Lenka Přibylová UMS MU Brno Dvojné integrály I Obsah 1 Integrace na obdélníku 2 Integrace na elementární množině 2 11 3 Transformace do polárních souřadnic 18 Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 1. Integrace na obdélníku Dvojný integrál na obdélníkové oblasti Cí = [a, b] x [c, d] f(x,y)dxdy představuje objem tělesa pod plochou f(x,y) na oblasti Cí Podle Fubiniovy věty je roven integrálu b / ľd f(x,y)dy)dx respektive integrálu L [L f(X'^dx)dy- Je-li funkce f(x, y) součinem funkce proměnné x a funkce proměnné , pak platí rb rd g(x)h(y) dxdy = / g(x) dx / h(y) dy Ja Je Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 'uiz Vypočtěte integrál / / x y dxdy, kde Cl = [0,1] x [1,3]. n 1. Přepíšeme na dvojnásobný integrál x2y áy j dx 2. Najdeme primitivní funkci k x2y vzhledem k proměnné dx 3. Dosadíme meze i dx 4. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Quiz Stejný integrál / / x y dxdy, kde Q = [0,1] x [1,3] řešme pomocí opačné dvojnásobné n integrace. 1. Přepíšeme na dvojnásobný integrál 2y dx) dy 2. Najdeme primitivní funkci k x y vzhledem k proměnné dy 3. Dosadíme meze ■3 dy 4. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné 3 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Quiz Tentýž integrál x2y dxdy, kde Cl = [O,1] x [1,3] řešme pomocí rozkladu na součin dvou jednoduchých integrálů. 1. Přepíšeme na součin dvou integrálů x2 dx ydy 2. Najdeme primitivní funkce i 3. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit >uiz Vypočtěte integrál V áxáy,káeCí= [l,e] x [2,4]. 1. Přepíšeme na dvojnásobný integrál fdyjdx ^vV 3. Dosadíme meze 2. Najdeme primitivní funkci k — vzhledem k proměnné X 4 dx dx 4. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last Quiz Stejný integrál // dxdy, kde O, = [l,e] x [2,4] řešme pomocí opačné dvojnásobné n integrace. 1. Přepíšeme na dvojnásobný integrál - dxjdy V 2. Najdeme primitivní funkci k — vzhledem k proměnné X dy 3. Dosadíme meze ■4 dy 4. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Quiz Tentýž integrál V áxáy, kde Cl = [1, e] x [2,4] řešme pomocí rozkladu na součin dvou jednoduchých integrálů. 1. Přepíšeme na součin dvou integrálů 1 dx ydy 2. Najdeme primitivní funkce 3. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 'uiz Vypočtěte integrál // ln(xi/) dxdy, kde Q = [l,e] x [I,e\. n 1. Přepíšeme na dvojnásobný integrál ln(xi/) dy j dx v' = 2. Najdeme primitivní funkci k ln(xi/) vzhledem k proměnné integrací per partes, kde u = Dostáváme tedy \n(xy)d = + c 3. Dosadíme meze ln(xi/) dxdy : dx = i •>! 4. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí dx Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Quiz Tentýž integrál / / ln(xi/) dxdy, kde Cl = [1, e] x [1, e] řešme pomocí rozkladu na součin n dvou jednoduchých integrálů. 1. Nejprve upravíme integrovanou funkci pomocí vzorce na součet \n(xy) dxdy = // dxdy + // dxdy n n n 2. Oba integrály přepíšeme na součin jednoduchých integrálů dx dy dx dy 3. Najdeme primitivní funkci k ln(x) integrací per partes, kde u = , v' = Dostáváme tedy ln(x)dx = + c 4. Dosadíme meze ln(xi/) dxdy = 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí dx Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 2. Integrace na elementární množině Elementární množinou se rozumí uzavřená a omezená množina typu ClY = l \x,y] G K2 : a < x < b, f (x) : x = g(u,v), y = h(u,v), pak platí f(x,y) dxdy = // f(g(u,v),h(u,v))\](u,v)\dudv, ®(n) kde J(u,v) = je Jakobián S'u(u,v) g'v{u,v) h'u{u,v) h'v{u,v) í <$> a množina Cl je zobrazena na množinu <ř(fi) zobrazeni Nejčastěji užívanou transformací je transformace do polárních souřadnic. Jde o případy, kdy je množina Cl kruh, mezikruží nebo kruhová výseč apod. Polární souřadnice zavedeme pomocí zobrazení <ř : x = r cos x, x > 0. 1. Zavedeme polární souřadnice a přepíšeme na dvojnásobný integrál ár \átp 2. Rozepíšeme na dva jednoduché integrály dtp 3. Najdeme primitivní funkce tt/2 ti/4 4. Výsledek dostaneme dosazením mezí ár Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Quiz Vy uiz Vypočtěte integrál x2y +1/3 dxdy, kde Q je určena nerovnostmi x + y < 1, y > 0, x > 0. 1. Zavedeme polární souřadnice a přepíšeme na dvojnásobný integrál 2. Rozepíšeme na dva jednoduché integrály = / d* 3. Najdeme primitivní funkce tt/2 4. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Quiz Vyp )uiz Vypočtěte integrál / / J x2 + y2 dxdy, n kde Q je určena nerovnostmi x2 + y2 < 1, x2 + (y — l)2 < 1. 1. Zavedeme polární souřadnice a přepíšeme na dvojnásobný integrál d \ d 2. Najdeme primitivní funkci vzhledem k d 3. Dosadíme meze d 4. Najdeme primitivní funkci vzhledem k s použitím substituce t = : 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Připomínky a komentáře zašlete prosím na emailovou adresu pribylova@math.muni.cz. Lenka Přibylová - Dvojné integrály »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit