Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 1 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Základy teorie relativity
Elektronická učebnice
pro střední a vysoké školy
Jan Novotný, Jana Jurmanová, Jan Geršl
Marta Svobodová
Učebnice vznikla v rámci grantu FRVŠ 2729
Ú vod do speciální a obecné teorie relativity ­ multimediální text
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 2 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Návod místo předmluvy
Milý čtenáři, právě si čteš úvodní odstavec z první české elektronické učeb-
nice teorie relativity. Jak již název této elektronické knihy vypovídá, cílem Proč vytvářet elektro-
nickou učebnici teorie
relativity?
naší práce bylo poskytnout zájemcům, zejména z řad studentů středních
a vysokých škol, učebnici, která by je seznámila se základy speciální a
obecné teorie relativity, jakož i s vývojem vědeckých názorů a přestav, které
k teorii relativity vedly. Učebnice či skripta k teorii relativity v českém jazyce
již samozřejmě existují. Proč jsme se tedy rozhodli napsat tuto knihu a navíc
v elektronické podobě?
Teorie relativity patří k nejobtížnějším partiím fyziky. Její závěry jsou často
v rozporu s očekáváním, utvořeným na základě běžné lidské zkušenosti. Její Výhody multimediál-
ního textu.objasňování proto mimo jiné vyžaduje i názorné demonstrace multimediál-
ního charakteru, které lze zahrnout pouze do elektronické učebnice. Další
rysy elektronického dokumentu ­ např. snadná navigace a orientace v textu
pomocí hypertextových odkazů, odkazy do sítě Internet, možnost rychlého
vyhledávání v textu nebo zvětšení části dokumentu ­ jsou užitečné při studiu
každé literatury.
Učebnice je vytvořena ve formátu PDF 1.4, který správně zobrazí prohlí-
žeč Adobe Reader od verze 5. Tento prohlížeč je firmou Adobe poskytován
zdarma. Animace a videa k tématu nejsou součástí dokumentu PDF, ale jsou Programové vybavení
potřebné pro zobra-
zení vlastního textu,
animací a videí.
přístupné prostřednictvím klikacích ikon, odkazujících na příslušné soubory
na disku. Pro správnou funkci odkazů je zapotřebí mít v Adobe Readeru
povolenou předvolbu Povolit otevírání jiných souborů a spouštění aplikací
z dokumentů (viz Předvolby (CTRL-K)  Správce práv nebo Předvolby 
Volby podle verze prohlížeče). Volně šířitelné instalace prohlížečů jsou přilo-
ženy na disku s učebnicí (adresář Instal). Animace jsou vyrobeny ve Flashi,
jsou samospustitelné (soubory s příponou exe). Lze si je prohlédnout v re-
žimu na celou obrazovku nastavením ,,Full sreen" v menu View přehrávače.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 3 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Dochází-li ke zpožd'ování obrazu za zvukem, je třeba v menu View nastavit
položku Quality na ,,medium". Videa jsou uloženy ve formátu mpg1, který je
podporován libovolným přehrávačem videosekvencí (např. Windows Media
Player, RealPlayer, QuickTime a další).
Pro pohodlnou práci s učebnicí je součástí dokumentu navigační okno,
zpřístupňující pomocí tlačítek základní akce (v závorce jsou navíc uvedeny
klávesové zkratky Adobe Readeru ve verzi pro Windows): Klávesové zkratky
vhodné pro rychlejší
orientaci v textu.
ˇ skok na titulní stranu, obsah nebo rejstřík,
ˇ skok na začátek nebo konec dokumentu (Home, End),
ˇ posun o stránku zpět či dopředu (, , , ),
ˇ skok na stránku s číslem (CTRL + n, příp. CTRL + SHIFT + n),
ˇ návrat k předcházejícímu zobrazení (krok zpět) (ALT + ),
ˇ přechod mezi celoobrazovkovým režimem a standardním režimem s vi-
ditelným menu a panely programu (CTRL + l),
ˇ ukončení prohlížení dokumentu (CTRL + w).
Kromě výše uvedených klávesových zkratek jsou velmi užitečné jednozna-
kové klávesové zkratky, přepínající mezi nástroji realizovanými kurzorem
myši ­ např.: Jednoznakové kláve-
sové zkratky.ˇ h ­ ručička,
ˇ z ­ lupa,
ˇ v ­ výběr textu,
ˇ g ­ výběr grafiky.
U novějších verzí Adobe Readeru tyto zkratky musí být předem povoleny (viz
Předvolby  Všeobecné). Zejména nástroj lupa je velmi užitečný, chceme-li Nástroj lupa.
si prohlédnou detaily obrázku s velkým rozlišením. Např. tažením lupou nad
obrázkem 106 si přiblížíme fotografii pamětní desky A. Einsteina v Praze na-
tolik, že snadno přečteme její text. Do původního zvětšení se potom vrátíme
stiskem kláves CTRL + 0 nebo ALT + .
Poslední poznámka se týká kvality zobrazení dokumentu. Pokud je text
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 4 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
málo čitelný a kresby neostré či kostrbaté, zkontrolujte v předvolbách nasta- Nastavení kvality zob-
razení dokumentu.vení vyhlazování textu a grafiky (Předvolby  Zobrazení nebo Předvolby
 Vyhlazení). Na LCD displejích také můžete optimalizovat zobrazení textu
pomocí volby CoolType.
Doufáme, že v naší elektronické učebnici naleznete kvalitní a efektivní
zdroj informací.
Autoři
Srdečné díky celého autorského kolektivu patří Mgr. Zdeňkovi Navrátilovi,
který sice stojí skromně v pozadí, ale je iniciátorem projektu a má největší
zásluhy o jeho technickou realizaci.
Autorský kolektiv přeje mnoho zábavy
při kreativním využití tohoto CD.
x
y
x'
y'
v
v'
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 5 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obsah
Rejstřík 11
1 Speciální teorie relativity (STR) 15
1.1 Tušení relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 Aristotelés, Fyzika: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2 Galilei, Dialog: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.3 Pascal, Myšlenky: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.4 Postřehy básníků a spisovatelů: . . . . . . . . . . . . 17
1.1.5 Co to říká fyzikovi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Dilema fyziků po Newtonovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 Maxwellova teorie a Michelsonův pokus . . . . . . . . 22
1.2.2 Hledání východiska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Synchronizace hodin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Jak měříme čas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2 Kalibrace a synchronizace . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3 Světelná synchronizace . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Principy STR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.1 Princip relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.2 Princip konstantní rychlosti světla . . . . . . . . . . . 32
1.4.3 Relativnost současnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5 Lorentzova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6 Skládání rychlostí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6.1 Odvození pro rovnoměrný pohyb tělesa ve směru rov-
noběžném se směrem pohybu soustavy K . . . . . . 42
1.6.2 Odvození pro rovnoměrný pohyb tělesa v libovolném
směru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.6.3 Odvození s využitím derivování . . . . . . . . . . . . 44
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 6 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.6.4 Existuje korespondence s klasickým zákonem sklá-
dání rychlostí? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6.5 Zobecnění ­ zákon skládání rychlostí pro libovolnou
orientaci soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.6 Rychlost světla je absolutní . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.7 Kontrakce délek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.7.1 Odvození vztahu pro kontrakci délek . . . . . . . . . 48
1.7.2 Změna úhlů a objemu pohybujících se těles . . . . . 50
1.7.3 Relativistické paradoxy spojené s kontrakcí délek . . 52
1.8 Pozorovaný tvar rychle se pohybujících těles . . . . . . . . . 55
1.9 Dilatace času . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.9.1 Odvození vztahu pro dilataci času . . . . . . . . . . . 62
1.9.2 Několik vysvětlujících slov k animaci znázorňující dila-
taci času . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.9.3 Experimenty potvrzující existenci jevu dilatace času . 64
1.10 Aberace a Dopplerův jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.10.1 Aberace světla v klasické fyzice . . . . . . . . . . . . 67
1.10.2 Aberace světla v teorii relativity . . . . . . . . . . . . 68
1.10.3 Dopplerův jev v klasické fyzice . . . . . . . . . . . . . 71
1.10.4 Dopplerův jev v teorii relativity . . . . . . . . . . . . . 74
1.11 Paradox dvojčat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.12 Energie a impuls částice v STR . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.12.1 Relativistická hybnost a hmotnost . . . . . . . . . . . 84
1.12.2 Relativistická energie ­ klidová, pohybová a celková 88
1.12.3 Elementární odvození ekvivalence hmotnosti a ener-
gie (podle Alberta Einsteina) . . . . . . . . . . . . . . 91
1.12.4 Některé vlastnosti relativistické energie a hybnosti . . 95
1.13 Pohybové rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 7 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.13.1 Tvar pohybových rovnic ­ srovnání s pohybovými rov-
nicemi v klasické mechanice . . . . . . . . . . . . . . 96
1.13.2 Pohybové rovnice pro těleso pohybující se působením
konstantní síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.13.3 Pohybové rovnice pro nabitou částici v homogenním
magnetickém poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.14 Č tyřrozměrná formulace STR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.14.1 Prostoročas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.14.2 Světelný kužel, absolutní budoucnost a minulost . . . 105
1.14.3 Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.14.4 Tenzory v Minkowskiho prostoru . . . . . . . . . . . . 117
1.14.5 Č tyřrozměrná mechanika . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.15 Srážky částic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
1.15.1 Ř ešení srážek částic v rámci čtyřdimenzionální formu-
lace speciální teorie relativity . . . . . . . . . . . . . . 129
1.15.2 Relativistický kulečník . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
1.15.3 Rozpad částice na dvě částice . . . . . . . . . . . . . 135
1.15.4 Comptonův jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.16 Ř ešené příklady k tématu ­ speciální teorie relativity . . . . . 139
1.16.1 Ř ešení příkladu na skládání rychlostí zadaného na za-
čátku 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
1.16.2 Mezivýpočty potřebné pro odvození zákona skládání
rychlostí v 1.6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
1.16.3 Odvození relativistického zákona skládání rychlostí ­
obecně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
1.16.4 Rychlost světla je absolutní ­ důkaz tvrzení z 1.6.6 . . 145
1.16.5 Kontrakce délek pro různé rychlosti ­ doplněk k 1.7.1 146
1.16.6 Relativistické paradoxy spojené s kontrakcí délek ­
viz 1.14.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 8 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.16.7 Dilatace času pro různé rychlosti ­ doplněk k 1.9.1 . . 151
1.16.8 Ověření relativistických efektů pro mion -
­ doplněk
k 1.9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
1.16.9 Ověření relativistických efektů pro +
-mezon ­ dopl-
něk k 1.9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
1.16.10Mezivýpočty potřebné pro odvozenívzorců (28) až (30)
v 1.10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
1.16.11Výpočet rychlosti fyzika vystupujícího ve vtipu v 1.10.4 159
1.16.12Odvození vztahu (48) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
1.16.13Změna hmotnosti pro různé rychlosti ­ doplněk k 1.12.1161
1.16.14 Odvození transformačních vztahů (57) pro energii
a hybnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1.16.15 Důkaz invariance intervalu vůči Lorentzově transfor-
maci ­ viz 1.14.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2 Ú spěchy a perspektivy teorie relativity 167
2.1 Relativistická elektrodynamika a teorie pole . . . . . . . . . . 167
2.2 Co je to obecná teorie relativity (OTR)? . . . . . . . . . . . . 169
3 Matematický dodatek 175
3.1 Ú vod do tenzorového počtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4 Životopisy předních fyziků, obzvláště relativistů 187
4.1 Aristotelés ze Stageiry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.1.1 Aristotelův život . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.1.2 Stručný přehled Aristotelova filozofického díla . . . . 189
4.1.3 Aristotelovská fyzika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.1.4 Pokračovatelé Aristotelova díla . . . . . . . . . . . . 191
4.1.4.1 Klaudius Ptolemaios . . . . . . . . . . . . . 191
4.1.4.2 Středověcí filozofové . . . . . . . . . . . . . 192
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 9 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.2 Mikuláš Kopernik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.2.1 Kopernikovo dětství a mládí . . . . . . . . . . . . . . 194
4.2.2 Kopernikova studia, seznámení s astronomií . . . . . 195
4.2.3 Kopernikovy církevní a světské povinnosti . . . . . . . 196
4.2.4 Události provázející vydání Kopernikova základního díla196
4.2.5 Reakce na Kopernikovo učení . . . . . . . . . . . . . 198
4.3 Giordano Bruno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.3.1 Životní osudy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.3.2 Případ Giordana Bruna ­ přehled kacířských myšlenek 201
4.4 Galileo Galilei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.4.1 Dostupná fakta o Galileiho osobním životě . . . . . . 205
4.4.2 Galileiho vědecká činnost, která se nedostala do roz-
poru s inkvizicí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.4.3 Objevy vedoucí k inkvizičnímu procesu s Galileim . . 210
4.4.3.1 Objev dalekohledu . . . . . . . . . . . . . . 210
4.4.3.2 Publikace prvních astronomických pozorování
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.4.3.3 Fáze Venuše a oficiálníuznáníGalileiho práce
v Ř ímě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.4.3.4 Galilei bojuje za oddělení víry a vědy . . . . 215
4.4.3.5 Výstraha svatého oficia . . . . . . . . . . . . 217
4.4.3.6 Dialog o dvou systémech světa . . . . . . . 219
4.4.3.7 Inkviziční proces s Galileim . . . . . . . . . . 219
4.4.3.8 Konec Galileiho života . . . . . . . . . . . . . 220
4.5 Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.5.1 Newtonovo dětství a studia . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.5.2 Newtonovy další životní osudy . . . . . . . . . . . . . 225
4.5.3 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . . . . 227
4.5.4 Legenda o jablku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 10 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.6 Albert Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.6.1 Einstein a pozdější věrná družka jeho života Maja . . 234
4.6.2 ,,Zázraky" Einsteinova dětství . . . . . . . . . . . . . . 235
4.6.3 Einstein a školní docházka . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.6.4 ,,Tulák a podivín" v Curychu . . . . . . . . . . . . . . 236
4.6.5 ... a v Bernu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.6.6 Albert a Mileva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.6.7 Těžké začátky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.6.8 Einsteinův první čestný doktorát . . . . . . . . . . . . 240
4.6.9 Ř ádný profesor v Praze, ale ne nadlouho . . . . . . . 241
4.6.10 Einstein v Berlíně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.6.11 Albert a Elsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.6.12 Einstein v Princetonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.6.13 Einstein a světská sláva . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.6.14 Přednášková turné a jiné cesty . . . . . . . . . . . . . 248
4.6.15 Einstein a Nobelova cena . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.6.16 Einstein a náboženství . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.6.17 Einstein a politika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.6.18 Einsteinův pacifismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.6.19 Odchod z Pruské akademie věd . . . . . . . . . . . . 254
4.6.20 Einstein a jaderná zbraň . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.6.21 Einsteinovy politické aktivity na obranu míru i lidských
práv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
4.6.22 Einsteinova korespondence s našimi prezidenty . . . 257
4.6.23 Einstein a židovský stát . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
4.6.24 Einstein jako člověk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Literatura 260
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 11 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Rejstřík
aberace světla
klasická, 67­68
relativistická, 68­71
absolutní budoucnost, 109
absolutní minulost, 109
Akademia Olympia, 237
akademie věd
Bavorská, 254
Pruská, 242, 254
Akvinský, Tomáš, 192, 204
Almagest, 192
Aristotelés, ze Stageiry, 15,
187­191, 195
Averroes (Ibn Rušd), 193
Bellarmin, Robert, 201, 215,
218
Besso, Michel, 240
Bradley, James, 67
Brudzewski, Vojtěch, 195
Bruno, Giordano, 200­204
Byron, George Gordon, 231
du Ch^atelet, Émilie, 229
Cosimo II, Medicejský, 214
Curie, Marie, roz. Sklodowská,
248
čtyřhybnost, viz čtyřimpuls
čtyřimpuls, 95, 125, 129­131
čtyřrychlost, 124
čtyřsíla, 127
čtyřzrychlení, 127
délka světočáry, 115
Descartes, René, 224, 228
dilatace
času, 62­66, 75, 151­155
Doppler, Christian, 73
Eddington, Arthur Stanley,
246­247
Einstein, Albert, 234­259
Einstein, Eduard, 238
Einstein, Hans Albert, 238
Einsteinova sumační kon-
vence, 175
Einsteinová, Elsa, 243­244
Einsteinová, Marie (Maja), 234
Einsteinová, Mileva, roz. Maríc,
238­240, 244
ekvivalence hmotnosti a ener-
gie, viz energie celková
energie
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 12 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
a hybnost, 95
celková, 90­91
kinetická, 89­90
v klasické mechanice,
89­90
klidová, 90
foton, 126, 137­138
Galilei, Galileo, 15, 18, 199,
205­222
geometrie
euklidovská, 113, 235
Minkowskiho, 113
Gottwald, Klement, 258
Grossmann, Marcel, 236
Habicht, Conrad, 237
Halley, Edmond, 227
hmotnostní defekt, viz změna
hmotnosti pohybujících
se těles
ideální hodiny, 81
inerciální soustava souřadnic,
viz soustava inerciální
Infeld, Leopold, 245
interval, 113
invariance
intervalu, 113, 164­166
vůči Lorentzově transfor-
maci, 47, 145­146
jev
Comptonův, 137­138
Dopplerův
klasický, 71­74
příčný, 75
relativistický, 74­77,
159­160
Kepler, Johannes, 199
komponenty tenzoru, 179
kontrakce délek, 48­50, 146­
147
Kopernik, Mikuláš, 194­199
Kristina, Lotrinská, 215
Kroneckerovo delta, 176
kvazisoučasnost, 109
Lebnitz, Gottfried Wilhelm, 226
Levi-Civita, Tulio, 245
Locke, John, 228
Luther, Martin, 198
Masaryk, Tomáš Garrique, 257
Melanchton, Philipp, 198
metrické pole, viz metrika
metrika, 172, 182
mezon, viz dilatace času
Minkowskiho metrika, 121
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 13 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Minkowskiho prostor, 113
mion, viz dilatace času
Nerst, Walter, 242
Newton, Isaac, 19, 199, 223­
233
Nezval, Vítězslav, 231
Nobelova cena, 239­240, 249
obecná teorie relativity, 169­
174
ohyb světla, 246
pacifismus, 253
paradox dvojčat, 78­83
paradoxy
spojené
s dilatací času, viz pa-
radox dvojčat
s kontrací délek, 52­54,
147­150
Pascal, Blaise, 16
peripatetikové, 189, 222
Planck, Max, 242
pohybové rovnice, 96­103,
127
postuláty speciální teorie rela-
tivity, viz principy speci-
ální teorie relativity
posuv
Dopplerův, 76
rudý, 76
princip
maximální rychlosti šíření
interakcí, 110
principy speciální teorie relati-
vity, 32­33
prostoročas, 104
Ptolemaios, Klaudius, 191­
192, 195
relativistické paradoxy, viz pa-
radoxy
Rhaeticus, 197, 199
Ricci, Ostilio, 206
Roosevelt, Teodor, 256
Russell, Bertrand, 248
rychlost, viz skládání rychlostí,
invariance vůči Lorent-
zově transformaci
rychlost světla, 36
scholastici, viz Akvinský, To-
máš, Averroes
síla, 88­89, 97
skládání rychlostí, 41­47,
139­144
klasické, 45­46
obecné rychlosti s rych-
lostí světla, 47, 145­146
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 14 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
relativistické, 42­46
Solovine, Maurice, 237
soustava
inerciální, 18­20, 32, 35­
36, 169­170
neinerciální, 170­171
světelný kužel, 107
budoucí, 105
minulý, 107
světočára, 105
Szilard, Leo, 255
tachyon, 126
tenzor, 120, 179
Tolkien, J. R. R., 17
transformace
energie a hybnosti, 95,
163­164
Galileiho, 35
Lorentzova, 36­40
Truman, Henry, 256
Urban VIII (Maffeo Barberini),
215, 218
vektor
prostorupodobný, 115,
122
světelný, 114, 122
časupodobný, 115, 122
Vergillius, Publius Maro, 17
vlastní čas ideálních hodin, 81
zákon zachování
čtyřimpulsu, 129­131
energie, 91, 95
hybnosti, 85­88, 95
změna
délky pohybujících se tě-
les, viz kontrakce délek,
změna tvaru pohybují-
cích se těles
hmotnosti pohybujících se
těles, 85­88, 161­162
hybnosti pohybujících se
těles, 87­88
objemu pohybujících se
těles, 50­51
tvaru pohybujících se tě-
les, 55­61
úhlů pohybujících se tě-
les, 51­52
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 15 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1. Speciální teorie relativity (STR)
1.1. Tušení relativity
Některé otázky, jejichž řešení přinesla teorie relativity, se objevily už před
tisíciletími. Formulovali je bystří pozorovatelé přírody, filosofové i vědci. Tyto
otázky se stále vracely až do doby vzniku moderní vědy v 16. a 17. sto-
letí. Uvedeme nejprve několik dokladů a zamyslíme se nad tím, co je jim
společné. Poté se budeme zabývat historickým vývojem, který dal otázkám
jasnou podobu a dovedl začátkem 20. století na práh jejich řešení.
1.1.1. Aristotelés, Fyzika:
Aristotelés ze Stageiry
(384 př. n. l. ­ 322
př. n. l.), viz 4.1
Nikdo asi nedovede říci, proč se něco, je-li uvedeno v pohyb, někde zastaví. Nebot'
proč spíše zde než tam? A tak bud'bude v klidu, nebo se do neomezena bude nutně
pohybovat v prostoru, nebude-li něco silnějšího překážet. [1]
1.1.2. Galilei, Dialog:
Galileo Galilei (1564 ­
1642), viz 4.4Vejděte s některým přítelem do velké místnosti pod palubou nějaké lodi a zásobte se
mouchami, motýly a podobným hmyzem. Vezměte si i velkou nádobu s vodou, do
které dáte rybičky. Dále zavěste nahoru nějaké malé vědro, z něhož bude kapat voda do
druhé nádoby s úzkým hrdlem, postavené dole. Když se lod'nebude pohybovat, dobře
pozorujte, jak ten hmyz stejně rychle létá na všechny strany místnosti. Ryby, jak
uvidíte, budou indiferentně plavat všemi směry. Padající kapky dopadnou všechny
do podložené nádoby. Bude-li třeba něco hodit příteli, nemusíte to hodit silněji na
jednu stranu než na druhou, budou-li stejné vzdálenosti. Když budete skákat naráz
oběma nohama, uděláte stejně velké skoky na všechny strany. At'budete pozorovat
jakkoliv pečlivě, není pochyby, že se tak stane, pokud se lod'nebude pohybovat.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 16 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obr. 1: Aristotelés ze Stageiry a Galileo Galilei
Dejte potom lod'do pohybu libo-
volnou rychlostí. Bude-li její pohyb
rovnoměrný a nebude-li se nahýbat
na tu či onu stranu, nenajdete ve
všech uvedených jevech sebemenší
změnu a ani z jednoho nemůžete
zjistit, zda se lod'pohybuje či ne. Při
skákání uděláte stejně dlouhé skoky
jako předtím, a i když se bude lod'
velmi rychle plavit, nebudou skoky
k zadní části lodi delší než k přední,
ačkoliv po dobu, kdy jste ve vzdu-
chu, se podlaha pod vámi pohybuje
opačným směrem. Hodíte-li něco svému příteli, nemusíte mu to hodit silněji, bude-li
se nacházet v přední části lodi a vy na zadní, než kdybyste byli postaveni opačně.
Kapky padnou jako předtím do spodní nádoby a ani jedna nespadne na zadní část
lodě, i když během letu kapky vzduchem se lod'přemístí o mnoho dlaní dopředu. Ryby
ve vodě nebudou s větším úsilím plavat k přední než k zadní části nádoby, ale stejně
lehce přijdou k potravě, položené na kterémkoliv místě okraje nádoby. A nakonec
i motýli a mouchy budou indiferentně létat na všechny strany a nikdy si nesednou
na zadní část lodě jen proto, že by byli unaveni ze stálého sledování rychlé plavby
lodi, od níž jsou po celý čas svého létání odpoutáni. [3]
1.1.3. Pascal, Myšlenky:
Blaise Pascal (1623 ­
1662)Když má všechno stejný pohyb, nepohybuje se zdánlivě nic ­ jako na lodi. Ž enou-li
se do bezuzdnosti všichni, jako by se nehnal nikdo. Ten, kdo se zastaví, jako pevný
bod vyjeví bezhlavý hon ostatních. [11]
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 17 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.1.4. Postřehy básníků a spisovatelů:
Publius Vergilius
Maro (70 př.n.l. ­ 19
př.n.l.)
Z přístavu opět plujem ­ i tratí se země i města. [12]
Předchozí větu z Vergiliovy básně Aeneis si později přečte Mikuláš Ko-
pernik (4.2.4) a uvidí v ní podporu pro heliocentrickou soustavu.
John Ronald Reuel Tol-
kien (1892 ­ 1973)V Tolkienově trilogii Pán prstenů čteme: Stínohlas pohodil hlavou a hlasitě
zaržál, jako když ho trubka volá do bitvy. Pak skočil kupředu. Oheň mu odletoval od
kopyt, noc kolem něho svištěla. Když Pipin pomalu usínal, měl zvláštní pocit: On
a Gandalf jsou nehybní jako kámen, sedí na soše běžícího koně, zatímco svět se dole
pod jeho nohama valí s hlasitým hučením větru. [13]
1.1.5. Co to říká fyzikovi?
Měl Pipin pouze zvláštní pocit anebo byl jeho popis děje stejně oprávněný
jako popis pozorovatele stojícího pod ním? Otázku je patrně třeba upřesnit.
Pipin má jistě právo vylíčit děj z hlediska své vztažné soustavy. Je však tato Spustit videoSpustit video
soustava stejně přirozená z hlediska fyzikálních zákonů? Č lověk nezatížený
vědou, ale i většina antických myslitelů by řekla, že nikoliv. Pro udržování
pohybu je potřebná síla, pomine-li její působení, těleso se zastaví. Je proto
jedině přirozené pokládat svět pod letícím koněm za nehybný. Z Aristotelova
výroku ovšem vidíme, že o samovolném zastavení tělesa pochyboval. Jeho
poslední věta se až nápadně podobá 1. Newtonovu zákonu - zákonu setr-
vačnosti. Aristotelés však nemá v úmyslu formulovat novou dynamiku, chce
pouze dokázat, že prázdnota prostoru by vedla k absurdnímu, zkušenosti
odporujícímu výsledku.
Galilei si v zájmu podpory pro Kopernikovu heliocentrickou soustavu
všímá stejného průběhu dějů na stojící a jedoucí lodi. Nepozná-li pozoro- Má smysl absolutně
rozlišovat mezi klidem
a pohybem?
vatel v uzavřené kajutě, že lod' jede, nemůžeme se divit, že nevnímáme
pohyb Země, kterou jsme unášeni. I když to sám Galilei nevyslovil, vnucuje
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 18 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
se otázka, zda má potom vůbec smysl mezi klidem a pohybem absolutně
rozlišovat.
Pozorný čtenář si povšimne, že Galilei (viz 4.4) omezuje svá pozoro-
vání na rovnoměrný pohyb, patrně tedy na pohyb stálou rychlostí ve stálém
směru. Může ho napadnout řada návrhů na upřesnění. Má Galilei na mysli
pohyb po kulatém zemském povrchu nebo zakřivení povrchu zanedbává?
Zanedbává vliv otáčení Země? Je si vědom toho, že situace jím popsané
nejsou fyzikálně zcela rovnocenné, protože ve většině navrhovaných pokusů
hraje klíčovou roli gravitace a lod' jedoucí po moři se pohybuje vůči zdroji
gravitačního pole, kterým je Země? Galileiho příklady jsou úspěšné jen díky
tomu, že působení gravitace na tělesa (v nerelativistickém přiblížení) nezá-
visí na jejich rychlosti. Dnes bychom raději mluvili o raketách v kosmickém
prostoru daleko od zdrojů gravitačního pole. K nim bychom vztáhli otázku
Galileiho: Lze pokusy prováděnými uvnitř rakety bez zřetele k jejímu okolí
prokázat, že raketa se pohybuje?
Odpověd' je kladná, pohybuje-li se raketa pod vlivem zapnutých motorů
anebo je-li roztočena. Pak předměty, které v ní pustíme z ruky, nezůstanou
vzhledem k raketě v klidu. Pokud v klidu zůstanou, řekneme, že raketa je
v klidu v inerciální vztažné soustavě (podle řeckého slova inertia = setrvač-
nost). Soustavy, které se vůči inerciální soustavě pohybují rovnoměrně a
přímočaře, jsou podle Newtonovy fyziky rovněž inerciální: tělesa puštěná
z ruky se nadále pohybují spolu se soustavou a jsou tedy vzhledem k ní
v klidu. I když je tedy některá z inerciálních soustav privilegována tím, že je Jsou inerciální sou-
stavy úplně rovno-
právné?
v klidu vůči předpokládanému absolutnímu prostoru, prokázat absolutní rov-
noměrný a přímočarý pohyb vůči ní je obtížné, jak na to poukazují všechny
dříve uvedené ukázky. A co když je to vůbec nemožné? Pak to znamená,
že platí princip relativity: všechny inerciální soustavy jsou zcela rovnoprávné
z hlediska všech fyzikálních zákonů. Od jiných soustav jsou odlišeny tím,
že v nich platí zákon setrvačnosti: částice nepodrobená silám se v nich
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 19 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
pohybuje bez zrychlení, tj. setrvává v klidu nebo v rovnoměrném a přímo-
čarém pohybu. (O částicích a nikoliv tělesech zde mluvíme proto, abychom
se vyhnuli komplikaci spojené s tím, že těleso může i bez působení vněj-
ších sil vykonávat složitý rotační pohyb, jaký např. pozorujeme u některých
asteroidů.)
Zdálo by se, že když Isaac Newton (viz 4.5) ve svých Principiích postu-
loval, že těleso zůstává v klidu nebo v rovnoměrném a přímočarém pohybu,
pokud je vtištěné síly nenutí tento stav změnit, mohl na to ihned navázat
postulováním principu relativity. Skutečnost však byla jiná. Newton vztaho- Newtonův absolutní
prostorval svůj výrok k absolutnímu prostoru, i když si uvědomoval obtížnost určení
absolutního pohybu. Snad ho k tomu vedl pohled na neměnná souhvězdí
noční oblohy, která jako by nám poskytovala majáky zviditelňující absolutní
prostor.
1.2. Dilema fyziků po Newtonovi
Existuje nějakým způsobem určitelný absolutní prostor anebo jen nekonečné
množství rovnoprávných inerciálních soustav? Je princip relativity absolutně
platným fyzikálním principem? Tuto otázku nastolila Newtonova mechanika
a během dvou století se z ní vyvinul stěžejní problém fyziky.
Klid a pohyb, o němž mluví 1. Newtonův zákon, se sice vztahují k New-
tonovu absolutnímu prostoru, ale zákon je možno přeformulovat do podoby:
Existuje vztažná soustava, v níž platí zákon setrvačnosti. Protože (jak jsme
již řekli) každá soustava, která se vůči inerciální vztažné soustavě pohy-
buje, je rovněž inerciální, zdá se přirozené, že všechny takovéto soustavy
by měly být rovnoprávné i z hlediska dalších fyzikálních zákonů. Tento po-
žadavek splňuje např. Newtonův gravitační zákon, podle něhož gravitační
síly závisí pouze na relativních polohách těles. Nebylo ovšem možno pře-
dem vyloučit existenci sil působících mezi částicemi, které závisí na jejich
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 20 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
absolutních rychlostech (tuto vlastnost by mohly mít např. magnetické síly
působící mezi elektrickými náboji v pohybu). Ve skutečnosti však žádný kon-
flikt mezi mechanikou a principem relativity nebyl zjištěn a nejevil se ani
jako pravděpodobný. Důvody k pochybnostem o jeho univerzální platnosti
přicházely ze strany optiky.
Obr. 2: Isaac Newton pozoruje
optické spektrum
V samotném Newtonově díle, ale i u jeho
pokračovatelů, spolu zápasily dva pohledy na
světlo. Podle prvního je světlo proudem mini-
aturních částeček (korpuskulární teorie), podle
druhého vlněním (vlnová teorie). Stoupencům
korpuskulárníteorie se zdálo být pravděpodobné,
že šíření světla je podobné pohybu broků vy-
střelených z pušky: rychlost světla vzhledem
k jeho zdroji je určena mechanismem emise Dva pohledy na světlo
a skládá se vektorově s rychlostí zdroje (ba-
listická hypotéza). Podle stoupenců vlnové te-
orie by se rychlost světla měla podobat rych-
losti zvuku v tom, že by byla určena vlnícím se
prostředím a na rychlosti zdroje by nezávisela.
Zvláštností světla ovšem bylo, že se mohlo šířit i tam, kde nebyla žádná
látka v běžném slova smyslu, která by sloužila jako jeho nositel. Po vyčer-
pání vzduchu pod vývěvou zvon utichne, ale žárovka nepřestává svítit.
Vyvinula se proto představa světlonosného éteru, prostředí, které vypl-
ňuje celý vesmír a jehož kmitáním je světlo. Na rozdíl od běžných prostředí,
která se v různých místech pohybují různými rychlostmi, měl éter v rovno-
vážné poloze splývat s absolutním prostorem, takže určit pohyb vůči ab-
solutnímu prostoru znamenalo určit jeho rychlost vzhledem k éteru. Kdyby
byla rychlost světla vůči Zemi v různých směrech různá, znamenalo by to,
že Země se vůči éteru pohybuje. K tomu by však určitě aspoň v některých
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 21 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
etapách roku mělo dojít, protože Země obíhá kolem Slunce.
K rozhodnutí otázky: Absolutní prostor nebo princip relativity? by tedy
mělo stačit dostatečně přesné změření rychlosti světla v různých směrech.
Dosáhnout potřebné přesnosti není ovšem snadné. Rychlost světla vůči
Zemi, která činí asi 300 000 km/s, může v důsledku pohybu Země ve Slu-
neční soustavě rychlostí 30 km/s kolísat o jednu desetitisícinu své hodnoty.
Avšak změřit rychlost světla mezi dvěma body jako podíl dráhy a času si Problémy s měřením
rychlosti světlavyžaduje, aby hodiny v obou místech ukazovaly stejný čas. Toho bychom
mohli dosáhnout co nejopatrnějším přenesením hodin, což ale nebylo možno
v 19. století provést s dostatečnou přesností. Nadějnější by bylo použít zr-
cadla a vyslat světlo tam a zpátky. To si ovšem kladlo mnohem větší nároky
na přesnost měření času v daném místě.
AA BB
VV
cc
c+Vc+V
cc
c-Vc-V
Obr. 3: Rychlosti světla, pokud uvažujeme exis-
tenci éterového větru.
Posud'me sami. Necht' spojnice
bodů A, B, vzdálených o délku L,
mezi nimiž provádíme měření, leží
ve směru pohybu Země vůči éteru,
tj. z hlediska Země vane éterový vítr.
Označme c rychlost světla a V rych-
lost Země vůči éteru. Rychlost světla
vůči Zemi je v jednom směru c + V
a v druhém c - V. Doba průběhu je
ve srovnání s dobou T, kterou by
světlo k uražení dráhy spotřebovalo v éteru, menší či větší o T V
c (v prvním
přiblížení Taylorovy řady podle malého podílu V
c ). Jestliže se však světlo po-
hybuje tam i zpět, je rozdíl oproti době T v éteru T V
c
2
nenulový až v druhém
přiblížení čili při dříve uvedených parametrech se změní o stomiliontinu své
hodnoty. Fyzikové 19. století proto rozlišovali pokusy 1. a 2. řádu vzhledem
k podílu V
c , přičemž se ukazovalo, že pokusy 1. řádu nejsou uskutečnitelné
a pokusy 2. řádu si žádají mimořádnou přesnost.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 22 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
V závěru 19. století si však Albert Michelson uvědomil, že pro zjištění
časového rozdílu mezi průchody světelných paprsků po určitých drahách je
možno použít interferenčního jevu a namísto času měřit posunutí interfe-
renčních proužků. Objevil se tak nadějný způsob, jak pohyb Země vůči éteru
odhalit.
1.2.1. Maxwellova teorie a Michelsonův pokus
Na rozdíl od řady slavných pokusů, které potvrdily předpovědi teorií, je Mi-
chelsonův pokus významný svým nečekaným výsledkem: ačkoliv se zdálo,
že potvrdí pohyb Země vůči éteru a umožní zjistit jeho rychlost, ukázalo se,
že žádné svědectví o absolutním pohybu nedává.
Jeho základní myšlenka je velmi prostá. Rozdělme světelný paprsek ze
zdroje Z polopropustným zrcadlem D na dvě složky, z nichž jedna pokračuje
v pohybu původním směrem a druhá se pohybuje ve směru kolmém. (viz
Obr. 4).
ZZ
SS
D1D1
D2D2
DD
LL
LL
Obr. 4: Schéma Michelsonova pokusu
Oba paprsky necht' urazí stejné
dráhy L k zrcadlům D1 a D2, od
nichž se odrazí zpět na zrcadlo D.
Spojené paprsky pokračujív kolmém
směru na původní dráhu a vytvoří
na stínítku S interferenční obrazec.
Otočíme-li zařízenído jiného směru,
zůstanou interferenční proužky ve
stejné poloze pouze v případě, že
se nezměnila rychlost světla v ra-
menech interferometru, tj. v případě,
že zařízení je v klidu vůči éteru.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 23 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Tento závěr, plynoucí z původních představ o éteru, silně podpořila Max-
wellova teorie elektromagnetického pole. Podle ní je světlo elektromagne-
tickým vlněním v jistém intervalu frekvencí a šíří se ve vakuu (a v dobrém
přiblížení i ve vzduchu) ve všech směrech stejnou rychlostí c, nezávislou na
pohybu zdroje. Zdálo se samozřejmé, že tento závěr může platit jen v jedné Michelsonův pokus
a jeho předpokládaný
výsledek
vztažné soustavě, kterou budeme považovat za klidovou soustavu éteru. Ve
všech ostatních soustavách rychlost světla závisí na směru. Pohybuje-li se
tedy Země, která unáší Michelsonovo zařízení - interferometr - vůči éteru,
bude se měnit časový a tedy i dráhový rozdíl, s nímž se paprsky setkávají,
což povede k posunu interferenčních proužků.
Obr. 5: Experimentální uspořádání Michelso-
nova pokusu
Posud'me jeho velikost. Předpo-
kládejme nejprve, že Země se po-
hybuje ve směru původní dráhy pa-
prsku rychlostí V. Pro výpočet mů-
žeme využít představy o plavcích,
kteří se pohybují ze stejného místa
(vůči Zemi) v proudící řece a po pro-
plavání stejných drah se v něm opět
setkají, první však plave po proudu
a proti proudu, kdežto druhý kolmo
na proud. První plavec - paprsek
se vrátí v čase T1 = L
c+V + L
c-V ,
kdežto pro druhého z vektorového skládání rychlostí plyne doba návratu
T2 = 2L
c2-V 2
. Rozdíl časů je v nejvyšším nenulovém přiblížení T = L
c
V
c
2
a dráhový rozdíl  = cT. Interferenční obrazec by se posunul o jeden prou-
žek oproti stavu, kdy se Země vůči éteru nepohybuje, při změně dráhového
rozdílu o vlnovou délku  použitého světla . Při dráhovém rozdílu  by se
tedy posunul o m = 
 proužku. O stejnou hodnotu na druhou stranu by se
posunul v případě, že zařízení bude otočeno o pravý úhel. Proužky se tedy
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 24 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
při otáčení přístroje posouvají v rozmezí 2m = 2L

