Metoda půlení intervalů
Lenka Baráková
6. března 2007
Obsah
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05. . 2
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).ˇ Sestavíme tabulku a zapíšeme do ní dosažený odhad kořene.
ˇ U funkčních hodnot stačí zapisovat znaménka.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
Vypočteme polovinu intervalu [a, b].
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
Pomocí Hornerova schématu vypočteme funkční hodnotu v polovině
intervalu.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
ˇ Hledáme tu polovinu intervalu, ve které dochází ke znaménkové
změně (červeně vyznačeno).
ˇ Kraje této poloviny budou novou aproximací kořene.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
Opět rozpůlíme interval. Číslo v polovině intervalu je kořenem s
přesností
 =
1.5 - 1
2
= 0.25.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
Vypočteme funkční hodnotu v polovině intervalu.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
Vybereme interval, kde dochází ke znaménkové změně.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
Opět rozpůlíme interval. Přesnost je 0.125.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
Vypočteme funkční hodnotu v polovině intervalu.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
Vybereme interval, kde dochází ke znaménkové změně.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
Rozpůlíme interval. Přesnost je 0.0625 > 0.05
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
2 0 1 -6
1.5 2 3 5.5 +2.25
1.25 2 2.5 4.125 -0.84
1.375 2 2.75 4.78125 +0.57
1.3125 2 2.625 4.445 -0.17
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
Vypočteme funkční hodnotu v polovině intervalu.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
Vybereme interval, kde dochází ke znaménkové změně.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
Přesnost je nyní dostatečná. Stačí již jen rozpůlit interval.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte kořeny rovnice 2x3
+ x - 6 = 0 s přesností alepoň 0.05.
Z předchozí separace víme, že kořen leží v intervalu (1, 2), přesnost je
nyní 0.5.
a c =
a + b
2
b P(a) P(c) P(b)  =
b - a
2
1 1.5 2 - +2.25 + 0.5
1 1.25 1.5 - -0.84 + 0.25
1.25 1.375 1.5 - +0.57 + 0.125
1.25 1.3125 1.375 - -0.17 + 0.0625
1.3125 1.34375 1.375 - + 0.03125
Kořen je x = 1.34  0.04. Leží tedy uvnitř intervalu (1.30, 1.38).
ˇ Chybu zokrouhlujeme vždy nahoru na jednu platnou číslici a
odhad kořene na stejný počet desetinných míst.
ˇ Zkontrolujeme, že i po zaokrouhlení jsou poslední hodnoty odhadů
a a b uvnitř intervalu, ve kterém deklarujeme existenci kořene.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×