UU| | Vynásobte matice 1 '2-2+(-l)-(-l)+2-3 2 3-2 + 1 ■ (-1)-2-3 3 2-2 + 0-(-l) + l-3 2 4-1-2 + 2-r 4 + 1-2-2-1 4 + 0-2 + 1 -1. I Na místě i j ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku I matice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je I tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. ■I ■ ■ ■--^■■■■■P^^-■ Lenka ťnbyW, 2UU | | Vynásobte matice (2-1 2 \ / 2 4\ 3 1 -2-12 \2 0 1 ] \ 3 l) /2-2+(-l)-(-l)+2-= 3-2 + 1 ■ (-1) -2-3 \ 2-2 + 0-(-l) + l-3 2- 4-l-2 + 2-l\ /ll 8\ 3- 4 + l-2-21 = -l 12 2-4 + 0-2 + 1 -1) \7 9 J Sečteme. Vynásobte matice (2-1 2 \ / 2 4\ 3 1 -2-12 \2 0 1 ] \ 3 l) /2-2+(-l)-(-l)+2-3 = 3-2 + 1 ■ (-1) -2-3 \ 2-2 + 0-(-l) + l-3 2 4-1 2 + 2 1\ /ll 8\ 3 4 + 1 2-2 1 = -1 12 2 4 + 0 2 + 1 1/ W 9/ / 2 4\ (2-1 2 \ -12-3 1 -2 \ 3 1/ \2 0 1 y Pro matice NEPLATÍ komutativní zákon. Násobíme-li matice v opačném pořadí, Vynásobte matice 3 2 4-1 2 + 2 1\ /ll 8\ 3 4 + 1 2-2 1 = -1 12 2 4 + 0 2 + 1 1/ \7 9/ -1 2 1 — 2 | = není definováno 0 1 neodpovídají dokonce ani počty členů skalárního součinu. Komutativní zákon ale neplatí ani pro čtvercové matice. Věta: Součin matic je asociativní a distributivní zprava i zleva vzhledem ke sčítání, tj. platí A(BC) = (AB)C (asociativita) A(B + C) = AB + AC (levý distributivní zákon) (B + C)A = BA + CA (pravý distributivní zákon) vždy, když tyto operace mají smysl. Součin matic není komutativní. Věta: Buď A matice. Pak platí IA = A a AI = A vždy, když je tento součin definovaný. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Hodnost matice Definice: Buď A matice. Hodností matice rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A označujeme h(A). Věta: Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaruje rovna počtu jejích nenulových řádků. ©Lenka Přibylová, 20111 (2 2 2 3 —1 5\ 0 0 1 0 0 3 0 0 0 -1 2 1 \0 0 0 0 0 0/ je ve schodovitém tvaru ah(A) = 3. (2 2 2 3 -1 5 \ 0 0 1 0 0 3 0 0 3 -1 2 1 \0 0 0 1 1-2/ není ve schodovitém tvaru a její hodnost na první pohled nepoznáme. EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Definice: Následující úpravy nazýváme ekvivalentní: • záměna pořadí řádků • vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem • přičtení řádku (nebo jeho násobku) k jinému řádku • vynechání řádku složeného ze samých nul Definice: Dvě matice A, B nazýváme ekvivalentní, jestliže lze matici A převést na matici B konečným počtem ekvivalentních úprav. Značíme A ~ B. Věta: Ekvivalentní matice mají stejnou hodnost. ©Lenka Přibylová, 20111 Poznámka 8. Ekvivalentní matice mají stejnou nejen hodnost, ale také řádky matice jako vektory generují stejný vektorový prostor. Matice vznikly původně pro zjednodušený zápis soustav rovnic. Řádek matice odpovídá jedné rovnici soustavy. Ekvivalentní úpravy matice jsou totéž jako úpravy, které provádíme s řádky soustavy při hledání řešení (záměna pořadí řádku - rovnic, vynásobení řádku - rovnice nenulovým číslem, atd.). Matice jsou tedy ekvivalentní ve smyslu zachovávání řešení odpovídající soustavy rovnic. Xi + 3x2 — X3 = 0 ■ (—2) 2xi + X2 + X3 = 0 přičteme k druhé rovnici Xi + 3x2 — X3 = 0 —5x2 + 3x3 = 0 1 3 -1\ l 3 -1 2 1 1 j ~ [o -5 3 ©Lenka Přibylová, 20111 Věta: Libovolnou matici lze konečným počtem ekvivalentních úprav převést do schodovitého tvaru. Věta: Transponování nemění hodnost matice. Definice: Čtvercová matice typu n x n, která má hodnost n, se nazývá regulární. =>■ Příklady na výpočet hodnosti matice. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Inverzní matice Definice: Buď A E Rnxn čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A-1 řádu n, splňující vztahy A'1 A = 1 = AA-\ nazýváme matici A-1 inverzní matici k matici A. eeeee—"-—----' Věta: Nechť matice A je čtvercová. Potom inverzní matice A-1 existuje právě tehdy, když je matice A regulárni, tj. má nezávislé řádky. EEI EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011 EJ ^Nás^benTinverzní^ A ■ X = B EE1 Q 19 ©Lenka Přibylová, 2011 EJ ^Nás^beníjnverm A ■ X = B A-1 -(A-X)= A~l -B I Vynásobíme zleva maticí inverzní. . Lenka IWbylová.Mi Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení A ■ X = B A-1 -(A-X)= A~l -B (A-1 ■ A)-X = A-1 -B Použijeme asociativní zákon pro násobení. ©Lenka Přibylová, 2011 Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení A ■ X = B A-1 -(A-X)= A~l -B (A-1 ■ A)-X = A-1 -B I-X = A~l -B I Použijeme definici inverzní matice. . Lenka IWbylová.Mi Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení A ■ X = B A-1 -(A-X)= A~l -B (A-1 ■ A)-X = A-1 -B I-X = A~l -B _X = A-1 ■ B Jednotková matice je neutrálním prvkem vzhledem k násobení. Teď už vidíme, že pokud bychom násobili inverzní matici zprava, obdrželi bychom vztah A-X-A-1 = B-A-\ ze kterého hledané X nelze vyjádřit. Poznámka 9. Inverzní matici k regulární čtvercové matici A hledáme pomocí řádkových ekvivalentních úprav tak, že převádíme matici A na matici jednotkovou a tytéž úpravy současně provádíme na vedle zapsané jednotkové matici. Z jednotkové matice takto vznikne matice inverzní A-1. =>■ Příklady na výpočet inverzní matice. •<= EEI EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Determinant matice Definice: Permutací o n-prvcích rozumíme uspořádanou n-tici ki,k2,■ ■ ■,kn, která vznikla přeskládáním čísel 1,2,...,n. Inverzí rozumíme záměnu z-tého a j-tého prvku v permutaci. Definice: Buď A E Rnxn čtvercová matice řádu n. Determinant matice A je reálné číslo det A = E( ~1) Paíh a2k2 ■ ■ ■ a„kn přes všechny permutace sloupcových indexů. Číslo p je počet inverzí dané permutace. Zapisujeme také det A = |A| = |fl;y|. ©Lenka Přibylová, 20111 Poznámka 10. Podle definice je determinant číslo, které vznikne jako součet všech možných součinů prvků ze všech řádků, ale různých sloupců. Tato definice není příliš vhodná pro výpočet determinantu matice vysokého řádu, protože počet sčítanců rychle roste. Pro matici řádu n je počet permutací n\. Pro matici řádu 1 a 2 je podle definice výpočet determinantu jednoduchý: n = 1 : det A = an n = 2 : det A = «n«22 — a\iai\ Pro matici řádu 2 říkáme předpisu pro determinant křížové pravidlo, protože prvky matice násobíme do kříže: flll «12 fl2l «22 «H«22 — a\2a2\ ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí all a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 «ll«22fl33— flllfl23fl32 —«12fl21fl33 +fll2«23fl31+fl13fl21fl32—«13fl22fl31 Determinant je číslo, které vznikne jako součet všech součinů prvků v různých řádcích a soupcích a ±1. ■TT ©Lenka Přibylová, 20111 | Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí