Integrace rac. lomené funkce typu
Mx + N
ax2 + bx + c
Robert Mařík a Lenka Přibylová 28. července 2006
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Obsah
x + 5
dx
x+ 5 ,
-dx
-4x + 9
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Najděte
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Najděte
dx
• Derivace jmenovatele je 2x, v čitateli však není násobek této funkce.
■ f'(x)
Vzorec / dx nelze přímo použít.
/\x)
• Rozdělíme zlomek na dva.
V prvním zlomku je v čitateli polovina derivace jmenovatele. Proto první zlomek vynásobíme a vydělíme dvěma.
í~m-(DLenka Přibylová, 2006H
Najděte / * ~*~ ^ dx.
x2+4
I = I \+ ^. dx x2 + 4
1 2x 5
2 x2 + 4    x2 + 4
= iln(x2+4)+5Íarctg| + C
^=In|/WI + C
1,1 x
—=-, dx = — arctg —
A2 + x2 A A
©Lenka Přibylová, 20(
ľ    x+ 5I
Najděte J x2_Ax\9dx.\
>- '
1= í     * + 5 dx J x2-Ax + 9
EEI   Q   Q D3
©Lenka Přibylová, 2006 Q
I =
x + 5
dx
x2-4x + 9 (2x-A) x2 - 4x + 9
dx
V čitateli potřebujeme derivaci jmenovatele, tj. výraz (2x — 4).
1
I=l „     X ^- dX
x2-Ax + 9 i(2x-4)
x2 - 4x + 9
dx
Musíme upravit zlomek tak, aby se zlomky v prvním a druhém integrálu rovnaly.
K těmto úpravám použijeme jenom multiplikativní a aditivní konstanty (nenadělají "moc velkou neplechu" při integraci).
1
Přidáním násobku - máme ve druhém zlomku v čitateli výraz 1
- (7.x — 4) = x — 2. Koeficient u x je v pořádku.
I =    í     n   X       ^- dX
J x2-4x + 9 i    x2 - 4x + 9
1
• -(2x-4) = x-2 1
• -(2x -4) + 2 = x
• Nyní je v čitateli jenom x. Chybí číslo 5.
I =
x + 5
t2 - 4x + 9
dx
i(2x-4)+2+5 x2 - 4x + 9
dx
• -(2x-4) = x-2
• -(2x -4) + 2 = x
• -(2x-4) + 2 + 5 = x + 5
První a druhý zlomek jsou stejné, nedopustili jsme se žádné úpravy, která by změnila hodnotu zlomku.
--S
Najděte
x + 5
t2 - 4x + 9
dx.
I =
x + 5
t2 - 4x + 9
dx
i(2x-4)+2+5
x2 - 4x + 9 1 2x-4
dx
+
2 + 5
2 - 4x + 9    x2 - 4x + 9
dx
Rozdělíme zlomek na dva.
I=l „     X ^- dX
x2-4x + 9 i(2x-4)+2+5
x2 - 4x + 9
dx
1 2x-4 2 + 5
2 x2 - 4x + 9    x2 - 4x + 9
-ln|x2 -4x + 9| +
f{x) f{x)
= ln|/(x)| + C
NaJděte/^xT9dX'
I =    í     n   X       ^- dX
J x2-4x + 9
= /^2r4)+2+5dx
i    x2 - 4x + 9 M      2x-4 2 + 5
~~ i 2 ' x2 - 4x + 9 + x2 - 4x + 9 *
= žln'x2-4X + 9' + /(x-27)2 + 5
Doplníme na čtverec ve jmenovateli druhého zlomku.
x2 - 4x + 9 = x2 - 2 ■ 2 ■ x + 22 - 4 + 9 = (x - 2)2 + 5
Š|   El   H   133-cclLenk.Wibylovä.mÄ
1= I     * + 5 dx
i(2x-4)+2+5
dx
1 2x-4           2 + 5 — ■--|--dx
2 x2 - 4x + 9    x2 - 4x + 9
= žln'x2-4X + 9' + /(x-27)2 + 5dX
1,   , 2    „        ,    „    1 x-2 1
= - ln x2 - 4x + 9 + 7 ■ —= arctg —=r- ■ -
1 1 x
—=-■= dx = — arctg —, kde v našem případě A = V5,
A2 + x2 A        A r r
1
/(flx + b) dx = -F(ax + b), v našem případě a = 1
I=l „     X ^- dX
x2-4x + 9 i(2x-4)+2+5
x2 - 4x + 9
dx
1 2x-4 2 + 5
2 x2 - 4x + 9    x2 - 4x + 9
= žln'x2-4X + 9' + /(x-27)2 + 5dX = - ln x2 - 4x + 9 + 7 ■ -p arctg ■ -
1,  , ?    .       ,      7 x - 2 ^
= - ln x2 - 4x + 9 N---^ arctg —=- + C
1
Upravíme.
^Lm^lllUIJlUUJ.lUUll
Konec
©Lenka Přibylová, 2006