Určitý integrál
Lenka Přibylová
6. března 2007
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Obsah
1
-2
(3x2
+ 2x - 9) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1
-1
1
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7
3
x
x2 - 4
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2
1
x ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2
0
sin2
x cos x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1
-2
(3x2
+ 2x - 9) dx.
1
-2
(3x2
+2x-9) dx = 3
x3
3
+ 2
x2
2
-9x
1
-2
= x3
+ x2
- 9x
1
-2
= 1 + 1 - 9 - (-8 + 4 + 18) = -7 - 14 = -21
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1
-2
(3x2
+ 2x - 9) dx.
1
-2
(3x2
+2x-9) dx = 3
x3
3
+ 2
x2
2
-9x
1
-2
= x3
+ x2
- 9x
1
-2
= 1 + 1 - 9 - (-8 + 4 + 18) = -7 - 14 = -21
Počítáme určitý integrál z polynomu na intervalu -2, 1 . Polynom je
spojitá funkce na celém R, proto můžeme k výpočtu použít
Newton-Leibnitzovu větu.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1
-2
(3x2
+ 2x - 9) dx.
1
-2
(3x2
+2x-9) dx = 3
x3
3
+ 2
x2
2
-9x
1
-2
= x3
+ x2
- 9x
1
-2
= 1 + 1 - 9 - (-8 + 4 + 18) = -7 - 14 = -21
Najdeme primitivní funkci k danému polynomu.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1
-2
(3x2
+ 2x - 9) dx.
1
-2
(3x2
+2x-9) dx = 3
x3
3
+ 2
x2
2
-9x
1
-2
= x3
+ x2
- 9x
1
-2
= 1 + 1 - 9 - (-8 + 4 + 18) = -7 - 14 = -21
Najdeme primitivní funkci k danému polynomu
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1
-2
(3x2
+ 2x - 9) dx.
1
-2
(3x2
+2x-9) dx = 3
x3
3
+ 2
x2
2
-9x
1
-2
= x3
+ x2
- 9x
1
-2
= 1 + 1 - 9 - (-8 + 4 + 18) = -7 - 14 = -21
a zapíšeme ji do hranatých závorek s dolní a horní mezí intervalu.
Tento zápis značí odčítání F(1) - F(-2). Integrační konstantu
nemusíme psát, protože by se v rozdílu stejně odečetla.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1
-2
(3x2
+ 2x - 9) dx.
1
-2
(3x2
+2x-9) dx = 3
x3
3
+ 2
x2
2
-9x
1
-2
= x3
+ x2
- 9x
1
-2
= 1 + 1 - 9 - (-8 + 4 + 18) = -7 - 14 = -21
Před dosazováním upravíme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1
-2
(3x2
+ 2x - 9) dx.
1
-2
(3x2
+2x-9) dx = 3
x3
3
+ 2
x2
2
-9x
1
-2
= x3
+ x2
- 9x
1
-2
= 1 + 1 - 9 - (-8 + 4 + 18) = -7 - 14 = -21
Dosadíme do primitivní funkce horní mez
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1
-2
(3x2
+ 2x - 9) dx.
1
-2
(3x2
+2x-9) dx = 3
x3
3
+ 2
x2
2
-9x
1
-2
= x3
+ x2
- 9x
1
-2
= 1 + 1 - 9 - (-8 + 4 + 18) = -7 - 14 = -21
a odečteme hodnotu v dolní mezi.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1
-2
(3x2
+ 2x - 9) dx.
1
-2
(3x2
+2x-9) dx = 3
x3
3
+ 2
x2
2
-9x
1
-2
= x3
+ x2
- 9x
1
-2
= 1 + 1 - 9 - (-8 + 4 + 18) = -7 - 14 = -21
Dostali jsme výsledek, kterým je vždy číslo, protože představuje obsah
plochy pod křivkou y = 3x2
+ 2x - 9.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1
-2
(3x2
+ 2x - 9) dx.
1
-2
(3x2
+2x-9) dx = 3
x3
3
+ 2
x2
2
-9x
1
-2
= x3
+ x2
- 9x
1
-2
= 1 + 1 - 9 - (-8 + 4 + 18) = -7 - 14 = -21
Proč je určitý integrál záporný?
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1
-2
(3x2
+ 2x - 9) dx.
y
x0
-2 1
y = 3x2
+ 2x - 9
Graf funkce je pod osou x,
proto v integrálním součtu
n

