První derivace a lokální extrémy Robert Mařík 6. března 2007 c Robert Mařík, 2007 × Obsah Extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1 . . . . . . . . . . . . 3 Extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Extrémy funkce y = x (1 + x)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Extrémy funkce y = x3 x - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Extrémy funkce y = x2 e-x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Extrémy funkce y = x2 ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1 a určete intervaly monotonosti. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 y = (x3 ) - 2(x2 ) + (x) + (1) = 3x2 - 4x + 1 + 0 = 3x2 - 4x + 1 3x2 - 4x + 1 = 0 x1 2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1 a určete intervaly monotonosti. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 y = (x3 ) - 2(x2 ) + (x) + (1) = 3x2 - 4x + 1 + 0 = 3x2 - 4x + 1 3x2 - 4x + 1 = 0 x1 2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 ˇ Určíme definiční obor funkce. ˇ Nejsou žádná omezení, je tedy funkce definovaná (a spojitá) na R. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 y = (x3 ) - 2(x2 ) + (x) + (1) = 3x2 - 4x + 1 + 0 = 3x2 - 4x + 1 3x2 - 4x + 1 = 0 x1 2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 Vypočteme derivaci. Užijeme vzorec pro derivaci součtu a násobku. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 y = (x3 ) - 2(x2 ) + (x) + (1) = 3x2 - 4x + 1 + 0 = 3x2 - 4x + 1 3x2 - 4x + 1 = 0 x1 2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 Vypočítáme jednotlivé derivace podle vzorce (xn ) = nxn-1 . c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 y = (x3 ) - 2(x2 ) + (x) + (1) = 3x2 - 4x + 1 + 0 = 3x2 - 4x + 1 3x2 - 4x + 1 = 0 x1 2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 Upravíme. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 3x2 - 4x + 1 = 0 x1 2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 x1 = 1 x2 = 1 3 x2 = 1 MAX x1 = 1 min ˇ Chceme zjistit, kde funkce roste a kde klesá. ˇ K tomu stačí zjistit, kde je kladná a kde je záporná derivace. ˇ Musíme tedy nejprve hledat body, kde derivace může změnit znaménko. Body nespojitosti derivace nemá a soustředíme se na body, kde je derivace nulová. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 3x2 - 4x + 1 = 0 x1 2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 x1 = 1 x2 = 1 3 x2 = 1 MAX x1 = 1 min Řešíme kvadraticou rovnici. Řešení rovnice ax2 + bx + c = 0 je x1 2 = -b b2 - 4ac 2a . c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 3x2 - 4x + 1 = 0 x1 2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 x1 = 1 x2 = 1 3 x2 = 1 MAX x1 = 1 min Upravíme. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 3x2 - 4x + 1 = 0 x1 2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 x1 = 1 x2 = 1 3 x2 = 1 MAX x1 = 1 min Určíme řešení. Rovnice má dva reálné různé kořeny. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 ˇ Vyznačíme stacionární body na reálnou osu. ˇ Body nespojitosti nejsou, nevynášíme tedy už nic dalšího. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 ˇ Zvolíme číslo z prvního intervalu (- 1 3 ). Uvažujme například číslo 1 = 0. ˇ Vypočteme y (0) = 302 -40+1 = 1 > 0. Funkce je rostoucí na intervalu (- 1 3 ). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Podobně, protože platí y ( 1 2 ) = 3 1 4 - 4 1 2 + 1 = - 1 4 < 0, je funkce klesající na intervalu ( 1 3 1). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Monotonie se mění v bodě x2. Funkce má v tomto bodě lokání maximum. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Platí y (2) = 3 22 - 4 2 + 1 = 5 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Monotonie se mění v bodě x1 = 1 a je zde lokální extrém ­ lokální minimum. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min Hotovo! c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 a určete intervaly monotonosti. Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 y = 4 1 + x 1 - x 3 1(1 - x) - (1 + x)(-1) (1 - x)2 = 4 (1 + x)3 (1 - x)3 1 - x + 1 + x (1 - x)2 = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 Stacionární bod: x1 = -1 min c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 y = 4 1 + x 1 - x 3 1(1 - x) - (1 + x)(-1) (1 - x)2 = 4 (1 + x)3 (1 - x)3 1 - x + 1 + x (1 - x)2 = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 Stacionární bod: x1 = -1 min Určíme definiční obor funkce. Jediné omezení pochází ze jmenovatele zlomku. 1 - x = 0 t.j. x = 1 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 y = 4 1 + x 1 - x 3 1(1 - x) - (1 + x)(-1) (1 - x)2 = 4 (1 + x)3 (1 - x)3 1 - x + 1 + x (1 - x)2 = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 Stacionární bod: x1 = -1 min ˇ Derivujeme složenou funkci. Vněší složka je mocninná funkce, kterou derivujeme podle pravidla (x4 ) = 4x3 ˇ Vnitřní složka je zlomek, který derivujeme podle pravidla u v = u v - uv v2 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 y = 4 1 + x 1 - x 3 1(1 - x) - (1 + x)(-1) (1 - x)2 = 4 (1 + x)3 (1 - x)3 1 - x + 1 + x (1 - x)2 = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 Stacionární bod: x1 = -1 min Upravíme druhý zlomek. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 y = 4 1 + x 1 - x 3 1(1 - x) - (1 + x)(-1) (1 - x)2 = 4 (1 + x)3 (1 - x)3 1 - x + 1 + x (1 - x)2 = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 Stacionární bod: x1 = -1 min Ještě upravíme. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 Stacionární bod: x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Našli jsme derivaci y . ˇ Omezení na x plynoucí z y jsou stejná, jako byla u původní funkce. Derivace je tedy definována na množině R \ {1}. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 Stacionární bod: x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Hledáme body, kde y = 0. ˇ Podíl je nula, pokud je čitatel nula. Jediný stacionární bod je tedy řešením rovnice (1 + x)3 = 0 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Vyznačíme stacionární bod a bod nespojitosti na osu. ˇ Osa je rozdělena na tři podintervaly. Na každém podintervalu má funkce ve všech bodech tentýž typ monotonie. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Zkoumáme typ monotonie na intervalu (- -1) ˇ Vybereme libovolný testovací bod z tohoto intervalu. ˇ Buď 1 = -2 takový testovací bod. ˇ Určíme derivaci v tomto bodě. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 y (-2) = 8 (1 - 2)3 (1 - (-2))5 = 8 -1 35 < 0 Derivace je záporná a funkce klesá v bodě 2 = -2 a na intervalu (- -1). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Podobně naložíme s bodem 2 = 0, který náleží do intervalu (-1 1) a splňuje y (0) = 8 1 15 > 0 Funkce je rostoucí v bodě 2 = 0 a na intervalu (-1 1). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Konečně, bod 3 = 2 patří do intervalu (1 ) a splňuje y (2) = 8 (1 + 2)3 (1 - 2)5 < 0 Funkce je klesající v bodě 3 = 2 a na intervalu (1 ). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Funkce má lokální minimum v x = -1. ˇ Funkce nemá žádný další lokální extrém. Zejména, funkce nemá extrém v bodě x = 1, protože 1 Dom(f ). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . Dom(f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 Hotovo! c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 - x 3(1 + x)2 ((1 + x)3)2 = (1 + x)2 (1 + x - 3x) (1 + x)6 = 1 - 2x (1 + x)4 Stacionární bod: x1 = 1 2 MAX c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 - x 3(1 + x)2 ((1 + x)3)2 = (1 + x)2 (1 + x - 3x) (1 + x)6 = 1 - 2x (1 + x)4 Stacionární bod: x1 = 1 2 MAX Určíme definiční obor. Jediné omezení plyne ze jmenovatele zlomku: 1 + x = 0 t.j. x = -1 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 - x 3(1 + x)2 ((1 + x)3)2 = (1 + x)2 (1 + x - 3x) (1 + x)6 = 1 - 2x (1 + x)4 Stacionární bod: x1 = 1 2 MAX ˇ Derivujeme funkci podle pravidla pro derivaci podílu. ˇ Při derivování jmenovatele (1 + x)3 neumocňujeme, ale použi- jeme řetězové pravidlo ((1+x)3 ) = 3(1+x)2 (1+x) = 3(1+x)2 . Tento trik umožní v dalším kroku vytknout a zkrátit. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 - x 3(1 + x)2 ((1 + x)3)2 = (1 + x)2 (1 + x - 3x) (1 + x)6 = 1 - 2x (1 + x)4 Stacionární bod: x1 = 1 2 MAX Upravíme čitatel druhého zlomku. Vytkneme výraz (1 + x)2 před závorku v čitateli. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 - x 3(1 + x)2 ((1 + x)3)2 = (1 + x)2 (1 + x - 3x) (1 + x)6 = 1 - 2x (1 + x)4 Stacionární bod: x1 = 1 2 MAX Zkrátíme (1 + x)2 a upravíme. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 Stacionární bod: x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0ˇ Máme derivaci y . ˇ Definiční obor této derivace se shoduje s definičním oborem původní funkce, t.j. R \ {-1}. ˇ Budeme zkoumat znaménko derivace. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 Stacionární bod: x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Hledáme nejprve body, kde platí y = 0. ˇ Zlomek je nulový, pokud je nulový čitatel. Jediný stacionární bod je tedy řešením rovnice 1 - 2x = 0 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Zakreslíme stacionární bod a bod nespojitosti na reálnou osu. ˇ Osa je rozdělena na tři podintervaly. Funkce zachovává na ka- ždém intervalu typ monotonie. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Zkoumejme interval (- -1) ˇ Zvolíme v tomto intervalu testovací bod. ˇ Nechť 1 = -2 je testovací bod. ˇ Určíme derivaci v tomto bodě. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 y (-2) = 1 - 2(-2) (1 - 2)6 = 5 1 > 0 Derivace je kladná a funkce roste v bodě 2 = -2 a na intervalu (- -1). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Podobně, bod 2 = 0 leží v intervalu (-1 1 2 ) a splňuje y (0) = 1 1 > 0 Funkce je rostoucí v bodě 2 = 0 a na intervalu (-1 1 2 ). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Konečně, platí y (2) = 1 - 4 34 < 0 Funkce klesá v bodě 3 = 2 a na intervalu ( 1 2 ). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Funkce má lokální maximum v bodě x = 1 2 . ˇ Funkce nemá žádný další lokální extrém. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . Dom(f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX Hotovo! c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 y = (x3 ) (x - 1) - x3 (x - 1) (x - 1)2 = 3x2 (x - 1) - x3 (1 - 0) (x - 1)2 = 2x3 - 3x2 (x - 1)2 = x2 (2x - 3) (x - 1)2 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 y = (x3 ) (x - 1) - x3 (x - 1) (x - 1)2 = 3x2 (x - 1) - x3 (1 - 0) (x - 1)2 = 2x3 - 3x2 (x - 1)2 = x2 (2x - 3) (x - 1)2 x2 (2x - 3) Určíme definiční obor. Nesmí být nula ve jmenovateli. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 y = (x3 ) (x - 1) - x3 (x - 1) (x - 1)2 = 3x2 (x - 1) - x3 (1 - 0) (x - 1)2 = 2x3 - 3x2 (x - 1)2 = x2 (2x - 3) (x - 1)2 x2 (2x - 3) Derivujeme podíl podle vzorce u v = u v - uv v2 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 y = (x3 ) (x - 1) - x3 (x - 1) (x - 1)2 = 3x2 (x - 1) - x3 (1 - 0) (x - 1)2 = 2x3 - 3x2 (x - 1)2 = x2 (2x - 3) (x - 1)2 x2 (2x - 3) Doderivujeme c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 y = (x3 ) (x - 1) - x3 (x - 1) (x - 1)2 = 3x2 (x - 1) - x3 (1 - 0) (x - 1)2 = 2x3 - 3x2 (x - 1)2 = x2 (2x - 3) (x - 1)2 x2 (2x - 3) Upravíme. Zde je jedno jestli nejprve roznásobíme nebo vytkneme, protože roznásobujeme jenom mocninou x. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 y = (x3 ) (x - 1) - x3 (x - 1) (x - 1)2 = 3x2 (x - 1) - x3 (1 - 0) (x - 1)2 = 2x3 - 3x2 (x - 1)2 = x2 (2x - 3) (x - 1)2 x2 (2x - 3) Rozložíme na součin. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 x2 (2x - 3) (x - 1)2 = 0 x2 (2x - 3) = 0 x1 2 = 0 x3 = 3 2 x1 2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min ˇ Našli jsme derivaci. Zajímá nás, kdy je tato derivace kladná a kdy záporná. ˇ Předně: derivace není definovaná pro x = 1. ˇ Dále řešíme rovnici y = 0. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 x2 (2x - 3) (x - 1)2 = 0 x2 (2x - 3) = 0 x1 2 = 0 x3 = 3 2 x1 2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min Zlomek je nulový právě tehdy, když je nulový čitatel zlomku. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 x2 (2x - 3) (x - 1)2 = 0 x2 (2x - 3) = 0 x1 2 = 0 x3 = 3 2 x1 2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min Součin je nula jestliže je alespoň jeden ze součinitelů roven nule. Řešíme tedy rovnice x2 = 0 a 2x - 3 = 0 . c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 x1 2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1 2) < 0 y (2) > 0 ˇ Máme stacionární body a body, kde derivace není definována (a je nespojitá). ˇ Jedině v těchto bodech může derivace měnit znaménko. Vyne- seme tyto body na reálnou osu. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 x1 2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1 2) < 0 y (2) > 0 Počítáme derivace v libovolných bodech, po jednom z každého podintervalu. y (-1) = (-1)2 (-2 - 3) něco kladného = -5 něco kladného < 0 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 x1 2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1 2) < 0 y (2) > 0 y ( 1 2 ) = 1 4 (1 - 3) něco kladného < 0 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 x1 2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1 2) < 0 y (2) > 0 y (1 2) = (1 2)2 (2 4 - 3) něco kladného < 0 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 x1 2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1 2) < 0 y (2) > 0 y (2) = (2)2 (4 - 3) něco kladného > 0 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 x1 2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1 2) < 0 y (2) > 0 Pouze v bodě x = 3 2 se mění charakter monotonie. V tomto bodě je lokální minimum. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x - 3) (x - 1)2 ; x1 2 = 0, x3 = 3 2 x1 2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1 2) < 0 y (2) > 0 Hotovo. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 Určíme definiční obor funkce. Jediné omezení plyne ze jmenovatele zlomku. Tedy x = 0 c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 Derivujeme podíl podle vzorce u v = u v - uv v2 kde u = 3x + 1 a v = x3 . c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Hledáme nejprve body, kde je derivace nulová. ˇ Abychom měli později snadné a pohodlné, co nejvíce upravíme a rozložíme na součin. ˇ Vytkneme tedy faktor 3x2 . c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Zkrátíme faktorem x2 . ˇ Konstantní násobek 3 napíšeme před zlomek. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 Upravíme. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 Vytkneme záporné znaménko. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Definiční obor derivace je shodný s definičním oborem původní funkce. ˇ Hledáme nejprve stacionární body. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Podíl je nulový, pokud je nulový čitatel. ˇ 2x +1 = 0 pro x = - 1 2 . Bod x1 = - 1 2 je jediným stacionárním bodem zadané funkce. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Vyznačíme bod nespojitosti a stacionární bod na osu x. ˇ Osa x je rozdělena na podintervaly. Na každém podintervalu je zachován tentýž typ monotonie pro všechna x náležející do tohoto podintervalu. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 Zvolíme testovací bod z intervalu (- - 1 2 ). Nechť je to bod 1 = -1. Vypočteme derivaci v bodě 1. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 y (-1) = -3 -2 + 1 (-1)4 > 0 Funkce je tedy rostoucí v bodě 1 = -1 a totéž platí pro všechny body z intervalu (- - 1 2 ). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 Zvolíme bod 2 = - 1 4 z intervalu (- 1 2 0). Určíme derivaci v tomto bodě. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 y (-1/4) = -3 -1 2 + 1 kladný výraz < 0 a funkce je tedy klesající v bodě 2 = -1/4 a i na celém intervalu (- 1 2 0). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 Podobně, pro 3 = 1 dostáváme y (1) = -3 2 + 1 kladný výraz < 0 a funkce je klesající v bodě 3 = 1 a na intervalu (0 ). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Funkce je spojitá na R \ {0}. ˇ Funkce má lokální maximum v bodě x = - 1 2 a nemá žádný další lokální extrém. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . Dom(f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Problém je vyřešen! ˇ Všechno co se týká monotonie plyne z nakresleného schematu. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x2 e-x a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; y = (x2 ) e-x + x2 (e-x ) = 2xe-x + x2 (-1)e-x = e-x (2x - x2 ) = e-x x(2 - x) Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x2 e-x a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; y = (x2 ) e-x + x2 (e-x ) = 2xe-x + x2 (-1)e-x = e-x (2x - x2 ) = e-x x(2 - x) Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX Na proměnnou x nemní třeba naložit žádné omezující podmínky a proto je defičním oborem celá množina R. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x2 e-x a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; y = (x2 ) e-x + x2 (e-x ) = 2xe-x + x2 (-1)e-x = e-x (2x - x2 ) = e-x x(2 - x) Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX Použijeme pravidlo pro derivaci součinu (uv) = u v + uv pro u = x2 a v = e-x . c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x2 e-x a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; y = (x2 ) e-x + x2 (e-x ) = 2xe-x + x2 (-1)e-x = e-x (2x - x2 ) = e-x x(2 - x) Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX Dále použijeme derivaci mocninné funkce x2 a funkci e-x derivujeme podle pravidla pro derivaci složené funkce. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x2 e-x a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; y = (x2 ) e-x + x2 (e-x ) = 2xe-x + x2 (-1)e-x = e-x (2x - x2 ) = e-x x(2 - x) Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX ˇ Hledáme body s nulovou derivací: y = 0. ˇ Abychom tuto rovnici snadno vyřešili, rozložíme na součin. ˇ Vytkneme opakující se výraz e-x . c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x2 e-x a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; y = (x2 ) e-x + x2 (e-x ) = 2xe-x + x2 (-1)e-x = e-x (2x - x2 ) = e-x x(2 - x) Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX Kvadratický výraz v závorce je možno rozložit na součin vytknutím x. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x2 e-x a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX ˇ Nyní vidíme všechny stacionární body. ˇ Derivace je nula tehdy a jen tehdy, když alespoň jeden z výrazů v součinu je nulový. ˇ Výraz e-x není roven nule nikdy. ˇ Výraz (x - 2) je roven nule pro x = 2. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x2 e-x a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX ˇ Vyznačíme stacionární body na reálnou osu. Body nespojitosti derivace nemá ˇ Osa je rozdělena na tři podintervaly. ˇ Ve všech bodech jednoho každého podintervalu je stejný typ monotonie. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x2 e-x a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX Zvolíme libovolného reprezentanta z prvního intervalu (- 0). nechť tímto reprezentantem je číslo 1 = -1. Vypočteme derivaci v 1: y (-1) = e-(-1) (-1)(2 - (-1)) = e1 (-1)3 < 0 Funkce je tedy klesající v bodě 1 a totéž platí pro všechny body intervalu (- 0). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x2 e-x a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX Zvolíme reprezentanta 2 = 1 v intervalu (0 2). Derivace y (1) = e-1 1(2 - 1) = e-1 > 0 je v tomto bodě kladná a funkce roste v bodě 2 = 1 a i v celém intervalu (0 2). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x2 e-x a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX Zvolíme reprezentanta 3 = 3 v intervalu (2 ). Derivace y (3) = e-3 3(2 - 3) = -3e-3 < 0 je záporná a funkce klasá v bodě 3 = 3 a klesá i v celém intervalu (2 ). c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x2 e-x a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX ˇ Funkce je spojitá na R. ˇ Ze schématu s monotonií plyne že fuknce má lokální minimum v bodě x = 0 a maximum v bodě x = 2. c Robert Mařík, 2007 × Najděte lokální extrémy funkce y = x2 e-x a určete intervaly