Obsah rovinného útvaru mezi dvěma křivkami
Robert Mařík a Lenka Přibylová
6. března 2007
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Obsah rovinné plochy omezené spojitými funkcemi
y = d(x) a y = h(x), které na intervalu a, b splňují d(x)  h(x),
a přímkami x = a a x = b:
y
x0
a b
y = h(x)
y = d(x)
S =
b
a
h(x) - d(x) dx
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = ex
a y = e-x
pro x  [0, 1].
S =
1
0
ex
- e-x
dx = ex
+ e-x 1
0
= e1
+ e-1
- e0
+ e0
= e +
1
e
- 2
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
y = ex
, y = e-x
, x  [0, 1], S =?.
10
1
x
y
S =
1
0
ex
- e-x
dx = ex
+ e-x 1
0
= e1
+ e-1
- e0
+ e0
= e +
1
e
- 2
Zakreslíme křivky.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
y = ex
, y = e-x
, x  [0, 1], S =?.
10
1
x
y
S =
1
0
ex
- e-x
dx = ex
+ e-x 1
0
= e1
+ e-1
- e0
+ e0
= e +
1
e
- 2
Vyjádříme obsah plochy jako určitý integrál.
h(x) = ex
, d(x) = e-x
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
y = ex
, y = e-x
, x  [0, 1], S =?.
10
1
x
y
S =
1
0
ex
- e-x
dx = ex
+ e-x 1
0
= e1
+ e-1
- e0
+ e0
= e +
1
e
- 2
Vypočteme neurčitý integrál.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
y = ex
, y = e-x
, x  [0, 1], S =?.
10
1
x
y
S =
1
0
ex
- e-x
dx = ex
+ e-x 1
0
= e1
+ e-1
- e0
+ e0
= e +
1
e
- 2
Vypočítáme určitý integrál pomocí Newtonovy­Leignizovy formule. Dosadíme
tedy meze.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
y = ex
, y = e-x
, x  [0, 1], S =?.
10
1
x
y
S =
1
0
ex
- e-x
dx = ex
+ e-x 1
0
= e1
+ e-1
- e0
+ e0
= e +
1
e
- 2
Dopočítáme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2
a x + y = 0.
1 - (x - 1)2
= -x
1 - (x2
- 2x + 1) = -x
1 - x2
+ 2x - 1 = -x
3x - x2
= 0
(3 - x)x = 0
S =
3
0
1 - (x - 1)2
- (-x) dx =
3
0
1 - (x2
- 2x + 1) + x dx
=
3
0
-x2
+ 3x dx = -
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= -
33
3
+ 3
32
2
- -
03
3
+ 3
02
2
= -9 +
27
2
=
9
2
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2
a x + y = 0.
1 - (x - 1)2
= -x
1 - (x2
- 2x + 1) = -x
1 - x2
+ 2x - 1 = -x
3x - x2
= 0
(3 - x)x = 0
S =
3
0
1 - (x - 1)2
- (-x) dx =
3
0
1 - (x2
- 2x + 1) + x dx
=
3
0
-x2
+ 3x dx = -
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= -
33
3
+ 3
32
2
- -
03
3
+ 3
02
2
= -9 +
27
2
=
9
2
ˇ První z křivek je parabola, druhá z křivek je přímka y = -x.
ˇ Křivky se protínají v bodě, jehož x-ová splňuje rovnici
1 - (x - 1)2
= -x
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2
a x + y = 0.
1 - (x - 1)2
= -x
1 - (x2
- 2x + 1) = -x
1 - x2
+ 2x - 1 = -x
3x - x2
= 0
(3 - x)x = 0
S =
3
0
1 - (x - 1)2
- (-x) dx =
3
0
1 - (x2
- 2x + 1) + x dx
=
3
0
-x2
+ 3x dx = -
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= -
33
3
+ 3
32
2
- -
03
3
+ 3
02
2
= -9 +
27
2
=
9
2
Průsečíky křivek jsou body [0, 0] a [3, -3].
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2
a x + y = 0.
1 - (x - 1)2
= -x
1 - (x2
- 2x + 1) = -x
1 - x2
+ 2x - 1 = -x
3x - x2
= 0
(3 - x)x = 0
30
-3
2 x
y
y = 1 - (x - 1)2
= 1 - (x2
- 2x + 1) = 2x - x2
= x(2 - x)
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2
a x + y = 0.
30
-3
2 x
y
S =
3
0
1 - (x - 1)2
- (-x) dx =
3
0
1 - (x2
- 2x + 1) + x dx
=
3
0
-x2
+ 3x dx = -
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= -
33
3
+ 3
32
2
- -
03
3
+ 3
02
2
= -9 +
27
2
=
9
2
h(x) = 1 - (x - 1)2
d(x) = -x, protože x + y = 0  y = -x
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2
a x + y = 0.
30
-3
2 x
y
S =
3
0
1 - (x - 1)2
- (-x) dx =
3
0
1 - (x2
- 2x + 1) + x dx
=
3
0
-x2
+ 3x dx = -
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= -
33
3
+ 3
32
2
- -
03
3
+ 3
02
2
= -9 +
27
2
=
9
2
Umocníme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2
a x + y = 0.
30
-3
2 x
y
S =
3
0
1 - (x - 1)2
- (-x) dx =
3
0
1 - (x2
- 2x + 1) + x dx
=
3
0
-x2
+ 3x dx = -
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= -
33
3
+ 3
32
2
- -
03
3
+ 3
02
2
= -9 +
27
2
=
9
2
Upravíme integrand.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2
a x + y = 0.
30
-3
2 x
y
S =
3
0
1 - (x - 1)2
- (-x) dx =
3
0
1 - (x2
- 2x + 1) + x dx
=
3
0
-x2
+ 3x dx = -
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= -
33
3
+ 3
32
2
- -
03
3
+ 3
02
2
= -9 +
27
2
=
9
2 b
a
f (x) dx = [F(x)]b
a = F(b) - F(a)
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2
a x + y = 0.
30
-3
2 x
y
S =
3
0
1 - (x - 1)2
- (-x) dx =
3
0
1 - (x2
- 2x + 1) + x dx
=
3
0
-x2
+ 3x dx = -
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= -
33
3
+ 3
32
2
- -
03
3
+ 3
02
2
= -9 +
27
2
=
9
2 b
a
f (x) dx = [F(x)]b
a = F(b) - F(a)
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2
a x + y = 0.
30
-3
2 x
y
S =
3
0
1 - (x - 1)2
- (-x) dx =
3
0
1 - (x2
- 2x + 1) + x dx
=
3
0
-x2
+ 3x dx = -
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= -
33
3
+ 3
32
2
- -
03
3
+ 3
02
2
= -9 +
27
2
=
9
2
Dopočítáme obsah množiny.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Konec
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×