V
c
2
. Při experimentál-
ních parametrech  = 500 nm a dráze L =10 m a za předpokladu, že Země
dosáhne vůči éteru během roku rychlosti alespoň 30 km/s, tzn. V 2
c2 = 10-8
,
činí asi 0,4 a muselo by být snadno pozorovatelné.
Albert Michelson uskutečnil tento experiment poprvé roku 1881 s ne
zcela průkazným výsledkem. Zdálo se, že k jistému posuvu dochází, je však
zřetelně menší, než bylo předvídáno. Roku 1887 proto provedl Michelson
zdokonalený experiment za účasti Edwarda Morleyho (viz Obr. 5). Tento ex- Skutečný výsledek po-
kusuperiment nevykázal žádný pozorovatelný posuv. Přitom by bylo možno zjistit
posun až o 1
1000 vzdálenosti mezi proužky. Pohyb Země tedy prokazatelně
neměl žádný vliv na rychlost světla vzhledem k ní.
Nabízela se dvě přirozená vysvětlení. Bud' se světlo chová jako kulky
vystřelené z pušky, jejichž rychlost je dána relativně k hlavni, z níž vylétají
(balistická hypotéza). Nebo se světlo chová jako jako zvuk, jehož rychlost je
určena prostředím, a toto prostředí sleduje pohyb Země (hypotéza strháva-
ného éteru). V obou případech bychom se ovšem museli vzdát Maxwellovy
teorie, která od svého dovršení r. 1873 již dosáhla mnoha úspěchů.
Později byly obě hypotézy vyvráceny řadou astronomických i pozem-
ských pozorování. Že světlo nemůže ve vakuu předehnat světlo, je považo-
váno za základní a nepochybnou vlastnost jeho šíření. Také Michelsonův-
Morleyho pokus byl mnohokrát zopakován v různých situacích (např. na
vysokých horách či v balonu) s různými (pozemskými i kosmickými) zdroji.
1.2.2. Hledání východiska
Nejvýznamnější fyzikové na přelomu století však hledali východisko, které
by je nenutilo vzdát se éteru. První takový návrh podal irský fyzik George
FitzGerald již roku 1889 a k obdobnému závěru došel také Holand'an Hen-
drick Lorentz 1895. Stačilo by předpokládat, že tělesa se pohybem vůči éteru
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 25 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
zkracují ve směru pohybu s koeficientem 1 - V
c
2
. Tato FitzGeraldova-
Lorentzova kontrakce neměla být nezávislým ad hoc předpokladem, ale měla
vyplynout z teorie působení elektromagnetických sil na elektricky nabité čás- Cesta k vysvětlení -
kontrakce délkytice, z nichž je těleso složeno. Lorentz se po řadu let věnoval vytváření ta-
kovéto teorie a došel k závěru, že z obdobných příčin by se měl prodlužovat
čas na pohybujících se hodinách (dilatace času), a to s koeficientem rovným
převrácené hodnotě kontrakčního koeficientu.
Na základě Lorentzových prací dospěl francouzský matematik, fyzik a
filosof Henri Poincaré k prorocké předpovědi vzniku nové fyziky, v níž bude
rychlost světla nepřekročitelnou mezí rychlosti. Na rozdíl od Lorentze, který
nikdy nezpochybnil existenci éteru, navrhl Poincaré v červnu 1905 založit
fyziku na předpokladu, že pohyb vůči éteru je principiálně nezjistitelný a pro Cesta k teorii relativity
fyzikální děje tedy platí princip relativity. Formuloval podrobně teorii založe-
nou na univerzální platnosti principu relativity a zachovávající přitom platnost
Maxwellových rovnic. Tato teorie byla zveřejněna v následujícím roce.
Krátce po uveřejnění první Poincarého práce zaslal tehdy 27letý úředník
Patentového úřadu v Bernu Albert Einstein do časopisu Annalen der Physik
práci nazvanou K elektrodynamice pohybujících se těles, jež se sice přímo
nezmiňovala o Michelsonově experimentu, ale podávala základ pro reformu-
laci fyziky, která je od samého počátku založena na zdánlivě neslučitelných
principech: principu relativity a principu konstantní rychlosti světla ve vakuu.
Einsteinova teorie byla později nazvána speciální teorií relativity.
Pane kolego, budete muset přidat, stále nejsem
schopen zaregistrovat žádný posuv proužků.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 26 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.3. Synchronizace hodin
Změření rychlosti světla by na první pohled nemělo být obtížné. Stačí změřit
vzdálenost mezi dvěma místy a čas, který světelný signál potřebuje k je-
jímu průchodu. Tento čas je však rozdílem údajů dvou různých místech ve
dvou různých místech a jak zaručíme, že dvoje hodiny ukazují stejný čas?
Co vůbec máme na mysli, mluvíme-li o stejné době na dvou různých mís-
tech? To je problém synchronizace hodin, jehož naléhavost byla s pokrokem
vědy a techniky stále více pocit'ována a který sehrál klíčovou roli při vzniku
speciální teorii relativity.
1.3.1. Jak měříme čas?
Začátek Aischylovy hry Oresteia líčí, jak se mykénská královna Klytaiméstra
dověděla o vítězství Ř eků v trójské válce. Nechala na vyvýšených ostro-
vech a mysech v Egejském moři postavit hranice, jejichž zapálení umožnilo
přenést štafetou zprávu z Asie do Evropy. Již starořeckého učence mohlo
napadnout, že tu má zárodek metody k určení rychlosti světla. Vzdálenost
mezi vrcholy hor by starověký geometr určil s dobrou přesností. Jak by však
zajistil, aby na nich hodiny měřily stejný čas? Mohlo by ho napadnout např.
seřídit dvoje hodiny na Athosu a pak jedny z nich co nejšetrněji přenést
na Lemnos. Brzy by se však přesvědčil, že náhodné odchylky, které tak
vzniknout, zcela překrývají veličinu, jež má být změřena.
Fyzik přelomu 19. a 20. století by mohl vznést námitky proti samotné
metodě. Není vyloučeno, že chod hodin závisí na rychlosti, kterou se pohy-
bují vůči éteru. A i kdybychom hodiny přenášeli co nejpomaleji vůči Zemi,
rychlost Země vůči éteru neznáme.
Proberme celý problém důkladněji. Č as můžeme měřit pomocí různých
periodických procesů. Je však vůbec jisté, že je to jeden a týž čas? Když se
chtěl Galilei přesvědčit, že perioda kyvadla při malých výchylkách nezávisí
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 27 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
na rozkmitu, užíval k měření tepů vlastního srdce. Odkud ale věděl, že jeho
srdce tepe pravidelně? Galilei vlastně určil jen to, že periody dvou odlišných
přírodních dějů jsou ve stálém poměru. Jeho poznatek však můžeme zobec-
nit: tuto vlastnost mají periody nejrůznějších fyzikálních dějů, což napovídá,
že existuje cosi jako společný ideální čas fyzikálních zákonů. Tento čas se
vyznačuje homogenitou, tvar fyzikálních zákonů na něm nezávisí. Můžeme Existuje univerzální
čas?proto mluvit o ideálních hodinách, které měří tento čas. Odchylky skutečných
hodin od ideálnosti můžeme vždy aspoň v principu vysvětlit změnou podmí-
nek, v nichž se nacházely, a v případě potřeby provést příslušné opravy.
Poznamenejme, že tento předpoklad není logicky nutný. Britský fyzik Arthur
Milne (1896-1950) uvažoval o tom, že v kosmologii by se mohly uplatňovat
dva různé časové rytmy, jeden pro mechanické, druhý pro elektromagnetické
procesy. Jeho názor však zůstal ojedinělý.
Obvyklým předpokladem fyziků je, že čas určený periodami ideálních
hodin lze bez omezení interpolovat i extrapolovat. Dospíváme tak k před-
stavě o možnosti jednoznačného přiřazení časových okamžiků v daném
místě (v určitém bodě nějaké vztažné soustavy) a prostoru reálných čísel.
(Poznamenejme opět, že tato představa není nezbytná. Současná fyzika
uvažuje o dále nedělitelném kvantu času, kterým je Planckův čas sestavený Solidární hodiny.
z elementárních konstant, a kosmologie nevylučuje, že plynutí času má po-
čátek. Běžná fyzika však nedává důvod k volbě privilegovaného počátku ani
jednotky časové škály. Č asy t, t
ukazované ideálními hodinami jsou proto
spojeny vztahem t
= At + B (říká se pak, že hodiny jsou solidární).)
1.3.2. Kalibrace a synchronizace
Zvolíme-li na solidárních hodinách časovou jednotku a počátek, můžeme říci,
že volbou A = 1 na jiných hodinách tyto hodiny shodně kalibrujeme a násle-
dující volbou B = 0 je vzájemně synchronizujeme. Mají-li být naše hodiny
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 28 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
ideální, pak se jejich shodná kalibrace ani synchronizace nenaruší, pokud
hodiny po seřízení zůstávají ,,bok po boku". Co se však stane, absolvují-li
hodiny rozličné cesty prostorem a po nějaké době se opět setkají? Předrelati-
vistický fyzik by patrně očekával, že k porušení kalibrace či synchronizace ani Zachovává se kalib-
race?pak nedojde. Takový závěr vůbec není logicky nutný, jak je vidět už z toho,
že pro reálné hodiny (např. tepající srdce) neplatí. Co se týče kalibrace,
může však být podepřen fyzikálně. Když Hermann Weyl (1885-1955) podal
ve dvacátých letech teorii fyzikálních jevů, která připouštěla narušení kalib-
race rozdílnými pohyby hodin, Einstein oprávněně namítal, že to odporuje
našim poznatkům o stálých frekvencích atomů.
Jinak je tomu se synchronizací. Ani předrelativistický fyzik vlastně neměl
pádné důvody, proč věřit v její neporušitelnost. Jeho víra se opírala o hluboce
zakořeněnou představu, že existuje jediná, absolutní současnost pro celý
vesmír. Pátráme-li po zdroji této představy, najdeme jej v našem zážitku
současného stavu světa, jak jej ,,právě ted'" vidíme. Jakmile si uvědomíme, Zachovává se synchro-
nizace?že zprávu o stavu světa nám přináší světlo, které se šíří konečnou rychlostí,
ztrácí naše víra v absolutní současnost svou hlavní oporu. Oporou jí zůstává
jen tradice a autorita.
1.3.3. Světelná synchronizace
Dávný řecký učenec, který by pojal myšlenku změřit rychlost světla, by mohl
být předchozích starostí ušetřen, pokud by zastával názor, že ,,přirozená"
rychlost světla je určena vůči Zemi a nezávisí na směru. Pak by si mohl
pomoci zrcadlem a pokusit se určit dobu mezi odesláním a návratem světel-
ného signálu z Lemnosu na Athos. Kdyby se mu to podařilo, mohl by i bez Jak přenášet čas bez
hodin a měřit vzdále-
nost bez metru.
měření vzdálenosti obou míst synchronizovat hodiny na obou místech (když
by předtím světelnými signály zajistil jejich shodnou kalibraci). Stanovil by,
že okamžiku odrazu signálu na Athosu t odpovídá průměr časů jeho vyslání
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 29 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
ti a přijetí tf na Lemnosu, tj. t =
ti+tf
2 zaručuje synchronizaci hodin. Mohlo
by ho dokonce napadnout, že získal i vhodnou metodu měření vzdálenosti,
kterou může měřit v časových jednotkách: vzdálenost Athosu od Lemnosu
je rovna polovině času, který světlo spotřebovalo na cestu tam i zpět, tj.
L =
tf -ti
2 .
Popsaná metoda synchronizace se stala prakticky možnou roku 1849,
kdy francouzský učenec Francois Arago (1786-1853) užil k přesnému stano-
vení průchodu paprsku rotujícího ozubeného kola. Samotnou metodu však
navrhl až Einstein ve své práci z roku 1905. Dnes, když můžeme zazname-
návat odrazy signálů od Měsíce, planet a družic, je tato metoda i prakticky
používána k synchronizaci hodin a měření vzdáleností v sluneční soustavě
(připomeňme, že úlohu ,,světla" může hrát elektromagnetické vlnění libo-
volné frekvence - v praxi např. radiový signál). Fyzik 19. století by ovšem
měl proti ní zásadní námitku: Dokud jsme neověřili, že se vztažná soustava,
v níž metody užíváme, nepohybuje vzhledem k éteru, nemůžeme si být jisti,
zda rychlost světla je skutečně ve všech směrech stejná a zda tedy určujeme
skutečnou současnost a měříme skutečné vzdálenosti.
I bez znalosti teorie relativity by se našemu oponentovi dalo namítnout,
že popsaná metoda odpovídá jednomu z nejzákladnějších a nejprostších fy-
zikálních dějů - šíření světla ve vakuu. Můžeme proto mluvit o dobře defino-
vané ,,světelné" současnosti a vzdálenosti, která je ovšem relativní - závisí na
zvolené vztažné soustavě. Podržela by si svůj význam i tenkrát, kdybychom
poznali nějakou metodu stanovení absolutní současnosti. Takovou metodu
by však kritik uvést nedovedl.
Zde bychom mohli výklad o synchronizaci hodin prozatím ukončit. Bylo
by ale škoda nezmínit se o jejím obohacení, které podal ve své dizertaci
r. 1959 americký fyzik Martzke. Položil si otázku, zda lze na šíření světla ve
vakuu založit nejen měření vzdáleností, ale dokonce i času.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 30 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
A
B
C
D
F
E
X
Y
Obr. 6: Světelné
hodiny
Odpověd' se zdá být jednoduchá - stačí trvale odrá-
žet světelný signál mezi dvěma zrcadly, tj. zkonstruovat
světelné hodiny. Potíž je v tom, že zrcadla musí být v kon-
stantní vzdálenosti a budeme-li se o tom chtít přesvěd-
čit měřením dob mezi ,,tiky" světelných hodin, ocitneme
se v bludném kruhu. Martzke nalezl prostou, ale důmysl- Světelné hodiny
nou metodu, jak zaručit, že zrcadla - uvažovaná jako volné
a tedy rovnoměrně a přímočaře se pohybující částice - se
od sebe nevzdalují. Lépe než slova ji vystihuje obrázek - je
to vlastně diagram Minkowskiho (viz Obr. 6).
Na svislou osu nanášíme čas, na vodorovnou vzdále-
nost ve světelných jednotkách. Pohyby částic (jejich světo-
čáry) jsou znázorněny modrými čarami, pohyby světelných
signálů červenými, přičemž červené čáry mají stálý sklon
ke svislici (konstantní rychlost světla). První zrcadlo svě-
telných hodin (žlutá čára AF) se potkává s částicemi (čáry AE a BF), jež se
mezitím rovněž spolu potkávají, a vysílá k nim světelné signály, které jsou,
jak ukazuje obrázek, odraženy zpět anebo je zaznamenán jejich průchod.
prostor
čas
Obr. 7: ,,Geometro-
dynamický metr"
Pak žlutá čára XY odpovídá druhému zrcadlu světel-
ných hodin, které se nevzdaluje od prvního. V obrázku je
to vyjádřeno rovnoběžností čar AF a XY. Lze ji snadno
dokázat pomocí analytické geometrie (řešením soustav li-
neárních rovnic pro určení jednotlivých průsečíků). Možná
však čtenář najde elegantnější řešení?
,,Prakticky" lze tedy druhé zrcadlo nastavit tak, že v udá-
losti X rozhodíme částice nejrůznějšími rychlostmi a vybe-
reme z nich tu, která bude přítomna události Y. Druhé
zrcadlo pak necháme pohybovat se spolu s ní. Dvojice
zrcadel ,,pinkajících" mezi sebou světelné signály vytváří
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 31 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
,,geometrodynamický metr" v prostoročase. Měření času a vzdáleností tedy
může být založeno výhradně na zákonu konstantní rychlosti světla ve vakuu
a zákonu setrvačnosti pro volnou částici. Teorie relativity ukazuje, že takto
elementárně definovaný čas (a vzdálenost) mají fundamentální význam pro
všechny fyzikální jevy. Spustit animaciSpustit animaci
Už zase se mi sypou napřed ....
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 32 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.4. Principy STR
V roce 1905 Einstein přistoupil k problému relativity pohybu zcela novým
způsobem. Navrhl založit fyziku na dvou základních principech ­ principu
relativity a principu konstantní rychlosti světla. Oba tyto principy byly dobře
experimentálně potvrzeny, ale na první pohled se zdálo, že si logicky od-
porují. Ve skutečnosti jsou navzájem slučitelné, ale jen za tu cenu, že se
vzdáme zakořeněných předsudků o povaze prostoru a času.
1.4.1. Princip relativity
Einsteinova formulace principu relativity (v co nejpřesnějším překladu z něm-
činy) zní: ,,Nejen v mechanice, ale ani v elektrodynamice žádné vlastnosti
jevů neodpovídají pojmu absolutního klidu - pro všechny souřadnicové sou-
stavy, pro něž platí rovnice mechaniky, platí tytéž elektrodynamické a optické
zákony."
Formulace nese stopy své doby: Einsteinovi šlo o rozšíření platnosti prin-
cipu relativity na elektrodynamiku, která podle Maxwella zahrnuje i optiku.
Fakticky měl na mysli úplnou rovnoprávnost všech inerciálních vztažných Rovnoprávnost inerci-
álních soustavsoustav z hlediska všech fyzikálních zákonů. Pomineme-li zatím komplikace,
které přináší gravitace, můžeme princip relativity považovat za nezpochyb-
něný celým dalším vývojem fyziky.
1.4.2. Princip konstantní rychlosti světla
Uved'me opět Einsteinovu původní formulaci: ,,Světlo se ve vakuu vždy šíří
určitou rychlostí c, která nezávisí na pohybovém stavu vyzařujícího tělesa." Princip konstantní
rychlosti světlaPrincip je opět možno chápat obecněji: nevztahuje se pouze ke světlu, ale
k libovolnému elektromagnetickému záření (toto záření je světlem v jistém
intervalu frekvencí a frekvence jsou relativní vůči volbě vztažné soustavy).
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 33 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Mohli bychom dokonce mluvit o určité mezní rychlosti šíření interakcí (nejen Mezní rychlost.
interakce elektromagnetické). Uvedená animace demonstruje, že rychlost
Spustit animaciSpustit animaci
světla je velká, ale konečná. Profesor i televizní hlasatelka se nacházejí
ve stejné inerciální soustavě (nebot' se vůči sobě nepohybují) a pozorují
události, které jsou v této soustavě současné. Současně je však vidí jen
hlasatelka, která stojí uprostřed mezi místy, v nichž se události odehrávají,
zatímco profesor stojí blíže místu startu rakety, a proto k němu dorazí infor-
mace o startu rakety dříve než informace o výbuchu ohňostroje.
1.4.3. Relativnost současnosti
Pro fyzika odkojeného newtonovskou mechanikou naráží spojení obou prin-
cipů na zdánlivě nepřekonatelný rozpor. Je-li rychlost světla stejná ve všech
směrech v jedné vztažné soustavě, nemůže to podle zákona skládání rych-
lostí platit v žádné jiné soustavě. Jak je potom možné sloučit druhý prin-
cip s prvním? Předchozí věta napovídá řešení: sloučení obou principů si
žádá opuštění klasického zákona skládání rychlostí. Tento zákon je založen
na Galileiho transformaci spojující souřadnice v inerciálních vztažných sou-
stavách, která předpokládá jako samozřejmost absolutní současnost. Víme
však již, že současnost přirozeně definovaná synchronizací hodin pomocí vý-
měny světelných signálů je relativní. Princip konstantní rychlosti světla zcela Současnost není abso-
lutníjasně vede k relativitě současnosti. Prohlédněte si následující animaci. Před-
stavme si například, že pozorovatel uprostřed vagonu vidí současně otevření
dveří na obou jeho koncích. Právem z toho vyvozuje, že dveře se otevřely
současně. Pozorovatel stojící u kolejí, který nevidí otevření dveří současně,
nemůže na základě svého pozorování usoudit, že se dveře neotevřely sou-
časně. K tomuto soudu je oprávněn, pokud se přesvědčí, že stál uprostřed
mezi místy, v nichž nastalo otevření předních i zadních dveří. Kdyby po-
zorovatel na nástupišti míjel pozorovatele ve vlaku právě ve chvíli, kdy ten
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 34 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
pozoroval otevření dveří, viděl by sice otevření dveří rovněž současně, ale
pokud by znal fyziku, musel by z toho vyvodit, že k tomu současně nedošlo,
protože nestál uprostřed mezi místy otevření dveří.
Spustit animaciSpustit animaciEinsteinovy principy obracejí stratégii vývoje fyziky. Dosud se zdálo, že je
to elektrodynamika, která se vymyká z rámce fyziky splňující princip relativity
a musí být nějak přepracována. Ve skutečnosti je to však právě elektrody-
namika, která ,,předběhla vývoj" a nabízí nám správnou transformaci mezi
inerciálními soustavami, vzhledem k níž je třeba hodnotit splnění principu
relativity. Tuto transformaci sice již dříve nalezli Larmor a Lorentz, nechápali Význam speciální teo-
rie relativityvšak ještě její univerzální význam. U Einsteina tato (Lorentzova) transfor-
mace přirozeně vyplynula z jeho dvou principů. Matematicky vzato, požaduje
speciální teorie relativity invarianci (neměnný tvar) všech fyzikálních zákonů
vůči Lorentzovým transformacím mezi inerciálními soustavami. Tento poža-
davek omezuje tvar fyzikálních zákonů, neurčuje jej však jednoznačně. Spe-
ciální teorie relativity není tedy jednou z mnoha fyzikálních teorií, ale spíše
programem pro další rozvoj fyziky, jehož naplňování není dosud u konce.
To byl ale nápad, žádat o beztrestnost
v jiné inerciální soustavě ...
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 35 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.5. Lorentzova transformace
AA
K
x
y
z
O
K´K´
x´x´
ýý
z´z´
O'O'
K:K: AA [t,x,y,z][t,x,y,z]
K':K': AA [t',x',y',z'][t',x',y',z']
Obr. 8: Souřadnice bodu A z hlediska různých
soustav
Představme si pozorovatele, který
sedí v počátku kartézské soustavy
souřadnic K. Jiný pozorovatel sedí
v počátku kartézské soustavy sou-
řadnic K , která má rovnoběžné osy
s nečárkovanou soustavou a její po-
čátek se pohybuje podél osy x stá-
lou rychlostí V (viz. Obr. 8). Oba
pozorovatelé jsou vybaveni hodin-
kami, na kterých nastavili nulový čas
v okamžiku, kdy se míjeli. Stane-li
se nějaká událost A, jeden pozoro-
vatel jí přiřadí hodnoty souřadnic x, y, z a hodnotu času t a druhý pozorovatel
této události přiřadí hodnoty čárkovaných souřadnic x , y , z a hodnotu času
t . V nerelativistické fyzice bychom očekávali, že vztah mezi čárkovanými a Galileiho transfor-
macenečárkovanými hodnotami bude
t = t, x = x - V t, y = y, z = z. (1)
Těmto převodním vzorcům se říká Galileiho transformace. Je Galileiho trans-
formace platná i ve speciální teorii relativity? Je v souladu s jejími principy?
Na tyto otázky odpovíme v následující kapitole.
Upřesněme si nejprve pojem inerciální soustavy souřadnic, ke kterému Inerciální soustava
souřadnicse vztahují principy speciální teorie relativity. Takto budeme označovat pra-
voúhlou soustavu souřadnic x, y, z se stejnou délkovou škálou na všech
osách, ve které je čas t měřen nepohybujícími se (vzhledem k souřadnicím
x, y, z) světelně synchronizovanými hodinami a ve které platí zákon setrvač-
nosti, tzn. rychlost všech částic, které nejsou vystaveny silovému působení
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 36 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
okolních objektů, je v této soustavě konstantní (velikost i směr). Umístění
libovolné události v čase a prostoru je plně charakterizováno hodnotami ve-
ličin t, x, y, z. Č as t lze v tomto smyslu chápat jako další souřadnici události.
Uvažujme pozorovatele P setrvávajícího v počátku inerciální soustavy
souřadnic. Ten at' je vybaven hodinami a světelným zdrojem. Dojde-li k ně-
jaké události, např. zenový mistr udeří holí do země, náš pozorovatel dokáže
se svým vybavením zjistit časový údaj t, který ukáží synchronizované hodiny
v místě události, a také vzdálenost události od počátku L. Provede to způ-
sobem již popsaným v 1.3.3: Vyšle světelný signál směrem k holi zenového
mistra tak, že tento signál dorazí ke konci hole právě v okamžiku, kdy naráží
do země. Mistr má na konci hole připevněno zrcátko, které odrazí signál
zpět k pozorovateli P. Ten si zaznamená údaj t1, který ukazovaly jeho ho-
diny, když signál vysílal, a údaj t2, který ukazovaly, když se k němu odražený
signál vrátil, a z těchto údajů vypočítá hodnoty t a L jako
t =
1
2
(t2 + t1), L = c
1
2
(t2 - t1), (2)
kde jsme oproti vztahu uvedenému v kapitole 1.3.3 doplnili rychlost světla c,
která převádí vzdálenost v časových jednotkách (dobu, za kterou světlo onu
vzdálenost urazí) na jednotky délkové.
Máme-li jednotku délky definovanou jinak než pomocí světla, můžeme Rychlost světla a defi-
nice délkové jednotkyrychlost světla měřit jako podíl uražené vzdálenosti ku době letu. Platí-li
však principy speciální teorie relativity, ukazuje se výhodnějším jiný přístup,
který se také v současné fyzice skutečně používá. Rychlost světla zde není
předmětem měření, ale je definována. Její dohodnutá hodnota je přesně
c = 299 792 458
m
s
a jednotka délky 1m se pak definuje jako vzdálenost, kterou světlo urazí za
1/c sekund. Druhý vzorec (2) pak vlastně představuje definici vzdálenosti.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 37 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Uvažujme nyní kromě inerciální soustavy x, y, z s časem t další, rovněž Odvození Lorentzovy
transformaceinerciální, soustavu x , y , z s časem t . Č árkovaná soustava necht' je v si-
tuaci popsané v úvodu kapitoly, tj. její osy jsou rovnoběžné a souhlasně
orientované s nečárkovanými, její počátek O se pohybuje stálou rychlostí V
podél osy x a v okamžiku míjení počátku O nečárkované soustavy jsou časy
t a t na hodinách umístěných v bodech O a O nulové.
Dále uvažujme příslušné pozorovatele P a P setrvávající v počátcích
soustav a událost U, jejíž souřadnice a čas pozorovatelé v rámci svých
soustav určují. Předpokládejme, že k události U dojde na ose x (a tím i na
ose x ). Hodnoty ostatních prostorových souřadnic jsou tedy nulové a v další
úvaze se jimi nebudeme zabývat. Předpokládejme dále, že událost U nastala
v kladné části osy x , takže hodnota souřadnice x se shoduje se vzdáleností
události od počátku O , jak ji změří pozorovatel P .
Způsob určení t a L popsaný pro pozorovatele P musí být podle principů
speciální teorie relativity použitelný pro určení analogických veličin klidovým
pozorovatelem v libovolné inerciální soustavě souřadnic. Aby tedy pozoro-
vatel P zjistil souřadnice události U, vyšle světelný signál. Č as, který ukazují
jeho hodinky v okamžiku vyslání signálu označme tv a souřadnice této udá-
losti (vyslání signálu pozorovatelem P ) v soustavě pozorovatele P označme
tv, xv. Podobně čas, který ukazují hodinky pozorovatele P v okamžiku, kdy
přijme zpět odražený signál, označíme tp a souřadnice této události v sou-
stavě P budeme značit tp, xp.
V předrelativistické fyzice bychom přirozeně položili tv = tv, tp = tp.
Ukázalo by se však, že takový předpoklad je neslučitelný s principy speciální
teorie relativity, což bude patrno z dalšího postupu. Budeme předpokládat,
že
tv = ktv, tp = ktp, (3)
kde k je faktor závisející pouze na V , tj. budeme předpokládat, že chod hodin
může záviset na jejich rychlosti.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 38 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Pozorovatel P události U podle (2) přiřadí souřadnice
t =
1
2
(tp + tv), x = c
1
2
(tp - tv). (4)
Naším cílem je vyjádřit t a x pomocí souřadnic t a x, které má událost U
v soustavě pozorovatele P. Víme, že P se pohybuje konstantní rychlostí V
v souřadnicové soustavě P a že se v čase t = 0 nacházel v bodě x = 0 (oka-
mžik míjení obou pozorovatelů). Platí tedy xv = V tv. Z principu konstantní
rychlosti světla plyne, že světelný signál vyslaný pozorovatelem P se pohy-
buje rychlostí c i v soustavě P. Platí tedy x - xv = c(t - tv). Z posledních
dvou vztahů dostaneme
tv =
ct - x
c - V
. (5)
Podobná argumentace nás dovede k rovnicím xp = V tp a xp -x = -c(tp -t)
(-c je zde proto, že odražený signál se šíří proti orientaci osy x a je tedy
xp < x, přičemž c je kladné číslo). Odtud získáme
tp =
ct + x
c + V
. (6)
Dosazením (3),(5),(6) do (4) po úpravě dostaneme
t = k
t - V
c2 x
1 - V 2
c2
, x = k
x - V t
1 - V 2
c2
. (7)
Zbývá určit k. Dejme tomu, že se pozorovatel P podívá na hodinky a ty
právě ukazují údaj t1, pozorovatel P této události (P se dívá na hodinky)
přisoudí čas t = t2. Stejně jako v rovnicích (3) předpokládáme, že mezi t2 a
t1 platí vztah
t1 = kt2. (8)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 39 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Nyní uvažujme opačnou situaci. P se podívá na hodinky a ty právě ukazují
údaj t1. Jakou hodnotu času t přiřadí této události pozorovatel P ? Nej-
prve uvažujme třetího pozorovatele P , který se vzhledem k pozorovateli
P pohybuje rychlostí o velikosti |V | opačným směrem než pozorovatel P .
Pozorovatel P je tedy vzhledem k pozorovateli P ve stejné situaci jako
je P vzhledem k P . A jelikož podle principu relativity mají fyzikální zá-
kony v soustavách pozorovatelů P a P stejné znění, přiřadí pozorovatel P
této události (P se dívá na hodinky) také hodnotu času t2, pro kterou platí
vztah (8). Pozorovatelé P a P se ovšem z pohledu pozorovatele P liší
pouze směrem pohybu. A jelikož všechny směry jsou rovnocenné (princip
izotropie prostoru), také pozorovatel P přiřadí této události hodnotu času
t = t2, pro kterou platí (8). Dobrá, zjistili jsme tedy jakou hodnotu času t
přiřadí pozorovatel P události, kdy P se koukne na hodinky a spatří údaj
t1. Abychom získali tvar veličiny k, využijeme první vzorec z dvojice (7). Do
pravé strany tohoto vzorce dosadíme hodnoty souřadnic t, x, které odpoví-
dají události, kdy P se koukne na hodinky a spatří údaj t1. To jest x = 0,
protože pozorovatel P je stále v počátku své vlastní soustavy souřadnic, a
t = t1. Za t dosadíme t2, pro který platí (8). Dostáváme tak rovnici
t1
k
= k
t1
1 - V 2
c2
.
Odtud již dostaneme vyjádření k jako
k = 1 -
V 2
c2
. (9)
Dosazením (9) do (7) získáme hledaný vztah mezi souřadnicemi t, x, které
události U přiřadí pozorovatel P a souřadnicemi t , x , které té samé události
přiřadí pozorovatel P
t =
t- V
c2 x
q
1- V 2
c2
, x = x-V tq
1- V 2
c2
.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 40 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Ke stejnému výsledku bychom podobným postupem dospěli i pro události,
které nenastávají v kladné části osy x , takže náš úvodní předpoklad není pro
výsledek podstatný. Pro zcela libovolné události, které nemusejí nastávat na
ose x, lze ukázat, že platí Lorentzova transfor-
mace
t =
t- V
c2 x
q
1- V 2
c2
, x = x-V tq
1- V 2
c2
, y = y, z = z. (10)
Tyto vztahy nazýváme speciální Lorentzovou transformací. Všimněme si, že
výše uvedené odvození je platné pouze pro |V | < c, protože jinak je výraz
pod odmocninou v (9) záporný nebo nulový.
To, že se Lorentzova transformace liší od Galileiho, neznamená, že je Lorentzova transfor-
mace přechází v Ga-
lileovu pro rychlosti
mnohem menší než c
Galileiho transformace špatně. Galileiho transformace dobře popisuje zku-
šenost se situacemi kolem nás. To jest se situacemi, ve kterých se tělesa
pohybují rychlostí mnohem menší než je rychlost světla. Položíme-li tedy
v (10) |V | mnohem menší než c, měli bychom přibližně dostat Galileovu
transformaci. Tak tomu skutečně je. Je-li |V | mnohem menší než c, pak po-
měr V
c můžeme považovat za přibližně nulový. Ze vzorce (10) pak dostaneme
právě transformaci (1).
Lorentzovu transformaci považuji
za výmysl nepraktických vědců.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 41 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.6. Skládání rychlostí
Jedna z nejdůležitějších věcí, kterými se teorie relativity liší od klasické fy-
ziky, je skládání rychlostí. Je to zřejmé už z toho, že při klasickém sklá-
dání rychlostí by rychlost světla nemohla zůstat stejná ve všech inerciálních
soustavách (viz 1.16.4). Při odvození zákona skládání rychlostí použijeme Výchozí situace pro
odvození zákona sklá-
dání rychlostí
Lorentzovy transformace (viz 1.5). Zopakujme podmínky, za nichž byla tato
transformace odvozena: těleso nacházející se v bodě A je možné popisovat
ze dvou vztažných soustav (K a K ), přičemž soustava K se vůči sou-
stavě K pohybuje rychlostí o konstantní velikosti V . Tato rychlost necht' má
směr os x a x (viz Obr. 8). Dospějeme tak k výše uvedeným vztahům (10),
z nichž lze záměnou čárkovaných souřadnic za nečárkované a rychlosti V
za rychlost -V obdržet tzv. (inverzní) Lorentzovu transformaci:
t =
t + V x
c2
q
1- V 2
c2
x = x +V tq
1- V 2
c2
y = y z = z . (11)
Těleso nacházející se v bodě A se může pohybovat, čili měnit svou polohu
v čase. Jeho poloha je určena v soustavě K souřadnicemi x, y, z, a ča-
sem t, jeho poloha v soustavě K je určena trojicí čárkovaných souřadnic
a čárkovaným časem. Ve vztažné soustavě K můžeme tedy určit rychlost Jak spolu souvisejí
rychlosti v soustavách
K a K ?
pohybu v tělesa pomocí změny souřadnic x, y, z v čase t, zatímco ve vztažné
soustavě K je rychlost pohybu v téhož tělesa dána závislostí čárkovaných
souřadnic na čárkovaném čase. Bude nás zajímat, jak spolu souvisejí tyto
rychlosti.
Pravděpodobně se dá očekávat, že změny oproti klasickému skládání
rychlostí se výrazněji projeví až pro rychlosti srovnatelné s rychlostmi světla.
Jako motivaci si pust'me následující animaci. Po odvození vztahu (13) pro Spustit animaciSpustit animaci
skládání rychlostí již lze odpovědět na uvedenou otázku. Výsledek čtenář
nalezne v 1.16.1.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 42 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.6.1. Odvození pro rovnoměrný pohyb tělesa ve směru rovnoběžném se
směrem pohybu soustavy K
Odvod'me nejprve zákon skládání rychlostí pro případ tělesa, které se pohy-
buje v soustavě K ve směru osy x . Jeho rychlost v má složky vx, vy, vz ,
z nichž poslední dvě jsou v této situaci nulové. Pokud se chceme vyhnout
derivování, musíme definovat první složku rychlosti jako vx = x
t , kde
t = t2 - t1 je rozdíl časových okamžiků, ve kterých se těleso nachází
v polohách x2 a x1, jejich vzdálenost je tedy x = x2 - x1. Obdobně
bychom mohli definovat i zbývající složky rychlosti. Takto definovaná rych- Definice rychlosti ­
rychlost okamžitá
a průměrná
lost má význam rychlosti okamžité pouze v případě, že pohyb je rovnoměrný
přímočarý, jinak má význam rychlosti průměrné.
Nyní nás zajímá, jak se bude tato složka rychlosti měnit při přechodu
k soustavě K. K výpočtu použijme Lorentzovu transformaci (11). Počítáme-li
změnu polohy ve směru osy y, dostaneme y = y2 - y1 = y2 - y1 = y .
Pokud je změna polohy ve směru této osy nulová ve vztažné soustavě K
(a tedy i složka rychlosti definovaná s její pomocí), je nulová tato změna
polohy i ve vztažné soustavě K (a tedy i příslušná složka rychlosti). Určeme
proto, jak se mění složka rychlosti vx = x
t . Pro změny polohy a času platí
x = x2 - x1 =
x2 + V t2
1 - V 2
c2
-
x1 + V t1
1 - V 2
c2
=
x + V t
1 - V 2
c2
t = t2 - t1 =
t2 +
V x2
c2
1 - V 2
c2
-
t1 +
V x1
c2
1 - V 2
c2
=
t + V x
c2
1 - V 2
c2
.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 43 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Získané vztahy nyní podělíme a výsledek upravíme:
vx =
x
t
=
x +V tq
1- V 2
c2
t + V x
c2
q
1- V 2
c2
=
x + V t
t + V x
c2
=
x
t + V t
t
t
t + V
c2
x
t
vx =
vx + V
1 + V
c2 vx
.
Získání transfor-
mačního vztahu pro
x-ovou komponentu
rychlosti
1.6.2. Odvození pro rovnoměrný pohyb tělesa v libovolném směru
Nyní bude vztah pro x-ovou složku rychlosti stejný jako v předchozí situaci,
ale y-ová a z-ová složka rychlosti již nebudou nulové. Podívejme se, jak
Lorentzova transformace (11) změní jednu z těchto dvou složek. Nejprve
zopakujme, jak se transformují změny polohy a času:
y = y2 - y1 = y2 - y1 = y
t = t2 - t1 =
t2 +
V x2
c2
1 - V 2
c2
-
t1 +
V x1
c2
1 - V 2
c2
=
t + V x
c2
1 - V 2
c2
.
Výrazy podělme a úpravou získejme vztah pro transformaci y-ové složky
rychlosti:
vy =
y
t
=
y
t + V x
c2
q
1- V 2
c2
=
y 1 - V 2
c2
t + V x
c2
=
y
t 1 - V 2
c2
t
t + V
c2
x
t
vy =
vy 1 - V 2
c2
1 + V
c2 vx
.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 44 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Výpočet pro z-ovou složku rychlosti bychom provedli zcela stejně, napišme Vztahy pro složky
rychlosti kolmé na
směr vzájemného
pohybu vztažných
soustav
proto na tomto místě pouze výsledek:
vz =
vz 1 - V 2
c2
1 + V
c2 vx
.
1.6.3. Odvození s využitím derivování
Nyní odvod'me relativistický zákon skládání rychlostí pro případ, že se těleso
pohybuje v soustavě K , ale jeho pohyb již nemusí být pouze rovnoměrný.
Přitom se neobejdeme bez vyšší matematiky, konkrétně bez derivování. Č te-
nář může podle své úvahy postup přeskočit a podívat se až na výsledek (13),
který musí být samozřejmě stejný jako výsledky získané dosud.
Chceme určit, jak složky rychlosti vx = dx
dt , vy = dy
dt , vz = dz
dt souvisejí
se složkami rychlosti vx, vy a vz definovanými analogicky pomocí čárkova-
ných proměnných. Derivováním druhé z rovnic (11) podle času t dostaneme
vx =
dx
dt
=
dx
dt + V dt
dt
1 - V 2
c2
.
Protože poloha x je funkcí času t , lze výraz dx
dt upravit do tvaru dx
dt =
dx
dt
dt
dt = vx
dt
dt . Zderivováním první z rovnic (10) podle času t dostaneme
výraz pro dt
dt a jeho dosazením do vztahu pro vx a po algebraické úpravě
získáme konečný výraz pro vx
vx =
vx + V
1 +
vxV
c2
. (12)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 45 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obdobně zderivováním třetí a čtvrté z rovnic (11) dostaneme po dosa-
zení (12) za vx vztahy pro y-ovou a z-ovou složku rychlosti. Tyto výpočty Odvození vztahů pro
relativistické skládání
rychlostí s využitím
derivování
(spolu s mezivýpočty prováděnými při získání vx) zvládne zkušenější čtenář
jistě sám, pro kontrolu však může nahlédnout na řešení příkladu 1.16.2.
Výsledek je tedy tvaru
vx =
vx+V
1+
vxV
c2
vy =
vy
q
1- V 2
c2
1+
vxV
c2
vz =
vz
q
1- V 2
c2
1+
vxV
c2
. (13)
Nyní musíme ještě zodpovědět otázku, jak by se výsledný vztah pro sklá-
dání rychlostí změnil, kdybychom brali jako výchozí rychlost v soustavě K
a snažili se získat vztahy pro rychlost v soustavě K . Samozřejmě je možné Změna vztahu pro
skládání rychlostí při
záměně vztažných
soustav
provést celý výpočet znovu, ale stačí nahradit rychlost vzájemného pohybu
soustav V rychlostí -V a zaměnit čárkované a nečárkované složky rychlostí.
Dostaneme tak vztah, který bývá jako zákon skládání rychlostí označován čas-
těji:
vx = vx-V
1- vxV
c2
vy =
vy
q
1- V 2
c2
1- vxV
c2
vz =
vz
q
1- V 2
c2
1- vxV
c2
. (14)
1.6.4. Existuje korespondence s klasickým zákonem skládání rychlostí?
Na otázku z nadpisu je jednoznačná odpověd': ano, existuje. Výše uve-
dený zákon skládání rychlostí (13) byl odvozen pomocí Lorentzovy trans-
formace (10), a tedy v situaci, kdy Lorentzovu transformaci lze nahradit
transformací Galileiho (1), musí relativistický zákon skládání rychlostí přejít
v klasický zákon skládání rychlostí, odvoditelný z transformace Galileiho:
vx = vx + V vy = vy vz = vz. (15)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 46 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Relativistický zákon skládání rychlostí tedy splývá s klasickým v situaci,
kdy je rychlost pohybu tělesa v = (vx, vy, vz) malá (rozumějme srovnání
její velikosti s velikostí rychlosti světla c), a pokud táž podmínka platí i pro
rychlost V = (V, 0, 0). Pokud tyto podmínky vyjádříme matematicky jako Pro rychlosti mnohem
menší než c přechází
relativistické skládání
rychlostí na klasické
vx
c 1 V
c 1 (anebo
vx
c  0 V
c  0),
lze snadno ověřit, že dosazením do relativistického zákona skládání rych-
lostí (13) získáme zákon klasický (15).
1.6.5. Zobecnění ­ zákon skládání rychlostí pro libovolnou orientaci sou-
stav
Lorentzova transformace (10) byla odvozena pro případ dvou soustav s rov-
noběžnými souřadnicovými osami, přičemž se tyto soustavy vůči sobě po-
hybovaly rovnoměrně přímočaře tak, že rychlost jejich vzájemného pohybu
byla rovnoběžná s jednou ze souřadnicových os (viz Obr. 8).
V rámci speciální teorie relativity by však touto transformací měly být
spojeny libovolné soustavy, které se vůči sobě pohybují přímočaře rychlostí
konstantní velikosti V, přičemž neexistují fyzikální důvody, které by měly
určovat jak orientaci souřadnicových os obou soustav, tak i orientaci směru
vektoru vzájemné rychlosti těchto soustav V . Jak by se měly změnit rovnice
pro Lorentzovu transformaci, odvozené v předchozí kapitole, a jak by se
měl změnit zákon skládání rychlostí? Doporučujeme čtenáři, aby si odpověd'
na tuto otázku promyslel ­ slovní formulace řešení je mnohem jednodušší
než provedení konkrétního matematického výpočtu. Případný zájemce najde
tento výpočet, který považujeme již za obtížnější, v příkladu 1.16.3.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 47 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.6.6. Rychlost světla je absolutní
Jedním z principů speciální teorie relativity je i princip konstantní rychlosti
světla. Pokud se z bodu A šíří světlo, které má v soustavě K rychlost
c = (cx, cy, cz), platí pro velikost této rychlosti Rychlost světla je pro
všechny pozorovatele
stejná bez ohledu na je-
jich pohyb vůči zdroji
světla
c 2
= c2
. (16)
Tutéž velikost rychlosti musí mít světlo i v soustavě K. Klasické skládání
rychlostí (15) by tuto podmínku nesplňovalo, ale lze snadno ukázat, že rela-
tivistické skládání rychlostí (13) je s touto podmínkou v souladu. Podrobný
výpočet je uveden v příkladě 1.16.4.
Z práce mě vyhodili, žena mě opustila,
zkrátka mám v životě jen tu jedinou jistotu:
rychlost světla ve vakuu je stejná pro všechny
inerciální soustavy!
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 48 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.7. Kontrakce délek
Naším úkolem bude nyní osvětlit vznik jednoho z nejznámějších speciálně
relativistických efektů, totiž kontrakci délek a s ní spojenou změnu objemu
a úhlů pohybujících se těles. Ukážeme, že kontrakce délek je jev přirozeně
plynoucí z povahy měření vzdáleností ve vztažné soustavě, která se vůči
měřenému tělesu pohybuje. Předestřeme už na tomto místě, že jev kon-
trakce délek nevypovídá nic o tom, jak by pozorovatel viděl pohybující se
těleso z jednoho místa ve své vztažné soustavě. O této problematice bu-
deme hovořit až v následujícím textu (viz 1.8).
1.7.1. Odvození vztahu pro kontrakci délek
Kontrakce délek je relativistický efekt zmiňovaný již v souvislosti s pokusy vy-
světlit výsledky Michelsonova experimentu 1.2.2. Odvození kontrakce délek
je možné cestou logické úvahy [31], ale vzhledem k tomu, že čtenář je již
obeznámen s Lorentzovou transformací, ved'me výklad s její pomocí.
K
x
y
z
O
K´K´
x´x´
ýý
z´z´
O'O' zz kk
LL00
K :K : LL
K':K': LL00
== kk -- zz
==
kk -- zzxx xx
Obr. 9: Výchozí situace pro odvození efektu
kontrakce délky
Mějme dáno těleso, u něhož vý-
razně převažuje jeden rozměr nad
ostatními ­ například tyč. Tato tyč
necht' leží v klidu ve směru osy x
v soustavě K , která se (jak je již
v této práci obvyklé) pohybuje vůči
soustavě K rychlostí o velikosti V
(viz Obr. 9). Zajímá nás, jakou délku
tyče naměřípozorovatel v obou vztaž-
ných soustavách.
Pozorovatel v soustavě K je vůči
tyči v klidu, tedy její délku určí velmi
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 49 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
jednoduše jako rozdíl souřadnic konce a začátku tyče:
L0 = xk - xz. (17)
Protože tyč je vůči tomuto pozorovateli v klidu, nazýváme takto naměřenou Měření klidové délky
tyčedélku tyče L0 délkou klidovou.
Všimněme si jedné zajímavé věci ­ není určeno, zda musí pozorova-
tel v K určovat souřadnice začátku a konce tyče současně anebo stačí
postupně. Toto je situace, kterou známe běžně z denního života ­ k mě-
řené tyči nejprve přiložíme měřítko počáteční značkou k začátku tyče a poté
přečteme údaj, který se nachází u konce tyče.
Jak však provede měření pozorovatel ve vztažné soustavě K? Výsledky Měření délky tyče
ve vztažné soustavě,
která se vůči tyči
pohybuje.
jeho měření musí souviset s výsledky získanými pozorovatelem K pomocí
Lorentzovy transformace (11). Proved'me výpočet:
L = xk - xz =
xk + V tk
1 - V 2
c2
-
xz + V tz
1 - V 2
c2
=
L0 + V (tk - tz)
1 - V 2
c2
.
Naměřená délka tyče nyní stále ještě závisí na časech, v nichž prováděl
měření pozorovatel v K . Tuto závislost odstraňme pomocí posledního ze
vztahů (10)
tk - tz =
tk - V xk
c2
1 - V 2
c2
-
tz - V xz
c2
1 - V 2
c2
=
(tk - tz) - V
c2 (xk - xz)
1 - V 2
c2
.
Zkombinováním uvedených vztahů dostaneme vztah pro výslednou délku
tyče, kterou naměří pozorovatel ve vztažné soustavě K :
L = xk-xz =
L0
1 - V 2
c2
+
V (tk - tz) - V 2
c2 L
1 - V 2
c2
 L = L0 1 -
V 2
c2
+V (tk - tz) .
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 50 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Délka tyče, kterou naměří pozorovatel v soustavě K, závisí tedy na tom,
v kterých časových okamžicích provádí měření polohy začátku a konce tyče.
Má-li být proto délka určena jednoznačně, musí pozorovatel v soustavě K
provádět měření polohy začátku a konce tyče v témže okamžiku (tk = tz)
­ události měření počátku a konce tyče jsou pro něj současné. Jeden ze Odvození vztahu pro
kontrakci délek.způsobů, jak tuto podmínku realizovat, ukazuje níže uvedená animace. Při
splnění uvedené podmínky pak platí mezi délkou naměřenou v soustavě K
(vlastní délka L0) a délkou naměřenou v soustavě K vztah:
L = L0 1 -
V 2
c2
. (18)
V obou vztažných soustavách určí pozorovatel stejnou délku pouze v pří-
padě, jsou-li vůči sobě v klidu. Pokud se soustavy pohybují, je délka mě-
řená pohybujícím se pozorovatelem vždy menší než délka klidová ­ dochází
tedy ke kontrakci délek. Kontrakce se samozřejmě začne projevovat výraz-
něji až při rychlostech blížících se k rychlosti světla. Zájemce může zjistit
hodnoty zkrácení při libovolných rychlostech pomocí interaktivní animace.
Pokud však čtenáře nezajímají pouze jednotlivé hodnoty, ale i průběh vlast- Spustit animaciSpustit animaci
ního zkracování v závislosti na rychlosti pohybu, je vhodnější nahlédnout na
řešení příkladu 1.16.5.
1.7.2. Změna úhlů a objemu pohybujících se těles
Uvažujme nyní nikoliv o tyči, ale o kvádru jako o představiteli tělesa, u kte-
rého již nelze zanedbávat některé rozměry. Necht' je jedna hrana kvádru ve
vztažné soustavě K (viz Obr. 10) rovnoběžná se souřadnicovou osou x
a ostatní hrany jsou pak rovnoběžné s dalšími souřadnicovými osami. Délka Určení klidového ob-
jemu tělesajednotlivých hran je v této vztažné soustavě délkou klidovou, tedy objem
tělesa V0 je též klidovým objemem.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 51 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Jaký objem naměří pozorovatel ve vztažné soustavě K, vůči které se
těleso pohybuje? Podle vztahu (18) se pro něj rozměr x tělesa ležící ve
směru pohybu zkracuje, zatímco podle Lorentzovy transformace (11) se
rozměry tělesa kolmé na směr pohybu nemění.
K
x
y
z
O
K´K´
x´x´
ýý
z´z´
O'O'
VV00
K :K : VV
K':K': VV00
Obr. 10: Výchozí situace pro odvození efektu
změny objemu
Objem V počítaný jako součin
všech třírozměrů kvádru je pak menší
než objem klidový a platí Odvození vztahu pro
změnu objemu pohy-
bujících se těles.
V = V0 1 -
V 2
c2
. (19)
Tvar kvádru se změní tak, že hrana
rovnoběžná se směrem pohybu se
zkracuje, zatímco délky ostatních
hran zůstanou nezměněny. Pokud
se místo kvádru pohybuje například
válec, a to tak, že jeho výška je
kolmá na směr pohybu, mění se
jeho podstava z kruhové na eliptickou. Č tenář si může lehce promyslit, že
uvedený vzorec pro výpočet objemu pak zůstává v platnosti. Opět připomí-
náme, že tyto výsledky jsou důsledky Lorentzovy transformace a nevypoví-
dají nic o tom, jaký tvar bychom skutečně pozorovali.
Na tomto místě musíme ještě uvést jeden důsledek Lorentzovy transfor-
mace, a to změnu úhlů pohybujících se těles. Tento efekt je dobře pozo- Odvození vztahu pro
změnu úhlů pohybují-
cích se těles.
rovatelný na tělesech, jejichž hrany nejsou rovnoběžné se směrem pohybu
anebo na něj kolmé. Průměty těchto šikmých hran do směru pohybu se zkra-
cují podle vztahu (18), zatímco délky průmětů těchto hran do směrů kolmých
k pohybu zůstávají nezměněny. Ú hel , který svírá šikmá hrana se směrem
pohybu, se tedy musí měnit. Pro tangentu tohoto úhlu měřenou v klidové
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 52 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
soustavě K platí:
tg 0 =
y
x
a při přechodu k pohybující se soustavě K se změní na

00 
V=0 V=0,8c
Obr. 11: Znázornění efektu změny úhlů
Pro pohybující se tě-
lesa je ostrý úhel, který
svírá hrana tělesa se
směrem pohybu, větší
než týž úhel v klidové
vztažné soustavě.
tg  =
y
x
=
y
x 1 - V 2
c2
.
Výsledný vztah
tg  =
tg 0
1 - V 2
c2
(20)
tedy ukazuje, jak se bude pro pohybujícího se pozorovatele zvětšovat úhel,
který svírá šikmá hrana tělesa se směrem pohybu. Tento jev je dobře vidět
na Obr. 11 ­ všimněme si změny aerodynamického skosení čela kabiny
vlaku. Na tomto místě znovu připomeňme, že tento tvar se bude lišit od tvaru
skutečně pozorovaného, o kterém se více dozvíme v 1.8.
1.7.3. Relativistické paradoxy spojené s kontrakcí délek
S jevem kontrakce délek je spojena řada paradoxů, které se tradují pře-
devším v ústním podání. U některých vzniká paradoxnost pouze špatným Původ relativistických
paradoxů a jejich ře-
šení
pochopením principů teorie relativity a směšováním výsledků, získaných po-
zorovateli v různých vztažných soustavách, jiné jsou závažnější a ukazují
na těžko interpretovatelné části teorie relativity a na obtíže, které vznikají
při zavádění gravitačního působení do této teorie. Zcela scestná však je
otázka, kladená někdy v souvislosti s relativistickými paradoxy zastánci ab-
solutního prostoru (a možná i absolutní pravdy): ,,Jak je to tedy doopravdy?"
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 53 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Na to existuje jediná odpověd': v teorii relativity žádné ,,doopravdy" není,
každý výsledek pozorování je svázán s konkrétní vztažnou soustavou a po-
pis z jednotlivých inerciálních vztažných soustav je fyzikálně rovnocenný ­
neexistuje tedy privilegovaná vztažná soustava, která by rozhodovala, ,,jak je
to doopravdy". Přesto musí popis událostí z jednotlivých vztažných soustav Jak je to ,,doopravdy?"
vyznačovat společné znaky ­ v dalším textu to bude dobře pozorovatelné
například na třetí z animací 1.9.2 ilustrující efekt dilatace času, kdy sice
profesor i ufon naměřili různé vzdálenosti a časy, ale oba zjistili, že koza
rozdělila svými značkami měřený úsek na šest podúseků.
Uved'me zde pouze zadání vybraných relativistických paradoxů. Dopo-
ručujeme čtenáři, aby se nad nimi nejprve zamyslel, a teprve pak porovnal
své odpovědi s našimi, uvedenými v 1.16.6.
Vlak v tunelu Vlak projíždí tunelem rychlostí srovnatelnou s rychlostí
světla. Klidová délka vlaku je stejná jako klidová délka tunelu. Je vlak po Paradox vlaku v tu-
neludobu průjezdu schován v tunelu, anebo je tunel na vlaku navlečen jako
prstýnek?
Pád do kanálu Neopatrný pracovník vodáren nechal otevřenou kanalizační
vpust'kruhového tvaru. Průměr otvoru je 25cm, což je méně než délka chodi-
dla běžného chodce. Hrozí nebezpečí, že se velmi rychle pohybující chodec Paradox pádu do ka-
nálupo šlápnutí na kanalizační vpust' do ní propadne?
Letící tužka Po desce stolu klouže bez tření tužka. Deska je přerušena
otvorem, jehož klidová délka je stejná jako klidová délka tužky. Spadne tužka Paradox letící tužky
do otvoru anebo jej bez újmy překoná? A bude výsledek stejný bez ohledu
na to, ve které vztažné soustavě je získán?
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 54 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Auto na přejezdu (v garáži) Tento paradox by mimo jiné mohl sloužit jako
varování pro neopatrné řidiče. Prostor přejezdu je právě tak široký, že mezi
spuštěnými závorami může stát osobní automobil. Závory spadnou sou- Paradox vozu na pře-
jezdučasně v okamžiku, kdy neopatrný řidič přejíždí navzdory výstražnému signálu
přes přejezd a střed vozu je totožný se středem přejezdu. Poškodí padající
závory osobní automobil anebo se automobil ocitne mezi závorami? Pro mi-
lovníky poklidnějších situací doporučujeme tento paradox řešit jako paradox
s osobním automobilem najíždějícím do těsné garáže.
Myš za plotem Vedle vlakové trati je plot a za plotem stojí myš. V pro-
jíždějícím vlaku cestuje lovec (kocour), který jakmile spatří myš, vystřelí po Paradox myši za plo-
temní (hodí po ní kámen). Bude myš zasažena anebo ji zachrání relativistické
zkrácení mezer mezi tyčkami plotu vůči pohybujícímu se vlaku?
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 55 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.8. Pozorovaný tvar rychle se pohybujících těles
Kdybychom se padesát let po vzniku speciální teorie relativity zeptali zku-
šeného znalce, jak by se mu jevila rychle letící koule, kdyby ji byl schopen
sledovat očima anebo zachytit na fotografii, odpověděl by patrně bez váhání:
Rychle letící koule je v mé vztažné soustavě elipsoidem, proto bych viděl či
zaznamenal eliptický obrys protažený ve směru pohybu. Teprve roku 1957
Terrell a Penrose prokázali současně a nezávisle, že je tomu jinak. Jejich
výsledek se dosud nestal součástí standardních učebnic a pokud se o něm
děje zmínka, bývá často nesprávně interpretován. Rádi bychom čtenáře pře-
svědčili, že pro jeho získání stačí kombinovat základní vztahy speciální teorie
relativity se středoškolskou matematikou.
vv
ll
l*l*
d
cc
cc


ll0
Obr. 12: Tyč pohybující se ve směru své délky
Uvažuje nejprve o po-
délném pohybu tenké tyče
o klidové délce l0, kterou
pozorovatel v daném oka-
mžiku vidí pod úhlem .
Pohybuje-li se tyč rych-
lostí v, dochází ke kon-
trakci délky a jejískutečná
délka je dána vztahem (18).
Pozorovatel však obecně
vzato nevidítyč této délky,
protože pozoruje jejípřední
a zadní konec v různých
časech. Předpokládejme,
že délka tyče je velmi malá
ve srovnání s její vzdáleností od pozorovatele. Pak z Obr. 12 plyne, že aby
se paprsky od obou konců setkaly v místě pozorování, musí nastat rovnost
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 56 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
časů
l - l
v
=
l
cos 
c
,
kde l
je pozorovaná délka tyče. Pozorovaná délka tyče je tedy spojena s její
klidovou délkou vztahem
l
=
l0 1 - v2
c2
1 + v
c cos 
. (21)
Vidíme, že viditelná délka přibližující se tyče je větší než její skutečná délka
v dané vztažné soustavě, zatímco délka vzdalující se tyče je menší než
délka skutečná. Skutečnou (kontrahovanou) délku pohybující se tyče v naší
vztažné soustavě můžeme pozorovat pouze v okamžiku, kdy vidíme oba její Změna pozorované
délky tyče pohybemkonce ve stejné vzdálenosti, tj. když nás právě míjí její střed (cos  = 0). Pro
dostatečně vzdálenou tyč je vliv konečné rychlosti světla na její pozorovanou
délku vždy významnější než Lorentzova kontrakce.
vv
d
cc
cc



Obr. 13: Tyč pohybující se kolmo na svou délku
Dále uvažujme o tenké
tyči, která se pohybuje rych-
lostí v kolmo na svou délku
tak, že její konce leží v ro-
vině pozorování(takže délka
tyče se rovná jejíklidové délce
­ viz Obr. 13). Protože po-
zorovatel nevidí oba konce
tyče ve stejném čase, jeví Pozorovaná výchylka
v příčném směruse mu tyč sklopena pod úh-
lem . Je-li opět délka tyče
velmi malá ve srovnání s její
vzdálenostíod pozorovatele,
setkají se paprsky od obou
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 57 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
konců v místě pozorování (viz obrázek) při rovnosti časů
l sin 
v
=
l sin  cos 
c
-
l cos  sin 
c
.
Odtud vyplývá pozorovaná výchylka tyče
tg  =
v
c sin 
1 + v
c cos 
. (22)
Tenkou tyč kolmou na svůj pohyb i na pozorovací rovinu vidíme ,,tak,
jak skutečně je". Zabývejme se nyní tělesem libovolného tvaru. Můžeme je
proložit krychlovou sítí a uvažovat o pozorovaném tvaru jednotlivé krychle.
Stačí se omezit na čtverec v pozorovací rovině - viz Obr. 14 vpravo, na němž
vidíme klidový a pozorováním deformovaný tvar čtverce.
vv
b
a
l
 
0
b
a

l0

Obr. 14: Č tverec ­ otočení a skutečný tvar
Dokažme, že co
se týče úhlů pozoro-
vání, je výsledek stejný,
jako by byl čtverec oto-
čen o jistý úhel  -
viz Obr. 14 vlevo. Prů-
měty a, b délek stran
otočeného čtverce do
směru kolmého na pa-
prsek k pozorovateli
splňují Pythagorovu
větu a2
+b2
= l2
. Pro
tvar deformovaný po-
zorováním jsou analogické průměty
a =
l
sin 
1 + v
c cos 
=
l0 1 - v2
c2 sin 
1 + v
c cos 
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 58 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
b =
cos( - )
cos 
=
cos  + v
c
1 + v
c cos 
,
kde jsme užili dříve odvozených vztahů. Snadno se přesvědčíme, že platí
Pythagorova věta
a2
+ b2
= l2
,
čímž je důkaz proveden. Ze vztahu tg ( - ) = a
b můžeme vyjádřit úhel
otočení  pomocí pozorovacího úhlu  a rychlosti v
cos  = 1 +
1 - v2
c2 - 1
1 + v
c cos 
sin2
. (23)
Obr. 15: Kontrakce nebo otočení?
Rychle se pohybující dostatečně
vzdálené těleso se nám tedy jeví,
co se týče úhlů pozorování, jakoby
otočeno. Bylo by však ukvapené vy-
vozovat z toho, že Lorentzova kon-
trakce je nepozorovatelná. Je-li sin  =
1, je cos  = 1 - v2
c2 , což znamená,
že zkrácenou tyč vidíme pod stej-
ným úhlem, jako by se při nezmě-
něné délce otočila. Pohybuje-li se
tyč podél nakresleného měřítka, je
ovšem možno zkrácení od otočení
snadno rozlišit. Pěkně je to vidět z ob- Zdánlivé otočenípřed-
měturázku ve známé Gamowově knize
Pan Tompkins v říši divů [34], jejíž
autor sice s deformací tvaru způso-
benou pozorováním nepočítal, ale Obr. 15 je přijatelný i s jeho uvážením.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 59 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Zakryjeme-li linii chodíku, podél něhož pozorovaný cylista jede, nepoznáme,
jsou-li kola jeho bicyklu zkrácena či pootočena - a to je právě to, co objevili
Penrose a Terrell.
Zatímco pootočenou kružnici vidíme jako elipsu, pootočením koule se
kruhovost jejího obrysu nezmění a nezmění se tedy ani jejím rychlým pohy-
bem vůči pozorovateli. Můžeme dokonce dokázat, že tento závěr platí zcela
přesně bez ohledu na to, jak je koule pozorovateli blízko. Uvažujme o dvou
pozorovatelích, kteří se ze stejného místa dívají na kouli, jeden je však vůči
ní v klidu a druhý v pohybu (viz Obr. 16). Uvažujme nejprve o prvním pozo-
rovateli. V jeho oku se scházejí vektory rychlosti světla vyšlého z kruhového Pozorovaný obrys le-
tící kouleobrysu koule, který vidí. Tento obrys se kryje s kruhovým obvodem podstavy
kužele s vrcholem v oku pozorovatele, který tvoří zmíněné vektory. Pozoro-
vaný obrys je tedy určen jako průsečnice kulové plochy procházející počátky
vektorů se středem v místě pozorování a roviny procházející počátky vek-
torů kolmo na osu kužele. Složky vektorů rychlosti (cx, cy, cz) světla z obrysu
koule, které se scházejí v oku pozorovatele, splňují tedy rovnice
c2
x + c2
y + c2
z = c2
Pcx + Qcy + Rcz = S.
K zjištění, jak se jeví obrys koule pohybujícímu se pozorovateli, je třeba
podrobit složky rychlosti světla v obou rovnicích Lorentzově transformaci (10).
Je ihned zřejmé, že v první rovnici dojde pouze k náhradě nečárkovaných
veličin za čárkované (viz 1.16.4). Snadno se ověří, že v druhé rovnici se
pouze změní hodnoty koeficientů P, Q, R, S, rovnice však zůstane rovnicí
roviny. Průsečnice kulové plochy a roviny je opět kružnice a protože místo
pozorování je uprostřed kulové plochy, vidí i druhý pozorovatel kruhový ob-
rys.
Povšimněme si, že pro náš výsledek je podstatná první a nikoliv druhá
rovnice. Kdybychom nahradili Lorentzovu transformaci transformací Gali-
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 60 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
leiho, zůstaly by rovnice rovnicemi kulové plochy a roviny a jejich průsečnice
by zůstala kružnicí.
vv
c
c
Obr. 16: Pozorovaný obrys koule dvěma pozorovateli
První rovnice by se však
změnila tak, že kulová plo-
cha by již neměla střed v místě
pozorování. Druhý pozoro-
vatel by se na kružnici dí-
val ,,zešikma" a neviděl by
tedy obrys koule jako elip-
tický. Dospíváme tak k pře-
kvapivému závěru: kdyby se
podařilo rychle se pohybu-
jící kouli pozorovat či foto-
grafovat, byl by jejíobrys kru-
hový, ale právě to by bylo
dokladem správnosti teorie
relativity.
Dodejme ještě, že pro úplný popis výsledku pozorování pohybujícího se
předmětu jsou důležité i jeho barvy, které jsou (jakožto frekvence) ovlivněny
Dopplerovým jevem (viz 1.10.4). Pro cyklistu z Gamowovy knihy (Obr. 15)
by se viditelné světlo při jeho rychlém pohybu stalo rentgenovým zářením
a procházelo by jeho tělem. Pozorovatel, k němuž by se cyklista blížil, by jej
proto na jasném pozadí viděl jako temný stín, a když by jej minul a vzdaloval
se, viděl by ,,kostlivce".
Za zmínku stojí i odlišnost pozorované a skutečné rychlosti tělesa. Letí-li
těleso přímo k nám a jeho rychlost se blíží rychlosti světla, vidíme je přibli-
žovat se rychlostí, která může překročit jakoukoliv mez. Naopak pozorovaná
rychlost vzdalujícího se tělesa se může přiblížit nanejvýš polovině rychlosti
světla.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 61 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Hlavním poučením z tohoto odstavce je, že svět pozorovaný z daného
místa je díky konečné rychlosti světla podstatně odlišný od okamžité podoby
světa v dané vztažné soustavě. Jde vlastně o řez čtyřrozměrného prostoro-
času minulou částí pláště světelného kužele. Toho si musíme být vědomi,
abychom se vyhnuli omylům, kterých se někdy dopustili i autoři učebnic a vě- Důležitá upozornění
deckých prací. Např. u našich animací je třeba mít na paměti, že nezobrazují
relativistické děje z hlediska pozorovatele v daném místě, ale z hlediska fik-
tivní ,,všudypřítomné" bytosti vyplňující danou vztažnou soustavu.
Na závěr nabídneme čtenáři rozšíření hlavolamu 1.7.3 Vlak v tunelu:
Víme již, že pro pozorovatele ve vlaku je tunel ,,navlečen" na vlak jako
prstýnek, kdežto pro pozorovatele v tunelu je celý vlak uvnitř tunelu. Necht'
pozorovatel ve středu vlaku právě míjí pozorovale ve středu tunelu. Co oba
pozorovatelé vidí? Pro pozorovatele v tunelu se přední část vlaku vzdaluje
a zadní přibližuje. Pro pozorovatele ve vlaku se přibližuje výjezd z tunelu
a vzdaluje se vjezd. To znamená, že pro pozorovatele v tunelu je přední
část vlaku zkrácena a zadní prodloužena. Vidí proto přední část vlaku uvnitř
tunelu a zadní část vně. Ke stejnému závěru dochází i pozorovatel ve vlaku.
Poslyšte, kolego, co soudíte o Terrelově a Penrosově teorii
změny pozorovaného tvaru rychle se pohybujících těles?
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 62 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.9. Dilatace času
Další relativistický efekt, vyplývající z Lorentzovy transformace, je dilatace
času. Nejprve odvod'me vztah kvantitativně popisující tento jev, pak se vě-
nujme důslednému rozboru animace, která efekt znázorňuje, a nakonec
popišme experimenty, které existenci dilatace času potvrzují.
1.9.1. Odvození vztahu pro dilataci času
Sledujme dvě události, které nastávají v bodě A o souřadnicích x , y , z
(určeno ve vztažné soustavě K ) v časech t1 a t2, tedy jsou soumístné.
Jaký časový interval mezi těmito událostmi naměří pozorovatel ve vztažné
soustavě K, který se vůči vztažné soustavě K pohybuje? (Situaci je možné
si osvěžit pohledem na Obr. 8.)
Ve vztažné soustavě K pozorovatel naměří čas Měření vlastního času
 = t = t2 - t1, (24)
který nazveme vlastním časem.
Jaké hodnoty však získá pozorovatel ve vztažné soustavě K? Výsledky Měření časového in-
tervalu v pohybující se
vztažné soustavě.
jeho měření musí souviset s výsledky získanými pozorovatelem K pomocí
Lorentzovy transformace (11). Proved'me výpočet:
t = t2 - t1 =
t2 +
V x2
c2
1 - V 2
c2
-
t1 +
V x1
c2
1 - V 2
c2
=
t2 - t1
1 - V 2
c2
+
V (x2 - x1)
c2 1 - V 2
c2
=
=

1 - V 2
c2
+
V (x2 - x1)
c2 1 - V 2
c2
Protože v klidové vztažné soustavě byly události soumístné x2 = x1 = x ,
Odvození vztahu pro
dilataci času.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 63 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
platí pro naměřený časový interval vztah
t =

1 - V 2
c2
. (25)
Č as naměřený v pohybující se vztažné soustavě je tedy vždy delší než čas
vlastní, měřený hodinami v soustavě, v níž se měřený bod nepohybuje. Graf
závislosti dilatace času na rychlosti pohybu a vybrané číselné hodnoty najde
čtenář v příkladu 1.16.7.
1.9.2. Několik vysvětlujících slov k animaci znázorňující dilataci času
Při shlédnutí první z následujících animací by se čtenář měl zamyslet nad
problematikou měření časů a vzdáleností a nad obtížemi, které musí oba
pozorovatelé překonávat. Koza s konstantní bobkovací frekvencí vystupuje
v této animaci v roli ideálních hodin, odměřujích přesně čas. Měření je pro-
váděno pomocí měření vzdálenosti značek (bobků), které byly vytvořeny
s konstantním časovým odstupem 1s (vlastního času kozy). Situace je uspo- Spustit animaciSpustit animaci
řádána tak, že profesor bude měřit vždy vzdálenosti, které odpovídají deseti
sekundám pohybu kozy, čili (při známé rychlosti pohybu kozy a konstantní
bobkovací frekvenci) bude tak vlastně nepřímo měřit čas odpovídající do-
padu bobků v jeho vztažné soustavě.
Nyní je už možné zahájit vlastní měření (viz druhá animace v pořadí).
Profesor se nachází v roli pozorovatele ve vztažné soustavě K, pozoro-
vatelem měřícím vlastní čas je pak koza nebo ufon ­ záleží na tom, zda
se v dopravním prostředku vyskytují oba. Profesorovo měřidlo má délku
d = V , která odpovídá vzdálenosti značek ve vztažné soustavě K . Dá
se očekávat, že profesor bude při vyšších rychlostech pozorovat dilataci
času, která se projeví jako zvětšení vzdáleností mezi jednotlivými značkami
oproti délce jeho měřidla (připomeňme, že čas t měřený v soustavě K
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 64 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
je podle (25) delší než vlastní čas , tedy vzdálenost bobků daná vztahem
d = V t je větší než délka tyče d ). Profesor si tohoto jevu všímá až pro
Spustit animaciSpustit animaci
rychlost V = 40 000 000m.s-1
= 0.13c. Při této rychlosti odpovídá dilataci
času o 0.009s změna délky o 9mm na 1m délky. Není divu, že profesor při
měřítku délky 40 000 000m považuje změnu vzdálenosti o 360 000m za
chybu měření.
Aby byly relativistické efekty výraznější, letí ufon s kozou ještě rychleji,
rychlostí V = 240 000 000m.s-1
= 0.8c (třetí animace). Při této rychlosti
dopadne na zem v určeném limitu pouze 6 bobků a vzdálenost mezi nimi je
téměř dvojnásobná než je délka profesorova měřidla (přesněji 1,66násobná).
Ufon tvrdí, že z jejich hlediska letěli po dobu šesti sekund, než přeletěli
dráhu vytyčenou profesorem na desetisekundový přelet. Tomu odpovídá
i šest bobků vytroušených kozou. Kde je tedy vysvětlení? Podívejte se se
na animaci. Profesor pozoruje dilataci času, jedna jeho sekunda odpovídá
1,66násobku sekundy kozí (koza se proti němu pohybuje rychlostí 0,8c),
proto je i jeho měřítko 1,66 násobně kratší. Ufon s kozou pozorují kontrakci Spustit animaciSpustit animaci
délek (profesor se vůči nim také pohybuje rychlostí 0,8c, ale v opačném
směru), takže koza trousí bobky po 1,66 násobně kratší dráze. Tím je situace
objasněna k všeobecné spokojenosti.
1.9.3. Experimenty potvrzující existenci jevu dilatace času
Č tenáři je ovšem jasné, že testovat dilataci času metodou ukázanou v ani-
maci je poměrně těžko realizovatelné. Přesto však již byla existence tohoto
jevu potvrzena experimentálně, a to několika způsoby.
Test dilatace času pomocí ,,mikroskopických hodin" V roce 1941 pozo-
rovali Rossi a Hall dobu života mionů -
. Jde o částice podobné elektronu
mající hmotnost 207krát větší, které byly objeveny C. Andersonem v kosmic-
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 65 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
kém záření za pomoci mlžné komory v roce 1936. Po uplynutí doby života se
rozpadají na elektron e-
, mionové neutrino  a elektronové antineutrino ~e.
Tyto částice vznikají reakcí primárního kosmického záření s horními vrst-
vami atmosféry ve výšce asi 30km. Jejich klidová doba života je 2,2.10-6
s, Test dilatace času po-
mocí mionů -.a pokud by nedocházelo k relativistickým efektům, nebylo by možné tyto
částice na Zemi vůbec detekovat. Vliv relativistických efektů se zde proje-
vuje úplně stejně jako v animaci s ufonem a kozou (viz třetí animace v 1.9.2)
­ z hlediska pozorovatele na Zemi dochází k dilataci času pro mion, takže
mion žije ,,déle" a má dost času, aby dopadl na zemský povrch, zatímco
z hlediska mionu dochází ke kontrakci délek, takže během své doby života
stačí mion na zemský povrch dopadnout. Podrobný výpočet najde čtenář
v příkladu 1.16.8.
Dodejme ještě, že v roce 1952 byl proveden laboratorní experiment, zjiš-
t'ující dobu života obdobných částic, mezonů +
. Jedná se o elementární
částice, které mají hmotnost 273krát větší než elektron a rozpadají se již po
2.5. 10-6
s (měřeno v jejich klidové soustavě). Vznikají například v urychlova- Test dilatace času po-
mocí mezonů +.čích ostřelováním hliníkového terčíku rychlými protony. Protože tyto částice
se pohybují skoro rychlostí světla (V = 0.99c), urazí v laboratoři mnohem
delší střední volnou dráhu, než předpovídá klasická fyzika. Výpočet je pro-
veden v příkladu 1.16.9.
Test dilatace času pomocí makroskopických hodin V roce 1971 Joseph
Haefele a Richard Keating uskutečnili experiment, jehož cílem bylo potvr-
dit existenci dilatace času pomocí makroskopických hodin. Použili čtvery Test dilatace pomocí
atomových hodin.přenosné atomové hodiny, které nechali obletět dvakrát kolem světa na ko-
merčních leteckých linkách v opačných směrech a porovnali získané časy
s časem na hodinách, které zůstaly na zemi. Díky vysoké přesnosti použi-
tých atomových hodin byla existence dilatace času ověřena, avšak pouze
s přesností 10% ((203  10)ns). Experiment byl zopakován o několik let poz-
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 66 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
ději, tentokrát byly výsledky vyhodnoceny s přihlédnutím k existenci dilatace
času v gravitačních polích. Předpověd' byla potvrzena s přesností 1%.
To se mu to vyzpěvuje, když celý život nevytáhne
paty z tryskáče ...
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 67 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.10. Aberace a Dopplerův jev
1.10.1. Aberace světla v klasické fyzice
Jev aberace (odchylky) je znám z pozemských pozorování, například při
pohybu v dešti. Č lověk, který v dešti pospíchá, zjišt'uje, že má mokrý obličej
a hrudník, nikoliv záda, zatímco člověk, který zůstane v dešti stát, zmokne
rovnoměrně zepředu i zezadu (předpokládejme, že déšt není hnán větrem
a padá tedy svisle). Obdobně je tento jev vidět v osobním automobilu je- Analogie aberace
světla ­ pohyb v deštidoucím za deště. Přední stěrač funguje na plný výkon, zatímco zadní sklo
potřebuje otřít jen sporadicky. Situace se však obrátí, pokud vůz začne srov-
natelnou rychlostí couvat. Příčinou je právě pohyb člověka (automobilu) vůči
dešt'ovým kapkám ­ stojí-li, dopadají na něj kapky svisle, pokud se pohy-
buje rychlostí V , tato rychlost se skládá s rychlostí v padajících kapek podle
klasického vztahu
v = v + V . (26)
a prší tedy šikmo proti směru pohybu.
Obr. 17: James
Bradley (1693-1762)
Aberace světla stálic je jev, který jako první pozoro-
val v roce 1725 Bradley (viz Obr. 17). Bradley zjistil, že
polohy hvězd na nebeské sféře opisují v průběhu roku
elipsy, jejichž velká poloosa má pro všechny hvězdy stej-
nou velikost odpovídající úhlu =20,5 . Tento jev vysvětlil Bradleyho pozorování
aberace světla stálicjako důsledek ročního pohybu Země, který působí změnu
úhlu, pod kterým se vůči ní pohybují paprsky hvězd. Rych-
lost tohoto pohybu je časově proměnná a je největší
v době, kdy rychlost Země vzhledem k Slunci je kolmá
na směr paprsků hvězdy, k čemuž nutně dochází dvakrát
do roka (viz Obr. 18).
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 68 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Pro velikost odchylky platí přibližný vztah
tg =
V
c
, (27)
kde V je rychlost Země kolem Slunce. Tento vzorec je přímým důsledkem
vztahu pro klasické skládání rychlostí zapsaného ve vektorové formě, tj.
jako (26).
H Z
VV-V-V
cc
 x
y
Obr. 18: Pohyb Země kolem Slunce způsobuje,
že paprsky hvězdy H dopadají v průběhu roku
pod různými úhly
Dodejme ještě, že vztah odvo-
zený Bradleyem je platný pouze v kla-
sickém přiblíženía pro hvězdu, která
se nachází v nadhlavníku (Bradley
sám prováděl tato měření na  Dra-
conis v době, kdy tento požadavek
splňovala). Kromě ročního pohybu
Země způsobuje výslednou aberaci
i aberace způsobená denním pohy-
bem Země a aberace způsobená
pohybem Slunce vůči hvězdám.
1.10.2. Aberace světla v teorii relativity
Necht'prostorem postupuje rovinná vlna, jejíž vlnoplochy svírají úhel  s osou
y a jsou rovnoběžné s osou z, a tedy směr rychlosti jejího pohybu svírá týž
úhel s osou x (viz Obr. 19). Předpokládejme, že v čase t = 0s procházela Odvození rovnice
pohybu vlnoplochy
v čase.
vlnoplocha určující čelo vlny počátkem soustavy souřadnic. Najděme vztah,
který bude popisovat postup čela vlny v čase. Z pravoúhlého trojúhelníku,
který má stranu AB jako přeponu, plyne pro úhel  vztah:
tg  =
x
yA - y
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 69 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
a z pravoúhlého trojúhelníku, který má stranu AB jako odvěsnu a třetí vrchol
je počátek souřadnic, dostaneme
sin  =
ut
yA
.