i=1
f (i)xi je f (i) záporné číslo. Integrální
součet je tedy záporný a také jeho limita ­ určitý integrál ­ je záporné
číslo. Obsah útvaru omezeného osou x a křivkou na daném intervalu je
tedy absolutní hodnota určitého integrálu: S = 21.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1
-1
1
x
dx.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
1
-1
1
x
dx.
Funkce není na intervalu spojitá, jelikož v bodě 0 není definovaná.
Určitý integrál neexistuje.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
7
3
x
x2 - 4
dx.
7
3
x
x2 - 4
dx =
1
2
7
3
2x
x2 - 4
dx =
1
2
ln |x2
- 4|
7
3
=
1
2
ln 45 -
1
2
ln 5 =
1
2
ln 9 = ln 3
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
7
3
x
x2 - 4
dx.
7
3
x
x2 - 4
dx =
1
2
7
3
2x
x2 - 4
dx =
1
2
ln |x2
- 4|
7
3
=
1
2
ln 45 -
1
2
ln 5 =
1
2
ln 9 = ln 3
Funkce není definovaná a spojitá v bodech, kde je jmenovatel nulový:
x2
- 4 = 0. Není tedy definovaná v bodech 2 a -2. Na celém intervalu
3, 7 je tedy funkce definovaná a spojitá, můžeme proto použít
Newton-Leibnitzovu formuli.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
7
3
x
x2 - 4
dx.
7
3
x
x2 - 4
dx =
1
2
7
3
2x
x2 - 4
dx =
1
2
ln |x2
- 4|
7
3
=
1
2
ln 45 -
1
2
ln 5 =
1
2
ln 9 = ln 3
Jde o ryze lomenou funkci. V čitateli vytvoříme derivaci jmenovatele
(x2
- 4) = 2x.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
7
3
x
x2 - 4
dx.
7
3
x
x2 - 4
dx =
1
2
7
3
2x
x2 - 4
dx =
1
2
ln |x2
- 4|
7
3
=
1
2
ln 45 -
1
2
ln 5 =
1
2
ln 9 = ln 3
Použijeme vzorec
f (x)
f (x)
dx = ln |f (x)|.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
7
3
x
x2 - 4
dx.
7
3
x
x2 - 4
dx =
1
2
7
3
2x
x2 - 4
dx =
1
2
ln |x2
- 4|
7
3
=
1
2
ln 45 -
1
2
ln 5 =
1
2
ln 9 = ln 3
Dosadíme horní mez: 72
- 4 = 45
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
7
3
x
x2 - 4
dx.
7
3
x
x2 - 4
dx =
1
2
7
3
2x
x2 - 4
dx =
1
2
ln |x2
- 4|
7
3
=
1
2
ln 45 -
1
2
ln 5 =
1
2
ln 9 = ln 3
a dolní mez: 32
- 4 = 5
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
7
3
x
x2 - 4
dx.
7
3
x
x2 - 4
dx =
1
2
7
3
2x
x2 - 4
dx =
1
2
ln |x2
- 4|
7
3
=
1
2
ln 45 -
1
2
ln 5 =
1
2
ln 9 = ln 3
Při úpravě použijeme vzorec pro práci s logaritmy:
ln a - ln b = ln
a
b
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
7
3
x
x2 - 4
dx.
7
3
x
x2 - 4
dx =
1
2
7
3
2x
x2 - 4
dx =
1
2
ln |x2
- 4|
7
3
=
1
2
ln 45 -
1
2
ln 5 =
1
2
ln 9 = ln 3
a další vzorec a ln b = ln ba
.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
2
1
x ln x dx.
2
1
x ln x dx =
u = ln x u =
1
x
v = x v =
x2
2
=
x2
2
ln x
2
1
-
2
1
x2
2
1
x
dx
=
4
2
ln 2 -
1
2
ln 1 -
1
2
2
1
x dx = 2 ln 2 -
1
2
x2
2
2
1
= 2 ln 2 -
1
2
2 -
1
2
= 2 ln 2 -
3
4
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
2
1
x ln x dx.
2
1
x ln x dx =
u = ln x u =
1
x
v = x v =
x2
2
=
x2
2
ln x
2
1
-
2
1
x2
2
1
x
dx
=
4
2
ln 2 -
1
2
ln 1 -
1
2
2
1
x dx = 2 ln 2 -
1
2
x2
2
2
1
= 2 ln 2 -
1
2
2 -
1
2
= 2 ln 2 -
3
4
Funkce je součinem polynomu a logaritmické funkce. Tyto funkce jsou
na intervalu 1, 2 spojité. Použijeme Newton-Leibnitzovu formuli.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
2
1
x ln x dx.
2
1
x ln x dx =
u = ln x u =
1
x
v = x v =
x2
2
=
x2
2
ln x
2
1
-
2
1
x2
2
1
x
dx
=
4
2
ln 2 -
1
2
ln 1 -
1
2
2
1
x dx = 2 ln 2 -
1
2
x2
2
2
1
= 2 ln 2 -
1
2
2 -
1
2
= 2 ln 2 -
3
4
Primitivní funkci hledáme per partes pomocí vzorce
u  v dx = u  v - u  v dx
kde u = ln x a v = x.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
2
1
x ln x dx.
2
1
x ln x dx =
u = ln x u =
1
x
v = x v =
x2
2
=
x2
2
ln x
2
1
-
2
1
x2
2
1
x
dx
=
4
2
ln 2 -
1
2
ln 1 -
1
2
2
1
x dx = 2 ln 2 -
1
2
x2
2
2
1
= 2 ln 2 -
1
2
2 -
1
2
= 2 ln 2 -
3
4
Primitivní funkci hledáme per partes pomocí vzorce
u  v dx = u  v - u  v dx
kde u = ln x a v = x. První část vzorce u  v už je součástí primitivní
funkce, proto ji musíme zapsat do hranatých závorek. Druhá část je
určitý integrál, musíme tedy psát meze.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
2
1
x ln x dx.
2
1
x ln x dx =
u = ln x u =
1
x
v = x v =
x2
2
=
x2
2
ln x
2
1
-
2
1
x2
2
1
x
dx
=
4
2
ln 2 -
1
2
ln 1 -
1
2
2
1
x dx = 2 ln 2 -
1
2
x2
2
2
1
= 2 ln 2 -
1
2
2 -
1
2
= 2 ln 2 -
3
4
Dosadíme horní mez a odečteme hodnotu v dolní mezi.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
2
1
x ln x dx.
2
1
x ln x dx =
u = ln x u =
1
x
v = x v =
x2
2
=
x2
2
ln x
2
1
-
2
1
x2
2
1
x
dx
=
4
2
ln 2 -
1
2
ln 1 -
1
2
2
1
x dx = 2 ln 2 -
1
2
x2
2
2
1
= 2 ln 2 -
1
2
2 -
1
2
= 2 ln 2 -
3
4
Najdeme primitivní funkci.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
2
1
x ln x dx.
2
1
x ln x dx =
u = ln x u =
1
x
v = x v =
x2
2
=
x2
2
ln x
2
1
-
2
1
x2
2
1
x
dx
=
4
2
ln 2 -
1
2
ln 1 -
1
2
2
1
x dx = 2 ln 2 -
1
2
x2
2
2
1
= 2 ln 2 -
1
2
2 -
1
2
= 2 ln 2 -
3
4
Dosadíme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte
2
1
x ln x dx.
2
1
x ln x dx =
u = ln x u =
1
x
v = x v =
x2
2
=
x2
2
ln x
2
1
-
2
1
x2
2
1
x
dx
=
4
2
ln 2 -
1
2
ln 1 -
1
2
2
1
x dx = 2 ln 2 -
1
2
x2
2
2
1
= 2 ln 2 -
1
2
2 -
1
2
= 2 ln 2 -
3
4
Upravíme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2
0
sin2
x cos x dx.