all a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 «ll«22fl33— flllfl23fl32 —«12fl21fl33 +fll2«23fl31+fl13fl21fl32—«13fl22fl31 «11 fli2 «13 «21 «22 fl23 «31 «32 «33 «H «12 «13 «21 «22 «23 I Jednoduchý způsob, jak všechny tyto členy najít je tzv. Sarussovo I pravidlo, kdy nejprve opíšeme první dva řádky matice pod I determinant, ■I ■ ■ ■-Cii Lenka Wibylová, 20111 | Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí all a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 «ll«22fl33— flllfl23fl32 —«12fl21fl33 +fll2«23fl31+fl13fl21fl32—«13fl22fl31 «11 fli2 «13 «21 «22 fl23 «31 «32 «33 «H «12 «13 «21 «22 «23 «H«22«33 sečteme součiny na všech diagonálách ©Lenka Přibylová, Slili Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí all a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 «ll«22fl33— flllfl23fl32 —«12fl21fl33 +fll2«23fl31+fl13fl21fl32—«13fl22fl31 «11 fli2 «13 «21 «22 fl23 «31 «32 «33 «H «12 «13 «21 «22 «23 «H«22«33 + «21fl32fl13 sečteme součiny na všech diagonálách ©Lenka Přibylová, ■■ Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí all a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 «ll«22fl33— flllfl23fl32 —«12fl21fl33 +fll2«23fl31+fl13fl21fl32—«13fl22fl31 «11 fli2 «13 «21 «22 fl23 «31 «32 «33 «H «12 «13 «21 «22 «23 «H«22«33 + «21fl32fl13 + fl31fl12fl23 sečteme součiny na všech diagonálách ©Lenka Přibylová, 2[jii Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí all a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 «ll«22fl33— flllfl23fl32 —«12fl21fl33 +fll2«23fl31+fl13fl21fl32—«13fl22fl31 «11 fli2 «13 «21 «22 fl23 «31 «32 «33 «H «12 «13 «21 «22 «23 «H«22«33 + «21fl32fl13 + fl31fl12fl23 —«31«22«13 a odečteme součiny na protisměrných diagonálách. Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí all a12 a13 «21 «22 a23 a31 a32 a33 «ll«22fl33—flllfl23fl32—fl12fl21fl33 +«12«23fl31+fl13fl21fl32—fl13fl22fl31 «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 «H «12 «13 «21 «22 «23 «H«22«33 + «21fl32fl13 + fl31fl12fl23 —«31«22«13 — «ll«32fl23 a odečteme součiny na protisměrných diagonálách. Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 «11«22«33— «11«23«32—«12«21«33 +«12«23«31+«13«21«32—«13«22«31 «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 «11 «12 «13 «21 «22 «23 «11«22«33 + «21«32«13 + «31«12«23 —«31«22«13 — «11«32«23 — «21«12«33 a odečteme součiny na protisměrných diagonálách. f-> Věta: Následující operace nemění hodnotu determinantu matice: • přičtení lineární kombinace ostatních řádků (sloupců) k jinému řádku (sloupci) • ponechání jednoho řádku (sloupce) beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku (sloupce) k ostatním řádkům (sloupcům) matice • transponování matice EBl EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Věta: Následující operace mění hodnotu determinantu popsaným způsobem: • přehozením dvou řádků (sloupců) determinant mění znaménko • vydělíme-li jeden řádek (sloupec) nenulovým číslem a, zmenší se hodnota determinantu a-krát (tj. z řádku nebo sloupce lze vytýkat) Poznámka 11. Podle předchozí věty, platí 2 4 8 -12 4 0 1 12 1 2 4 -12 4 0 1 12 ■2-4- 1 2 1 -1 2 1 0 1 3 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta: Čtvercová matice A má závislé řádky O det A = 0. Věta: Ke čtvercové matici A existuje matice inverzní O A je regulární, tj. O det A ^ 0. Věta: Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků v hlavní diagonále. EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Definice: Nechť A je čtvercová matice řádu n. Vynecháme-li v matici A z-tý řádek a j-tý sloupec, označujeme determinant vzniklé submatice Mjj a nazýváme jej minor příslušný prvku a^. Číslo Aíj = {-íy+JMij nazýváme algebraický doplněk prvku a-Xy ©Lenka Přibylová, 2011 Q r- Věta (Laplaceův rozvoj determinantu): Pro libovolný sloupec, resp. řádek, determinantu A platí n det A = dijAy + «2/^2/ + ' ' ' + ttnjAnj = aij^ij, z'=l n det A = + ai2Ai2 + ■ ■ ■ + ainAin = ^ a^A^, tj. determinant se rovná součtu všech součinů prvku a jeho algebraického doplňku libovolného sloupce nebo řádku. Poznámka 12. Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, je vhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků. Příklady na výpočet determinantu matice. EBl EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Soustavy lineárních rovnic Uvažujme následující tři problémy: Najděte všechna reálná čísla X\, x2, splňující: Úloha 1 Axi + 5x2 = 7 Xi — 2x2 = 4 2 : (l) Xl+ [-2) *2= [l Úloha 3 Všechny problémy jsou ekvivalentní a jedná se o jiný zápis téhož. EE1 El Ba IBa ©Lenka Přibylová, 20111 Definice: Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých nazýváme soustavu rovnic «11*1 + #12*2 + a13x3 + ' ' ' + d\nxn = b\ «21*1 + «22*2 + #23*3 + ' ' ' + a2nxn = ^2 a3iXi + fl32x2 + a33x3 H-----h a3nxn = b '3 amlxl + am2x2 + am3x3 + ' ' ' + amnxn — bm Proměnné X\, x^, ■ ■ ■, xn nazýváme neznámé. Reálná čísla fl,y nazýváme koeficienty levých stran, reálná čísla bj koeficienty pravých stran soustavy rovnic. Řešením soustavy rovnic rozumíme uspořádanou n-tici reálných čísel \t\,ti,...,i n\ pO jejichž dosazení za neznámé (v tomto pořadí) do soustavy dostaneme ve všech rovnicích identity. ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Definice: Matici / fln «12 «13 «21 «22 «23 \flml Q-rnl «m3 nazýváme maticí soustavy. Matici / «n «12 «13 «21 «22 «23 \ «ml «wj2 «m3 nazýváme rozšířenou maticí soustavy. «i„ \ «2„ clmn j «1„ «2„ b2 bm J EEl Q 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 13 (maticový zápis soustavy lineárních rovnic). / «11 «12 ' «ln \ íxx\ «21 «22 ' «2n b2 \am\ «m2 «mn / \x„J \bmj Ax = b. Definice: Platí-li v soustavě Ax = b b\ = bz = ■ ■ ■ = bm = 0, tedy Ax = 0, nazývá se soustava homogenní. EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Poznámka 14. Homogenní soustava lineárních rovnic Ax = 0 je vždy řešitelná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice x\ = 0, x2 = 0..... xn = 0 je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy bud' existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Věta (Frobeniova věta): Soustava lineárních rovnic Ax = b je řešitelná právě tehdy, když matice soustavy A a rozšířená matice soustavy Ar = (A\b) mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar). • Soustava nemá řešení, pokud h(A) j^h(Ar). • Soustava má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(Ar) = n. • Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h(A) = h(Ar) < n. Tato řešení lze vyjádřit pomocí (n — h(A)) nezávislých