Posudek oponenta habilitační práce
Masarykova univerzita Fakulta
Habilitační obor
Přírodovědecká fakulta MU Matematika-raatematická analýza
Uchazeč Pracoviště
Habilitační práce
Sulkhan Mukhigulashvili, Ph.D.
v
Matematický ústav AV CR
On some boundary value problems for functional differential equations
Oponent Pracoviště
Dr. András Rontó, CSc.
v
Matematický ústav AV CR
Text posudku
Předložená habilitační práce S. Mukhigulashviliho je souhrnem řady výsledků dlouhodobého výzkumu autora v oblasti teorie okrajových úloh a se skládá ze dvou částí.
První kapitola je venovaná regulárním okrajovým úlohám. Uvažuje se Dirichletova úloha pro nelineární obyčejné diferenciální rovnice 2. řadu v tzv. rezonančním případe (t.j. v situaci když lineární část úlohy má netriviální řešeni). Zde je potřeba podotknout, že dříve takové úlohy byly studovány pouze v případě když koeficient lineární častí je konstantou, která navíc se rovná 1. vlastní hodnotě úlohy. Autor zde, v podstatě, poprvé uvažuje mnohem obecnější případ, když koeficientem lineární častí muže být libovolná integrovatelná funkce. Byl prozkoumán případ, když netriviální řešeni příslušné lineární úlohy nezachovává znaménko, což pro rovnici s konstantním koeficientem lineární části odpovídá situaci, když se ta konstanta liší od 1. vlastní hodnoty. Navíc vzhledem k tomu, že uvedené zde výsledky zahrnují i lineární případ (f — 0), dají se tak tlumočit jako rozšířeni III. Fredholmovy věty na jistou třídu nelineárních úloh.
Další skupina výsledků se tyká periodické úlohy pro lineární funkcionální diferenciální rovnice vyšších řadů. Uvádí se věta, která poskytuje efektivní podmínky postačující pro řešitelnost periodické úlohy v závislosti na normách kladné a záporné částí operátoru. Jsou zde výrazně zobecněny, mimo jiné, známé výsledky Lasoty a Opiala tykající se speciálního případu obyčejné diferenciální rovnice vyššího řadu (rovnice n-ho řadu s neoscilujícím koeficientem neobsahující nižší derivace), navíc jsou konstanty obsazené v podmínkách v jistém smyslu optimální. Zmíněna věta je mimořádně zajímavá a dá se hodnotit, v podstatě, jako konečný výsledek studia daného druhu podmínek řešitelnosti periodické úlohy pro takovéto rovnice.
Druhá kapitola je celá věnována singulárním úlohám. Jsou zkoumány funkcionální diferenciální rovnice 2. a vyšších řadů s časovou singularitou při různých okrajových podmínkách.
V případě dvoubodové úlohy pro lineární singulární funkcionální diferenciální rovnice 2. řadu jsou nalezeny obecné věty popisující přípustné třídy koeficientů rovnice pro které je
studovaná úloha jednoznačně řešitelná. Způsob důkazu je zde založen na metodě horních a dolních funkcí. Jsou dokázány také důsledky poskytující efektivní podmínky řešitelnosti, z nichž některé jsou optimální.
Pro lineární diferenciální rovnice vyššího řadu s deviací argumentu autor zkoumá fokální okrajové úlohy v případě, když koeficienty rovnice mohou mít silnou singularitu. Je to technicky velmi náročná práce, jejíž výsledky jsou efektivní podmínky zaručující Fredholmovu vlastnost úlohy (která v silně singulárních případech nemusí platit) a také efektivní věty o řešitelnosti, čímž se zobecňují výsledky I. Kiguradzeho tykající se silně singulárních obyčejných diferenciálních rovnic. Uvádí se obecné výsledky ohledně řešitelnosti silně singulárních úloh, jež jsou perturbací úlohy s Fredholmovou vlastnosti. Pro rovnice s deviaci argumentu v řadě případů, mimo jiné, jsou nalezeny zajímavé souvislosti mezi „velikostí" deviací a řešitelností příslušné úlohy. Ohledně této části práce je celkově nutno podotknout, že tematika okrajových úloh pro silně singulární funkcionální diferenciální rovnice je zatím velmi málo studovaná a uvedené výsledky svědčí o tom, že v daném směru učinil autor podstatný pokrok.
V souhrnu se dá říči, že je zde předložena velmi kvalitní práce, která svým významem přesahuje štandartní požadavky kladené na habilitační práce v matematickém oboru.
Dotazy oponenta k obhajobě habilitační práce
1. Bylo by teoreticky zajímavé mít k dispozici nějaké vyjádření čísel dn (str. 11), ze kterého by se dalo odvodit jak se posloupnost chová pro velká n
2. Na str. 9 v (1.2.1) zřejmě chybí index „i"
Závěr
Habilitační práce Sulkhana Mukhigulashviliho „On some boundary value problems for functional differential equations" splňuje požadavky standardně kladené na habilitační prácev oboru Matematika.
V Brně, dne 19. srpna 2015
Dr. András Rontó, CSc.