2
0
sin2
xcos x dx =
sin x = t
cos x dx = dt
t1 = sin 0 = 0
t2 = sin

2
= 1
=
0
1
t2
dt =
t3
3
1
0
=
1
3
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2
0
sin2
x cos x dx.

2
0
sin2
xcos x dx =
sin x = t
cos x dx = dt
t1 = sin 0 = 0
t2 = sin

2
= 1
=
0
1
t2
dt =
t3
3
1
0
=
1
3
Funkce je spojitá na celém R, tedy i na intervalu 0,

2
. Můžeme
použít Newton-Leibnitzovu formuli.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2
0
sin2
x cos x dx.

2
0
sin2
xcos x dx =
sin x = t
cos x dx = dt
t1 = sin 0 = 0
t2 = sin

2
= 1
=
0
1
t2
dt =
t3
3
1
0
=
1
3
Primitivní funkci nalezneme pomocí substituce t = sin x, protože jde o
funkci goniometrickou typu R(sin x) cos x.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2
0
sin2
x cos x dx.

2
0
sin2
xcos x dx =
sin x = t
cos x dx = dt
t1 = sin 0 = 0
t2 = sin

2
= 1
=
0
1
t2
dt =
t3
3
1
0
=
1
3
Diferencujeme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2
0
sin2
x cos x dx.

2
0
sin2
xcos x dx =
sin x = t
cos x dx = dt
t1 = sin 0 = 0
t2 = sin

2
= 1
=
0
1
t2
dt =
t3
3
1
0
=
1
3
Dosadíme.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2
0
sin2
x cos x dx.

2
0
sin2
xcos x dx =
sin x = t
cos x dx = dt
t1 = sin 0 = 0
t2 = sin

2
= 1
=
0
1
t2
dt =
t3
3
1
0
=
1
3
Pro původní proměnnou x integrujeme na intervalu 0,

2
. Při
přechodu k proměnné t musíme spolu s proměnnou x změnit i její
interval integrace, protože t  0, 1 .
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2
0
sin2
x cos x dx.

2
0
sin2
xcos x dx =
sin x = t
cos x dx = dt
t1 = sin 0 = 0
t2 = sin

2
= 1
=
0
1
t2
dt =
t3
3
1
0
=
1
3
Integrujeme v proměnné t.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte

2
0
sin2
x cos x dx.

2
0
sin2
xcos x dx =
sin x = t
cos x dx = dt
t1 = sin 0 = 0
t2 = sin

2
= 1
=
0
1
t2
dt =
t3
3
1
0
=
1
3
Dosadíme meze proměnné t. Získáváme tedy výsledek aniž bychom se
vraceli k původní proměnné.
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×
KONEC
c Robert Mařík a Lenka Přibylová, 2007 ×