parametrů. EBl EJ B ©Lenka Přibylová, 2011EJ Gaussova eliminační metoda Převedením rozšířené matice soustavy na schodovitý tvar zjistíme, zda je soustava rovnic řešitelná (Frobeniova věta). V případě, že h(A) = h(Ar), řešíme soustavu tzv. Gaussovou eliminační metodou, kdy neznámé vyjadřujeme z rovnic odpovídajících řádkům matice ve schodovitém tvaru, které jsou ekvivalentní původním rovnicím. Vyjadřování provádíme odspodu soustavy. =>■ Příklady na Gaussovou eliminační metodou. •<= EBl EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Cramerovo pravidlo Věta (Cramerovo pravidlo): Je-li matice A čtvercová a regulární, má soustava Ax = b jediné řešení a pro /-tou složku x, tohoto řešení platí: D' kde D = det A a D, je determinant matice, která vznikne z matice A výměnou z'-tého sloupce za sloupec b. =>■ Příklady na Cramerovo pravidlo. •<= EBl EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Analytická geometrie v rovině Věta: Libovolnou přímku p v rovině lze vyjádřit rovnicí ax + by + c = 0, kde a, b, c jsou konstanty, přičemž a, b nejsou současně rovny nule. Vektor n = (a, b) je kolmý k přímce p. Naopak každá rovnice tvaru ax + by + c = 0, kde a2 + b2 > 0, představuje přímku p v rovině kolmou k vektoru n = (a, b). EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Definice: Rovnice ax + by + c = 0 se nazývá obecná rovnice přímky, vektor n = (a, b) se nazývá normálový vektor přímky. Každý nenulový vektor, který je k normálovému vektoru kolmý se nazývá směrový vektor přímky. Jedním ze směrových vektorů je např. vektor s = (—b,a), protože skalární součin vektorů s a n je roven nule. Definice: Směrnicí přímky p o rovnici ax + by + c = 0, která není rovnoběžná s osou y, tj. b ^= 0, rozumíme podíl k = —-. Směrnice k = tg a, kde a je úhel, který přímka svírá s kladnou osou x. V případě, že b ^ 0, tj. přímka je rovnoběžná s osou y, řekneme, že přímka p nemá směrnici. Přímku p se směrnicí k je možné vyjádřit ve směrnicovém tvaru y = kx + q. EBI EJ Q ©Lenka Přibylová, 2011EJ Přímku, která protíná souřadné osy v bodech různých od počátku souřadnic, lze vyjádřit také rovnicí v tzv. úsekovém tvaru x y - + - = 1, V <7 kde p 7^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose x, q ^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose y. EEI EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Přímku p, která prochází bodem A = [xq, x/q] se směrovým vektorem s = (si,S2) má parametrické rovnice x = xq + sit, y = yo + s2t, kde t E (—00, oo) je parametr. Věta: Přímka určená body A = \x\,y-\\ a B = \xi,yi\ má obecnou rovnici x-xx y-yi =Q x2 - ^1 1/2 - 3/1 Je-li X\ Xi, má přímka směrnici a lze ji zapsat ve tvaru 1/2-1/1 y-yi = -{x — X\). x2 — Xi Přímka určená bodem A = \x\,y-\\ a směrovým vektorem s = (si,S2) má obecnou rovnici x-xx y-yi si s2 ©Lenka Přibylová, 20111 = 0. Definice: Vzdálenost bodů A = [xi,yi] a B = [£2,1/2] v rovm~ ném kartézském souřadném systému je délka úsečky AB a je dána vztahem \AB\ ^(x2-xl)1 + (y2-yl)1. Pro vzdálenost d bodu A = [xq, x/q] od přímky p o rovnici ax + by + c = 0 platí _ \ax0 + by0 + c\ V a2 + b2 Dvě přímky o rovnicích a.\X + b\y + C\ = 0 a «2* + ^2j/ + c2 = 0 svírají úhly cp a tz — cp, přičemž platí «1^2 + ^1^2 COS Věta: Libovolnou rovinu p v prostom lze vyjádřit rovnicí ax + by + cz + d = 0, kde a, b, c, d jsou konstanty přičemž a, b, c nejsou současně rovny nule. Vektor n = (a,b,c)]e kolmý k rovině p. Naopak každá rovnice tvaru ax + by + cz + d = 0, kde a2 + b2 + c2 > 0, představuje rovinu p kolmou k vektoru n = (a, b, c). Definice: Rovnice ax + by + cz + d = 0 se nazývá obecná rovnice roviny, vektor n = (a, b, c) se nazývá normálový vektor roviny. EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Rovinu, která protíná souřadné osy v bodech různých od počátku souřadnic, lze vyjádřit také rovnicí v tzv. úsekovém tvaru x y z - + - + - = !, p q r kde p 7^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose x, q 7^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose y ar 7^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose z. =>■ Animace roviny. •<= Rovina p určená bodem A = [xq, x/q, Zq] a dvěma nekolineárními vektory u = («1, u2, "3) a v = (vi> v2> v3) má parametrické rovice x = Xq + UiS + Vit, y = 1/o + U2S + V2Í> z = z0 + U3S + ^ kde s, ŕ G (—00,00) jsou parametry. EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ f- Věta: Rovina určená body A = \x.\,y\,z\\, B = [*2/i/2/z2] a C = [xj, 1/3, Z3] má obecnou rovnici y-Vi z-zi *2 - *i Vi ~ Vi z2 - Z\ *3 -Xl 3/3 - Vi z3 - Z\ 0. Rovina určená bodem A = \x\,y\,Z\\ a nekolineárními vektory u = (ui, «2/ "3) a v = (pi, Vi, V3) má obecnou rovnici x~xi 3/ - 3/1 z - zi Mi «2 u3 »1 »2 »3 0. ©Lenka Přibylová, 20111 Definice: Vzdálenost bodů A = \x.\,y\,z-\\ a B = [x2ry2rz2] v 3-rozměrném kartézském souřadném systému je délka úsečky AB a je dána vztahem \AB\ = ^{x2-x1)2+{y2-y1)2 + {z2-z1)2. Pro vzdálenost d bodu A = [xq, x/q, Zq] od roviny p o rovnici ax + by + cz + d = 0 platí _ \ax0 + by0 + cz0 + d\ yV + b2 + c2 Dvě roviny o rovnicích a.\X + b\y + C\Z + &\ = 0 a «2* + ^23/ + C2Z + d2 = 0 svírají úhly cp a n — cp, přičemž platí a.\a2 + b\b2 + C\C2 COS 0. Hyperbolický paraboloid s vrcholem v počátku souřadnic má rovnici 2 2 --— =2z, p q kde p ■ q > 0. Kužel s vrcholem v počátku souřadnic má rovnici 2 2 2 ±L + t_ - — = n a2 /32 c2 EEl Q 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Definice: Okolím bodu Xq 6 ]R rozumíme libovolný otevřený interval I, který tento bod obsahuje. Nejčastěji se používá interval, jehož je bod xq středem. Xq — S Xq Xq + S -O | o- Takovýto interval nazýváme i5-okolím bodu Xq a označujeme 0$(xq). Jestliže z i5-okolí bodu Xq vyjmeme bod Xq, mluvíme o ryzím i5-okolí bodu Xq a budeme jej značit Og(xq). Xq — S Xq Xq + S ©Lenka Přibylová, 20111 Pravým ryzím i5-okolím bodu Xq rozumíme otevřený interval Ôj(xo) = (x0,*o + ^) Xq Xq + Ó —O o- a levým ryzím i5-okolím bodu Xq rozumíme otevřený interval ÔJ(xq) = (Xq - Ô,Xq). Xq — Ó Xq -O o— ©Lenka Přibylová, 20111 Limita funkce ŕ-\ Definice: Nechť x0, L G ÍR a / : ]R —► ]R je funkce / definovaná v nějakém ryzím okolí bodu Xq. Řekneme, že funkce / má v bodě Xq limitu rovnu číslu L, jestliže Ve > 0 existuje 3S > 0 takové, že pro x G Os(xq) platí f (x) G 0£(L). Píšeme lim f (x) = L. ——' EEl Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q EEl Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Jednostranná limita f-N Definice: Nechť x0, L 6 Ea / : E ^ R. Dále nechť je funkce / definovaná v nějakém pravém ryzím okolí bodu Xq. Řekneme, že funkce / má v bodě Xq limitu zprava rovnu číslu L, jestliže ke každému e > 0 existuješ > 0 takové, že pro Vx E O^(xq) platí f (x) e Oe(L). Píšeme lim f (x) = L. Analogicky definujeme limitu zleva. k-—- J EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q ©Lenka Přibylová, 2011 Věta: Funkce má v každém bodě nejvýše jednu limitu (limitu zprava, limitu zleva). Věta: Funkce má v bodě Xq e IR limitu právě tehdy když lim f(x) = lim f(x). ©Lenka Přibylová, 20111 Nevlastní body Definice: Rozšířenou množinou reálných čísel R* rozumíme množinu reálných čísel IR rozšířenou o body ±00. Označujeme R* =1U {00, —00} Prvky ±00 nazýváme nevlastní body, body množiny ]R nazýváme vlastní body. Pro a E IR definujeme: + 00 = 00, fl— 00 = —00, 00 + 00 = 00, —00 — 00 = —00 . , . . a a 00 ■ 00 = —00.