Lineární algebra Teorie a řešené příklady Robert Mařík 6. března 2007 B B ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 Q Obsah Hodnost 4 Úloha 1................................ 7 Úloha 2................................ 20 Determinant 32 Úloha 3................................ 34 Úloha 4................................ 35 Úloha 5................................ 38 Úloha 6................................ 41 Úloha 7................................ 44 Úloha 8................................ 54 Inverzní matice 62 Úloha 9................................ 63 Úloha 10............................... 68 Úloha 11............................... 80 Q Q 133 ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 Q Soustavy lineárních rovnic 93 Úloha 12............................... 98 Úloha 13............................... 122 Úloha 14............................... 144 Úloha 15............................... 167 Úloha 16............................... 192 Shrnutí 212 ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 Q Hodnost Definice (hodnost matice): Buď A matice. Hodností matice rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A označujeme h(A). Poznámka 1 (lineární závislost a nezávislost algebraických vektorů). Buď A matice o m řádcích. • Je-li h(A) = m, jsou řádky tvořeny lineárně nezávislými vektory. • Je-li h(A) < m, jsou řádky tvořeny lineárně závislými vektory. • h(A) > m nenastane. B B ©Robert Marík a Lenka Přibylová, 2007 Q Definice (schodovitý tvar): Řekneme, že matice A je ve schodovitém tvaru, jestliže případné nulové řádky jsou uspořádány na konci matice a nenulové jsou uspořádány tak, že každý následující řádek začíná větším počtem nul než řádek předchozí. Věta 1 (hodnost matice ve schodovitém tvaru). Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. Příklad 1. Matice A = 0 (1 2 2 3 -1 5\ 3 1 0/ 1 0 2 0 3 0 0 0 1 0 0 0 \0 0 0 0 /2 2 2 tvaru a h(A) = 3. Matice B = 0 0 1 \0 0 3 -1 dovitém tvaru a její hodnost na první pohled nepoznáme. je ve schodovitém není ve scho- ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Věta 2 (operace zachovávající hodnost matice). Následující operace nemění hodnost matice: • vynechánířádku složeného ze samých nul, nebo vynechánířádku, který je totožný s jiným řádkem, nebo vynechání řádku, který je násobkem jiného řádku • vynásobení nebo vydělení libovolného řádku nenulovým číslem • záměna pořadí libovolného počtu řádků • ponechání jednoho řádku beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku k nenulovým násobkům ostatních řádků matice Věta 3. Libovolnou matici lze konečným počtem úprav z Věty 2 převést do schodovitého tvaru. Věta 4. Transponování nemění hodnost matice. B B ©Robert Marík a Lenka Přibylová, 2007 Q Najděte hodnost matice A. 1 / 3 -1 0 1 -2 \ A = 2 1-1 2-3 3-2-1 1 -2 \ 2 -5 1-2 2 / ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 Q Najděte hodnost matice A. I / 3 -1 0 1 -2 \ 2 1-1 2-3 3-2-1 1 -2 \ 2 —5 1-2 2 / A = /2 -1 2 -3 \ ) • Zvolíme červený řádek jako klíčový. • Tento řádek zůstává a píšeme ho jako první. Najděte hodnost matice A. ( 3 -1 0 1 - 2 1-1 2-3' (-3) 3-2-1 1-2 V 2 -5 1-2 2 A = 2v\2 (2 3M-3) 0 "3\ 5 [2Ri-3R2 = "-EH B B M Najděte hodnost matice A. I / 3 -1 0 1 -2 \ / 2 2 1-12 -3 n (-3) 0 3-2-1 1 -2^2'~ 0 V 2 -5 1-2 2 ) \ A = 1 -1 2 "3\ 5 3 -4 5 7 1 -4 5 2R3 -3R2 = ... ěeI El la laa—~"^~ Najděte hodnost matice A. 1 f2 0 0 1 -5 -7 -6 -1 3 1 2 2 -4 -4 -4 A = / 3 -1 0 1 -2 \ 2 1-12 -3n(-i) 3-2-1 1 -2 )| '~ \ 2 -5 1-2 27 1 Ol Ol Ol OJ \R4-R2 = ... B B B H---------- Najděte hodnost matice A. I / 3 -1 0 1 -2 \ 2 1-1 2-3 3-2-1 1-2 V 2 -5 1-2 2 / / 2 1-1 2 -3 \ První řádek zůstává. ŕ2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 \o -6 2 -4 5 ©Robert Mafik a Lenka Přibylová, 50071 Najděte hodnost matice A. I / 3 -1 0 1 -2 \ / 2 2 1-12-3 0 3-2-11-2 0 V 2 -5 1-2 2 / \ 0 (2 1-1 2 -3 \ 0-5 3-4 5 A = V / 1 -5 -7 -6 -1 2 3 -4 1 -4 2 -4 -3\ 5 5 5/ • Další klíčový řádek bude jeden z červených řádků. • Protože by vytváření dalších nul bulo složitější, uděláme mezikrok - vytvoříme nejprve jedničku. Druhý řádek ponecháme na svém místě. Najděte hodnost matice A. 1 / 3 -1 0 1 -2 \ / 2 1 -1 2 5*(-i) A - 2 1-1 2-3 r^j 0 -5 3 -4 3-2-1 1 -2 0 -7 1 -4 V 2 -5 1-2 2 ) \ 0 -6 2 -4 5/ / 2 1-1 2 -3 \ 0-5 3-4 5 0 2 2 0 0 Zvolíme červený řádek jako klíčový a provedeme R2 — R3 ^SRBHMSHHňBHUBMB^WWI^II^ Najděte hodnost matice A. 1 / 3 -1 0 1 -2 \ / 2 1 -1 2 A = 2 1-1 2-3 3-2-1 1 -2 rx^ 0 0 -5 -7 3 1 -4 -4 V 2 -5 1-2 2 ) \ 0 -6 2 -4 / 2 1-1 2 -3 \ 0-5 3-4 5 0 2 2 0 0 \o i i o o y -3\ 5 5 5 * (-i) Vytvoříme jedničku i v dalším řádku: R2 — R4 (c^RoběřtlvItlfflw^^HB^^^^^W^^^^ Najděte hodnost matice A. 1 / 3 -1 0 1 -2 \ / 2 1 -1 2 -3 A = 2 1-1 2-3 3-2-1 1 -2 rx^ 0 0 -5 -7 3 1 -4 -4 5 5 V 2 -5 1-2 2 ) \ 0 -6 2 -4 5 / 2 1-1 2 -3 \ 0-5 3-4 5 0 2 2 0 0 \o i i o o y • Řádek B.3 je násobkem řádku R4. • Jeden z nich můžeme tedy odstranit. 1 -5 -7 -6 -3\ 5 5 5/ • Odstranili jsme třetí řádek. • První řádek zůstává. • Nový klíčový řádek bude řádek s jedničkou. Píšeme jej jako druhý. 1 -5 -7 -6 -3\ 5 5 5/ Vytvoříme nulu místo čísla —5. Provedeme tedy 5^3 + B.2 ^^RB^^^WHň^^WBWByWWI^flB^ 1 -5 -7 -6 -3\ 5 5 5/ • Matice je ve schodovitém tvaru. • Schodovitý tvar má tři řádky. • h (A) =3. mrrm Najděte hodnost matice B. I B = ( 1 2 -5 1 -2 \ 3 1-4 6-2 -12-1 1 6 V o i 3-4 i y ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 Q Najděte hodnost matice B. I / 1 2 1 -2 \ 3 1-4 6-2 -12-1 1 6 V 0 1 3-4 1 / B = / 1 2-5 1 -2 \ J • Řádek R\ bude klíčový. • Zůstane jako první a pomocí něj budeme nulovat zbylá čísla v prvním sloupci. 5^ U Najděte hodnost matice B. I -3 /l 2 -5 1 7 -2 C "2\ B = 3 1-4 6-2 -12-1 1 6 ^01 3-4 1 ) rx^ 0 -5 11 3 4 Vynulujeme prvek &21- Provedeme —32?i + #2- (c)RoběřtTvRH^^^H^^^^y^^^^^^ Najděte hodnost matice B. I 2 -5 4 -5 11 -6 1 3 2 B = / 1 2 -5 1 -2 A 3 1-4 6 -2 ) -12-1 1 6* ^01 3-4 1 ) r^j 0 0 "2\ 4 4 Vynulujeme prvek b?,\. Provedeme R\ + R3. (c)RoběřtTvRH^^^H^^^^y^^^^^^ Najděte hodnost matice B. I / 1 2 1 -2 \ /l 3 1-46-2 0 -12-116 0 V 0 1 3-4 1 / \ 0 B = 2 -5 1 "2 \ 5 11 3 4 4 -6 2 4 1 3 -4 1/ Prvek č?4i je nulový a tento řádek tedy stačí pouze opsat. ^5^oBéľraärlk a Lenka Píibylova, 2ÜÜV | Najděte hodnost matice B. I / 1 2 -5 1 -2 \ /l 3 1-46-2 0 -12-116 0 V 0 1 3-4 1 / \ 0 / 1 2 -5 1 -2 \ B = 0 1 1 2 -5 1 "2 \ 5 11 3 4 4 -6 2 4 1 3 -4 1/ První řádek (původně klíčový) zůstane. Červeně označený řádek obsahuje jedničku na začátku a zvolíme jej jako další klíčový řádek. To je nejšikovnější, protože č?42 = 1, zatímco č?22 = —5 a č?23 = 4. Najděte hodnost matice B. I \ /l 2 -5 1 / 1 2 -5 1-2 "2\ B = 3 1-4 6-2 -12-1 1 6 rx^ 0 0 -5 4 11 -6 3 2 I7, V 0 1 3-4 \ j \0 1 3 -4 / 1 2 -5 1 -2 \ 0 1 3-4 1 0 0 26 -17 9 Vynulujeme prvek &22- Provedeme 5^4 + #2- (c)RoběřtTvRH^^^H^^^^y^^^^^^ Najděte hodnost matice B. I / B = 2 -5 1 -4 2 -1 V 0 1 3 / 1 2 -5 0 1 3 0 0 26 l 0 0 -18 1 -4 17 18 -2\ -2 6 -2\ 1 9 0/ 0 0 2 -5 -5 11 4 -6 1 3 1 3 2 -4 -2\ 4 Vynulujeme prvek ^32- Provedeme —4^4 + B.2- (c)RoběřtTvRH^^^H^^^^y^^^^^^ Najděte hodnost matice B. I \ /l / 1 2 -5 1-2 2-5 1 -2 \ B = 3 1-4 6-2 0 - -5 11 3 4 -12-1 1 6 0 4-624 V 0 1 3-4 1 / \ 0 1 3-4 1 / / 1 2 -5 1 -2 \ / 1 2 -5 1 -2 \ 0 1 3-4 1 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 26 -17 9 l 0 0 -18 18 0 ) ^ 0 0 -1 1 0 yi • Poslední řádek můžeme vydělit číslem 18. • Ostatní řádky zůstanou. Najděte hodnost matice B. I / B = 2 -5 1 -4 2 -1 V 0 1 3 / 1 2 -5 -2\ -2 6 0 1 o o \ o o / 1 2 3 26 -18 -5 1 -4 17 18 -2\ 1 9 OJ -2\ O O Vo / 1 2 O 1 O O \ o o 2 -5 4 1 -5 3 26 -1 -5 11 -6 3 1 -4 -17 1 -2\ 4 4 1/ -2\ 1 9 0/ rx^ 0 1 3-4 1 0 0 1-1 0 f v • První dva řádky zůstanou. • Prvek č?34 = — 1 je šikovnější pro další úpravy, než fr33 = Proto jako další klíčový volíme řádek R4. 