Tay lor ův polynom
Lenka Přibylová 6. března 2007
Obsah
Najděte T2n(x) pro funkci f (x) = e~x+3 v bodě xq = 3 .  . .     3
2
Najděte T±(x) pro funkci f {x) = e~x   v bodě xq = 0   . .  . .     9
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro f(x) = e  s+3 v bodě xq = 3.
EEI       El       13       133                                                               ©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 RJ
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro /(#) = e  x+3 v bodě xq = 3. I f(x) =       e-*+3                  /(3) = 1
Vypočteme funkční hodnotu funkce f(x) v bodě xq: /(3) = e-3+3=e0 = l.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro /(#) = e  x+3 v bodě xq = 3.
f(x) =       e-*+3                  /(3) = 1
/'(*) =      e-^-C-l)         /'(3) = -l
Spočítáme první derivaci. Funkční hodnota se liší pouze znaménkem.
EEI     El     13     133
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 RJ
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro /(#) = e  a;+3 v bodě xq = 3. I
/(*) =	e-x+3	/(3) = 1
/'(*) =	e-^^-C-l)	/'(3) = -l
/"(*) =	-e-"*3-(-I)	/"(3) = 1
Spočítáme druhou derivaci. Funkční hodnota se od první liší zase pouze znaménkem.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro /(#) = e  a;+3 v bodě xq = 3. I
/(*) =	e-x+3	/(3) = 1
/'(*) =	e-^^-C-l)	/'(3) = -l
/"(*) =	-e-"*3-(-I)	/"(3) = 1
/'"(z) =      e~x+ó ■ (-1)          /'"(3) = -1
Další derivace se budou chovat podobně. Derivace lichého řádu budou mít v bodě xq = 3 hodnotu —1 a sudé +1.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro /(#) = e  a;+3 v bodě xq = 3. I
/(*) =       e-*+3                  /(3) = 1
/'(*) =     e-*+3-(-l)         /'(3) = -l
/"(*)=    -e-+3.(-l)        /"(3) = 1
f'"(x) =     e-x+3 ■ (-1)         /'"(3) = -1
Taylorův polynom sudého stupně je tvaru:
T2n = 1 + ^-(x - 3) + i (z - 3)2 + ^l(x - 3)3 + ...
(x_3)2n-l + _L(x_3)2^
(2n-l)!v         '             (2n)!
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e  x   v počátku.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
/(*) =                     e-                              /(O) = 1
Vypočteme funkční hodnotu funkce f(x) v bodě xq:
/(O) = e° = 1.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
/(*) =                     e-                              /(O) = 1
/'(*)=                    e-a'2(-2x)                    /'(0)=0
Spočítáme první derivaci a její funkční hodnotu.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
/(*) =                     e-                              /(O) = 1
/'(*)=                    e-a'2(-2x)                    /'(0)=0
f"(x)=         e-x\-2x)2 + e-x\-2)
Druhou derivaci počítáme jako součin.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
/(*) =                     e-                              /(O) = 1
/'(*)=                    e-a'2(-2x)                    /'(0)=0
f"(x)=         e-x\-2x)2 + e-x\-2)
e-x\Ax2 -2)
Upravíme.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
/(*) =                     e-                              /(O) = 1
/'(*)=                    e-a'2(-2x)                    /'(0)=0
/"(*) =        e-x\-2x)2 + e-x\-2)
e-x2(4x2-2)              f"(0) = -2
Dosadíme x = xq = 0.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
/(*) =                     e^2                             /(O) = 1
/'(*)=                    e-a'2(-2x)                    /'(0)=0
f"(x)=          e-x\-2x)2 + e-x\-2)
e-x2(4x2-2)                  f"(0) = -2
f'"(x) =    e-*2(-2x)(4x2 - 2) + e~x2(Sx)
Třetí derivaci počítáme také jako součin.
EEI       El       13       133                                                               ©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 RJ
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
/(*) =                     e-                              /(O) = 1
/'(*)=                    e-a'2(-2x)                    /'(0)=0
f"(x)=          e-x\-2x)2 + e-x\-2)
e-x2(4x2-2)                  f"(0) = -2
f'"(x) =    e-x2(-2x)(4x2 -2)+e-x2(8x) e~x2 (-8x3 + Í2x)
Upravíme.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
/(*) =                     e-                              /(O) = 1
/'(*)=                    e-a'2(-2x)                    /'(0)=0
/"(*) =          e-x\-2x)2 + e-x\-2)
e-x2(4x2-2)                  f"(0) = -2 f'"(x) =    e-x2(-2x)(4x2 -2)+e-x2(8x)
e-x2 (-8x3 + 12x)               /'"(0)=0
Dosadíme x = xq = 0.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
/(*) =                     e-                              /(O) = 1
/'(*)=                    e-a'2(-2x)                    /'(0)=0
f"(x)=          e-x\-2x)2 + e-x\-2)
e-x2(4x2-2)                  f"(0) = -2
f'"(x) =    e-x2(-2x)(4x2 -2)+e-x2(8x)
e-x2 (-8x3 + 12x)               /'"(0)=0
/(4)(x) =        e-a;2(-2x)(-8x3 + 12x)+
+e~a:2(-24x2 + 12)
Čtvrtou derivaci počítáme také jako součin.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
/(*) =                     e-                              /(O) = 1
/'(*)=                    e-a'2(-2x)                    /'(0)=0
f"(x)=         e-x\-2x)2 + e-x\-2)
e-a;2(4x2-2)                  /"(O) = -2
f'"(x) =    e-x2(-2x)(4x2 -2)+e-x2(8x)
e-x2 (-8x3 + 12x)               f'"(0)=0
/(4)(x) =        e-a;2(-2x)(-8x3 + 12x) +
+e~x2 (-24x2 + 12) e-a;2(16x4-48x2 + 12)
Upravíme.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
/(*) =                     e-                              /(O) = 1
/'(*)=                    e-a'2(-2x)                    /'(0)=0
/"(*) =          e-x\-2x)2 + e-x\-2)
e-x2(4x2-2)                  f"(0) = -2
f'"(x) =    e-x2(-2x)(4x2 -2)+e-x2(8x)
e-x2 (-8x3 + 12x)               /'"(0)=0
/(4)(x) =        e-a;2(-2x)(-8x3 + 12x) +
+e~a:2(-24x2 + 12) e-a;2(16x4-48x2 + 12)          /<4>(0) = 12
Dosadíme x = xq = 0.
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku. Víme tedy, že
/(O) = 1, /'(O) = 0, /"(O) = -2, /'"(O) = 0, /(4)(0) = 12.
EEI     El     13     133
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 RJ
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
Víme tedy, že
/(O) = 1, /'(O) = 0, /"(O) = -2, /'"(O) = 0, /(4)(0) = 12. Taylorův polynom 4.stupně v počátku je tedy tvaru:
T4 = l + ^(x-0) + ^(x-0)2 + |(x-0)3 + |(x-0)4
1
x~ -+- — x'
T4 = í     ~2  '     ~4
©Robert   Mařík   a Lenka Přibylová,  2007 I