Substituční metoda
Lenka Přibylová 6. března 2007
B   B
©Robert Marík a Lenka Přibylová, 2007 Q
Obsah
íe2x+7dx................................      3
/' xe1-*2 dx................................    11
/___________dx                                                                      19
J  (2 + x)^/l + x
H    El    13    133                                                                                                               ©Robert Marík a Lenka Přibylová, 20070
Vypočtěte / e2x+7 dx
]
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Vypočtěte / e2x+7 dx
]
e2x+7dx
Vnitřní složka je 2x + 7.
Vypočtěte / e2x+7 dx
]
e2x+7dx =
2x + 7 = t
Zavedeme substituci 2x + 7 = t.
^^WBBirWffl^ä^nTäTOB^öva^Cn7^
Vypočtěte / e2x+7 dx 1	
	
je2x+7dx =	2x + 7 = t 2dx = dř
Nalezneme vztah mezi dx a dř.
^^RBHMSHHňBHlBMByWWI^IB^
Vypočtěte / e2x+7 dx
]
e2x+7dx
2x + 7 = t 2dx = dř
1 , dx = - dř 2
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Vypočtěte / e2x+7 dx
]
e2x+7dx
2x + 7 = t 2dx = dř
1 , dx = - dř 2
éldt
Dosadíme substituci.
^^WBBIrWflHňMWBrWByWvIr^lB^
Vypočtěte / e2x+7 dx
]
	2x + 7 = t
[e2x+7dx =	2dx = dŕ 1 , dx = - dŕ 2
	
1 t	
= / é\dt
Integrujeme.
^^WBBirWffl^ä^nTäTOB^öva^Cn7^
Vypočtěte / e2x+7 dx
]
e2x+7dx =
2x + 7 = t 2dx = dř
1 , dx = - dř 2
1   t            1   2
= -ť +c= -ez
+ c
= I éldt
Použijeme substituci k návratu k proměnné x. Došli jsme k témuž výsledku jako při použití vztahu / f(ax + b) dx = -F(ax + b).
Vypočtěte / xe1 x dx.
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Vypočtěte / xe1 x dx.
xe   x dx
Výraz je součinem polynomu a složené exponenciální funkce.
Vypočtěte / xe1 x dx.
xe1 x dx
\-xl = t
I Zkusíme substituovat za vnitřní složku složené funkce e1 x EEl  El  13 133----------------------------
©Robert Mank a LeTvľSTO5^3va^Cn7^
Vypočtěte / xe1'	-*2 dx. 1		
	/ xe1^x dx		
		l-x2 = -2xdx =	= t dŕ
Hledáme vztah mezi diferenciály. Derivujeme obě strany substituce.
Vypočtěte / xe1 x áx.
xe
\-xl
dx
1
x2 = t
-2xdx = dŕ
1  , xdx = — dŕ 2
Vyjádříme odsud výraz x dx, který figuruje uvnitř integrálu.
^^WBB!^ffl!l!ňM!!l!ffl!By!Wa^Cn7^
Vypočtěte / xe1 x dx.
xe
	l-x2 = t
-%2dx	-2xdx = dŕ
	1  , xdx = — dŕ 2
-\ I e*dt
Dosadíme.
^^RBHMSHHňBHlBMByWWI^IB^
Vypočtěte / xe1 x dx.
xe
\-xA
dx
1 - xl = t
-2xdx = dŕ
1  , xdx = — dŕ 2
= -\ I e*dt
= --r + c
Vypočtěte integrál pomocí vzorce.
^^WBBirWffl^ä^nTäTOB^öva^Cn7^
Vypočtěte / xe1 x dx.
xe
\-xA
dx
1 - xl = t
-2xdx = dŕ
1  , xdx = — dŕ 2
= -\ I e*dt
= --r + c = --e1 x +c
Použijeme substituci pro návrat k původní proměnné.
^^WBB!^ffl!l!ňM!!l!ffl!By!Wa^Cn7^
Vypojte /(2 + x)V_-dx
©Robert Mařík a Lenka Přibylová, 20071
Vypojte /(2 + x)1v_-dx
dx
(2 + x)^/l+x
Příklady s odmocninou z lineárního členu řešíme vždy druhou substituční metodou. Zbavujeme se tak nepříjemné odmocniny.
Vypočtěte
(2 + x)Vl + x
dx
(2 + x)Vl+x
dx =
Vl+x = ŕ
Zavedeme proto substituci ŕ = Vi +x.
^^WBBIMBHňMWBffllB^BW^IB^
Vypočtěte
(2 + x)VTT
:dx
(2 + x)VU~.
dx =
Odmocninu vždy převedeme umocněním na tvar bez odmocniny, přecházíme takto vlastně k inverzní funkci.
Bl     Bl     MTBi™™                                                                                                                          irikoherf Manka leT^PTír^W—^j
Vypočtěte
(2 + x)VTT
■.dx
(2 + x)VU~.
	Vl + x	= t
dx =	l + x = x = t2 -	t2 -1
Inverzní funkce bude v přepisu také třeba.
^^RH!l?^W5rT^äTéŕí5áTŕTByTöva^B0,^
Vypočtěte
(2 + x)VTT
■.dx
(2 + x)VU~.
	