y
x
utut
uu
=0s
t
t
uu
A
B
t0
1< t
Obr. 19: Relativistická aberace světla ­ nákres pro
odvození
Vyloučíme-li z tohoto vztahu
hodnotu yA, dostaneme rovnici,
podle které se mění poloha čela
vlny v čase:
y =
ut
sin 
-
x
tg 
.
Tento vztah ovšem odvodil po-
zorovatel spojený se soustavou
souřadnic K. Otázkou je, jaký
vztah by odvodil pozorovatel spo-
jený s čelem vlny, to jest se vztaž-
nou soustavou K (viz Obr. 8).
Stačí jeho výsledky přepočítat podle Lorentzovy transformace (11) a dosta-
neme:
y = -
1
sin  1 - V 2
c2
(V cos  - u) t + cos  -
uV
c2
x .
Protože tento vztah by měl být formálně stejný jako předchozí, lze jejich Vztahy pro změnu
velikosti a směru
rychlosti šíření vlnění
při přechodu k jiné
vztažné soustavě
porovnání získat vztahy pro souvislost mezi úhly  a  a mezi rychlostmi u
a u
tg  =
sin  1 - V 2
c2
cos  - uV
c2
(28)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 70 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
sin  =
sin  1 - V 2
c2
1 - V 2
c2 sin2
 + cos  - uV
c2
2
(29)
u =
V cos  - u
1 - V 2
c2 sin2
 + cos  - uV
c2
2
. (30)
Odvození, které není složité, spíše je pracné, najde čtenář v příkladu 1.16.10.
Pokud je rovinná vlna vlnou světelnou, šíří se rychlostí u = c a předchozí
vztahy se změní na
tg  =
sin  1 - V 2
c2
cos  - V
c
sin  =
sin  1 - V 2
c2
|1 - V
c cos |
u =
V cos  - c
|1 - V
c cos |
= c
(i tyto a následující výpočty je možné najít v příkladu 1.16.10). Uvažujme
nyní o situaci, kdy  = 
2 , čili vlnoplocha postupuje rovnoběžně s osou x
a foton letí svisle nahoru anebo dolů. Přijměme označení  = 
2 + , takže Souvislost před-
chozích výsledků
s výsledky získanými
Bradleyem
nás zajímá odchylka světla od svislého směru, čili aberace (viz Obr. 19
a Obr. 18). Dostáváme
tg =
V
c 1 - V 2
c2
(31)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 71 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
sin =
V
c
, (32)
což jsou vztahy, které v prvním přiblížení přecházejí ve vztah (27) odvozený
Bradleyem pro klasickou aberaci hvězdy v nadhlavníku.
1.10.3. Dopplerův jev v klasické fyzice
Uvažujme o následující situaci: Zdroj Z periodického signálu o frekvenci fZ
šířícího se prostředím rychlostí u (vzhledem k tomuto prostředí) se pohybuje
rychlostí V , která svírá úhel  se směrem od zdroje k pozorovateli (viz
Obr. 20).
P
Z
VV
UU

t = 0s
Z t = T
T(u-Vcos)T(u-Vcos)
St = T
Obr. 20: Výchozí situace pro odvození
vztahu pro Dopplerův jev ­ pohyb zdroje
vůči pozorovateli
Ř ešme situaci nejprve z hlediska ne-
hybného pozorovatele P. Je-li T perioda
signálu vzhledem k nehybnému prostředí,
pak v případě, že by se zdroj nepohy-
boval, by byla vlnová délka vlnění rovna
součinu rychlosti šíření a periody, čili  =
uT (vzdálenost mezi body Zt=0s a St=T,
které označují polohu zdroje v okamžiku
vyslání signálu a polohu čela vlny po
jedné periodě). Protože se však zdroj po- Odvození vztahu pro
Dopplerův jev v rámci
klasické mechaniky ­
zdroj se pohybuje vůči
pozorovateli.
hybuje, posune se během jedné periody
z polohy Zt=0s do polohy Zt=T a vlnová
délka signálu přijatého pozorovatelem se tedy musí zkrátit o průmět této
úsečky do směru PZt=0s (v situaci, kdy 90
   270
, se zdroj od pozoro-
vatele vzdaluje a vlnová délka se tedy prodlužuje). Tedy pro vlnovou délku
přijatou pozorovatelem platí
 = uT - V T cos 
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 72 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
a tomu odpovídá frekvence přijatá pozorovatelem
fP =
u

=
1
T
1
1 - V
u cos 
.
Pokud se řídíme pravidly klasické mechaniky, je převrácená hodnota peri-
ody rovna frekvenci vysílané zdrojem (T-1
= fZ) a pro frekvenci přijatou
pozorovatelem, který je v klidu vůči pohybujícímu se zdroji, získáme vztah
platný v klasické mechanice
fP =
fZ
1 - V
u cos 
. (33)
P
Z
UU
Pt = T
St = T
WW 
t = 0s
WTcos
uT
Obr. 21: Výchozí situace pro odvození
vztahu pro Dopplerův jev ­ pohyb pozoro-
vatele vůči zdroji
Uvažujme nyní o situaci, kdy zdroj
stále vysílá signály rychlostí u vůči ne-
hybnému okolí, ale je nyní v klidu a na-
opak pozorovatel se pohybuje rychlostí W,
která svírá se spojnicí zdroje a pozoro-
vatele úhel  (viz Obr. 21). V tomto pří-
padě je vlnová délka signálu uT delší
o průmět posuvu pozorovatele za jednu
periodu do směru spojnice bodů ZPt=0s.
Pro vlnovou délku tedy platí Odvození vztahu pro
Dopplerův jev v rámci
klasické mechaniky ­
pozorovatel se pohy-
buje vůči zdroji.
 = uT + WT cos 
a tomu odpovídá frekvence vysílaná zdrojem pro pozorovatele
fz =
u

=
1
T
1
1 + W
u cos 
.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 73 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
V případě klasické mechaniky je převrácená hodnota periody T rovna frek-
venci, kterou vnímá pozorovatel (T-1
= fP ). Bereme-li tento vztah do úvahy,
dostaneme z předchozí rovnice výraz pro frekvenci přijatou pozorovatelem,
který se pohybuje vůči zdroji, platný v rámci klasické mechaniky
fP = fZ 1 +
W
u
cos  . (34)
Pokud bychom tento případ chtěli brát jako párový k předchozí situaci, pak
je rychlost W co do velikosti stejně velká jako rychlost V , ale co do směru
opačná ( = -). Pokud tyto závěry dosadíme do předchozího vztahu (34),
dojde v něm pouze k záměně W za V a  za , jinak zůstane stejný.
Při výpočtu zatím nebyly brány do úvahy relativistické efekty, vztah je
tedy platný pro klasickou mechaniku.
Obr. 22: Christian
Doppler (1803-1853) ­
muž, který objevil kla-
sický posuv frekvencí
při relativním pohybu
pozorovatele a zdroje
Pokud se zdroj pohybuje směrem k pozorovateli, je
frekvence, kterou naměří pozorovatel, stejná jako frek-
vence, kterou vysílá zdroj, pro úhel  = 90
, tedy v oka-
mžiku, kdy se zdroj pohybuje po přímce a mezi ním a po-
zorovatelem je nejmenší možná vzdálenost. Tuto situ- Pro okamžik míjení se
frekvence nemění.aci zná čtenář dobře ze silničního provozu, kdy ve chvíli,
v níž jej míjí houkající či troubící vozidlo, je frekvence
zvuku stejná, jakou již slyšel u vozidel stojících. Stejný
výsledek platí i pro případ, kdy se pozorovatel pohybuje
vůči zdroji zvuku. Změna frekvence pro
přibližovánízhlediska
zdroje i pozorovatele
Pokud se však zdroj přibližuje k pozorovateli (re-
spektive pozorovatel ke zdroji), je podle vzorců (33) (re-
spektive (34)) frekvence naměřená pozorovatelem sice
v obou případech vyšší než klidová frekvence zdroje,
ale co do konkrétní číslené velikosti rozdílná
fP = fZ
1- V
u
fP = fZ 1 + V
u .
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 74 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obdobná situace nastává, pokud se zdroj a pozorovatel vzájemně vzdalují ­
zachycená frekvence je sice nižší než klidová frekvence zdroje, ale číselně je
v obou případech rozdílná. Popis Dopplerova jevu z hlediska zdroje a pozo-
rovatele při relativním pohybu v klasické mechanice tedy není zaměnitelný.
1.10.4. Dopplerův jev v teorii relativity
Pokud počítáme Dopplerův jev relativisticky, musíme uvažovat, že pozoro-
vatel, vůči němuž se zdroj zvuku pozoruje, vnímá dilataci periody zvuku,
určenou vztahem (25) (pokud se pohybuje pozorovatel vůči zdroji, dochází Změna frekvencí při
Dopplerově jevu při
uvážení relativistic-
kých efektů.
k dilataci pro zdroj). Protože frekvence je převrácenou hodnotou periody,
musí se při prodlužování periody frekvence zmenšovat, a to podle vztahu
f = f0 1 -
V 2
c2
, (35)
kde V je rychlost pohybu zdroje (pozorovatele) a f0 frekvence zvuku v jeho
vlastní vztažné soustavě. V souladu s touto úvahou musíme v rámci relati-
vistické mechaniky upravit vztahy (33) a (34). V prvním uvedeném případě Odvození vztahů pro
Dopplerův jev v rámci
relativistické mecha-
niky.
(pohyb zdroje vůči pozorovateli) se perioda T (s ní je přijímán signál, pokud
je zdroj i pozorovatel v klidu) dilatuje vůči periodě zdroje a frekvence zdroje
naměřená pozorovatelem se zkracuje podle vztahu vycházejícího z (33)
fP =
fZ 1 - V 2
c2
1 - V
u cos 
. (36)
Ve druhém případě (pohyb pozorovatele vůči zdroji) se perioda T dilatuje
vůči periodě naměřené pozorovatelem, a tedy se frekvence naměřená rela-
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 75 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
tivistickým pozorovatelem zvětšuje proti frekvenci naměřené klasickým po-
zorovatelem podle vztahu plynoucího z (34)
fP =
fZ 1 + V
u cos 
1 - V 2
c2
. (37)
Zastavme se na chvíli u vlastností vztahů (36) a (37). Pokud se zdroj
pohybuje kolmo k pozorovateli, nejsou nyní již frekvence zdroje a pozorova-
tele stejné, ale liší se podle toho, zda uvažujeme, že se zdroj pohybuje vůči
pozorovateli anebo pozorovatel vůči zdroji. Tyto výsledky Příčný Dopplerův jev
fP = fZ 1 - V 2
c2 fP = fZq
1- V 2
c2
jsou přímými důsledky existence dilatace času (25) a jev se často nazývá
příčným Dopplerovým jevem.
V případě klasického Dopplerova jevu jsme ukázali, že pro přibližující
se zdroj a pozorovatele vedou vzorce (33) a (34) sice v obou případech
k zvětšení frekvence zdroje, ale o rozdílnou číselnou hodnotu (matematicky
zdatnější čtenář si může ověřit, že shoda frekvencí nastává jen v prvním
přiblížení Taylorova rozvoje). Lze snadno ukázat, že stejná asymetrie přetr-
vává i pro relativistický Dopplerův jev, avšak s jedinou vyjímkou ­ ta nastává,
pokud je předávaný signál signálem světelným u = c. Pak ze vztahu (36) Relativistický Dopple-
rův jev pro světloplyne
fP =
fZ 1 - V 2
c2
1 - V
c
= fZ
1 - V
c 1 + V
c
1 - V
c
2
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 76 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
a ze vztahu (37) dostaneme
fP =
fZ 1 + V
c
1 - V 2
c2
= fZ
1 + V
c
2
1 - V
c 1 + V
c
.
V obou případech lze tyto vztahy upravit na stejný tvar, totiž na
fP = fZ
1 + V
c
1 - V
c
. (38)
Zamyslíme-li se nad tímto vztahem, vidíme, že stírá rozdíl mezi tím, když
se pozorovatel blíží ke zdroji a když se zdroj blíží k pozorovateli ­ nyní je
již situace zcela relativitní. Pro případ vzájemného přibližování se frekvence Dopplerův rudý po-
suvsignálu zachyceného pozorovatelem zvyšuje oproti frekvenci vydávané zdro-
jem, který by byl vůči pozorovateli v klidu. Naopak, pokud by se zdroj a po-
zorovatel vzájemně vzdalovali, frekvence zachycená pozorovatelem by byla
nižší než frekvence klidová (čtenář si snadno ověří výpočtem, že v takovém
případě by byly ve vztahu (38) přehozeny čitatel a jmenovatel)
fP = fZ
1 - V
c
1 + V
c
. (39)
V prvním případě odpovídá zvýšení frekvence zmenšení vlnové délky světla
( = cf) oproti klidové vlnové délce, kterou by naměřil nehybný pozorovatel
při pozorování nehybného zdroje. Pro případ vzdalování zdroje a pozorova-
tele dochází k snížení frekvence a tedy i k posuvu k vyšším vlnovým délkám
(do červeného konce spektra), takže se posuv nazývá rudý posuv. Tento
jev pomohl dokázat, že většina hvězd a galaxií se od naší Země vzdaluje,
a tak potvrdit hypotézu rozpínání vesmíru. Měření byla prováděna na vý-
razných spektrálních čarách ve spektru hvězd (hlavně čáry železa a vodíku,
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 77 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
např. H), které byly porovnány s analogickými čarami získanými v pozem-
ských podmínkách.
Dodejme ještě, že pro příklad aplikace Dopplerova jevu v optice nemu-
síme zkoumat spektra vzdálených hvězd, ale postačí i běžná spektra po-
zemských zdrojů. Dopplerův jev zde způsobuje rozšíření jednotlivých spekt-
rálních čar (v závislosti na rychlostech jednotlivých atomů). Protože rychlosti
pohybu vyzařujících atomů závisejí na teplotě a tlaku plynu ve výboji, umož-
ňuje Dopplerův jev určit i tyto charakteristiky zářícího plynu.
Skončeme poněkud neobvykle, a to s anglickým humorem. Podle ně-
kterých je to historka ze života, podle jiných pouze vtip: Anglický policista
zastavil řidiče, který projel křižovatku na červenou. Ř idič, povoláním fyzik,
začal policistu přesvědčovat, že křižovatku na červenou neprojel, protože
jel tak rychle, že červená na semaforu se mu jevila jako zelená. Policista Jak rychle by se musel
fyzik pohybovat, aby
viděl na semaforu ze-
lenou místo červené?
propustil fyzika bez pokuty s tím, že musí nejprve ověřit pravdivost jeho vý-
povědi. A skutečně ­ fyzik nedostal pokutu za projetí křižovatky na červenou,
ale za překročení povolené rychlosti. Nyní je pro čtenáře již snadné určit, jak
rychle by se musel fyzik pohybovat v případě, že mluvil pravdu. Výpočet je
proveden v 1.16.11.
Tak vy říkáte, že jste místo červené viděl na semaforu
zelenou? V tom případě mě nezajímá váš řidičský
průkaz, chci vidět pilotní licenci!
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 78 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.11. Paradox dvojčat
Vzorec (25) a další závěry na něm založené vyvolávaly velké množství dis-
kusí a námitek. Nešlo jen o neobvyklost závěru o závislosti chodu hodin na
rychlosti, ale zejména o zdánlivou rozpornost tohoto závěru v rámci samotné
teorie relativity. Hodiny A a B ukazují v okamžiku svého míjení stejný čas,
pozorovatel A zjišt'uje, že se zpožd'ují hodiny B, pozorovatel B zjišt'uje, že
se zpožd'ují hodiny A - jak může obojí platit zároveň? Zpožd'ování hodin se
přece musí zjišt'ovat na základě objektivního a jednoznačného porovnání
časových údajů.
Nedostatek uvedené úvahy je v tom, že zdánlivě neslučitelné výroky
jsou příliš kusé. Podrobněji lze říci, že zpoždění hodin B je registrováno na
hodinách synchronizovaných s hodinami A, jak s nimi hodiny B postupně
koincidují během pohybu. Zaměníme-li v tomto výroku B za A, dostaneme Různé formulace para-
doxu hodin (dvojčat)druhý, rovněž pravdivý výrok, který popisuje výsledek odlišného pozorování a
není tedy s prvním výrokem v rozporu. Pozorovatel B souhlasí s tím, že jeho
hodiny ukazují menší čas než hodiny, jež postupně potkává, vysvětluje si to
však tím, že tyto hodiny nejsou (vzhledem k jeho systému) synchronizovány.
Pokud A a B zůstávají v rovnoměrném přímočarém pohybu, nedojde k jejich
opětnému setkání a nebude tedy možno obě hlediska přímo srovnat, ke
sporu nedojde.
Nyní předpokládejme, že hodiny se znovu setkají. To znamená, že ale-
spoň jedny z nich se musely po nějakou dobu pohybovat neinerciálně. Necht'
např. pohyb hodin B byl v jistém okamžiku zabrzděn a urychlen v opačném
směru. Doba nerovnoměrnosti pohybu může být ovšem volena tak, že ji lze
zanedbat oproti době, po niž se hodiny pohybovaly rovnoměrně. Necht'tA, tB
jsou pořadě časy, které uplynou na hodinách A, B od jejich rozchodu do se-
tkání, a necht' rychlost, kterou se hodiny B hodinám A vzdalovaly a blížily,
má stejnou velikost V . Pak pozorovatel spojený s hodinami B může tvrdit,
že se mu touto rychlostí vzdalovaly a blížily hodiny A a použitím dilatačního
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 79 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
vzorce (25) dojde ke dvěma neslučitelným výsledkům
tA =
tB
1 - V 2
c2
, tB =
tA
1 - V 2
c2
. (40)
Chybou předešlé úvahy je to, že neoprávněně aplikujeme dilatační vztah,
odvozený pouze pro časové intervaly v inerciálních systémech, na systém
spojený s hodinami B, který po celou uvažovanou dobu inerciální není.
Pouze první ze vzorců (40) je tedy oprávněný. Vztah (25) můžeme použít
v systému spojeném s hodinami B jak v době jejich vzdalování, tak v době
jejich přibližování, nesmíme si však počínat tak, jako by šlo o jeden a týž
systém.
Abychom demonstrovali, že tím nedojde k žádnému rozporu, pozměňme
situaci tak, aby soustava spojená s hodinami B byla po celou dobu inerciální.
Budeme předpokládat, že hodiny B se nevracejí, ale potkávají po určité době
třetí hodiny C, které se pohybují rovnoměrně a přímočaře rychlostí o velikosti
V k hodinám A. V okamžiku setkání B a C necht' je na nich stejný časový
údaj tB/2. Jak dopadne porovnání údajů tA a tC při jejich setkání? Z hlediska
systému A je ihned patrno, že platí
tA =
tC
1 - V 2
c2
. (41)
Z hlediska systému spojeného s hodinami B vypadá situace takto: Hodiny A
se vzdalují od B rychlostí V a v čase tB/2 jsou hodiny B míjeny hodinami C,
blížícími se k hodinám A rychlostí, která by podle klasického zákona skládání
rychlostí (15) měla velikost U = 2V . Podle relativistického zákona (13) však
pro ni platí
U =
2V
1 + V 2
c2
. (42)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 80 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Hodiny A a C se setkají v čase t (měřeném od rozchodu A a B v soustavě
spojené s hodinami B), pro který platí
V t = U t -
tB
2
,
odkud plyne
t =
tB
1 - V 2
c2
. (43)
Na hodinách A vzhledem k dilataci času uběhne do setkání A a C doba
tA = t 1 -
V 2
c2
=
tB
1 - V 2
c2
,
zatímco na hodinách C bude
tC =
tB
2
+ t -
tB
2
1 -
U2
c2
= tB,
jak si snadno ověříme dosazením (42) a (43). To znamená, že dospíváme
opět ke vztahu (41). Tento výsledek bylo možno s jistotou předvídat.
Speciální teorie relativity se nemusí vyhýbat problému ani v jeho původní
formulaci. Omezení na inerciální soustavy neznamená, že bychom v jejich
rámci nemohli studovat zrychlený pohyb hodin. Zapíšeme-li vzorec (25) ve
tvaru

t
= 1 -
V 2
c2
a provedeme limitu t  0, dostaneme nalevo derivaci, takže platí
d
dt
= 1 -
V 2
c2
. (44)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 81 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Je přirozené přijmout hypotézu, že vzorec (44) zůstává platný i v případě,
že se hodiny ukazující čas  nepohybují konstantní rychlostí. Je-li závislost Ideální hodiny a jejich
vlastní časrychlosti hodin na čase v jisté inerciální soustavě dána funkcí V (t), pak tyto
hodiny ukáží změnu vlastního času
 =
2
1
d =
t2
t1
1 -
V (t)2
c2
dt. (45)
Hypotetické hodiny, pro něž vztah (45) platí přesně, nazýváme ideálními ho-
dinami. Chod ideálních hodin tedy nezávisí na jejich zrychlení. Skutečné
hodiny ovšem v závislosti na své konstrukci jeví odchylky od ideálnosti (od
malých korekcí až po úplnou destrukci). Je znám teoretický model ideálních
hodin založený na trvalé výměně světelných signálů mezi dvěma pozoro-
vateli, jejichž vzdálenosti se nemění (viz konec textu 1.3.3). V praxi však
můžeme předpokládat, že velmi dokonalou realizací ideálních hodin jsou
atomy vysílající záření o přesně definovaných frekvencích. V pevných lát-
kách za běžných teplot mají kmitající atomy zrychlení až 104
g (g je gravitační
zrychlení na povrchu Země), aniž to má jakýkoliv vliv na frekvence vysílané
jejich jádry, jak to potvrzuje pozorování Mo¨sbauerova jevu. Totéž pozorování
potvrzuje závislost frekvence na teplotě, která přesně odpovídá dilataci času
působené růstem střední rychlosti atomů s teplotou. Pro atomové hodiny
můžeme proto vztahu (45) užívat prakticky bez omezení. To znamená, že
u hodin, které jsou na počátku a na konci děje v témže místě inerciálního
systému, můžeme vypočítat jejich zpoždění i v případě křivočarých a zrychle-
ných pohybů. Pokud jsou však neinerciální fáze pohybů zanedbatelně krátké
oproti inerciálním, můžeme oprávněně zanedbat i jejich vliv v integrálu (45).
Poněvadž popis z hlediska kterékoliv inerciální soustavy podává úplnou
informaci o daném ději, není užití neinerciální soustavy spojené s hodinami
B nezbytné. Ovšem i takovýto popis je možný a lze jej podat v rámci teorie
neinerciálních systémů. Zpravidla se tak děje v rámci výkladu obecné teorie
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 82 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
relativity.
Existuje i málo známý, ale podle našeho názoru velmi přesvědčivý výklad
paradoxu hodin založený na využití Dopplerova jevu. Vznik časového roz-
dílu mezi ,,peciválem" a ,,poutníkem" můžeme sledovat přímo na obrazovce,
kde je ukázáno, jak probíhá děj v peciválově soustavě, v níž údaj pout-
níkových hodin podléhá dilataci, jež se projevuje méně častým vysíláním
vlnoploch. Nás však bude především zajímat, co oba přímo vidí, pozorují-li
svého kolegu. Při vhodně nastavené rychlosti si můžeme sledováním vlno- Souvislost paradoxu
dvojčat a Dopplerova
jevu
Spustit animaciSpustit animaci
ploch přímo napočítat, že pozorování jsou symetrická - každému se zdá, že
při vzdalování kolega stárne pomaleji podle stejného vztahu, a to v důsledku
relativistického Dopplerova jevu 1.10.4, který zahrnuje nejen dilataci času,
ale i přímý vliv vzdalování. Je to právě dilatace času, která jev symetrizuje.
Obdobně je tomu při přibližování, kdy však ,,obyčejná" složka Dopplerova
jevu převáží nad dilatací a každý proto vidí kolegu stárnout rychleji.
Odkud se potom bere asymetrie výsledku srovnání údajů hodin po pout-
níkově návratu, jak nám ji sděluje počítadlo průchodů vlnoploch? Není těžké
na to odpovědět. Pro poutníka dochází ke změně pozorované frekvence
(záměně rudého posuvu za modrý) v polovině jeho cesty, když obrátí směr
pohybu své rakety. Naproti tomu pro pecivála je doba pozorování rudého
posuvu delší než doba pozorování modrého posuvu, a to tím více, čím více
se blíží poutníkova rychlost rychlosti světla. Pohybuje-li se poutník téměř
světelnou rychlostí, uvidí ho pecivál zapínat motory a obrácet tak směr letu
až ve chvíli, kdy už je poutník skoro doma.
Můžeme si potvrdit výpočtem, že výsledek je ve shodě se vzorcem pro
dilataci času (25). Označme LA vzdálenost Země, na níž zůstal pecivál, od
hvězdy, k níž se vydal poutník (v peciválově vztažné soustavě). Pak pecivál
pozoruje rudý posuv po dobu LA
V + LA
c a modrý posuv po dobu LA
V - LA
c .
S uvážením vztahů (38) a (39) pro relativistický Dopplerův jev dostáváme,
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 83 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
že čas, kterou pecivál uvidí na poutníkových hodinách po jeho návratu, bude
tB =
LA
V
+
LA
c
1 - V
c
1 + V
c
+
LA
V
-
LA
c
1 + V
c
1 - V
c
.
Protože však tA = 2LA
V , výpočet dává
tB = 1 -
V 2
c2
tA,
jak jsme očekávali.
Poutník pozoruje rudý i modrý posuv po stejnou dobu. Před začátkem
i na konci obratu (který probíhá po zanedbatelně krátkou dobu), je pro něho
v důsledku kontrakce délky Země vzdálena o LB = LA 1 - V 2
c2 . Po návratu
na Zemi tedy uvidí na peciválových hodinách čas
tA =
LB
V
1 - V
c
1 + V
c
+
1 + V
c
1 - V
c
.
Protože však tB = 2LB
V , dostáváme znovu týž vztah mezi časy pecivála
a poutníka.
V literatuře se často mluví o paradoxu dvojčat v souvislosti s představou
kosmického letu s návratem, po němž se cestující dvojče bude věkem lišit
od dvojčete, jež zůstalo ,,doma", tj. v klidu vůči soustavě, která je prakticky
inerciální. Zde bývá vznášena otázka, zda i biologický čas životních pochodů Spustit animaciSpustit animaci
se nutně řídí vzorcem (25). Je nepochybné, že biologické jevy probíhají
v souladu s principy speciální teorie relativity a časová data s nimi spojená
musejí podléhat dilataci času. Při posuzování vlivu kosmického letu na lidský
organismus však by bylo třeba uvážit i faktory, jimiž se situace kosmonauta
nutně liší od situace pozemské (stavy beztíže či přetížení, úroveň záření
apod.) a které mohou mít vliv na biologické pochody.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 84 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.12. Energie a impuls částice v STR
Tato a následující podkapitola se budou zabývat vybudováním základů rela-
tivistické dynamiky. Ukážeme si, že cenou za udržení platnosti zákona za-
chování hybnosti při přechodu k jiné inerciální soustavě byla změna klasické
představy o neměnnosti hmotnosti. Podrobně se budeme věnovat i odvození
snad nejslavnějšího vztahu speciální teorie relativity ­ vztahu, který udává
ekvivalenci hmotnosti a energie. Toto odvození provedeme jak pomocí inte-
grálního počtu, tak i bez jeho užití ­ v tomto případě předáme slovo přímo
Albertu Einsteinovi a použijeme jím vytvořený postup.
1.12.1. Relativistická hybnost a hmotnost
Obr. 23: Albert Einstein
v roce 1905, kdy obje-
vil vztah pro ekvivalenci
hmotnosti a energie
EINSTEIN NA DÁ LNICI
Emil Calda [14]
Pravím ženě na dálnici
řídě Trabanta,
hmotnost tvého organismu
není konstanta,
čím větší rychlostí se ted'
řítíme,
tím podle Einsteina více
vážíme.
Rychle zastav
- ženě blednou líce -
nebo o pár kilo
zas budu mít více!
Jedním z postulátů, na němž je budována speciální teorie relativity, je
platnost stejných fyzikálních zákonů ve všech inerciálních soustavách. Vez-
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 85 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
měme si jako příklad hybnost p, definovanou v klasické mechanice jako
součin hmotnosti m a rychlosti v tělesa, čili
p = mv (46)
a zákon jejího zachování Hybnost a zákon jejího
zachování
N
i=1
mivi =
R
j=1
mjvj (47)
K
x
y
z
O
K´K´
x´x´
ýý
z´z´
O'O'
Před srážkou
Po srážce
mm

mm

mm

mm

v'v' v'v'
v'v'
K
x
y
z
O
K´K´
x´x´
ýý
z´z´
O'O'
Obr. 24: Nepružný ráz těles, popis
v inerciálních soustavách K a K
(symbol sumy značí sčítání hybností všech
těles před srážkou a po srážce, obecně jsou
počty těles N a R různé, protože při srážce
může dojít ke spojení několika částic anebo
k rozdělení částice na více částic). Platí-li
tedy zákon zachování hybnosti v libovolné
inerciální soustavě, pak by měl podle postu-
látu speciální teorie relativity platit i v které-
koliv další takové soustavě.
Uvažujme tedy o nepružném rázu, který
probíhá v soustavě K . V této soustavě se
proti sobě pohybují tělesa o hmotnostech
m1 a m2 rychlostmi v1 a v2. Po srážce se Nepružný ráz ve spe-
ciální teorii relativitytělesa spojí a vzniklé těleso o hmotnosti
m1 + m2 se bude pohybovat rychlostí v
(viz Obr. 24). Při této srážce platí zákon
zachování hybnosti, který říká, že celková
hybnost soustavy před srážkou (tedy m1v1+
m2v2) je rovna celkové hybnosti po srážce (což je (m1 +m2)v ). Tento zákon
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 86 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
zachování by měl být platný i v inerciální soustavě K, vůči které se pohy-
buje inerciální soustava K rychlostí V (opět viz Obr. 24), pouze čárkované
rychlosti by měly být nahrazeny nečárkovanými
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v.
Rychlosti čárkované a nečárkované by měly být spojeny vztahem pro sklá-
dání rychlostí (13) plynoucím z Lorentzovy transformace (jedná se o první
z uvedených vztahů, protože rychlosti mají nenulové složky pouze ve směru
osy x). Dosazením těchto transformovaných rychlostí do zákona zachování
hybnosti však zjistíme, že zákon zachování hybnosti v předpokládané po-
době neplatí! Ukažme to na konkrétním případě. Necht' mají obě částice
stejnou hmotnost (m1 = m2) a pohybují se proti sobě rychlostmi stejné veli-
kosti v soustavě K podél osy x . (v1 = u, v2 = -u). Pak výsledná rychlost
v po nepružné srážce v soustavě K musí být vzhledem k symetrii nulová,
a tedy přepočtem do soustavy K podle vztahů (13) musí být v = V. Pokud
však dosadíme rychlosti před srážkou v soustavě K do levé strany zákona
zachování hybnosti, dostaneme
m1v1+m2v2 = m1
u + V
1 + uV
c2
+m1
-u + V
1 - uV
c2
= 2V m1
1 - uV
c2
1 - u2V 2
c4
= m1
2V
1 + uV
c2
,
což je ve sporu s očekáváním. Jak tedy splnit požadavek neporušitelnosti zá-
kona zachování hybnosti při Lorentzově transformaci? Chceme-li zachovat
výraz (46) pro hybnost, nezbývá než předpokládat, že hmotnost (jak nazna-
čuje motto k tomuto textu) není konstantní, ale závislá na velikosti rychlosti,
kterou se těleso pohybuje. Ze zákona zachování hybnosti pak dostaneme
m1
m2
=
V - v2
v1 - V
=
1 + uV
c2
1 - uV
c2
.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 87 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Pokud použijeme platnosti identity
1 -
v2
c2
=
1 - V 2
c2 1 - v 2
c2
1 +
vxV
c2
2 (48)
(čtenář si tento vztah může odvodit, bude-li počítat transformační vztah pro
1 - v2
c2 , kde symbolem v je označena velikost rychlosti částice o hmotnosti
m; výpočet lze najít v 1.16.12), dostaneme
m1
m2
=
1 -
v2
2
c2
1 -
v2
1
c2
.
Použijeme-li tedy předpoklad, že hmotnost m tělesa pohybujícího se rych-
lostí o velikosti v vzroste oproti hmotnosti m0 téhož tělesa v klidu (m0 je tedy
takzvaná klidová hmotnost) podle vztahu Hmotnost a klidová
hmotnost ve speciální
teorii relativitym =
m0
1 - v2
c2
, (49)
je vyřešen nejen rozpor v případě srážky dvou stejných částic, ale zůstává
v platnosti i obecný zákon zachování hybnosti (47) (pokud si chce čtenář
tento fakt ověřit, bude pro něj podstatně jednodušší počkat, až dokáže plat-
nost vztahu (57), pravdivost vztahů (47) a (56) bude pak vidět ,,na první
pohled"). Hmotnost pohybujícího se tělesa tedy pro v  c roste k ne-
konečnu, ale jak lze ověřit například nahlédnutím do grafu v 1.16.13, pro
běžné podsvětelné rychlosti je tato změna těžko pozorovatelná. Obdobně Hybnost ve speciální
teorii relativityroste nade všechny meze i hybnost, pro kterou můžeme ponechat klasickou
definici (46), ale je potřeba si uvědomit, že hmotnost m závisí na rychlosti
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 88 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
pohybu částice ve smyslu posledního uvedeného vzorce, čili
p = mv =
m0v
1 - v2
c2
. (50)
Ještě je potřebné poznamenat, že klidová hmotnost ­ jediná hmotnost,
s níž pracovala klasická mechanika ­ podle teorie relativity obecně zákon
zachování nesplňuje. Pokud při srážce dojde ke spojení těles, je výsledná Hmotnostní defekt
klidová hmotnost takto vzniklého tělesa větší než součet klidových hmotností
těles, která se srazila. Podrobnosti rozebereme v 1.15.3, kde provedeme
i energiovou bilanci srážky částic či rozpadu částice.
1.12.2. Relativistická energie ­ klidová, pohybová a celková
,,Jestliže každý gram látky obsahuje tak ohromnou energii, proč to zůstalo tak dlouho
nepovšimnuto? Odpověd' je dosti jednoduchá: pokud se žádná energie nevydává
navenek, nemůže být pozorována. Je to jako kdyby člověk, který je pohádkově bohatý,
nikdy neutratil ani nevynaložil jediný cent; nikdo by nemohl říci, jak je bohatý."
Albert Einstein, 1947, [33]
V této podkapitole zaved'me do speciální teorie relativity definice jednotli-
vých typů energií pohybujícího se tělesa. Jedna z možností je použít vztahy
pro sílu a změnu kinetické energie, které lze bez větších problémů převzít
z klasické mechaniky. Pokud je však čtenáři výpočet s použitím derivování
nepříjemný, necht'si pouze prohlédne odvozené výsledky a vztah pro souvis-
lost energie a hmotnosti necht' si zkusí odvodit v následujícím textu 1.12.3. Vztahy, které lze do re-
lativistické dynamiky
převzít z klasické me-
chaniky
Aby bylo možné ve speciální teorii relativity řešit i úlohy z relativistické
dynamiky, bylo by vhodné mít zde zavedené i pohybové rovnice. O těchto
rovnicích budeme sice ještě hovořit samostatně v 1.13, ale na tomto místě již
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 89 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
můžeme prohlásit, že za použití relativistické definice hybnosti (50) můžeme
převzít z klasické mechaniky bez úprav zápis pohybových rovnic ve tvaru
F =
dp
dt
(51)
čili že síla F je rovna časové změně hybnosti p. Z klasické dynamiky pře-
vezměme také vztah pro přírustek kinetické energie Ek vlivem síly (vlastně
jde o jeden ze vztahů, s jejichž pomocí lze spočítat výkon působící síly)
dEk
dt
= Fv. (52)
Tuto rovnici je možné upravit pomocípředchozího vztahu (51) a vztahu (50)
do tvaru
dEk
dt
=
dp
dt
v = m0
d
dt

 v
1 - v2
c2

 v.
Zderivujme výraz v závorce a pak proved'me integraci obou stran rovnosti Odvození vztahu pro
kinetickou energii tě-
lesa
podle času. Dostaneme
dEk
dt
=
m0v
1 - v2
c2
3
2
dv
dt
 Ek = m0
vdv
1 - v2
c2
3
2
.
Integrál zřejmě nezávisí na integrační cestě v prostoru rychlostí, a proto
můžeme místo vdv psát vdv. Pro integraci výrazu na pravé straně rovnosti
použijeme substituci 1 - v2
c2 = a2
a dostaneme
Ek =
m0c2
1 - v2
c2
+ b.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 90 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Zbývá ještě stanovit hodnotu konstanty b. Tu zvolme tak, aby kinetická
energie v prvním přiblížení (rozvoj podle v2
c2 ) byla rovna klasické kinetické
energii Ek = 1
2 m0v2
. Protože rozvoj je tvaru
Ek = m0c2
+
1
2
m0v2
+
3
8
m0
v4
c2
+ . . . + b,
zvolme za konstantu b výraz -m0c2
. Kinetická energie tělesa o klidové hmot-
nosti m0, která se pohybuje rychlostí v, je tedy dána vztahem
Ek = m0c2

 1
1 - v2
c2
- 1

 (53)
a pro rychlosti mnohem menší než je rychlost světla splývá toto vyjádření pro
kinetickou energii se vztahem známým z klasické mechaniky. V předchozím
textu jsme upozornili na skutečnost, že klidová hmotnost částice vzniklé
srážkou dvou částic je větší než součet klidových hmotností těchto částic.
Tuto zdánlivou ,,nesrovnalost" lze objasnit tak, že kinetická energie částic
před srážkou se přeměnila na vnitřní energii spojené částice, což se projevilo
jako přírustek hmotnosti této částice. (Albert Einstein při svém elementárním
odvození ekvivalence energie a hmotnosti 1.12.3 popisuje obdobnou situaci,
pouze nechá narazit do hmotného tělesa dva fotony). Považujeme-li tuto Klidová energie tělesa
ve speciální teorii rela-
tivity
změnu za projev univerzálního zákona, můžeme klidovou energii tělesa spojit
s klidovou hmotností vztahem
E0 = m0c2
. (54)
Součet klidové a kinetické energie tělesa, daný (jak plyne ze vztahů (53)
a (54)) vztahem Zákon ekvivalence
energie a hmotnosti
ve speciální teorii
relativity
E = E0 + Ek =
m0c2
1 - v2
c2
= mc2
(55)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 91 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
nazveme pak celkovou energií tělesa. Tento vztah, patrně jeden z nejslavněj-
ších fyzikálních vztahů, pak vyjadřuje zákon ekvivalence hmotnosti a energie.
Dodejme ještě, že vztah Zákon zachování ener-
gie.
N
i=1
Ei =
R
j=1
Ej (56)
vyjadřuje zákon zachování energie. V tomto tvaru jej lze například uplatnit spolu
se zákonem zachování hybnosti (47) k řešení srážek částic (tato problema-
tika bude podrobně diskutována v 1.15).
1.12.3. Elementární odvození ekvivalence hmotnosti a energie (podle Al-
berta Einsteina)
Obr. 25: Nejvýznamnější fyzi-
kální vztah?
E=mc2
Emil Calda [14]
Albertovi, ač je slavný
borec,
sdělit musím co nevidět
s lítostí,
že neplatí jeho známý
vzorec
pro souvislost energie
s hmotností.
Má žena má totiž v sobě
ukrytou
energii aspoň em cé
na čtvrtou!
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 92 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Odvození zákona ekvivalence hmotnosti a energie, provedené v 1.12.2
je sice rigorózní, ale vyžaduje od čtenáře určité znalosti matematického
aparátu. Pro ty, kdož tyto znalosti nemají, a přece by chtěli vědět, jak získat
uvedený vztah, bylo sepsáno odvození následující. Jeho autorem je sám
Albert Einstein a publikoval jej v knize [33] v roce 1947. Předejme tedy slovo
přímo Einsteinovi:
,,Následující odvození zákona ekvivalence, které nebylo dosud publikováno, má
dvě přednosti. Ačkoliv využívá principu speciální relativity, nepředpokládá formální
aparát teorie, ale užívá pouze tří dříve známých zákonů: Předpoklady potřebné
pro odvození ekvi-
valence hmotnosti
a energie
1. zákona zachování hybnosti (47)
2. výrazu pro tlak záření; to jest pro hybnost komplexu záření pohybujícího se
v zadaném směru (jde o vztah (118) mezi energií a hybností fotonu, který
bude odvozen v následujícím textu 1.14.5)
3. dobře známého výrazu pro aberaci světla (27).
K
x
z
x'
z'
K'
BB
S S'
Obr. 26: Pohyb systémů K a K vůči sobě
Nejprve uvažujme o následujícím
systému. Necht' těleso B spočívá volně Dopad dvou fotonů na
těleso B v soustavě Kvprostoruvzhledemksouřadnicové sou-
stavě K . Dva komplexy záření S a S ,
každý o energii E
2 , se pohybují v klad-
ném a záporném směru osy x a jsou
zároveň absorbovány tělesem B. Touto
absorpcí vzroste energie tělesa B o hod-
notuE.TělesoBzůstává vzhledemksou-
řadnicové soustavě K z důvodů syme-
trie v klidu.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 93 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
EE
2c2c
EE
2c2c
Obr. 27: Pohyb kvant světla v soustavě K
Dále uvažujeme týž proces vzhle-
dem k souřadnicové soustavě K, která
se pohybuje vzhledem k souřadnicové
soustavě K konstatní rychlostí v v zá-
porném směru osy z . Vzhledem k sou- Dopad dvou fotonů na
těleso B v soustavě Křadnicové soustavě K je popis procesu
následující:
x
z
BB SS S'S'
Obr. 28: Popis z hlediska soustavy K
TělesoBsepohybujevkladnémsměru
osy z rychlostí v. Oba komplexy zá-
řenímajínynívzhledem k souřadnicové
soustavě K směry, které svírají úhel 
s osou x. Zákon aberace říká, že v první
aproximaci platí  = v
c , kde c je rych-
lost světla. Z úvahy provedené vzhle-
dem k souřadnicové soustavě K víme,
že rychlost v tělesa B se absorpcí kom-
plexů záření S a S nezmění. Výpočet hybnosti sou-
stavy částic v K před
a po srážce
Nyníužijemezákonazachováníhyb-
nosti našeho systému v souřadnicové
soustavě K vzhledem ke směru osy z.
1. Před absorpcí necht'má těleso B hmotnost M; Mv je pak výraz pro hybnost
tělesa B (podle klasické mechaniky). Každý z komplexů záření má energii E
2 ,
a tudíž podle dobře známého závěru Maxwellovy teorie má hybnost E
2c . Přesně
řečeno je to hybnost komplexu záření S vzhledem k souřadnicové soustavě K .
Avšak je-li v malé ve srovnání s c, je hybnost vzhledem k souřadnicové sou-
stavě K táž až na malou veličinu druhého řádu (v2
c2 je malé ve srovnání s 1).
Složka této hybnosti ve směru osy z je E
2c sin , čili s dostatečnou přesností
(až na malé veličiny vyššího řádu) E
2c  neboli E
2
v
c2 . Komplexy záření S a S
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 94 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
mají tudíž dohromady hybnost E v
c2 ve směru osy z. Celková hybnost systému
před absorpcí je tudíž
Mv +
E
c2
v.
2. Po absorpci necht'má těleso B hmotnost M .
 