26. Najděte hodnost matice B. I / B = -5 -4 -1 V 0 1 3 / 1 2 -5 -2\ -2 6 -2\ 0 0 1 0 3 26 -4 1 -17 9 r^j l o 0 -18 is o y ; í1 2 -5 1 -2 \ 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 \o 0 0 9 9 ) o o Vo / 1 2 0 1 0 0 \ 0 0 2 -5 4 1 -5 3 26 -1 -5 11 -6 3 1 -4 -17 1 -2\ 4 4 -2\ 1 9T 0',26 Vynulujeme prvek b^a- Provedeme 26Ä4 + A3. (c^RoběřtlvItlfflw^^HB^^^^^W^^^^ Najděte hodnost matice B. I / B = -5 -4 -1 V 0 1 3 / 1 2 -5 3 26 --18 -5 -2\ -2 6 0 1 0 0 \o 0 /x 2 0 1 0 0 1 -4 17 18 -2\ 1 9 0/ -2\ 0 0 Vo / 1 2 0 1 0 0 \ 0 0 2 -5 4 1 -5 3 26 -1 -5 11 -6 3 1 -4 -17 1 "2\ 4 4 1/ 1 9 0/ \ 0 0 b^-----«- 1 -4 1 -1 0 9 9 y • Matice je ve schodovitém tvaru. • Schodovitý tvar má čtyři řádky. Hodnost je čtyři. Determinant B B ©Robert Marík a Lenka Přibylová, 2007 Q Definice (determinant): Buď A e ]r"x" čtvercová matice řádu n. Determinant matice A je reálné číslo detA přiřazené matici A následujícím způsobem: • Je-li A matice řádu 1, tj. A = (flu), je detA = a\\. • Máme-li definován determinant z matice řádu (w — 1) označme symbolem My determinant matice řádu (w — 1), která vznikne z matice A vynecháním í-tého řádku a /-tého sloupce. Definujme algebraický doplněk A^ prvku fly jako součin A!; = (-l)!+'M!r • Konečně, definujme determinant řádu n následovně: zvolíme libovolný index i 2+l -8 -9 5 -8 5 1 3-12 -8)-(-l)-5 + 3-(-9)-l 4). (-8)+2-(-9)-(-8)) Vypočtěte následující determinant. I 2 0 -3 3 1 4 3 -1 1 -4 8 0 0 3 -1 2 8 -9 5 4 3 -1 8 5 1 3 -1 2 = !•(-! >2+l -8 -9 5 -8 5 1 3-12 = -1 •5-2- -8) -l)-5 + 3-(-9)-l (5 • 5 • 3 + 1 • (-1) • (-8) + 2 • (-9) • (-8)) = -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144) ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Vypočtěte následující determinant, j 2 0-33 14 3-1 1-480 0 3-12 = 0 -8 -9 14 3-0-8 5 0 3-1 5 -1 1 2 = 1. (-1)2+1. -8 -9 5 -8 5 1 3-12 = -1 -8 • 5 • 2 + (-8) • (-1) • 5 + 3 • (-9) • 1 - (5 • 5 • 3 + 1 • (-1) • (-8) + 2 • (-9) • (-8)) = -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144) = - -67-227 ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Vypočtěte následující determinant, j 2 0-33 14 3-1 1-480 0 3-12 = 0 -8 -9 14 3-0-8 5 0 3-1 5 -1 1 2 = 1. (-1)2+1. -8 -9 5 -8 5 1 3-12 = -1 -8 • 5 • 2 + (-8) • (-1) • 5 + 3 • (-9) • 1 - (5 • 5 • 3 + 1 • (-1) • (-8) + 2 • (-9) • (-8)) = -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144) = - -67-227 = 294 ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Vypočtěte následující determinant. I 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Vypočtěte následující determinant. I 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 • Druhý řádek bude klíčový a budeme vytvářet nuly ve třetím sloupci (obsahuje už jednu nulu a obsahuje nejmenší čísla). • První řádek už nulu ve třetím soupci má, takže jej jenom opíšeme. • Dáváme pozor na to, abychom nezaměnili pořadí řádků. | a M " (ökobert Mank a Lenka ťnbylova, UUfl^ Vypočtěte následující determinant. 2 3 0 4 12 1 1, 3 4 11' 12 2-1 I 2 (-1)1 2 3 0 4 2 1 1 2 0 0 Vytvoříme nulu z prvku «33. (č)RobeřTWaHňffiH!!!!M!ByWW!^flB^ Vypočtěte následující determinant. 2 3 0 4 12 11 3 4 11 12 2-1 ;i 2 3 0 4 (-2) 12 11 2 2 0 0 -1 -2 0 -3 Vytvoříme nulu z prvku «43. i)Robert IvIärflB^^fflB^WÍyTova., zuu/1 Vypočtěte následující determinant. I 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 2 3 4 1 2 2 0 -1 -2 -3 = 1 \2+3 3 4 2 0 -2 -3 Rozvineme determinant podle třetího sloupce, prvek • (_i)řádek+sloupec. (determinant nižšího řádu) (c^RoběřtlvItlfflw^^HB^^^^^W^^^^ Vypočtěte následující determinant. I 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 = -1-2- 3 0 2 1 2 0 -2 0 2 1 = 1 3 4 1 0 -2 -3 \2+3 3 4 2 0 -2 -3 Vytkneme číslo 2 ve druhém řádku. SI ei 13 133--------------------------------------------------------------- ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2UU71 Vypočtěte následující determinant. I 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 3 0 2 1 2 0 -2 0 = 1 \2+3 = -1-2- -1 3 4 1 0 -2 -3 Toužijeme Sarusovo pravidlo: = _?.í_ň-x + n-í-4 + n-QN)l 3 4 2 0 -2 -3 2 3 4 1 1 0 1 -2 -3 2 3 4 1 1 0 ^iS/ra Vypočtěte následující determinant. I 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 = -1-2- = -2- 3 0 2 1 2 0 -2 0 2 1 4 1 0 3 1 -2 hO- = 1 \2+3 -4 + 0-9)] = -2 -1) = 2 ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Inverzní matice Definice (inverzní matice): Buď A eR"x" čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A^1 řádu n, splňující vztahy , nazýváme matici A^1 inverzní matici k matici A~1A = I = AA-1 A. Poznámka 5 (metoda výpočtu). Čtvercovou matici A převedeme pomocí řádkových úprav totožných s úpravami zachovávajícími hodnost matice na matici jednotkovou. Tytéž úpravy současně provádíme na jednotkové matici a z jednotkové matice takto vznikne matice inverzní A'1. Věta 8 (existence inverzní matice). Nechť matice A je čtvercová. Potom inverzní matice A-1 existuje právě tehdy, když je matice A regulární, tj. det(A) ^ 0. BEI Q Q Q3 ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 Q Inverzní matice je "protijed" k maticovému násobení j A-X = B ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Inverzní matice je "protijed" k maticovému násobení j A-X = B A'1-(A-X) = A~1-B Vynásobíme zleva maticí inverzní. (c)Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Inverzní matice je "protijed" k maticovému násobení j A-X = B A-1-(A-X) = A~1-B (A-1-A)-X = A~1-B Použijeme asociativní zákon pro násobení. SI Q Q 03-------------------------------------------------------------------------------------------------------©Robert Mafík a Lenka ťnbylova, ,ÄM) { Inverzní matice je "protijed" k maticovému násobení j A-X = B A-1-(A-X) = A~1-B (A-1-A)-X = A~1-B I-X = A~1-B Použijeme definici inverzní matice. (c)Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Inverzní matice je "protijed" k maticovému násobení j A-X = B A-1-(A-X) = A~1-B (A-1-A)-X = A~1-B I-X = A~1-B X = A-1 -B Jednotková matice je neutrálním prvkem vzhledem k násobení. Teď už vidíme, že pokud bychom násobili inverzní matici zprava, obdrželi bychom vztah A-X-A-1 = B-A-1, ze kterého hledané X nelze tak snadno vyjádřit. i M (ökobertMank a LenkaťnbyWa, UUBfi K dané matici A určete matici inverzní A 1 ] ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 K dané matici A určete matici inverzní A -i ] / 6 -4 - 17\ y A-- = -11 3 V 2 "I "6, ) ( 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 i 0 \ 2 -1 -6 0 0 1 Zapíšeme matici A a jednotkovou matici vedie sebe. ^^RBBI^MHň^^WBMB^WW^BB^ K dané matici A určete matici inverzní A -i ] -Y7\ A-- = -1 1 3 \2 -1 -6, / ( 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 \ 2 -1 -6 0 0 1 -1 1 3 O 1 O Druhý řádek volíme jako klíčový protože číslo —1 je vhodnější pro vytváření nul než čísla 6 a 2. Klíčový řádek píšeme jako první. ^^RBBI^MHň^^WBMByWWI^flB^ K dané matici A určete matici inverzní A -i / 6 -4 - 17\ A-- = -11 3 I \2 -i -ej ( 6 -4 -17 1 0 Ov\ 0 1 0; é -1 1 3 \ 2 -1 -6 o o i y ] -1 1 3 O 2 1 0 1 1 6 Upravíme prvek flu = 6 na nulu. ©RoberrWäHňffilHBMB^WWI^flB^ K dané matici A určete matici inverzní A x.