(—00) = 00, 00.(—00) = —00, — =-= O 00 —00 —00 < a < 00, j ± 00 j = 00, EEl El Ba IBa ©Lenka Přibylová, 2011EJ Je-li a > O definujeme a ■ oo = oo a ■ (—00) = —00, a je-li a < O definujeme a ■ 00 = —00 a ■ (—00) = 00. Poznámka 19. Nejsou tedy např. definovány operace: ±00 00 — 00, ±oo.O a - ±00 Takovýmto výrazům říkáme neurčité výrazy. Poznamenejme, že samozřejmě není definováno dělení nulou. EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Nevlastní limita Definice: Říkáme, že funkce f (x) má v bodě Xq nevlastní limitu +00 (—00), jestliže pro VM > 0 existuje s > 0 takové, že pro v x e 0,5 (*o) platí f (x) > M (resp. f (x) < -M). Píšeme lim f (x) = +oo(—00). ©Lenka Přibylová, 2011 Q EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 20. Aby existovala limita v bodě Xq e ÍR, nemusí být funkce sin x f v bodě Xq definována. Například limita funkce lim- existuje, i když x^o x tato funkce není definována v bodě 0. Funkce naopak musí být definována v nějakém ryzím okolí (nebo jednostranném ryzím okolí, v případě jednostranné limity) bodu a. Není tedy definována například lim y/1 — 3x2, nebo x—>i lim ln(x). x^0~ =>■ Příklad na numerický výpočet limity •<= EBl EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Limita v nevlastním bodě Definice: Říkáme, že funkce f (x) má limitu L v nevlastním bodě +00 (—00), jestliže pro Ve > 0 existuje K > 0 takové, že pro Vx > K (resp. Vx < —K) platí/(x) e 0£(L) . V = /(*) EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Spojitost funkce Definice: Řekneme, že funkce / : IR —► IR je spojitá v bodě Xq, jestliže xq 6 D(f) a lim f(x) = /(xq) . Řekneme, že funkce / : IR —► IR je spojitá zprava (spojitá zleva) v bodě xq, jestliže xq 6 D(f) a lim f(x) = /(xq) ( lim f(x) = /(xq)). Definice: Řekneme, že funkce je spojitá na intervalu (a,b), (a, V) (a,b) (a, je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě a v krajních bodech (pokud tam patří) je spojitá zprava, resp. zleva. EBl EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Věta: Spojitá funkce nabývá v uzavřeném intervalu (a, b) své ne-jvyšší a nejnižší hodnoty a také všech hodnot mezi nimi. Věta: Nechť/(x) je spojitá funkce v uzavřeném intervalu (a,b) a platí f (a) ■ f (V) < 0. Pak existuje alespoň jedno číslo c E (a, b) takové, že f(c) = 0. EBl EJ B ©Lenka Přibylová, 2011EJ Pravidla pro počítání s limitami Věta: Buď a e IR*, k £ R, /, g : R -> R. Jestliže mají fagv bodě a vlastní limitu, pak platí lim k = k x^a lim(f(x) ±g(x)) = lim fix) ± lim gix) x^>a x^>a x^>a \im( fix) ■ gix)) = lim fix) ■ lim?(x) x^a ' x^ra x^ra lim k ■ fix) = k ■ lim fix) x^>a x^>a fíx\ lim/(x) lim = xr^a—i—r- pro lim gix) + 0. x^a g(x) limg(x) r x->aův EEl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Zobecněním základních pravidel dostáváme linearitu limity: lim(A:1f1(x) H-----\-k„f„(x)) = kx lim U(x) H-----Ykn lim fJx) x^a x^a x^a S využitím předchozí věty lze počítat následující limity . , TL 71 1. lim (arctgx + arccotgx) = —- + 0 = —- x^ca 2 2 1 2. lim — cos x = —oo ■ 1 = —oo x^o- x x^too xex oo-oo oo Větu nelze použít pro výpočet limity protože bychom obdrželi neurčitý výraz | oo — oo 11. ©Lenka Přibylová, 2011EJ Věta: Je-li funkce g je spojitá, platí lim g(f(x)) =g(lim /(*)). X >Xg X >Xg Totéž platí i pro jednotlivé jednostranné limity. Dále tedy platí např. lim \f(x)\ = I lim f(x)\ x^a x^a lim (/(*))" = (lim /(*))" lim { f{x) = »/lim/(x) x^>a V y x^>a lim = frlim^»/<» x^a lim(log6/(x)) = log6(lim f(x)) EEl Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Příklad . Uvedenou větu lze použít pro výpočet následujících limit: 1. lim lnf - ) = II lnooll = oo x^0+ \X) _ 71 2. lim arctgíe ) = I arctgoo = — X—» —oo 2 3. lim ln(sinx) = ||ln(0+)|| = -oo x->0+ EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2011Q Výpočet limity funkce • V bodě, ve kterém je funkce definovaná a spojitá vypočteme limitu přímým dosazením. • V bodě, ve kterém funkce není definovaná nebo není spojitá mohou dosazením vznikat výrazy typu , které vedou k nevlastní limitě, , což jsou neurčité výrazy, které lze řešit většinou pomocí l/Hospitalova pravidla nebo pomocí úprav. EBl EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ > Interaktivní kvizy na limity elementárních funkcí 4 Interaktivní kvizy na základních operace s limitami =>■ Příklady na výpočet limit •<= gel EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Derivace funkce Definice: NechťXq e D(f). Řekneme, že funkce / má v bodě Xq derivaci rovnu f'(xo), jestliže existuje konečná limita f'(r ) - lim /(*0 + fe) -f(X0) Neexistuje-li tato limita, říkáme, že funkce f(x) nemá v bodě Xq derivaci. EEl Q 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Q EEl Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 EJ EEl Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 21. Geometrický význam derivace: Sečna ke grafu funkce / procházející body [xo,/(*o)] a [x0 + h,f(xQ + h)] má směrnici ^ 0 ^—^ °^. Jestliže se s bodem (xq + h) blížíme k bodu Xq (tj. provádíme-li limitní přechod lim), přejde sečna v tečnu v bodě [xq,/(xq)]. Limitní hodnota, tj. směrnice tečny, je potom rovna derivaci f'(xo). Poznámka 22. Má-li funkce / v bodě Xq derivaci, je rovnice tečny ke grafu funkce v bodě [*0//(*())] V = f'(x0)(x- x0)+ f(x0). EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Nechť má funkce / derivaci v každém bodě otevřeného intervalu I. Předpisem, který každému bodu x z intervalu I přiřadí derivaci funkce / v bodě x je na I definována funkce, kterou nazýváme derivací funkce / na intervalu I a označujeme f'. Často označujeme derivaci mimo / také jako y nebo . Funkci, která má v bodě Xq, resp. na intervalu I, derivaci, nazýváme diferencovatelnou v bodě Xq, resp. na intervalu I. Příklad . Vypočtěte f'(x) funkce f(x) = x. ''(x) = lim x + h — x h f (x) = (x)' = 1. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Vzorce a pravidla pro derivování Věta: Nechť/, g jsou funkce ac £ R konstanta. Platí [cf(x)}> = cf'(x) if(x)±g(x)}> = f(x)±g>(x) if(x)g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) M g(x) f(x)g(x)-f(x)g'(x) g2(x) (x) £ 0. Derivace elementárních funkcí jsou dány následujícími vztahy a jsou definovány pro všechna x z definičního oboru elementární funkce: ©Lenka Přibylová, 20111 k' = O (cosx)' = - sin x (x")' = nx^ (tgIy = _L_ {ex)' = ex (cotgx)' = --V snr x 1 (a1)' = fl^lnfl (arcsinx)' = VI — x2 1 1 (lnx)' = - (arccosx)' =-- x V1 — x2 1 1 (log, x)' = —— (arctgx)' = ——5 (sinx)' = cosx (arccotgx)' = —--^ v ' ° 1 + x2 Příklady na základní vzorce pro derivování. <= ©Lenka Přibylová, 20111 Věta: Pro složenou funkci platí \f(g(x))]'=f'(g(x))ňx), kde existence derivace vlevo plyne z existence derivací vpravo. Poznámka 23. Výraz f'(g(x)) v předchozí větě znamená derivaci funkce / vypočtenou v bodě g(x). =>■ Příklady na derivování složené funkce. •<= =>■ Interaktivní kvizy na metodu derivování. •<= =>■ Příklady na výpočet derivace funkce. •<= Interaktivní kvizy na výpočet derivace funkce. EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Diferenciál funkce Definice: Nechť funkce f(x) je spojitá v nějakém okolí O(xq) bodu xq a nechť existuje derivace /'(xq). Nechť xq + h G O(xq). Diferenciálem funkce f(x) v bodě Xq rozumíme výraz df(xo) = f'(x0) ■ h. Poznámka 24. Pro různé hodnoty h dostáváme různé hodnoty diferenciálu df(xo). Diferenciál df(xo) je tedy funkcí proměnné h (evidentně funkcí lineární). Pokud budeme uvažovat obecný bod x, v němž existuje derivace f'(x), bude diferenciál df(x) funkcí dvou proměnných x a h. Protože pro funkci f(x) = x platí df(x) = dx = 1 ■ h, můžeme použít vztahu h = dx pro obvyklý historický zápis diferenciálu a derivace funkce y = f {x): df{x) = dy = f' (x)dx, tj. f'(x) dy dx' EEl El ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Derivace vyšších řádů Derivací 2.řádu (druhou derivací) funkce f(x) nazýváme funkci (/')'/ tj. derivaci první derivace funkce y = f(x). Podobně derivaci 3.řádu definujeme jako derivaci 2. derivace. Definice: Derivaci n-tého řádu funkce f(x) definujeme jako derivaci derivace řádu n — 1, tj. /(-"-> = '■ Vyšší derivace označujeme takto: nebo y",y"', yW y(5).....yW nebo d2y d3y d"y dx2' dx3' "' ' dx"' ©Lenka Přibylová, 20111 =>■ Příklady na derivace vyšších řádů. <= EEl Q 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Užití derivací k výpočtu limit Věta: l'Hospitalovo pravidlo: Nechťfl E K* a nechťfunkce f a g jsou definovány v nějakém ryzím okolí bodu a a mají zde derivaci. Nechťdále platí buď lim f (x) = lim g (x) = 0 nebo x^>a x^>a lim = oo. Pak platí lim m = lim /'W x^a g(x) x^ag'(x)' pokud limita na pravé straně rovnosti existuje. Totéž platí i pro obě jednostranné limity. I H B W ©Lenka Přibylová, 20111 Poznámka 25. Předchozí větu lze použít na všechny neurčité výrazy. Lze je převést na výrazy typu 110 0 00 nebo — ô 00 0 0 l/oo Ô takto: nebo ||0 ■ oo 00 oo 00 II = 1/0 - - 00 ||oo — oo|| lze převést na spol. jmenovatel do tvaru pooji = ||elnl~|| = 11 eoo ■ ln 1 11 = e||oo-0|| a stejný trik lze použít na výrazy typu ||0°|| a ||oo°||. 0 00 nebo — ô 00 =>■ Příklady na užití 1'Hospitalova pravidla. <= EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Monotónnost funkce. Lokální extrémy. Věta: Nechť/(x) je na (a,b) spojitá a má derivaci v každém jeho vnitřním bodě. Pak platí: • Funkce f(x) je na (a,b) konstantní o Vx G (a, b) platí f'(x) = 0. • Jestliže Vx G (a, b) platí f'(x) > 0, pak je funkce/(x) na (a,b) rostoucí. • Jestliže Vx G (a, b) platí f' (x) < 0, pak je funkce/(x) na (a,b) klesající. ©Lenka Přibylová, 20111 Definice: Řekneme, že f(x) má v bodě Xq lokální maximum (minimum), resp. lokální extrém, jestliže Vx z nějakého okolí Xq platí f(x) < f(xo) (f(x) > /(x0))- Pokud pro x ^= x0 platí ostré nerovnosti, nazýváme lok. extrém ostrým. y \ y = f(x) V /ŕ- 1 1 \ 11 i \w II 1 " 0 a cd e X Věta: Má-li funkce f v Xq lokální extrém, pak fix^) = 0 nebo derivace/'(xq) neexistuje. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta: Nechť/'(*o) = O a f"{x0) ^ 0. Pak má f(x) v x0 lokální extrém, a to • lokální maximum, je-li /"(xq) < 0, • lokální minimum, je-li /"(xq) > 0. Definice: Je-li /'(xq) = 0, pak bod [xo,/(xq)] nazýváme stacionárním bodem. ] Příklady na výpočet lokálních extrémů. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Konvexnost a konkávnost. Inflexní body. Definice: Funkci nazveme konvexní (konkávni) v bodě Xq, jestliže její graf leží v okolí Xq nad (pod) tečnou v tomto bodě. Funkci nazveme konvexní (konkávni) na intervalu I, je-li konvexní (konkávni) v každém jeho bodě. -—i Věta: Nechť/'(x) je diferencovatelná na («,&). Pak • jestliže Vx E (a, b) platí f" (x) > 0 =>■ / je konvexní na (a,b), • jestliže Vx E (a, b) platí f" (x) < 0 =>■ / je konkávni na (a,b). EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Funkce / má v bodě Xq inflexní bod, jestliže má v Xq tečnu a f"(x) zde mění znaménko (graf funkce přechází z konvexity do konkávity nebo naopak). Důsledek: Funkce f(x) může mít inflexní bod v tzv. kritickém bodě Xq kde /"(xq) = 0, nebo tam, kde /"(xq) neexistuje. EEl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Příklad na výpočet inflexních bodů, konvexnosti a konkávnosti. ©Lenka Přibylová, 20111 Asymptoty funkce Definice: Asymptota je přímka, která je tečnou ke některém nevlastním bodě. ijrafu funkce v Věta: Funkce má • asymptotu bez směrnice x = Xq O má / v bodě Xq nevlastní limitu zleva nebo zprava. • asymptotu se směrnicí y = kx + q pro x —► ±00 0 k = lim e R a q = lim (f(x) - - kx) e R ©Lenka Přibylová, 2011 Q =>■ Příklad na výpočet asymptot. Průběh funkce Postup při vyšetřování průběhu funkce: 1. Určíme D(f), sudost, resp. lichost, periodičnost funkce a průsečíky grafu funkce se souřadnými osami. Najdeme intervaly, kde je funkce kladná a kde záporná. 2. Vyšetříme chování funkce v nevlastních bodech a najdeme asymptoty. 3. Vypočteme /', najdeme stacionární body, intervaly monotónnosti a nalezneme lokální extrémy. 