Objem dutého rotačního tělesa
Lenka Přibylová 6. března 2007
Objem rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spojitými funkcemi y = d (x) a y = h(x), které na intervalu (a, b) splňují d(x) < h(x), a přímkami x = a a x = b:
ľ y = h(x), y = d (x)                       V = n     (h2(x) — d2(x))dx
Ja
El    B
©Robert Mařík a Lenka Přibylová. 2007 EJ
Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce omezeného křivkami y2 = x a y = x2 kolem osy x.
Q     Q     133                                                                                                                                                      ©Robert Mařík a Lenka Přibylová. 2007 Q
I  y2 = x, y = x2, V =? I
/^Nakreslíme grafy obou funkcí. Jejich průsečíky buď vidíme na grafu nebo je dopočítáme:
\fx = x2
4 X = X
0 = x4-x 0 = x(x3-l) x = 0 V x = 1
^9TOUIrffllfT!WrarTlffl!u9ISva"l?ÔÓ7 |
y2 = x, y = x2, V =? I
V = 7T
Vyjádříme objem rotačního tělesa jako rcx určitý integrál.
^^ífflBrWIlflW^BflSfflfflylWSflW^
y2 = x, y = x2, V =? I
V=nJg\v-*Ý
Na intervalu (0,1) je horní funkcí h(x) = \px
CČjRobm ľ.:-:_______- Přibylo»! 2007 |
y2 = x, y = x2, V =? I
V = nJ^(V^)2-(x2)2dx
a dolní d (x) = X2
CČjRobm ľ.:.:_______„ Přibylo»! 2007 |
y2 = x, y = x2, V =? I
V = 7t      (Vx)2-(x2)2dx=/r /   x-x4dx
Upravír
Cc^Kobert Mařík a Lenka Přibylová. 2007
y2 = x, y = x2, V =? I
V = 7t      (Vx)2 - (x2)2 dx = 7t /   x - x4 dx = 7t
2         S
XL      X°
Najdeme primitivní funkci.
CcjKobert Mařík a Lenka Přibylová. 2007
y2 = x, y = x2, V =? I
v = „/oW
'1   1
1 2"5
ŕx2)2dX = 7T
x dx = n
2           S
Vypočítáme určitý integrál pomoci Newton-Leibnitzovy formule. Dosadíme tedy meze.
^^^WBlfflWfWW^^^^^^W^Pä. AW I |
y2 = x, y = x2, V =? I
v = „/oW
ŕx2)2dX = 7T
x dx = n
2         S
XL     X°
'1      1\       3
^2-5 ri71
Dopočítame.
CcjKobert Mařík a Lenka Přibylová. 2007
Konec
El    B
©Robert Mařík a Lenka Přibylová. 2007 EJ