\ í 6 -4 -17\ A= -1 1 3 V 2 -1 -6/ / 6 -4 -17 1 0 0 \ / —1 1 3 0 1 0 -11 3 0 1 CK 2~ 0 2 1 17 y 0 1 0 1 6 0 V 2 -1 -6 0 0 0 2 1 Upravíme prvek «31 = 2 na nulu. ©RoberrWäHňffilHBMB^WWI^flB^ K dané matici A určete matici inverzní A -i / 6 -4 - 17\ \ A-- = -11 3 V 2 "I "6, ) ( 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 \ 2 -1 -6 0 0 1 O 1 O ] 1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 Nový klíčový řádek bude třetí řádek. Napíšeme jej jako druhý v poradí. ä| Q S 133 IcjKobertMarik a LenkaťnbyWa,««í K dané matici A určete matici inverzní A -i ] 1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 S) 1y, (-1) Upravíme prvek fli2 = 1 na nulu. ©RoberrWäHňffilHBMB^WWI^flB^ K dané matici A určete matici inverzní A -i A = O O 1 ] -1 1 ,1 (-2) Upravíme prvek «22 = 2 na nulu. ©RoberrWäHňffilHBMB^WWI^flB^ K dané matici A určete matici inverzní A A -i ] O O 1 1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 O O 1 1 2 Nový klíčový řádek bude řádek poslední. ^^RB^^^WHň^^WBWB^WW^BB^ K dané matici A určete matici inverzní A A -i ] O O 1 1 1 3 0 2 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 Druhý řádek zůstane, má nulu na místě «23- (c^RoběřtlvItlfflw^^HB^^^^^W^^^^ dané matici A určete matici inverzní A -i ] O O 1 1 1 3 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Upravíme prvek «13 = 3 na nulu. ©RobeřrWaHňffilHBMB^WWI^flB^ K dané matici A určete matici inverzní A A -i ] 1 1 3 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matice vlevo je ve schodovitém tvaru a inverzní matice je tedy napravo. g Q S BS-------------------------------------------------------------------------------------------------------IcjKoberl Mank a Lenka ťnbyloya, ,ÄM) ( K dané matici A najděte matici inverzní A A = -i ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 K dané matici A najděte matici inverzní A A = 0 4 -1 1 2 6 Začneme se zadanou matici a s 3 x 3 jednotkovou matici. (c^RoběřtlvItlfflw^^HB^^^^^W^^^^ K dané matici A najděte matici inverzní A A = 0 4 -1 1 2 6 1 O ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 K dané matici A najděte matici inverzní A 1.I A = O 4 -1 1 2 6 1 O Ov\ O 1 OM-i) 0 0 1/ Upravíme flu = 1 na nulu. ©Robert Mařit a Lenta Přibylová, 20071 K dané matici A najděte matici inverzní A 1.I A = 1 0 4 \ í1 0 4 1 0 0 \ 1 -1 1 1 1 -1 1 0 1 Ov(-i) OOI7 1 2 6/ \1 2 6 -1 1 0 1 0 \ 1 3 1 -1 0 3 5 0 -1 1 / Upravíme «31 = 1 na nulu. ©Robert Mařit a Lenta Přibylová, 20071 K dané matici A najděte matici inverzní A A = ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 K dané matici A najděte matici inverzní A -i A = 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 0 N \ 0 1 0 0 0 1, / 4 1 0 0 3 1 -1 0 Upravíme fli2 = — 1 na nulu. i)Robert IvIärflB^^fflB^WÍyrova., zuu/ f K dané matici A najděte matici inverzní A -i A = 1 -1 1 0 1 0 1 3 1 -1 0 3 5 0 -1 1 O \ 1 0 0 N \ 0 1 0 0 0 1, / 4 1 0 0 3 1 -1 0 -4 -3 2 1 Upravíme prvek «32 = 3 na nulu. ©RoberrWäHňffilHBMB^WWI^flB^ K dané matici A najděte matici inverzní A -i A = 1 0 4 \ /x 1 -1 1 1 i 1 2 6/ u -1 1 0 1 o^ 1 3 1 -1 0 i~ 3 5 0 -1 i y i 0 0 4 -1 -1 1 0 0 N \ 0 1 0 0 0 1, / 4 1 0 0 3 1 -1 0 -4 -3 2 1 ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 K dané matici A najděte matici inverzní A -i A = 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 0 4 0 0 0 4 1 0 0 0 1 0 0 v 0 ) 4 3 -4 1 1 -3 0 0 \ -1 0v4 2 1^3 Upravíme «23 = 3 na nulu. ©Robert Mařit a Lenta Přibylová, 20071 K dané matici A najděte matici inverzní A -i A = 1 0 0 N \ 0 1 0 0 0 1, / 4 1 0 0 3 1 -1 0 -4 -3 2 1 Upravíme prvek «13 = 4 na nulu. ©RoberrWäHňffilHBMB^WWI^flB^ 4 OOh-^OOh-^OO h^ , o i—» o o »ŕ* o h^ o o ** o o OJ I h-* I h-* I Ol I K) I I ------------------- W (Jl (O O h-1 O I I I h-» K) K) h-» h-» K) ON O o O h-* K) 1 h-* O o h-* OJ O o\ h-* ** 1 o o O h-* h-* O OJ h-* h-* h-* O o K) 1 h-* O h-* O o 3 ^ K dané h-* I—1 h~i 3 K' K) h-1 O U. ON I—1 ** najděte matici h-* h-1 1 h-i inver K) h-1 o 3 o\ h-1 ** ^ O O h-i o o Soustavy lineárních rovnic Uvažujme následující tři problémy: Najděte všechna reálná čísla X\, %i, splňující: 4*i + 5x2 = 7 Úloha 1 : X\ — 2x2 = 4 Úloha 2 : (fj xi + ŕ O x2 = (l -- (í _52)(íl) = (í Všechny problémy jsou ekvivalentní a jedná se o jiný zápis téhož. ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Definice (soustava lineárních rovnic): Soustavou m lineárních rovnic ^ o n neznámých nazýváme soustavu rovnic flnXi + ai2%2 + «13X3 H-------\- ainx„ = b\ a2\Xi + a22x2 + «23*3 H-------1- a2nx„ = b2 «31*1 + fl32X2 + «33*3 H-------\- «3Ä = h (S) fl-ml%l i ßm2-^2 i "m3-^3 T ' ' ' T amnXn — Um Proměnné X\, x2,..., x„ nazýváme neznámé. Reálná čísla fly nazýváme koeficienty levých stran, reálná čísla bj koeficienty pravých stran soustavy rovnic. Řešením soustavy rovnic rozumíme uspořádanou w-tici reálných čísel [t\, t2,..., t„] po jejichž dosazení za neznámé (v tomto pořadí) do soustavy dostaneme ve všech rovnicích identity. ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Definice (matice soustavy): Matici A /flll fli2 fll3 ••• «1«\ A = «21 «22 «23 «2« (2) \ami am2 flm3 ''' «m«/ nazýváme maticí soustavy (S). Matici ( flll fli2 fll3 • • «1« &1 \ l\y == «21 «22 «23 «2« Č>2 (3) \ «ml «m2 «m3 «m« Öm ) nazýváme rozšířenou maticí soustavy (S). ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Poznámka 6 (vektorový zápis soustavy lineárních rovnic). /«ll\ /«12\ /«13\ /«ln\ (h\ «21 «22 «23 «2« bi X\ + X2 + *3 + - • + %n — \«ml/ \«m2/ \«m3/ \«m«/ Poznámka 7 (maticový zápis soustavy lineárních rovnic). VW /flll fli2 • «21 «22 ' fll„^ «2« X2 Al\ Č>2 \«fjil «m2 «m«/ \X„/ \^m/ 4x = b. ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Věta 9 (Frobeniova věta, Kronecker-Capelliho věta). Soustava (S) je řešitelná právě tehdy, když její matice soustavy (2) a rozšířená matice soustavy (3) mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar). • Soustava nemá řešení, pokud h(A) ^ h(Ar). • Soustava má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(Ar) = n. • Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h(A) = h(Ar) < n. Tato řešení lze vyjádřit pomocí (n — h(A)) nezávislých parametrů. Definice (homogenní soustava lineárních rovnic): Platí-li v sou- 1 stavě (S) h = h = ■ ■ ■ = bm = 0 , nazývá se soustava (S) homo- genní. _________1 Poznámka 8 (triviální řešení). Homogenní soustava lineárních rovnic je vždy řešitelná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice x\ = 0, x2 = 0, ..., x„ = 0 je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. BEI Q Q Q3 ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 Q 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 Q 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2— X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\f (6 2 4 2 1 1 \ 1 0 7 M 5 -4 1 0 0 3/ Napíšeme rozšířenou matici soustavy Ar ^^RB^^^WHň^^WBWByWW^BB^ 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\f (6 2 4 2 1 1 \ 1 0 7 M f 5 -4 1 0 0 3 ) V 3\ • Jako klíčový řádek zvolíme řádek poslední. • Tento řádek napíšeme jako první. 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 -------J l\f (6 2 4 2 1 1 \ 1 0 -4 °T / 1 0 o 1 n EEI I R4 = ansa— 3\ -3 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 ------J l\f (6 2 4 2 1 1 \ 1 0 °\ / 1 0 3^ (-4) V [Ř2 EEI I 4£4 = anaa— 1 0 3\ 2 -1 -3 7 5 -16 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 -------J l\f (6 2 4 2 1 1 \ 1 0 R^ 6Ra = ... 10 3 \ -2 -1 -3 -7 5 -16 -7 7 -18 / 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 ------J l\f ( 6 2 -1 4 2-3 1 1 -1 \ 1 0 / 1 0 1 0 1 -2 V 1 0 -1 °\ 0 3 / 3\ -3 y / 1 o o 1 O 2 \ O 2 1 0 3\ 2 -1 -3 7 5 -16 7 7 -18 / První řádek zůstane a druhý řádek bude novým klíčovým řádkem. ^^RBHMSHHFÍPBHlBPfflByWW^II^ 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 ------J l\f (6 2 4 2 1 1 \ 1 0 1 / 1 0 1 0 0 1-2-1 0 0-3 7 V 0\ 0 3 / 3\ -3 -10 J ( 1 0 0 1 0 2 \ 0 2 -2R2 + R3 = ■ ■ ■ 1 0 2 -1 7 5 7 7 3\ -3 x (-2) -16 -18 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 ------J l\f (6 2 4 2 1 1 \ 1 0 1 / 1 0 1 0 0 1-2-1 0 0-3 7 V 0 0 -3 9 °\ 0 3 / 3\ -3 -10 -12 J ( 1 0 0 1 0 2 \ 0 2 ebI 2ß2 + Rá = BBS-------- 1 0 2 -1 7 5 7 7 3\ -3 n (-2) -16 -18^ r 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 Řešte soustavu 4X!+2X2-3X3+5X4 = -4 Xi+ X2- X3— X4 = 0 v. Xi + x3 =3 1 /6 2 -1 7 0 \ / 1 C 0 3\ Ar ~ 4 2 1 1 -3 5 -1 -1 -4 0 r^j 0 1 0 2 -2 -7 -1 5 -3 -16 rx^ \ 1 0 1 0 3 / V 0 2 -7 7 -18 / / 1 0 1 0 3 \ / 1 0 1 0 M 0 1-2- -1 -3 0 1 - 2 -1 -3 0 0-3 7 -10 0 0- 3 7 -10 \ 0 0 -3 9 -12; / První dva řádky zůstanou. Třetí řádek bude novým klíčovým řádkem a zůstane také. 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 ------J l\f (6 2 4 2 1 1 \ 1 0 / 1 0 1 0 1 -2 0 0-3 V 0 0 -3 -3 -1 1 0 -1 7 9 °\ / 1 0 0 1 0 2 0 3 / \ 0 2 3 \ / 1 0 1 3 I 0 1-2 0 0-3 \ 0 0 0 -10 v (-1) -12 7 ebI ■R3 + R4 = • • • 1 0 3\ 2 -1 -3 7 5 -16 7 7 -18 / 0 M -1 -3 7 -10 2 -< '-) 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\f ( 1 o o 1 o o \ o o 1 0 M 2 -1 -3 3 7 -10 0 2 -2/ Rozšířená matice soustavy je řádkově ekvivalentní modré matici, která je ve schodovitém tvaru. (č)RobeřTWaHňffiH!!!!M!ByWW!^flB^ 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 —1 l\f ( 1 o o 1 o o \ o o 1 o -2 -1 -3 7 O 2 3\ -3 -10 -2 2x4 = -2 • Soustava má řešení, neboť h (A) = h(Ar) = 4. Navíc n = 4 (počet neznámých) a soustava má tedy jediné řešení (nula parametrů). • Začneme dopočítávat neznámé. Napíšeme rovnici odpovídající poslednímu řádku ... ^3571 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2— X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\f ( 1 o o 1 o o \ o o 1 0 M 2 -1 -3 3 7 -10 0 2 -2/ 2x4 X4 a řešíme vzhledem k X4. ©Robert Mafik a Lenka l-ílbylová, 50071 Řešte soustavu 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 Xi+ %i— X3- X4 = 0 Xi + x3 =3 l\f ( 1 0 0 1 o o V o o -3x3 + 7Xi = 2x4 X4 Napíšeme rovnici odpovídající předposlednímu řádku. ^^RB^^^WHň^^WBWB^WW^BB^ Řešte soustavu 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 Xi+ %i— X3- X4 = 0 Xi + x3 =3 l\f ( 1 0 0 1 o o V 0 0 0 -3X3 + 7X4 = -10 -3x3 - 7 = -10 3\ -3 -10 -2 2x4 X4 Dosadíme X4 = — 1 ... CcjRoběřtTvIaS^^THR^ffiE^ová, 20071 Řešte soustavu 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 Xi+ %i— X3- X4 = 0 Xi + x3 =3 l\f ( 1 0 0 1 o o V o o -3X3 + 7X4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 3\ -3 -10 -2 2x4 X4 a řešíme vzhledem k X3. ■ B B (c^RobertMän^^TénK^nb^ova, 2ÜÜ71 Řešte soustavu 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 Xi+ %i— X3- X4 = 0 Xi + x3 =3 l\f ( 1 0 0 1 o o V 0 0 0 -3X3 + 7X4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 1 0 2 -1 3 7 0 2 Napíšeme rovnici odpovídající druhému řádku. ^^RB^^^KHn^^fflBWH^WW^BBr^ Řešte soustavu 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 Xi+ %i— X3- X4 = 0 Xi + x3 =3 l\f ( 1 0 0 1 o o V o o -3X3 + 7X4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 Dosadíme X4 = —1 a X3 = 1 ... ©Robert Mafik a Lenka Přibylová, 50071 Řešte soustavu 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 Xi+ %i— X3- X4 = 0 Xi + x3 =3 l\f ( 1 0 0 1 o o V o o -3X3 + 7X4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 a vyřešíme vzhledem k %2-g| El 13 133---------------------------- ©Robert Mařit a Lenta Přibylová, 20071 r 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 Řešte soustava 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 1 Xi+ %i— X3- X4 = 0 v Xi + x3 =3 / 1 1 0 -2 -1 -3 7 3 V- Ar ~ 0 1 0 0 -3 -10 0 , 2x4 = -2 \ u u U z "2 / -3X3 + 7X4 = -10 X2 - 2x3 - X4 = -3 Xi + X3 = 3 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2 + 1 = -3 x3 = 1 x2 = -2 Napíšeme rovnici odpovídající prvnímu řádku. ^^RB^^^KHn^^fflBWH^WW^BBr^ r 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 Řešte soustava 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 1 Xi+ %i— X3- X4 = 0 v Xi + x3 =3 / 1 1 0 3 \ Ar ~ 0 1 0 0 -2 -1 -3 7 -3 -10 2x4 = -2 X4 = -1 \ 0 0 -2 y U z -3X3 + 7X4 = -10 X2 - 2x3 - X4 = -3 Xi + X3 = = 3 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2 + 1 = -3 Xi + 1 = = 3 x3 = 1 x2 = -2 Dosadíme X3 = 1. r.r.i ni Ig—Igf^^^^^^^- r 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 Řešte soustava 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 1 Xi+ %i— X3- X4 = 0 v Xi + x3 =3 / 1 1 0 3 \ Ar ~ 0 1 0 0 -2 -1 -3 7 -3 -10 2x4 = -2 X4 = -1 \ 0 0 -2 y U z -3X3 + 7X4 = -10 X2 - 2x3 - X4 = -3 Xi + X3 = = 3 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2 + 1 = -3 Xi + 1 = = 3 x3 = 1 x2 = -2 Xi = = 2 Najdeme X\ = 2. ^^RB^^^WHň^^fflBWB^WW^BBT^ 6x1+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2— X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\f íl 0 1 0 1 -2 0 0 -3 l 0 0 0 0 M 1 -3 7 -10 2 -2/ 2x4 = -2 X4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 ediné řešení je [x\ = 2, X2 = — 2,X3 = 1,X4 = —1]. Xi + X3 = = 3 Xi + 1 = = 3 Xi = = 2 Vypočítali jsme všechny neznámé. (c)Robert Mafík a Lenka Přibylová, 2UU71 r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 —' ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 —' n i\f \2 -2 6 0 2 2 2 -6 4 4 M 2 3 0 1 4 5/ Napíšeme rozšířenou matici soustavy. ^^RB^I^MHň^^fflBWByWW^BB^ r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 —' l\f ( 3 -2 6 1 0 2 1 2 2 \ 2 -6 4 ( 1 0 2-1 2 -4 M 1 2 3 0 0 1 2 -4 5/ 3\ Druhý řádek bude klíčový a opíšeme jej na první místo. ^^RB^J^MHň^^fflBWB^WW^BB^ r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 —' l\f í1 o v 1 1 V2 0 2 -2 0 -2 6 0 2 2 2 -6 4 -1 5 2 -1 0 2 2 -10 5v\ 3' 1 5 (-3) 3\ -4 Spravíme první řádek. ©Robert Mařit a Lenta Přibylová, 20071 r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 —' / 3 -2 6 2 \r r^J 1 0 ■ li 2 2 2 -1 0 V 2 -6 4 2 /l 0 2- -1 2 0-2 0 5 -10 0 2 0 1 -2 -4 2 0 -4 3'\ -4 -2 5\ 3 x (-1) 5 / Spravíme třetí řádek. ©Robert Marik a Lenka Přibylová, 20071 r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 —' í3 -2 6 2 -4 c '\ \r r^J 1 1 0 2 2 2 -1 0 2 0 3 s (-2) l 2 -6 4 2 -4 5* Í1 0 2 - -1 2 M 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 \o -6 0 4 -8 -1 J Spravíme poslední řádek. ©Robert Mařit a Lenta Přibylová, 20071 r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 —' l\f ( 3 -2 6 2-4 1 0 2-1 2 12 2 0 0 \ 2 -6 4 ( 1 0 2-1 0-2 0 5 0 2 0 1 L_Q____£___O_____d_ 2 2 -10 -2 M -45/ 3 \ / 1 o -4 -2 J__L 0 2 0 3\ -2 • První řádek zůstane. • Červený řádek bude nový klíčový řádek a napíšeme jej jako druhý. I 13 133 I <ükoLx* Mank a Lenka ťnbylova, ÜUU^ r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 —' í3 -2 6 2 -4 c n \r r^J 1 1 0 2 2 2 -1 0 2 0 3 1 r^j l 2 -6 4 2 -4 5/ Í1 0 2 - -1 2 3\ /l 0 2 -1 0 0 -2 2 0 0 5 1 -10 -2 "4T -1> rx^ 0 0 2 0 0 0 1 6 \o -6 0 4 -8 -1 y l 2 -2 -12 3\ -2 -6 / Spravíme druhý řádek. ©Robert Mařit a Lenta Přibylová, 20071 r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 —' l\f o o 1 1 V2 0 2 2 6 -2 6 0 2 2 2 -6 4 2 -1 0 5 0 1 0 4 2 -1 0 2 2 -10 -2 -4 M 2 0 3 1 rx^ -4 5/ 3 \ / 1 0 2 -1 2 3\ -4 -2^ 3 0 2 0 0 0 0 1 6 -2 -12 -2 -6 -1 V ^000 7 -14 "7/ Spravíme poslední řádek. ©Robert Mařit a Lenta Přibylová, 20071 r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 —' l\f o o V o /i o 1 1 V2 0 -2 2 -6 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 -2 6 0 2 2 2 -6 4 2 -1 0 5 0 1 0 4 -1 1 -1 -1 - 2 -1 0 2 2 -10 -2 4 M 2 3 0 1 4 5/ 3\ -2 -1 3\ -4 -2 -1/ / 1 0 2 0 2 0 0 0 0 V 0 0 0 -1 2 1 -2 6 -12 7 -14 3\ -7/.7 Zelené řádky můžeme vydělit čísly 6 a 7. ^5RB^^^WHň^^fflBW!ByWW^BB7^ r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi+2x2+2x3 = 3 = 1 v 2xx- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 —' 0 0 0 V o o o 1 2 3\ 1 -2 -2 6 -12 -6 7 -14 "7/ Poslední dva řádky jsou stejné a stačí dále pracovat jenom s jedním z nich. Sl B B BS Robert Marika Lenka ťnbylova,«« I r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic Xi +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 —' 10 2-1 2 Ar - j 0 2 0 1-2 0 0 0 1-2 • Rozšířená matice soustavy má hodnost 3, matice soustavy také. Systém proto má řešení. • Počet parametrů je neznámé — hodnost = 5 — 3 = 2. ŕ 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 v 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 1 0 2 -1 2 3 \ J* rX4 - 2 X5 = -1 Ar ~ 0 2 0 1 -2 -2)ŕ \ 0 0 0 1 -2 -If Napíšeme rovnici příslušnou poslednímu řádku. ^^RB^^^WHň^^WBWB^WW^BB^ ŕ 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi+2x2+2x3 = 1 v 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 1 0 2 -1 2 3\ X4 - 2 X5 = -1 Ar ~ 0 2 0 1 -2 "2 x5 = ŕ \ 0 0 0 1 -2 "1/ x4 = 2ŕ - 1 • Jsou zde dvě neznámé, ale jenom jedna rovnice. Jednu z neznámých volíme rovnu parametru. • Buď tedy X5 = t, kde ŕ je libovolné reálné číslo. Vypočteme X4. ŕ 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 v 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 1 0 2 -1 2 3\ Xa - 2 X5 = -1 Ar ~ 0 2 0 1 -2 "i x5 = ŕ \ 0 0 0 1 -2 A x4 = 2ŕ - 1 2x2 + X4- 2x5 = -2 Napíšeme rovnici odpovídající dalšímu řádku. ^^RB^^^KHn^^fflBWH^WW^BBr^ ŕ 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 v 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 1 0 2 -1 2 3\ X4 - 2 X5 = -1 Ar ~ 0 2 0 1 -2 "2 x5 = ŕ \ 0 0 0 1 -2 "1/ x4 = 2ŕ - 1 2X2 + X4- 2X5 = 2x2 + (2ŕ-l)-2ŕ = -2 -2 Dosadíme za X4 a X5. Zůstává pouze neznámá X2. ^^RB^^^^H^^^W^WH^W^^HBt^ ŕ 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 v 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 1 0 2 -1 2 3\ X4 - 2 X5 = -1 Ar ~ 0 2 0 1 -2 "2 x5 = ŕ \ 0 0 0 1 -2 "1/ x4 = 2ŕ - 1 2X2 + X4- 2X5 = -2 2x2 + (2ŕ-l)-2ŕ = -2 x2 = 1 ~2 Nalezneme X2. Dostáváme 2x2 = —2 — 2ř + 1 + 2ř a odsud určíme x2. r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 10 2-1 2 Ar ~ ( 0 2 0 1-2 0 0 0 1-2 2X2 + X4- 2X5 = -2 2x2 + (2ŕ-l)-2ŕ = -2 x2 = 1 ~2 Napíšeme rovnici odpovídající prvnímu řádku. ^^RB^J^MHW^^fflBWH^WW^BBr^ r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi+2x2+2x3 = 3 = 1 v 2xx- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 10 2-1 2 Ar - ( 0 2 0 1-2 0 0 0 1-2 X4 2 x5 = -1 x5 = ŕ x4 = 2ŕ - 1 2x2 + X4 - 2x5 = -2 2x2 + (2ŕ-l)-2ŕ= -2 Xi + 2x3 - X4 + 2x5 = 3 Xi+2x3- (2r — 1) + 2r = 3 Xq = 7/ • Dosadíme. Po dosazení zůstanou neznámé %\ a X3. Jedna z těchto neznámých musí být parametr. • Volme např. X3 = u, kde u je libovolné reálné číslo. I 13 133 I <ükoLx* Mank a Lenka ťnbylova, ÜUU^ r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 10 2-1 2 Ar ~ ( 0 2 0 1-2 0 0 0 1-2 2X2 + Xa - 2X5 = -2 2x2 + (2ŕ-l)-2ŕ = -2 Xl = 1 ~2 X4 2 x5 = -1 x5 = ŕ x4 = 2ŕ - 1 Xi + 2x3 - X4 + 2x5 = 3 Xi+2x3- (2r — 1) + 2r = 3 X3 = U Xi + 2m- (2í — 1) + 2r = 3 Vypočteme X\. ©Robert Marik a Lenka Přibylová, 20071 r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 l\f X4 2 x5 = -1 x5 = ŕ x4 = 2ŕ - 1 2X2 + X4- 2X5 = -2 2x2 + (2ŕ-l)-2ŕ = -2 x2 = 1 ~2 Xi Xi + 2X3 - X4 - -2x3-(2r-l) Xi + 2w- (2r- 1) 2x5 = 3 + 2r = 3 X3 = U + 2ŕ = 3 Xi = 2 2« 1 Řešení ie Í2 - 2íi.----. Ji. 2f - - 1. fl. kde ŕ a íi isou narametrv. Vyřešeno! Jsme šikovní. r 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 Řešte soustavu rovnic X\ +2X3- X4+2X5 = Xi + 2X2+2X3 = 3 = 1 v 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 X4 2 x5 = -1 x5 = ŕ x4 = 2ŕ - 1 2X2 + Xa - 2X5 = -2 2x2 + (2ŕ-l)-2ŕ = -2 Xl = 1 ~2 Xl + 2X3 - X4 - Xi +2x3- (2r- 1) Xi + 2w- (2r- 1) 2x5 = 3 + 2r = 3 X3 = U + 2ŕ = 3 Xi = 2- 2m Řešení je [2 — 2u, —-, u, 2t — 1, ŕ], kde tau jsou parametry. ©Robert Mařrk a Lenka Přibylová, 20071 2xi+2x2-2x3+ X4 = = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = = 4 ©Robert Marík a Lenka Přibylová, 2007 Q 2xi+2x2-2x3+ X4 = = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = = 4 l\f ( 2 2 1 2 3 4 \ 1 3 1 M 2 1 2 5 2 W ©Robert Marík a Lenka Přibylová, 2007 Q 2xi+2x2-2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = 4 v ^ 1 Ar ~ (11-1 1 12 1-2 3 4-1 2 ^13 3-2 M 1 5 ± ) r^j í1 Druhý řádek bude klíčový protože «21 = 1- ^^RB^^^WHň^^WBWB^WW^BB^ 2xi+2x2-2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = 4 v ^ 1 / 2 2 -2 1 1T\ H Ar ~ 12 1-2 3 4-1 2 1 ' (-2) U" 0 - ^13 3-2 l !