Povrch pláště rotačního tělesa Lenka Přibylová 6. března 2007 c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Povrch pláště rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f (x), osou x a přímkami x = a a x = b: x y a b x y y = f (x) P = 2 b a f (x) 1 + ( f (x))2 dx c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Vypočtěte povrch pláště tělesa, které vznikne rotací křivky y = x3 na intervalu 0, 1 kolem osy x. P = 2 1 0 x3 1 + (3x2)2 dx = 2 1 0 x3 1 + 9x4 dx = t = 1 + 9x4 t2 = 1 + 9x4 2t dt = 36x3 dx 1 18 t dt = x3 dx t1 = 1, t2 = 10 = 2 10 1 t 1 18 t dt = 9 t3 3 10 1 = 27 (10 10 - 1) c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × y = x3 , x 0, 1 , P =? y x0 1 P = 2 1 0 x3 1 + (3x2)2 dx = 2 1 0 x3 1 + 9x4 dx = t = 1 + 9x4 t2 = 1 + 9x4 2t dt = 36x3 dx 1 18 t dt = x3 dx t1 = 1, t2 = 10 = 2 10 1 t 1 18 t dt = 9 t3 3 10 1 = 27 (10 10 - 1) Nakreslíme graf funkce y = x3 . c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × y = x3 , x 0, 1 , P =? y x0 1 P = 2 1 0 x3 1 + (3x2)2 dx = 2 1 0 x3 1 + 9x4 dx = t = 1 + 9x4 t2 = 1 + 9x4 2t dt = 36x3 dx 1 18 t dt = x3 dx t1 = 1, t2 = 10 = 2 10 1 t 1 18 t dt = 9 t3 3 10 1 = 27 (10 10 - 1) Vyjádříme povrch pláště rotačního tělesa jako určitý integrál 2 1 0 f (x) 1 + ( f (x))2 dx . c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × y = x3 , x 0, 1 , P =? y x0 1 P = 2 1 0 x3 1 + (3x2)2 dx = 2 1 0 x3 1 + 9x4 dx = t = 1 + 9x4 t2 = 1 + 9x4 2t dt = 36x3 dx 1 18 t dt = x3 dx t1 = 1, t2 = 10 = 2 10 1 t 1 18 t dt = 9 t3 3 10 1 = 27 (10 10 - 1) Vyjádříme povrch pláště rotačního tělesa jako určitý integrál 2 1 0 f (x) 1 + ( f (x))2 dx . c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × y = x3 , x 0, 1 , P =? y x0 1 P = 2 1 0 x3 1 + (3x2)2 dx = 2 1 0 x3 1 + 9x4 dx = t = 1 + 9x4 t2 = 1 + 9x4 2t dt = 36x3 dx 1 18 t dt = x3 dx t1 = 1, t2 = 10 = 2 10 1 t 1 18 t dt = 9 t3 3 10 1 = 27 (10 10 - 1) Upravíme. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × y = x3 , x 0, 1 , P =? P = 2 1 0 x3 1 + (3x2)2 dx = 2 1 0 x3 1 + 9x4 dx = t = 1 + 9x4 t2 = 1 + 9x4 2t dt = 36x3 dx 1 18 t dt = x3 dx t1 = 1, t2 = 10 = 2 10 1 t 1 18 t dt = 9 t3 3 10 1 = 27 (10 10 - 1) Zavedeme vhodnou sustituci. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × y = x3 , x 0, 1 , P =? P = 2 1 0 x3 1 + (3x2)2 dx = 2 1 0 x3 1 + 9x4 dx = t = 1 + 9x4 t2 = 1 + 9x4 2t dt = 36x3 dx 1 18 t dt = x3 dx t1 = 1, t2 = 10 = 2 10 1 t 1 18 t dt = 9 t3 3 10 1 = 27 (10 10 - 1) Zavedeme vhodnou sustituci. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × y = x3 , x 0, 1 , P =? P = 2 1 0 x3 1 + (3x2)2 dx = 2 1 0 x3 1 + 9x4 dx = t = 1 + 9x4 t2 = 1 + 9x4 2t dt = 36x3 dx 1 18 t dt = x3 dx t1 = 1, t2 = 10 = 2 10 1 t 1 18 t dt = 9 t3 3 10 1 = 27 (10 10 - 1) Vyjdříme vztah pro diferenciály. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × y = x3 , x 0, 1 , P =? P = 2 1 0 x3 1 + (3x2)2 dx = 2 1 0 x3 1 + 9x4 dx = t = 1 + 9x4 t2 = 1 + 9x4 2t dt = 36x3 dx 1 18 t dt = x3 dx t1 = 1, t2 = 10 = 2 10 1 t 1 18 t dt = 9 t3 3 10 1 = 27 (10 10 - 1) Upravíme pro dosazení. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × y = x3 , x 0, 1 , P =? P = 2 1 0 x3 1 + (3x2)2 dx = 2 1 0 x3 1 + 9x4 dx = t = 1 + 9x4 t2 = 1 + 9x4 2t dt = 36x3 dx 1 18 t dt = x3 dx t1 = 1, t2 = 10 = 2 10 1 t 1 18 t dt = 9 t3 3 10 1 = 27 (10 10 - 1) Vyjádříme změnu mezí. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × y = x3 , x 0, 1 , P =? P = 2 1 0 x3 1 + (3x2)2 dx = 2 1 0 x3 1 + 9x4 dx = t = 1 + 9x4 t2 = 1 + 9x4 2t dt = 36x3 dx 1 18 t dt = x3 dx t1 = 1, t2 = 10 = 2 10 1 t 1 18 t dt = 9 t3 3 10 1 = 27 (10 10 - 1) Substituujeme. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × y = x3 , x 0, 1 , P =? P = 2 1 0 x3 1 + (3x2)2 dx = 2 1 0 x3 1 + 9x4 dx = t = 1 + 9x4 t2 = 1 + 9x4 2t dt = 36x3 dx 1 18 t dt = x3 dx t1 = 1, t2 = 10 = 2 10 1 t 1 18 t dt = 9 t3 3 10 1 = 27 (10 10 - 1) Najdeme primitivní funkci. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × y = x3 , x 0, 1 , P =? P = 2 1 0 x3 1 + (3x2)2 dx = 2 1 0 x3 1 + 9x4 dx = t = 1 + 9x4 t2 = 1 + 9x4 2t dt = 36x3 dx 1 18 t dt = x3 dx t1 = 1, t2 = 10 = 2 10 1 t 1 18 t dt = 9 t3 3 10 1 = 27 (10 10 - 1) Dosadíme meze. c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 × Konec c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×