Přímá metoda integrace Robert Mařík a Lenka Přibylová 6. března 2007 c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Obsah (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 x + 3 x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 (x + 6)3 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 f (ax + b) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 tg x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4x x2 - 5 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 x + 2 x2 + 4x + 5 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1 x2 + 2x + 3 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c ˇ Integrál ze součtu je součet integrálů. ˇ Integrál násobku funkce je násobek integrálu. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c Vytkneme konstantu před integrál. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c Vytkneme konstantu a přepíšeme do mocninné funkce. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c Vytkneme konstantu a přepíšeme do mocninné funkce. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c Vytkneme konstantu -1. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c xn dx = xn+1 n + 1 + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c xn dx = xn+1 n + 1 + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c xn dx = xn+1 n + 1 + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c sin x dx = - cos x + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c ex dx = ex + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c Upravíme. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c Upravíme. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c Upravíme. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c Upravíme. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + c = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + c Upravíme. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte x + 3 x2 dx. x + 3 x2 dx = x x2 + 3 x2 dx = 1 x dx + 3 1 x2 dx = ln |x| + 3 x-1 -1 + c = ln |x| - 3 x + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte x + 3 x2 dx. x + 3 x2 dx = x x2 + 3 x2 dx = 1 x dx + 3 1 x2 dx = ln |x| + 3 x-1 -1 + c = ln |x| - 3 x + c Pro integrování je vhodnější součet, proto zlomek rozdělíme na dva. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte x + 3 x2 dx. x + 3 x2 dx = x x2 + 3 x2 dx = 1 x dx + 3 1 x2 dx = ln |x| + 3 x-1 -1 + c = ln |x| - 3 x + c Každý sčítanec integrujeme zvlášt', konstanty vytkneme před integrál. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte x + 3 x2 dx. x + 3 x2 dx = x x2 + 3 x2 dx = 1 x dx + 3 1 x2 dx = ln |x| + 3 x-1 -1 + c = ln |x| - 3 x + c 1 x dx = ln |x| + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte x + 3 x2 dx. x + 3 x2 dx = x x2 + 3 x2 dx = 1 x dx + 3 1 x2 dx = ln |x| + 3 x-1 -1 + c = ln |x| - 3 x + c xn dx = xn+1 n + 1 + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte x + 3 x2 dx. x + 3 x2 dx = x x2 + 3 x2 dx = 1 x dx + 3 1 x2 dx = ln |x| + 3 x-1 -1 + c = ln |x| - 3 x + c Nakonec výraz upravíme. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte 1 (x + 6)3 dx. I = 1 (x + 6)3 dx = (x + 6)-3 dx = (x + 6)-2 -2 = - 1 2(x + 6)2 + C c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte 1 (x + 6)3 dx. I = 1 (x + 6)3 dx = (x + 6)-3 dx = (x + 6)-2 -2 = - 1 2(x + 6)2 + C Jedná se o mocninnou funkci. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte 1 (x + 6)3 dx. I = 1 (x + 6)3 dx = (x + 6)-3 dx = (x + 6)-2 -2 = - 1 2(x + 6)2 + C ˇ f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b), kde F je integrál z f. ˇ V našem případě je f (x) = x-3 , F(x) = x-2 -2 a a = 1. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte 1 (x + 6)3 dx. I = 1 (x + 6)3 dx = (x + 6)-3 dx = (x + 6)-2 -2 = - 1 2(x + 6)2 + C Upravíme. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C ˇ 1 x dx = ln |x| ˇ f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b), v našem případě a = 2. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C Přepíšeme na mocninnou funkci. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C ˇ xn dx = 1 n + 1 xn+1 ˇ f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b), v našem případě a = -1. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C ˇ ex dx = ex ˇ f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b), v našem případě a = -1. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C ˇ ex dx = ex ˇ f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b), v našem případě a = 3. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte tg x dx. tg x dx = sin x cos x dx = - - sin x cos x dx = - (cos x) cos x dx = - ln | cos x| + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte tg x dx. tg x dx = sin x cos x dx = - - sin x cos x dx = - (cos x) cos x dx = - ln | cos x| + c V případě, že je v integrálu funkce tangens vždy jej rozepisujeme pomocí sinus a cosinus. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte tg x dx. tg x dx = sin x cos x dx = - - sin x cos x dx = - (cos x) cos x dx = - ln | cos x| + c ˇ Platí (cos x) = - sin x. Čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem. ˇ Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte tg x dx. tg x dx = sin x cos x dx = - - sin x cos x dx = - (cos x) cos x dx = - ln | cos x| + c Formálně použijeme vztah (cos x) = - sin x, abychom viděli vzorec f (x) f (x) dx = ln |f (x)| + c. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte tg x dx. tg x dx = sin x cos x dx = - - sin x cos x dx = - (cos x) cos x dx = - ln | cos x| + c f (x) f (x) dx = ln |f (x)| + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte 4x x2 - 5 dx. 4x x2 - 5 dx = 2 2x x2 - 5 dx = 2 ln |x2 - 5| + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte 4x x2 - 5 dx. 4x x2 - 5 dx = 2 2x x2 - 5 dx = 2 ln |x2 - 5| + c V případě jednoduché ryze lomené racionální funkce je vhodné použít vzorec f (x) f (x) dx = ln |f (x)| + c. Funkce f (x) = x2 - 5, proto v čitateli potřebujeme f (x) = 2x. Vytkneme před integrál 2. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte 4x x2 - 5 dx. 4x x2 - 5 dx = 2 2x x2 - 5 dx = 2 ln |x2 - 5| + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte x + 2 x2 + 4x + 5 dx. x + 2 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 2x + 4 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 (x2 + 4x + 5) x2 + 4x + 5 dx = 1 2 ln(x2 + 4x + 5) + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte x + 2 x2 + 4x + 5 dx. x + 2 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 2x + 4 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 (x2 + 4x + 5) x2 + 4x + 5 dx = 1 2 ln(x2 + 4x + 5) + c ˇ Platí (x2 + 4x + 5) = 2x + 4. Čitatel se tedy liší od derivace jme- novatele jenom konstantím násobkem. ˇ Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte x + 2 x2 + 4x + 5 dx. x + 2 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 2x + 4 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 (x2 + 4x + 5) x2 + 4x + 5 dx = 1 2 ln(x2 + 4x + 5) + c Přepíšeme do tvaru f (x) f (x) dx. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte x + 2 x2 + 4x + 5 dx. x + 2 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 2x + 4 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 (x2 + 4x + 5) x2 + 4x + 5 dx = 1 2 ln(x2 + 4x + 5) + c f (x) f (x) dx = ln |f (x)| + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte 1 x2 + 2x + 3 dx. 1 x2 + 2x + 3 dx = 1 2 1 (x + 1)2 + 2 dx = 1 2 arctg x + 1 2 + c c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte 1 x2 + 2x + 3 dx. 1 x2 + 2x + 3 dx = 1 2 1 (x + 1)2 + 2 dx = 1 2 arctg x + 1 2 + c Tentokrát předchozí postup nelze použít. V čitateli je konstanta. Použijeme proto vzorec 1 x2 + A2 dx = 1 A arctg x A c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte 1 x2 + 2x + 3 dx. 1 x2 + 2x + 3 dx = 1 2 1 (x + 1)2 + 2 dx = 1 2 arctg x + 1 2 + c Jmenovatel přepíšeme do tvaru (x + něco)2 + zbylá konstanta. Tomuto triku říkáme doplnění na čtverec: x2 + ax + b = x + a 2 2 - a2 4 + b c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte 1 x2 + 2x + 3 dx. 1 x2 + 2x + 3 dx = 1 2 1 (x + 1)2 + 2 dx = 1 2 arctg x + 1 2 + c Nyní použijeme vzorec f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b) + c pro f (x) = 1 x2 + 2 , tedy f (x + 1) dx = F(x + 1) + c = 1 2 arctg x + 1 2 + c. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C Upravíme podle vzorce (a + b)2 : (ex + e-x )2 = e2x + 2ex e-x + e-2x = e2x + 2 + e-2x c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + CIntegrujeme podle vzorců ex dx = ex , 1 dx = x , f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b) , kde f (x) dx = F(x). c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C Použijeme vzorec sin(2x) = 2 sin x cos x c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C Integrujeme podle vzorců sin x dx = - cos x a f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b) , kde f (x) dx = F(x). c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C Vzorec sin2 x = 1 - cos(2x) 2 c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C cos x dx = sin x f (ax + b) = 1 a F(ax + b) c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × KONEC c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×