V
Obr. 29: Popis z hlediska soustavy K ­ změna
směru pohybu fotonů
Předpokládámezdemožnost,žehmot-
nost se zvýší absorpcí energie E
(to je nutné proto, aby byl konečný
výsledek naší úvahy konzistentní).
Hybnost systému po absorpci je tu-
díž M v. Odvození vztahu pro
ekvivalenci hmotnosti
a energie
Nyní předpokládejme platnost zá-
kona zachování hybnosti a apliku-
jeme jej vzhledem ke směru osy z.
To dává rovnici
Mv +
E
c2
v = M v
čili
M - M =
E
c2
.
Tato rovnice vyjadřuje zákon ekvivalence energie a hmotnosti. Vzrůst energie
o hodnotu E je spojen se vzrůstem hmotnosti o hodnotu E
c2 . Protože energie je
podleobvyklé definiceurčenaaž na aditivníkonstantu,můžemetutokonstantu
volit tak, že platí
E = mc2
.
Tím je dokázána ekvivalence mezi hmotností a energií. "
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 95 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.12.4. Některé vlastnosti relativistické energie a hybnosti
Velmi jednoduše (použitím vztahů (50) a (55)) se dá ukázat, že celková ener-
gie a hybnost částice jsou vzájemně spojeny a platí vztah (117), který vlastně
udává velikost čtyřvektoru energie-impulsu. Tento vztah bude podrobně dis-
kutován v textu 1.14.5.
Na tomto místě ještě uved'me vztahy, podle nichž se transformuje energie
a hybnost při přechodu k jiné inerciální soustavě souřadnic. Jak lze ukázat Chování energie
a hybnosti při Lorent-
zově transformaci
(viz 1.16.14, zkušenější čtenář dokáže provést výpočet sám pomocí vztahů
pro skládání rychlostí (13) a vztahu (48)), jsou tyto transformační vztahy
tvaru
px =
(px- V E
c2 )q
1- V 2
c2
py = py pz = pz E = (E-V px)
q
1- V 2
c2
. (57)
Vidíme, že se čtveřice veličin E
c , px, py, pz transformuje analogicky čtveřici
veličin ct, x, y, z. Jak ukážeme v 1.14.5, není to podobnost náhodná, v obou
případech se jedná o matematické objekty řídící se stejnými matematickými
zákony ­ čtyřvektory. Energie dělená velikostí rychlosti světla a hybnost pak
tvoří čtyřvektor energie-hybnosti.
Vztahy (57) platí také pro úhrnnou hybnost souborů částic, takže zákony
zachování úhrnné hybnosti (47) a úhrnné celkové energie (56) jsou také
invariantní vůči Lorentzově transformaci. Znamená to, že tyto zákony mů-
žeme s úspěchem používat pro řešení srážek částic, kterému se budeme
věnovat v 1.15.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 96 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.13. Pohybové rovnice
V této podkapitole se budeme věnovat odvození pohybových rovnic pro spe-
ciální teorii relativity. Tyto rovnice porovnáme s rovnicemi, které se nejčastěji
používají v klasické mechanice a na konkrétních případech zdůvodníme,
proč je potřeba používat pohybové rovnice s relativistickými korekcemi.
1.13.1. Tvar pohybových rovnic ­ srovnání s pohybovými rovnicemi
v klasické mechanice
V klasické mechanice se nejčastěji používá pro dynamický popis pohybu
hmotného bodu vztah
F = ma, (58)
kde m je hmotnost hmotného bodu, a jeho zrychlení a F výslednice sil pů-
sobících na hmotný bod (stejný vztah lze používat jako pohybovou rovnici
i pro těleso, pokud nekoná rotační pohyb, pokud jej koná, pak je třeba přidat
i druhou impulsovou větu). Již v klasické mechanice je však patrná omeze-
nost tohoto vztahu na situace, kdy se nemění hmotnost tělesa. Pokud je tedy
hmotnost konstatní, je uvedený vztah (58) přímým důsledkem (51). Pokud Použitelnost obou
možných tvarů po-
hybových rovnic
v klasické mechanice
a v teorii relativity.
je však hmotnost proměnná (at' již v klasické mechanice anebo ve speciální
teorii relativity, kde roste hmotnost tělesa podle vztahu (49)), musíme k výpo-
čtům používat obecnější vztah (51), který spojuje silové působení s časovou
změnou hybnosti tělesa. Pokud však chceme (pro snazší výpočet rychlosti
a dráhy pohybujícího se tělesa) mít spojenu výslednici působících sil se
zrychlením tělesa, musíme vztah (51) upravit:
m
dv
dt
+
dm
dt
v = F
m
dv
dt
= F -
1
c2
dE
dt
v,
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 97 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
kde jsme využili ekvivalence energie a hmotnosti danou vztahem (55). Dále
pro úpravu tohoto členu rovnice použijme vztahu (52) ­ kinetickou energii
můžeme v tomto vztahu nahradit energií celkovou, protože celková energie
se liší od energie kinetické o energii klidovou, která nezávisí na čase, a tedy
její časová derivace je nulová. Pokud si navíc uvědomíme, že zrychlení
tělesa je časovou derivací rychlosti a hmotnost m souvisí s klidovou hmot-
ností vztahem (49), dostáváme definitivní tvar pohybové rovnice, vhodný pro
výpočty konkrétních pohybů těles: Tvar pohybových rov-
nic vhodný pro určení
trajektorie tělesa.
m0
1 - v2
c2
dv
dt
= F -
1
c2
Fv v. (59)
Jak je vidět, je tento tvar pohybových rovnic složitější než tvar klasický.
V inerciální soustavě, ve které má částice v daném okamžiku (nikoli stále)
rychlost v = 0, tj. v okamžité klidové soustavě, však platí m0a = ma = F,
tj. vztah klasické mechaniky zde zůstává v platnosti. Vztah ma = F platí
rovněž v případě, že síla je kolmá na rychlost, tj. Fv = 0.
Dodejme ještě, že při přechodu k jiné inerciální soustavě se síla transfor-
muje podle vztahů
Fx = Fx - V
1- vxV
c2
vyFy+vzFz
c2 Fy =
Fy
q
1- V 2
c2
1- vxV
c2
Fz =
Fz
q
1- V 2
c2
1- vxV
c2
. (60)
Tento transformační zákon si může zkušenější čtenář odvodit ze vztahu pro
sílu (51) transformováním jednotlivých složek hybnosti. Dovedeme-li tedy
určit sílu v okamžité klidové soustavě, můžeme najít její obecné vyjádření
podle transformačních vztahů (60).
Jak vidíme z předchozího vztahu, na rozdíl od klasické mechaniky není
síla stejná ve všech inerciálních soustavách a navíc ani rovnost sil není
faktem invariantním vůči Lorentzově transformaci. Nemůže tedy platit zákon
akce a reakce v podobě známé z Newtonovy mechaniky.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 98 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.13.2. Pohybové rovnice pro těleso pohybující se působením konstantní
síly
Nejprostším příkladem pohybu pod vlivem síly je případ, kdy síla má směr
pohybu částice, přičemž v okamžitém klidovém systému částice je velikost
síly v kterémkoli čase stejná. Podle (59) zůstává pak konstantní i zrychlení
vzhledem k okamžité klidové soustavě, které je pro pozorovatele spojeného
s tělesem mírou neinerciality jeho pohybu. Daný pohyb proto můžeme na-
zývat rovnoměrně zrychleným pohybem ve speciální teorii relativity (třebaže
zrychlení vzhledem k pevnému inerciálnímu systému při něm konstantní
není).
Doufáme, že čtenáře neodradí, že při výpočtu bude třeba provést ně-
kolikerou integraci. Pokud tedy nebude schopen výpočet po matematické
stránce sledovat, necht' si prohlédne alespoň výsledky a diskuzi kolem nich.
Volme počáteční podmínky tak, že v jisté inerciální soustavě v čase
t = 0 je částice v bodě x = 0 s nulovou rychlostí a síla má směr osy x,
tj. F = (F, 0, 0). Nejprve určíme vektor síly vzhledem k této pevně dané
inerciální soustavě. Transformační vztah (60) dává, že tato síla je i během
pohybu rovna síle v okamžité klidové soustavě. Zůstává proto během pohybu
konstantní. Těleso se bude pohybovat podél osy x, po celou dobu pohybu
tedy platí v = (v, 0, 0). Dosazením do pohybových rovnic (59) dostaneme
pro jedinou nenulovou složku zrychlení a = (a, 0, 0) výraz
m0a
1 - v2
c2
= F -
1
c2
Fv2
.
Označíme-li si g = F
m0
a uvědomíme-li si, že a = dv
dt , můžeme po několika
úpravách získat
dv
1 - v2
c2
3
2
= gdt.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 99 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Po provedení integrace (substituce v
c = sin u) dostaneme vztah
v
1 - v2
c2
= gt,
odkud pro rychlost plyne vyjádření Odvození vztahu pro
rychlost
v =
gt
1 + g2t2
c2
.
Pro gt c (dostatečně krátký čas pohybu, kdy je rychlost ještě malá ve
srovnání s rychlostí světla) splývá toto vyjádření v prvním přiblížení Ta-
ylorova rozvoje se vztahem pro rychlost rovnoměrně zrychlujícího tělesa,
známým z klasické mechaniky. V klasické mechanice není rychlost, kterou
může těleso nabýt při pohybu pod vlivem konstantní síly, nijak omezena.
To znamená, že pohybuje-li se těleso dostatečně dlouho, může dosáhnout
i překročit rychlost světla. V teorii relativity je podle předchozího vztahu tento Nepřekročitelnost
rychlosti světla při
pohybu pod vlivem
konstantní síly.
jev vyloučen ­ pro t   platí pro rychlost v  c, tedy rychlost tělesa se
rychlosti světla pouze blíží, ale nemůže jí dosáhnout.
Pokud použijime vztah pro souvislost polohy a rychlosti v = vx = dx
dt
a dosadíme jej do předchozí rovnice, dostaneme vyjádření pro závislost
polohy na čase
dx =
gtdt
1 + g2t2
c2
.
Integrací a uvážením počáteční podmínky (t = 0, x = 0) dostaneme výsle- Vztah pro trajektorii
rovnoměrně zrychlují-
cího tělesa a jeho kla-
sická limita.
dek
x =
c2
g
1 +
g2t2
c2
- 1
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 100 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
anebo po úpravě
x +
c2
g
2
- c2
t2
=
c4
g2
.
Z první rovnice vyplývá, že pokud uvažujeme pouze první dva členy rozvoje
odmocniny, získáme klasický vztah pro dráhu tělesa urychlovaného stálou
silou x = 1
2 gt2
. Tato závislost dráhy na čase je parabolická, zatímco závislost
ve speciální teorii relativity je podle poslední rovnice hyperbolická, proto
někdy mluvíme o hyperbolickém pohybu.
1.13.3. Pohybové rovnice pro nabitou částici v homogenním magnetic-
kém poli
Uvažujme o částici o klidové hmotnosti m0 a elementárním náboji e, která
se pohybuje rychlostí v = (vx, vy, vz) v magnetickém poli o indukci B =
(0, 0, B) . Našim cílem je určit jednak trajektorii částice, jednak mezní rych-
lost, kterou se může tato částice pohybovat. Abychom mohli začít výpočet,
musí být znám vztah pro velikost síly působící na částici v magnetickém
poli. Uved'me na tomto místě bez důkazu, že můžeme beze změn převzít do Lorentzova síla pro
ryze magnetické pole.speciální teorie relativity vztah pro Lorentzovu sílu ve tvaru
F = e v × B . (61)
Provedeme-li tedy dosazení složek rychlosti a magnetické indukce do tohoto
vztahu, obdržíme vyjádření pro sílu
F =
i j k
vx vy vz
0 0 B
= e (vyB, -vxB, 0) ,
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 101 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
kde symboly i, j, k byly postupně označeny jednotkové vektory ve směrech
jednotlivých souřadnicových os. Dosazením do vztahu (51) dostaneme pro
časové derivace jednotlivých složek hybnosti
dpx
dt = evyB
dpy
dt = -evxB
dpz
dt = 0.
(62)
Z poslední rovnice plyne, že hodnota komponenty hybnosti ve směru osy z
se zachovává v čase, tedy pz = konstanta. Pohyb ve směru osy z je tedy Zachování kompo-
nenty hybnosti ve
směru magnetické
indukce.
rovnoměrný přímočarý. Vhodnou volbou počátečních podmínek můžeme
dosáhnout toho, že tuto složku hybnosti položíme rovnu nule a omezíme se
tak pouze na výzkum pohybu částice v rovině xy. Použijeme-li vztahu (51)
a vztahu pro souvislost hmotnosti a energie (55), lze předchozí první dvě
rovnice upravit do tvaru
E
c2
dvx
dt = evyB - 1
c2
dE
dt vx
E
c2
dvy
dt = -evxB - 1
c2
dE
dt vy.
Tato soustava rovnic se nejsnáze vyřeší v komplexním oboru, proto vy-
násobme druhou rovnici imaginární jednotkou a obě rovnice sečtěme. Po
vytknutí dostaneme
E
c2
d
dt
[vx + ivy] = - (vx + ivy)
1
c2
dE
dt
+ ieB
a po provedení separace
d [vx + ivy]
vx + ivy
= -
dE
E
-
ic2
eB
E
dt. (63)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 102 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Abychom mohli provést integraci, musíme vědět, jaká je závislost energie E
na čase. Tuto závislost zjistíme tak, že první z rovnic (62) vynásobíme vx
a druhou rovnici vy. Dostaneme tak vztah
dpx
dt
vx +
dpy
dt
vy =
dp
dt
v = 0.
Uvedený vztah je však pravou stranou vztahu (52). Uvědomíme-li si, že
celková energie je součtem energie kinetické a klidové a klidová energie je
nezávislá na čase, plyne z předchozího vztahu, že celková energie na čase
nezávisí, tedy je v čase konstantní. Znamená to, že magnetická síla nekoná Magnetická síla ne-
koná práci, energie
částice je konstantní.
při pohybu částice práci, protože je v každém okamžiku kolmá k vektoru
průvodiči částice. Tento závěr, jakožto i další výsledky uvedené na další
stránce, dobře koresponduje s výsledky získanými v klasické mechanice.
Rovnici (63) lze tedy zintegrovat
ln (vx + ivy) = - ln E -
ic2
eB
E
t + ln K,
kde K je konstanta. Po úpravě a rozdělení výsledku na reálnou a komplexní
část získáme s použitím označení
 =
eB
m
=
eB
m0
1 -
v2
c2
= 0 1 -
v2
c2
(64)
vyjádření pro jednotlivé složky rychlosti
vx = K
E cos t
vy = K
E sin t.
Protože další integrací získáme rovnice trajektorie v parametrickém tvaru
x = K
E sin t
y = - K
E cos t,
(65)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 103 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
což jsou rovnice kružnice, je výraz (64) vyjádřením pro úhlovou rychlost
pohybu po kružnici. Můžeme se přesvědčit, že pro v  c neroste úhlová Výsledné rovnice
trajektorie, korespon-
dence s klasickým
výsledkem.
rychlost nade všechny meze, ale naopak se limitně blíží k nule. Poloměr
kružnice je pak dán výrazem
R =
K
E
=
p0
eB
, (66)
kde symbolem p0 je označena velikost průmětu hybnosti v čase t = 0 do ro-
viny xy určená počátečními podmínkami. Kombinací posledních dvou vztahů
dostaneme
v =
0R
1 -
2
0R2
c2
, (67)
odkud je vidět, že pro poloměr rostoucí do nekonečna se rychlost k rychlosti
světla pouze blíží, ale nemůže ji překročit.
ELEMEN-
TÁRNÍ
ČÁSTICE
S NÁBOJEM
VÍTÁNY
CYKLOTRON
E=97GeV
Ne, tam nejdu, mě se dělá špatně
i v hmotnostním spektrometru.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 104 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.14. Čtyřrozměrná formulace STR
Obr. 30: Hermann Minkowski, 1864-1909, je-
den z prvních autorů čtyřrozměrné formulace
speciální teorie relativity
ČTVRTÁ DIMENZE
Emil Calda [14]
Jednou v hospodě U Karla
IV.
uviděl jsem kus prostoru
čtvrtého.
Čtyři půllitry u stropu
nad sálem
letěly tam k sobě kolmo
navzájem,
což není možné v dimenzi
třetí,
kde nejvýše tři půllitry
k sobě kolmo
letí!
Tak jsem poznal díky
Otci vlasti,
jaké jsou v půllitru
skryty slasti,
jak všem Čechům rozšiřuje
obzory
o n-dimenzionální
prostory.
1.14.1. Prostoročas
Prostoročasem nazýváme čtyřrozměrné kontinuum, které je tvořeno ,,všemi
místy ve všech časech".
Tento pojem lze zavést stejně tak v teorii relativity jako v newtonovské
fyzice, v teorii relativity však nabývá zvláštní důležitosti. V newtonovské
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 105 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
fyzice je pojem prostoročasu rovnocenný pojmu prostoru a času, v relativis-
tické fyzice ovšem prostor a čas nemají absolutní význam. V newtonovském
prostoročase například dovedeme říci, co je to prostor v daném časovém
okamžiku. Je to prostě množina všech bodů prostoročasu, které odpovídají
událostem nastávajícím současně.
x
t
Světočára
oscilátoru
Obr. 31: Světočára oscilátoru kmita-
jícího podél osy x
V teorii relativity není současnost dvou
událostí absolutní. Události, které nastávají
současně pro jednoho pozorovatele, nemusejí
být současné pro jiného pozorovatele, o čemž
jsme se přesvědčili v předchozích kapito-
lách. Prostor je tedy pro různé pozorova-
tele tvořen různými množinami bodů v pro-
storočase - není absolutní. Z tohoto důvodu
se pro popis ,,jeviště všech událostí" v teo-
rii relativity hodí lépe pojem prostoročasu,
který není vázán na konkrétního pozorova-
tele, než pojmy prostoru a času.
Pohyb bodu je reprezentován křivkou
v prostoročase. Této křivce říkáme světo-
čára bodu. Příklad světočáry bodu kmitají-
cího podél osy x je znázorněn v Obr. 31.
1.14.2. Světelný kužel, absolutní budoucnost a minulost
Významnou roli v relativistické fyzice hraje pojem světelný kužel v prostoro-
časovém bodě. Tento pojem si nyní vysvětlíme.
Představme si pozorovatele P, který v jistém okamžiku vyšle světelné Budoucí světelný ku-
želsignály (záblesky) do všech možných prostorových směrů. Bod prostoro-
času, který reprezentuje tuto událost označme U. Množinu bodů prosto-
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 106 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
ročasu tvořenou světočarami takto vyslaných signálů nazýváme budoucí
světelný kužel v bodě U. Proč kužel? Uvažujme inerciální soustavu sou-
řadnic pozorovatele P a řekněme, že vyslání signálů se odehrálo v čase
nula. Vezměme libovolný bod z budoucího světelného kužele v bodě U a
jeho souřadnice označme t, x, y, z. Jelikož tento bod je s počátkem soustavy
souřadnic spojen světelným signálem, musí platit
ct = x2 + y2 + z2, (68)
kde pravá strana rovnice určuje prostorovou vzdálenost uraženou signálem
v soustavě pozorovatele P, t je doba letu signálu v této soustavě a c je
rychlost světla.
x
y
ct
budoucíbudoucí
světelnýsvětelný
kuželkužel
minulýminulý
světelnýsvětelný
kuželkužel
světelnésvětelné
signálysignály
UU
Obr. 32: Budoucí a minulý světelný kužel
Rovnice (68) je ovšem
rovnicí trojrozměrné
kuželové plochy s vr-
cholem v počátku sou-
stavy souřadnic, tj. v
bodě U. Pro názor-
nou představu je v Obr. 32
znázorněn budoucísvě-
telný kužel v situaci
bez jedné prostorové
dimenze.
Pozorný čtenář si Budoucí světelný ku-
žel je absolutní pojemjiž možná položil otázku,
zda je budoucí svě-
telný kužel v bodě U
stejný pro všechny po-
zorovatele procházející bodem U. Uvažujme pozorovatele P , jehož světo-
čára prochází rovněž bodem U. Tento pozorovatel vyšle v okamžiku daném
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 107 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
bodem U světelný signál libovolným směrem. Podle principu konstantní rych-
losti světla se tento signál musí šířit rychlostí o velikosti c jak v soustavě po-
zorovatele P , tak v soustavě pozorovatele P. Z hlediska P tedy vypadá tento
signál jako cosi, co se pohybuje z bodu U přímočaře rychlostí c a tedy světo-
čára tohoto signálu nutně splývá se světočárou některého signálu vyslaného
pozorovatelem P. Budoucí světelný kužel v daném bodě tedy nezávisí na
konkrétním pozorovateli - je absolutní.
Podobně bychom mohli definovat minulý světelný kužel v bodě U, jako Minulý světelný kužel
množinu bodů prostoročasu tvořenou světočarami světelných signálů, které
do bodu U směřují. Tento pojem je rovněž absolutní. Rovnice minulého
světelného kužele v libovolné inerciální soustavě s počátkem v bodě U má
tvar
ct = - x2 + y2 + z2. (69)
Sjednocení budoucího a minulého světelného kužele v bodě U budeme
označovat prostě jako světelný kužel v bodě U.
Nyní se zamyslíme nad pojmy budoucnosti a minulosti a nad jejich přeno- Budoucnost a minu-
lost v nerelativistické a
relativistické fyzice
sitelností z newtonovské do relativistické fyziky. Stane-li se v newtonovské
fyzice nějaká událost U řekněme v čase t = 0, pak všechny události, pro
které t > 0, leží v budoucnosti události U a všechny události s t < 0 leží
v minulosti události U.
V teorii relativity však neexistuje absolutní způsob jak událostem přiřadit
hodnotu času t. Různí pozorovatelé přiřazují jedné události obecně různé
hodnoty času a může se dokonce stát, že se tyto hodnoty liší znaménkem.
Abychom ukázali, že tato situace může nastat, uvažujme opět dva pozorova-
tele P a P , jejichž světočáry procházejí prostoročasovým bodem U a jejichž
inerciální soustavy souřadnic spolu souvisejí Lorentzovou transformací (10).
V dalším omezíme naši pozornost pouze na souřadnice t, x resp. t , x . Sou-
řadnicové osy čárkované soustavy jsou dány rovnicemi t = 0 (osa x ) a
x = 0 (osa t ), takže v nečárkovaných souřadnicích pro osu x z prvního
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 108 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
vztahu (10) dostaneme t - V
c2 x = 0, což můžeme přepsat jako
ct =
V
c
x. (70)
Podobně z druhého vztahu (10) pro osu t dostaneme x - V t = 0, což
můžeme napsat jako
ct =
c
V
x. (71)
V souřadnicích ct, x je tedy směrnice osy x převrácenou hodnotou směrnice
osy t , což znamená, že osu t (a tím i osu ct ) dostaneme otočením osy x
okolo přímky ct = x (viz. Obr. 33).
ct=xct=x
x
ct ct´ct´
x´x´AA
UU
Obr. 33: Lorentzova transformace v prostoro-
časovém diagramu
V teorii relativity má smysl uva-
žovat pouze pozorovatele, pro které
|V | < c. Směrnice osy x daná výra-
zem V
c je tedy v absolutní hodnotě
vždy menší než jedna.
Uvažujme nyníudálost reprezen-
tovanou bodem A v Obr. 33. Tento
bod leží nad osou x a přísluší mu
tedy kladná hodnota času t. Leží
ovšem zároveň pod osou x takže
hodnota času t v tomto bodě je zá-
porná. Z hlediska pozorovatele P
tedy nastává událost A později než
událost U (v budoucnosti události
U). Z hlediska pozorovatele P na-
opak nastává událost A dříve než
událost U (v minulosti události U). Vidíme tedy, že pojmy minulosti a budouc-
nosti události U přenesené z nerelativistické fyziky nemají v teorii relativity
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 109 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
absolutní význam. Jistou část prostoročasu však přece jen lze považovat za
budoucnost resp. minulost události U v absolutním smyslu, jak uvidíme dále.
Světelný kužel v bodě U přirozeně rozděluje prostoročas na tři oblasti. Absolutní budoucnost
a minulostJednu oblast tvoří budoucí světelný kužel spolu s jeho vnitřkem. Tuto ob-
last budeme dále označovat BU . Druhou oblast tvoří minulý světelný kužel
spolu s jeho vnitřkem. Tuto oblast budeme označovat MU . Třetí oblast tvoří
zbytek prostoročasu po odejmutí prvních dvou oblastí. Tuto oblast budeme
označovat SU (viz. Obr. 35).
V inerciální soustavě souřadnic s počátkem v bodě U jsou tyto oblasti
dány nerovnostmi
BU : c2
t2
- (x2
+ y2
+ z2
)  0 t  0 (72)
MU : c2
t2
- (x2
+ y2
+ z2
)  0 t  0 (73)
SU : c2
t2
- (x2
+ y2
+ z2
) < 0. (74)
ct
x
ct = xct = xct = -xct = -x
BBUU
MMUU
SSUUSSUU UU
Obr. 34: Oblasti ve 2D diagramu
V našem prostorově jednorozměrném pří-
kladě je světelný kužel dán přímkami ct = x
a ct = -x a oblasti BU , MU , SU jsou znázor-
něny v Obr. 34. Jelikož směrnice osy x je
v absolutní hodnotě vždy menší než jedna,
leží tato osa vždy v oblasti SU . Vhodnou vol-
bou rychlosti V lze dosáhnout toho, aby tato
osa procházela kteroukoli událostí v oblasti
SU . Pro kteroukoli událost A z oblasti SU
tedy najdeme pozorovatele, pro kterého A
a U nastávají současně, také nalezneme pozorovatele, pro kterého A na-
stává později než U a také existuje pozorovatel, pro kterého A nastává dříve
než U. Naproti tomu každá událost z oblasti BU (kromě samotné události U)
nastává pro libovolného pozorovatele později než U.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 110 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
ct
x
y
UU
BBUU
MMUU
SSUUSSUU
Obr. 35: Absolutní budoucnost a mi-
nulost, kvazisoučasnost
Oblast BU se proto nazývá absolutní
budoucnost události U. Z analogických dů-
vodů se oblasti MU říká absolutní minulost
události U. Oblast SU se označuje jako kva-
zisoučasnost události U nebo také jako ob-
last absolutně odlehlá.
Je přirozené předpokládat, že časové
pořadí příčiny a následku, a tedy i libovol-
ných příčinně spojených událostí, je určeno
jednoznačně, a že proto událost U nemůže
být příčinně spojena s událostí nastávající
v oblasti SU . To znamená, že jakákoliv inter-
akce spojená s přenosem hmotnosti, ener-
gie a informace se nemůže šířit rychlostí
přesahující rychlost světla. Platí tedy princip
maximální rychlosti šíření interakcí: v  c.
Z tohoto pohledu může být BU chápána
jako oblast tvořená událostmi, které lze udá-
lostí U v principu ovlivnit. Podobně MU je tvořena událostmi, kterými mohla
být událost U v principu ovlivněna.
Poznamenejme, že princip maximální rychlosti šíření interakcí vylučuje
existenci tuhých těles ve smyslu klasické mechaniky, kde vzdálenost libovol-
ných dvou bodů tuhého tělesa zůstává během pohybu konstantní. Uvedla-li
např. síla do translačního pohybu zadní konec tuhé tyče, musel se okamžitě
začít pohybovat i konec přední. Odtud je patrno, že klasický pojem tuhého
tělesa předpokládal nekonečnou rychlost šíření interakcí a tím vlastně exis-
tenci absolutní současnosti. Proto není možné jej do teorie relativity přenášet.
Při zkoumání silových účinků na tělesa je třeba předpokládat, že při změně
svého pohybového stavu se tělesa deformují a deformace se v nich šíří
rychlostí v  c. Opomenutí této skutečnosti se může stát zdrojem zdánlivých
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 111 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
,,paradoxů".
Teorie relativity ovšem nevylučuje nadsvětelné rychlosti čistě geome-
trické povahy. Otáčí-li se např. světlomet danou úhlovou rychlostí, bude
rychlost pohybu světelné stopy na stínítku úměrná vzdálenosti stínítka od
světlometu a může rychlost světla překročit. Avšak polohy stopy v různých
časových okamžicích nejsou vzájemně příčinně spojeny a nejedná se tedy
o rozpor s principem maximální rychlosti šíření interakcí.
1.14.3. Interval
Začněme příkladem. Uvažujme pozorovatele P pohybujícího se konstantní
rychlostí o velikosti V v inerciální soustavě souřadnic pozorovatele P. P
sebou nese stopky a v jistém okamžiku je zapne. V té chvíli se stopky
nacházejí v prostoročasovém bodě, který má v soustavě pozorovatele P
souřadnice t1, x1, y1, z1. Stopky běží a v jistém okamžiku je pozorovatel P
opět zastaví. V té chvíli se stopky nacházejí v prostoročasovém bodě se
souřadnicemi t2, x2, y2, z2 v soustavě P. Naším úkolem bude vyjádřit čas ,
který uplynul na stopkách pomocí souřadnic t1, . . . , z1 a t2, . . . , z2.
V soustavě pozorovatele P , ve které jsou stopky v klidu, je tento čas dán
rozdílem
 = t2 - t1. (75)
Známe-li transformační vztahy mezi čárkovanými a nečárkovanými souřad-
nicemi, můžeme pak s využitím vztahu (75) vyjádřit  pomocí nečárkovaných
souřadnic.
Pro případ, kdy se pozorovatel P pohybuje podél osy x, jsou tyto trans-
formační vztahy dány Lorentzovou transformací (10) a příslušný výpočet je
proveden v kapitole 1.9 o dilataci času, kde jsme dospěli k vyjádření (25).
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 112 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Odtud tedy vidíme, že
 = t 1 -
V 2
c2
, (76)
kde t = t2 - t1. Vztah (76) zůstává v platnosti i v případě, že se P
nepohybuje podél osy x.
Označíme-li l vzdálenost, kterou stopky urazily v soustavě P od zapnutí
do vypnutí, můžeme velikost rychlosti V vyjádřit jako V = l
t . Po dosazení
do vztahu (76) dostaneme
 =
1
c
c2t2 - l2. (77)
Konečně pro l platí
l = x2 + y2 + z2, (78)
kde x = x2 - x1 a podobně pro y, z. Finální vyjádření času  má tedy
tvar
 =
1
c
c2t2 - (x2 + y2 + z2). (79)
Povšimněme si jedné zajímavé věci. Budeme-li uvažovat jiného pozorova-
tele P , který sleduje pohyb stopek (pozorovatelem P ted' nemyslíme toho
se stopkami), tento pozorovatel přiřadí událostem spuštění a zastavení sto-
pek jiné hodnoty souřadnic, které označíme t1, . . . , z1 a t2, . . . , z2. Pro tohoto
pozorovatele však můžeme stejnou úvahou jako pro pozorovatele P dospět
k vyjádření času  vzorcem (79), ve kterém pouze vyměníme nečárkované
souřadnice za čárkované. Č as  ovšem musí oběma pozorovatelům vyjít
stejně. Je to prostě čas, který ukázali stopky, když byli zastaveny. Z toho
plyne, že i výraz pod odmocninou v rovnici (79) musí vyjít stejně, at' jsou
v něm čárkované nebo nečárkované souřadnice. Platí tedy
c2
t2
- (x2
+ y2
+ z2
) = c2
t 2
- (x 2
+ y 2
+ z 2
), (80)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 113 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
kde t = t2 - t1, x = x2 - x1, atd., pro libovolné dva pozorovatele,
nezávisle na tom jakou rychlostí (menší než c) a jakým směrem se tito pozo-
rovatelé vzájemně pohybují a nezávisle na tom jaká je vzájemná orientace
kartézských (pravoúhlých) soustav jejich prostorových os. Rovnost (80) platí
také pro libovolnou dvojici prostoročasových bodů, tedy ne pouze pro pří-
pad, kdy lze dvojici bodů spojit světočarou pozorovatele pohybujícího se
podsvětelnou rychlostí, jak tomu bylo v našem příkladě se stopkami.
Platnost rovnice (80) lze ověřit i přímou aplikací transformačních vztahů Interval a jeho invari-
ance vůči transforma-
cím inerciálních sou-
stav
mezi čárkovanými a nečárkovanými souřadnicemi. Pro případ Lorentzovy
transformace (10) je toto ověření provedeno v 1.16.15.
Zavedeme označení
s2
= c2
t2
- (x2
+ y2
+ z2
). (81)
Veličině s se říká interval mezi událostmi 1 a 2. Vlastnosti (80) se říká
invariance intervalu vzhledem k transformaci inerciální soustavy souřadnic.
Interval s je prostoročasovou analogií euklidovského intervalu (78). Ten Euklidova a Min-
kowskiho geometrieje invariantní vůči otáčení kartézského souřadnicového systému vzhledem
k počátku. Lorentzovu transformaci tedy lze považovat za prostoročasovou
obdobu otočení kartézského systému souřadnic.
Kromě toho, že je definován na prostoru odlišné dimenze, se interval
s liší od euklidovské vzdálenosti l ještě jinak. Zatímco vzdálenost mezi
dvěma různými body a tedy i její kvadrát l2
je vždy kladné číslo, veličina s2
může zřejmě v závislosti na volbě událostí nabývat kladné, nulové i záporné
hodnoty. To znamená, že geometrie prostoročasu s intervalem vyjádřeným
vztahem (81) není geometrií euklidovskou. Nazýváme ji pseudoeuklidovskou
geometrií Minkowskiho a o prostoročase s intervalem (81) mluvíme jako
o prostoru Minkowskiho.
Kvadrát ,,vzdálenosti" prostoročasových bodů A a B dané intervalem (81)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 114 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
nyní pro úspornost zápisu značme s2
(A, B). Tedy
s2
(A, B) = c2
(tB - tA)2
- ((xB - xA)2
+ (yB - yA)2
+ (zB - zA)2
), (82)
kde tA, . . . , zA resp. tB, . . . , zB jsou souřadnice bodu A resp. B v libovolné
inerciální soustavě souřadnic. (Proč může být libovolná?)
Platí-li Fyzikální význam in-
tervalu. Světelné, ča-
supodobné a prostoru-
podobné vektory.
s2
(A, B) = 0, (83)
znamená to, že událost B leží na světelném kuželi události A. O tom se lze
snadno přesvědčit srovnáním rovnic (68),(69) s rovnicí (83), kterou vyjádříme
v soustavě s počátkem v bodě A, takže všechny souřadnice s indexem A
jsou nulové. Body A, B lze v tomto případě spojit světočárou světelného
signálu. Vektor (orientovaná úsečka) spojující body A, B, pro které platí (83),
se z tohoto důvodu nazývá světelný (viz. Obr. 36).
Platí-li
s2
(A, B) > 0, (84)
znamená to, že událost B leží v absolutní budoucnosti události A (je-li tB >
tA) nebo v její absolutní minulosti (je-li tB < tA). O tom se přesvědčíme
srovnáním podmínky (72) resp. (73) s nerovnostmi (84) a tB > tA resp.
tB < tA, které opět vyjádříme v soustavě s počátkem v bodě A. Událost B
v tomto případě neleží na světelném kuželi události A, takže, celkem vzato,
body A, B lze spojit světočárou pozorovatele pohybujícího se podsvětelnou
rychlostí. Veličina s2
(A, B) má v tomto případě fyzikální význam, který jsme
objasnili již v příkladě v úvodu této kapitoly. Ze vztahu (79) vidíme, že
s2
(A, B) = c2
2
, (85)
kde  je čas, který mezi událostmi A a B naměří pozorovatel jehož světočára
události spojuje, to jest pozorovatel, jehož časová osa oběma událostmi pro-
chází a ty pro něj tedy nastávají soumístně. K výsledku (85) lze jednoduše
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 115 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
dospět také vyjádřením intervalu v soustavě tohoto pozorovatele, tj. polože-
ním xA = xB, atd. v (82). Z důvodu existence pozorovatele, jehož časová
osa oběma událostmi prochází, se vektor spojující body A, B, pro které platí
nerovnost (84), označuje jako časupodobný.
Platí-li
s2
(A, B) < 0, (86)
znamená to, že událost B leží v kvazisoučasnosti události A (viz. pod-
mínka (74)).
ct
x
y
časupodobný vektorčasupodobný vektor
orientovaný
do budoucnosti
časupodobný vektorčasupodobný vektor
orientovaný
do minulosti
světelný vektorsvětelný vektor
orientovaný
do budoucnosti
světelný vektorsvětelný vektor
orientovaný
do minulosti
prostorupodobnýprostorupodobný
vektorvektor
Obr. 36: Typy vektorů
V tomto případě existuje
pozorovatel P, pro nějž udá-
losti A a B nastávají sou-
časně. Fyzikální význam in-
tervalu pro tento případ se
nám objasní, vyjádříme-li jej
v soustavě tohoto pozorova-
tele. Dosazením tA = tB do
rovnice (82) získáme
s2
(A, B) = -l2
, (87)
kde l je prostorová vzdále-
nost bodů A a B měřená po-
zorovatelem P. Vektor spo-
jujícíbody A, B, pro které platí
nerovnost (86), označujeme jako prostorupodobný.
Poznamenejme, že v literatuře se někdy kvadrát intervalu (81) definuje
s opačným znaménkem. To má za následek, že význam nerovností (84),
(86) se prohodí.
Interval v euklidovském prostoru dovoluje počítat délky křivek. Je-li křivka
zadána parametricky funkcemi x(u), y(u), z(u) kde u  [u1, u2] je parametr,
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 116 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
pak délku křivky spočteme jako Délka světočáry a její
fyzikální význam
l =
u2
u1
dx
du
2
+
dy
du
2
+
dz
du
2
du. (88)
Podobně v Minkowskiho prostoru můžeme za "délku" světočáry dané funk-
cemi t(u), x(u), y(u), z(u) vzít veličinu
s =
u2
u1
c2
dt
du
2
-
dx
du
2
-
dy
du
2
-
dz
du
2
du. (89)
Důsledkem invariance intervalu (80) je, že délka světočáry definovaná
předpisem (89) nezávisí na tom, jakou inerciální soustavu souřadnic pro
parametrické vyjádření světočáry použijeme. Výsledek integrace (89) rovněž
nezávisí na volbě parametru u.
Zvolíme-li parametrizaci světočáry souřadnicovým časem t, můžeme
délku (89) napsat jako
s =
t2
t1
c 1 -
v2
c2
dt, (90)
kde v2
= dx
dt
2
+ dy
dt
2
+ dz
dt
2
je kvadrát okamžité rychlosti bodu, jehož
pohyb světočára popisuje. Je-li rychlost bodu stále podsvětelná, je výraz
1 - v2
c2 kladný a absolutní hodnotu pod odmocninou není nutno psát. Totéž
platí pro výraz pod odmocninou v (89), který se liší pouze kladným násobkem
c2 dt
du
2
.
Srovnáme-li (90) s (45), vidíme, že délka světočáry má v případě pohybu
podsvětelnou rychlostí fyzikální význam c-násobku změny vlastního času
hodin, které se po světočáře pohybují. Platí tedy
s = c.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 117 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.14.4. Tenzory v Minkowskiho prostoru
Veličiny popisující fyzikální systémy, zřejmě nabývají z hlediska různých po-
zorovatelů různých hodnot. Použijeme-li pro popis systému veličiny vzta-
hující se k trojrozměrnému prostoru dané soustavy souřadnic, jako např.
rychlost částice, vektor síly nebo elektrickou intenzitu či magnetickou in-
dukci elektromagnetického pole, transformační vztahy, které převádějí hod-
noty veličin z jedné soustavy souřadnic do jiné, mohou být poměrně složité
a různorodé (viz. např. (14),(60)). U fyzikálních zákonů formulovaných po-
mocí těchto veličin v důsledku toho není na první pohled patrné, zda splňují
princip relativity.
V tomto ohledu se ukazuje být výhodnějším popis fyzikálních systémů po-
mocí tenzorů. V této a další kapitole ukážeme, jak lze formalismus tenzorů
zavedený v dodatku (3.1) pro popis fyzikálních systémů využít a demonstru-
jeme jej na příkladě, kdy zkoumaným systémem je jediná částice.
Nejprve zavedeme pojem tečný vektorový prostor v bodě prostoročasu. Tečný vektorový pro-
storVektorem UA nazveme orientovanou úsečku v prostoročase, která vychází
z bodu U a končí v bodě A. Uvažujme nyní libovolnou inerciální soustavu
souřadnic ct, x, y, z s počátkem v bodě U, tj. bod U má hodnoty souřadnic
ct = x = y = z = 0. Zaved'me označení souřadnic
x0
= ct, x1
= x, x2
= y, x3
= z. (91)
Pro úspornost zápisu budeme pro souřadnice používat indexovou notaci xi
,
kde index i může nabývat hodnot i = 0, 1, 2, 3. Indexovou notaci budeme
používat nejen u souřadnic a dohodneme se, že všechny indexy psané
latinkou v této kapitole budou nabývat hodnot 0, 1, 2, 3.
S využitím souřadnic můžeme definovat sčítání vektorů vycházejících ze
stejného bodu a násobení vektoru číslem. Součtem vektorů UA a UB je
míněn vektor UC končící v bodě C, jehož souřadnice jsou dány součtem
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 118 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
souřadnic bodů A a B, tj. xi
(C) = xi
(A) + xi
(B). Je-li k reálné číslo, pak k-
násobkem vektoru UA je míněn vektor UC, přičemž souřadnice bodu C jsou
nyní dány xi
(C) = kxi
(A). Množina všech vektorů vycházejících z bodu U
tedy tvoří vektorový prostor, jemuž říkáme tečný vektorový prostor v bodě U.
Přirozenou bázi v tomto vektorovém prostoru tvoří čtveřice vektorů ei = UXi, Souřadnicová báze
kde souřadnice bodů Xi jsou
xi
(X0) = (1, 0, 0, 0), xi
(X1) = (0, 1, 0, 0), (92)
xi
(X2) = (0, 0, 1, 0), xi
(X3) = (0, 0, 0, 1).
Jedná se tedy o jednotkové úsečky na osách soustavy xi
. Této bázi se říká
souřadnicová báze k souřadnicím xi
. Libovolný vektor UA lze v této bázi
vyjádřit jako
UA = xi
(A)ei, (93)
kde přes index i je provedena sumace
3
i=0 (viz. Einsteinova sumační kon-
vence zavedená v dodatku (3.1)).
Uvažujme nyní jinou inerciální soustavu souřadnic x i
s počátkem rovněž Přechody mezi inerci-
álními soustavamiv bodě U. Transformační vztah mezi souřadnicemi x i
a xi
má vždy tvar
x 0
= 0
0x0
+ 0
1x1
+ 0
2x2
+ 0
3x3
, x 1
= 1
0x0
+ 1
1x1
+ 1
2x2
+ 1
3x3
,
apod. pro x 2
, x 3
, kde i
j jsou konstanty závisející pouze na parametrech
transformace. Krátce lze tedy psát
x i
= i
jxj
. (94)
Jako příklad uved'me speciální Lorentzovu transformaci (10), pro kterou
i
j =





0
0 0
1 . . . 0
3
1
0 1
1 . . . 1
3
...
...
3
0 3
1 . . . 3
3





=




 - V
c 0 0
- V
c  0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 , (95)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 119 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
kde
 =
1
1 - V 2
c2
.
Dalším příkladem budiž otočení pravoúhlého systému prostorových os kolem
osy x3
o úhel . V tomto případě bude mít matice i
j tvar
i
j =




1 0 0 0
0 cos  sin  0
0 -sin  cos  0
0 0 0 1



 . (96)
Zjistěme nyní, jak spolu souvisejí souřadnicové báze k souřadnicím xi
a x i
, Transformace souřad-
nicové bázeje-li transformace mezi čárkovanými a nečárkovanými souřadnicemi dána
vztahem (94). Jelikož vzorec (93) platí pro libovolné souřadnice, můžeme
psát
ei = UXi = x j
(Xi)ej = j
kxk
(Xi)ej. (97)
Podle (92) máme xk
(Xi) = k
i , kde k
i je Kroneckerův symbol zavedený
v dodatku (3.1). Získáváme tedy
ei = j
kk
i ej = j
i ej.
Vynásobíme-li tuto rovnici inverzní maticí (-1
)i
k, která je charakterizována
vztahy
(-1
)i
kj
i = (-1
)j
i i
k = j
k, (98)
dostaneme (-1
)i
kei = j
kej = ek, takže výsledný vztah má tvar
ek = (-1
)i
kei. (99)
Uvažujme nyní pozorovatele P, který je v klidu v prostorovém počátku
soustavy xi
. Tzn. jeho světočára splývá s časovou osou x0
a v nulovém
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 120 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
čase prochází bodem U. Světočára pozorovatele i orientace prostorových
os jeho soustavy je plně charakterizována souřadnicovou bází ei. Podobně
uvažujme pozorovatele P příslušejícího k soustavě x i
se souřadnicovou
bází ei.
Představme si nyní, že oba pozorovatelé v bodě U provádějí měření,
kterým chtějí zjistit stav nějakého fyzikálního systému v tomto bodě. Oba
pozorovatelé zvolí pro popis systému tentýž soubor fyzikálních veličin. Vý-
sledkem měření pozorovatele P bude soubor číselných hodnot H. Jelikož
pozorovatel P se vzhledem k P pohybuje a orientace jeho prostorových os
se od orientace os pozorovatele P obecně také liší, bude výsledkem mě-
ření pozorovatele P na tomtéž fyzikálním systému soubor jiných číselných
hodnot H . Stav systému v bodě U je tedy charakterizován hodnotami pří-
slušných veličin a popisem pozorovatele, který tyto hodnoty naměřil, tedy
dvojicí H, ei nebo ekvivalentně H , ei. Otázka zní, jak spolu souvisejí hod-
noty H a H , známe-li transformační vztah mezi bázemi ei a ei, tj. tvar matice
i
j v (99).
Bude-li zkoumaným fyzikálním systémem jediná částice, potom, jak uká- Fyzikální veličiny ten-
zorového charakteružeme v další kapitole, lze pro její popis zvolit čtveřici veličin pi
, pro niž při
transformaci báze (99) platí
p i
= i
jpj
. (100)
Bude-li systémem např. elektromagnetické pole, potom lze pro jeho popis
zvolit matici veličin Fij, pro kterou platí
Fij = (-1
)k
i (-1
)l
jFkl. (101)
Srovnáme-li vztahy (99) a (100),(101) se vztahy (139) a (150) z dodatku
(3.1), kde pouze přeznačíme (-1
)i
k = ai
k, zjistíme, že soubor veličin pi
tvoří komponenty tenzoru typu (1, 0) nad tečným vektorovým prostorem.
Takovému tenzoru se také říká čtyřvektor, stejně jako samotným prvkům
tečného prostoru. Soubor Fij pak tvoří komponenty tenzoru typu (0, 2).
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 121 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Zůstaneme-li v klasické (tzn. nekvantové) fyzice, u všech fyzikálních sys-
témů dovedeme zavést jejich tenzorový popis. Tento popis má oproti popisu
převzatému z nerelativistické fyziky výhodu v tom, že pravidla pro transfor-
mace komponent tenzorů při změně pozorovatele jsou jednotná a formálně
jednoduchá. Navíc rovnice, podle kterých se systémy chovají, nabývají jed-
noduchého tvaru, jsou-li formulovány pomocí tenzorů. U rovnic fomulova-
ných pomocí tenzorů se také snadno ověřuje jejich relativistická invariance,
tzn. zda nabývají stejný tvar v různých inerciálních soustavách a tedy zda
splňují princip relativity.
Nad tečným vektorovým prostorem v libovolném bodě můžeme zavést Minkowskiho metrika
metriku (viz. (3.1)) jako tenzor, jehož komponenty vzhledem k souřadnicové
bázi k některé inerciální soustavě souřadnic jsou
gij =




1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1



 . (102)
Tato metrika má signaturu (1, 3) a říká se jí metrika Minkowskiho. V literatuře
se pro komponenty (102) používá také označení ij. Proč právě tato metrika
má význam v teorii relativity? Protože její komponenty (102) jsou stejné v
souřadnicových bázích ke všem inerciálním soustavám a tedy dalo by se
říct, že tato metrika nerozlišuje mezi různými inerciálními soustavami, což
vyžaduje princip relativity. Ř ečeno matematicky, jsou-li ei a ei souřadnicové
báze ke dvěma libovolným inerciálním soustavám se společným počátkem,
pro komponenty metriky vzhledem k těmto bázím platí gij = gij, což vzhle-
dem k (99) a transformačním vlastnostem komponent tenzoru typu (0, 2)
můžeme napsat jako
gij = (-1
)k
i (-1
)l
jgkl.
Vynásobením této rovnice maticemi i
aj
b dostaneme vzhledem k (98) ekvi-
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 122 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
valentní vyjádření
i
aj
bgij = gab, (103)
přičemž i
j je transformační matice mezi libovolnými inerciálními sousta-
vami. Důkaz rovnice (103) odložíme na konec kapitoly.
Existuje úzká souvislost mezi Minkowskiho metrikou a Minkowskiho in-
tervalem (82). Jsou-li U, A body prostoročasu a xi
inerciální soustava s po-
čátkem v bodě U, pak platí
gijxi
(A)xj
(A) = x0
(A)2
- x1
(A)2
- x2
(A)2
- x3
(A)2
= s2
(A, U). (104)
Kritéria světelnosti (83), časupodobnosti (84) a prostorupodobnosti (86)
vektoru UA = xi
(A)ei tedy mohou být formulovány i pomocí metriky g.
Jak již bylo řečeno v dodatku (3.1), tenzory typu (1, 0) nad tečným pro-
storem lze v jistém smyslu ztotožnit přímo s tečným prostorem. Jsou-li bi
komponenty tenzoru b typu (1, 0) vzhledem k bázi ei, pak tenzor b mů-
žeme ztotožnit s vektorem bi
ei z tečného prostoru, i když třeba b není přímo
úsečkou v prostoročase.
I o tenzorech typu (1, 0) lze tedy říci zda jsou časupodobné, prostorupo-
dobné či světelné. Kritéria lze formulovat takto.
> 0 časupodobný
g(b, b) = gijbi
bj
= 0 světelný
< 0 prostorupodobný
(105)
Nyní dokážeme rovnici (103). Přitom vyjdeme z invariance intervalu (80).
Jsou-li U a C libovolné body prostoročasu a xi
a x i
inerciální soustavy
s počátkem v bodě U, pak rovnici (80) můžeme napsat jako
gijxi
(C)xj
(C) = gijx i
(C)x j
(C), (106)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 123 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
kde gij je matice (102). Uvažujme nyní dvojici bodů A, B takovou, že xi
(C) =
xi
(A) + xi
(B). Vynásobíme-li tuto rovnici j
i , dostaneme vzhledem k (94)
x j
(C) = x j
(A) + x j
(B). Dosazením do (106) a roznásobením získáme
gijxi
(A)xj
(A) + gijxi
(A)xj
(B) + gijxi
(B)xj
(A) + gijxi
(B)xj
(B) = (107)
= gijx i
(A)x j
(A) + gijx i
(A)x j
(B) + gijx i
(B)x j
(A) + gijx i
(B)x j
(B).
Rovnice (106) platí pro libovolný bod, tedy i pro body A a B. V rovnici (107) se
tedy vyruší první člen nalevo s prvním členem napravo a totéž pro poslední
členy. Díky symetričnosti matice (102), tj. gij = gji, platí
gijxi
(B)xj
(A) = gjixi
(B)xj
(A) = gijxi
(A)xj
(B),
kde v posledním kroku jsme pouze přeznačili sčítací index i na j a j na
i. Vidíme tedy, že v (107) je třetí člen nalevo roven druhému členu nalevo
a podobně napravo. Z rovnice (107) tak dostáváme
2gijxi
(A)xj
(B) = 2gijx i
(A)x j
(B). (108)
Dostáváme tedy rovnici podobnou (106), jen pro různé body A, B. Vzhledem
k (94) můžeme psát
gijxi
(A)xj
(B) = giji
kxk
(A)j
l xl
(B). (109)
Zvolíme-li nyní za A bod Xa a za B bod Xb (viz. (92)), platí xi
(Xa) = i
a,
apod. Rovnice (109) pak dá
gab = giji
aj
b, (110)
což jsme chtěli dokázat.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 124 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.14.5. Čtyřrozměrná mechanika
Nyní si předvedeme, jak lze pomocí čtyřvektorů popsat chování částice.
Uvažujme nejprve hmotný bod pohybující se podsvětelnou (obecně nekon-
stantní) rychlostí. Zvolíme-li inerciální soustavu souřadnic xi
, můžeme svě-
točáru tohoto bodu popsat závislostí prostoročasové polohy na parametru
xi
(s), kde za parametr zvolíme délku světočáry definovanou vzorcem (89)
resp. (90). Definujeme Čtyřrychlost
ui
=
dxi
ds
=
1
c
dxi
d
. (111)
Zvolíme-li jinou inerciální soustavu x i
související s původními souřadnicemi
vztahem (94), bude světočára dána funkcemi x i
(s) = i
jxj
(s), přičemž hod-
nota parametru s v daném bodě světočáry se nezmění, protože délka svě-
točáry je veličina nezávislá na volbě souřadnic. V čárkovaných souřadnicích
máme
u i
=
dx i
ds
= i
j
dxj
ds
= i
juj
.
Veličiny ui
tedy tvoří komponenty čtyřvektoru. Označíme jej u a budeme jej
nazývat čtyřrychlost. Obyčejná rychlost v = (dx/dt, dy/dt, dz/dt) souvisí se
čtyřrychlostí vztahem
ui
=
dxi
dt
dt
ds
=

c
(c, vx, vy, vz) =

c
(c, v), (112)
kde
 = c
dt
ds
=
c
ds
dt
=
1
1 - v2
c2
,
přičemž poslední rovnost plyne ze vztahu (90) pro pohyb podsvětelnou rych-
lostí. Pro čtyřrychlost platí
gijui
uj
= 1, (113)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 125 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
o čemž se lze přesvědčit přímým dosazením (112) do (113). Č tyřrychlost má
tedy jednotkovou velikost (ta je definována jako |u| = gijuiuj) a z jejích
čtyř komponent jsou proto pouze tři nezávislé. Její zadání je ekvivalentní
zadání komponent třírozměrné rychlosti. Z rovnice (113) rovněž vidíme, že
čtyřrychlost je časupodobná, což jsme museli očekávat, jelikož se jedná
o tečný vektor ke světočáře odpovídající pohybu podsvětelnou rychlostí.
Vynásobíme-li čtyřrychlost veličinou m0c, kde m0 je klidová hmotnost Čtyřimpuls
částice (hmotného bodu), jejíž hodnota je pro všechny pozorovatele shodná,
dostáváme čtyřvektor o komponentách
pi
= m0c
dxi
ds
= m0(c, v). (114)
Srovnáme-li tuto rovnici s (50) a (55), vidíme, že je
pi
=
E
c
, p , (115)
kde p je relativistická hybnost a E relativistická energie částice. Č tyřvektor p
s komponentami pi
se nazývá čtyřimpuls či čtyřhybnost částice. Č tyřimpuls
v sobě tedy spojuje energii a hybnost podobným způsobem, jakým polohový
vektor s komponentami xi
spojuje časovou souřadnici a souřadnice prosto-
rové. Tím se geometricky vysvětluje shoda mezi transformačními vlastnostmi
energie a hybnosti a transformačními vlastnostmi prostoročasových souřad-
nic, s níž jsme se již setkali (viz. (57),(10)).
Zřejmě platí
gijpi
pj
= m2
0c2
gijui
uj
= m2
0c2
, (116)
tj. velikost |p| = gijpipj je úměrná klidové hmotnosti částice. Vyjádříme-li
výraz gijpi
pj
v rovnici (116) pomocí komponent (115), dostaneme důležitý
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 126 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
vztah mezi klidovou hmotností, energií a hybností částice
E2
c2
- p2
= m2
0c2
. (117)
Z nenulovosti klidové hmotnosti pro běžné částice plyne, že pro ně
p2
<
E2
c2
.
Předpokládejme nyní, že veličiny E, p, m0 lze zavést i pro ,,částice", tečný
vektor k jejichž světočáře je vektorem světelným, a že při tom zůstává v plat-
nosti vztah (117) a čtyřimpuls (115) zůstává tečný ke světočáře. Protože
velikost světelného vektoru je nulová, musí být
m0 = 0,
tj. částice pohybující se rychlostí světla musejí mít nulovou klidovou hmot-
nost. Dále pro ně platí
p2
=
E2
c2
. (118)
Příkladem takovýchto částic jsou světelná kvanta - fotony. Protože podle Fotony
kvantové teorie, která dovoluje pojem fotonu důsledně zavést, platí pro ener-
gii fotonu vztah
E = hf, (119)
kde h je Planckova konstanta a f frekvence fotonu, je hybnost fotonu rovna
p =
hf
c
=
h

, (120)
kde  je vlnová délka fotonu. Teoreticky je možno připustit i existenci ,,částic", Tachyony
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 127 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
pro které platí
p2
>
E2
c2
.
Tyto hypotetické částice se nazývají tachyony. Tečný vektor ke světočáře
tachyonu míří vně světelného kužele. Světočáry tachyonů spojují kvazisou-
časné události, což má za následek, že časové pořadí událostí na světočáře
tachyonu může být obráceno vhodnou volbou vztažného systému (pomocí
Lorentzovy transformace). Tato skutečnost činí existenci tachyonů neprav-
děpodobnou, i když se vyskytly snahy interpretovat ji tak, aby nedošlo k para-
doxům. Experimentálně se existenci tachyonů prokázat nepodařilo, a proto
se jimi dále zabývat nebudeme.
Přikročme nakonec ke čtyřrozměrné formulaci pohybových rovnic čás-
tice. Zderivováním komponent čtyřimpulsu podle délky světočáry za předpo-
kladu, že m0 zůstává během pohybu konstantní, obdržíme
dpi
ds
= m0c
dui
ds
= m0cwi
,
kde wi
= dui
/ds jsou komponenty čtyřvektoru zvaného čtyřzrychlení. Č tyř- Čtyřzrychlení
zrychlení souvisí s obyčejným zrychlením a = dv/dt vztahem
wi
=
dui
dt
dt
ds
=

c
1
c
d
dt
(c, v) +

c
(0, a) =
2
c2
2
c
va, a +
2
c2
(va)v .
(121)
Vhodnou volbou vztažného systému můžeme dosáhnout toho, aby 0-komponenta
čtyřzrychlení byla rovna nule. Odtud je patrno, že čtyřzrychlení je prostoru-
podobný vektor.
Pohybové rovnice částice můžeme nyní zapsat jako Pohybové rovnice.
Čtyřsíla
dpi
d
= m0c2
wi
= Fi
, (122)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 128 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
kde Fi
jsou komponenty čtyřvektoru Minkowskiho síly, který souvisí s tříroz-
měrnou silou vztahem (viz. (115),(52),(51))
Fi
=
dpi
dt
dt
d
= 
1
c
dE
dt
,
dpi
dt
= 
Fv
c
, F . (123)
Kromě třírozměrné pohybové rovnice (51) je tedy v (122) zahrnut ještě vztah
(52) pro časovou změnu energie. Ze vztahů (112),(123) vidíme, že v Min-
kowskiho geometrii je čtyřsíla kolmá na čtyřrychlost, tj.
gijFi
uj
= 0.
To znamená, že pouze tři komponenty čtyřsíly jsou nezávislé.
PSYCHIATRIEPSYCHIATRIE
NEPOVOLENÝM
VSTUP
ZAKÁZÁN!
Tak vy tvrdíte, pane kolego, že základní rozdíl mezi námi fyziky
a tam těmi za tou zdí je,
že fyzikové se pokoušejí čtvrtou a vyšší dimenze matematicky popsat,
zatímco tamti v nich ží?
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 129 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.15. Srážky částic
Tato podkapitola se bude věnovat řešení problematiky srážky částic, a to
v rámci čtyřdimenzionální formulace speciální teorie relativity. Ukážeme, že
pomocí téhož matematického aparátu, spojeného právě se čtyřrozměrnou
formulací, lze řešit problémy tak zdánlivě odlišné, jako je Comptonův jev
a rozpad částice. Také konkrétní výpočet provedený pomocí zákona za-
chování čtyřhybnosti je mnohem jednodušší než postupná aplikace zákonů
zachování hybnosti a energie. Č tenář by se proto neměl nechat odradit
zdánlivě složitým úvodním textem, ale spíše ocenit matematickou eleganci,
kterou se vyznačují konkrétní zde uvedené výpočty.
1.15.1. Ř ešení srážek částic v rámci čtyřdimenzionální formulace speci-
ální teorie relativity
Uvažujme o následující situaci: srážky se účastní dvě částice, které před
srážkou označujeme jako 1 a 2, po srážce jako 3 a 4. Každá částice je
charakterizována svou čtyřhybností pi
danou vztahem (115). Jak již bylo
diskutováno v 1.12.4, zachovává se úhrnná čtyřhybnost soustavy, což lze
zapsat pro zde uvažovanou situaci vztahem Zákon zachování
čtyřhybnosti pro
srážku dvou částic.pi
1 + pi
2 = pi
3 + pi
4. (124)
Pokud je navíc srážka pružná, plyne ze zákona zachování energie i za-
chování součtu klidových hmotností (podle (117) se jedná až na konstantní
násobek hodnotou c2
o součet velikostí čtyřimpulsů před a po srážce)
M0 = m10 + m20 + m30 + m40. (125)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 130 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
y
xpp