	Vl+X = t
dx =	1 + x = t2 x = t2-l
	dx = lidi
Hledáme vztah mezi diferenciály. Derivujeme obě strany inverzní substituce.
^^^fflB!^M!Bwffi!WBa^^^y^Wf
Vypočtěte
(2 + x)Vl + x
dx
(2 + x)^/l+x
	
	Vl+X = ŕ
dx =	1 + x = t2 x = t2-l
	dx = lidi
(2 + t2-l)
Všechny výrazy s x zaměníme pomocí substituce za ekvivalentní výrazy s ŕ. Nejdříve použijeme za x inverzní substituce.
Vypočtěte
(2 + x)Vl + x
dx
(2 + x)Vl+x
	
	Vl + x = t
dx =	1 + x = t2 x = t2 - 1
	dx = 2ŕdŕ
(2 + ŕ2-l)ŕ
Odmocnina odpovídá t.
^^WBBi^Wffl^^Rn5^RíB^5v^Cn^
Vypočtěte
(2 + x)Vl + x
dx
(2 + x)^/l+x
	
	Vl+X = ŕ
dx =	1 + x = t2 x = t2-l
	dx = lidi
(2 + t2-l)t
■2tdt
Diferenciál také substituujeme. Všechny členy s x jsme nahradili.
^^WBBI^WM^ffilli^WB^W^Cn^
Vypočtěte
(2 + x)Vl + x
dx
(2 + x)Vl+x
	
	Vl+x = ŕ
dx =	1 + x = t2 x = t2-l
	dx = lidi
(2 + t2-l)t
■2tdt = 2
1 + r2
dí
Zkrátíme a konstantu převedeme před integrál.
^^WBBi^Wffl^^Rn5^RíB^5v^Cn^
Vypočtěte
(2 + x)Vl + x
dx
(2 + x)^/l+x
	
	Vl+X = t
dx =	1 + x = t2 x = t2-l
	dx = lidi
1
(2 + ŕ2-l)ŕ = 2 arctg ŕ + c
•2ŕdŕ = 2
1 + ŕ2
dŕ
Integrujeme.
^^WBBi^Wffl^^Rn5^RíB^5v^Cn^
Vypočtěte
(2 + x)VTT
■.dx
(2 + x)VU~.
	
	Vl+X = t
dx =	1 + x = t2 x = t2-l
	dx = lidi
t2-l)t
■2tdt = 2
1 + r2
dí
= 2 arctg t + c = 2 arctg Vl + x + c
Navrátíme se k původní proměnné.
^^WBBi^Wffl^^Rn5^RíB^5v^Cn^