\ -2)R,+Ri CcjRobértTvIäS^^THR^ffiE^ová, 20071 2xi+2x2-2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = 4 v ^ 1 7 2 2 -2 1 1\ /l Ar ~ 12 1-2 3 4-1 2 1 N (-3) 0 -0 - ^13 3-2 l ebI -3)R2 + R3 B B B-------- 2 M 5 -1 8 2 / 2xi+2x2-2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = 4 v ^ 1 7 2 2 -2 1 1\ /l Ar ~ 12 1-2 3 4-1 2 U(-i) 5)1" 0 -0 - ^13 3-2 4;; lo 1 -2 M 4 5 -1 4 8 2 2 0 3/ -1)R2 + R4 CcjRobértTvIäS^^THR^ffiE^ová, 20071 2xi+2x2-2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = 4 v ^ 1 Ar ~ / 2 2 -2 1 12 1-2 3 4-1 2 ^13 3-2 M 1 5 4^ rx^ í1 0 -0 - ( 1 2 1 0 1 2 V 3 1 -2 X\ 4 5 -1 4 8 2 2 0 3/ Dalším klíčovým řádkem bude poslední řádek, protože «42 = 1 je lepší než «22 = «23 = — 2. ĚeI El 13 133 ©Robert Mařit a Lenta Přibylová, 2007 f 2xi+2x2-2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = 4 v ^ 1 Ar ~ (11-1 1 12 1-2 3 4-1 2 ^13 3-2 M 1 5 4 J r^j í1 0 -0 - o o v 2 1 -2 1 2 0 0 0 5 1\ 3 5 / IR4 + R2 1 -2 M 4 5 -^ 4 8 2) 2 0 3^ 2xi+2x2-2x3+ X4 = 1 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 1 Xi+3X2+3X3~2X4 = 4 v ^ 1 Ar ~ (11-1 1 12 1-2 3 4-1 2 ^13 3-2 M 1 5 4 J r^j í1 0 -0 - / 1 2 1 -2 0 12 0 0 0 0 5 \ 0 0 0 8 3 5 8/ [2.R4 + .R3 EEl El B 133 1 -2 M 4 5 -1 4 8 3Í. 2 0 2xi+2x2-2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = 4 v ^ 1 Ar ~ / 2 2 -2 1 12 1-2 3 4-1 2 ^13 3-2 M 1 5 4^ rx^ í1 0 -0 - ( 1 2 1 0 1 2 0 0 0 \ 0 0 0 1\ 3 5 / 1 2 1 0 1 2 / V 3 2 X\ 5 -1 8 2 0 3/ První dva řádky zůstanou. SI El 13 133------------------------------------------- ©Robert Mařit a Lenta Přibylová, 20071 2xi+2x2-2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = 4 v ^ 1 Ar ~ / 2 2 -2 1 12 1-2 3 4-1 2 ^13 3-2 M 1 5 4^ rx^ í1 0 -0 - ( 1 2 1 0 1 2 0 0 0 V o o o 1\ 3 5 H-5 / 1 2 1 -2 0 12 0 0 0 0 1 y H-8 v o o o 1 M 3 1 W 2 M 5 -1 8 2 0 3/ Poslední řádky můžeme vydělit. (č)RoberrWäHňffiH!í!M!ByWW!^flB^ 2xi+2x2-2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = 4 v ^ 1 Ar ~ / 2 2 -2 1 12 1-2 3 4-1 2 ^13 3-2 M 1 5 4^ rx^ í1 0 -0 - ( 1 2 1 0 1 2 0 0 0 V o o o 1 \ / 1 2 1 -2 3 0 12 0 5 0 0 0 1 8/ V 1 -4 -4 2 1\ 3 1 / 2 X\ 5 -1 8 2 0 3/ Poslední dva řádky jsou stejné a stačí uvažovat pouze jeden z nich. Vynecháme tedy poslední řádek. (c)Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 2xi+2x2-2x3+ X4 = = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = = 4 12 1-2 Ar ~ j 0 1 2 0 0 0 0 1 • Rozšířená matice soustavy je ve schodovitém tvaru. • h (A) = 3,h(Ar) = 3,w = 4 • Soustava má nekonečně mnoho řešení s jedním parametrem. I 13 133 I <ükoLx* Mank a Lenka ťnbyWa, ImH r 2xi+2x2- 2x3+ X4 = 1^ Řešte soustavu Xi+2x2+ 3xi+4x2- X3-2X4 = X3+2X4 = = 1 = 5 v Xi+3X2+3X3- -2x4 = = 4 —' 12 1-2 Ar ~ ( 0 1 2 0 0 0 0 1 Napíšeme rovnici odpovídající poslednímu řádku. Tím známe X4. 2xi+2x2-2x3+ X4 = 1] Xi+2X2+ X3-2X4 = Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = v. = 4 12 1-2 Ar ~ ( 0 1 2 0 0 0 0 1 Napíšeme rovnici odpovídající prostřednímu řádku. ^^RB^^^WHň^^WBWB^WW^BB^ 2xi+2x2-2x3+ X4 = 1] Xi+2X2+ X3-2X4 = Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = v. = 4 12 1-2 Ar ~ ( 0 1 2 0 0 0 0 1 1 \ X2 + 2 X3 = 3 x3 = ŕ 3 X4 = = 1 w • Ze dvou neznámych bude jedna rovna parametru. • Nechťnapříklad X3 = t, kde t je libovolné reálné číslo. 2xi+2x2-2x3+ X4 = = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = = 4 12 1-2 Ar ~ ( 0 1 2 0 0 0 0 1 1 \ X2 + 2 X3 = 3 x3 = ŕ x2 = 3- -2ŕ 3 X4 = = 1 w Nalezneme X2. CcjRobertTvIäS^^THR^ffiE^ová, 20071 2xi+2x2-2x3+ X4 = = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = = 4 12 1-2 Ar ~ ( 0 1 2 0 0 0 0 1 Xi + 2X2 + *3 - 2X4 = 1 X4 = 1 x2 + 2 x3 = = 3 X3-- = ŕ x2-- = 3- -2ŕ Pokračujeme k další rovnici. ©RoberrWäHňffilHBMB^WWI^flB^ 2xi+2x2-2x3+ X4 = = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = = 4 12 1-2 Ar ~ ( 0 1 2 0 0 0 0 1 1 \ X2 + 2 X3 = 3 x3 = ŕ x2 = 3- -2ŕ 3 X4 = = 1 w Xi + 2X2 + ^3 - 2X4 = 1 Xi + 2(3-2ŕ)+f-2-l = 1 Dosadíme za X2, X3 a X4. ©Robert Mafik a Lenka l-ílbylová, 50071 2xi+2x2-2x3+ X4 = = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = = 4 12 1-2 Ar ~ ( 0 1 2 0 0 0 0 1 1 \ X2 + 2 X3 = 3 x3 = ŕ x2 = 3- -2ŕ 3 X4 = = 1 w Xi + 2X2 + *3 - - 2x4 = = 1 Xi + 2(3 -2t)+t- -2-1 = = 1 Xi -4ŕ + ŕ + 4 = = 1 Upravím eei ej la laa ©Robert MafA a Lenta Přibylová, 20071 2xi+2x2-2x3+ X4 = = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = = 4 12 1-2 Ar ~ ( 0 1 2 0 0 0 0 1 1 \ X2 + 2 X3 = 3 x3 = ŕ x2 = 3- -2ŕ 3 X4 = = 1 w Xi + 2X2 + *3 " - 2x4 = = 1 Xi + 2(3 - 2ŕ) + ŕ — 2-1 = = 1 Xi -4ŕ + ŕ + 4 = = 1 Xi -3ŕ = = -3 Upravím eei ej la laa ©Robert MafA a Lenta Přibylová, 20071 2xi+2x2-2x3+ X4 = = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3~2X4 = = 4 12 1-2 Ar ~ ( 0 1 2 0 0 0 0 1 1 \ X2 + 2 X3 = 3 x3 = ŕ x2 = 3- -2ŕ 3 X4 = = 1 w Xi + 2X2 + X3- - 2x4 = = 1 Xi + 2(3 - 2ŕ) + ŕ — 2-1 = = 1 Xi -4ŕ + ŕ + 4 = = 1 Xi -3ŕ = = -3 Xi = = 3ŕ- 3 Nalezneme X\. CcjRobertTvIäS^^THR^ffiE^ová, 20071 r 2xi+2x2- 2x3+ X4 Řešte soustavu Xi+2x2+ 3xi+4x2- X3-2X4 X3+2X4 v Xi+3X2+3X3- -2x4 / 1 2 1 -2 1 \ Ar ~ 0 1 2 0 3 X4 \ 0 0 0 1 w Xi + 2X2 + X3 - 2X4 = 1 Xi + 2(3-2r)+ř-2-l = 1 Xi -4ŕ + ŕ + 4 = 1 Xi - 3ř = -3 Xi = 3ř - 3 ř€R. = 1 I = 1 I = 5 = 4 ___^ X2 + 2 X3 = 3 ___ *3 = í x2 = 3- Řešení je Xi = -3 + 3ř x2 = 3 - 2ř x3 = ŕ X4 = 1 ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 Q r Xi - X3+3X4 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 -9x5 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 r Xi - X3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5-- = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ X4- -5x5 = = 0 í1 0 -1 3 0 M 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 U -1 -2 1 -5 0/ Napíšeme rozšířenou matici soustavy. ^^RB^^^WHň^^WBWByWW^BB^ r Xi - X3+3X4 = °1 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 J n 1 5 Vi o\ /i 0/ V Zvolíme klíčový řádek (s jedničkou na začátku a nejnižšími ciframi na dalších pozicích). Tento řádek opíšeme jako první. ^^RB^^^WHň^^WBWB^WWI^flB^ r Xi - X3+3X4 = °1 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 1 5 Vi J\ o o7 -o o n o Vynulujeme prvek flu. ©Robert Mařit a Lenta Přibylová, 20071 r Xl - X3+3X4 = °1 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 J n 1 5 Vi 0\ -5 1 i r^. n o o v 1 °\ 1 0 4 0 / Vynulujeme prvek «31. ©Robert Mařit a Lenta Přibylová, 20071 r Xl - X3+3X4 =0) ň Vt t X1+X2 - X4- X5 = Reste soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 : = 0 = 0 v X1-X2-2X3+ X4-5X5 : = 0 / 1 0 -13 0 °\ f1 1 1 1 0 -1 -1 0\-i 0 -1 5 1 -4 3 -9 0)ľ" 0 -4 \ 1 -1 -2 1 -5 o>y \o -2 0 -1 1 4 4 8 2 2 1 M 1 0 4 0 4 0/ Vynulujeme prvek «41. ©Robert Mařit a Lenta Přibylová, 20071 r X\ - ^3+3X4 =0) Řešte soustavu X1+X2 - X4- X5 : 5Xi+X2-4X3+3X4~9X5 : = 0 = 0 v X1-X2-2X3+ X4-5X5 : = 0 / 1 0 -1 3 0 0\ /l 1 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 5 1 -4 3 -9 0 0 -4 \ 1 -1 -2 1 -5 0 ) \o -2 / 1 1 0 -1 -1 °\ 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 \ 0 -1 -1 1 -2 0 ) 0 -1 1 4 4 8 2 2 °\ H-4 0 / H-2 První dva řádky opíšeme, poslední dva vydělíme společným dělitelem všech čísel v řádku. ^^^^^^^BHw^^HB^W^W^fflC^ r Xi - X3+3X4 = °1 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 J n 1 5 Vi /i o o Vo o\ /i 0/ Vo /i 0/ V o\ o o 0/ o\ o / První řádek opíšme, druhý řádek bude klíčový a opíšme jej také. ^5RBBifnvRR^^én5WnByT5v^nn^ r Xi - X3+3X4 =01 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 J n 1 5 Vi /i o o Vo \ V- 0\ (l o o Vo /l o o v o\ o o 0/ o\ o o / Nulujeme «32- ©Robert Marik a Lenka Přibylová, 20071 r Xi - X3+3X4 =01 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 J n 1 5 Vi /i o o Vo o\ /i 0/ Vo °\ Z1 Ox -l O O O o Vo 0 -1 -1 °\ 1 4 1 0 4 8 -4 0 2 2 -4 0 / 0 -1 -1 °\ 1 4 1 0 0 -2 -2 0 0 -3 -3 0/ Nulujeme «42- ©RoberFWäHňffiHIBMÍEýlova., 2UU/ [ r X\ - ^3+3X4 =0) Řešte soustavu X1+X2 - X4- X5 : 5Xi+X2-4X3+3X4~9X5 : = 0 = 0 v X1-X2-2X3+ X4-5X5 : = 0 / 1 0 -1 3 0 0\ /l 1 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 5 1 -4 3 -9 0 0 -4 \ 1 -1 -2 1 -5 0 ) \o -2 / 1 1 0 -1 -1 0\ ( 1 1 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 0 -1 -1 2 -1 0 0 0 \ 0 -1 -1 1 -2 «y \o 0 o 0 -1 -1 M 1 4 1 0 4 8 -4 0 2 2 -4 0 / 0 -1 -1 °\ 1 4 1 0 0 -2 -2 0 0 -3 -3 0/ H-2 Vydělíme poslední dva řádky společným dělitelem všech čísel v řádku. X\ - ^3+3X4 = os Reste soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = v. = 0 J -1 /I 0-1 3 0 0\ / 1 1 0 -1 M 1 1 0-1-1 0 0 -1 -1 4 1 0 5 1-4 3-9 0 0 -4 -4 8 -4 0 \ 1 —1 —2 1-5 0 ) \o -2 -2 2 -4 0/ íl 1 0-1-1 0\ /l 1 0 -1 -1 M 0-1-1 4 1 0 0 -1 -1 4 1 0 0-1-1 2 -1 0 0 0 0 -2 -2 0 \ 0 —1 —1 1-2 0 ) \0 0 0 -3 -3 0/ / 1 1 0-1-1 °\ 0-1-1 4 1 0 In n n _1 _1 n 1 Poslední dva řádky jsou shodné a stačí uvažovat pouze jeden z nich. Tím je matice převedena do schod Dvitého tvaru. r X\ - *3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 - X4- X5 = 0 5Xi+X2-4X3+3X4~9X5 = 0 v X1-X2-2X3+ X4-5X5 = 0 0 -1 / 1 0 -1 3 0 0 \ /l 1 -1 °\ 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 5 1 -4 3 -9 0 0 -4 -4 8 -4 0 \ 1 -1 -2 1 -5 0 / V 0 -2 -2 2 -4 0/ / 1 1 0 -1 -1 0 \ /l 1 0 -1 -1 °\ 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 0 0 -2 -2 0 \ 0 -1 -1 0 1 -2 -1 -1 0/ V 0 0 0 -3 -3 0/ / 1 1 M h(A) = = 3 = /z(Ar) 0 -1 0 0 -1 0 4 1 -1 -1 0 0 n = 5, 2 parametry ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 r Xi - X3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 f\y 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 Uvažujeme matici ve schodvitém tvaru. ^^RB^^^WHň^^WBWB^WW^BB^ r Xi - X3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 f\y 1 1 0 -1 0 -1 -1 4 0 0 0 -1 Přepíšeme poslední řádek jako klasickou rovnici. ^^RB^^^WHň^^WBWB^WW^BB^ r Xi - X3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 f\y 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 Protože neznámé v jedné rovnici jsou dvě, musí se jedna z nich rovnat parametru. Nechťnapříklad X5 je parametr. ^^RBBI^MHň^^WBMB^WWI^flB^ r Xi - X3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 f\y 1 1 0 -1 0 -1 -1 4 0 0 0 -1 -X4 - -x5 = = 0 x5 = = ŕ -X4 -ř = = 0 X4 = = -ŕ Dosadíme parametr a vypočteme X4. (c^RoběřtlvItlfflw^^HB^^^^^W^^^^ r Xi - X3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 1 1 0 -1 0 -1 -1 4 0 0 0 -1 -X4 - -x5 = = 0 x5 = = ŕ -X4 -ř = = 0 X4 = = -ŕ Přepíšeme další řádek do tvaru rovnice. (c^RoběřtlvItlfflw^^HB^^^^^W^^^^ r Xi - X3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 f\y 1 1 0 -1 0 -1 -1 4 0 0 0 -1 -X4 - -x5 = = 0 x5 = = ŕ -X4 -ř = = 0 X4 = = -ŕ Dosadíme všechno co jsme vypočetli dříve. ^^RB^^^WHň^^WBWByWW^BB^ r Xi - X3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 f\y 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -X4 - -x5 = = 0 x5 = = ŕ -X4 -í = = 0 X4 = = -ŕ Zůstaly dvě neznámé, jedna z nich musí být parametr. "Ena**Hg~~ rt-IKohpit Mařfk a I .mka 1-ViMova 1W f r Xi - X3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 f\y 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 —%2 - *3 + 4X4 + X5 = 0 -x2-x3 + 4(-r) + ř = 0 x3 = s -x2 - s - 3ř = 0 -X4 - -x5 = = 0 x5 = = ŕ -X4 -t = = 0 X4 = = -ŕ Dosadíme parametr. ©Robert MafA a Lenta Přibylová, 20071 r Xi - X3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 f\y 1 1 0 -1 0 -1 -1 4 0 0 0 -1 -X4 - -x5 = = 0 x5 = = ŕ -X4 -ř = = 0 X4 = = -ŕ -X2 - X3 + 4X4 + X5 = 0 -x2-x3 + 4(-ŕ) + f = 0 x3 = s -x2 - s - 3ŕ = 0 X2 = -S - -3ŕ Vypočteme X2. i r Xi - X3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 f\y 1 1 0 -1 0 -1 -1 4 0 0 0 -1 -X4 - -x5 = = 0 x5 = = ŕ -X4 -ř = = 0 X4 = = -ŕ -X2 - X3 + 4X4 + X5 = 0 -x2-x3 + 4(-ŕ) + f = 0 x3 = s -x2 - s - 3ŕ = 0 %2 = —s — 3ŕ X\ + X2 - X4 - X5 = 0 Přepíšeme zbývající řádek do tvaru rovnice. r Xi - X3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 f\y 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -X4 - -x5 = = 0 x5 = = ŕ -X4 -ř = = 0 X4 = = -ŕ -X2 - X3 + 4X4 + X5 = 0 -x2-x3 + 4(-ŕ) + f = 0 x3 = s -x2 - s - 3ŕ = 0 %2 = —s — 3ŕ X1 + X2 - X4 - x5 = = 0 ^l + (- -s-3ŕ)- (-0 -ŕ = Xi = = 0 = s+3ŕ Dosadíme vypočtené hodnoty a vyjáříme X\. ^^RB^^^^H^^^W^WHyW^^HB^ r Xi - X3+3X4 = 0 Řešte soustavu X1+X2 5Xi+X2" - X4--4x3+3x4- - x5 = -9x5 = = 0 = 0 v X1-X2- -2x3+ x4- -5x5 = = 0 f\y 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -X4 - -x5 = = 0 x5 = = ŕ -X4 -ř = = 0 X4 = = -ŕ -X2 - X3 + 4X4 + X5 = 0 -x2-x3 + 4(-ŕ) + f = 0 x3 = s -x2 - s - 3ŕ = 0 X2 = -s - 3ŕ X\ + X2 - X4 - X5 = 0 Xi + (-s-3ŕ)- (-ŕ) -ŕ = 0 Xi = s + 3ŕ Soustava je vyřešena (viz. červené vztahy) Řešte soustavu < Xl+ X2+ X3+ X4 X2+ X3+ X4+ X5 = Xi+2X2+3X3 X2+2X3+3X4+4X5 = X3+2X4+3X5 = = 0] = 0 = 0 = 0 = 0 —* ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 r 'Xi+ X2+ X3+ Xa X2+ X3+ X4+ X5 = Řešte soustavu < Xi+2x2+3x3 X2+2X3+3X4+4X5 = v X3+2X4+3X5 = / 1 1 1 1 0 0 1111 f\y 1 2 0 1 V 0 0 1 0 0 3 4 2 3 0\ 0 0 o 0/ o o o o ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 Q r Xl+ %2+ *3 + Xa =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu < Xi+2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 / 1 1 1 1 0 0 \ f\y 0 1111 0 12 3 0 0 0 0 12 3 4 0 ^00123 o) /lil 1 O O \ První řádek bude klíčový řádek. (c^RobeřtWaWw^^HB^^Eylová., 20071 r ' Xi+ X2+ X3+ X4 =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu < Xi+2x2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 f\y 1111 0 111 12 3 0 0 0 12 3 4 \ 0 0 1 2 3 0 \ ( 0 0 r^j 0 0/ \ 1 1 1 o 1 1 1 o 1 1 o Druhý řádek zůstává, má už nulu na začátku. ^^RB^^^WHň^^WBWB^WW^BB^ r ' Xi+ X2+ X3+ X4 =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu < Xi+2x2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 f\y 11110 0 1111 12 3 0 0 0 12 3 4 \ 0 