, m, m11
pp

, m, m33
pp

, m, m44
p = 0p = 022
m = mm = m22 2020


Obr. 37: Srážka dvou částic
Vztah pro výpočet velikosti
čtyřimpulsu (117) se hodípro tyto
výpočty zapsat pomocíhmotností
jako
p2
c2
= m2
- m2
0. (126)
Vrat'me se nyní k popisu srážky
dvou částic, která je schematicky
nakreslena na Obr. 37. Vztažná
soustava je zvolena tak, že čás-
tice 1 se pohybuje ve směru sou-
řadnicové osy x, částice 2 je v této vztažné soustavě v klidu a částice 3 a 4
se po srážce pohybují tak, že svírají se směrem osy x úhly  a . Jednotlivé Čtyřhybnosti jednotli-
vých částic na ob-
rázku.
částice tedy mají následující čtyřhybnosti:
pi
1 =
E1
c
, p1 = (m1c, p1, 0, 0)
pi
2 =
E2
c
, p2 = (m20c, 0, 0, 0)
pi
3 =
E3
c
, p3 = (m3c, p3 cos , p3 sin , 0)
pi
4 =
E4
c
, p4 = (m4c, p4 cos , -p4 sin , 0) .
Další možný postup je dvojí: první varianta je vynásobit vztah (124) postupně
čtyřvektory p1i až p4i. Pokud mezi sebou násobíme dva stejné čtyřvektory,
obdržíme druhou mocninu velikosti čtyřvektoru, čili vztah (126). Pokud však
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 131 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
násobíme čtyřvektory různé, dostaneme skalární součin např. ve tvaru
g(p3, p4) = gijpi
3pj
4 =
E3
c
E4
c
- p3p4 =
E3E4
c2
- p3p4cos( + ).
Ze vztahu (124) pak tímto způsobem a s uvážením vyjádření pro čtyřvektory
jednotlivých části pak dostaneme čtveřici rovnic
E2
1
c2
- p2
1 +
E1m20
c
=
E1E3
c2
- p1p3 cos  +
E1E4
c2
- p1p4 cos 
E1m20 + m2
20 = m20E3 + m20E4
E1E3
c2
- p1p3 cos  +
E3m20
c
=
E2
3
c2
- p2
3 +
E3E4
c2
- p3p4 cos( + )
E1E4
c2
- p1p4 cos  + E4m20 =
E4E3
c2
- p4p3 cos( + ) +
E2
4
c2
- p2
4.
Z nich lze při známých parametrech částic 1 a 2 (E1, p1, m20 a případně údaj,
zda je srážka pružná) určit parametry částic 3 a 4 (E3, E4, p3, p4, , ). Druhá
varianta, jak řešit srážku částic, je dosadit vyjádření jednotlivých čtyřhybností
do vztahu (124) přímo. Protože pohyb se děje jen v rovině xy, dostaneme Soustava rovnic
vhodná pro další
výpočty.
soustavu tří rovnic, z níž jde úpravami získat hledané charakteristiky částic
po srážce
i = 0 : m1 + m20 = m3 + m4 (127)
i = 1 : p1 = p3 cos  + p4 cos  (128)
i = 2 : 0 = p3 sin  - p4 sin . (129)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 132 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.15.2. Relativistický kulečník
Zkusili jste si alespoň jednou zahrát kulečník? Na tomto místě se nebu-
deme věnovat porovnávání různých amerických a evropských variant této
hry, ale zkusíme kulečník poněkud rozebrat z fyzikálního hlediska. Náruživé
hráče, kteří si nyní mnou ruce v očekávání fyzikálního vysvětlení různých
falší a dalších fíglů, při nichž se využívá udělení vhodné rotace kulečníkové
kouli, musíme zklamat ­ budeme se věnovat pouze dvěma nejjednodušším
principům, na nichž je tato hra založena. Koule, vyslaná pomocí středového
nárazu tága (nemá tedy přídavnou rotaci) s určitou hybností proti mantinelu,
se odráží od mantinelu tak, že splňuje zákon odrazu ­ pod jakým úhlem byla
vyslána, pod takovým se i odráží. Obdobně koule, která je vyslána proti jiné, Splňují relativistické
koule zákon odrazu?stojící kouli stejným způsobem, tj. bez přídavné rotace, se s ní srazí, a obě
koule se po srážce pohybují tak, že směry jejich pohybu spolu svírají pravý
úhel. Zachovaly by se tyto principy kulečníku i v případě, že by se koule
pohybovali rychlostmi blízkými rychlosti světla? Na otázku nám pomohou
odpovědět rovnice odvozené v předchozím textu.
Rozeberme nejprve, zda i relativistické koule splňují po nárazu do man-
tinelu zákon odrazu. Uvažujme nejprve o situaci, která je zakreslena na
Obr. 37. Č ástice 2 reprezentuje mantinel, částice 1 kouli, která dopadá na
mantinel ve směru osy x, tedy pod úhlem 0
. Po srážce označme kouli jako
částici 3 a mantinel jako částici 4 (čtenář si může sám po ukončení výpočtu
rozmyslet, že tato volba je zcela libovolná, při volbě opačné dospěje k týmž
výsledkům). Celkem očekávaný požadavek je, aby mantinel byl mnohem,
v podstatě nekonečněkrát těžší než koule. V tom případě by se mantinel ne-
měl po nárazu koule pohnout, tedy jeho hybnost by měla být nulová a klidová
hmotnost rovna relativistické. Z rovnic (128) a (129) pak dostaneme
p1 = p3 cos  0 = p3 sin .
Z této soustavy vychází řešení  = , p1 = -p3, čili že se koule odrazí
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 133 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
zpět bez ztráty hybnosti. Proberme ještě pro úplnost případ, kdy koule 1
přilétá pod obecným úhlem  vůči ose x. V tom případě budou mít předchozí
rovnice tvar
p1 cos  = p3 cos  -p1 sin  = p3 sin .
Jejich umocněním na druhou a sečtením získáme vztah, který potvrzuje
zachování velikosti hybnosti po srážce. Dále z těchto rovnic plyne  = -,
čili koule se odráží pod stejně velkým úhlem, pod jakým dopadá, a pokračuje
v pohybu s hybností stejné velikosti. I relativistická koule tedy po srážce
s nekonečně hmotnějším manitelem splňuje zákon odrazu.
Protože kulečníkové koule mají všechny stejnou hmotnost, budeme i při
relativistickém výpočtu požadovat stejnou klidovou hmotnost koulí 1, 2, 3 a 4
(dvojice koulí 1,2 nese označení 3 a 4 po srážce). Označme tedy Jaký úhel svírají trajek-
torie relativistických
koulí po srážce?m0 = m10 = m20 = m30 = m40.
Z první rovnice soustavy (127) vyjádřeme m1
m1 = m3 + m4 - m0
a pomocí vztahu (126) vyjádřeme jednotlivé nenulové hybnosti pomocí hmot-
ností
p2
1 = c2
m2
1 - m2
0 p2
3 = c2
m2
3 - m2
0 p2
4 = c2
m2
4 - m2
0 .
Rovnice (128) a (129) umocníme na druhou a sečteme. Tím se na pravou
stranu rovnic dostane součet  + , který vlastně označuje úhel, pod kterým
se koule rozletí po srážce (viz Obr. 37)
p2
1 = p2
3 + p2
4 - 2p3p4 cos( + ).
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 134 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Do rovnice dosadíme předchozí vztahy a úpravami dosáhneme postupně
vyjádření kosinu součtu úhlů:
c2
(m3 + m4 - m0)2
- m2
0 = c2
m2
3 - m2
0 + m2
4 - m2
0 +
+2c2
m2
3 - m2
0 m2
4 - m2
0 cos( + )
(m3 + m4)2
- 2m0(m3 + m4) = m2
3 + m2
4 - 2m2
0 +
+2 m2
3 - m2
0 m2
4 - m2
0 cos( + )
2m3m4 - 2m0m3 - 2m0m4 = -2m2
0 + 2 m2
3 - m2
0 m2
4 - m2
0 cos( + )
(m4 - m0)(m3 - m0) = m2
3 - m2
0 m2
4 - m2
0 cos( + ).
Obr. 38: Snímek z bubli-
nové komory
Výsledek je tedy tvaru
cos( + ) =
(m4 - m0)(m3 - m0)
(m4 + m0)(m3 + m0)
, (130)
odkud je vidět, že kosinus nabývá hodnot mezi
nulou a jedničkou, čili 0 <  +  < 
2 . Pokud
bychom uvažovali o klasických kulečníkových kou-
lích, je relativistická hmotnost totožná s klidovou,
tedy m4 = m3 = m0, v čitateli vztahu (130) je
nula a koule se v tomto případě opravdu rozletují
pod pravým úhlem. U relativistických koulí toto není
možné, protože klidovou hmotnost nelze pro pohy-
bující se kouli ztotožnit s hmotností pohybovou, a tak trajektorie relativistic-
kých koulí spolu vždy svírají ostrý úhel. Tento efekt je dobře pozorovatelný
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 135 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
na snímcích z mlžných nebo bublinových komor, kde trajektorie jednotli-
vých částic po srážce spolu vždy svírají ostré úhly. Proměřením trajektorií
na snímcích z komor pak lze určit pomocí výše popsaného matematického
aparátu energii a hybnost pozorovaných částic.
1.15.3. Rozpad částice na dvě částice
Pomocí předchozích úvah lze řešit i případ rozpadu částice na dvě, případně
více částic. Vrat'me se opět k Obr. 37, a položme p1 = 0 a m1 = 0. V tomto
případě částice 1 prostě neexistuje a částice 2 se ve své klidové soustavě
rozpadá na dvě částice 3 a 4. Označme m02 = M0. Ze soustavy rovnic (127), Rozpad částice v klidu
na dvě části.(128) a (129) pak dostaneme
M0 = m3 + m4
0 = p3 cos  + p4 cos 
0 = p3 sin  - p4 sin .
Pokud ve druhé a třetí rovnici této soustavy převedeme první člen na levou
stranu, umocníme rovnice na druhou a sečteme, dostameme vztah p2
3 = p2
4
a užitím vztahu (126) dostaneme rovnici
m2
3 - m2
30 = m2
4 - m2
40.
Do této dosad'me z první rovnice předchozí soustavy za m4 a vyjádřeme m3
m2
3 - m2
30 = (M0 - m3)2
- m2
40
m2
3 - m2
30 = M2
0 - 2M0m3 + m2
3 - m2
40
m3 =
M2
0 - m2
40 + m2
30
2M0
.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 136 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obdobně dosazením z předchozí rovnice předchozí soustavy za m3 a vyjá-
dřeme m4
m2
4 - m2
40 = (M0 - m4)2
- m2
30
m2
4 - m2
40 = M2
0 - 2M0m4 + m2
4 - m2
30
m4 =
M2
0 + m2
40 - m2
30
2M0
.
Jak je vidět z posledních rovnice každé soustavy, je vždy relativistická
hmotnost částice 3 a 4 větší než hmotnost klidová. Klidová hmotnost částice,
která se rozpadla, je tedy větší než součet klidových hmotností částic 3 a 4:
M0 > m30 + m40. Veličina Vazební energie
a hmotnostní defekt.
(m30 + m40) - M0 =
E
c2
(131)
se nazývá vazební energie nebo hmotnostní defekt. Jak plyne z předchozí dis-
kuze, je tato energie při rozpadu záporná a uvolňuje se ve formě kinetické
energie. Uved'me několi konkrétních příkladů:
1. Při rozštěpení 235
92 U dochází k uvolnění energie E=3,8.10-11
J. Při
rozpadu 1 kg uranu se tedy uvolní energie 9,6.107
J, což je ekvivalent
energie uvolněné spálením 3.106
kg uhlí.
2. Při syntéze jader deuteria a tritia (reakce probíhající uvnitř mladých
hvězd) vzniká neutron a jádro helia:
2
1H + 3
1H  4
2He + 1
0n.
Při této syntéze se uvolní energie ve formě světelného záření, a to
3,1.108
J z jednoho kilogramu směsi.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 137 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
3. Při reakci lithia a vodíku vzniká berylium, které však je nestabilní a roz-
padá se na dvě -částice.
7
3Li + 1
1H  8
4Be  2 4
2He.
Při tomto rozpadu dochází k hmotnostnímu defektu m0=3,09.10-28
kg
a vzniklou energii E=27,7.10-13
J si odnášejí jako svou kinetickou
energii ony dvě -částice.
1.15.4. Comptonův jev
V roce 1923 studoval H. A. Compton rozptyl fotonů na volných elektronech.
Zjistil, že při rozptylu se mění frekvence (vlnová délka) fotonu, a to v závislosti
na úhlu , pod kterým odlétává rozptýlený foton. Při použití kvantových
představ o energii fotonů a předchozího matematického aparátu lze tento
jev vysvětlit poměrně jednoduše.
Opět se vrat'me k situaci zobrazené na Obr. 37. Č ástice 1 a 3 je foton před
a po srážce, tedy má klidovou hmotnost m10 = m30 = 0. Č ástice 2 a 4 jsou
elektron před a po srážce, tedy m20 = m40 = me. V rovnicích (128) a (129)
ponecháme na pravé straně pouze členy s p4, umocníme obě rovnice na
druhou a sečtěme: Zákony zachování při
Comptonově jevu.
m2
1 + m2
3 - 2m1m3 cos  = m2
4 - m2
e.
Z rovnice (127) vyjádříme hmotnost m4 = m1 + me - m3, dosadíme do
předchozí rovnice a upravíme do tvaru
m1m3(1 - cos ) = me(m1 - m3).
Nyní je třeba vyjádřit relativistickou hmotnost, potažmo energii fotonu. Pou-
žijme zde Planckovy kvantové hypotézy, která tvrdí, že frekvence fotonu f je
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 138 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
přímo úměrná jeho energii, přičemž konstantou úměrnosti je tzv. Planckova
konstanta h, energie fotonu je tedy dána vztahem (119). Dosazením tohoto
vztahu do předchozího vzorce a úpravou dostaneme konečně výsledek
1
f
-
1
f0
=
h
mec2
(1 - cos ) . (132)
Frekvence s indexem nula je původní frekvencí světla, frekvence bez indexu
frekvencí po rozptylu. Protože vlnová délka je nepřímo úměrná frekvenci
světla, udává předchozí vztah vlastně rozdíl naměřených vlnových délek při
experimentu
 - 0 =
h
mec
(1 - cos ) . (133)
Odtud je vidět, že pro nerozptýlené fotony pokračující ve směru osy x k po- Ve kterém směru je nej-
výraznější posuv frek-
vence?
suvu vlnové vélky nedochází, ale největší posuv vlnové délky naměříme,
pokud detektor nastavíme tak, aby zachytával fotony ,,odražené" na elek-
tronu. Tyto závěry jsou v plné shodě s experimentálními výsledky.
Kromě změny frekvence fotonu je možné spočítat i hybnost a odchylku
elektronu po nárazu fotonu. Jako mírně algebraicky náročnější cvičení to již
necháme na čtenáři.
n0
1 U92
235
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 139 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.16. Ř ešené příklady k tématu ­ speciální teorie relativity
Zde jsou řešení příkladů zadaných v textu o speciální teorii relativity:
1.16.1. Ř ešení příkladu na skládání rychlostí zadaného na začátku 1.6
Zadání Zopakujme zadání nejen animací, ale i slovně: ,,Dám ti úkol. Díváš
se ze Země. Letím kolem tebe raketou rychlostí 0.5c a z mé rakety vystartuje druhá
raketa letící také rychlostí 0.5c vzhledem k té první. Jakou rychlostí poletí druhá
raketa vůči tobě?" Spustit animaciSpustit animaci
Ř ešení Proved'me výpočet nejprve klasicky, pak relativisticky. Počítáme-li
skládání rychlostí klasicky, považujeme raketu pilotovanou ufonem za vztaž-
nou soustavu K , profesora za vztažnou soustavu K (viz Obr. 8). Soustava
K se pohybuje vůči soustavě K rychlostí V = (V, 0, 0), raketa vypuštěná
z ufonovy rakety se pohybuje v témže směru rychlostí o velikosti vx, průměty
této rychlosti do směrů os y a z jsou nulové. Využijme nejprve vztahu (15). Klasický výpočet: ra-
kety dosáhnou rych-
losti světla a překročí
ji.
Je zřejmé, že nenulová bude pouze složka rychlosti rakety vx ve směru
osy x. Jednoduchým výpočtem dostaneme
vx = vx + V = 0.5c + 0.5c = c vy = vy = 0 vz = vz = 0.
Profesor by tedy naměřil, že raketa dosáhla rychlosti světla! A další rakety,
vypuštěné z této rakety, by mohly rychlost světla i překročit! Pokud nyní be-
reme raketu pohybující se vůči profesorovi rychlostí c za vztažnou soustavu
K , a má-li raketa z ní vyletující rychlost stejnou, tj. c, získá podle předchozího
vztahu vůči profesorovi rychlost 2c! Každá další raketa vyletující z předchozí
rakety rychlost světla mnohonásobně překračuje. Jak však zdůvodníme na
konci 1.14.2, raketa rychlost světla překročit nemůže a klasické (galileovské)
skládání rychlostí zde tedy selhává.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 140 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Počítejme tedy rychlosti raket podle vztahu (13) pro relativistické sklá-
dání rychlostí. Raketu pilotovanou ufonem považujme nadále za vztažnou Relativistický výpo-
čet: rychlosti raket se
pouze blíží k rychlosti
světla, ale nemohou ji
dosáhnout.
soustavu K a profesora za vztažnou soustavu K. Po dosazení číselných
hodnot ze zadání dostáváme pro složky rychlosti naměřené profesorem
vx = 0.5c+0.5c
1+ 0.5c.0.5c
c2
= 0.8c vy =
0.
q
1-
(0.5c)2
c2
1+ 0.5c.0.5c
c2
= 0 vz =
0.
q
1-
(0.5c)2
c2
1+ 0.5c.0.5c
c2
= 0.
Pokud nyní bereme tuto raketu pohybující se vůči profesorovi rychlostí 0.8c
za vztažnou soustavu K , a má-li raketa z ní vyletující rychlost stejnou, tj.
0.8c, získá podle předchozího vztahu vůči profesorovi rychlost
vx = 0.8c+0.8c
1+ 0.8c.0.8c
c2
= 0.9756c vy = 0 vz = 0.
Další rakety vypuštěné stejným způsobem by pak získaly rychlosti 0.9996c,
0.99999c, ..., čili by se jejich rychlost neustále blížila rychlosti světla, ale nikdy
by jí nemohla dosáhnout ani ji překročit. Tento výsledek je tedy již v pořádku.
Získané výsledky si čtenář může shrnout při shlédnutí animace. Spustit animaciSpustit animaci
1.16.2. Mezivýpočty potřebné pro odvození zákona skládání rychlostí
v 1.6.3
Zadání Proved'te mezivýpočty potřebné pro odvození relativistického sklá-
dání rychlostí.
Ř ešení Budeme postupovat přesně podle návodu v kapitole 1.6.3. Nejprve
potřebujeme získat výraz pro derivaci času t podle času t. Vyjděme z první
z rovnic pro Lorentzovu transformaci (10)
t =
t - V x
c2
1 - V 2
c2
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 141 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
a zderivujme ji podle času t. Protože je souřadnice x funkcí času t, platí Odvození prvotního
vztahu pro vxvx = dx
dt , a protože V je konstanta, dostaneme postupně
dt
dt
=
dt
dt - V
c2
dx
dt
1 - V 2
c2
=
1 - V
c2 vx
1 - V 2
c2
.
Tento výsledek použijeme při úpravě rovnice pro vx (byla získána derivová-
ním druhého vzorce pro Lorentzovu transformaci (11) podle času t):
vx =
dx
dt
=
dx
dt + V dt
dt
1 - V 2
c2
=
dx
dt
dt
dt + V dt
dt
1 - V 2
c2
=
(vx + V ) dt
dt
1 - V 2
c2
=
(vx + V )
1 - V 2
c2
1 - V
c2 vx
1 - V 2
c2
.
Nyní zbývá z tohoto vztahu jen pomocí algebraických úprav vyjádřit vx : Ú prava vztahu pro vx
na výsledný tvar
vx 1 -
V 2
c2
= (vx + V ) 1 -
V
c2
vx
vx 1 -
V 2
c2
= (vx + V ) - (vx + V )
V
c2
vx
vx 1 -
V 2
c2
+ (vx + V )
V
c2
= (vx + V )
vx 1 -
V 2
c2
+
vxV
c2
+
V 2
c2
= vx + V
vx 1 +
vxV
c2
= vx + V
vx =
vx + V
1 +
vxV
c2
,
což je hledaný vztah (12) pro x-ovou složku rychlosti.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 142 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Nyní zbývá odvodit vztahy pro pro y-ovou a z-ovou složku rychlosti. Na Odvození výsledného
tvaru vztahu pro vytomto místě proved'me jen výpočet y-ové složky, druhý je zcela analogický.
Vyjděme z třetí z rovnic (11) a zderivujme ji podle času t. Při úpravách
využijeme již výše odvozených vztahů pro dt
dt a dostaneme:
vy =
dy
dt
=
dy
dt
=
dy
dt
dt
dt
= vy
dt
dt
= vy
1 - V
c2 vx
1 - V 2
c2
Nyní musíme dosadit z předchozího vztahu za vx a provést několik alge-
braických úprav:
vy = vy
1 - V
c2 vx
1 - V 2
c2
= vy
1 - V
c2
vx+V
1+
vxV
c2
1 - V 2
c2
= vy
1 -
vxV +V 2
c2+vxV
1 - V 2
c2
= vy
c2
+vxV -vxV -V 2
c2+vxV
1 - V 2
c2
,
vy = vy
c2
-V 2
c2+vxV
1 - V 2
c2
= vy
1- V 2
c2
1+
vxV
c2
1 - V 2
c2
= vy
1 - V 2
c2
1 +
vxV
c2
,
což je druhý ze vztahů (13). Snadno lze stejným způsobem odvodit i vztah
třetí.
1.16.3. Odvození relativistického zákona skládání rychlostí ­ obecně
Zadání Odvod'te relativistický zákon skládání rychlostí pro obecný případ
libovolné orientace skládaných rychlostí.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 143 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Ř ešení Nejprve napišme Lorentzovu transformaci pro případ obecné ori-
entace os inerciálních systémů K a K , kdy v čase t = t = 0 jejich počátky
splývaly. Relativní rychlost K vůči K budiž V = (Vx, Vy, Vz). Poloha bodu A
je v obou soustavách popsána vektory průvodiči r a r (viz Obr. 39). Průvodič Rozklad vektoru r do
směru rovnoběžného
a kolmého na V
r rozložme na část rovnoběžnou s rychlostí V
r
V
V
V
V
a na část k rychlosti V kolmou:
r - r
V
V
V
V
.
Připomeňme si nyní vztahy pro Lorentzovu transformaci, odvozené v pod-
kapitole 1.5. Souřadnice x, jejíž směr byl rovnoběžný se směrem vzájemné Aplikace vztahu pro
Lorentzovu transfor-
maci na průměty vek-
toru r
rychlosti pohybu soustav V = (V, 0, 0), se transformovala podle prvního ze
vztahů (10), respektive (11). Souřadnice y a z, které byly kolmé na směr rych-
losti V , neměnily při transformaci svou velikost. Proto část vektoru průvodiče
r rovnoběžná se směrem rychlosti V se bude transformovat analogicky x
a část vektoru průvodiče r kolmá na směr rychlosti V se při transformaci
měnit nebude:
rV
V =
r V
V +V t
q
1- V 2
c2
r - rV
v
V
V = r - r V
v
V
V .
Č as t se bude transformovat podle čtvrté z rovnic (11), přičemž roli souřad-
nice x bude hrát složka vektoru r rovnoběžná s rychlostí V :
t =
t + 1
c2 r V
1 - V 2
c2
.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 144 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
AAK´K´
x´x´
ýý
z´z´ O'O'
K
x
y
z
O K:K: AA [t, ][t, ]
K':K': AA [t', ][t', ]
rr
r'r'
rr
r'r'
Obr. 39: Výchozí situace pro odvo-
zení
Získání obecné Loren-
tzovy transformaceZ uvedených rovnic získáme vztah pro
transformaci vektoru r, což je vlastně spolu
s předchozím uvedeným vztahem zobec-
nění Lorentzovy transformace (11)
r = r - r
V
V
V
V
+
(r V )V
V 2 + V t
1 - V 2
c2
.
Diferencováním uvedených formulí dosta-
neme následující vztahy
dr = dr - V
V 2 V dr V
V +
V
V 2 (V dr )+V dt
q
1- V 2
c2
dt =
dt + 1
c2 (V dr )q
1- V 2
c2
= dt
1+ 1
c2 (V v )q
1- V 2
c2
,
odkud konečně obdržíme obecný vztah pro skládání rychlostí Získání obecného
vztahu pro skládání
rychlostí
v = V + v 1 -
V 2
c2
+
(V v )V
V 2
1 - 1 -
V 2
c2
1 +
V v
c2
-1
(v = dr
dt a v = dr
dt jsou rychlosti částice v K a K ).
Povýšíme-li obě strany předchozího vztahu na kvadrát a použijeme-li pro
roznásobování skalárních součinů vztah (m×n)2
= m2
n2
-(mn)2
, získáme
výraz pro absolutní hodnotu rychlosti
v =
(v + V )2 - (v ×V )2
c2
1 + V v
c2
.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 145 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.16.4. Rychlost světla je absolutní ­ důkaz tvrzení z 1.6.6
Zadání Princip konstantní rychlosti světla říká, že rychlost světla ve vakuu
je ve všech inerciálních vztažných soustavách stejná. Takže má-li světlo
v soustavě K rychlost o složkách c = (cx, cy, cz) a velikosti c
2
= c
2
x + c
2
y +
c
2
z = c2
, musí být velikost rychlosti světla stejná i v soustavě K. Dokažte, že
tato podmínka není splněna pro klasickou Galileiho transformaci souřadnic
a je splněna pro relativistickou transformaci Lorentzovu.
Ř ešení Nejprve proved'me výpočet pro klasické skládání rychlostí. Vyjděme
ze vztahu pro klasické skládání rychlostí (15). Pro komponenty čárkované Klasické skládání
rychlostí nedovoluje,
aby byla rychlost
světla konstantní pro
všechny pozorovatele
bez ohledu na jejich
pohyb vůči zdroji
světla.
rychlosti používejme značení cx, cy, a cz a spočítejme velikost rychlosti
v2
= v2
x + v2
y + v2
z = (cx + V )2
+ cy
2
+ cz
2
=
= cx
2
+ cy
2
+ cz
2
+ 2cxV + V 2
= c
2
+ 2cxV + V 2
= c2
+ V (2cx + V )
v2
> c2
.
Pro pozorovatele, vůči kterému by se tedy zdroj světla pohyboval, by tedy
nebylo při užití klasického zákona nemožné pozorovat, jak se světlo šíří
rychlostí větší než rychlost světla.
Stejně postupujme i při výpočtu pro relativistické skládání rychlostí. Vy-
jděme tentokráte ze vztahu pro relativistické skládání rychlostí (13). Pro kom-
ponenty čárkované rychlosti používejme značení cx, cy, a cz a spočítejme
velikost rychlosti
v2
= v2
x + v2
y + v2
z =
cx + V
1 +
cxV
c2
2
+

cy
1 - V 2
c2
1 +
cxV
c2


2
+

cz
1 - V 2
c2
1 +
cxV
c2


2
=
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 146 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
= c4


cx
2
+ 2cxV + V 2
+ cy
2
+ cz
2
- V 2
c2 cy
2
+ cz
2
(c2 + cxV )
2

 =
= c4


cx
2
+ cy
2
+ cz
2
1 - V 2
c2 +
cx
2
V 2
c2 + 2cxV + V 2
(c2 + cxV )
2

 =
= c4 c2
- V 2
+
cx
2
V 2
c2 + 2cxV + V 2
c4 + 2cxc2V + cx
2
V 2
= c2 c4
+ 2cxc2
V + cx
2
V 2
c4 + 2cxc2V + cx
2
V 2
v2
= c2
Nyní je již vše v pořádku, rychlost světla zůstává stejná pro pohybujícího se
Relativistické skládání
rychlostí zaručuje,
že rychlost světla
je konstantní pro
všechny pozorovatele
bez ohledu na jejich
pohyb vůči zdroji
světla.
i pro nepohybujícího se pozorovatele.
1.16.5. Kontrakce délek pro různé rychlosti ­ doplněk k 1.7.1
Zadání Určete, jak se mění délka měřená pohybujícím se pozorovatelem
při různých rychlostech vzájemného pohybu. Zakreslete graf této závislosti.
Ř ešení Výpočet provedeme podle vztahu (18). Výsledkem je graf uvedený
na následujícím obrázku (Obr. 40). Výsledná křivka je složena z jednotlivých
bodů, odpovídajících vypočteným hodnotám kontrakce pro rychlosti měnící
se po 0.001c. Komentáře ke grafu
závislosti kontrakce na
rychlosti pohybu těles
Z grafu je vidět, že nejprve se mění délka tělesa jen minimalně, až od
rychlostí blížících se polovině rychlosti světla začíná být kontrakce lépe pa-
trná. Nejlépe je vidět tento jev v oblasti 0.9c až c, kdy i malá změna rychlosti
způsobí velkou kontrakci délky. Zájemce o konkrétní hodnoty vyčíslené na
velký počet desetinných míst si je může vyhledat v interaktivní animaci v ka-
pitole 1.7.1.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 147 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
L[L0
]
v [c]
Obr. 40: Kontrakce délek ­ na vodorovné ose je zanesena rychlost pohybu (ve zlomcích rychlosti
světla), na svislé ose kontrahovaná délka (ve zlomcích délky klidové)
Znázornění kontrakce
délek
1.16.6. Relativistické paradoxy spojené s kontrakcí délek ­ viz 1.14.3
Vlak v tunelu Vlak projíždí tunelem rychlostí srovnatelnou s rychlostí
světla. Klidová délka vlaku je stejná jako klidová délka tunelu. Je vlak po Paradox vlaku v tu-
neludobu průjezdu schován v tunelu, anebo je tunel na vlaku navlečen jako
prstýnek?
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 148 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Vlak v tunelu - řešení Obě tvrzení si ve skutečnosti neodporují, každé
z nich se vztahuje k dané vztažné soustavě. Představme si nyní, že ústí
tunelu je možné uzavřít branami a formulujme otázku takto: Bude při sou-
časném uzavření bran celý vlak uvnitř tunelu, anebo brány narazí do vlaku?
Pro odpověd' nám chybí důležitá informace, a to ve které soustavě se brány
uzavřou zároveň. Předpokládejme, že se brány uzavřou zároveň ve vztažné
soustavě tunelu. V této vztažné soustavě je vlak kratší než tunel, zůstane
tedy v tunelu uzavřen. Z hlediska vztažné soustavy vlaku je vlak sice delší
než tunel, ale v okamžiku uzavření přední brány se zadní brána ještě neu-
zavírá (vzpomeňte na to, proč vyhodili od dráhy ufona ­ viz druhá animace
v textu 1.4.3). Zadní konec vlaku pokračuje setrvačností v pohybu ještě něja-
kou dobu poté, co je přední konec zastaven v bráně. Druhá brána se uzavře
teprve ve chvíli, kdy je celý vlak v tunelu.
Pád do kanálu Neopatrný pracovník vodáren nechal otevřenou kanalizační
vpust'kruhového tvaru. Průměr otvoru je 25cm, což je méně než délka chodi-
dla běžného chodce. Hrozí nebezpečí, že se velmi rychle pohybující chodec Paradox pádu do ka-
nálupo šlápnutí na kanalizační vpust' do ní propadne?
Pád do kanálu - řešení Pokud chodec na kanál při chůzi šlápne, je v tomto
okamžiku noha vůči kanálu v klidu a tedy se chodec do kanálu nepropadne
(za předpokladu, že by se do něj nepropadl, pokud by se na něj pomalu
postavil). Pokud se však chodec pokusí kanál překročit, přechází celá situace
v dále uvedený paradox tužky.
Letící tužka Po desce stolu klouže bez tření tužka. Deska je přerušena
otvorem, jehož klidová délka je stejná jako klidová délka tužky. Spadne tužka Paradox letící tužky
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 149 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
do otvoru anebo jej bez újmy překoná? A bude výsledek stejný bez ohledu
na to, ve které vztažné soustavě je získán?
Letící tužka ­ řešení Posuzujeme-li případ z hlediska teorie relativity, ne-
můžeme tužku považovat za tuhé těleso. Č ást tužky přesahující nad otvor
se začne ohýbat, a záleží pak na mechanických vlastnostech tužky. Tužka,
která je velmi ohebná (připomíná spíše řetízek), může do otvoru spadnout
bez ohledu na svou délku ( i delší tužka propadne otvorem), zatímco tužka
neohebná má díky své velké rychlosti šanci otvor přeletět, i kdyby byla kratší
než otvor. Výsledek nezávisí na zvolené vztažné soustavě. Pro případ neo-
hebné tužky je tužka z hlediska otvoru kratší než otvor, tedy se během letu
octne celá nad otvorem, ale poklesne o tak málo, že je schopna překážku
překonat. Z hlediska tužky je otvor kratší a tužka jej snadno překoná. Ohebná
tužka (řetízek) začne padat ihned v okamžiku, kdy se její okraj ocitne nad
otvorem. Síly pružnosti materiálu v tomto případě nezpomalují pád a tužka
tedy musí do otvoru propadnout bez ohledu na volbu pozorovatele, který děj
popisuje.
Auto na přejezdu (v garáži) Tento paradox by mimo jiné mohl sloužit jako
varování pro neopatrné řidiče. Prostor přejezdu je právě tak široký, že mezi
spuštěnými závorami může stát osobní automobil. Závory spadnou sou- Paradox vozu na pře-
jezdučasně v okamžiku, kdy neopatrný řidič přejíždí navzdory výstražnému signálu
přes přejezd a střed vozu je totožný se středem přejezdu. Poškodí padající
závory osobní automobil anebo se automobil ocitne mezi závorami? Pro mi-
lovníky poklidnějších situací doporučujeme tento paradox řešit jako paradox
s osobním automobilem najíždějícím do těsné garáže.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 150 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Auto na přejezdu (v garáži) ­ řešení Pád závor je analogický pádu bran
řešenému v paradoxu Vlak v tunelu. Prozkoumejme nyní případ, že závory
dopadnou současně z hlediska auta. Přejezd se vůči autu pohybuje, a proto
auto na obou koncích ,,přečnívá". Závory proto zasáhnou auto. Ve vztažné
soustavě přejezdu nedopadnou závory současně. Nejprve zadní závora do-
padne na auto a poškodí je, přední část auta však pokračuje setrvačností
v jízdě a přední závora na ně dopadne později.
Myš za plotem Vedle vlakové trati je plot a za plotem stojí myš. V pro-
jíždějícím vlaku cestuje lovec (kocour), který jakmile spatří myš, vystřelí po Paradox myši za plo-
temní (hodí po ní kámen). Bude myš zasažena anebo ji zachrání relativistické
zkrácení mezer mezi tyčkami plotu vůči pohybujícímu se vlaku?
Myš za plotem ­ řešení Střílet (házet kamení) po myši má smysl pouze
v případě, že klidová šířka kulky (kamene) je o něco menší než klidová šířka
mezer v plotě. Kdo chce tedy skolit myš, musí střílet tak, aby v soustavě
spojené s plotem se kulka pohybovala kolmo k plotu a pronikla mezi tyč-
kami. Případné zkrácení kulky v tomto případě je ve směru kolmém na plot
a průchodnost kulky mezerou mezi tyčkami neovlivní. Z hlediska vlaku letí
kulka šikmo a je tedy také zkrácena, a to ve správném směru, stejně jako
mezery mezi plaňkami plotu. Pokud lovec vystřelí šikmo (v soustavě plotu),
kulka neprojde otvorem a zaryje se do plaňky (bez ohledu na relativistické
efekty). Lovec si tedy musí rozmyslet, jak namířit, aby kulka letěla v soustavě
plotu kolmo k němu. Příslušný úhel míření lze určit pomocí zákona skládání
rychlostí, který je ovšem v teorii relativity složitější než v klasické mechanice.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 151 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.16.7. Dilatace času pro různé rychlosti ­ doplněk k 1.9.1
Zadání Určete, jak se mění čas měřený pohybujícím se pozorovatelem při
různých rychlostech vzájemného pohybu. Zakreslete graf této závislosti.
Ř ešení Výpočet provedeme podle vztahu (25). Výsledkem je graf uvedený
na následujícím obrázku (Obr. 41). Výsledná křivka je složena z jednotlivých Komentáře ke grafu
závislosti dilatace na
rychlosti pohybu těles
bodů, odpovídajících vypočteným hodnotám kontrakce pro rychlosti měnící
se po 0.001c.
Znázornění dilatace
času
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
5
10
15
20
25
v[c]
t[]
Obr. 41: Dilatace času ­ na vodorovné ose je zanesena rychlost pohybu (ve zlomcích rychlosti
světla), na svislé ose dilatovaný čas (ve zlomcích času vlastního).
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 152 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Zájemce o konkrétní číselné hodnoty dilatace času si je může vyhledat
v této tabulce. Na začátku tabulky jsou vypsány pouze hodnoty rychlostí
lišící se o pět setin, teprve v oblastech, kde se více projevuje dilatace času,
je dělení jemnější.
Tabulka číselných
hodnot pro dilataci
času
Dilatace času pro V 
0.9c
v[c] 0.000 0.010 0.020 0.050 0.100
t[] 1.000000 1.000050 1.000200 1.001252 1.005038
v[c] 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350
t[] 1.011443 1.020621 1.032796 1.048285 1.067521
v[c] 0.400 0.450 0.500 0.550 0.600
t[] 1.091089 1.119785 1.154701 1.197369 1.250000
v[c] 0.650 0.700 0.750 0.800 0.850
t[] 1.315903 1.400280 1.511858 1.666667 1.898316
v[c] 0.900 0.910 0.920 0.930 0.940
t[] 2.294157 2.411915 2.551552 2.720648 2.931052
v[c] 0.950 0.960 0.970 0.980 0.990
t[] 3.202563 3.571429 4.113450 5.025189 7.088812
v[c] 0.991 0.992 0.993 0.994 0.995
t[] 7.470387 7.921553 8.466372 9.142433 10.012523
v[c] 0.996 0.997 0.998 0.999 0.9991
t[] 11.191537 12.919638 15.819300 22.366272 23.575531
v[c] 0.9993 0.9995 0.9997 0.9999 1
t[] 26.730802 31.626730 40.827891 70.712446 
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 153 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.16.8. Ověření relativistických efektů pro mion -
­ doplněk k 1.9.3
Zadání Doba života mionu je  = 2,2.10-6
s (vlastní čas). Mion vznikl ve
výšce h = 30km nad povrchem Země z kosmického záření a dopadl na Zem.
Jakou musel mít minimální rychlost při vzniku? (Zadání a číselné hodnoty
převzaty z [32].)
Ř ešení Ř ešme úlohu například ve vztažné soustavě mionu. Z jeho hlediska
je dráha, kterou během svého života urazí, rovna l = V., kde V je velikost
rychlosti, kterou se k mionu přibližuje pozorovatel na zemském povrchu,
a  je vlastní čas mionu. Pro mion dochází ke kontrakci délek, takže výška
h = 30 km, kterou pro pozorovatele na Zemi musí mion urazit na cestě
k zemskému povrchu, se pro mion zkrátí na uraženou dráhu l. Z předchozího
vztahu a ze vztahu pro kontrakci délek (18) pak lze určit rychlost V mionu
vůči pozorovateli na Zemi. Platí tedy Určení rychlosti po-
hybu mionu vůči Zemi
­ výpočet proveden ve
vztažné soustavě spo-
jené s mionem
l = h 1 -
V 2
c2
V 2
2
= h2
1 -
V 2
c2
V 2
c2
1 +
c2
2
h2
= 1
V =
c
1 + c22
h2
Po číselném dosazení (c=3.108
m.s-1
,  =2,2.10-6
s, h = 30 000m) získáme
výsledek V = 0.99976c.
Popis z hlediska pozorovatele na Zemi musí být rovnoprávný popisu
z hlediska mionu. Pro něj je dráha, kterou mion urazí, čili h = 30km, rovna
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 154 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
součinu rychlosti V pohybu mionu a doby t, po kterou se mion pohybuje.
Tato doba je pozorovatele na Zemi delší než vlastní doba života mionu  ­
viz vztah (25). Musí tedy platit Určení rychlosti po-
hybu mionu vůči Zemi
­ výpočet proveden ve
vztažné soustavě spo-
jené s pozorovatelem
na Zemi
h = V

1 - V 2
c2
,
odkud lze úpravou získat předchozí výsledky jak obecné, tak i po dosazení
číselných hodnot konkrétní hodnotu V. Jednoduchý výpočet toto tvrzení po-
tvrdí:
h2
1 -
V 2
c2
= V 2
2
,
V 2
c2
2
c2
+ h2
= h2
V 2
c2
c2
2
h2
+ 1 = 1,
odkud již snadno plyne výše uvedený vztah
V =
c
1 + c22
h2
.
1.16.9. Ověření relativistických efektů pro +
-mezon ­ doplněk k 1.9.3
Zadání Č ástice zvaná +
mezon vzniká v laboratoři, přičemž jeho rychlost
vůči laboratorní vztažné soustavě je V = 0.99c. Střední doba života této
částice je  = 2,5.10-8
s (vlastní čas). Jakou střední volnou dráhu mezon
urazí během svého života?(Zadání a číselné hodnoty převzaty z [31].)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 155 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Ř ešení Kdyby tento příklad řešil klasický fyzik, určil by tuto dráhu jako
součin rychlosti a času, tedy
l = V  = 0, 99.3.108
.2, 5.10-8
m = 7.4m.
Experimenty však ukazují, že naměřená střední volná dráha je mnohem
větší. Je to dáno tím, že měření dráhy neprovádíme ve vlastní vztažné
soustavě mezonu, ale v soustavě laboratorní. Vůči ní je dráha naměřená Určení střední volné
dráhy mezonu v labo-
ratoři ­ výpočet pro-
veden ve vztažné sou-
stavě spojené s mezo-
nem
mezonem kontrahována podle vztahu (18) a měla by tedy být rovna
l0 =
l
1 - V 2
c2
=
7.4

1 - 0.992
m = 53m,
čili sedmkrát delší.
Obdobně řešíme-li úlohu z hlediska pozorovatele spojeného s labora-
torní vztažnou soustavou, musíme vzít do úvahy efekt dilatace času. Podle Určení střední volné
dráhy mezonu v labo-
ratoři ­ výpočet pro-
veden ve vztažné sou-
stavě spojené s labora-
toří
vztahu (25) se doba života mezonu v této vztažné soustavě zvětší na
t =

1 - V 2
c2
=
2, 5.108
1 - 0.992
s = 1, 8.10-7
s.
Č as se tedy prodlouží proti času vlastnímu sedmkrát a vynásobíme-li tuto
hodnotu rychlostí mezonu V = 0.99c, dostaneme opět uraženou střední
volnou dráhu 53 m.
1.16.10. Mezivýpočty potřebné pro odvození vzorců (28) až (30) v 1.10.2
Zadání Proved'te mezivýpočty potřebné pro odvození uvedených vztahů.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 156 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Ř ešení Vyjděme z rovnic, uvedených již v 1.10.2
y =
ut
sin 
-
x
tg 
a
y = -
1
sin  1 - V 2
c2
(V cos  - u) t + cos  -
uV
c2
x .
Protože druhá z těchto rovnic musí mít formálně stejný tvar jako první, mů-
žeme ji zapsat též jako
y =
u t
sin 
-
x
tg 
a porovnáním posledních dvou uvedených rovnic lze získat vztahy (28), (29) Odvození
vztahů (28), (29)
a (30).
a (30) pro tg  , sin  a u . Nejjednodušší je získání vztahu (28), stačí po-
rovnat členy stojící před x
-
1
tg 
= -
cos  - uV
c2
sin  1 - V 2
c2
a otočením obou stran rovnosti (záměnami čitatelů za jmenovatele a nao-
pak) již dostaneme hledaný vztah (28). Porovnáním členů stojících před x
dostaneme
u
sin 
=
u - V cos 
sin  1 - V 2
c2
,
odkud je potřeba osamostatnit výrazy pro sin  a u . Pro vyjádření sin 
použijeme výše odvozeného vztahu (28), z něhož vyjádříme sin . Označme
pravou stranu tohoto vztahu jako B a počítejme
tg  =
sin 
cos 
=
sin 
1 - sin2

= B
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 157 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
sin2
 = B2
- B2
sin2

sin2
 (1 + B2
) = B2
sin  =
B

1 + B2
.
Dosazením za B a úpravou pak obdržíme
sin  =
sin 
q
1- V 2
c2
cos - uV
c2
1 +
sin 
q
1- V 2
c2
cos - uV
c2
2
=
sin 
q
1- V 2
c2
cos - uV
c2
r
(cos - uV
c2 )
2
+sin2 
"
1- V 2
c2
"
cos - uV
c2
,
odkud po vykrácení jmenovatelů v čitateli i jmenovateli složeného zlomku
plyne hledaný vztah (29). Dosadíme-li jej do výše uvedeného vztahu pro u ,
dostaneme výraz
u =
V cos  - u
sin  1 - V 2
c2
sin  1 - V 2
c2
cos  - uV
c2
2
+ sin2
 1 - V 2
c2
,
který již přímo vede na (30). Ú prava
vztahů (28), (29)
a (30) pro u = c.
Nyní je ještě potřeba zjistit, jak se změní vztahy (28) až (30) při dosazení
rychlosti světla, tj. u = c. Podívejme se, jak se změní po tomto dosazení
jmenovatelé vzorců. Z cos  - uV
c2 dostaneme cos  - V
c a druhý jmenovatel
lze upravovat jako
sin2
 1 -
V 2
c2
+ cos  -
uV
c2
2
= sin2
 1 -
V 2
c2
+ cos  -
V
c
2
=
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 158 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
= sin2
 -
V 2
c2
sin2
 + cos2 -2
V
c
cos  +
V 2
c2
= 1 +
V 2
c2
1 - sin2
 - 2
V
c
cos  =
= 1 -
V
c
cos 
2
,
což po dosazení do výrazů (28) až (30) vede ke vztahům uvedeným na téže
straně níže. Odvození vztahů (31)
a (32), které odpoví-
dají Bradleyho aberaci
světla v speciální teorii
relativity
Nyní ještě proved'me úpravu, kterou z těchto vztahů získáme vzorce (31)
a (32) související s Bradleyovou aberací světla. Pokud uvažujeme vztah (28),
dále že u = c a  = 
2 a  = 
2 + , dostaneme postupně
tg

2
+ =
sin 
2 +
cos 
2 +
=
cos
- sin
= -
1
tg
= -
c 1 - V 2
c2
V
,
odkud již přímo plyne vztah (31). Dále ze vztahu (30) po dosazení pro u, 
a  dostaneme
sin

2
+ = cos =
1 - V 2
c2
-V
c
2
+ 1 - V 2
c2
= 1 -
V 2
c2
.
Takže použitím vztahu (31) dostaneme
sin = tg cos =
V
c 1 - V 2
c2
1 -
V 2
c2
=
V
c
,
což je hledaný vztah (32).
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 159 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.16.11. Výpočet rychlosti fyzika vystupujícího ve vtipu v 1.10.4
Zadání Anglický policista zastavil řidiče, který projel křižovatku na červe-
nou. Ř idič, povoláním fyzik, začal policistu přesvědčovat, že křižovatku na
červenou neprojel, protože jel tak rychle, že červená na semaforu se mu
jevila jako zelená. Policista propustil fyzika bez pokuty s tím, že musí nej- Jak rychle by se musel
fyzik pohybovat, aby
viděl na semaforu ze-
lenou místo červené?
prve ověřit pravdivost jeho výpovědi. A skutečně ­ fyzik nedostal pokutu za
projetí křižovatky na červenou, ale za překročení povolené rychlosti. Určete
rychlost fyzika za předpokladu, že mluvil pravdu.
Ř ešení Protože se fyzik pohyboval rychlostí V směrem ke zdroji, který
vysílal světelný signál (u = c) o frekvenci fZ, lze frekvenci měřenou fyzikem
určit podle vztahu (38).
Jelikož je pro většinu lidí přirozenější charakterizovat barvy světla vlnovou
délkou, použijme vztah  = c
f a předchozí vzorec upravme
P = Z
1 - V
c
1 + V
c
a vyjádřeme rychlost V Vyjádření vztahu pro
Dopplerův posuv pro
vlnové délkyP
Z
2
=
1 - V
c
1 + V
c
P
Z
2
1 +
V
c
= 1 -
V
c
V
c
1 +
P
Z
2
= 1 -
P
Z
2
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 160 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
V
c
=
1 - P
Z
2
1 + P
Z
2 .
Zbývá již jen provést číselné dosazení za jednotlivé vlnové délky: pro P Výpočet rychlosti fy-
zikavlnovou délku zeleného světla, například P =550nm, pro Z vlnovou délku
červeného světla, například Z=700nm, a určit výslednou rychlost V. Tato
rychlost vychází číselně jako V = 0.24c =72.106
m.s-1
=20 000 000 km.h-1
.
Pokud tedy fyzik opravdu viděl místo červeného světla na semaforu zelené,
byla pokuta za překročení povolené rychlosti naprosto oprávněná.
1.16.12. Odvození vztahu (48)
Zadání Odvod'te vztah (48).
Ř ešení Budeme pomocí transformace rychlostí (13) přepočítávat hodnotu
výrazu 1 - v2
c2 (tzv. Lorentzův faktor pro rychlost o velikosti v pohybující se
částice) k čárkovaným souřadnicím Dostaneme postupně
1 -
v2
c2
= 1 -
v2
x + v2
y + v2
z
c2
=
= 1 -
1
c2



vx + V
1 +
vxV
c2
2
+


vy 1 - V 2
c2
1 +
vxV
c2


2
+


vz 1 - V 2
c2
1 +
vxV
c2
2


2


= 1 - c2


(vx + V )2
+ (v 2
y + v 2
z ) 1 - V 2
c2
(c2 + vxV )2

 =
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 161 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
= 1 -
c2
(vx + V )2
+ (v 2
y + v 2
z ) c2
- V 2
(c2 + vxV )2
=
=
c4
+ 2vxV c2
+ vx
2
V 2
- c2
vx
2
+ 2vxV + V 2
+ (c2
- V 2
)(v
2
y + v
2
z)
(c2 + vxV )
2
=
c2
c2
- V 2
- v 2
x + v 2
y + v 2
z c2
- V 2
(c2 + vxV )
2
=
c2
- V 2
c2
- v 2
(c2 + vxV )
2 .
Nyní je již jen potřeba rozšířit zlomek na pravé straně výrazem 1
c4 a obdržíme
hledaný vztah (48)
1 -
v2
c2
=
1 - V 2
c2 1 - v 2
c2
1 +
vxV
c2
2 .
Záměnou rychlosti V za -V a čárkovaných a nečárkovaných rychlostí do-
staneme vztah
1 -
v 2
c2
=
1 - V 2
c2 1 - v2
c2
1 - v -xV
c2
2 ,
který také využijeme v následujících výpočtech.
1.16.13. Změna hmotnosti pro různé rychlosti ­ doplněk k 1.12.1
Zadání Určete, jak se mění hmotnost tělesa měřená pohybujícím se pozo-
rovatelem při různých rychlostech vzájemného pohybu. Zakreslete graf této
závislosti.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 162 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Ř ešení Ú kol byl vlastně splněn již dříve, v textu 1.16.7. Stačí si jen uvědo-
mit, že závislost na rychlosti je stejná jak pro čas ve vztahu (25), tak i pro
hmotnost ve vztahu (50). Graf na Obr. 41 je tedy (po pouhém ,,přejmenování"
svislé osy) hledaným grafem. Obdobně může čtenář najít zvětšení relativis-
tické hmotnosti pohybujících se těles v tabulce za uvedeným grafem Obr. 41.
Přesto zde hledaný graf vykresleme znovu.
Znázornění změny re-
lativistické hmotnosti
v závislosti na rych-
losti pohybu
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
5
10
15
20
25
v[c]
m[m]0
Obr. 42: Změna hmotnosti pohybujících se těles ­ na vodorovné ose je zanesena rychlost po-
hybu (ve zlomcích rychlosti světla), na svislé ose relativistická hmotnost (ve zlomcích hmotnosti
klidové).
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 163 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1.16.14. Odvození transformačních vztahů (57) pro energii a hybnost
Zadání Odvod'te transformační vztahy pro energii a hybnost při přechodu
k jiné inerciální vztažné soustavě.
Ř ešení Vyjděme z definičního vztahu pro hybnost (50) rozepsaný do složek
a použijme vztah pro transformaci rychlosti (13), identitu (48) a vztah pro
celkovou energii (55). Postupně tak dostáváme pro jednotlivé složky hybnosti
px =
m0vx
1 - v2
c2
=
m0
1 - v2
c2
vx + V
1 +
vxV
c2
=
m0 1 +
vxV
c2
1 - v 2
c2 1 - V 2
c2
vx + V
1 +
vxV
c2
=
=
m0 (vx + V )
1 - v 2
c2 1 - V 2
c2
=
m (vx + V )
1 - V 2
c2
=
px + E V
c2
1 - V 2
c2
py =
m0vy
1 - v2
c2
=
m0
1 - v2
c2
vy 1 - V 2
c2
1 +
vxV
c2
=
m0 1 +
vxV
c2
1 - v 2
c2 1 - V 2
c2
vy 1 - V 2
c2
1 +
vxV
c2
=
=
m0
1 - v 2
c2
vy = m vy = py
pz =
m0vz
1 - v2
c2
=
m0
1 - v2
c2
vz 1 - V 2
c2
1 +
vxV
c2
=
m0 1 +
vxV
c2
1 - v 2
c2 1 - V 2
c2
vz 1 - V 2
c2
1 +
vxV
c2
=
=
m0
1 - v 2
c2
vz = m vz = pz
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 164 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Pro úpravu vztahu pro energii použijme definičnívzorec (55), vztahy (49), (48)
a (50). Dostaneme tak postupně
E =
m0c2
1 - v2
c2
=
m0c2
1 +
vxV
c2
1 - v 2
c2 1 - V 2
c2
=
m c2
1 +
vxV
c2
1 - V 2
c2
=
E + pxV
1 - V 2
c2
.
Tím je platnost vztahů (57) pro transformaci energie a hybnosti dokázána.
1.16.15. DůkazinvarianceintervaluvůčiLorentzově transformaci­viz 1.14.3
Zadání Dokažte invarianci intervalu vůči Lorentzově transformaci, tj. že při
této transformaci, použité například pro přechod od vztažné soustavy K ke
vztažné soustavě K , zůstává tvar intervalu stejný (pouze dojde k záměně
čárkovaných a nečárkovaných souřadnic).
Ř ešení Při výpočtu musíme vyjít ze vztahu (10). Necht' v soustavě K má
bod A souřadnice [ct1, x1, y1, z1] a bod B souřadnice [ct2, x2, y2, z2]. Rozdíl
souřadnic označme velkým písmenem delta, například tedy: x = x2 - x1,
a pro ostatní souřadnice platí vztahy obdobné. Pokud tedy počítáme podle
vztahu (10), jaký je rozdíl souřadnic v soustavě K , dostaneme Vztahy potřebné pro
transformování inter-
valux = x 2 - x 1 =
x2 - V t2
1 - V 2
c2
-
x1 - V t1
1 - V 2
c2
=
=
x - V t
1 - V 2
c2
y = y 2 - y 1 = y2 - y1 = y
z = z 2 - z 1 = z2 - z1 = z
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 165 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
t = t 2 - t 1 =
t2 - V x2
c2
1 - V 2
c2
-
t1 - V x1
c2
1 - V 2
c2
=
=
t - V x
c2
1 - V 2
c2
Jsou-li si body A a B velmi blízké, lze místo počítání rozdílů souřadnic
tyto souřadnice diferencovat. Vztah získaný diferencováním (10) pak vypadá
obdobně:
dx = dx-V dtq
1- V 2
c2
dy = dy dz = dz dt =
dt- V dx
c2
q
1- V 2
c2
.
Další postup je pro oba přístupy stejný. Dosadíme získané vztahy do definice
intervalu a upravíme. My zde provedeme výpočet pouze jednou, k druhému
přístupu může čtenář snadno přejít záměnou ,,d" za ,,":
ds
2
= c2
dt
2
- dx
2
- dy
2
- dz
2
= c2


dt - V dx
c2
1 - V 2
c2


2
-

dx - V dt
1 - V 2
c2


2
-
-dy2
- dz2
=
c2
dt2
- 2 V
c2 dtdx + V 2
c4 dx2
- dx2
+ 2V dxdt - V 2
dt2
1 - V 2
c2
-
-dy2
- dz2
=
c2
dt2
- V 2
dt2
+ V 2
c2 dx2
- dx2
1 - V 2
c2
- dy2
- dz2
=
=
1 - V 2
c2 c2
dt2
- dx2
1 - V 2
c2
- dy2
- dz2
= c2
dt2
- dx2
- dy2
- dz2
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 166 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
ds
2
= ds2
.
Tímto je dokázáno, že se takto definovaný interval transformuje v souladu
Interval je veličina,
která se při Lorentzově
transformaci nemění
s Lorentzovou transformací.
Sakra šéfe, nemůžete ty výpočty dělat
trochu stravitelnější?
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 167 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
2. Ú spěchy a perspektivy teorie relativity
Absolvent našeho kurzu má právo se na závěr zeptat, na jak vysoký vr-
chol vystoupil a jaké vyšší vrcholy mu ještě kynou. Pokusme se to alespoň
naznačit. Zvládl z velké části to, co bylo náplní Einsteinových prací z roku
1905: univerzální jevy týkající se těles a částic, jak ty, kterým se obvykle říká
kinematické (kontrakce délek, dilatace času), tak i dynamické (vztah mezi
energií, impulzem a hmotností) a jevy týkající se světla (aberace, Dopplerův
jev). Zákony pohybu částic v silových polích poznal ve zlepšené podobě, Co už známe?
kterou jim dal roku 1906 Max Planck. Z pozdějších poznatků patří na tuto
základní úroveň snad jen precese zrychleně se pohybujících setrvačníků,
kterou objevil Thomas 1927, a Penrosovo a Terrellovo vysvětlení viditelného
tvaru rychle se pohybujících těles z roku 1959. Vyložili jsme pouze druhý
jev, prvý jsme ponechali do pokročilejšího kurzu. Ze základní Einsteinovy
práce čtenář nepoznal důkaz invariance Maxwellových rovnic vůči Lorent-
zově transformaci. Tento důkaz lze jednodušeji a srozumitelněji provést ve
čtyřrozměrném formalismu Minkowskiho, který čtenář zná, jehož využití by
si však žádalo rozvinutí matematického aparátu. Velkým stimulem pro rozvoj
teorie relativity se stala fyzika mikrosvěta, kde bylo třeba spojit její myšlenky
s myšlenkami kvantové teorie. A konečně: zde vyložená teorie relativity byla
povětšině jen ,,speciální". Dosud jsme se nezmínili o tom, že existuje a na
čem se zakládá obecná teorie relativity.
2.1. Relativistická elektrodynamika a teorie pole
První relativistická teorie fyzikálních jevů vznikla tři desetiletí před teorií re-
lativity. Byla to Maxwellova elektrodynamika, jejíž rovnice jsou invariantní
vůči Lorentzově transformaci a splňují tedy princip relativity, ačkoliv na první
pohled svědčily ve prospěch privilegované soustavy souřadnic, resp. abso-
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 168 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
lutního prostoru. Obrazně by se dalo říci, že až do Poincarého, Einsteina a
Minkowskiho fyzikové nesprávně otáčeli klíčem, který by jim při správném
natočení odemkl bránu k relativitě. Ve své čtyřrozměrné podobě spojuje
elektrodynamika elektrické a magnetické pole do jediného matematického
objektu - antisymetrického tenzorového pole Fik. Rozdělení na elektrickou Hlubší smysl elektro-
dynamikyintenzitu a magnetickou indukci závisí na vztažné soustavě obdobně jako
rozdělení na prostorovou a časovou složku intervalu či energii a impulz
částice. V kontrastu k newtonovskému pojetí mechaniky, kde pole bylo jen
pomocným prostředkem k popisu bezprostřední interakce částic na dálku, se
elektromagnetické působení může podle teorie relativity šířit jen konečnou
rychlostí a pole se tak stává nezávislou realitou, která se řídí svými vlastními
zákony - parciálními diferenciálními rovnicemi obsahujícími proměnné pole
a jejich derivace. Může být zformulován obecný formalismus teorie pole za-
hrnující pole různého druhu (např. skalární, vektorová) a umožňující přiřadit
polím základní mechanické veličiny (energii, impulz, tlaky či napětí).
Vzniká tak rozpor mezi spojitou povahou pole a diskrétní povahou jeho
zdrojů. Je sice možné nahradit bodové zdroje kontinuem a formulovat rela-
tivistické rovnice pro interakce pole se spojitými zdroji. Takové teorie však
nejsou schopny vysvětlit základní rysy stavby hmoty. Např. soustavy jader
a elektronů by se za krátkou dobu musely v důsledku vyzařování energie
zhroutit. Další pokrok fyziky si proto vyžadoval spojení myšlenek teorie rela-
tivity a kvantové teorie.
Postupně se podařilo formulovat relativistické kvantové rovnice pro po-
hyb nabitých částic v elektromagnetickém poli (Diracova rovnice 1929) a
pro interakci mezi bodovými náboji a kvantovaným elektromagnetickým po-
lem (kvantová elektrodynamika 1948). Během první půle 20. století se stalo Relativita a mikrosvět
zcela zřejmým, že elektromagnetická interakce není jedinou interakcí v pří-
rodě a že v rámci jaderné fyziky je třeba uvažovat i o silných a slabých
interakcích. Jejich teorie byly vytvářeny, pokud to bylo možné, po vzoru
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 169 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
kvantové elektrodynamiky a se snahou o co nejjednotnější popis. Třebaže
toto úsilí přineslo po experimentální stránce velmi úspěšný standardní model
elementárních částic, většina fyziků je nepovažuje za dovršené. Standardní
model má několik zásadních nedostatků - nezahrnuje gravitaci, obsahuje
příliš mnoho čistě empirických parametrů a zbavuje se nekonečných hodnot
jen za cenu umělých procedur. Převládá názor, že jediná cesta k sjednocení
fyziky vede přes zahrnutí gravitační interakce.
Standardní učebnice teorie relativity se obvykle omezují na Maxwellovu
elektrodynamiku, základy relativistické mechaniky kontinua a případně ele-
menty obecné relativistické teorie pole. Někdy v nich bývají zahrnuty i základy
relativistické termodynamiky a statistické fyziky. Teprve hluboké pochopení
,,klasických" rysů teorie relativity umožňuje uvažovat o její kvantové verzi,
s níž se čtenář setká v knihách o kvantové elektrodynamice, relativistické
teorii kvantovaných polí či o standardním modelu.
2.2. Co je to obecná teorie relativity (OTR)?
Zhruba okolo roku 1908 se Einstein začal zabývat myšlenkami, které jeho
i fyziku vrhly na nové cesty. Myšlenková důslednost si žádala, aby se teorie
relativity vyrovnala se dvěma omezeními. Prvním bylo ohraničení její formu-
lace na inerciální vztažné soustavy, druhým na zákony elektromagnetické
interakce. V době, o které mluvíme, nebylo ještě o jaderných silách známo Dva nedostatky speci-
ální teorie relativitytolik, aby se dal vyloučit jejich elektromagnetický původ. Interakcí či silou,
jejíž relativistické vysvětlení chybělo, byla gravitace. Newtonova teorie, před-
pokládající okamžité působení gravitace na dálku, pochopitelně základním
požadavkům teorie relativity nevyhovovala.
Oba uvedené problémy se zdají být rozdílného rázu. Přepis relativistic-
kých vztahů do neinerciálních vztažných soustav si žádal pouze matema-
tickou dovednost, nikoliv nové fyzikální principy. Naproti tomu relativistická
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 170 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
teorie gravitace musela být teprve objevena. Přesto je mezi oběma problémy
těsná a hluboká souvislost a největším Einsteinovým přínosem fyzice bylo
její pochopení a vyvození důsledků.
Již od Newtonových dob bylo známo, že v gravitačním poli padají se stej-
ným zrychlením bez ohledu na to, z čeho jsou složena, a že to lze v rámci
Newtonovy mechaniky vyložit jako důsledek rovnosti setrvačné hmotnosti
vystupující v zákonu setrvačnosti a tíhové hmotnosti vystupující v gravitač-
ním zákonu. Díky této rovnosti se v pohybových rovnicích pro částici v gra- Rovnost tíhové a setr-
vačné hmotnostivitačním poli obě veličiny vykrátí a její zrychlení je určeno pouze intenzitou
gravitačního pole. Rovnost obou veličin koncem 19. století s velkou přesností
ověřil mad'arský fyzik Etvo¨s.
Nezávislost zrychlení na vlastnostech částice či tělesa je však také vlast-
ností pohybů v neinerciálních vztažných soustavách. Zde podle Newto-
novy mechaniky vyplývá prostě z toho, že setrvačné síly jsou ,,fiktivní"
a v inerciálních soustavách jsou zrychlení částic nepodrobených silám nu-
lová. Využijeme-li představy čtyřrozměrného prostoročasu, jsou světočáry
volných částic přímkami v prostoročase. Č ástice o dané počáteční poloze
a rychlosti rýsuje svým pohybem v prostoročase přímku nezávislou na tom,
o jakou částici jde. V inerciální soustavě to znamená lineární závislost pro-
storových souřadnic na čase. V neinerciálních soustavách je závislost sou-
řadnic na čase složitější a pozorovatelům spojeným s těmito soustavami se
to jeví jako výsledek silového působení, ačkoliv jde o čistě geometrický fakt.
Nabízí se myšlenka, že i gravitační působení by mohlo mít takovouto čistě
geometrickou povahu. Spustit videoSpustit video
Tomu nasvědčuje i možnost lokálního ,,zrušení" gravitačního pole a na-
opak jeho ,,vytvoření" tam, kde v inerciální vztažné soustavě gravitace ne-
působí. Dá-li se kosmická lod' do pohybu působením motorů se zrychlením Zrušení a vytvoření
gravitačního polerovným zrychlení zemské tíže g, budou se kosmonauti v její kabině cítit
stejně jako na Zemi a budou pozorovat stejná zrychlení těles vzhledem ke
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 171 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
kabině. Naopak v družici pohybující se pouze pod vlivem zemské gravitace
kosmonauti pocit'ují stav beztíže a cítí se stejně jako v inerciální soustavě
vzdálené od velkých kosmických těles.
Je možné jít dál a říci, že mezi gravitačním polem a polem setrvačných sil
vůbec není principiální rozdíl. Tato pole vznikají v neinerciální vztažné sou-
stavě a mohou být zrušena přechodem k soustavě inerciální. Mezi gravitač-
ním polem na povrchu Země a polem setrvačné síly ve zrychlené kosmické
lodi je pouze ten rozdíl, že lze zavést inerciální soustavu v rozsáhlém prosto-
rovém i časovém okolí kosmické lodi, zatímco u Země to možné není. Lze
sice obklopit Zemi volně padajícím oblakem částic, ale tyto částice se bu-
dou sbližovat, takže nepůjde o inerciální vztažnou soustavu, kde vzdálenosti
vztažných bodů zůstávají neproměnné.
Tento rozdíl vysvětlíme tím, že prostoročas v okolí kosmické lodi byl (v do-
statečném přiblíženi) plochým prostoročasem Minkowskiho, jak ho známe ze
speciální teorie relativity. Naproti tomu v okolí Země je prostoročas zakřiven Hmota a prostoročas
Spustit videoSpustit video
působením její hmoty. Tělesa malých hmot podstatně neovlivňují gravitační
pole Země a jejich pohyb v prostoročase je zobecněnou přímkou - geodetic-
kou čarou, která může být v zakřivené geometrii definována jako nejpřímější
čára anebo jako čára extremální délky (v ,,obyčejné" prostorové geometrii
by to byla čára nejkratší. Podstatu Einsteinovy teorie gravitace později lapi-
dárně vyjádřil americký fyzik John Wheeler: ,,Hmota určuje prostoročasu, jak
se má zakřivit, a prostoročas určuje hmotě, jak se má pohybovat."
Spustit videoSpustit video
Od této základní myšlenky k její realizaci však byla ještě nesnadná cesta.
Jak říká sám Einstein v předmluvě k českému vydání své knihy Teorie rela-
tivity, udělal významný pokrok k relativistické teori gravitace během svého
pražského působení 1911-12, kdy předpověděl ohyb světelných paprsků
hvězd při jejich průchodu v blízkosti Slunce (i když ještě neurčil správnou
veliost odchylky). Velký význam pro něho měla pomoc přítele Grossmana,
který ho upozornil na aparát diferenciální geometrie zakřivených prostorů
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 172 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
a podílel se i na publikacích o využití této geometrie v teorii gravitace.
Spustit videoSpustit video
Již analogie mezi zakřivenými plochami v třírozměrném plochém pro-
storu a zakřiveným čtyřrozměrným prostoročasem umožňuje naznačit klí-
čové myšlenky Einsteinovy teorie gravitace. Základním matematickým pro-
středkem k popisu zakřivených ploch prostoročasů je metrické pole určené
koeficienty gik, které známe z Minkowskiho prostoročasu v podobě konstant.
V zakřivené geometrii - ale i v zakřivených souřadnicích v ploché geometrii
- jsou metrické koeficienty závislé na souřadnicích. Slouží k výpočtu délek
a jejich srovnávání. V teorii relativity jde zpravidla o délky světočar mě-
řené hodinami. Ú daje hodin tedy závisí na metrických koeficientech, které je
možno spojit s gravitačními potenciály. Malé oblasti na povrchu Země (a do-
konce i úzká okolí dlouhých čar jako je třeba Sibiřská magistrála) můžeme
zobrazit (mapovat) do eukleidovské roviny se zanedbatelným zkreslením.
Podobně lze v teorii gravitace zavést v okolí události či světočáry lokálně Tři patra obecné rela-
tivity: potenciály, síly,
slapy
geodetickou soustavu souřadnic vyznačující se tím, že v daném bodě (na
dané čáře) mají komponenty metrického pole hodnoty známé ze speciální
relativity a jejich první derivace jsou tu nulové. Z prvních derivací metrického
pole lze sestavit veličiny, které vystupují v rovnicích geodetických čar (na
kouli jsou to hlavní kružnice, v zakřiveném prostoročase světočáry volně
padajících částic) a jsou spojeny s gravitačními silami. Tyto síly v lokálně
geodetické soustavě vymizí. Žádnou volbou souřadnicové soustavy však
nelze vynulovat jisté veličiny závislé na druhých derivacích metriky, z jejichž
nenulovosti poznáme, že je zakřivená samotná geometrie a nikoliv jen sou-
řadnicová soustava. Křivost zemského povrchu se projevuje tím, že původně
rovnoběžně vedené hlavní kružnice se po čase protnou, křivost prostoročasu
v okolí Země tím, že z klidu puštěné částice začnou měnit své vzdálenosti.
Nejvlastnějším, nezrušitelným projevem gravitace je tedy zakřivení prosto-
ročasu projevující se nelineárními změnami vzdáleností padajících částic
a deformacemi těles (jako jsou např. jevy přílivu a odlivu na Zemi) - tedy
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 173 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
projevy slapových sil.
Tyto souvislosti mezi gravitací a geometrií se vyjasnily Einsteinovi po-
měrně brzy. Uvědomil si také, že v jeho teorii ztrácejí inerciální soustavy
své výsadní postavení (v konečné oblasti je nelze vůbec zavést, a proto by
všechny vztahy hledané teorie měly být zapsány formálně stejným způso-
bem ve všech vztažných soustavách (zahrnou-li se mezi proměnné i metrické
koeficienty)). Einstein proto začal svou - ještě nedovršenou - teorii nazývat
obecnou teorií relativity a požadavek stejného tvaru fyzikálních zákonů ve
všech soustavách nazval obecným principem relativity. Zjistil, jak lze přepi-
sovat rovnice známé v Minkowskiho souřadnicích speciální teorie relativity
do zakřivených souřadnic - a tedy do obecné teorie relativity. Tento recept
však nebylo možno použít na samotnou teorii gravitace, založenou na rov-
nicích spojujících ,,hmotné" a ,,geometrické" veličiny, protože přesně plochá
geometrie může existovat jen za nepřítomnosti hmoty.
Dalo by se říci, že Einstein po několik let věděl, jaký pohyb prostoročas
diktuje hmotě, klopotně však pátral po tom, jak hmota zakřivuje prostoročas.
Správné rovnice - Einsteinovy rovnice gravitačního pole - nalezl až kon-
cem roku 1915. Rozbor těchto rovnic později ukázal, že pohybové rovnice
spojitého prachu a singulárních částic v gravitačním poli jsou důsledkem
Einsteinových rovnic, čímž jeho teorie nabyla vysokého stupně jednoty.
S matematickými základy obecné teorie relativity a s Einsteinovými rov-
nicemi se seznámíme později. Zde se zamysleme nad hraniční čarou mezi
,,speciální" a ,,obecnou" relativitou, která bývá různě chápána. Ve starších Kdy je relativita
,,obecná"?knihách se často považuje za ,,obecnou relativitu" již používání zakřivených
souřadnicových soustav. Einstein většinou rozuměl pod obecnou relativitou
jakoukoliv teorii založenou na obecném principu relativity, tj. nepředpoklá-
dající v prostoročase žádnou absolutní, fyzikálním zákonům předcházející
strukturu. Dnes se však Obvykle se obecnou relativitou rozumí teorie zahr-
nující Einsteinovu teorii gravitace, tj. předpokládající platnost Einsteinových
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 174 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
rovnic. Einsteinovy rovnice přesně určují geometrické výrazy v nich vystupu-
jící, ponechávají však značnou volnost pro výrazy hmotné. V tomto smyslu je
i obecná teorie relativity ,,metateorií" či ,,paradigmatem", podobně jako spe-
ciální teorie relativity. Platnost speciální relativity obecná relativita neruší, ale
pouze omezuje, speciální relativita zůstává v platnosti v dostatečně malém
okolí každé události, podobně jako eukleidovská geometrie roviny zůstává
v platnosti v malém okolí bodu na ploše.
Obecná teorie relativity prokázala velké služby astrofyzice, když umožnila
najít odchylky od Newtonova gravitačního zákona ve Sluneční soustavě
a později i u dostatečně blízkých a kompaktních dvojhvězd. Umožňuje také Spustit videoSpustit video
věrohodný popis závěrečných stádií vývoje hvězd (gravitační kolaps, černé
díry). Dovoluje popis geometrie vesmíru a jeho dynamiky ve velkém měřítku.
Předvídá existenci gravitačních vln, na jejíž experimentální důkazy s napětím
čekáme.
Spustit videoSpustit video
Obr. 43: A nedaří se a nedaří...
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 175 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
3. Matematický dodatek
3.1. Ú vod do tenzorového počtu
Tento dodatek se vám bude pohodlně číst, jste-li seznámeni se základními
pojmy lineární algebry, jako je vektorový prostor, báze vektotorového pro-
storu, lineární zobrazení, matice, inverzní matice, apod.
Mějme vektorový prostor V dimenze n nad reálnými čísly. V tomto vek-
torovém prostoru zvolme bázi e1, e2, . . . , en. Libovolný vektor v  V lze pak
vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze
v = v1
e1 + v2
e2 + . . . + vn
en, (134)
kde v1
, . . . , vn
jsou reálná čísla, kterým říkáme komponenty vektoru v v bázi
e1, . . . , en. Dále budeme pro bázi resp. komponenty používat indexové zna-
čení ei resp. vi
, kde index i může nabývat hodnot i = 1, . . . , n. Dohodneme Indexová konvence
se, že všechny latinské indexy v této kapitole budou nabývat těchto hodnot.
Vyjádření (134) pak můžeme napsat jako
v =
n
i=1
vi
ei. (135)
Pro úspornost zápisu se z vyjádření (135) vynechává sumační znaménko, Einsteinova sumační
konvencepřičemž se můžeme dohodnout, že pokud se ve výrazu vyskytuje dvakrát
stejný index jednou nahoře a jednou dole, přes tento index se automaticky
provádí sumace aniž bychom ji explicitně vypisovali. Tomuto způsobu zápisu
se říká Einsteinova sumační konvence. Vyjádření (135) pak píšeme
v = vi
ei.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 176 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Sčítací index může být zřejmě během výpočtů libovolně přejmenován, tj. lze
psát např. v = vi
ei = vj
ej.
Uvažujme dále množinu všech lineárních zobrazení z V do reálných čísel. Duální vektorový pro-
storJsou-li ,  takováto zobrazení a k, l jsou reálná čísla, pak lineární kombinací
k + l myslíme zobrazení, které libovolnému vektoru v  V přiřazuje
číslo k(v) + l(v), kde symbolem (v) označujeme hodnotu zobrazení 
na vektoru v apod. pro . Toto zobrazení je rovněž lineární. Na množině
lineárních zobrazení z V do reálných čísel tedy máme strukturu vektorového
prostoru. Takto konstruovaný vektorový prostor se nazývá duální prostor k V
a označuje se V 
.
Existuje přirozený způsob, jak na základě báze ei ve V vytvořit bázi Duální báze
v duálním prostoru V 
. Uvažujme libovolné lineární zobrazení   V 
. Toto
zobrazení je jednoznačně dáno svými hodnotami (ei) na vektorech báze
ei. Známe-li totiž tyto hodnoty, můžeme díky linearitě vyjádřit hodnotu  na
libovolném vektoru v  V jako
(v) = (vi
ei) = vi
(ei). (136)
Vezměme nyní n-tici prvků duálního prostoru i
definovaných hodnotami na
bázi ei následujícím způsobem. 1
(e1) = 1 a na všech ostatních vektorech
báze je hodnota 1
nulová, 2
(e2) = 1 a na všech ostatních vektorech báze
je hodnota 2
nulová, atd. Na tomto místě se vyplatí zavést tzv. Kroneckerův Kroneckerovo delta
symbol i
j, pro který platí i
j = 1, je-li i = j, a i
j = 0, je-li i = j. Pomocí
tohoto symbolu pak můžeme definici i
vyjádřit jako
i
(ej) = i
j. (137)
Jako cvičení se čtenář může přesvědčit, že pro libovolný objekt ai
s indexem
nahoře resp. bi s indexem dole platí j
i ai
= aj
resp. i
jbi = bj.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 177 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Ukážeme nyní, že i
tvoří bázi ve V 
. Uvažujme opět libovolné   V 
a označme
i = (ei). (138)
Dále uvažujme libovolný v  V . Platí
i
(v) = i
(vj
ej) = vj
i
(ej) = vj
i
j = vi
.
Dále platí
(v) = vi
(ei) = vi
i = ii
(v) = (ii
)(v).
Libovolné zobrazení   V 
tedy můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci
 = ii
. Zbývá ukázat, že i
jsou lineárně nezávislé, tj. že platí ii
=
0  i = 0, kde tučná 0 značí nulový vektor ve V 
, tj. zobrazení, které
všem vektorům z V přiřazuje nulu. Implikace se snadno dokáže vyčíslením
rovnice ii
= 0 na bázi ej. Bázi i
ve V 
říkáme duální báze k ei a čísla
i daná rovnicí (138) jsou komponenty vektoru  v této bázi. Jelikož bázi i
tvoří n prvků, vektorový prostor V 
je rovněž n rozměrný.
Položme si nyní otázku, jak se změní duální báze, komponenty vektoru Transformace bází a
komponentv  V a komponenty vektoru   V 
, přejdeme-li k jiné bázi ei ve V . Tato
nová báze necht' je pomocí lineárních kombinací nečárkovaných bázových
vektorů vyjádřena jako e1 = aj
1ej, e2 = aj
2ej, . . . , en = aj
nej, což souhrně
zapíšeme jako
ei = aj
i ej, (139)
kde aj
i je matice reálných čísel. Duální báze k ei, kterou značíme  k
, musí být
rovněž kombinací nečárkovaných vektorů l
, takže  k
= bk
l l
. Jak souvisejí
matice aj
i a bk
l ? Vyjdeme z definiční rovnice (137). Musí platit
k
i =  k
(ei) = bk
l l
(aj
i ej) = bk
l aj
i l
(ej) = bk
l aj
i l
j = bk
l al
i. (140)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 178 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Díváme-li se na soubory čísel bk
l , al
i, k
i jako na matice, kde horní index čísluje
řádky a dolní sloupce, tj.
al
i =