4. Vypočteme /", najdeme kritické body, intervaly konvexnosti a konkávnosti a nalezneme inflexní body. 5. Načrtneme graf. =>■ Příklady na průběh funkce. •<= EBl EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Taylorův polynom Funkční hodnotu dovedeme přesně vypočítat pouze u polynomů a racionálních lomených funkcí s racionálními koeficienty. U ostatních funkcí je třeba použít pro výpočet numerické hodnoty některou z aproximačních metod. Základní aproximační metodou je použití Taylorova polynomu příslušného dané funkci. /-> Definice: Nechť funkce / má v okolí bodu Xq spojité derivace až do řádu n + 1. Taylorovým polynomem n-tého stupně příslušným funkci f(x) v bodě Xq rozumíme polynom /'(*o) (X - Xq) + f"(xo) (X - Xq)1 + ... 1! 2! ----h řn)(xo) (x-x0)n. __' ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 26. Taylorův polynom stupně n má v bodě Xq stejnou funkční hodnotu a také všechny derivace až do řádu n jako funkce /, tj. T„(x0) = f(x0), T„'(x0) = f'(x0), T„(")(x0) = /Mfo). =>■ Animace Taylorova polynomu. <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta (Taylorova věta): Nechť funkce / má v okolí O(xq) bodu Xq spojité derivace až do řádu n + 1. Pak existuje vhodné číslo c, které leží mezi Xq a x takové, že Vx E O(xq) platí f(x) = Tn(x) + Rn+1(x), kde Tn(x) je Taylorův polynom a Rn+i(x) je polynom stupně alespoň n + 1 v proměnné (x — Xq), který nazýváme zbytkem. Zbytek může být např. tvaru f(n)(r) Rn+l(x) = ^^_(x-x0r+\ =>■ Příklady na výpočet Taylorova polynomu. •<= =>■ Jak být lepší než kalkulačka... Věta: Nechť/, g jsou funkce integrovatelné na I, c nechťje reálné číslo. Pak na intervalu I platí J f(x)+g(x)dx = J f(x)dx + J g(x)dx, J cf(x)dx = c J f(x)dx. Základní vzorce pro nalezení primitivní funkce vyplývají ze vztahů pro derivace elementárních funkcí a jsou dány následujícími vztahy. Primitivní funkce jsou definovány pro všechna x z definičního oboru integrované funkce: EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011 EJ J Odx = c J1 dx = x + c x" dx =-- + c n + 1 J — dx = ln\x\ + c sin x dx = — cos x + c cos x dx = sin x + c I —\— dx = — cotg x + c J sinz x 1 EH B □ [Q dx = te x + c / e* dx = ev + c ax dx =---Y c, 1 ^ a > 0 lna . x = arcsm — + c 1 = ln |x + \/x2 ± BI + c A + x Vx2±B 1 1 i —tí-~ dx = —— ln-- + c A2 -x2 2A A-x /^dx = m|/(x)|+c ©Lenka Přibylová, 20111 Věta (speciální případ složené funkce): Nechť / je funkce inte-grovatelná na I. Pak 1 f(ax + b) dx = -F(ax + b), a kde F je funkce primitivní k funkci / na intervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax + b 6 I. Příklady na přímou metodu integrace. ■ Příklady na metodu per partes. =>■ Kvizy na metodu per partes. BBI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Substituční metoda --■ Věta: Nechť/(ŕ) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce cp(x) má derivaci na intervalu / a platí cp(J) = I. Potom na intervalu / platí J f(cp(x))cp'(x)áx = Jf(t)dt, dosadíme-li napravo t = (p(x) \ ^--' Poznámka 29. Formálně substituci provádíme tak, že píšeme v integrálu vpravo t místo cp(x) a dř místo cp'(x)dx. EBl EJ B ©Lenka Přibylová, 2011EJ f Věta: Nechť/(x) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce ■ Příklady na substituční metodu. =>■ Kvizy na substituční metodu. ■ Příklad na integraci rac. lomené funkce typu c). •<= d) Čitatel zlomku rozložíme na 2 sčítance tak, že první je derivací jmenovatele a druhý konstanta, pak integrujeme zvlášť Příklady na integraci rac. lomené funkce typu d). •<= EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011 EJ =>■ Kvizy na rozeznání typu parciálního zlomku. •<= =>■ Kvizy na formální tvar rozkladu na parciálni zlomky. •<= =>■ Kvizy na integraci pomocí rozkladu na parciálni zlomky. •<= Integrace goniometrických funkcí. / / i?(cos x) sin x dx zavádíme substituci t = cos x i?(sin x) cos x dx zavádíme substituci t = sin x .R(sinx), resp. i?(cos x), jsou rac. lomené funkce jen v sinu, resp. kosinu. Většinou je třeba integrand na tento typ převést užitím goniometrických vzorců nebo rozšířením zlomku. =>■ Příklady na integraci goniometrických funkcí. •<= Poznámka31. Univerzální metodou k výpočtu J _R(sinx,cos x) dx je sub- x stituce t = tg—. V případě pouze sudých mocnin funkcí sinus a kosinus je jednodušší substituce t = tgx. EBl El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Integrace iracionálních funkcí. Některé jednoduché iracionální funkce (tj. funkce, které obsahují odmocniny) již umíme integrovat: \fx$ dx = x3 = / (4x + 9)~z dx = ... základním vzorcem pro integraci mocniny, dx \/4x + 9 s použitím věty o integraci speciální složené funkce nebo substitucí t = 4x + 9, 2xy/x2 + 1 dx = ... substitucí t = x2 + 1. ©Lenka Přibylová, 20111 Nechťi? je racionální lomená funkce. JR^x, "iff(x], nrfj{x),..)jdx, kde f(x) = x, fix) = ax + b nebo f (x) =-- řešíme substitucí cx + a ts = f(x), kde s je tzv. společný odmocnitel, tj. nejmenší společný násobek čísel n\, n2, .... J R(x, \J a2 — x2)dx řešíme substitucí x = a sin t J R(x, \Ja2 + x2)dx řešíme substitucí x = a tg t / R(x, \Jx2 — a2)dx řešíme substitucí x = J V ; sin t =>■ Příklady na integraci iracionání funkce. •<= Q Q B B3 ©Lenka Přibylová, 20110 Integrace složené exponenciální funkce Nechť i? je racionální lomená funkce. J R(ex)dx řešíme substitucí t = ex =>■ Kvizy na určení metody integrace. •<= =>■ Další příklady na výpočet integrálů. 6 přesnější odhad obsahu útvaru pod křivkou. První důležitý krok, který Newton a Leibniz provedli, byl limitní přechod n —► oo. Dílky dělení Ax, = x, — x,_i pak mají délku konvergující k 0 a označujeme je dx (už jsme se s tímto symbolem setkali, jde o diferenciál x). Formálně tak dostáváme zápis z'=l f{x) dx, kde znak integrálu původně opravdu znamenal protáhlé písmeno S -suma. Q Q B B9 ©Lenka Přibylová, 20110 Definice: Buď (a, b) uzavřený interval a / funkce definovaná a ohraničená na (a,b). Řekneme, že funkce / je integrovatelná na intervalu (a, b), jestliže existuje číslo I, které je limitou n I = lim S„ = lim fí^Axj 1=1 pro libovolnou posloupnost dělení s délkou dílků konvergující k 0, při libovolné volbě reprezentantů. Číslo I nazýváme určitý integrál funkce / na intervalu (a, b) a označujeme ŕ l f(x)dx. J a Animace k definici určitého integrálu. EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Newtonova-Leibnizova formule Pro výpočet obsahu útvaru pod křivkou bylo tedy nutné vytvořit nejprve pojem limity a poté diferenciální a integrální počet, který nezávisle na sobě pro výpočet obsahu vytvořili Newton s Leibnizem. Teprve integrální počet je totiž tím nástrojem, který lze pro výpočet obsahu útvaru pod křivkou skutečně použít. Věta (Newtonova-Leibnizova formule): Nechť funkce f(x) je inte-grovatelná na (a, b). NechťF(x) je funkce spojitá na (a, b), která je