monotonie. Dom(f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX ˇ Vyřešeno! c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Určete též intervaly monotonosti. Dom(f ) = R+ \ {1} = (0 1) (1 ) y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stacionární bod: x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = R+ \ {1} = (0 1) (1 ) y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stacionární bod: x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ Určíme definiční obor. ˇ Omezení z logaritmické funkce je x > 0. ˇ Omezení ze jmenovatele zlomku je ln x = 0. Protože ln x = 0 pro x = e0 = 1, je toto ekvivalentní podmínce x = 1. ˇ Definiční obor je Dom(f ) = R+ \ {1} = (0 1) (1 ) c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = R+ \ {1} = (0 1) (1 ) y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stacionární bod: x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min Derivujeme pomocí vzorce pro derivaci podílu u v = u v - uv v2 kde u = x2 a v = ln x. c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = R+ \ {1} = (0 1) (1 ) y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stacionární bod: x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min Upravíme čitatele. c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = R+ \ {1} = (0 1) (1 ) y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stacionární bod: x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ Najdeme body kde platí y = 0. ˇ Zlomek je roven nule, jestliže je jeho čitatel roven nule. Roz- ložíme tedy čitatel na součin vytknutím x. c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = R+ \ {1} = (0 1) (1 ) y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stacionární bod: x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ Nyní snadno najdeme stacionární body. ˇ Zlomek je nulový, jetstliže některý z činitelů v čitateli je roven nule. c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = R+ \ {1} = (0 1) (1 ) y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stacionární bod: x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ Činitel (2 ln x - 1) je nula pro ln x = 1 2 , tj. pro x = e1/2 c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = R+ \ {1} = (0 1) (1 ) y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stacionární bod: x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ Činitel x není na uvažovaném definičním oboru nikdy roven nule. ˇ Nedostáváme žádný další stacionární bod. c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ K dalšímu výpočtu potřebujeme již jen derivaci a stacinární bod. ˇ Omezení na definiční obor derivace jsou stejná jako omezení pro původní funkci a derivace tedy existuje na celém definičním oboru funkce. c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ Vyznačíme definiční obor derivace (i s bodem nespojitosti) a stacionární bod na osu x. ˇ Protože 1 = e0 a 0 < 1/2, platí 1 < e1/2 (Exponenciální funkce je rostoucí). c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ Osa x je nyní rozdělena na několik podintervalů. Levý z nich neleží v definičním oboru. ˇ Uvnitř každého z podintervalů, které náleží do definičního oboru, je zachován typ monotonie pro všechna x. c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min Buď 1 = e-1 reprezentant z prvního podintervalu. Derivace v bodě 1 je záporná, protože y (-1) = e-1 (-2 - 1) (-1)2 < 0 kde jsme použili ln(e-1 ) = -1. Funkce klesá v bodě 1 a totéž platí i na celém intervalu (0 1). c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min Bod 2 = e1/4 splňuje 1 < e1/4 < e1/2 a ln(e1/2 ) = 1 2 . Odsud y (e1/4 ) = e1/4 (1 2 - 1) 1 2 2 < 0 c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min 3 = e splňuje 1 < e a ln(e) = 1. Odsud y (e) = e(2 - 1) 12 > 0 c Robert Mařík, 2007 × Určete lokální extrémy funkce y = x2 ln x . Dom(f ) = (0 1) (1 ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min Hotovo. Funkce má jediné lokální minimum v bodě x = e 1 2 a nemá žádné lokální maximum. c Robert Mařík, 2007 × Konec c Robert Mařík, 2007 ×