0 1 2 3 o 0 (-1) o o o 0/ 1 1 1 o 1 1 O 1 2 0 o\ 1 0 0 0 / BEI nar ©Robert Marík a Ľéňk"ä^fByf5v5^BH^ r ' Xi+ X2+ X3+ X4 =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu < Xi+2x2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 f\y 11110 0 1111 12 3 0 0 0 12 3 4 \ 0 0 1 2 3 0 \ ( 0 0 r^j 0 0/ \ 1 1 1 o 1 1 0 1 2 0 1 2 1 0 o\ 1 1 0 1 0 0 3 4 0 / Čtvrtý řádek zůstává, má už nulu na začátku. ^^RBBI^ffllHňffiHIBMByWWI^flB^ | r Xl+ %2+ %3+ %4 =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu < Xi+2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 f\y 11110 0 1111 3 2 1 2 0 1 \ 0 0 1 0 0 3 4 2 3 0 \ / 0 0 r^j 0 0/ \ 1 1 1 0 1 1 0 1 2 0 1 2 \ 0 0 1 0 o\ 1 0 0 0 4 0 3 0/ Poslední řádek zůstává, má už nulu na začátku. ©Kobert MaHk a Lenka Kbylova, 2UU71 r ' Xi+ X2+ X3+ X4 =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu < Xi+2x2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 f\y 11110 0 1111 12 3 0 0 0 12 3 4 \ 0 0 1 2 3 /lil 1 0 0 11 1 1 V o o o o 0/ o\ o 7 1 1 1 o 1 1 O 1 2 1 O 1 1 -1 O 0 12 3 4 \ O O 1 2 3 0\ O O o 0/ První řádek zůstane a druhý řádek bude nový klíčový řádek. ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 r ' Xi+ X2+ X3+ X4 =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu < Xi+2x2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 11110 0 1111 Ar ~ 12 3 0 0 0 12 3 4 \ 0 0 1 2 3 /lil 1 0 0 11 1 1 0 0 1-2-1 V o o o o 0/ o\ o o 1 1 1 o 1 1 O 1 2 O 1 2 \ O O 1 1 O 1 1 -1 O o\ Ov (-1) 0^ r^j 0 0 ) gPI Q Q B3 ©Robert Marík a Ľéňk"ä^fByf5v5^BH^ X\ + X2+ X3+ X4 = O X2+ X3+ X4+ X5 = O Xi+2x2+3x3 = O X2+2X3+3X4+4X5 = O X3+2X4+3X5 = O f\y 11110 0 1111 12 3 0 0 / 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 V o 1 2 \ o o 1 1 1 3 4 2 3 0 1 -1 3 0 0 0 0 0/ 0\ 0 o o 1 1 1 o 1 1 0 1 2 1 0 1 1 -1 0 0 12 3 4 \ 0 0 1 2 3 o\ Ov(-l) °) rx^ 0^ «y BEI nar C£)Kobert Mařík a Lěív^^WByBvS^BH^ r ' Xi+ X2+ X3+ X4 =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu < Xi+2x2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 f\y 11110 0 1111 12 3 0 0 0 1 2 \ 0 0 1 3 4 2 3 0 0 0 0 0/ 1 1 1 0 1 1 0 1 2 1 0 1 1 -1 0 0 12 3 4 \ 0 0 1 2 3 0\ 0 0 o 0/ /lil 1 0 o\ 0 11 1 1 0 0 0 1-2-1 0 0 0 1 2 3 0 \ n n 1 ? ^ 0 / Poslední řádek již má dvě nuly na začátku a ponecháme jej tedy beze změny. r ' Xi+ X2+ X3+ X4 =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu < Xi+2x2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 f\y 11110 0 1111 12 3 0 0 0 12 3 4 V 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0/ 1 1 1 0 1 1 0 1 2 1 0 1 1 -1 0 0 12 3 4 V 0 0 1 2 3 0\ 0 0 o /lil 1 0 0 11 1 1 0 0 1-2-1 0 0 1 2 3 o\ 0 0 0 r^j /lil 1 0 0 11 1 1 0 0 1-2-1 0 0 ) Poslední dva řádky jsou stejné a jeden z nich lze vynechat. První tři řádky zůstanou a třetí z nich bude nový klíčový řádek. X\ + X2+ X3+ X4 = O X2+ X3+ X4+ X5 = O Xi+2x2+3x3 = O X2+2X3+3X4+4X5 = O X3+2X4+3X5 = O 11110 0 1111 Ar ~ 12 3 0 0 0 12 3 4 V 0 0 1 2 3 /lil 1 0 0 11 1 1 0 0 1-2-1 0 0 1 2 3 V 0 \ / 0 0 r^j 0 0/ \ 1 1 1 o 1 1 O 1 2 1 O 1 1 -1 O 0 12 3 4 0) Os (-1) \ O O 1 /lil O 1 1 0 0 1 \ o o o 2 3 O 1 -1 4 0\ O o o oj °\ 0 0 0/ BEI nar C£)Kobert Mařík a Lěív^^WByBvS^BH^ r ' Xi+ X2+ X3+ X4 =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu < Xi+2x2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 f\y 11110 0 1111 12 3 0 0 0 12 3 4 \ 0 0 1 /lil 1 0 11 1 0 0 1-2 0 0 1 2 2 3 0 1 -1 3 0/ o\ o o o 1 1 1 o 1 1 O 1 2 1 O 1 1 -1 O 0 12 3 4 \ O O 1 /lil O 1 1 0 0 1 \ O O O 2 3 O 1 -1 4 0\ O o o °\ 0 0 0/ Matice je ve schodovitém tvaru, /z(A) = /z(Ar) = 4 a soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na (5 — 4) = 1 parametru. ^^RB^^^WHň^^WBWB^WW^BB^ r 'xi+ x2+ x3+ x4 X2+ X3+ X4+ X5 = Řešte soustavu < Xi+2x2+3x3 X2+2X3+3X4+4X5 = v X3+2X4+3X5 = f\y /lil 0 1 1 0 0 1 \ o o o 0 M 1 0 1 0 4 0/ o o o o ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 Q Xi- Řešte soustavu < f\y xr X2+ *3 + X4 X2+ X3+ X4 x2+3x3 X2+2X3+3X4 X3+2X4 = o\ X5 = 0 = 0 4x5 = 0 3x5 = 0 /lil 1 0 M 4x4 + 4x5 = 0 0 1 1 1 1 0 X4 + X5 = 0 r ~ 0 0 1 -2 -1 0 x5 = ŕ ^000 4 4 «y X4 = -ŕ ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Řešte soustavu < X\ + X2+ X3+ X4 = 0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Xi+2x2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 f\y r ~ /lil 1 0 Oil 1 1 0 0 1-2-1 \ 0 0 0 4 4 0 0 0 J 4x4 + 4x5 = 0 X4 + X5 = 0 x5 = ŕ X4 = -ŕ X3 - 2x4 - X5 = 0 x3-2(-r)-ř = 0 x3 = -t ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Řešte soustavu < Xl+ X2+ X3+ X4 = 0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Xi+2x2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 v /lil 1 0 °\ 4x4 + 4x5 = 0 Ar ~ 0 1 1 0 0 1 1 -2 1 -1 0 0 X4 + X5 = 0 x5 = ŕ ^OOO 4 4 «y X4 = — t *3 - 2x4 - x5 = = 0 x3- 2(-í) -r = = 0 x3 = = -t Xl + X3 + X4 + X5 = = 0 *2 + (- -0 + (- -ř)+í = = 0 x2 = = ŕ ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Řešte soustavu < Xl+ X2+ X3+ X4 = 0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Xi+2x2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 v /lil 1 0 °\ 4x4 + 4x5 = 0 Ar ~ 0 1 1 0 0 1 1 -2 1 -1 0 0 X4 + X5 = 0 x5 = ŕ ^OOO 4 4 «y X4 = -ŕ X3 - 2x4 - X5 = 0 X2 + X3 + X4 + X5 = 0 x3-2(-ŕ)-ŕ = 0 x2 + (-t) + (-t) + t = 0 x3 = -t X2 = f *1 + %2 + X3 + X4 = 0 b Ba Xi + ŕ + (- 0 + (- -ŕ) = 0 ©Robert Marík a Lenk Řešte soustavu < Xl+ X2+ X3+ X4 = 0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Xi+2x2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 v /lil 1 0 °\ 4x4 + 4x5 = 0 Ar ~ 0 1 1 0 0 1 1 -2 1 -1 0 0 X4 + X5 = 0 x5 = ŕ ^OOO 4 4 «y X4 = -ŕ X3 - 2x4 - X5 = 0 X2 + X3 + X4 + X5 = 0 x3-2(-ŕ)-ŕ = 0 x2 + (-t) + (-t) + t = 0 x3 = -t X2 = f *1 + %2 + X3 + X4 = 0 b Ba Xi + ŕ + (- 0 + (- -ŕ) = 0 ©Robert Marík a Lenk Shrnutí B B ©Robert Marík a Lenka Přibylová, 2007 Q Věta 10. Buď A čtvercová matice řádu n Následující výroky jsou ekvivalentní: • Řádky matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z R". • Sloupce matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z R". • Hodnost matice A je rovna n, tj. h(A) = n • Matice A je invertibilní, tj. existuje matice A^1 k ní inverzní. • Matice A je regulární, tj. det A =£ 0. • Soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pro libovolnou volbu koeficientů na pravých stranách rovnic jediné řešení. • Homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pouze triviální řešení. • Každý algebraický vektor z R" lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice A, a to jednoznačně, až na pořadí. BEI Q Q Q3 ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 Q Věta 11. Uvažujme soustavu lineárních rovnic v maticovém tvaru Ax = b. Předpokládejme, že k matici A existuje inverzní matice A-1. Potom má soustava jediné řešení, jehož jednotlivé složky jsou prvky sloupcového vektoru A-1 • b, kde uvedený součin chápeme v maticovém smyslu. ©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071 Konec B B ©Robert Marík a Lenka Přibylová, 2007 Q