Integrace goniometrických funkcí.
Lenka Přibylová 28. července 2006
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Obsah
/
.   slnX    dx............................. 3
cos2 x + 1
sin2 x cos3 x dx ............................ ^
- 1 - dx................................ 20
sin x
©LenkaPřibylová, 2006Q
„ t • i „     ľ smi Najdete / -=-- dx.
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
siní , dx
COS2 X + 1
J
Funkce je vzhledem k funkci cos x rac. lomená a v násobení se sin x.
Cc) Lenka l%bylová, 2006
,T . ,„     , smi Naidete / -=-- dx.
' 1  COS2 X + 1
siní
COS2 X + 1
dx
COS X = t
Zavedeme substituci cos x = t.
Najděte
smx
cos2 x + 1
dx.
smx
cos2 x +1
dx
COS X = t
sin x dx = dř
Diferencuj eme.
Najděte
smx
cos2 x + 1
dx.
smx
cos
2X + 1
	COS X = t	
dx =	— sin x dx =	dř
	sin x dx = —	dř
J
Vyjádříme sin x dx.
„ t • i „     ľ    sin x     , i
Na]detey ^TTdx-l
	cos x = t	
dx =	— sin x dx =	dt
	sin x dx = —	dt
Dosadíme.
©Lenka P&bylová, 5iJÍV>|
„ t . i „     ľ    sin x     , i
Na]detey ^TTdx-l
	cos x = t	
dx =	— sin x dx =	dt
	sin x dx = —	dt
= — arctg t + c
Integrujeme.
„ x • i „     f    sin x     , i
Na]detey c^TTdx-l
	COS X = t	
dx =	— sin x dx =	dř
	sin x dx = —	dř
= — arctg t + c = — arctg(cos x) + c
I Navrátíme se k původní proměnné.
(C) Lenka Přibylovi, Mt|
Najděte / sin2 x cos3 x dx.
sin2 x cos3 x dx
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 20060
Najděte / sin2 x cos3 x dx.
sin2 x cos3 x dx = / sin2 xcos2 x cos x dx
I Funkce, které jsou vzhledem ke cos x v liché mocnině, je vhodné I rozepsat vytknutím cos x
Bl   B   B   B-Cíl Lenka Wibyloví, 2006 Q
Najděte / sin2 x cos3 x dx.
sin2 x cos3 x dx = / sin2 xcos2 x cos x dx
sin2 x(l — sin2 x)cos x dx
1
a přepisem pomocí vzorce cos2 x = 1 — sin2 x (analogicky pro sin x).
(V) Lenka Přibylová, 2006
Najděte / sin2 x cos3 x dx.
sin2 x cos3 x dx = I sin2 xcos2 x cos x dx
sin2 x(l — sin2 x)cos x dx
sinx = t
Zavedeme substituci sin x = t.
Najděte / sin2 x cos3 x dx.
sinW*d* = ysinW*cos*d* sin2 x(l — sin2 x)cos xdx =
sin x = t cos xdx = dt
Diferencuj eme.
Najděte / sin2 x cos3 x dx.
sinWxdx = ysinWxcosxdx sin2 x(l — sin2 x)cos x dx =
= / ŕ2(l-ŕ2)dŕ
sinx = t cos x dx = dř
Dosadíme.
Najděte / sin2 x cos3 x dx.
sinW*d* = ysinW*cos*d* sin2 x(l — sin2 x)cos xdx =
= I ř2(l-ř2)dř= / ř2-ř4dř
sinx = t cos xdx = dt
1
Roznásobíme.
^L^lllUpiUllM
Najděte / sin2 x cos3 x dx.
sinW*d* = ysinW*cos*d* sin2 x(l — sin2 x)cos xdx =
sin x = t cos xdx = dt
= / t2(i-t2)dt= / t2-rdt =
+ c
1
Integrujeme.
^Lm^lllUIJlUUJ.lUUll
Najděte / sin2 x cos3 x dx.
sinW*d* = ysinW*cos*d* sin2 x(l — sin2 x)cos xdx =
sinx = t cos xdx = dt
= / ř2(l-ř2)dř= / ř2-ř4dř =
+ c
sin3 x    sin5 x
+ c
1
Navrátíme se k původní proměnné.
^Lm^lllUylUUJ.lUUU
Najděte / -dx.
J sin x
)
EE1   Q Q
©Lenka Přibylová, 2006
I Integrand je vzhledem k funkci sin x v liché mocnině, proto budeme volit substituci t = cos x. Musíme tedy dostat do čitatele sinx.
1
I Najděte / -— dx.
SIM
)
1    ,       f siní , — dx = / —=— dx
smx J sin2x
B
I Rozšíříme zlomek.
-Co Lenka Mibylovä, Mt
Jmenovatel přepíšeme pomocí vzorce sin2 x = 1 — cos2 x.
Najděte
SIM
dx.
)
smx
dx =
smx
sin2 x
dx =
smx
dx
Zavedeme substituci cos x = t.
Najděte
SIM
dx.
)
SIM
dx =
SIM
sin2 x
dx =
smi
1
dx
COS X = t
sin x dx = dř
Diferencuj eme.
cos x = t	
— sin x dx =	dt
sin x dx = —	dt
I Vyjádříme sin x dx.
©Lenka Přibylová, 5UUŕ>|
Najděte
SIM
dx.
)
smx
dx =
smx
sin2 x
dx =
smx
COS X = t	
— sin x dx =	dř
sin x dx = —	dř
dx
dř
T^ř2
B
Dosadíme.
Najděte / —!— dx. I J sin x J
/ —-— dx = í sm* dx = í J smx J sin7 x J
cos x = t	
— sin x dx =	dŕ
sin x dx = —	dŕ
Integrujeme.
Najděte
SIM
dx.
]
SIM
dx =
smx
sin2 x
dx =
smx
COS X = t	
— sin x dx =	dř
sin x dx = —	dř
dx
dř
= -^In
1 + ř
1 - t
+ c
= "2ln
1 + COS X
1 — COS X
+ c =
1
Navrátíme se k původní proměnné.
^Lm^lllUIJlUUJ.lUUll
Najděte
SIM
dx.
)
SIM
dx =
sinx sin2 x
dx =
sinx
1 — cos2 x
COS X = t	
— sin x dx =	dř
sin x dx = —	dř
dx
dř 1 ,
= ~ ln
1 + COS X
1 — COS X
+ c = - ln
1 — COS X
1 + COS X
1 + t 1 - ř
+ c
+ c
Lze upravit.
Konec
©Lenka Přibylová, 2006