Derivace - základní pravidla
Lenka Pnbylová 6. března 2007
Obsah
y = x5 - x3 + 1    .......................      3
y = 2x4 + a/x + -......................       6
x
y = (x   +2) sin x    ......................     11
y = 31nxarctgx.......................     15
Derivujte y = x5 — x3 + 1.1
y' = (x5 -x3 + iy
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = x5 — x3 + 1.1
y' = (x5-x3 + iy = (x5y-(x3y + (iy
•  Funkcejeve tvaru součtu.
•  Derivace součtuje součet derivací.
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = x5 — x3 + 1.1
y' = (x5 - x3 + 1)' = (x5)' - (x3)' + (1)' = 5x4 - 3x2
•  První dva členy derivujeme podle vzorce (x™)' = nxn  ľ
•  Derivace konstanty je 0.
©Robert Marík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = 2x4 + y/x -\—.
y' = [2x4 + y/i + -x
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = 2x4 + y/x -\—.
/ =   hx4 + yfx + 1)    = (2X4)' + (VS)' +   ß)
•  Funkce je ve tvaru součtu.
•  Derivace součtuje součet derivací.
©Robert Marik a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = 2x4 + y/x -\—.
y'=   (2x4 + y/x-+^\    = (2X4)' + (y/X-)' +
= 2(x4y + (xiy + (x-1y
•  Konstantu v prvním členu lze vytknout.
•  Všechny členy přepíšeme do tvaru xn .
©Robert Mafík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = 2x4 + y/x -\—.
y' = UxA + yfx + ±)   = (2x4)' + (VS)' + ß)
= 2(x4)' + (x*)' + (x"1)' = 2 • 4x3 + iaT* + (-1) • x
nV __ ^^n—l
Cleny derivujeme podle vzorce (xn) = nx
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = 2x4 + y/x -\—.
y' = UxA + yfx + -M   = (2x4)' + (VS)' + ß)
= 2(x4)' + (x*)' + (x"1)' = 2 • 4x3 + -x-i + (-1) • x
= 8xd
1         1
2^
Výsledek upravíme.
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = (x2 + 2) sin x. I
y' = I (x2 + 2)sinx
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = (x2 + 2) sin x. I
y' = I (x2 + 2)sinx
Funkce je ve tvaru součinu.
©Robert Marík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = (x2 + 2) sin x.
• =((*> +2)*,* j
= (x2 + 2)'sinx + (x2 +2) (sin x)'
Součin derivujeme podle pravidla                                                j
[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x.             __________^J
BEI    El    IB    IBB                                                                                                    ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 Q
Derivujte y = (x2 + 2) sin x. I
y' = í (x2 + 2)sinx
= (x2 +2)'sinx+ (x2 +2) (sin x)' = 2xsinx + (x2 + 2)cosx.
Červeně označený člen derivujeme jako součet, přičemž derivace konstanty je 0.
©Robert Marík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = 3 In x arctg x. I
y' = í 3 In x arctg x
©Robert Marík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = 3 In x arctg x. I
y1 = í 3 In x arctg x = 3 í In xarctg x
\ytkneme-li konstantu, je funkce ve tvaru součinu.
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = 3 In x arctg x. I
y1 = í 3 In x arctg x = 3 í In xarctg x = 3 í (In x)'arctg x + In x(arctg x)'
Součin derivujeme podle pravidla
lf(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y = 3 In x arctg x. I
y1 = í 3 In x arctg x = 3 í In xarctg x
3 í (In x)'arctg x + In x(arctg x)'
X                            1 -\- X
Elementární funkce derivujeme podle vzorců.
El    El    B    133                                                                                                    ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y =
x + l
y =
„2     \ '
X+l
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y =
x + 1
y =
„2     \ '
X+1
Funkce je ve tvaru podílu.
©Robert Marík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y =
x + 1
y =
x2 y   (x2y(x + í)-x2(x + iy
x+í
{x+lf
Podíl derivujeme podle pravidla
f(x)
f'(x)g(x) - f(x)g'(x) g2 (x)
}
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y =
x + 1
y =
2     \'        (Jl\i
(x2y(x + i)-x2(x + iy
x+íj                    (x+1)2
2x(x+ 1) -x2l (x+ 1)2
Jednotlivé členy derivujeme podle základních vzorců.
El    El    B    133                                                                                                    ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y =
x + 1
y =
x2 y    (x2y(x + i)-x2(x + iy
x+íj                  (x+1)2
2x(x+l)-x2l      2x2 + 2x-x2       x2 + 2x
(x + 1)2
(x + 1)2          (x + 1)2
Výsledek upravíme.
©Robert Marík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y =
x + l
x + l
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y	xe	
	x + ľ	
■>/	xex	i
y	x + í	
Funkce je ve tvaru podílu.
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y	xe	
	x + ľ	
■>/	xex	i
y	x + í	
(xex)'(x + í) -xex(x+iy (x + 1)2
Podíl derivujeme podle pravidla
f(x)
f'(x)g(x) - f(x)g'(x) g2 (x)
}
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y	xe	
	x + ľ	
■>/	xex	i
y	x + í	
(xex)'(x + í) -xex(x+iy (x + 1)2
(ex + xex)(x + 1) — xexí (x + 1)2
Červený člen derivujeme jako součin podle pravidla
lf(x)g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Derivujte y =
x + 1
(xex)'(x + í) -xex(x+iy (x + 1)2
x + 1 (ex + xex)(x + 1) — xexí
(x+ 1)2 exx + ex + exx? + xe21 — xex       ex(x2 + x + 1)
(x+ 1)2
(x+1)2
Výsledek upravíme.
©Robert Marík a Lenka Přibylová, 20071