a1
1 a1
2 . . . a1
n
a2
1 a2
2 . . . a2
n
...
...
an
1 an
2 . . . an
n






(141)
apod., pak rovnice k
i = bk
l al
i říká, že součin matic b krát a je roven jednotkové
matici. Matice b je tedy inverzní maticí k a. Odvodili jsme tedy, že
 k
= (a-1
)k
l l
. (142)
Komponenty v i
vektoru v v bázi ei vyjádříme z rovnice
vk
ek = v = v i
ei = v i
ak
i ek. (143)
Komponenty vektoru v bázi jsou určeny jednoznačně, takže odtud získáme
vk
= v i
ak
i . (144)
Inverzní matice (a-1
)j
i k matici aj
i je charakterizována vztahy
ai
j(a-1
)j
k = aj
k(a-1
)i
j = i
k. (145)
Vynásobíme-li rovnici (144) maticí(a-1
)j
k, dostáváme vk
(a-1
)j
k = v i
ak
i (a-1
)j
k =
v i
j
i = v j
a tím dospíváme k výslednému vztahu
v j
= (a-1
)j
kvk
. (146)
Podobnou úvahou dospějeme k transformaci komponent vektoru   V 
j = ak
j k. (147)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 179 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Nyní přistupme k definici tenzoru nad V .
Tenzorem typu (p, q) nad vektorovým prostorem V je míněno multiline- Definice tenzoru
ární zobrazení, které uspořádané p-tici prvků z V 
a uspořádané q-tici prvků
z V přiřazuje reálné číslo. Multilinearitou se myslí linearita v každém argu-
mentu, tzn. máme-li 1, . . . , p,   V 
a v1, . . . , vq  V a reálná čísla k, l,
pak pro tenzor T typu (p, q) platí např.
T(1, k2 + l, . . . , p; v1, . . . , vq) =
= kT(1, 2, . . . , p; v1, . . . , vq)+
+lT(1, , . . . , p; v1, . . . , vq)
a podobně v každém argumentu.
Zvolíme-li bázi ei ve V a k ní duální bázi j
ve V 
, pak díky multilinearitě
je tenzor T typu (p, q) zadán jednoznačně hodnotami na bázových vektorech.
Označme Komponenty tenzoru
T
j1j2...jp
i1i2...iq
= T(j1
, j2
, . . . , jp
; ei1
, ei2
, . . . , eiq
). (148)
Souboru čísel T
j1j2...jp
i1i2...iq
říkáme komponenty tenzoru T vzhledem k bázi ei.
Jelikož každý index i1, . . . , iq, j1, . . . , jp nabývá hodnot 1, . . . , n, je tenzor typu
(p, q) zadán počtem np+q
komponent.
Je-li tenzor T např. typu (1, 2) a  = ii
, u = ui
ei, v = vi
ei, pak
z multilinearity plyne, že hodnotu T na těchto vektorech můžeme pomocí
komponent vyjádřit jako
T(; u, v) = Ti
jkiuj
vk
, (149)
apod. pro tenzory libovolného typu.
Zjistěme nyní, jak se změníkomponenty tenzoru při změně bází(139),(142).Transformace kompo-
nent tenzoru
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 180 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Komponenty tenzoru vzhledem k nové bázi mají tvar
T
l1...lp
k1...kq
= T( l1
, . . . ,  lp
; ek1
, . . . , ekq
) =
= T((a-1
)l1
j1
j1
, . . . , (a-1
)
lp
jp
jp
; ai1
k1
ei1
, . . . , a
iq
kq
eiq
) =
= (a-1
)l1
j1
. . . (a-1
)
lp
jp
ai1
k1
. . . a
iq
kq
T(j1
, . . . , jp
; ei1 , . . . , eiq ) =
= (a-1
)l1
j1
. . . (a-1
)
lp
jp
ai1
k1
. . . a
iq
kq
T
j1...jp
i1...iq
,
kde jsme použili multilinearitu T a vzorec (148). Č árkované komponenty lze
tedy pomocí nečárkovaných vyjádřit jako
T
l1...lp
k1...kq
= (a-1
)l1
j1
. . . (a-1
)
lp
jp
ai1
k1
. . . a
iq
kq
T
j1...jp
i1...iq
. (150)
Všechny dolní indexy komponent se tedy transformují maticí ai
k a všechny
horní indexy se transformují maticí inverzní (a-1
)l
j.
Tenzory stejných typů lze přirozeným způsobem sčítat. Jsou-li S a T ten- Sčítání tenzorů a náso-
bení číslemzory typu (p, q), pak jejich součet je opět tenzor typu (p, q), který je definován
vztahem
(S + T)(1, . . . , p; v1, . . . , vq) = (151)
= S(1, . . . , p; v1, . . . , vq) + T(1, . . . , p; v1, . . . , vq).
Tenzory můžeme také násobit reálným číslem. Je-li T typu (p, q), pak jeho
k-násobek je opět tenzor typu (p, q) definovaný vztahem
(kT)(1, . . . , p; v1, . . . , vq) = k.T(1, . . . , p; v1, . . . , vq). (152)
Komponenty součtu tenzorů resp. číselného násobku tenzoru jsou dány
(S + T)
j1...jp
i1...iq
= S
j1...jp
i1...iq
+ T
j1...jp
i1...iq
, resp. (kT)
j1...jp
i1...iq
= k.T
j1...jp
i1...iq
. (153)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 181 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Tenzory typu (p, q) nad V tedy tvoří vektorový prostor. Jeho dimenze je np+q
.
Prostor tenzorů typu (0, 1) je totožný s V 
. Tenzory typu (1, 0) tvoří vektorový
prostor dimenze n. Srovnáme-li vzorec (150) pro tento případ se vzorcem
(146), zjistíme, že komponenty vektoru v  V a komponenty tenzoru typu
(1, 0) se při změně báze ve V transformují stejně. V tomto smyslu lze tedy
prostor tenzorů typu (1, 0) ztotožnit s V .
Další operací, kterou pro tenzory můžeme zavést, je tenzorový součin. Tenzorový součin
Vezměme tenzor S typu (p, q) a tenzor T typu (r, s). Jejich tenzorovým
součinem S  T je míněn tenzor typu (p + r, q + s), pro který platí
(S  T)(1, . . . , p, p+1, . . . , p+r; v1, . . . , vq, vq+1, . . . , vq+s) = (154)
= S(1, . . . , p; v1, . . . , vq).T(p+1, . . . , p+r; vq+1, . . . , vq+s).
Jako cvičení se čtenář může přesvědčit o tom, že S  T je skutečně tenzor,
tj. multilineární zobrazení. Komponenty tenzorového součinu jsou dány
(S  T)
j1...jp jp+1...jp+r
i1...iq iq+1...iq+s
= S
j1...jp
i1...iq
.T
jp+1...jp+r
iq+1...iq+s
. (155)
Z tenzoru typu (p, q) lze vytvořit tenzor typu (p - 1, q - 1) tzv. kontrakcí, Kontrakce tenzoru
neboli úžením v jistém horním a jistém dolním indexu. Uvažujme např. tenzor
T typu (2, 2), jehož komponenty vzhledem k bázi ei jsou Tcd
ab . Kontrakcí
tenzoru T např. v prvním horním a druhém dolním indexu je míněn tenzor S
typu (1, 1), který má vzhledem k bázi ei komponenty
Sb
c = Tkb
ck ,
kde přes index k je provedena sumace
n
k=1. Kontrakci lze samozřejmě pro-
vádět v libovolném horním a libovolném dolním indexu u tezorů libovolných
typů, jejichž komponenty alespoň jeden horní a jeden dolní index mají.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 182 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Ale, co když kontrakci provedeme na komponentách tenzoru T v jiné
bázi? Bude výsledkem stejný tezor? Ukážeme, že ano. Podle (150) platí
S e
f = T re
fr = (a-1
)r
c (a-1
)e
d aa
f ab
r Tcd
ab .
Podle (145) platí (a-1
)r
c ab
r = b
c a také máme b
c Tcd
ab = Tcd
ac , takže dostáváme
S e
f = (a-1
)e
d aa
f Tcd
ac = (a-1
)e
d aa
f Sd
a. (156)
Rovnice (156) je ovšem opět transformační rovnicí (150) aplikovanou v pří-
padě tenzoru typu (1, 1). Komponenty S e
f a Sd
a jsou tedy skutečně kompo-
nentami jednoho tenzoru vzhledem k různým bázím a výsledek kontrakce
tedy nezávisí na volbě báze.
Pro komponenty tenzorů vzniklých kontrakcí se často používá stejného
označení jako pro původní tenzor, i když se o stejný tenzor nejedná. Např.
Tb
c = Tkb
ck .
V teorii relativity hraje ústřední roli pojem metriky. Metrikou je míněn Metrika
tenzor g typu (0, 2), který je symetrický, tj. pro libovolné vektory u, v  V
platí g(u, v) = g(v, u), a regulární, tj. matice (157) tvořená komponentami
gij tenzoru g vzhledem k libovolné bázi je regulární.
gij =