na intervalu [a, b) primitivní k funkci f(x). Pak platí J ©Lenka Přibylová, 2011 Q Vlastnosti určitého integrálu Z Newtonovy-Leibnizovy věty vyplývají následující vlastnosti určitého integrálu: b rb rb [f(x)+g(x)]dx= / f(x)dx+ / g(x)dx b rb c-f(x)dx = c- / f(x)dx Ja a f (x)dx = 0 b ra f(x)dx=— / f (x) dx a Jb b rc rb f(x)dx= / f(x)dx+ / f (x) dx, pro c G (a, b) a ©Lenka Přibylová, 20111 Výpočet určitého integrálu Najít primitivní funkci umíme. V Newtonově-Leibnizově větě je ale také podmínka spojitosti funkce na intervalu (a, b), což je nutné zkontrolovat. =>■ Příklady na výpočet určitého integrálu. EEl Q Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Geometrické aplikace určitého integrálu • Obsah rovinné plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f {x), osou x a přímkami x = a a x = b: • Obsah rovinné plochy omezené spojitými funkcemi y = d{x) a y = h(x), které na intervalu {a, b) splňují d{x) < h{x), a přímkami x = a a x = b: fb ^S= (h(x) - d(x)) dx <= Ja EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Objem rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f(x), osou x a přímkami x = a a x = b: rb = n f(x)dx P = 271 j* f(x)y/l + \f'(x)]2dx <= =>■ Kvizy na určitý integrál. •<= ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Nevlastní integrál Nevlastní integrál je rozšířením pojmu určitého integrálu. Určitý integrál je definovaný pouze pro ohraničené funkce a konečné obory integrace. Body, ve kterých funkce není ohraničená a nevlastní body ±00, budeme souhrnně nazývat singularitami. Integrál / f (x) dx nazýváme nevlastní, pokud alespoň jedno z čísel a, b je rovno ±00, nebo funkce f (x) není ohraničená na uzavřeném intervalu (a, b) (tj. alespoň v jednom bodě intervalu funkce má singularitu - nemusí jít vždy o body a nebo b, ale singulární bod může být i uvnitř intervalu). Následující definice je současně i návodem, jak nevlastní integrál vypočítat. EEI EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Definice: Nechť f (x) má singularitu v horní mezi b (resp. dolní mezi a). Existuje-li konečná limita lim / f{x) dx (resp. lim / f{x) dx) t—»6~ J a t^a+ J t říkáme, že nevlastní integrál konverguje (existuje) a definujeme f(x) dx = lim / f(x) dx, t—>b~ J a rb rb (resp. / f(x)dx= lim / f(x)dx). J a t^a+ J t Pokud limita neexistuje, nebo je nevlastní, říkáme, že integrál b f(x) dx neexistuje, nebo diverguje. ©Lenka Přibylová, 2011EJ - Příklady na výpočet integrálu nevlastního vlivem meze. ■ Složitější příklad na výpočet nevlastního integrálu. ■ Další příklady na výpočet nevlastních integrálů. •<= ©Lenka Přibylová, 2011EJ Diferenciální počet funkcí dvou proměnných Definice: Nechťjsou dány neprázdné množiny DCR2afíCK. Pravidlo /, které každému prvku [x, y] E D přiřazuje právě jeden prvek z E H, se nazývá funkce. Zapisujeme z = f(x, y). Množina D = D (f) se nazývá definiční obor funkce /. Množina všech z E H, pro která existuje [x, y] E D s vlastností f (x,y) = z, se nazývá obor hodnot funkce / a označujeme jej H (f). Jde o stejnou definici funkce, kterou jsme již probírali. Vzhledem k tomu, že D(f) C R2 a H (f) C R, mluvíme o reálné funkci dvou reálných proměnných. EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Definice: Grafem funkce z = f(x,y) rozumíme množinu všech uspořádaných trojic [x,y,f(x,y)],x a y označujeme jako nezávislé proměnné a z jako závislou proměnnou. EBl EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Definice: Buď [xq, i/o] E K2 bod, ô\ > 0 a ói > 0 čísla. Množinu O = {[*,!/] E IR2 : |x — x0| < |y — i/oI < ^2} nazýváme okolím bodu [xq/1/o]- Ryzím okolím bodu [xo/J/o] rozumíme množinu O = O-{[x0,y0]}. y Vo + k Vo Vo - h okolí [x0, J/o] x0 - Ôj x0 Xo + Ôl ©Lenka Pŕibyloi Definice: Nechť [x0,y0] E R2, L E R a / : R2 -> R je funkce definovaná v nějakém ryzím okolí bodu [xq, y q] . Řekneme, že funkce / má v bodě [xo,J/o] limitu rovnu číslu L, jestliže Ve > 0 existuje ryzí okolí O bodu [xo,J/o] (3ôi,Ô2 > 0 z předchozí definice) takové, že pro [x,y] E O platí f (x) E 0£(L). Píšeme lim f (x) = L. Poznámka 32. Definice limity funkce dvou proměnných má formálně stejné znění jako definice limity funkce jedné proměnné. Proto také pro limitu funkce dvou proměnných platí analogické věty jako pro limitu funkce jedné proměnné. EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Definice: Řekneme, že funkce / : R2 —► IR je spojitá v bodě [xo/J/o]/ jestliže [x0,y0] E D(f) a lim f(x,y) = f(x0,y0) . Věta: Součet, rozdíl a součin dvou funkcí spojitých v bodě [xq, x/q] je funkce spojitá v bodě [xq/J/o]- Podíl dvou funkcí spojitých v bodě [xq,i/o] je funkce spojitá v bodě [xo/j/o]/ P°kud funkce ve jmenovateli je v tomto bodě různá od nuly. EBl EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Definice: Nechť u = g(x,y) a v = h(x,y) jsou funkce definované v množině M, nechť/(«, v) je funkce definovaná v množině D a nechť pro každý bod [x,y] G M platí [g(x,y),h(x,y)\ G D. Pak funkce přiřazující každému bodu [x,y] G M číslo/[g(x, y),h(x, y)] se nazývá složená funkce. Tato funkce je definovaná na množině M, funkce / se nazývá její vnější složka, g(x, y), h(x, y) její vnitřní složky. EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Parciální derivace Definice: Buď/(x, y) funkce a [x0, y0] bod. Funkce g(x) = f(x, y0) je funkcí jedné proměnné x. Má-li funkce g(x) v bodě Xq derivaci g'(xo), nazýváme ji parciální derivací funkce f(x,y) podle x v bodě [x0,j/o] a značíme ji /í(*0/J/o) nebo -^-. Analogicky definujeme parciální defivaci podle y. Podle definice derivace tedy platí f(x0 + h,y0) -f(x0,y0) f'x(xo,yo) = lim fý(xOryo) = lim h^O h f(x0,y0 + h) -f(x0,y0) ©Lenka Přibylová, 20111 =>■ Geometrický význam parciální derivace. •<= =>■ Příklady na parciální derivace •<= =>■ Interaktivní kvizy na parciální derivace •<= Parciální derivace vyšších řádů můžeme definovat analogicky. Má-li např. funkce f'x (x, i/) v bodě [xq, i/q] parciální derivaci podle x, značíme ji f'Jx(x0, y0) nebo ^ (*0/3/o) ^ jyj^.jj v bodě [x0, 3/o] parciální derivaci podle i/, značíme ji f'x'y(xo, y o) nebo ^ g 0'^°) ^ Podobně definujeme a značíme i derivace vyšších řádů. Věta: Nechť má funkce f(x,y) parciální derivace /"v(*0'3/o) a /ý-c(xo/3/o) spojité vbodě [xq/J/o]- Pak platí fxV(xo,yo) — fý'x(xo,yo)- EEl El Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Diferenciál a tečná rovina plochy /-\ Definice: Nechť je funkce f (x,y) spojitá v okolí O bodu [xo/3/o] a nechť existují parciální derivace f'x(xo,yo) a /i/(xo,J/o)- Nechť bod [x, y] = [xq + h,yo + k] E O. Totálním diferenciálem funkce f(x,y) v bodě [xq,i/o] rozumíme výraz df(x0,yo) = f'x(xo,yo) ■ h + fý(x0,y0) ■ k. -' Poznámka 33. Analogicky jako u diferenciálu funkce jedné proměnné lze psát h = dx a k = dy a totální diferenciál v obecném bodě má tvar df(x,y)=f'x(x,y)dx + f'y(x,y)dy. ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Věta: Má-li funkce f(x, y) v bodě [xq, i/q] totální diferencál, pak má graf funkce z = f(x,y) v bodě [xq,x/q, f(xo,yo)] tečnou rovinu o rovnici z = f(x0,y0)+f'x(x0,y0)-(x-x0)+ fý(x0,y0) -(y-y0) Totální diferenciál je vlastně přírůstek na tečné rovině při přechodu z bodu [xq, i/o] do bodu xq + h,yo + k.V dostatečně malém okolí bodu [xq, i/o] lze přírůstek funkce nahradit totáním diferenciálem, tj. A/(*o,2/o) = f(x0 + h,y0 + k) -f(x0,y0) = df(x0,y0). EEl EJ Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Definice: Buď f(x, y) funkce definovaná v nějakém okolí O bodu [xq, y o] a nechťpro každé [x, y] E O platí f(x,y) < f{x0,y0) resp.f{x,y) > f{x0,y0). Pak říkáme, že funkce f(x, y) má v bodě [xq, i/q] lokální maximum, resp. lokální minimum, mluvíme o lokálním extrému funkce. Platí-li v uvedených vztazích ostré nerovnosti, nazýváme lokální extrém ostrým. ©Lenka Přibylová, 2011EJ Věta: Nechťfunkce f(x, y) má v bodě [xq, x/q] lokální extrém a nechť zde má parciální derivace f'x (xq, x/q) a fý (xq, y$). Pak platí fx(xo,yo) = fý{xo,yo) = o. Poznámka 34. Bod [xq/1/o]' který splňuje vlastnost /í(*o,yo) =fý{x0,y0) =0 nazýváme stejně jako u funkcí jedné proměnné stacionárním bodem. Podobně jako u funkcí jedné proměnné neplatí obrácení předchozí věty. Stacionární bod nemusí být lokálním extrémem. EBl EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Definice: Má-li funkce f(x, y) parciální derivace 2. řádu, nazýváme matici druhých derivací H fxx(x,y) f"y(x,y) fý'x(x,y) fý'y(x,y) Hessovou maticí funkce /(x, y). Její determinant se nazývá hessián. Věta: Nechť má funkce f(x, y) ve stacionárním bodě [xq, i/q] a jeho okolí spojité parciální derivace 1. a 2. řádu. Jestliže je hessián v bodě [xo,i/o] kladný, má funkce f(x,y) v tomto bodě ostrý lokální extrém. Je-li naopak hessián v bodě [xq, i/q] záporný, nemá funkce f(x,y) v tomto bodě ostrý lokální extrém, bod [xo,i/o] v tomto případě nazýváme sedlem. EBl EJ El ©Lenka Přibylová, 2011EJ Poznámka 35. Najdeme-li pomocí hessiánu v bodě [xo,J/o] lokálni extrém, můžeme o maximu, resp. minimu, rozhodnout pomocí druhých parciálních derivací. Je-li v řezu ve směru např. osy x funkce konvexní, tj. pokud fxx(xO,yo) > 0' nastává v tomto bodě lok. minimum. V opačném případě maximum. =>■ Lokální extrém. •<= Sedlo. <= =>■ Příklady na lokální extrémy funkcí dvou proměnných •<= =>■ Interaktivní kvizy na lokální extrémy •<= ©Lenka Přibylová, 2011EJ Absolutní extrémy Definice: Buď M E R2 množina v rovině, [x0,i/o] bod, f(x,y) funkce definovaná na množině M. Řekneme, že funkce f(x, y) má v bodě [xq,i/o] absolutní maximum, resp. absolutní minimum, jestliže pro V[x,i/] E M platí f (x,y) < f(x0,y0), resp. f (x,y) > /(*o,yo)- -' Věta: Nechť M ^= 0 je množina v rovině, [xq, y q] e M bod, f (x, y) funkce definovaná na množině M. Pokud má funkce f (x,y) v bodě [xq,i/o] absolutní extrém, pak bod [xq, y q] leží buď na hranici množiny M nebo v něm má funkce f (x, y) lokálni extrém. EBl Q Bi ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Budeme-li tedy hledat absolutní extrémy funkce, porovnáváme funkční hodnoty ve všech • stacionárních bodech (v nich může nastat lokální extrém), • dále ve stacionárních bodech vázaných hranicemi množiny M • a ve vrcholech (pokud existují). =>■ Absolutní extrém. •<= =>■ Příklady na absolutní extrémy •<= EBl EJ 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Integrální počet funkcí dvou proměnných Tak jako u integrace funkce jedné proměnné představoval určitý integrál na nějakém intervalu obsah plochy pod křivkou danou touto funkcí na tomto intervalu, tak i pro funkce dvou proměnných určitý integrál (říkáme mu dvojný integrál) představuje objem pod plochou danou funkcí dvou proměnných na nějaké rovinné podmnožině. Ne vždy takový dvojný integrál existuje, ale my se tímto tématem nebudeme zabývat. Uvedeme si pouze jednu konkrétní metodu výpočtu dvojného integrálu pro spojité funkce dvou proměnných a takzvané elementární množiny - nejjednodušší typ tzv. měřitelných množin. Dvojný integrál z funkce (x,y) na rovinné podmnožině fi =>■ Dvojný integrál. •<= značíme // Q>(x,y) áxáy. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta (Fubiniova věta): Nechť a < b, funkce /, g funkce jedné proměnné spojité na (a, b) a <í>(x, y) funkce spojitá na elementární množině Clx = <[x,y] £ R2 : a < x < b, f(x) < y < g(x) Pak pro dvojný integrál platí <Ě>(x,y) dxdy = I / <Ě>(x,y) dy ) dx. la \Jf(x) Analogicky na elementární množině ny = j[z,y] EK2:a(x,y) dxdy = I / <Ě>(x,y) dx I dy. « V/(y) J Z této věty vyplývá, že dvojný integrál na obdélníkové oblasti fi = [a, b] x [c, d] f(x,y) dxdy n je podle Fubiniovy věty roven integrálu rb / rd f(x,y) dy ) dx, respektive integrálu rd / rb f(x,v) d) f{x,y) dx) dy. Je-li navíc funkce f(x, y) součinem funkce proměnné x a funkce proměnné y, pak platí rb rd (x)h(y) dxdy= / g(x) dx / h(y) dy. Ja Jc n ©Lenka Přibylová, 20111 =>■ Interaktivní příklady na výpočet dvojných integrálů. •<= V některých případech je pro výpočet dvojného integrálu vhodné provést transformaci proměnných. Jde ve své podstatě o substituční metodu integrace. Zavedeme-li nové proměnné regulární transformací cp : x = g{u,v), y = h{u,v), pak platí /f f(x>y) dxdy= JJf(g(u,v),h(u,v))\J(u,v)\dudv, kde g'u{u,v) g'v(u,v) h'u(u,v) h'v(u,v) je jakobián zobrazení cp (zobrazení je regulární pokud je tento determinant nenulový - podobně jsme definovali regulární matice). Množina fi je zobrazena na množinu cp(CÍ). EEl El Ba IBa ©Lenka Přibylová, 20111 Ku, v) Nejčastěji užívanou transformací je transformace do polárních souřadnic. Jde o případy, kdy je množina fi kruh, mezikruží nebo kruhová výseč apod. Polární souřadnice zavedeme pomocí zobrazení cp : x = r cos cp, y = r sin cp, kde r je vzdálenost bodu [x, y] od počátku a cp je úhel, který svírá jeho průvodič s osou x. Tento přepis jsme již používali pro komplexní čísla při přechodu z algebraického do goniometrického tvaru. Zobrazení cp je regulární, protože jeho jakobián je T, iX cosrf) —rsinrf) J(r,d>) = . r. T =r- y T' sin cp r cos cp Interaktivní příklady na transformace dvojných integrálů. <= ©Lenka Přibylová, 2011EJ Konec ©Lenka Přibylová, 2011