Integrace iracionálních funkcí
Lenka Přibylová
6. března 2007
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Obsah

2x + 1
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1

x + x1/4
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
Funkce obsahuje odmocninu z lineárního členu,
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
proto zavedeme substituci t =

2x + 1.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
Umocníme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
Vyjádříme inverzní substituci.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
Diferencujeme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
Dosadíme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
Dosadíme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
Dosadíme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
Upravíme složený zlomek na jednoduchý.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
Jde o neryze lomenou racionální funkci, proto bud'podělíme, nebo
upravíme na polynom + ryze lomená funkce. V tomto případě je
jednodušší doplnit v čitateli jmenovatel, tj. -1 + 1,
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
a rozdělit na 2 zlomky.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
a rozdělit na 2 zlomky.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
Integrujeme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2x + 1
x
dx.

2x + 1
x
dx =

2x + 1 = t
2x + 1 = t2
x =
t2 - 1
2
dx = t dt
=
t
t2-1
2
t dt = 2
t2
t2 - 1
dt
= 2
t2 - 1 + 1
t2 - 1
dt = 2 1 dt + 2
1
t2 - 1
dt
= 2t -
2
2
ln
1 + t
1 - t
+ c
= 2

2x + 1 - ln
1 +

2x + 1
1 -

2x + 1
+ c
Upravíme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ c
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ c
Funkce obsahuje druhou a čtvrtou odmocninu z x, proto hledáme
jejich nejmenší společný násobek, číslo 4.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ c
Zavedeme substituci t = 4

x.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ c
Umocníme, čímž vyjádříme inverzní substituci.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ c
Diferencujeme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ c
Dosadíme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ c
Dosadíme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ c
Dosadíme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ c
Upravíme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ c
Dostáváme neryze lomenou racionální funkci. Před podělením si
můžeme všimnout, že lze krátit t (ve jmenovateli t můžeme vytknout).
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ cDělíme:
t2
: (t + 1) = t - 1 +
1
t + 1
-(t2
+ t)
- t
-(-t - 1)
1
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ c
Sčítance integrujeme každý zvlášt'.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ c
Integrujeme podle vzorců.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1

x + x1/4
dx.
1

x + 4

x
dx =
4

x = t
x = t4
dx = 4t3
dt
=
1

t4 +
4

t4
4t3
dt = 4
t3
t2 + t
dt
= 4
t2
t + 1
dt = 4 t - 1 +
1
t + 1
dt = 4 t dt - 4 dt + 4
1
t + 1
dt
= 4
t2
2
- 4t + 4 ln |t + 1| + c = 2

x - 4 4

x + ln( 4

x + 1)4
+ c
Dosadíme původní proměnnou.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
KONEC
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×