g11 g12 . . . g1n
g21 g22 . . . g2n
...
...
gn1 gn2 . . . gnn






(157)
Pro komponenty metriky díky její symetričnosti platí
gij = gji (158)
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 183 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
pro libovolné hodnoty indexů i, j, tj. gij tvoří symetrickou matici. Regularita
matice gij zaručuje existenci inverzní matice, kterou budeme značit gij
. Platí
tedy
gijgjk
= k
i . (159)
Matice gij
je rovněž symetrická. Tenzoru typu (2, 0) s komponentami gij
se
říká kontravariantní metrika. Samotné metrice g se pak někdy přidává pří-
vlastek kovariantní. Opět může vyvstat otázka, zda je kontravariantní metrika
zadána jednoznačně, zda inverzní matice g ij
k matici komponent gij vzhle-
dem k jiné bázi neudává jiný tenzor. Potvrzení jednoznačnosti ponecháváme
čtenáři jako cvičení.
Lze dokázat, že ve V vždy existuje báze, vzhledem ke které jsou všechny
nediagonální komponenty metriky gij nulové, tj. gij = 0 pro i = j, a na
diagonále jsou pouze jedničky nebo mínus jedničky, tj. gij = 1 pro i = j.
Je-li na diagonále s jedniček a n - s mínus jedniček, pak říkáme, že metrika
má signaturu (s, n - s).
Jako příklad metriky se signaturou (3, 0) uved'me skalární součin vektorů
v trojrozměrném vektorovém prostoru. Metrice se signaturou (n, 0) se říká
euklidovská. V teorii relativity hraje podstatnou roli metrika se signaturou
(3, 1), resp. (1, 3), v závislosti na konvenci. Metrice se signaturou (n - 1, 1),
resp. (1, n - 1), se říká lorentzovská nebo též Minkowskiho.
Pomocí kovariantní resp. kontravariantní metriky lze z tenzoru typu (p, q) Zvedání a snižování
indexůvytvořit tenzor typu (p-1, q+1) resp. (p+1, q-1) tzv. snižováním resp. zvedá-
ním indexu. Tuto proceduru definujeme opět pomocí komponent. Uvažujme
např. tenzor T typu (1, 3) s komponentami Ta
bcd. Zvednutím např. druhého
dolního indexu na první horní je míněna operace, která z tenzoru T udělá
tenzor S typu (2, 2) s komponentami
Sea
bd = gec
Ta
bcd. (160)
Připomínáme, že komponenty všech tenzorů v této rovnici jsou vzaty vzhle-
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 184 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
dem k jedné libovolně zvolené bázi. Snížením např. prvního horního indexu
na třetí dolní je míněna operace, která z tenzoru T udělá tenzor S typu (0, 4)
s komponentami
Sbced = gaeTa
bcd.
Č tenář se opět může přesvědčit, že provedeme-li proceduru zvedání či sni-
žování indexu s komponentami v jiné bázi, výsledkem bude tentýž tenzor.
Tj., že např. komponenty S ea
bd = g ec
T a
bcd souvisejí s komponentami Sea
bd
danými vzorcem (160) rovnicí (150), která v tomto případě nabývá tvaru
S ea
bd = (a-1
)e
k (a-1
)a
l ai
b aj
d Skl
ij .
Zvedat samozřejmě můžeme libovolný dolní index na horní index libovol-
ného pořadí u tenzorů libovolného typu, a podobně pro snižování.
Aplikujeme-li na tenzor T zvednutí a-tého dolního indexu na b-tý horní
a po té snížení b-tého horního indexu na a-tý dolní, dostaneme díky (159)
původní tenzor T. Totéž platí pro opačné pořadí operací.
Podobně jako u kontrakce se pro komponenty tenzorů vzniklých zved-
nutím či snížením indexu často používá stejného označení jako pro původní
tenzor, i když se o stejný tenzor nejedná. Např. Tea
bd = gec
Ta
bcd.
Příklad:
Uvažujme dvourozměrný vektorový prostor V a nad ním tenzor T typu (0, 3),
jehož komponenty Tabc vzhledem k jisté bázi ei ve V mají hodnoty
T111 = T222 = T221 = T112 = 0, T211 = T121 = T212 = T122 = 1.
Dále mějme na V zadánu metriku, jejíž komponenty vzhledem k bázi ei jsou
gij =
-1 2
2 1
. (161)
Určete komponenty tenzoru, který z tenzoru T vznikne zvednutím prvního
indexu. Proved'te kontrakci takto vzniklého tenzoru v horním a prvním dolním
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 185 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
indexu. Určete hodnotu takto vzniklého tenzoru typu (0, 1) na vektoru v =
3e1-2e2, kde báze ei je v nečárkované bázi vyjádřena e1 = e1, e2 = e1+2e2.
Ř ešení:
Abychom mohli zvednout index, potřebujeme komponenty kontravariantní
metriky gij
, které jsou dány inverzní maticí k (161). Máme tedy
gij
=
-1/5 2/5
2/5 1/5
.
Tenzor vzniklý zvednutím prvního indexu má komponenty Ta
bc = gae
Tebc,
takže
T1
11 = g11
T111 + g12
T211 = -
1
5
0 +
2
5
1 =
2
5
,
T1
12 = g11
T112 + g12
T212 = -
1
5
0 +
2
5
1 =
2
5
,
T2
11 = g21
T111 + g22
T211 =
2
5
0 +
1
5
1 =
1
5
.
Takto dostaneme i ostatní komponenty
T1
21 = T1
22 = -
1
5
, T2
12 =
1
5
, T2
21 = T2
22 =
2
5
.
Komponenty tenzoru vzniklého kontrakcí v horním a prvním dolním indexu
jsou Tc = Ta
ac, takže
T1 = T1
11 + T2
21 =
4
5
,
T2 = T1
12 + T2
22 =
4
5
.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 186 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Hodnota tenzoru s komponentami Tc na vektoru v se spočte jako Tcvc
, kde
vc
jsou komponenty v v bázi ei. Musíme tedy nejprve určit tyto komponenty.
Víme, že v = 3e1 - 2e2 = 3e1 - 2(e1 + 2e2) = e1 - 4e2, takže hledané
komponenty jsou v1
= 1, v2
= -4. Platí tedy Tcvc
= T1v1
+ T2v2
= -12/5.
Obr. 44: Ilustrace ke knize Julese Verna: Ze Země na Měsíc, kapitola Trocha algebry.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 187 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4. Ž ivotopisypředníchfyziků,obzvláště relativistů
4.1. Aristotelés ze Stageiry
Aristotéles ze Stage-
iry, (384 př. n.l.­ 322
př. n.l.)
Obr. 45: Busta Aristo-
tela ze Stageiry
ARISTOTELÉS ZE STAGEIRY
(asi 384 - 322 př. n.l.)
Emil Calda [14]
Je to docent
na sto procent
úplně všech věd.
Nepromarnil svoje léta,
učenost celého světa
přežvýkal a sněd.
V jeho knihách nejsou chyby.
Jenom moudrost mu v nich chybí!
Aristotelés byl jedním z největších myslitelů antiky, na kterého později na-
vázala i křest'anská filozofie. Zachoval se úctyhodný soubor jeho děl, z nichž
nás však bude především zajímat Fyzika [1] a traktát O nebi, v nichž formulo-
val své názory na klid a pohyb a na stavbu vesmíru (jejich rozbor je stručně
udělán i v knize [4]). Jako fundovaného průvodce Aristotelovým životem
a filosofickým dílem lze doporučil velmi čtivou knihu [2].
4.1.1. Aristotelův život
Aristotelés se narodil v roce 384 př. n.l. ve Stageiře, malém městě v Ma-
kedonii. Jeho otec, Nikomachos, byl osobním lékařem makedonského krále
Amynta II. Aristotelés měl tedy možnost navštěvovat hlavní město a upevnit
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 188 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
přátelství s Filipem, budoucím králem a budoucím otcem Alexandra Velkého.
Když Aristotelés ještě jako chlapec osiřel, byl svěřen jednomu z bratranců, Aristotelovo mládí
který ho vzal do Atarnea v Asii, městečka na svazích Lýdie. V sedmnácti le-
tech nacházíme Aristotela v Aténách, kde studuje v Akademii, nejprve však
nikoliv pod vedením Platóna, ale Eudoxa z Knidu, který byl spíše než filozof
velký matematik, astronom a fyzik.
Obr. 46: Obraz Raffaela Santiho Athénská škola ­
Aristotelés kráčí uprostřed po Platónově pravici
Aristotelés zůstal v Akademii
dvacet let, nejdříve jako žák, po-
tom jako řádný učitel. Podle his- Pobyt v Akademii
toriků byl nejoddanějším a nej-
kritičtějším z Platónových žáků.
Poté, co po Platónově smrti ne-
byl zvolen do čela Akademie, vrací
se do Atarnea, kde se žení s Pý-
thií, do které prý byl bláznivě za-
milovaný. Mimo to zde zakládá
filozofickou školu a pokračuje ve
vyučování.
Když je Alexandrovi Make-
donskému čtrnáct let, je Aristo-
telés povolán za jeho učitele. Jako výplatu požaduje rekonstrukci Stageiry, Učitel Alexandra Ma-
kedonskéhokterou srovnaly se zemí makedonská vojska. Výsledky tohoto spojení byl
traktát o kosmu, napsaný Aristotelem ad usum Alexandri a zoologická za-
hrada, kterou filozof vybudoval za pomoci svého svěřence, jež mu ze všech
koutů světa posílal zvířata a exotické rostliny.
V roce 340 př.n.l. se stal Alexandr makedonským králem a Aristotelés
se vrátil zpět do Atén, kde se rozhodl pro otevření vlastní školy. Zařídil si ji
v budově zvané Lykeion. Posléze byla, díky Aristotelově zvyku vyučovat za
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 189 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
chůze, nazvána ,,peripatetická"1
. V Lykeionu vyučovaly vynikající osobnosti Založení peripatetické
školy (Lykeion)své doby, například Theofrastos z Efesu a Straton. Učebnice sestavoval
Aristotelés osobně. Když Aristotelovi zemřela manželka, dal se dohromady
s guvernantkou domu, mladou Herpyllis, která mu už porodila jeho prvního
syna Nikomacha.
V roce 323 př. n.l. zemřel Alexandr a Athény se vzbouřili proti Make-
doncům a všem, kdo je podporovali. Aristotelés na obvinění z pobuřování Konec života
odpověděl útěkem do Chalkidy, kde měl majetek po matce, ale krátce nato
zemřel na onemocnění žaludku. Bylo mu šedesát tři let.
4.1.2. Stručný přehled Aristotelova filozofického díla
Obr. 47: Výřez
z Obr. 46 ­ Aristotelés
drží v ruce knihu o etice
Jak již bylo řečeno, Aristotelovo filozofické dílo ne-
stojí v centru našeho zájmu. Zájemcům proto znovu
doporučujeme velmi čtivou knihu [2], z níž získají další
podrobnosti. Snahou Aristotelovou bylo systematizo- Aristotelovo dílo filo-
zofickévat veškeré soudobé vědění. Proto píše knihy Zoolo-
gie, Morfologie živočichů, O rozmnožování živočichů,
v niž zkoumá a klasifikuje přes pět set druhů živoči-
chů, pojednání o jsoucnu (Metafyzika, O duši), spisy
o slovesném umění (Poetika, Rétorika) a o etice a poli-
tice (Velká etika, Etika Nikomachova, Politika, Aténská
ústava ­ podle Aristotela je člověk ,,zóon politikon", tvor
společenský).
Aristotelés je zakladatelem formální (pojmové) logiky, kterou považoval
za základ a předpoklad jakékoliv vědecké činnosti, je autorem prvních sy-
logismů. Logické spisy jsou souhrnně nazvány Organon, nejdůležitější části
jsou Analytiky a Topiky.
1 ˘  = vášnivě diskutovat, hovořit se zanícením
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 190 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Jádrem Aristotelova učení je nauka o jsoucnu (ontologie), která každé
věci přisuzuje látku (hylé) a tvar (morfé), nezbytné spolu s účelem a hybnou
příčinou ke vzniku jakékoliv věci. Dochází tak k pojmu prvního, absolutně
dokonalého hybatele.
4.1.3. Aristotelovská fyzika
Věda v Aristotelově pojetí směřovala k absolutnímu poznání.
Abychom lépe pochopili význam tohoto tvrzení, musíme jej vztáhnout na
geometrii, která od samého začátku nabízela model racionálního důkazu.
Geometrie dedukuje na podkladě definicí a principů sérii pevně na sebe Aristotelova metoda
vědeckého výzkumuvázaných vět tak, aby dospěla ke konstrukci obrazce, který je bez vady
a který je dokonale logický. Jestliže se dotkneme jen jedné definice nebo jen
jednoho postulátu, ohrozíme celý obrazec.
Obr. 48: Představa o sluneční sou-
stavě podle Aristotela
Aristotelés se snažil stejně postupovat
ve fyzice, která však studuje pohyb, změnu,
vznik a zánik jednotlivých věcí. Jeho věda,
čistě teoretická, hledala vědění pro vědění,
aniž se zabývala praktickými aplikacemi. To,
co nazýváme experimentálním důkazem ne-
mělo vůbec smysl: dříve, než bylo ukázáno
to nebo ono, bylo třeba to prokázat logikou. Aristotelova kosmo-
grafieV oblasti kosmografie dospěl Aristotelés
k závěru, že se svět skládá jednak z ne-
beské oblasti, v níž jsou všechny hvězdy
dokonale sférické a pohyb dokonale kru-
hový, jednak z oblasti pozemské neboli sub-
lunární, v níž jsou tělesa porobena vznikání
a zániku; všechny pohyby v této oblasti jsou přímočaré a mají začátek
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 191 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
a konec. Svět ­ neboli nebe ­ je sférický, jak se to líbilo smyslům a jak
to ospravedlňoval rozum. Rozličné planety či bludné hvězdy, upevněné na
průhledných sférách, obíhají kolem pevného středu představovaného Zemí,
jež je nehybná ­ právě pro své ústřední postavení a pro svou váhu. Země je
místem tíže: všechna hmotná tělesa k ní směřují a na ní nalézají opět stav
klidu, zatímco lehká tělesa stoupají k nebi. O hvězdách, které byly nazývány
pevnými, fixními ­ narozdíl od ,,bludných" hvězd čili planet ­ se soudilo, že
jsou jakoby zasazeny do osmého nebe, jež je od Země nejdále.
Dodejme ještě, že podle aristotelovské tradice by Země neměla mít nejen
pohyb, ale i světlo, protože je nejnižší krajinou nebes a centrem světa. Navíc
byla chápána jako protiklad nebeské dokonalosti, nebot' byla místem vzniku
a zániku.
Několik tisíciletí byl vše, co Aristoteles řekl, pokládáno za neoddiskuto-
vatelné dogma, což k rozvoji lidstva zcela jistě neprospívalo. Bylo by ale
bláznovství svalovat na Aristotela zodpovědnost za kult, který vybudovaly
následující generace.
4.1.4. Pokračovatelé Aristotelova díla
Klaudius Ptolemaios,
asi 100 ­ 170 n. l.4.1.4.1. Klaudius Ptolemaios O jeho životě mnoho nevíme; možná nové
informace přinese kniha [16], která má v nejbližších dnech vyjít, prozatím
čerpejme například ze stránek [17].
Ptolemaios byl řecký matematik, astronom, fyzik a zeměpisec. Při dělení Matematické objevy
kruhu zavedl výrazy minuta a sekunda, které používáme dodnes, sestavil
také tabulky tětiv po půl stupni od nuly do devadesáti stupňů, něco jako ná-
hražku za tehdy ještě neznámé tabulky logaritmů a goniometrických funkcí.
Jeho hodnota pro Ludolfovo číslo byla asi 3,1416666 a od správné hodnoty
se tedy lišila až na čtvrtém desetinném místě.
Za jeho nejdůležitější příspěvek k vývoji fyziky považujeme matematic-
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 192 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
kou formulaci Aristotelovy představy o kosmografii. V knize Mégale Syntaxis Almagest
(známější snad pod arabským názvem Almagest), shrnul soudobé astro-
nomické znalosti. Tato kniha se stala na více než patnáct set let učebnicí
astronomie.
Obr. 49: Klaudius Ptolemaios a znázornění epicyklů pro
Sluneční soustavu
V geocentrickém systému,
který v této knize popisuje,
zavedl soulad pozorovánía te-
orie pomocí teorie epicyklů.
Jedná se v podstatě o dvojí Deferenty a epicykly
kruhový pohyb planet ­ pla-
neta se pohybuje kolem Země
po kruhové trajektorii zvané
deferent a sama vykonává
navíc pohyb po jiné kruhové
trajektorii, zvané epicykl.
Epicykl se ,,valí" po de-
ferentu a podle poloměru obou
těchto kružnic a rychlosti pohybu po nich je výsledná trajektorie bud'kruhová,
nebo eliptická, anebo daleko složitější. Důkladnější seznámení s touto teorií
a animaci znázorňující pohyb po deferentu a epicyklu lze najít na interneto-
vých stránkách [18]. Tato teorie umožňovala vypočítat polohu těles na obloze
(s přesností dostatečnou pro pozorování prostým okem) na dlouhou dobu
dopředu i dozadu v čase. Nesprávnost Ptolemaiova geocentrického systému
ukázala až Galileiho pozorování fází Venuše (4.4.3.3).
4.1.4.2. Středověcí filozofové Aristotelovo vidění světa bylo posvěceno
slavnými středověkými mysliteli, zejména Tomášem Akvinským, který je úzce
spojil s židovsko-křest'anským zjevením. Nová systematizace nabyla dogma- Tomáš Akvinský
1225(7?) ­ 1274tický ráz a prosadila se mezi tomistickými mysliteli na většině univerzit.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 193 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Je však pravda, že vedle této scholastiky náboženského rázu se jiné
formy aristotelismu, které se rovněž dovolávaly své bezpodmínečné věrnosti
Aristotelovi, nedaly uvěznit náboženskými ohledy: tak se vyvíjela v Padově
od konce XIII. století averroistická tradice, vzešlá z interpretace Aristotelovy
filozofie arabským filozofem Ibn Rušdem, řečeným Averroes, která měla
velmi hluboce zapůsobit na italskou filozofii. Averroes byl originálním ko- Averroes 1126 ­ 1198
mentátorem Aristotela; jeho spisy a teorie tzv. ,,dvojí pravdy" (náboženské
a filozofické) hluboce ovlivnily středověké evropské myslitele. [4]
Obr. 50: Vlevo: Tomáš Akvinský. Vpravo: Averroes (v turbanu) se sklání nad Pythagorem ­
výřez z Obr. 46
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 194 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.2. Mikuláš Kopernik
Mikuláš Kopernik
(1473 ­ 1543)
Obr. 51: Ko-
pernik s konva-
linkou ­ odzna-
kem lékařů
M. KOPERNÍK (1473 - 1543)
Emil Calda [14]
Za předního vědeckého úderníka
považuju Mikuláše Koperníka.
Slunce zastavil, Zem uvedl do chodu,
tak už tenkrát předělal nám přírodu!
4.2.1. Kopernikovo dětství a mládí
Mikuláš Kopernik se narodil 19. února 1473 v Toruni. Jeho otec, krakov-
ský obchodník, se do tohoto starobylého hanzovního města přistěhoval roku
1458, krátce potom, kdy bylo přičleněno k Polsku. Oženil se s Barborou Wat-
zenrodovou ze zámožné toruňské rodiny a měli čtyři děti: dvě dcery a dva
syny, z nichž Mikuláš byl nejmladší. Po otci byl Kopernikův původ slovan-
ský, polský, ale i Kopernikova matka, třebaže její příjmení by naznačovalo
německý původ, byla ze slovanského roku, který původně sídlil ve Svídnici
ve Slezsku. Dětství a mládí
Mikuláš Kopernik osiřel již ve svých deseti letech a výchovy jeho i jeho
sourozenců se ujal matčin bratr, Lukáš Watzenrode, kanovník ve From-
borku. Své oba synovce, staršího Ondřeje a mladšího Mikuláše, poslal na
krakovskou univerzitu, která měla v té době vynikající pověst ­ proslavila
se vynikajícími profesory, humanisty, kteří bojovali proti středověké askezi
vyzdvihované církví a hlásali svobodný rozvoj lidské osobnosti.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 195 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.2.2. Kopernikova studia, seznámení s astronomií
Na univerzitě absolvoval Kopernik trivium (gramatika, rétorika a dialektika),
Obr. 52: Erb
města Toruni
Studia v Krakově
a pak i kvadrium (aritmetika, geometrie, astronomie a
hudba). Kromě toho se věnoval i studiu jazyků (řečtina, la-
tina a živé jazyky), malířství a perspektivě. Pod vedením
slavného soudobého astronoma Vojtěcha Brudzewskiho se
Kopernik seznámil s teorií pohybu planet, teorií zatmění
Slunce a Měsíce, s tvorbou kalendářů a hlavně důkladně
poznal učení Aristotela (4.1) a Ptolemaia (4.1.4.1). Studia
v Krakově končí v roce 1494, aniž by získal akademický titul.
Odchází za svým strýcem, který se mezitím stal warmijským
biskupem.
Obr. 53: Kopernik pozorující oblohu
Pokus prosadit Kopernika za ka-
novníka tohoto biskupství končí ne-
úspěchem, Kopernik tedy odchází
pokračovat ve studiích do Bologně.
Zde studuje právnickou fakultu, ale Studia v Itálii
hlavně poslouchá astronomické a ma-
tematické přednášky a zdokonaluje
se v klasické řečtině. Tato mu poz-
ději ulehčí jeho studium Ptolemai-
ova (4.1.4.1) spisu Megalé Synta-
xis, známého spíše pod arabským
názvem Almagest. Nyníse strýci po-
daří záměr uskutečnit.
Kopernik svá italská studia přerušil roku 1500 roční cestou do Ř íma,
kam odcestoval spolu se svým bratrem Ondřejem. V Ř ímě jednak pronesl
několik matematických a astronomických přednášek, jednak zde 6.11.1500
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 196 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
pozoroval zatmění Měsíce. Roku 1501 se oba bratři vrací do vlasti, Mikuláš
se pak vydává se souhlasem kapituly dokončit studium církevního práva,
ke kterému si přidává i studium lékařství. Roku 1503 je pak promován dok- Promoce doktorem
církevního práva
a doktorem medicíny
torem církevního práva i medicíny a vrací se ke strýci do Lidzbarku. Zde
jednak působí jako lékař, jednak se věnuje i diplomacii. Začíná zde psát dílo
O oběhu nebeských sfér, na kterém bude pracovat ještě dalších 30 let, než se
je rozhodne zveřejnit.
4.2.3. Kopernikovy církevní a světské povinnosti
Obr. 54: Kopernikova
pracovna ve Fromborku
Po smrti svého strýce v březnu 1512 přesídluje Ko-
pernik natrvalo do Fromborku (německý název města
je Frauenburg). Vykonává zde lékařskou praxi a astro-
nomická pozorování, protože není vysvěcen na kněze,
platí si pro náboženské věci zástupce a sám se ome-
zuje na administrativní práce. Těch přibývá, když je Kopernikova mimově-
decká činnostroku 1516 zvolen za generálního administrátora kapi-
tuly. Je nucen řídit obranu Fromborku a Olštýna před nájezdy německých
rytířů, roku 1521 rokuje o příměří, vydává Traktát o minci, ve kterém řeší
problém inflace. Závěry plynoucí z tohoto spisku byly použity při měnové
reformě v roce 1526.
4.2.4. Události provázející vydání Kopernikova základního díla
Není vyloučeno, že inspirací pro vznik heliocentrického názoru byla věta
z Vergíliova díla Aeneis (1.1.4) ­ to, že básník vztahuje pohyb k lodi, a ne
k zemi, naznačuje fyzikovi možnost zaměnit vztažnou soustavu spojenou
se Zemí za jinou, spojenou se Sluncem. V ní je možné popsat pohyb pla-
net mnohem jednodušeji, bez Ptolemaiových (4.1.4.1) epicyklů a deferentů,
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 197 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
a hlavně vysvětlit pohyb Luny, který se Ptolemaiovým předpokladům neu-
stále vymykal. Kopernik je však zřejmě rozhodnutý své výsledky nezveřejnit.
Toto rozhodnutí však změní setkání s vědcem luteránského vyznání: Roku
1539 navštěvuje Kopernika Georg Joachim von Lauchen, zvaný Rhaeticus.
Příčinou návštěvy je snaha dozvědět se více o Kopernikově učení, jehož
základy se šíří v opisech spisku Malý komentář o hypotézách nebeských po-
hybů (Commentariolus de hypothesibus motuum coelestium). Na jeho naléhání O obězích nebeských
sférse Kopernik rozhodl dát do tisku své zásadní dílo,
Obr. 55: Stránka
z díla ,,O obězích ne-
beských sfér"
obsahující matematicky podložené základy helio-
centrické soustavy, nazvané (zkráceně) O obězích ne-
beských sfér (De revolutionibus orbium coelestium). Dílo
vychází poprvé v dubnu 1543 v Basileji a Kopernik do-
stává 24.5.1543 jeden jeho výtisk. Za několik hodin
poté těžce nemocný Kopernik umírá.
,,Díloméhoučitele", říká Rhaeticus, ,,budeprovšechny,
kteří se zajímali o matematické vědy, a pro všechny budoucí
pokolení nikdy nevyčerpatelným zdrojem poznání." Dílo je
velmi rozsáhlé, obsahuje šest knih, nejprve je zde vy-
kládán starověký geocentrický názor (středem světa je
naše Země) a teprve potom Kopernik rozvíjí vlastní, he-
liocentrickou představu. Shrňme alespoň stručně sedm
axiomů, na nichž je teorie vystavěna:
1. Není jednoho bodu, který by byl středem všech nebeských sfér.
2. Střed Země není středem světa, je pouze středem tíže a středem
měsíční sféry.
3. Všechny sféry obíhají kolem Slunce jako svého středu, proto je Slunce
položeno v blízkosti středu světa.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 198 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4. Vzdálenost Země od Slunce je nepatrná ve srovnání s velikostí ne-
beské klenby. Změna polohy pozorovatele, způsobená ročním pohy-
bem Země kolem Slunce, působí zdánlivé posouvání hvězd. Je však
příliš malá vzhledem k nesmírné vzdálenosti nebeské klenby, aby ta-
kový pohyb mohl být pozorován.
5. Všechny pohyby, které pozorujeme na hvězdné obloze, vznikají z po-
hybu Země. To totiž ona spolu s nejbližšími živly ­ vodou a vzduchem ­
se otáčí denně kolem nehybných pólů. Hvězdná obloha je nepohyblivá.
6. Všechno, co se zdá být pohybem Slunce, nepochází z jeho pohybu,
ale z pohybu Země a její sféry. Země obíhá kolem Slunce tak jako
každá jiná planeta. Země vykonává zároveň několik různých pohybů.
7. Přímý i zpětný pohyb planet není jejich vlastním pohybem, ale klamem
vznikajícím při pohybu Země. Její pohyb dostačuje k výkladu mnoha
jevů na obloze.
4.2.5. Reakce na Kopernikovo učení
Martin Luther, 1539:
Obr. 56: Martin
Luther
,,... hovoří o novém astronomovi, který chce dokázat, že Země
se pohybuje, nikoliv nebe, Slunce a Měsíc. ... Tak to nyní chodí:
kdo chce být moudrý, musí si vymyslet něco svého. A nejlepší
musí být to, co dělá právě on! Ten hlupák chce vyvrátit celé
umění astronomie! Ale jak praví Písmo svaté, Jozue (3) přikázal
zastavit se Slunci, a nikoliv Zemi!"
Philipp Melanchton, 1541: ,,Mnozí vychvalují takovou ab-
surdní ideu, jakou hlásá onen sarmatský astronom, že Země se
hýbá a Slunce stojí. Moudří panovníci by měli zkrotit bezuzdnost
rozumářů."
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 199 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Rhaeticus: ,,Jsou důvody, abychom měli rádi autora a zejména jeho pronikavý,
bystrý rozum a velký rozhled, jak v jiných vědách, tak hlavně a především v učení
o nebi, že je možné ho srovnávat s největšími mistry starověku. Musíme být vděčni
naší době za to, že stvořila takového mistra, který povzbuzuje druhé a pomáhá jim
v činnosti. Jsem přesvědčen, že se mi v životě nepřihodilo nic lepšího než setkání
s takovým velkým a učeným mužem."
Galileo Galilei (4.4): ,,Mnoho let zpět jsem se obrátil k myšlenkám Koperníka
a za pomoci jeho teorie se mně podařilo plně objasnit mnohé jevy, které nemohly být
obecně objasněny prostřednictvím předchozí geocentrické teorie."
Obr. 57: Johannes
Kepler
Isaac Newton (4.5): ,,Síla gravitace vzniká z jakési příčiny,
která prostupuje až ke středům Slunce a planet, aniž by se její ve-
likost zmenšovala. Nepůsobí tedy podle velikosti povrchu částí,
na které působí, jak je tomu u mechanických příčin, ale podle
velikosti pevné hmoty. Její působení zasahuje až do nesmírných
vzdáleností, přičemž se vždy zmenšuje se čtvercem vzdálenosti.
Slunečnígravitace se skládá z gravitacíjednotlivých částíSlunce.
Při vzdalování od Slunce se zmenšuje přesně se čtvercem vzdá-
lenosti až po dráhu Saturna, jak to zřetelně vyplývá ze stálých
pomoc afélií planet, a zasahuje až k nejzazším aféliém komet,
pokud tato afélia setrvávají v klidu."
Johannes Kepler: ,,Protože jsem o správnosti Kopernikovy teorie naprosto
přesvědčen, zabraňuje mi svatý ostych přednášet cokoliv jiného, byt'si by to bylo ke
slávě mého ducha či pro uspokojení lidí, kteří jsou rozezleni nezvyklostí této teorie."
Zpracováno podle [15] a [19]. K návštěvě doporučujeme Kopernikovo
muzeum ve Fromborku, a to jak fyzicky, tak i na Internetu [20].
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 200 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.3. Giordano Bruno
Giordano Bruno, (1548
­ 1600)
Obr. 58: Giordano Bruno
,,V těchto knihách je možno zejména poznat jak moje
názory, tak moje učení. Oboje se vztahuje k tvrzení, že
vesmír je nekonečný, jako výtvor nekonečné a božské
moci, protože jsem soudil, že by jí bylo nehodné, aby
tvořila pouze jeden a konečný svět, když může vytvořit
mimo tento svět také jiný svět a mnohé další.
Prohlašoval jsem tedy, že existují nekonečné světy
podobné Zemi, a že Země, kterou s Pythagorem pova-
žuji za hvězdu, je podobná Měsíci, planetám a jiným
hvězdám, kterých je bezpočet ..."
z inkvizičního protokolu sepsaného
s Giordanem Brunem (podle [4])
4.3.1. Ž ivotní osudy
Co víme o životě Gior-
dana Bruna?Narodil se v Nole, v neapolském království, roku 1548. Vstoupil do kláštera
sv. Dominika v Neapoli (S. Domenico Maggiore) a roku 1572 byl vysvěcen
na kněze. Po dobu patnácti let, od roku 1576 do 1591, se stává jeho život
dlouhým putováním, které ho vede Evropou zmítanou náboženskými vál-
kami, v níž navzájem se střetávající terorismus nejrůznějšího druhu byl jen
málo nakloněn svobodě filosofa v exilu. V Ženevě se rozloučil s mnišským
hábitem a přestoupil k reformovanému náboženství, z jehož církve však byl
v zápětí exkomunikován. Odešel do Tolouse a do Paříže, v Anglii nalezl
několik let azyl u velvyslance krále Jindřicha III., Michela de Castelnau.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 201 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obr. 59: Klášter
svatého Dominika
v Neapoli
Navštívil i Wittenberg a Frankfurt. Nakonec se vrátil do
Itálie, nejprve do Padovy, pak do Benátek, kde přijal pohos-
tinství jednoho ze šlechticů města, Giovanniho Moceniga,
který ho však neváhal vydat biřičům inkvizice. Inkviziční
proces začal v Benátkách v květnu roku 1592 a od února
1593 pokračoval v Ř ímě. V únoru 1600 byl inkvizičním tri-
bunálem odsouzen a upálen v Ř ímě, na Campo di Fiore
(Náměstí květů). Smrt Giordana Bruna
,,Byl nám svěřen k smrti odsouzený níže popsaný: Giordano
(...) odpadlý bratr z Noly (Neapolské království), kacíř a nekajíc-
ník. Vyzýván našimi bratry a jinými otci (...), kteří mu ukázali
s láskou a velkou znalostí jeho omyl, vystavil svou hlavu tisíci omylů a marností;
setrval natolik ve své umíněnosti, že byl nakonec služebníky spravedlnosti doveden
na Campo di Fiore a tam svlečen a nahý připoután ke sloupu a upálen zaživa, stále
za přítomnosti našeho tovaryšstva, které zpívalo litánie, a také za přítomnosti utě-
šovatelů, kteří ho vyzývali až do posledního okamžiku, aby odvolal svou zatvrzelost,
s níž nakonec ukončil svůj ubohý a nešt'astný život."
4.3.2. Případ Giordana Bruna ­ přehled kacířských myšlenek
Případ Giordana Bruna vykazoval rysy podobnosti s později vedeným inkvi-
zičním procesem proti Galileimu (4.4). V obou případech hrál význačnou
roli kardinál Robert Bellarmin (1542-1621) jakožto inkvizitor, oba vědci se
snažili opravit zažité, ale poznatkům soudobé vědy neodpovídající tvrzení
Aristotela (4.1) a peripatetiků, které však byly pro řadu církevních autorit ne-
dotknutelné. Případy však skončily rozdílně: Galilei odvolal a zachoval svůj Bruno, Galilei a inkvi-
ziceživot, aby získal čas pro dokončení svého vědeckého díla, Giordano Bruno
se svých názorů nezřekl a zemřel pro ně na hranici. Rozdíl je možné najít
i v přístupu obou vědců ke svému dílu: Bruno je spíše filosof, svá většinou
filosofická tvrzení odvozuje metodami indukce a dedukce, zatím co Galilei,
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 202 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
nazývaný později otcem moderní přírodovědy, zakládá vědeckou metodu
(pozorování ­ hypotéza ­ teorie ­ experiment) a nedílnou součástí jeho
prací jsou matematické výpočty a experimenty či pozorování.
Obr. 60: Kardinál
Robert Bellarmin
Galilei se v astronomii zabývá spíše otázkami sluneční
soustavy a blízkých (či spíše dobře viditelných) objektů,
které mohl sledovat svým nově objeveným dalekohledem,
a tedy mohl podložit své názory opakovaným pozorováním,
Bruno vytváří svou kosmologii, v některých bodech blízkou
našim názorům, pouze na základě čistě myšlenkové úvahy.
Rozdílné je i sociální postavení Bruna a Galileiho: za Gali-
leim stáli přátelé, řada z nich mocní a vlivní své doby.
Věnujme se však nyní osobě a díle Giordana Bruna.
Již v benátské části procesu byla vznesena tato závažná
obvinění proti Brunovi:
Obr. 61: Socha
Giordana Bruna na
náměstí Campo di
Fiore
Základy Brunovy kos-
mologieStýkal se s kacíři a žil jako oni.
Svedl božské Slovo, inkarnaci, svatého Ducha na pouhé
filozofické pojmy, navíc úzce spjaté s podivnou kosmologií,
odvozenou od Kopernikova systému (4.2.4). Místo učení
o světě stvořeném z ničeho postavil tvrzení, že existuje
nekonečný vesmír, který je věčný a který je složen z ne-
spočetných světů. Pohyb hvězd je prý přirozený a stejně
přirozený je pád těles. V obou případech tíhy a pohybu sle-
dují tělesa dráhu, která odpovídá jejich sebezachování, dík
vnitřnímu principu, duši nebo instinktivní tendenci. Vůbec
není podle něho nutné připoutat hvězdy k pevným pod-
kladům nebo je svěřit do opatrování andělům, kteří by jim
určovali směr jejich pohybu.
Kardinál Bellarmin, který se ujal vedení procesu v Ř ímě roku 1597, zfor-
muloval osm tvrzení, které měl Bruno odvolat:
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 203 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
1. Bruno tvrdí, že objasnil příčiny pohybu Země a nehybnosti oblohy jis-
tými důvody, které prý neodporují božskému Písmu. Marně mu byly Názory Giordana
Bruna, které měl
odvolat
předloženy verše z bible (kniha Kazatel 1, 4­5) ,,... a ačkoliv země na
věky trvá. Vychází slunce i zapadá slunce ..." Bruno odpověděl, že se
Písmo svaté vyjadřuje jazykem, který je přístupný věřícím a neobrací
se k vědcům jako takovým. Poznamenejme hned, že týž text z bible
Bellarmin později předložil Galileimu (4.4.3.5).
2. Bruno kladl proti ideji stvoření světa svou doktrínu nekonečného a věč-
ného vesmíru, složeného z nesčetných světů, nebot' jak tvrdil obžalo-
vaný, ,,kdo popírá nekonečný účinek, popírá nekonečnou moc."
3. Bruno označoval hvězdy v jednom tvrzení za pravdivé ,,posly a tlumoč-
níky božího hlasu ... hmatatelné a viditelné anděly".
4. Další tvrzení se týkalo vzniku věcí: Bruno v něm tvrdil, že dva skutečné
a věčné principy každé existence jsou světový duch a původní hmota.
Rovněž toto byl důsledek teze, že vesmír je věčný a že světy, které ho
tvoří, jsou nadány vnitřním principem pohybu a nikoliv pohybovány, jak
se věřilo, pevnými sférami nebo anděly.
5. Lidská duše je pouze přechodným projevem duše světové, tak jako je
tělo přechodným projevem univerzální hmoty.
6. Jelikož substance je věčná, nic nevzniká ani nemizí; život a smrt jsou
pouze přechodnými podobami. Nedochází k přeměně substance, ale
jen ke změnám v jednotlivých formách, které na sebe bere.
7. Země je tedy nadána duší, která má nejen vlastnost vnímavosti, ný-
brž také rozumovosti a možná ještě něčeho více. Což není řečeno
v Genesis (1,24): ,,Vydej země duši živou ..."?
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 204 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
8. A konečně poslední tvrzení se vztahovalo na individuální duši a její
vztah k tělu. Bruno ­ proti doktríně svatého Tomáše (Akvinského,
1225(7?) ­ 1274) tvrdil: ,,Nemyslím, podle mého způsobu filozofického chá-
pání, že by duše byla formou, nýbrž se domnívám, že tvoří duchovní skuteč-
nost, která je opravdově přítomná v těle."
Bruno uznal žalovaná tvrzení jako svá vlastní, ale odmítl připustit, že by
byla kacířská. Bruno se zatvrdil: ,,nesmí a ani se nechce kát a (...) vlastně není
zač se kát." Diskuze se táhla ještě celý rok, ale směřovala k neodvratnému
konci.
Tři dny po Brunově upálení se nápis vyvěšený na zdech krutě vysmíval
kacířově zatvrzelosti: ,,Tvrdil o sobě, že zemře jako mučedník (...) a že jeho duše
vstoupí do ráje s dýmem hranice. A ted'už musí vědět, zda mluvil pravdu!"
Zpracováno podle [4] (odsud pocházejí všechny citáty) a s použitím [21].
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 205 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.4. Galileo Galilei
Galileo Galilei (1564 ­
1642),,Je zpozdilostí chodit hledat smysl věcí přírodních do papírů toho nebo onoho, místo
do díla přírody, jež vždy žije a jež tvořící je nám před očima, pravdivá a neměnná ve
všech svých věcech ..."
Galileo Galilei
Obr. 62: Galileo
Galilei ­ Leoniho
kresba
Galilei byl jedním z následovníků Mikuláše Kopernika
(4.2.5) a Giordana Bruna (4.3.2). Do všeobecného pově-
domí se zapsal dvěma příběhy, o jejichž pravdivosti lze
s úspěchem pochybovat: historkou o tom, jak ze Š ikmé
věže v Pise házel různé předměty, aby prozkoumal volný
pád těles, a druhou historkou o tom, jak po odvolání před
inkvizičním soudem pronesl vzpurně větu ,,Eppur si mu-
ove!"(A přece se točí!). Nepravdivost druhé historky je do očí
bijící, takovéto prohlášení by vyneslo Galileimu revizi inkvi-
zičního procesu ukončenou upálením na hranici, o malé
pravděpodobnosti první z historek pojednává například člá-
nek [8]. Přestaňme se proto zabývat tendenčními legendami a zrekapitulujme
to, co o Galileim skutečně víme. Jako spolehlivý zdroj informací lze doporučit
knihu [4], z které je převzata většina citátů, případně tenkou, ale zajímavou
a poučnou knihu [9], a velice pěkně zpracované internetové stránky [5].
4.4.1. Dostupná fakta o Galileiho osobním životě
Ž ivot Galileiho
Galileo Galilei se narodil v Pise roku 1564, křestní jméno dostal po svém
dědečkovi. Galileiho otec Vincenzo (1520-1591) byl skladatelem a hudebním
teoretikem; nejznámější z jeho děl je Dialog o staré a nové hudbě.
Galileo měl tři mladší sourozence, sestry Virginii a Livii, a bratra Mi-
chel'Angela. Rodiče se brzy usadili ve Florencii, kde se Galilei málem stal
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 206 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
knězem. Nakonec se rozhodl studovat v Pise medicínu, ale po setkání s Os-
tiliem Riccim (1540-1603), dvorním matematikem velkovévody Francesca
Florentského, se rozhodne věnovat matematice, do které se tenkrát také
pojímaly fyzikální aplikace. Tím je předurčena jeho životní dráha.
Roku 1592 se stěhuje do Padovy a začíná zde žít s Benátčankou Marií
Gambou, s níž má tři nemanželské děti: dcery Virginii a Livii a syna Vincenza.
Vztah s Marií Gambou končí roku 1610, kdy se Galilei stěhuje do Florencie
jen s dcerami, Maria Gamba zůstává se synem Vincenzem v Padově a o tři
roky později se provdává. Roku 1619 Galilei syna legitimuje a dostává pro
něj od papeže malou penzi.
Syn Vincenzo (1606­1649) se stává právníkem, s otcem se téměř ne-
stýká. Obě Galileiho dcery, Virginie i Livie, vstupují do kláštera. Mladší Livie
(1601 ­ 1659) přijímá řádové jméno Marie Arcangela. Některé prameny uvá-
dějí, že byla slabomyslná. Starší Virginie (1600 ­ 1634), od roku 1616 sestra
Marie Celesta, zdědila otcova ducha a pronikavost myšlení. Marie Celesta, nejmi-
lejší Galileiho dcera
Obr. 63: Virginia,
sestra Maria Ce-
lesta Galileo
Zachovala se její korespondence s otcem, téměř 120
dopisů, prodchnutých láskou k otci a důvěrou ve správnost
a pravdivost jeho učení. Poté, co Galilei 1631 kupuje vilu
v Arcetri, jsou si ještě bližší a mohou se občas i navštěvo-
vat. Marie Celesta pomáhá otci snášet první roky domácího
vězení, uvaleného inkvizicí. Umírá po vleklé nemoci roku
1634, Galilei osm let poté.
Další životní osudy jsou ovlivněny jeho prací a výsledky
jeho výzkumů. Rozdělme jeho vědecké dílo na část, která
se týká přímo výzkumů a publikací, které vedly k inkvizič-
nímu procesu s Galileim, a na jeho další objevy.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 207 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.4.2. Galileiho vědecká činnost, která se nedostala do rozporu s inkvizicí
Obr. 64: Ostilio Ricci ­
muž, který přivedl Gali-
leiho k matematice
Galilei se věnoval matematice již za svých studií
v Pise. Zde znovuobjevil Archimédův zákon o hydrosta-
tické rovnováze a stanovil jeho princip ve velmi přes-
ných termínech, mezi léty 1585 až 1587 se zabýval
teorémy o těžišti pevných těles. Dopisoval si s největ-
šími matematiky své doby a zároveň hledal místo pro-
fesora matematiky. Získává ho nejprve v Pise, později
v Padově, která je součástí Benátské republiky. Zde se
věnuje hlavně praktickým aplikacím matematiky: jed-
nak lekcím vojenského stavitelství, jednak konstrukci
čerpadel vody. Roku 1593 se zabývá otázkou tepelné
roztažnosti kapalin a vyrábí první termoskop. Konstrukce čerpadel
a termoskopuNejvíce ceněným Galileiho dílem této doby je Traktát o mechanice, pů-
vodně plánovaný jako učebnice mechaniky pro studenty. Již v úvodu této
knihy lze poznat znaky Galileim nově vybudované vědecké metody, dodnes
používané v moderní fyzice: Traktát o mechanice
Obr. 65: Páka
,,Dřívenež přistoupímekpodrobnostemúvah
o mechanických nástrojích, zdá se mi potřebné
uvažovat o nich v jejich obecnosti a uvědomit
si výhody, které z toho mohou pro nás vyply-
nout (...) A to se mi zdá o to užitečnější, že vět-
šina těch, kdo tyto stroje konstruují, se zpravidla
mýlí ... o jejich významu. Ve snaze přizpůsobit
je pro četné úkoly jim připisují vlastnosti, které
jsou jejich povaze cizí. Tak se stává, že si činí
iluze o očekávaných výsledcích a jsou zklamáni,
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 208 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
když se po tolika nadějích projeví jako marné přísliby.
Obr. 66: Galileo Galilei
­ portrét od Tintoretta
Podle mého názoru je třeba hledat hlavní zdroj těchto
omylů v marné víře, že by bylo možno za pomoci malé síly
zvedat velmi těžké zátěže a tak jakoby oklamat přírodu, která
by se měla dát chytit do jejich léčky (...).
Jestliže tedy stroje nemají tento význam, stálo by za
úvahu ukázat, v čem spočívají jejich skutečné výhody.
Přistupujeme-li k problému, jsme rázem vedeni k tomu,
abychom zahrnuli do úvahy určitý počet údajů: břemeno,
které je třeba přenést z jednoho místa na druhé, sílu nebo
působení, které je schopno tímto břemenem pohnout, vzdá-
lenost, kterou je třeba urazit, čas, kterého je zapotřebí k pře-
místění, nebo, což je totéž (...) rychlost pohybu."
Obr. 67: Discorsi ­ obálka
knihy
Dále Galilei převádí všechny uvedené faktory
do kvantitativního jazyka ­ velikost síly či odporu,
velikost uražené dráhy,... a stanovuje formuli ekvi-
valence mezi silami, které vykonají tutéž práci za
různý čas či po různé dráze. Ohlašuje se zde tedy
platnost principu zachování mechanické práce, čili
,,zlaté pravidlo mechaniky": ,,To, co se získává na síle, Zlaté pravidlo mecha-
nikyse ztrácí na rychlosti, a protože máme málo sil a hodně
času, dokazuje to, jak jsou tyto stroje užitečné."
Galileiho bádání se však neomezuje pouze na
jednoduché stroje: zabývá se magnetismem, kon-
struuje mikroskop a dalekohled, zkoumá pohyb ky-
vadel, zabývá se hydromechanikou ­ roku 1612 Hydromechanika
vydává Rozpravy o všem, co na vodě plave nebo
se v ní pohybuje, a roku 1616 podává jedno z prv-
ních vysvětlení přílivu a odlivu ­ jak lze zjistit na-
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 209 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
příklad v článku [6], bylo bohužel nesprávné. V dalším tvůrčím období jsou
Galileiho mechanické výzkumy poněkud zatlačeny do ústraní díky zájmu
o astronomická pozorování. Plně se jim začíná opět věnovat až po ukončení
inkvizičního procesu a po odchodu do nuceného domácího vězení.
Obr. 68: Zatížený trám
V něm čtyři roky před svou smrtí, roku 1638,
dokončuje dílo Discorsi (Discorsi e dimonstrazioni Discorsi
interno a due nuove scienze, attenenti alla Me-
canica i Movimenti Locali ­ Rozpravy a matema-
tické důkazy týkajících se mechaniky a místních po-
hybů). Tato kniha, stejně jako Dialog o dvou světo-
vých systémech, o které bude promluveno později
(4.4.3.6), je určena širší veřejnosti ­ obě tyto knihy
jsou psány italsky, nikoliv latinsky, a formou dialogu
­ pánové Salviati, Sagredo a Simplicio v nich roz-
mlouvají o fyzikálních problémech.
Obr. 69: Porovnání ­ kosti
různě velkých živočichů
V knize Discorsi je ve středu zájmu diskutujících
mechanika ­ kniha je rozdělena na jednotlivé dny,
během nichž řeší diskutující následující problémy:
první den se zabývají otázkami odporu vzduchu
a volného pádu (rozbor určitých pasáží z tohoto
dne je sepsán v článku [8]), druhý den věnují pro-
blematice pevnosti těles, konkrétně například zkou-
mání nosnosti trámu, ale kladou si i otázku, bylo-li
by možné živočichy libovolně zvětšit při zachování jejich proporcí. Třetí den Princip setvačnosti
zkoumají chování kyvadla a vyslovovují princip setrvačnosti, který je vlastně
prvotní formulací prvního Newtonova pohybového zákona.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 210 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obr. 70: Parabolická dráha vr-
ženého tělesa
Č tvrtý den obsahuje odvození faktu, že tra-
jektorií vrženého tělesa je parabola, pátý den
pak konečně shrnuje Galileiho teorémy o těžišti.
Tato kniha shrnuje výsledky Galileiho celoživot- Vrhy těles
ního bádání a obsahuje jak formulaci principu
setrvačnosti, tak i prvotní formulace některých
matematicko-fyzikálních postupů, z nichž poz-
ději vycházel infinitesimální počet. Tak bylo Ga-
lileiho celoživotní mechanické dílo dovršeno.
4.4.3. Objevy vedoucí k inkvizičnímu procesu s Galileim
4.4.3.1. Objev dalekohledu Příběh inkvizičního procesu s Galileim za-
číná neověřenými zprávami o ,,holandských rourách", které v letech 1608 až
1609 přicházejí do Benátek.
Obr. 71: Galileiho po-
trét od Sustermanse ­
při podrobnějším zkou-
mání je vidět, že Galilei
drží v ruce dalekohled
Galilei konstruuje da-
lekohledNa jejich základě se Galilei rozhodne zkonstruovat
dalekohled. První exemplář je schopen jen trojnásob-
ného zvětšení, postupně se mu však povede dosáh-
nout zvětšení třicetinásobného. Délka tubusu tohoto
Galileiho dalekohledu byla 1245 mm, jako objektiv slou-
žila spojka o průměru 53,5 mm, jako okulár rozptylka
o průměru 25 mm. Již první uživatelé tohoto vynálezu,
ctihodní senátoři Benátské republiky, byli dojati a udi-
veni podívanou, která se jim nabízela: Senátoři Benátské re-
publiky pozorují dale-
kohledem město
,,Dne 21. srpna 1609 já, Antonín, syn Jeronýma Priuliho,
prokurátora, jsem se odebral na kampanilu svatého Marka
v doprovodu pana Galileiho a pánů ... Šebestiána Veniera, Za-
chariáše Sagreda, ... a výborného doktora Cavalliho, abychom
spatřili podivuhodné a jedinečné účinky dalekohledu, zvaného dalekohled Galileiho.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 211 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Dalekohled, zhotovený ze železné roury, pokrytý tmavorudou látkou a dlouhý asi tři
čtvrtě lokte, měl na každém konci čočku velikosti zlat'áku, jednu konvexní a druhou
konkávní.
Obr. 72: Dalekohled
Galileiho typu
Každý z nás, když přiložil dalekohled k oku a druhé oko
zavřel, mohl vidět zřetelně až za Liza Fusina a za Magheru,
za Chioggio, Treviso, a až ke Coneglianu; potom zvonici a fa-
sádu kostela svaté Justiny z Padovy; bylo možné také roze-
znat osoby, které vstupovaly do kostela svatého Jakuba v Mu-
ranu anebo z něj vycházely; bylo vidět lidi, jak nastupují do
gondoly nebo z ní vystupují u přívozu Colonna, u vjezdu
do kanálu Sklenářů, a mnoho dalších podrobností, skutečně
udivujících, z laguny a města. "
Dalekohled přinesl jeho autorovi nejen slávu a uznání, ale také finanční
zajištění:
Obr. 73: Luxusní pro-
vedení Galileiho dale-
kohledu
,,... Jakmile se zpráva (o holandském ... dalekohledu) do-
nesla do Benátek (...), byl jsem před šesti dny povolán nej-
vznešenější signorií a senátem, jimž jsem (svůj) dalekohled
k velkému údivu předložil. Bylo mnoho šlechticů a senátorů,
kteří bez ohledu na věk vícekrát vystoupili po schodištích nej-
vyšší zvonice v Benátkách, aby zhlédli moře, plachty a lodi
tak vzdálené, že potřebovaly, když pluli nejvyšší rychlostí
k přístavu, více než dvě hodiny, aby je bylo možno spatřit
bez mého dalekohledu... Galilei věnuje dale-
kohled dóžeti benát-
skému, obdrží doži-
votní profesuru v Pa-
dově
Protože se mi zdálo, že by byl velmi užitečný pro účely
námořní i pozemské, a protože jsem viděl, jak si ho nejvzne-
šenější dóže cení, rozhodl jsem se 25. tohoto měsíce dostavit
se před kolegium a věnovat ho Jeho Jasnosti (...)
O několik okamžiků později mne signor Priuli, prokurá-
tor, a jeden ze správců univerzity, vycházeje z koleje sdělil, vzav mě za ruku, jak
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 212 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
velice si kolegium cení mých služeb v Padově za uplynulých sedmnáct let, a že
v uznání mého zdvořilého gesta okamžitě dalo příkaz správcům, aby mě jmenovali
celoživotně profesorem s platem 1000 florinů ročně ..."
A mezitím Galilei z terasy svého domu zkoumal každý večer nebesa, po-
zoroval hvězdy, zaznamenával jejich polohu a všechny fyzikální zvláštnosti,
všechny změny, které probíhaly před jeho zraky.
4.4.3.2. Publikace prvních astronomických pozorování V březnu 1610
uveřejňuje Galilei knihu Hvězdný posel (Siderius Nuncius). Galilei si uvědo- Siderius Nuncius ­
Hvězdný poselmoval, o jak velký krok postoupila astronomická věda díky použití daleko-
hledu, a že nové podmínky pozorování umožní postavit nové koncepce na
pevný základ.
Obr. 74: Měsíc ­
vyobrazení z Hvězd-
ného posla a fotografie
úplňku
,,Vskutku veliké jsou věci, které v tomto krátkém pojed-
nání nabízím k pozorování a úvaze všem, kdo studují pří-
rodu. Veliké, pravím, jak znamenistostí látky, tak po staletí
netušenou novostí a konečně přístrojem, díky kterému se zje-
vily našemu zraku. Jaké je to nádherné a úchvatné divadlo, Měsíc není lesklý
a hladký, ale má
povrchovou strukturu
stejně jako Země
vidíme-li měsíční těleso vzdálené od nás asi 60 zemských
poloměrům jak se přibližuje tak, že se zdá být vzdáleno jen
dva poloměry; jeho průměr se nám jeví třicetkrát, jeho ploch
takřka devětsetkrát, jeho objem takřka 27 000krát větší, než
když se díváme pouhým okem. A tak jistota vnímání dá po-
znat všem, že Měsíc nemá hladkou a lesklou plochu, nýbrž že
je zvlněný a nerovný a že je úplně stejně jako povrch Země
pokryt vysokými kopci a hlubokými prohlubněmi a hrboly."
Dalekohled umožnil odhalit podstatu Mléčné dráhy:
,,...jsme měli možnost pozorovat podstatu, nebo lépe látku, Mléčná dráha se
skládá z velkého
množství hvězd
z níž se skládá Mléčná dráha, tak jak se jeví prostřednictvím dalekohledu; tak berou
za své všechny diskuze, které po tolik staletí rozdělovaly filozofy, před jistotou, jež
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 213 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
se nabízí našemu pohledu, a díky tomu jsme osvobozeni od mnohomluvných sporů.
Galaxie není nic jiného než nesčetné množství hvězd rozptýlených v malých kupách;
at' namíříme dalekohled kamkoliv, hned se zraku objeví pozoruhodný počet hvězd,
z nichž mnohé se jeví jako velké a zřetelné; ale množství malých hvězd je úplně
nezřetelných."
Nejrevolučnější je zřejmě následující tvrzení: ,,...později o tom řekneme více Země je pohybující se
planetav našem Systému světa2
; četné úvahy a pokusy tam uvedené ukáží jako jistou
skutečnost, že se sluneční světlo odráží od Země, proti mínění těch, kteří vylučují
Zemi z počtu planet, pod záminkou, že je zbavena pohybu a světla. Chceme naopak
podat důkazy a uvést nesčetné přirozené důvody pro to, že se Země pohybuje a že
překonává nádherou Měsíc ­ že tedy vůbec není smetištěm špinavých odpadků
(4.1.3)... "
Galileimu však přináší největší zisk objev čtyř Jupiterových měsíců: Objev čtyř největších
Jupiterových měsíců
Obr. 75: Ganymed, Io, Europa a Kallisto
,,Vkrátkostijsme
popsali, co jsme až
dosudpozorovalina
Měsíci,nehybných
hvězdách a Gala-
xii.Zbývá námnyní
odhalit to, co pova-
žujeme za nejdůležitější část tohoto výkladu: odhalit existenci čtyř planet, které ne-
byly až dosud nikdy od počátku času pozorovány, obeznámit s okolnostmi, za nichž
jsme je objevili a studovali, určit jejich pozici a popsat pozorování o jejich pohybu
a změnách učiněná během těchto dvou posledních měsíců; vyzýváme všechny astro-
nomy, aby pátrali a určili jejich periody, což je úkol, který nám dosud nebylo možno
splnit pro omezený čas, jenž jsme měli k dispozici ..."
2Systém světa byl Galileim sepsán pod názvem Dialóg o dvou systémech světa (4.4.3.6) [3]
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 214 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obr. 76: Cosimo II. Me-
dicejský, Galileiho me-
cenáš
Galilei totiž již od roku 1609 touží po návratu do
Florencie. Chtěl tyto své nové objevy důkladně rozpra-
covat, ale v Benátkách se mu nedostával čas ­ kromě
soukromých lekcí, ve kterých musel u sebe přijímat stu-
denty všech zemí, musel i řídit dílnu na výrobu kružidel,
později i dílnu na výrobu dalekohledů. Nově objevené Dvorní matema-
tik velkovévody
toskánského
měsíce Jupitera pojmenovává Medicejské hvězdy ve
snaze naklonit si Cosima II. Medicejského, velkové-
vodu toskánského, aby ho zaměstnal jako dvorního
matematika.
Galilei získává nejen finanční zajištění a čas pro své
výzkumy, ale i zázemí chránící ho před útoky nepřátel.
Jedním z nich je Ludovico delle Colombe, který napadá
nejen výsledky Galileiho pozorování, ale hlavně jejich interpretaci v souladu
s Kopernikovým heliocentrickým systémem. Dovolává se rovněž i autority
Písma a zákazu je volně vykládat.
4.4.3.3. Fáze Venuše a oficiální uznání Galileiho práce v Ř ímě Po po-
tvrzení existence Medicejských hvězd a jejich planetární povahy otcem Cla-
viem, jedním z nejvýznamnějších římských astronomů a matematiků, po-
mýšlí Galilei na cestu do Ř íma, aby se jeho objevům dostalo oficiálního
posvěcení papežskou stolicí. Fáze Venuše
Předtím však ještě učiní nejdůležitější objev ­ pozoruje fáze Venuše
(viz Obr. 77). Existence fází Venuše je konečným důkazem platnosti Ko-
pernikova heliocentrického systému ­ podrobný rozbor lze najít v článku
[10]. Od tohoto okamžiku je jasné, že starý geocentrický Aristotelův a Ptole-
maiův (4.1.4.1) model sluneční soustavy musí být nahrazen heliocentrickým
modelem Kopernikovým (4.2.4).
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 215 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obr. 77: Fáze Venuše, jak by se měly jevit podle Pto-
lemaiova a Kopernikova systému; pozorování odpovídá
modelu Kopernikovu
Galilei v březnu 1611 od-
jíždí do Ř íma, kde je správ-
nost jeho pozorování Medi-
cejských hvězd a dalších ob- Galileiho římský tri-
umfjektů popsaných ve Hvězd-
ném poslu potvrzena otci je-
zuity a Galilei je čestným hos-
tem jak papeže Pavla V., tak
i řady kardinálů. Poznává zde
i kardinála Maffea Barberi-
niho, pozdějšího papeže Ur-
bana VIII., který se stává Ga-
lileiho obdivovatelem.
Přes velký Galileiho tri-
umf a uznání jeho práce i u církevních autorit rozpoznává kardinál Robert
Bellarmin, známý již jako inkvizitor Giordana Bruna (4.3.2), nebezpečí, které
by pro církev plynulo z filozofického výkladu Písma na základě nových as-
tronomických poznatků. Prozatím se pouze omezuje na ověření správnosti
astronomických poznatků u jezuitských astronomů a na skryté prošetření,
nemá-li Galilei styky s kacíři. Sluneční skvrny
Roku 1612 pozoruje Galilei sluneční skvrny a vchází do polemiky s jezu-
itou Scheinerem o jejich původu. Galilei hájí správný výklad, že skvrny jsou
pevně spojeny se Sluncem, nikoliv že se jedná o mraky Slunce zakrývající.
4.4.3.4. Galilei bojuje za oddělení víry a vědy Nepřátelé Galileiho za-
čínají připravovat inkviziční proces. Jako záminka jim slouží diskuze, které Hostina u Kristýny
Lotrinskése zúčastnil na dvoře Kristiny Lotrinské, matky Cosima II. a velkovévodkyně
toskánské, Galileiho přítel a žák Castelli.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 216 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obr. 78: Kristýna
Lotrinská
,,... Velkovévoda se mě tázal, zda vlastním teleskop: řekl
jsem mu, že ano, a začal jsem hovořit o pozorování Me-
dicejských planet, které jsem uskutečnil předchozí noci. ...
Musím Vám sdělit, že profesor Boscaglia něco u stolu zašep-
tal do ucha madame (Kristyny Lotrinské); připouští, jak prý
říkal, všechny nebeské novinky, které Galilei objevil; pouze
pohyb Země se jeví neuvěřitelný a nemožný, především pro
zjevný odpor Písma svatého vůči takovému tvrzení. ...
Madame se mě napřed dotazovala na osobní věci a po-
tom začala argumentovat proti pohybu Země, dovolávajíc se
Písma svatého: byl jsem tedy při této příležitosti a přes čistě
formální protesty donucen k tomu, abych mluvil jako teolog,
a mluvil jsem s takovou jistotou a majestátností, že byste
jistě měl radost, kdybyste mě slyšel. ... "
Galilei svého žáka chválí a v odpovědi na tento dopis rozvíjí svůj názor
na vztah pravdy Písma a pravdy vědy: ,,Podrobnosti Vašeho rozhovoru ... mně Pravda Písma svatého
a pravda vědyposkytly příležitost uvažovat o tom, zda je vhodné uvést Písmo svaté do diskuzí, jež
se vztahují k přírodní filozofii, zejména onu pasáž z Jozue3
, kterou velkovévodkyně
matka kladla proti pohybu Země a nehybnosti Slunce. ...
V Písmu svatém se nalézajívěty, které nemají, jsou-li brány v doslovném smyslu,
platnost pravdy: jsou takto používány, protože tím více vyhovují lidem nevzděla-
ným. Je-li tomu tak, pak je třeba pro malý počet těch, kdo si zasluhují být odděleni
od obecného lidu, aby moudří komentátoři vyložili skutečný význam určitých vět
a vysvětlili důvody, proč byly vyjádřeny zvláštním způsobem.
Z toho plyne, že Písmo svaté zasluhuje a dokonce vyžaduje ve více pasážích
výkladů, které se nevážou na povrchní význam, a že tedy v každé diskuzi o přírodních
3Jozue, 10, 12 ­ 13: Tehdy mluvil Jozue k Hospodinu v den, v kterýž dal Hospodin Amo-
rejského v moc synům Izraelským a řekl před syny Izraelskými: Slunce v Gabaonu zastav se
a měsíc v údolí Aialon. I zastavilo se Slunce a stál měsíc, dokudž nepomstil se lid nad nepřáteli
svými.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 217 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
záležitostech bychom se ho měli dovolávat až v poslední řadě. ...
Obr. 79: Galileo Galilei,
portrét od Villamoeny
Pokud se mě týče, domnívám se, že autorita svatých knih
spočívá pouze v přesvědčování lidí o článcích a větách, které
se vztahují k jejich spáse a které, protože jdou nad veškerý
lidský rozum, mohou být hlásány a mohou být učiněny věro-
hodnými pouze prostřednictvím Ducha svatého. Ale nemys-
lím, že by bylo nutné připouštět, že týž Bůh, který nás nadal
smysly, rozumem a chápáním, nám chtěl, nedbaje jejich uží-
vání, poskytnout odlišným způsobem poučení, kterého mů-
žeme nabýt jinak (to jest přirozenými schopnostmi našeho
ducha) ..."
Tento list se stane hlavním dokumentem připoje-
ným k inkvizičnímu udání proti Galileo Galileimu. Autor
udání, dominikán Lorini, se v něm odvolává především na citované odstavce,
považuje je za kacířské a navrhuje zkrocení ,,galileiovců" jakožto lidí nepo-
volaných k výkladu Písma. Podle stylu udání je vidět, že v pozadí opět stojí
Ludovico delle Colombe.
Galilei velice správně chápe, že invizice začíná proti němu sbírat důkazy.
Nicméně pořád ještě se domnívá, že své a Kopernikovy teze o pohybu
Země může obhájit v disputaci se svými odpůrci. Své názory proto otevřeně
publikuje ve veřejném dopisu, věnovaném Kristině Lotrinské. V tomto dopise Dopis Kristině Lotrin-
skéjasně tvrdí, že Písmo nemůže popírat vědu, že vědci mají právo na svobodu
bádání, povinností teologů je dbát na nepřekrucování míst v Písmu, které
se týkají víry nebo mravouky ... ale ,,pohyblivost a nehybnost Země či Slunce se
netýkají víry a nedotýkají se mravů. ..."
4.4.3.5. Výstraha svatého oficia Svaté oficium se schází 24. února 1616,
aby posoudilo dvě tvrzení, vyňatá z Kopernikovy knihy a z učení Galileiho.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 218 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
O tvrzení ,,Slunce je ve středu světa a je zcela nehybné místním pohybem." tvrdí
inkvizice, že je ,,filozoficky nesmyslné a absurdní a formálně kacířské." Tvrzení
,,Země není ve středu světa ani není nehybná, ale pohybuje se celkovým pohybem
(oběhem) a každodenním pohybem (kolem své osy)." podléhá dle invizice stejnému
posudku, ,,z filosofického hlediska musí být chápáno přinejmenším jako pomýlené,
pokud se víry týče. ..." Galilei je požádán, aby se vzdal svých výše citovaných Výstraha svatého ofi-
ciaomylů, totiž ,,... aby se úplně vzdal názoru, že je Slunce nehybné a ve středu světa
a že se Země pohybuje; aby toto tvrzení na žádný způsob nezastával, neučil nebo
neobhajoval ani slovem, ani písmem. V opačném případě by proti němu svaté oficium
zavedlo řízení." Galilei s tímto nařízením souhlasil a slíbil, že se mu podřídí.
Knihu Mikuláše Kopernika O oběhu nebeských sfér dává církev na index,
dokud v ní nebudou provedeny opravy, které ji uvedou v soulad s názorem
inkvizitorů.
Obr. 80: Maffeo
Barberini, pozdější
papež Urban VIII
Galilei, zřejmě díky vlivu mocných Medicejských a ji-
ných přátel a přímluvců, absolvuje v Ř ímě velmi vlídné při-
jetí u papeže a odjíždí s osvědčením kardinála Bellarmina,
že Galilei ,,opouští toto místo s nedotknutou pověstí a s chvá-
lou všech, kteří s ním jednali", nikoliv jako člověk odsouzený
inkvizicí k pokání.
Galilei se vskutku stahuje do ústraní, věnuje se přílivu
a odlivu a zkoumá možné užití Medicejských hvězd pro
navigaci. Nástup Urbana VIII na
papežskou stoliciVypadá to však, že se blýská na lepší časi ­ na papež-
skou stolici dosedá místo Ř ehoře XV. Maffeo Barberini,
Galileiho obdivovatel, který vstupuje do historie jako papež
Urban VIII. Galilei mu věnuje svou knihu Prubíř a kromě uznání získává
od papeže i penzi pro svého syna Vincenza. Povzbuzen touto přátelskou
atmosférou, Galilei píše svou nejslavnější knihu Dialog o dvou systémech
světa.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 219 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.4.3.6. Dialog o dvou systémech světa Toto dílo nemělo být vyhrazeno
jen vědcům, ale obrací se na širokou veřejnost, proto je také psáno ital-
sky a ne latinsky. Kniha, dokončená roku 1630, je kritické dílo, současně
polemické i pedagogické.
Obr. 81: Dialog o dvou
systémech světa ­ ti-
tulní strana
Dialog o dvou systé-
mech světa [3]Vystupují v ní tři postavy: Simplicio, který zastává
aristotelovské hledisko a má náklonnost k doktrínám,
Salviati, který představuje vědce, jehož názory jsou
blízké názorům Galileiho, a Sagredo, muž otevřeného
a nezávislého ducha, na nějž se celý dialog obrací (po-
drobnější rozbor je uveřejněn v článku [7]). Galilei se
snaží získat pro tuto knihu oficiální svolení k tisku od ná-
boženských autorit. Kniha konečně vychází roku 1632
a veřejně je chválena jako nejlepší kniha, která byla
dosud vydána.
Proces s Galileim ­
16334.4.3.7. Inkviziční processGalileim Ačkoliv je kniha
věnována papežovi a je autorizovaná papežskou cen-
zurou, po vytištění je Galilei povolán do Ř íma, aby zde
vypovídal před inkvizicí. Galilei je obviněn, že porušil nařízení z roku 1616,
které mu zakazovalo učit a obhajovat heliocentrický systém. Papež se Ga-
lileiho nezastal; možná proto, že považoval za správné odsoudit hlasatele
Kopernikova učení bez ohledu na osobní vztahy, možná proto, že prý se
poznal v osobě nepříliš moudrého zastánce Aristotelova učení Simplicia.
I přes snahu přátel a posléze i samotného Galileiho byl nad Galileim
vyhlášen následující rozsudek, kterému se Galilei podrobil: ,,tvrdíme, vyhla- Rozsudek
šujeme, oznamujeme a prohlašujeme, že ty, Galilei, jsi se stal pro motivy, jež byly
odhaleny v procesu před svatým oficiem a tebou přiznány, nanejvýš podezřelým
z kacířství, a to proto, že jsi přijal učení mylné a Písmu svatému a božskému pro-
tivné, totiž že Slunce je ve středu světa a je nehybné, zatímco Země není ve středu
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 220 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
a pohybuje se, názor, který není možno zastávat a obhajovat ani jako pravděpodobný,
když byl prohlášen a stanoven za protivící se Písmu svatému; proto jsi propadl všem
postihům a trestům uloženým a prohlášeným svatými církevními předpisy a jinými
obecnými a zvláštními ustanoveními proti takovým provinilcům.
Obr. 82: Galilei před inkvizičním tribunálem ­
opravdu vypadal tak odbojně?
Souhlasíme s tím, abys byl vyvá-
zán z těchto postihů a trestů, jestliže
nejprve z upřímného srdce a nepředstí-
rané víry se před námi zřekneš shora
uvedených omylů a kacířství a každého
jiného bludu a kacířství protivícího se
církvi katolické a apoštolské, prokleješ je
a opovrhneš jimi způsobem a podobou,
které ti určíme.
A aby tento vážný a zhoubný blud
a přestupek nezůstal zcela bez trestu,
abys byl v budoucnu moudřejší a slou-
žil příkladem jiným, aby se zdrželi po-
dobných přečinů, nařizujeme veřejně zakázat knihu Dialog Galilea Galileiho.
Odsuzujeme tě, podle našeho uvážení, do vězení tohoto svatého oficia a jako
spásná pokání ti ukládáme odříkávat po dobu tří let jednou týdně sedmero kajícných
žalmů: vyhrazujeme si možnost zmírnit, změnit nebo zčásti či úplně zrušit zmíněné
tresty a pokání."
4.4.3.8. Konec Galileiho života Odvolání znamenalo konec Galileiho ve-
řejného života. Díky vlivu přátel se povedlo prosadit, aby Galilei mohl trávit
trest v paláci sienského arcibiskupa. Místo samoty a pokání zde ale Galilei Galileiho domácí vě-
zenínachází své obdivovatele a vrací se mu jeho ztracené sebevědomí. Inkvi-
zice na to reaguje převozem Galileiho do jeho vily v Arcetri. Zde Galileimu
dodává sílu zvláště blízkost jeho dcer, i když je zdraví více než sedmdesáti-
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 221 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
letého muže vážně podlomeno. Přesto Galilei sebral síly ještě k poslednímu
velkému dílu ­ knize Discorsi (4.4.2), která vychází roku 1638.
Obr. 83: Galilei ve svém domě v Arcetri
V roce 1637 Galilei
zcela oslepl. Svatá inkvi-
zice povoluje, aby vězení
sdílel s Galileim i Vivi-
ani, jeho nejstarší a nej-
milejší žák. Díky němu
může udržovat korespon-
denci např. s Cavalierim
o problému křivky. Ještě
krátce před smrtí přijímá
návštěvy Johna Miltona
a Torricelliho.
Galilei Galileo zemřel
ve věku téměř sedmde-
sáti osmi let opatrován
Vivianim. Jeho výsost, vévoda medicejský, zamýšlel Galileimu zbudovat Galileiho smrt a po-
smrtné poctyvznešený a nádherný náhrobek na nejlepším místě kostela, v němž byla
rodinná hrobka Galileiho rodiny. Inkvizice zasahuje v tom slova smyslu, že
není žádoucí postavit velkolepý náhrobek tomu, kdo zemřel jako vězeň inkvi-
zice při odpykávání svého trestu.
Roku 1640 zasílá Galilei dopis Fortuniovi Licettimu, hlavnímu profesoru
filozofie v Padově, který shrnuje Galileiho celoživotní názory: Galileiho filozofický
testament,,... Soudím (a věřím, že se připojíte k mému názoru), že být skutečně peripateti-
kem spočívá především ve filozofování podle Aristotelova učení: nuže, jeho metoda,
pravdivé předpoklady a principy, o něž se opírá, mají vědecký charakter.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 222 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obr. 84: Galileiho ná-
hrobek
Mezi předpoklady, které nás Aristoteles učíve své Dialek-
tice4
, jsou takové,jimiž násvaruje předklamnými řečmi:vede
nás ke správnému uvažování, abychom mohli z daných pre-
mis dedukovat nevyhnutelný závěr. Domnívám se, že jsem
použitím této metody dosáhl nesčetných pokroků v čisté ma-
tematice a nikdy jsem nedospěl k žádnému klamnému zá-
věru. Přímočarost v důkazu mě uchránila před upadnutím
do dvousmyslnosti. Takže dosud jsem peripatetikem vlastně
já.
Mezi jisté prostředky, jak dosáhnout pravdy, náleží opí-
rat každé uvažování o přísnou zkušenost (...), protože není
možné, aby byla smyslová zkušenost protichůdná pravdě.
A toto je rovněž Aristotelův recept, o němž se již dlouho
soudí, že má víc platnosti a síly než ,,autorita" všech velkých tohoto světa: víte sám,
že nejenom nemáme trpět autoritu jiných, ale že musíme nedůvěřovat naší vlastní
autoritě vždycky, když zkušenost odporuje úvaze (...). "
4rozumí se Aristotelovo dílo Topiky
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 223 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.5. Isaac Newton
Isaac Newton (1642 ­
1727)
Obr. 85: Isaac Newton ­ je-
den z potrétů od Knellera
,,Vznešená duše! Génie nezměrný v šíři i hloubce!
Božská bytosti! Newtone, skloň se a přijmi hold člověka
skrovně nadaného, jako jsem já! ... Je možné, že i blb píše
týmž inkoustem jako muž geniální?"
Étienne-Louis Boullée
,,Jeho práce je největší přínos myšlení, jaký kdy
evropská věda světu poskytla."
Albert Einstein
Issac Newton patří nesporně mezi největší fyziky své doby. Daleko méně
je známo, že daleko více než o gravitaci nebo optice toho Newton napsal
o alchymii, teologii a chronologii starověku. Newtonův obraz se měnil v prů-
běhu staletí, podle toho, z kterého úhlu pohledu a pod vlivem jaké ideologie
či dobového nazírání jej jeho životopisci, obdivovatelé i protivníci popisovali.
Není ani jasné, jaká byla Newtonova fyzická podoba ­ za nejvěrohodnější se
považují dva Knellerovy portéty (Obr. 85 a 86). O problematice nazírání na
Newtonovu osobu v průběhu staletí velmi čtivě pojednává kniha [22], z níž
budeme v následujícím textu čerpat.
4.5.1. Newtonovo dětství a studia
Newton se narodil 25.12. 1642 v malé vesničce lincolnského hrabství, kde
ho do jeho dvanácti let vychovávala převážně babička; pak ho poslali do
nedalekého trhového města Granthamu, na tamější střední školu. Jen jednou
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 224 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
se nakrátko vrátil domů, a když mu bylo osmnáct, nastoupil na Trinity College
v Cambridgi, kde zůstal po většinu dalších pětatřiceti let. Newton studentem
v Cambridgi
Obr. 86: Isaac Newton ­
druhý z potrétů od Knellera,
považovaný spolu s Obr. 85
za dvojici nejvěrohodnějších
Newtonových podobizen
Jako student si ke skromnému živobytí přivydě-
lával podřadnými pracemi a půjčováním drobných
peněžních částek na úrok. I když systém zkoušek
byl většinou formální, Newton poctivě absolvoval
oficiálně předepsaná aristotelovská témata. Studo-
val však též nepovinné učebnice dějin, astrologie
a moderní evropské filozofie, kromě toho, že se
sám vzdělával v matematice, aby porozumněl no-
vátorským myšlenkám, s nimiž přicházeli kontro-
verzní učenci, jako byl například francouzský fyzik
René Descartes.
Do léta 1665, po čtyřech letech usilovného stu-
dia, které si sám řídil, nezapůsobil tento samotářský
student na své kolegy žádným zvláštním dojmem.
Není známo, že by si na něj někdo ze spolužáků
vzpomínal, a Isaaku Barrowovi, profesoru matema-
tiky, (tuto katedru později Newtonovi předal) ,,byl tehdy zcela lhostejný." Ale
Newtonův život se náhle změnil, když se asi na osmnáct měsíců uchýlil do
lincolnského hrabství, aby unikl moru, který tehdy řádil v Cambridge. Newtonův annus mira-
bilisNewtonovští historici označili období 1665 ­ 1666 za osobní Newtonův
annus mirabilis, v němž vytvořil fantastický soubor nových matematických
a vědeckých postupů. O půl století později Newton hrdě konstatoval (možná
se stínem melancholie), že ,,v oněch dnech jsem prožíval svá nejlepší léta, co se
týče vynálezů, a věnoval jsem se matematice a filozofii víc než kdykoliv později".
V oné době prý Newtona inspirovalo jablko padající ze stromu a životo-
pisci často hovoří o mezidobí horečné tvořivosti, jež se v prostředí venkovské
idyly odehrála takřka přes noc. Tento svůdný výklad je sice nepravděpodobný
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 225 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
a neodpovídají mu ani některá ověřená data o Newtonově díle, ale nelze
popřít, že v tomto období učinil zásadní objevy v matematice, optice a dyna-
mice, jež položily základy valné části jeho vlastní pozdější práce a ovlivnily
budoucí vývoj vědy.
4.5.2. Newtonovy další životní osudy
Obr. 87: Isaac Newton
­ téměř čtyři metry vysoká
bronzová socha od Theeda
Když se Newton vrátil do Cambridge, začal žít
v osamění a po většinu příštích dvou let se po-
tají věnoval alchymistickým rukopisům a pokusům.
Roku 1668 ho nový spis matematického obsahu Profesura matematiky
přinutil publikovat svou práci a přihlásit se k prven-
ství; brzy nato byl jmenován profesorem matema-
tiky. Třebaže na katedře setrval 32 let, byl nevalným
učitelem a často ,,pro nedostatek posluchačů předná-
šel čtyřem holým stěnám". Č asem za sebe obstaral
náhradníka a věnoval se pouze výzkumu.
Díky vlastnímu dalekohledu nové konstrukce (zr-
cadlový teleskop, ke kterému si sám vybrousil i čočky,
délka tubusu jen 15 cm) byl roku 1672 zvolen do
Královské společnosti. V tomto období provádí své Optické experimenty
známé pokusy s rozkladem světla hranolem a vý-
sledky svých dalších optickým pokusů shrnuje v knize
Opticks (poprvé vyšla 1704). V této práci zdůraz-
ňoval (podobně jako před ním Galilei (4.4.2)), že
kupředu nevede vytyčování abstraktních hypotéz,
ale formulování teorií na dvou pilířích ­ matematice a pokusu. Newton se Matematické objevy
dále zabýval alchymií a teologií, kromě toho však i matematikou ­ formu-
luje teorii křivek a matematických řad, ale hlavně se věnuje diferenciálům,
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 226 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
kvůli nimž došlo k roztrpčenému boji o prvenství s německým matematikem
a filozofem Gottfriedem Leibnitzem.
Počátkem osmdesátých let 17. století křižovala oblohu řada komet a šířila
zděšené ohromení celou Evropou. Debaty o nich a korespondence s kolegy
přiměly Newtona, aby se věnoval matematické astronomii a začal psát svou
nejslavnější knihu Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Matema-
tické principy přírodovědy). Principia vyšla poprvé roku 1687 a dvakrát byla Principia
po kritice revidována. Stala se ohniskem pozdější Newtonovy proslulosti,
protože přinesla novou kosmologii. Kniha způsobila také zásadní zvrat v au-
torově existenci. Kromě záplavy blahopřání, kritik a odmítavých stanovisek
donutily i další události Newtona, aby přehodnotil svůj dosavadní život. Ně-
kolik týdnů po smrti svého přítele, švýcarského matematika, začal rozesílat
svým kolegům bizarní dopisy a šiřily se pověsti, že se zbláznil nebo dokonce
zemřel.
Obr. 88: Podobizna
Isaaka Newtona z roku
1720 od Williama Stuk-
leye. V pozadí jsou zře-
telné dvě komety.
Roku 1696 opustil Newton univerzitní dráhu a na-
stoupil do zaměstnání v královské mincovně. Jako gu- Postavení ředitele
mincovnyvernér a později ředitel mincovny se věnoval svým po-
vinnostem s horlivostí obdobnou jeho předchozímu za-
ujetí pro alchymii, teologii a matematickou astronomii.
Zavedl zásadní reformy a pronásledoval padělatele do
té míry, že dokonce organizoval jejich popravy.
Když byl Newton roku 1703 zvolen prezidentem
Královské společnosti, stal se autoritativním vedoucím
činitelem, který dbal o šíření svého vlivu a myšlenek
celou Evropou. Roku 1705 byl povýšen do rytířského Poslední léta života
stavu. Stále pracoval v mincovně, podílel se na činnosti
mezinárodního společenství fyziků, přepisoval a znovu
publikoval své dřívější práce z matematiky, optiky a as-
tronomie a dozíral na průběh svého zavilého sporu
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 227 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
s Leibnitzem. V soukromí mu však nejvíce záleželo na tom, aby upevnil
výsledky svých předchozích teologických studií. Isaac Newton zemřel 20.3.
1727 v Kensingtonu.
4.5.3. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
Obr. 89: Obálka knihy
Principia revolucionalizovala dění ve fyzice tím, že
jediným matematickým zákonem určila pohyb nebeských
těles stejně jako nepatrných hmotných částic na zemi.
Poprvé mohli fyzikové spolehlivě předpovědět, kdy se Význam principií ­
poprvé lze předpoví-
dat návraty komet
ta či ona kometa znovu objeví. Díky tomu také mohli
tvrdit, že svým nazíráním na svět předčí předpovědi
astrologické nebo biblické, a zbaví tak autority tradiční
experty.
Za to, že se dohotovený rukopis vůbec dostal do
tisku, vděčíme hlavně neúnavnému naléhání Edmonda
Halleyho. I když tento muž byl jen placeným úředníkem Edmond Halley
Královské společnosti, později se vlastní zásluhou pro-
slavil jako královský astronom, který správně předpo-
věděl, že roku 1682 se vrátí kometa, která nyní nese jeho jméno. Rovněž
v Newtonově případě mělo zkoumání komet lví podíl na jeho budoucí slávě.
Kniha Principia, psaná latinsky a plná geometrických grafů, vypadá jako
hodně suchopárné čtení, ale pro ty, kdo textu rozuměli, psal Newton při-
tažlivě. Na samém počátku uvedl tři své pohybové zákony, podle nichž se
předměty pohybují a navzájem na sebe působí. Většina lidí se s těmito zá- Pohybové zákony
kony setkává poprvé ve škole, kde se po nich žádá, aby řešili úkoly spojené
se střety kulečníkových koulí nebo s jízdou nákladních aut z kopce. New-
tonovou obrovskou zásluhou bylo, že pomocí těchto zákonů popsal i pohyb
planet, a sjednotil tak dění na zemi a ve vesmíru. Zavedl pojem gravitace,
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 228 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
univerzální přitažlivé síly platné stejně v celém vesmíru, at' se jedná o ko-
mety, padající jablka nebo nepatrné atomy. Na rozdíl od Descarta Newton
počítal s tím, že velké prázdné prostory dělí od sebe nejen nebeská tělesa,
ale i částečky tvořící na pohled pevnou látku.
Obr. 90: Podobizna
Sira Isaaca Newtona ve
velmi pokročilém věku
Stejný význam mělo to, že Newton matematicky
i slovně (4.2.5) vyjádřil působení gravitace. Č ím bližší Vztah, který proslavil
Isaaka Newtonajsou dva předměty a čím větší mají hmotnost, tím sil-
něji se navzájem přitahují. To je známo jako zákon ne-
přímé úměrnosti na druhé mocnině vzdálenosti mezi
předměty. Zatímco Einsteina (4.6) vynesla ke slávě for-
mulka E = mc2
, symbolem práce Newtonovy je 1
r2 .
V případě Newtonových principiíse neočekával velký
nakladatelský úspěch. Královská společnost odmítla
jejich vydání podpořit, protože čerpala své prostředky
na jiný projekt, takže náklady na vydání uhradil Halley
sám. Roku 1687 byly tím pádem vytištěny jen tři nebo Historie vydáníPrinci-
pií a reakce na něčtyři stovky exemplářů. Navíc Newton napsal vědomě
knihu tak, aby byla srozumitelná jen privilegované elitě
znalé věci. Později jednomu kolegovi vysvětlil, že ,,záměrně svá Principia uči-
nil málo přístupná, aby ho nemohli sužovat matematičtí nedoukové, ale aby jim
přitom rozumněli lidé matematiky znalí". Vybraný mezinárodní okruh učených
fyziků se dychtivě vrhl na dlouho očekávaný text, třebaže mnozí ­ jako napří-
klad filozof John Locke ­ připouštěli, že náročnější matematické pasáže ra-
ději přeskakovali. Přesto nezaznamenala Principia okamžitý a bezvýhradný
úspěch. Ř ada fyziků nebyla ochotna především uznat gravitační přitažlivost
působící na dálku, a tvrdili, že slavný Newtonův vztah nevysvětluje povahu
gravitace: ,,Na otázku, proč jeden předmět přitahuje druhý, se nám odpovídá, že za
to může jakási jeho přitažlivá síla". Dodejme však, že jinak by neodpověděla
ani dnešní generace fyziků.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 229 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Aby se Newtonova Principia dostala do podvědomí širší veřejnosti, bylo je
potřeba přeložit do angličtiny a vést výklad newtonovských principů bud's mi-
nimálním použitím matematického aparátu, anebo ještě lépe zcela bez něj.
První takový pokus byl učiněn již roku 1728, k vydání sice došlo rok po New- Popularizace myš-
lenek obsažených
v Principiích
tonově smrti, ale projekt byl zahájen ještě s Newtonovým svolením. Autorem
knihy Pohled na filozofii sira Isaaka Newtona byl mladý lékař Henry Pember-
ton, který tvrdil, že ,,Newton potřebuje múzy" ­ rozumějme veršotepce a jiné
popularizátory, kteří by na Newtona pěli slávu; jednak tak pečovali o jeho
osobní reputaci, jednak stravitelnou formou poskytovali základní vědecké
vzdělání.
Obr. 91: Émilie du Ch^atelet,
francouzská matema-
tička, Voltairova přítelkyně
a překladatelka Principií
Kniha v sobě spojovala výklad Pricipií a Opticks,
byla uvedena oslavnou básní, ilustrována ozdob-
nými dřevoryty, postrádala však matematické vzorce,
aby mohli čtenáři pohlížet na Newtonovy myšlenky
jako na vznosné stavby, ,,aniž by se pouštěli do po-
drobných a nudných výpočtů, nezbytných k jejich zbu-
dování ".
Představa ženy, která by se mohla vážně za-
bývat newtonovskou filozofií, vyvolávala v Newto-
nových současnících výbuchy veselí. Obecně se Newton pro dámy
nepředpokládalo, že by ženy pochopily třeba jen
základy matematiky, natož se pustily do vážné vě-
decké práce. Vyjímky však existovaly ­ například
Émilie du Ch^atelet (1706 ­ 1749), francouzská ma-
tematička, jejímž vrcholným dílem byl komentovaný
francouzský překlad Principií ­ o jejím životě a díle se lze dočíst například
v knize [24] či na internetových stránkách [23]. Jen hrstka žen však byla v té
době obdivována pro svůj bystrý intelekt.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 230 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obr. 92: Maurice Quentin
de la Tour: Mlle Ferrandová
medituje nad Newtonovou fi-
lozofií (1753)
Ale protože pro mladé pány s dobrým vycho-
váním znamenalo obeznámení s Newtonovým dí-
lem totéž jako prohlídka pamětihodností či účast
na honu, muselo se i mladým dámám z vyšších
vrstev dostat také poučení, i když v krajně zjed-
nodušené podobě. Jiná mimořádná mladá žena,
vzdělaná znalkyně jazyků Elizabeth Carterová, za-
přela své vlastní úctyhodné znalosti a věrně přelo-
žila z italštiny knížku Francesca Algarothiho Filozo-
fie sira Isaaka Newtona pro potřebu dam. Kniha se
snaží vyhýbat abstraktnímu argumentování i gra-
fům a vykládá Newtonovy myšlenky v laškovném
rozhovoru mezi nedovtipnou šlechtičnou a jejím
shovívavým vychovatelem. Obdobných knížek se
vyrojila celá řada a nepochybujeme, že si je potajmu vypůjčovali i manželé
a bratři čtenářek, nebot' se zdráhali připustit, že s puškou se jim zachází
mnohem lépe než s rovnicemi.
4.5.4. Legenda o jablku
Každá velká osobnost je obestřena řadou mýtů či záhad a vypráví se o ní
množství historek ­ at' už alespoň částečně pravdivých, anebo pomlouvač-
ných, či vymyšlených pro didakticko-výchovné účely. Někdy se tyto příbehy
zapíší do všeobecného povědomí daleko více než skutečné osudy a dílo
hlavního hrdiny. Tak je dodnes Newton pro většinu lidí ,,britský fyzik spojený
v myslích školáků jednou provždy se spadlým jablkem, které se pak kutálelo celou
fyzikou" (znovu připomeňme, že čerpáme především z [22]).
Popud ke vzniku tohoto příběhu dal pravděpodobně sám Newton v roce
1727, když ve své zahradě v Kensingtonu rozjímal nad článkem čaje s pří-
telem Williamem Stukeleyem. Ten pak zaznamenal celý příběh takto:
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 231 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obr. 93: Mizuno Tošikata:
Isaac Newton (asi 1900)
,,Oficiální" verze pří-
běhu o jablku
,, ... poznatek gravitace ... byl zprostředkován pádem
jablka, když (Newton) seděl a přemýšlel. Proč by měla
jablka padat vždy kolmo k zemi, uvažoval. Proč by jejich
dráha nemohla vést stranou nebo vzhůru, proč směřuje
ustavičně ke středu země? Bezpochyby je příčinou to, že
je země přitahuje... je tu síla, které ted'říkáme gravitace
a která prostupuje celým vesmírem."
Na Stukeleyho zejména zapůsobilo, že New-
ton mluvil o paralele mezi jablkem a Měsícem, že
tedy spojoval všední pozemskou záležitost s pohy-
bem planet ve vesmíru. Mnozí Newtonovi součas-
níci stále ještě lpěli na řeckých modelech vesmíru,
jež ostře odlišovaly mezi našim glóbem složeným
ze země a vodstev a nebeskými sférami nesoucími
hvězdy a planety (4.1.3). Na základě analogie mezi
padajícím jablkem a obíhajícím Měsícem mohl Newton formulovat jediný zá-
kon přitažlivosti, spojit tak domény pozemskou a nebeskou a matematicky
semknout celý vesmír v novou strukturu.
Příběh o jablku však pronikl i do krásné literatury, kde s jeho pomocí Příběh o jablku v lite-
ratuřeautoři vyjadřovali svoje myšlenky a představy, často dosti odlišné od původní
fyzikální interpretace. Č eského čtenáře napadne téměř ihned dvojverší ze
slavné Nezvalovy básně Edison [25]
,,Tisíc jablek spadlo na nos zeměkoule
a jen Newton doved těžit ze své boule ..."
­ dvojverší oslavující nejen št'astnou náhodu, ale i připravenost ji využít
k velikému objevu. Anglická báseň George Gordona Byrona Don Juan [26]
zase srovnává vyhnání Adama kvůli jablku z ráje s možností vystavět nový
ráj pomocí techniky:
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 232 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
,,Když Newton spatřil padat jablko, nabyl
jistoty v té chvilce vytržení z dum,
proč se Země točí ze všech sil,
ta přirozenost ,,gravitace" mu přišla na rozum.
On jediný po Adamovi nedal se zastrašit
a s pádem tím i s jablkem si uměl poradit.
S jablkem člověk kles a s ním se vznesl vzhůru,
nebylo-li to vůbec jinak ...
Od těch dob smrtelník tolikrát
napjal techniky své strunu,
že parní stroj co nevidět ho dopraví na Lunu."
V sedmdesátých letech 20. století demytizoval celý příběh Dannie Abse
[22], když vylíčil jeho hlavního hrdinu, jak trpí žaludečními potížemi. Báseň
navíc přisuzuje Newtonovým gravitačním zákonům politický důsledek rov-
nosti:
,,Hle Newtona ve Woolsthorpu opřeného o zahradní zídku
zapomněl na špatné zažívání a podobné malichernosti,
obrátil oči k nebi překvapen a pak
už sledoval ten vertikální pád jablka ve jménu gravitace.
Jak skvělý postřeh! Koho by napadlo,
že tak přízemní zázrak může změnit dějiny,
že od té chvíle musí každý padat, bez ohledu na své
postavení, rychlostí 32 stopy za sekundu, za sekundu?"
A na závěr navštivme ještě jednou české písemnictví ­ báseň Emila
Caldy [14] nepotřebuje důkladnější rozbor, nebot' popisuje uvažování, které
je občas tak svůdné pro každého z nás:
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 233 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obr. 94: John Leech: Isaac Newton objevuje zákony
gravitace (1848). Na obrázku jsou zachyceny ještě dva
atributy z jiných newtonovských historek: dýmka a pes.
,,GRAVITAČNÍ ZÁ KON
Pod jabloní měl jsem časté
meditace
o podstatě všeobecné
gravitace
v naději, že mohu přijít
ke slávě,
až jablko přistane mi
na hlavě.
Jednou jedno na hlavu
mi dopadlo,
mě však ale vůbec nic
nenapadlo.
Nemyslím si, že je to má
vina,
nebot'dnešní jablka jsou
jiná.
Jsou sice i dneska stejně
chutná,
jako byla za Izáka
Newtona,
ale když se na hlavu
vám zřítí
tak vás vůbec žádný nápad
neosvítí!"
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 234 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.6. Albert Einstein
Albert Einstein (1879 ­
1955)
Obr. 95: Snad nej-
známější snímek
Zeptáte-li se kohokoliv, jakého slavného fyzika zná,
s největší pravděpodobností odpoví, že Alberta Einsteina.
Při podrobnějším dotazování však zjistíte, že dotyčný neví
téměř nic o jeho vědecké práci, za to si však pamatuje, že
Einstein nenosil ponožky, hrál na housle, chodil rozcuchán
a na fotografy vyplazoval jazyk. V poslední době se též
vyrojila řada pomluv napadajících především Einsteinovo
autorství teorie relativity. Pokusíme se nyní na tomto místě
podat Einsteinův důvěryhodný životopis.
4.6.1. Einstein a pozdější věrná družka jeho života Maja
Rodinná legenda tvrdí, že Albert nepromluvil až do svého třetího roku, kdy
se ovšem rozhovořil plynulými větami. Dětská léta a mládí
Obr. 96: Albert a Maja
14.3.1879 Albert Ein-
stein se narodil jako
první dítě Hermanna
a Pauline Einsteino-
vých v Ulmu
Jeho poprvé zaznamenaný plynulý projev spadá do
věku dvou let. Pauline byla podruhé těhotná a Albertovi
slíbili hračku, kterou měl dostat, až se matka a dět'átko
vrátí z nemocnice. Když po prvé spatřil svou sestru
Maju, zeptal se:,,Ale kde má kolečka?" ...
Maja, která je s Albertem jako s malým chlapečkem
na mnichovské fotografii, přijela do Pricentonu v roce
1939 z Florencie. Tam žila se svým mužem, synem uči-
tele kantonální školy, kde se kdysi učil Einstein. V Prin-
cetonu se obdivovali nejen vnější podobě, ale i překva-
pující shodě intonace, výrazu tváře a někdy i chování.
Oba, Albert i Maja, v mnohém zůstali týmiž dětmi, ja-
kými byli na fotografii.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 235 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
V dopisech Einstein hovoří o zhoršování Majina stavu. Trávil mnoho času
u jejího lůžka, četl jí knihy ­ mimo jiné díla antických autorů. V létě 1951
Einsteinova sestra zemřela.
4.6.2. ,,Zázraky" Einsteinova dětství
Obr. 97: Jak funguje
kompas?
1884 raný zájem
o exaktní vědy ­ jak
funguje kompas?
Ve věku čtyř až pěti let ležel Albert nemocný v po-
steli a otec mu přinesl kompas, aby ho hračkou rozptý-
lil, netuše, jaký trvalý dojem bude mít tento přístroj na
syna: ,,že se jehla kompasu chovala takto, se vůbec nehodilo
ke způsobu, jak se věci dějí a jak je lze podvědomě chápat
(působení spojené s ,,dotekem"). Vzpomínám si ještě nyní ­
anebo věřím, že si vzpomínám ­, jak hluboký a přetrvávající
dojem na mě tento zážitek udělal. Tady muselo být něco, co
bylo hluboce skryto za věcmi."
Obr. 98: Výšky v trojú-
helníku se protínají v je-
diném bodě.
,,Ve věku dvanácti let jsem zažil druhý zázrak zcela jiného
druhu: Nad knížkou o Eukleidově geometrii, kterou jsem do-
stal do ruky začátkem školního roku. V níbyly věty např. věta 1890 seznámení s eu-
klidovskou geometriío protnutí tří výšek v trojúhelníku v jednom bodě, která vů-
bec nebyla zřejmá, ale která mohla být dokázána s takovou
jistotou, že se zdály být vyloučeny jakékoliv pochybnosti.
Tato jasnost a jistota na mě udělaly nepopsatelný dojem."
4.6.3. Einstein a školní docházka
,,Učitelé v základní škole mi připadali jako šikovatelé a profesoři na gymnáziu jako
poručíci."
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 236 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Jistě také sám gymnazista Einstein působil pánům pedagogům nezřídka
problémy. V matematice vynikal a nemohl v tomto směru od školy očekávat 1888 ­ 1894 studia
na gymnáziu v Mni-
chově, bez ukončení
maturitní zkouškou
opouští gymnázium
a odjíždí za rodinou
do Itálie
žádný přínos, ostatní předměty snášel jen s nekonečnou trpělivostí. Přitom
dával najevo neotřesitelné sebevědomí, které bylo napájeno ze zdrojů gym-
naziálním ,,poručíkům" nedostupných; ti pak nemohli reagovat na chování
svého žáka jinak než popuzeně. A protože nic nerozčílí kantora víc než
chovanec, který dává najevo, že se ho to všechno netýká, byly konflikty ne-
odvratné. V sedmé třídě to došlo dokonce tak daleko, že nový třídní učitel
dr. Josef Degenhart Albertu Einsteinovi oznámil, ,,že z něj v životě nic nebude".
Za několik týdnů si ho nechal zavolat a vyjádřil přání, aby opustil školu. Na
poznámku Alberta Einsteina, že ,,se přece ničím neprovinil", odpověděl: ,,Vaše
pouhá přítomnost mi kazí respekt ve třídě."
4.6.4. ,,Tulák a podivín" v Curychu
Albert Einstein se nezúčastňoval tradičně vždy družného studentského ži-
vota; při zpětném pohledu sám sebe popsal jako ,,svým způsobem tuláka
a podivína". Ovšem nezůstal na ,,Poly" bez přátel. Opravdové přátelství ho 1895 Einstein skládá
neúspěšně přijímací
zkoušku na polytech-
nice v Curychu, jeho
výkony jsou vynikající
pouze v matematice
a fyzice
spojovalo s Marcelem Grossmannem, který byl o rok starší a studoval ma-
tematiku.
Obr. 99: Budova polytech-
niky
,,S ním jsem chodil každý týden do kavárny Met-
ropol a bavil se s ním nejen o studiu, ale o všem, co
může zajímat mladé lidi s otevřenýma očima." ,,Tulák"
Einstein obdivoval Grossmannovo pevné zakotvení
v solidním a zároveň liberárním švýcarském pro-
středí, jehož sympatický příklad nalezl při návště-
vách u Grossmannových rodičů v Thalwilu u Curyš-
ského jezera.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 237 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obr. 100: Marcel
Grossmann
Grossmann byl naopak natolik stržen hloubkou
intelektuálního myšlení svého přítele, že rodičům
záhy oznamoval: ,,Z Einsteina bude jednou něco vel-
kého!" Einstein to ale viděl opačně, nebot' jeho pří- 1895 ­ 1896 Studium
na kantonálníprůmys-
lové škole v Aarau,
ukončené maturitou
tel ,,je vzorný student spolupracující s učiteli. Já stojím
stranou, neuspokojený a málo oblíbený." Grossmann
horlivě navštěvoval všechny přednášky a zapiso-
val je tak pečlivě, že by mohly být okamžitě vydá-
vány tiskem. Tyto sešity sloužily Einsteinovi jako 1896 ­ 1899 polytech-
nika v Curychu,,záchranná kotva", když se přiblížily zkoušky. ,,Co
bych si bez nich počal, o tom raději nechci ani přemýš-
let."
S hrůzou popisuje Einstein ještě ve stáří, že ,,ke zkouškám musí do sebe
člověk nacpat všechny ty spousty informací, at'se mu chce nebo nechce. Toto násilí
je tak odstrašující, že každá myšlenka na vědecké bádání se mi ještě rok po složených
zkouškách zcela protivila." 1900 ­ 1902 práce uči-
tele na různých ško-
lách
4.6.5. ... a v Bernu
Obr. 101: Habicht, Solo-
vine, Einstein ­ členové Aka-
demie Olympia
Einsteinovi přátelé z mladých let v Bernu, s ni-
miž utvořil Akademii Olympia, Conrad Habicht a Mau- 1902 ­ 1908 expert
třetí, později druhé
třídy na Ú řadě pro
ochranu duševního
vlastnictví v Bernu
rice Solovine, se pravidelně scházeli spolu s Ein-
steinem ke střídmé večeři s kouskem párku, greyer-
ského sýra, trochou ovoce, medu a čaje. To stačilo,
aby překypovali veselím. Při všem tom veselí a taš-
kařicích byla stěžejním bodem Akademie četba,
která byla brána vážně a připravována podle plánu.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 238 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.6.6. Albert a Mileva
Obr. 102: Mileva
Maríc
,,Je to knihomol jako ty, jenže ty potřebuješ pořádnou ženu."
(Výrok Pauline Einsteinové o vyvolené svého syna.) 1875 ve vesnici Ti-
tel se narodila Mileva
Maríc, vyrostla v No-
vém Sadu
Mileva Maríc pocházela z Vojvodiny, tehdy mad'arské
části rakousko-uherské monarchie, později součásti Jugo-
slávie, v níž se v důsledku mocenských bojů smíchala řada
národů. Byla dcerou spíše počestných srbských velkostat- 1896 přijata ke studiu
lékařství v Curychu,
ale studuje polytech-
niku
kářů, narodila se ve vesnici Titel a vyrostla v Novém Sadu.
Mileva chtěla v každém případě studovat, i když jí v tom ne-
napomáhaly ani rodinné tradice, ani tehdejší školský systém.
Protože ženy mohly tehdy studovat v německy mluvících ze-
mích pouze ve Š výcarsku, odešla do Curychu, mekky mladých dam ze všech
zemí světa, toužících po studiu. Na polytechnice byla jedinou ženou v roč-
níku a pátou ženou, která se rozhodla tuto školu studovat.
Obr. 103: Manželé Mi-
leva a Albert Einsteinovi
Mileva se po ukončení studia již viděla jako dok-
torandka na univerzitě: ,,Už se moc těším na naše nové
práce. Musíš pokračovat ve výzkumech, mně bude k hrdosti
stačit, stanu-li se nějakou bezvýznamnou doktorkou, vždyt'
jsem docela obyčejný člověk.", píše Einsteinovi. Nicméně * 1902 dcera Lieserl
přišly děti ­ dcera Lieserl, která zůstala v Novém sadu
a její další osud není znám (zemřela nebo byla ado-
ptována?), v Bernu syn Hans Albert (viz fotografie)
a v Curychu syn Eduard . Mileva zanechává vědecké
kariéry a stará se o muže a o děti. ,,Jsem tedy ženatý 6. 1. 1903 sňatek s Al-
bertem Einsteinemmuž," říká Einstein Bessoovi, ,,vedu se ženou milý a pohodlný život. O všechno
se znamenitě stará, vaří dobře a je stále spokojená." U syna Eduarda propuká
schizofrenie a Mileva o něj pečuje až do konce svého života.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 239 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Obr. 104: Mileva, Al-
bert a syn Hans Albert
Někdy se objevují spekulace, zda Mileva nebyla au-
torkou či přinejmenším spoluautorkou teorie relativity.
Jako důkaz se uvádí fakt, že Einstein poslal celou fi- * 1904 syn Hans Al-
bert, později profe-
sor hydraulického in-
ženýrství na Kaliforn-
ské univerzitě v Berke-
ley, 1973
nanční částku spojenou s Nobelovou cenou Milevě,
s kterou byl již dva roky rozveden. Byla to cena za ml-
čení anebo snaha bývalého manžela finančně zajistit
své děti a jejich matku?
* 1910 syn Eduard,
1965
Existuje i jiný ,,důkazní materiál": ,,Jak bych byl št'astný
a hrdý," psal Albert Milevě na jaře roku 1901,,,kdy-
bychom naši práci o relativních pohybech dovedli ke zdár-
nému konci." Nespecialisté se mohou domnívat, že se
tento výrok vztahuje k teorii relativity, ale tak tomu není.
V té době věřil Einstein v existenci éteru, chtěl vymyslet experimenty, kterými
by testoval jeho relativní pohyb, což byla otázka, která tenkrát trápila mnoho
fyziků. V Mileviných dopisech se myšlenky o fyzice neobjevují, i své přítel-
kyni Savícové psala jen o tom, jak je hrdá na první úspěchy svého miláčka.
1914 návrat Milevy se
syny do Curychu, Ein-
stein odjíždído Berlína
Ruský fyzik Abram Joffe však viděl v redakci Análů články podepsané
jmény obou manželů! Zde je možné dohledat pramen. Joffe v knize Setkání
s fyziky píše: ,,V roce 1905 se v Annalen der Physik objevily tři články, jimiž
začínají tři velmi důležitá odvětví fyziky 20. století ... Autorem těchto článků byl
do té doby neznámý člověk, úředník Patentního úřadu v Bernu, Einstein­Marity
(Marity bylo dívčí jméno jeho ženy, které se po švýcarském zvyku přidává ke jménu
manžela)." Z toho plyne sotva více, než že Joffe pokládal za švýcarský zvyk
připojovat ke jménu muže dívčí jméno jeho manželky. 1919 rozvod manžel-
stvíPodobně vyblednou při bližším zkoumání i další ,,důkazy". Milevin osud
­ osud opuštěné ženy a matky ­ byl jistě smutný. Sám Einstein po smrti
svého přítele Besso v dopise pozůstalým vyjádřil obdiv k jeho harmonickému
manželskému životu a konstatoval, že on v tomto ohledu dvakrát neslavně
selhal. A snad v každém díle se nacházejí utajené stopy lidí tvůrci blízkých
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 240 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
­ to jistě platí i o Albertovi a Milevě.
Obr. 105: Mileva
a synové Hans Albert
a Eduard
Einstein nebyl vzorem ve všem, co dělal, ale roz-
hodně se nechoval přezíravě ke svým spolupracov-
níkům. V kratičké předmluvě k českému vydání své
knihy o teoriích relativity roku 1923 nezapomněl ocenit
zásluhy svého spolupracovníka Marcela Grossmanna.
Je doloženo 22 spoluautorů Einsteinových prací, po-
slední, už skoro na prahu jeho smrti, byla mladá žena
Bruria Kaufmannová. Proč by zamlčel podíl Milevy?
Děkuje-li Einstein v závěru své nejslavnějšípráce z roku 1948 Mileva
v Curychu1905 pouze příteli Michelovi Besso, není pochyb o tom, že jedině on se na
zrodu teorie relativity v Einsteinově hlavě výrazně podílel.
4.6.7. Těžké začátky
Akademická kariéra
Po první přednášce mohl soukromý docent Einstein ohlásit rektorovi jen tři
posluchače, a to ještě nebyli studenti, nýbrž hosté a věrní přátelé. Museli 1908 soukromá do-
centura na univerzitě
v Bernu
vstávat dvakrát týdně brzy ráno a vyšplhat se na Velké Š ance, nebot' tam
Einstein začínal přednášet ve staré hvězdárně ve čtvrtek a v sobotu v sedm
hodin, aby mohl být spolu s kolegy už v osm hodin na patentním úřadě.
Když v letním semestru zůstal jen jediný zájemce a i ten svou účast
odřekl, potvrdil se podle Einsteinova vyjádření melancholický povzdech sou-
kromých docentů, že prvním zástupcem jejich cechu byl prorok Mojžíš, jenž
v bibli pronesl slova,,Ale oni ho neposlouchali".
4.6.8. Einsteinův první čestný doktorát
,,Jednoho dne jsem dostal na bernském patentovém úřadu velkou obálku, do níž byl
vložen jemný uhlazený papír, a na něm bylo něco napsáno takovým pitoreskním
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 241 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
písmem (myslím, že dokonce latinsky), že mi to připadalo neosobní a nezajímavé,
a tak to hned letělo do koše." 1909 mimořádný
profesor teoretické
fyziky na univerzitě
v Curychu
Teprve později se dozvěděl, že zahodil pozvánku na oslavu třistapadesá-
tého výročí založení ženevské univerzity a že mu má být při této příležitosti
propůjčen titul čestného doktora. Když z Bernu nepřicházela odpověd', zapo-
jili ženevští do hry Einsteinova krajana, a ten přemluvil Einsteina k cestě do
Ženevy. ,,V ohlášený den jsem tedy odjel a večer potkal několik profesorů v hostinci,
kde jsme bydleli. Každý z nich vyprávěl, v jaké věci sem přijel. Když jsem mlčel,
obrátili se na mě a já musel přiznat, že nic nevím. Ostatní mě do všeho zasvětili.
Příští den jsem měl pochodovat ve slavnostním průvodu a měl jsem jen slamák na
hlavě a běžné oblečení."
4.6.9. Ř ádný profesor v Praze, ale ne nadlouho
,,Je jisté, že z této polobarbarské Prahy odjedu s lehkým srdcem."
Obr. 106: Pamětní
deska upomínající na
pobyt Einsteina v Praze
1911 profesor Ú stavu
pro teoretickou fyziku
pražské německé uni-
verzity
,,Mám zde nádherný ústav, v němž se mi velmi dobře
pracuje," zjistil Einstein hned po příjezdu do Prahy. Což
bylo pro něho nejdůležitější. Jinak Einstein shledal Prahu
méně útulnou a stěžoval si zprvu,,na českou řeč, na ště-
nice, špatnou vodu atd." 1912 profesura
v Curychu,,Celá pražská inteligence se sešla, aby zaplnila největší
posluchárnuPřírodovědeckéhoústavu," vzpomíná jistý ma-
tematik. ,,Einstein vystupoval velmi prostě. Mluvil nešrou-
bovaně, živě a jasně, zcela přirozeně, a místy přednášku do-
plňoval osvěžujícím humorem. Mnohý z posluchačů žasl, jak
je teorie relativity jednoduchá."
Hezký park pod okny Einsteinovy pracovny ve Vi-
ničné ulici patřil tomu, co se tehdy nazývalo blázincem.
Einstein vodil návštěvníky k oknům a s pohledem na
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 242 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
duševně choré, procházející se pod starými stromy, říkal:,,Tam vidíte onu část
pomatenců, kteří se kvantovou teorií nezabývají."
4.6.10. Einstein v Berlíně
1914 ­ 1932 místo ře-
ditele nově zřízeného
Fyzikálního ústavu při
společnosti císaře Vi-
léma v Berlíně, uni-
verzitní profesor bez
povinnosti vyučovat,
člen Pruské akademie
věd
Obr. 107: Walter
Nerst
V létě roku 1913 přišli do Curychu od severovýchodu dva
muži a přinesli s sebou dary. Ve svých vlastních sférách to
vlastně byli dva králové. Jeden z nich, malý zavalitý legrační
človíček jménem Walter Nerst, byl brilantním chemikem.
Druhý, vysoký a štíhlý, obrýlený, s parádním knírkem
a dokonale elegantním chováním, jménem Max Planck, byl
objevitelem kvantové teorie a ve své době nejváženějším
fyzikem Německa.
Oba přicházeli z Berlína, o němž se dalo říci, že šlo
o střed světa, alespoň pokud šlo o svět teoretické vědy.
Přijeli složit hold čtyřiatřicetiletému muži jménem Albert Einstein. Požado-
vali však také něco obratem zpět: žádali Einsteina, aby se přestěhoval do
Berlína.
Obr. 108: Max
Planck
Aby Einsteina nalákali na vějičku, přislíbili mu členství
v Pruské akademii věd. Měl se stát jejím nejmladším členem.
Mimo to mu bylo přislíbeno místo na fakultě berlínské
univerzity za takových podmínek, o kterých si mohla vět-
šina profesorů nechat jen zdát: neměl mít žádné vyučovací
povinnosti, avšak právo přednášet podle libosti. Svůj hold
dokončili nabídkou: stane se ředitelem vlastního fyzikálního
ústavu. A všechno měl doprovázet vynikající plat, maximum,
jaké bylo pruskému profesorovi možné vyplatit.
Oslněný, avšak nikoliv oslepený Einstein řekl oběma, že
by přece jen měli počkat. Přislíbil, že je bude čekat na nádraží s kytkou
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 243 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
v ruce. Bude-li bílá, odmítne je, bude-li červená, pojede s nimi do Berlína. ...
Vtipálek se objevuje na nástupišti. V ruce drží květinu, je červená. 1933 Ú stav po-
kročilých studií
v Princetonu; pů-
vodně půlroční pobyt
potrval až do konce
života
Einstein se ze šoku roku 1914 nikdy nevzpamatoval ­ nikoliv pouze
z faktu, že vypukla válka, ale z nezastřené radosti, kterou, jak se zdálo,
měl ze zdravého boje každý. ,,Když může mít člověk potěšení z pochodování ve
čtyřstupech na melodii vojenské kapely, je to pro mě dost, abych jím pohrdal," napsal
v pozdějších letech. ,,Takový člověk dostal velký mozek jen omylem; stačila by mu
mícha."
4.6.11. Albert a Elsa
,,Ne, nerozumím teorii relativity svého manžela, ale znám svého manžela a vím, že
se mu dá věřit." 1876 se v Hechingenu
narodila Elsa Einstei-
nová, dcera Rudolfa
Einsteina a Fanny Ko-
chové
1896 sňatek Elsy
s Maxem Lo¨wentha-
lem, obchodníkem
s textilem v Berlíně
Během návštěvy v Berlíně na jaře 1912 Einstein obnovil kontakt s El-
sou Einsteinovou-Lo¨wenthalovou. Tehdy šestatřicetiletá rozvedená žena se
dvěma dcerami byla dcerou sestry jeho matky a sestřenicí jeho otce (Elsina
a Albertova matka byly sestry, jejich otcové bratranci).
Obr. 109: Albert a Elsa
Einsteinovi
dcery Ilse (1897 ­ 1934)
a Margot (1899 ­ 1986),
syn narozen 1903 a ze-
mřel krátce po naro-
zení
Einstein si Elsu pamatoval jako živou, vtipnou dívku,
ale jejich kontakty dávno ustaly. Toto krátké setkání
rychle přestihlo hranice běžné rodinné sympatie.
Mileva pouhé tři měsíce po příjezdu Berlín opustila.
Odjeli i chlapci. V dopise Else Einstein napsal, že po
rozchodu ,,plakal jako malé dítě". Jeho smutek však
nepřežil do druhého dne. Otřel si slzy, usadil se ve svém
křesle a uprostřed vítaného ticha prázdného apartmá
začal pracovat.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 244 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
14. února soud v Curychu formálně ukončil Einsteinovo manželství s Mi-
levou Maríc. Soud uložil Einsteinovi zákaz se během dvou následujících 1919 rozvod manžel-
ství Alberta a Milevylet oženit, avšak bez ohledu na toto rozhodnutí se 2. června 1919 Einstein
a Elsa nechali v tichosti sezdat v Berlíně. Elsa nesměla vstoupit do Einstei- 1919 sňatek s Albertem
Einsteinemnovy studovny bez dovolení, tento podkrovní pokoj se nesměl uklízet, aby
se mu nepřeházely papíry. Jídla mohla servírovat v pravidelných intervalech,
pokud však pracoval, jídlo muselo počkat.
Obr. 110: Einsteinovi
a Charlie Chaplin
Když odjížděl se ženou do Kalifornie a opouštěli vilu
Caputh, řekl Einstein Else: ,,Tentokrát se na ni podívej
pořádně." ,,Proč?" ,,Už ji víckrát neuvidíš." 1933 emigrace z Ně-
meckaPři návštěvě observatoře Mount Wilson se Einstein
a Elsa zajímali o obrovské teleskopy. ,,K čemu je po-
třebný takový velikán?", zeptala se Elsa. ,,Cíl spočívá ve
stanovenístruktury vesmíru", odpověděl ředitel observa-
toře. ,,Skutečně? Můj muž to obyčejně dělá na druhé straně
staré obálky." 1936 Elsa v Prince-
tonu po bolestivé ne-
moci
Během Elsiny nemoci se Einstein v Princetonu o ženu pečlivě staral
a chodil celý utrápený a stísněný. ,,Nikdy jsem si nemyslela, že mu na mě tolik
záleží. To mi dělá dobře."
Einstein si s novou situací poradil: ,,Zvykl jsem si tady, žiju jako medvěd
v brlohu a cítím se vlastně víc doma než kdy jindy v životě, tak bohatém na změny.
... Jako osamělý běžec se člověk narodí."
4.6.12. Einstein v Princetonu
Píši Vám, abych se dozvěděla, zda skutečně existujete.
(z dopisu, který Einsteinovi poslala žačka z Britské Kolumbie)
V roce 1930 sourozenci Louis Bamberger a vdova po Felixu Fuldovi,
miliardáři, požádali známého osvětového činitele Flexnera, aby jim pomohl
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 245 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
organizovat nový vědecký institut. Flexner navrhl zřídit instituci nového typu, 1932 založení institutu
v Princetonukterá dostala název Ú stav pokročilých studií (Institut for advanced study).
Flexner chtěl skupinu velkých učenců úplně osvobodit od všech pedagogic-
kých a administrativních povinností a od všech hmotných starostí. O svých
plánech promluvil s Einsteinem. 1933 Einsteinův pří-
jezdKdyž Einstein pochopil, že další pobyt v Německu je pro něho nemožný,
přesídlil v říjnu 1933 do Ameriky a začal pracovat v Ú stavu. Své postavení
považoval za poněkud nevhodné: nesluší se, říkal, brát peníze za výzkum-
nou práci, která je vnitřní potřebou, a nemít žádné pedagogické povinnosti. 18.4.1955 v tomto
městě Einstein umírá
Obr. 111: Tullio Levi-
Civita
Infeld přijel do Princetonu v roce 1936. Einstein za-
čal ihned vykládat ideu svých posledních prací. V tom
vstoupil do místnosti Levi-Civita ­ jeden z tvůrců mate-
matických konstrukcí, jichž Einstein užil v obecné teorii
relativity. Tento italský matematik odmítl přísahat věr-
nost fašistickému režimu a našel útočiště v Princetonu.
Einstein ho požádal, aby zůstal a účastnil se besedy.
,,Pozorně jsem sledoval," vzpomíná Infeld, ,,klidného Ein-
Obr. 112: Pomník
v Princetonu
steina a maličkého, živě gestikulujícího Leviho-Civitu, když
ukazovali na vzorce napsané na tabuli a užívali jazyka, který
byl podle jejich názoru angličtinou. Celý tento obraz a pohled
na Einsteina, který si občas potahoval kalhoty (bez řemene a šlí) byl tak velkolepý
a komický, že na něj pravděpodobně nikdy nezapomenu.
Hovoříš a posuzuješ fyzikální problémy s nejslavnějším fyzikem světa a směješ
se, protože nenosí šle, myslel jsem si. Autosugesce účinkovala a překonal jsem smích,
když Einstein začal mluvit o gravitačních vlnách."
Jednou v rozhovoru s Infeldem Einstein řekl: ,,Ž ivot ­ to je povzbuzující
a velkolepé přestavení. Líbí se mi. Ale kdybych se dozvěděl, že za tři hodiny musím
zemřít, neudělalo by to na mě velký dojem. Přemýšlel bych, jak zbylých tří hodin
nejlépe využít. A pak bych uspořádal své papíry a spokojeně bych si lehl a umřel."
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 246 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.6.13. Einstein a světská sláva
Sláva též vyžaduje oběti, a je-li možno hovořit o honbě za slávou, pak v této honbě
Einstein hrál v každém případě roli zvěře a ne lovce.
A. Moszkowski
Již v Praze v roce 1911 Einstein zjistil, že odchylka světla v gravitačním
poli Slunce je dost velká na to, aby ji bylo možno pozorovat při zatmění
Slunce . Vyzval astronomy, aby se tomu problému věnovali, nesetkal se
však s velkým pochopením.
Obr. 113: Hyády
­ schéma a fotografie
souhvězdí Býka
Válka a povětrnostní podmínky ho 21.8.1914 při za-
tmění Slunce uchránili před rozčarováním, jakým by
pro něho muselo být vedle potvrzení samotné exis-
tence odchylky světla zjištění, že výsledek se liší od
předpovědi. Teprve v listopadu 1915 objevuje správ-
nou, dvojnásobnou hodnotu odchylky světla 1,7 oblou-
kové sekundy.
V roce 1917 poukázal královský astronom Frank
Dyson na to, že zatmění slunce 29.5.1919 bude velmi
příznivé pro pozorování odchylky světla Hyád, hvězd ze
souhvězdí Býka. Arthur Stanley Eddington se nakonec 1919 potvrzení před-
pokladu o ohybu
světla v gravitačním
poli Slunce
stal vedoucím expedice, což souvisí s jeho pacifistic-
kým přesvědčením.
Eddington byl kvaker a rozhodl se odmítnout na-
stoupit vojenskou službu. Jeho kolegové se snažili vyhnout se problému tím,
že zdůrazňovali, že vynikající vědec je pro vlast užitečnější než u armády.
Armáda se zřekla Eddingtonových služeb pod podmínkou, že se bude za-
bývat jen přípravami expedice. Eddington zvolil pro své pozorování ostrov
Principe v Guineiském zálivu. Ze šestnácti naexponovaných snímků byla vět-
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 247 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
šina vinou mraků nepoužitelná, ale na konci zatmění se nebe trochu roztrhlo
a přinejmenším na jedné desce se zobrazily hvězdy.
Obr. 114: Arthur Stan-
ley Eddington
Pro srovnání se v lednu v Greenwichi vyfotografo-
valo stejné místo na nebi, když Slunce stálo jinde. Při
srovnání fotografií zdařilý snímek vykazoval odchylku,
která byla v souladu s Einsteinovou teorií. Tento vý-
sledek potvrdila i druhá část expedice, která prováděla
pozorování v Sobralu v Brazílii.
Einstein již v červnu 1919 oznamoval matce: ,,V ho-
landských novinách psali, že se oběma expedicím zdařily
snímky zatmění Slunce." Když se Max Born zeptal Ein-
steina, co udělá, nebude-li předpokládaný jev pozoro-
váním potvrzen, reagoval na to s neotřesitelným kli-
dem: ,,To bych se moc divil."
Obr. 115: Einstein na
přehlídce v Londýně
6.11. 1919 byly výsledky expedic definitivně ohlá-
šeny na zasedání Královské společnosti v Londýně.
,,Existovala," píše Infeld, ,,jedna příčina růstu Einstei-
novy popularity, příčina pravděpodobně nejdůležitější: nový
jev předpověděl německý vědec a objevili ho angličtí vědci.
Fyzikové a astronomové, kteří ještě nedávno patřili ke dvěma
nepřátelským táborům, znovu pracují společně! Je možné, že
je to počátek nové éry, éry míru? Touha lidí po míru byla, jak se mi zdá, hlavní
příčinou vzrůstající Einsteinovy slávy."
Einstein napsal: ,,Hle, příklad relativity pro rozptýlení čtenářů. Nyní mě v Ně-
mecku nazývají německým vědcem a v Anglii jsem uváděn jako švýcarský Ž id.
Kdybych se stal černou ovcí, došlo by k opaku: byl bych švýcarským Ž idem pro
Německo a německým vědcem pro Anglii."
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 248 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.6.14. Přednášková turné a jiné cesty
Přednášky a pracovní
pobyty
1911 Leiden: Karl-
sruhe: zasedání
Společnosti němec-
kých přírodovědců
a lékařů Brusel:
1. Solvayův kongres
Utrecht
1912 Berlín
Obr. 116: Marie Curie-
Sklodowská
1913 Paříž: přednáška
o fotochemickém zá-
konu ekvivalence, En-
gadin: turistický výlet
s Marií Curie, Nový
Sad: prázdniny u Mile-
viných rodičů, Vídeň:
přednáška o teorii gra-
vitace,
1914 Antverpy, Lei-
den,
1915 Go¨ttingen: před-
nášky o obecné teorii
relativity, pobyt u Da-
vida Hilberta,
,,Velmi jsem obdivovala práce, které pan Einstein o mo-
derní teoretické fyzice publikoval. Navíc si myslím, že mate-
matičtí fyzikové se shodují v tom, že tyto práce mají nejvyšší
hodnotu. V Bruselu, kde jsem navštívila vědeckou konferenci,
jíž se pan Einstein také zúčastnil, jsem obdivovala přesnost
jeho myšlení, šíři a důkladnost jeho znalostí. Když si uvě-
domíme, že monseigneur Einstein je ještě velmi mladý, je
oprávněné, že v něho vkládáme velké naděje a vidíme v něm
jednoho z vůdčích teoretiků budoucnosti." (Marie Curie,
doporučení Einsteina na profesorské místo v Curychu)
Začátkem srpna přijela Marie Curie s oběma dce-
rami a vychovatelkou do Curychu. Einstein vzal hosty
a syna Hanse Alberta na výlet. Ačkoliv měl potíže s francouzštinou a Marie
sotva rozuměla německy, nedělalo jim zřejmě potíže se dorozumět. Dcera
Eva popsala výlet v životopise své matky: ,,Mladí lidé, pro něž je cesta velkou
radostí, jdou vpředu. Místy zachytí v letu některá slova, která jim připadají po-
divná. Einstein vysvětluje Marii své teorie: ,,Chápete, že musím přesně vědět, co cítí
posádka výtahu, který padá volným pádem." Nad tak dojemnou starostí vybuchá
mladá generace v smích."
Obr. 117: Albert a Elsa
v Japonsku
1919 Curych: před-
náška o obecné teorii
relativity,
1920 přednáškové
turné Norsko, Dánsko,
nástupní přednáška
hostujícího profesora
v Leidenu,
1921 přednášky Praha,
Vídeň, USA, Manches-
ter, Londýn,
Když byl Bertrand Russell v létě 1921 v Japonsku
na pozvání nakladatelství Kaizóša, na otázku, kdo jsou
tři nejvýznamnější lidé, kteří by měli být příště pozváni,
jmenoval Einsteina a Lenina, jinak nikoho.
Protože Lenin byl v Rusku nepostradatelný, roz-
hodlo se nakladatelství pro Einsteina. Pobyty v Hon-
gkongu, Singapuru a Š anghaji měly velké turistické
kouzlo, přestože Einsteinovi připadala bída děsivá, a jízda
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 249 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
rikšou, taženou člověkem, ho zahanbovala: ,,Styděl jsem se, že se podílím na
tomto zavrženíhodném způsobu, jakým se zde zachází s lidmi, nemohl jsem však na
tom nic změnit." 1922 Paříž: přednášky
na Collégue de France,
Japonsko: zde ho zasti-
huje zpráva o udělení
Nobelovy ceny,
Na první veřejnou přednášku v Japonsku přišlo dva tisíce posluchačů.
Přednáška se protáhla, ale Einstein vydržel pět hodin a mluvil s velkým
nasazením, možná proto, že věděl, že posluchači zaplatili enormní vstupné
tři jeny, které by tehdy stačily na týdenní stravu.
1923 Palestina ­ čestný
občan Tel Avivu, zá-
kladní kámen Hebrej-
ské univerzity v Je-
ruzalémě, přednášky
Švédsko, Dánsko,
4.6.15. Einstein a Nobelova cena
1925 Jižní Amerika,
1927 Solvayův kon-
gres v Bruselu ­ spor
s Bohrem o interpre-
taci kvantové mecha-
niky,
1928 Davos ­ těžké sr-
deční onemocnění,
1929 Brusel ­ setkání
s belgickou královnou,
Obr. 118: Certifi-
kát o udělení Nobelovy
ceny
1930 ­ 31 studijní
pobyty Caltech (Ka-
lifornský technický
ústav v Pasadeně)
a Oxford,
1932 Caltech,
1933 Belgie, Oxford ­
přednáška, Princeton,
1949 odpočinek na Flo-
ridě
Einstein byl poprvé navržen na Nobelovu cenu již
roku 1910 Wilhelmem Ostwaldem, u něhož se kdysi
marně pokoušel získat asistentské místo. Ostwald ve
zdůvodnění uvedl teorii relativity. Výbor pro hodnocení
ceny za fyziku radil vyčkat, dokud nebude teorie ex-
perimentálně ověřena. Od roku 1912 byl Einstein stále
nominován, nejen za teorii relativity, ale také za práce
o Brownově pohybu, a později k nim přibyl fotoelek-
trický jev. V roce 1921 bylo hodnocení teorie relativity svěřeno fyziologovi
Allvaru Gullstrandovi, který významně přispěl k pochopení lidského oka jako
optického systému a dostal za to roku 1910 Nobelovu cenu za lékařství.
Gullstrand považoval teorii relativity za dílo diletanta a jeho posudek svědčí
o značném nepochopení. Výbor doporučil udělení ceny na příští rok. V roce
1922 byl znalcem určen zase Gullstrand a nevypořádal se s problémem
o mnoho lépe než před rokem. Profesor fyziky a člen výboru Carl Oseen
však přišel na spásnou myšlenku nominovat Einsteina za objasnění foto-
elektrického jevu. Výbor doporučil udělit Einsteinovi cenu za fyziku za rok
1921, zatímco cenu za rok 1922 obdržel Niels Bohr.
V Jeruzalémě poslední večer si Einstein napsal do deníku: ,,Chtějí mě
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 250 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
tu bezpodmínečně mít a útočí na mě v tom smyslu v sevřených šicích. Mé srdce
říká ano, rozum ne." Einstein se nevrátil do Jeruzaléma, ochotně však přijal
roli, kterou mu později v Palestině přisoudili: přestože židovský národ nezná
svaté, označuje Einstein sám sebe za ,,židovského svatého".
4.6.16. Einstein a náboženství
1891 Einstein nejde
k Bar Micva a v rabín-
ském smyslu není čle-
nem židovské obce
,,Ještě v raném mládí jsem si živě uvědomil nicotnost nadějí a snah, které prohánějí
životem většinu lidí a nedopřávají jim klid.
Obr. 119: Známka vy-
daná ve státě Izrael
Brzy jsem si uvědomil i surovost tohoto honu, který se
ovšem tenkrát lépe než dnes zakrýval pokrytectvím a krás-
nými slovy. Ú čast v tomto honu mohla uspokojit žaludek, ale
nikoliv celého člověka jako myslící a cítící bytost. Východis-
kem se zdálo být především náboženství, které všem dětem
vštěpuje tradiční vychovatelská mašinérie. Tak jsem, i když
jsem byl synem zcela nenábožných rodičů, dospěl k hluboké
nábožnosti, která však už ve věku dvanácti let náhle skončila.
Čtenívědecko-populárních knížek mě brzy přivedlo k názoru,
že v biblických příbězích mnohé nemůže být pravda. ... Je mi
jasné, že takto ztracený náboženský ráj mládí je prvním po-
kusem osvobodit se od všeho, co je pouze osobní.
Tam vně existoval veliký svět, nezávislý na nás lidech,
a stojící před námi jako obrovská věčná otázka, která je však
alespoň zčásti přístupná našim smyslům a našemu rozumu. Studium tohoto světa
lákalo jako osvobození. ... Cesta k tomuto ráji nebyla tak pohodlná a svůdná jako
cesta k náboženskému ráji, ale ukázala se jako nadějná, a já jsem nikdy nelitoval, že
jsem se na ni vydal."
,,Jedinec nejasně tuší, jak nicotné jsou lidské tužby a cíle a jaká vznešenost a zá-
zračný řád se mu vyjevuje v přírodě i myšlenkovém světě. Individuální existenci
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 251 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
vnímá jako svého druhu vězení a touží po tom zakusit veškeré bytí jako cosi jed-
notného a smysluplného. Jakési náznaky vesmírné religiozity se najdou již v raných
etapách vývoje, třeba v nejednom Davidově žalmu, a také u jiných proroků. Daleko
silnější je složka vesmírné religiozity v buddhismu. ... Náboženští géniové všech dob
se vyznačují právě touto vesmírnou religiozitou, která nezná dogmata, nezná boha,
který by byl podoben člověku."
,,Kdo je bezvýhradně oddán názoru, že veškeré dění je zřetězením příčin, pro toho
myšlenka bytosti, která zasahuje do běhu světa, je naprosto nepřijatelná. Náboženství
opřené o bázeň odmítá, ale neméně i jakékoliv náboženstvísociálnínebo mravní. Bůh,
který odměňuje a trestá, je pro něj nemyslitelný už proto, že člověk jedná podle vnější
i vnitřní zákonité nezbytnosti, z hlediska božího nenese tedy žádnou zodpovědnost,
stejně jako jakýkoliv neživý předmět neodpovídá za pohyby, které vykonává."
Obr. 120: Einstein
u knihovny
,,Jak hluboká víra v rozumnost uspořádánívesmíru a jaká
touha po tom, aby porozuměli byt'jen tomu nejnepatrnějšímu
odlesku rozumu, vyjevujícímu se v podobě tohoto světa, nej-
spíš žila v mysli Keplerově i Newtonově, takže mnohaletým
osamělým úsilím dokázali rozšifrovat, jak funguje nebeská
mechanika! ... Jen ten, kdo zasvětil svůj život podobným
cílům, je schopen si živě představit, čím byli takoví lidé
prodchnuti, co jim dávalo sílu, aby nesčetným neúspěchům
navzdory se nezpronevěřili svému cíli. Takovou silou nás
obdařuje právě vesmírná religiozita."
Ve Š výcarsku uváděl Einstein v oficiálních dotaz-
nících vždy ,,bez vyznání", něco takového však nebylo
v říši Františka Josefa myslitelné, nebot'podle představ
starého císaře bylo vyloučeno, aby člověk bez vyznání vykonal přísahu věr-
nosti. Když byl Einstein se situací seznámen, prohlásil, že je Žid, načež bylo 1911 příklon k víře
nebo nutnost vyplnit
kolonku ve formuláři?
ve formuláři vyznačeno vyznání ,,mosaické". Einstein zřejmě neviděl v tomto
ústupku rakouským byrokratickým požadavkům návrat k víře svých otců.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 252 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.6.17. Einstein a politika
,,Myslím, že by se starý dobrý Nobel obracel v hrobě, kdyby se mohl seznámit
se soupisem osob, které mají být jeho jménem oslaveny a odměněny za mírovou
činnost."
A. Einstein, 1935
Když bylo Albertu Einsteinovi, rodákovi z německého Ulmu, sedmnáct, 1895 Einstein se zříká
německého občanství,
pět let je bez státní pří-
slušnosti, pak získává
občanství švýcarské
zřekl se německého občanství. Chtěl se tak vyhnout prušáctví, které ho
sužovalo na škole, a o němž věděl, že by ho dříve či později přizvalo k účasti
na tzv. nejčestnější vojenské službě. Do Německa se pak vrátil na jaře 1914,
švýcarskou státní příslušností chráněný proti osudu, který záhy postihl jeho
německé krajany. 1914 Einstein pracuje
v Berlíně, nesdílí
celonárodní nadšení
a válku odmítá
Obr. 121: Mírová kon-
ference, rok 1930
První politický manifest ,,Provolání k Evropanům",
který Einstein podepsal, byl odpovědí na ,,Provolání ke
kulturnímu světu", kde devadesát tři předních němec-
kých intelektuálů obhajovalo porušení belgické neutra-
lity a vyzvedalo kulturnost německého národa. Odvahu
podepsat ,,Provolání k Evropanům" našli pouze čtyři
lidé. ,,Má se Evropa v bratrovražedné válce vyčerpat a zahy-
nout? Evropané ­ lidé, pro které Evropa neníjen zeměpisným
pojmem, ale záležitostí srdce ­ se musí sjednotit."
Einstein obvykle neztrácel naději, že je možné se
pokusit současnou situaci vždy obrátit k lepšímu. ,,Vzpomínáš si ještě, jak 1918 řeč v říšském
sněmujsme asi před pětadvaceti lety jeli tramvají k budově Říšského sněmu, přesvědčeni,
že můžeme účinně přispět k přeměně těch chlapů v poctivé demokraty? Bylo nám
čtyřicet a jak jsme byli naivní!" 1922 ­1923, 1924 ­1930
práce pro Společnost
národů
Einstein byl poprvé členem Výboru pro intelektuální spolupráci Společ-
nosti národů pouhých osm měsíců v letech 1922 až 1923. Č lenství se vzdal
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 253 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
na protest proti vstupu francouzského vojska do Porýní. Podruhé vstoupil
do výboru v roce 1924 a svou činnost definitivně ukončil 1930. ,,Přes svou
pestrou náplň to byl nejnemohoucnější podnik, jakého jsem se kdy zúčastnil."
4.6.18. Einsteinův pacifismus
Na otázku: ,,Co byste dělal, kdyby vypukla nová válka?", Einstein v únoru 1929
odpověděl: ,,Bezpodmínečně bych odmítl vykonávat přímou nebo náhradní vojen-
skou službu a snažil bych se, aby moji přátelé zaujali stejný postoj bez ohledu na to,
jak bychom příčiny této války posuzovali."
,,Vést válku, to znamená zabíjet nevinné, a sám se nechat bez viny zabít. ... Může
se na něčem takovém podílet svobodný, řádný člověk? Přísahal byste křivě, kdyby to
od vás vyžadoval stát? Jistě ne ­ ale zabíjet nevinné? Otevřeně řečeno, pro mne je
tento poslední argument nejpádnější, alespoň pokud jde o jeho působení na mne. Co
se mě týká, dávám přednost lidskosti před vlastí a přede vším."
Nástup Hitlera k moci změnil Einsteinovy názory na účelnost odmítání
vojenské služby: ,,Velmi se podivíte tomu, co Vám sdělím. V době zcela nedávné
bylo ještě možné doufat, že proti evropskému militarismu se dá účinně bojovat
osobní rezistencí. Dnes je situace zcela jiná. Jedna mocnost ve střední Evropě (Ně-
mecko) veřejně a všemi prostředky připravuje válku. Románské země, zejména Belgie
a Francie, jsou proto ve vážném nebezpečí a jsou na svou brannou sílu bezprostředně
odkázané. Pokud jde o Belgii, je jasné, že tato malá země nemůže nikdy své branné
moci zneužít, ale že ji má v zájmu své holé existence ... Za dnešních okolností bych
na místě Belgičana vojenskou službu neodmítal, ale ochotně bych se jí ujal s pocitem,
že pomáhám zachránit evropskou civilizaci."
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 254 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.6.19. Odchod z Pruské akademie věd
Einstein v březnu 1933 píše: ,,Dokud se mi k tomu bude naskýtat možnost, budu
pobývat pouze v takové zemi, kde vládne politická svoboda, snášenlivost a rovnost
všech občanů před zákonem. K politické svobodě patří svoboda ústní i písemné arti-
kulace, politického přesvědčení, ke snášenlivosti úcta vůči jakémukoliv přesvědčení
každého jednotlivce. Tyto předpoklady v současné době v Německu nejsou splněny.
Jsou tu pronásledováni všichni, kdo se obzvláště zasloužili o to, aby se dařilo me-
zinárodnímu dorozumění, a mezi nimi i někteří čelní umělci. Tak jako kterýkoliv
jednotlivec může duševně onemocnět i kterýkoliv společenský organismus, zejména
v době, kdy se nežije snadno. Národy obvykle takovýmto neduhům odolají. Doufám,
že v Německu už brzo zavládnou zdravé poměry a že se tu v budoucnosti velcí lidé
jako Kant a Goethe nebudou jen čas od času oslavovat, nýbrž že se ve veřejném životě
v obecném povědomí také prosadí zásady, které hlásali."
,,Lidstvo zůstane hloupé jak bylo vždycky a není třeba ho litovat, ale že pak už
nikdo nezahraje Bacha a Mozarta, je přece jen škoda."
Obr. 122: Karikatura
­ vyhoštění Einsteina
z Německa
Spinozovo stanovisko, neznající hřích ani vinu, po-
mohlo Einsteinovi v životě k rozumné toleranci a shoví-
vavosti s mnohými lidskými hloupostmi a proviněními, ale
při posuzování Němců vedlo k nesmiřitelným následkům
mimo kategorie viny a hříchů: Když udělali to, co mu-
seli, pak to udělají znovu, pokud jim v tom nezabráníme.
A všem, kteří se na něho oficiálně obrátili, to dal Einstein
pocítit.
Z dopisu Einsteina Bavorské akademii věd: ,,Akademie 1933 vystoupení
z Pruské a Bavor-
ské akademie věd,
emigrace do USA
mají v první řadě za úkol podporovat a chránit vědeckou čin-
nost ve své zemi. Německé učené společnosti však ­ pokud
mi je známo ­ přijaly mlčky fakt, že nemalá část německých
vědců a studentů i lidí vykonávajících své povolání na základě
akademického vzdělání se v Německu zbavuje možnosti pracovat a vydělávat si tak
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 255 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
na živobytí. Nechci být členem pospolitosti, která ­ i když pod nátlakem ­ zaujímá
podobný postoj."
Obr. 123: Einstein na
shromáždění na pod-
poru emigrantů
Z projevu k zástupcům kalifornských univerzit, únor
1932: ,,Mnozí Američané, dokonce i pacifisté, si myslí a ří-
kají ­ jen at' Evropa zahyne, když si nic jiného nezaslouží.
My se budeme držet stranou a nebudeme se o to starat ...
To se mi zdá krátkozraké i z hlediska rozumného sobectví.
Z vítězství barbarské moci, ignorující právo a lidskost, se
posléze vytvoří situace, která přinutí Ameriku válčit, ovšem
za mnohem nevýhodnějších podmínek, než si dnes mnozí
dokážou představit."
,,Jsem přesvědčený demokrat," napsal Einstein v roce 1933. ,,Proto nejedu
do Ruska, i když jsem odsud dostal srdečné pozvání. Kdybych cestoval do Ruska,
sovětští představitelé by toho nepochybně využili pro politické cíle. Jsem nepřítelem
bolševismu stejně jako fašismu. Jsem proti každé diktatuře."
4.6.20. Einstein a jaderná zbraň
Obr. 124: Einstein
a Szilard
Ve třicátých letech přilákalo demokratické ovzduší
USA většinu předních fyziků z Evropy. Jedním z nich
byl Leo Szilard, jehož výzkumy vedly k závěru, že půl
kilogramu uranu poskytne tolik energie jako půl miliónu
kilogramů klasické výbušniny. Byla to pro něho přede-
vším alarmující zpráva. Co když tyto poznatky přemění
v reálné závěry právě nacistické Německo? 1939 ­ 1945 Einstei-
novy dopisy Roosevel-
tovi
Szilard hledal možnost, jak na toto riziko upozornit vedoucí americké
představitele. Spolu s fyzikem Wignerem se v červenci 1939 rozhodli navští-
vit Einsteina. Einstein se fyzikou elementárních částic a myšlenkou řetězové
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 256 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
reakce prakticky nezabýval. ,,Na to jsem vůbec nepomyslel," reprodukuje Szi-
lard ve svých pamětech Einsteinovu odpověd', po níž okamžitě následovala
ochota pomoci.
Obr. 125: Reaktor Pro-
jektu Manhattan
Po dlouhém hledání vhodného adresáta se rozhodli
napsat prezidentovi Spojených států. Szilard znovu na-
vštívil Einsteina spolu s Edwardem Tellerem a Einstein,
kterému angličtina dělala potíže, nadiktoval Tellerovi
německý text, jehož anglickou verzi pak podepsal. Do-
poručil prezidentu Rooseveltovi, aby americká vláda
navázala kontakt s fyziky, kteří problematiku řetězové reakce v USA zkou-
mají, a zároveň ho upozornil na riziko, vyplývající ze zpráv o německé aktivitě
v oblasti prací s uranem. Tento dopis byl zaslán 2.srpna 1939.
Obr. 126: Výbuch ato-
mové bomby
Protože se reakce americké vlády zdála Szilardovi
nedostatečná, vybídl Einsteina k poslání druhého do-
pisu. Ten byl napsán 7.března 1940 a měl téměř oka-
mžitý účinek. Už v prosinci byla uskutečněna první ře-
tězová reakce a za čtyři roky projekt Manhattan District
odevzdal armádě první atomovou bombu, určenou ke
zkušebnímu výbuchu v poušti Nového Mexika. Po třech
týdnech pak byly svrženy bomby na Hirošimu a na Na-
gasaki.
K těmto dopisům Rooseveltovi přibyl ještě dopis
třetí, datovaný 25. března 1945. Opět vznikl po Szi-
lardově návštěvě. Roosevelt však tento dopis pravdě-
podobně nečetl. Byl nalezen po jeho smrti a předán
jeho nástupci Trumanovi. Nezabránil však rozhodnutí
svrhnout bomby na lidnatá japonská města.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 257 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.6.21. Einsteinovy politické aktivity na obranu míru i lidských práv
Po skončení války vypracovává Einstein jako projekt pro udržení míru projekt
nadnárodní vlády. Návrh se ale nedočkal ocenění ani ze strany západních 1947 Einsteinův plán
nadnárodní vládyzemí, ani Sovětského svazu.
Obr. 127: Prohlášení
V letech studené války Einstein vyzýval k dodržo-
vání lidských práv a respektování politických svobod.
V té době byly prošetřovány politické názory a styky 1949 ­ 1955 odpor
proti mccarthysmuamerických občanů, zpravidla intelektuálů svobodných
povolání. Odmítání výpovědi, s odvoláním na ústavní
svobodu, bylo stíháno vězením pro pohrdání Kongre-
sem. Einsteinovo vyjádření v New York Times: ,,Co má
pronásledovaná menšina dělat proti zlu? Otevřeně říkám, že nevidím jinou cestu,
než revoluční odmítání v gándhíovském smyslu: odmítat každou výpověd's rizikem
uvěznění nebo existenčního zruinování. ... Najde-li se dost lidí ochotných podstoupit
tuto obtížnou cestu, bude dosaženo úspěchu. Jestliže ne, pak si intelektuálové naší
země nezaslouží nic jiného, než otroctví, které je jim přisuzováno."
4.6.22. Einsteinova korespondence s našimi prezidenty
Obr. 128: Tomáš
Garrique Masaryk
a Klement Gottwald
Roku 1931 intervenoval Einstein u prezidenta Ma-
saryka ve prospěch českého pacifisty Přemysla Pittra,
kterého vojenský soud v Brně odsoudil na rok vězení za
agitaci ve prospěch odpírání vojenské služby. Einstein 1931, 1950, ... inter-
vence za odsouzené
různými režimy (Pře-
mysl Pitter, Milada
Horáková, ...)
ve svém dopise zdůvodňuje, jaké zkušenosti ho vedou
k tomu, aby tvrdošíjné odmítání vojenské služby pova-
žoval za cestu, která svět osvobodí od války a prosí Ma-
saryka, aby Pittra, muže ušlechtilých morálních vlast-
ností, z titulu své pravomoci omilostnil. Prezident se k odpovědi dostal až
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 258 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
v době, kdy už prosba o milost byla bezpředmětná. Přesto Einstein za od-
pověd' Masarykovi vřele poděkoval. V roce 1950 píše Einstein prezidentu
Gottwaldovi a žádá o milost pro Miladu Horákovou, odsouzenou k smrti
v politickém procesu, avšak bezvýsledně. Na tento dopis ani neobdržel od-
pověd'.
4.6.23. Einstein a židovský stát
Ú tlak Židů v nacistickém Německu posílil Einsteinovo vědomí sounáležitosti
se svým národem. V roce 1938 napsal: ,,Od doby, kdy Titus dobyl Jeruzalém, 1952 nabídka na místo
prezidenta státu Izraelzažilo židovské společenství jen zřídkakdy období většího útlaku, než jaký prožívá
v současnosti. V některých ohledech je naše doba dokonce ještě těžší, nebot'možnosti
emigrovat jsou omezenější. Avšak i tuto dobu přežijeme, bez ohledu na to, kolik hoře
a jak těžké ztráty na životech může přinést. Společenství jako je naše, spojené jen
tradicí, může být tlakem zvenčí jen posíleno. Nebot'dnes každý Ž id cítí, že být Ž id
znamená být vážně zodpovědný nejen za své vlastní společenství, ale za lidskost
vůbec."
Epizodou, která Einsteina asi potěšila, ale sotva co změnila na jeho na-
zírání světa, byla nabídka, již mu v listopadu 1952 učinila vláda v Tel Avivu:
Chtějí ho nominovat na funkci prezidenta státu Izrael. Odmítl tuto poctu ­ jak
napsal předsedovi vlády Abbu Ebanovi ­ ,,s lítostí a studem".
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 259 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
4.6.24. Einstein jako člověk
Obr. 129: Fotoaparát zastihl Einsteina v nejrůznějších situacích
Životopis Alberta Einsteina byl zpracován s pomocí knih [27; 28; 29],
které lze čtenáři vřele doporučit i k hlubšímu studiu. Na internetu je užitečné
navštívit stránky [30], na nichž je možno najít rukopisy Einsteinovy odborné
i soukromé korespondence.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 260 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
Literatura
[1] Aristoteles: Fyzika. P. Rezek, Praha 1996.
[2] De Crescenzo L.: Příběhy řecké filozofie (Sokrates a ti druzí). Dokořán,
Praha 2004.
[3] Galilei G.: Dialóg o dvoch systémoch sveta. SAV, Bratislava 1962.
[4] Namer É.: Případ Galilei. Mladá fronta, edice Prameny č. 43, Praha
1982.
[5] http://galileo.rice.edu/ (anglicky)
[6] Novotný J.: Galileo Galilei a mořská dmutí. Č eskoslovenský časopis pro
fyziku, č. 44, Praha 1994.
[7] http://www.physics.muni.cz/kof/clanky/galilei.pdf (česky).
[8] Rybníčková J.: Galileiho studium volného pádu. Š kolská fyzika: praktický
časopis pro učitele fyziky, 7 (2001) 2. Text je zveřejněn i na internetových
stránkách http://www.physics.muni.cz/kof/clanky/volpad.pdf (česky).
[9] Smolka J.: Galileo Galilei: Legenda modernídoby. Prométheus, edice Velké
postavy vědeckého nebe, sv. 7, Praha 2000.
[10] Macháček M.: Ž ivot, odsouzení a rehabilitace Galilea Galileiho. Č s. čas. fyz.
43 (1993) 117.
[11] Pascal B.: Myšlenky. Odeon, Praha 1973.
[12] Vergilius P. M.: Aeneis. Svoboda, Praha 1970.
[13] Tolkien J. R. R.: Pán prstenů: Dvě věže. Mladá fronta, Praha 1993.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 261 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
[14] Calda E.: Ú vod do obecné teorie prostoru (Poetické prostory I.). Univerzita
Karlova, Karolinum, Praha 2003.
[15] Š tefl V.: Mikuláš Koperník ­ Tvůrce heliocentrické soustavy. Prometheus,
Praha 2002.
[16] Š tefl V.: Klaudios Ptolemaios. Prometheus, Praha 2005.
[17] http://vedci.wz.cz/Osobnosti/Ptolemaios K.htm (česky).
[18] http://www.phy.syr.edu/courses/java/demos/kennett/Epicycle/Epicycle.html
(anglicky)
[19] Kopernik M.: Obehy nebeských sfér. Veda, vydavatelstvo SAV, Bratislava
1974.
[20] http://www.frombork.art.pl/ (polsky, anglicky, francouzsky, německy,
rusky).
[21] http://www.giordanobruno.info/ (italsky, anglicky, španělsky).
[22] Fara P.: Newton. Formování génia. BB/art s.r.o., Praha 2002.
[23] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/
history/Mathematicians/Chatelet.html
(anglicky).
[24] Kraus I.: Příběhy učených žen. Prométheus, Praha 2005.
[25] Nezval V.: Edison. Č eskoslovenský spisovatel, Praha 1969.
[26] Byron G.B.: Don Juan. Lyra Pragensis, Praha 1969.
[27] Fo¨lsing A.: Albert Einstein. Volvox Globator, Praha 2001.
[28] Levenson T.: Einstein v Berlíně. Práh, Praha 2004.
Titulní strana
Obsah
Rejstřík
Strana 262 z 262
Zpět
Celá obrazovka
Návod
Konec
[29] Vančura J.: Einsteinovo řešení světa bez válek, Doplněk, Brno 2001.
[30] http://www.alberteinstein.info/ (anglicky)
[31] Bartuška K.: Fyzika pro gymnázia. Speciální teorie relativity., Prométheus,
Praha 2005
[32] http://www.aldebaran.cz/studium/fyzika/relativita p.html#mion anebo
též http://www.aldebaran.cz/astrofyzika/interakce/particles.html
[33] Einstein A.: Z mých pozdějších let (Jak vidím svět II.), Lidové noviny, Praha
1995
[34] Gamow G.: Pan Tompkins v říši divů, Praha 1986
KON
EC