*
Posudok oponenta habilitačnej práce
Masarykova univerzita Fakulta: Přírodovědecká
Habilitačný obor: Matematika - matematická analýza
Uchádzač: RNDr. Ladislav Adamec, CSc. Pracovisko: Ústav matematiky, Přírodovědecká fakulta v Brne Habilitačná práca: Some Applications of the Evolution Operátor Method to the Dynamic Equations
Oponent: Prof. RNDr. Milan Medveď, DrSc.
Pracovisko: Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, Univerzity Komenského v Bratislave
Text posudku:
Habilitačná práca L. Adamca sa týka niektorých problémov teórie spojitých dynamických systémov a tiež teórie dynamických systémov na " time scales" (časových škálach). Teóriu spojitých dynamických systémov možno považovat už za klasickú matematickú teóriu, ktorej základy položil H. Poincaré koncom 19. storočia. Teória dynamických systémov na "time scales" je zovšeobecnením teórie spojitých aj diskrétnych dynamických systémov. Za prvú publikovanú prácu v tomto smere možno považovat prácu A. Aulbacha a S. Hilgera z roku 1988, ktorá vyšla v časopise "Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, Szeged, Hungary". L. Adamec sa vo svojej habilitačnej práci venuje niektorým fundamentálnym problémom obidvoch týchto teórií.
Prvé dve kapitoly habilitačnej práce majú prípravný charakter. Kapitoly 3-5 sú venované publikovaným výsledkom L. Adamca. Kapitola 3 pojednáva o diferen-ciálnych rovniciach tvaru
, \ du     „, .
(1) — = f(utt),
kde / : Rd x R —> Rd (d > 1), pričom sa predpokladá, že /(O, t) = 0 a tiež jednoznačnost riešení rovnice (1), daných začiatočnými podmienkami. Veta 1 zo str. 11, dokázaná v práci [1], je postačujúcou podmienkou pre existenciu [d/2]—parametrického systému S riešení takých, že ak u = {u\,U2, ■ ■ ■ ,Ud) G S, potom je funkcia ||tt(í)|| nerastúca, limj^oo u(t) existuje a Ui(t),i = 1, 2,..., d, sú monotónne funkcie. Veta 2 zo str. 11 je postačujúcou podmienkou k tomu, aby naviac platilo: lim^oo Ui(t) = 0,i = 1,2,...,d. Tieto výsledky sú originálnym príspevkom do teórie asymptotických vlastností diferenciálnych rovníc a rozšírením výsledkov z prác M. Bartuška [12] a I. T. Kiguradzeho a T. A. Chanturiu [26]. Ďalšia časí Kapitoly 3 je venovaná otázke reprezentácie normovanej fundamentálnej matice
1
2
$(x,í,ŕo) rovnice vo variáciách
dY
(2) —=Df(u(x,t,t0))Y
diferenciálnej rovnice (1) pozdĺž riešenia u(x,t, to) diferenciálně rovnice
o)
spĺňajúceho začiatočnú podmienku u(x, to, to) = x. Veta 3 zo str. 15 o reprezentácii matice t, to) pre prípad d = 3 je zovšeobecnením Dilibertovej vety z práce [17] a jej Chiconeho verzie z práce [15], ktoré sa týkajú prípadu d = 2. Predpokladá sa však existencia 2-rozmernej invariantnej variety M dynamického systému, generovaného autonómnou difertenciélnou rovnicou (3). Koeficienty a(t), P (t), 7(i) tejto fundamentálnej matice sú vyjadrené explicitne formulami, majúcimi geometrický charakter. Podlá mojej mienky je tento výsledok najkvalitnejším výsledkom habilitačnej práce. Bolo velmi obtiažne nájst peknú geometrickú reprezentáciu koeficientov a(t), P(t),j(t) fundamentálnej matice Y (t) (pozri (3.8), str.15). Problém pre d > 3 sa zdá byt už velmi zložitý a zrejme neriešitelný v takej forme ako sa to podarilo L. Adamcovi pre prípad d = 3..
Výsledok o reprezentácii fundamentálnej matice rovnice (2) umožnil L. Adamcovi triešit problém reprezentácie derivácie Poicarého zobrazenia pre autonómnu diferenciálnu rovnicu
(4) ^ = f{u) + eg{u)}UeR\
za predpokladu, že pre e = 0 má diferenciálna rovnica (4) p—periodickú trajektóriu 7 a sú splnené predpoklady (H4), (H5), (H6) zo str. 14 a (H7) zo str. 17, pričom sa predpokladá, že rovnica (4) má invariantmi varietu M nezávislú od e. Problémom je nájst formulu pre deriváciu Poincarého zobrazenia P : E x [0, ôi) —» E, (x, r/) \-* u(x, ô(x, r}), 0, r]) vzhladom na tranzverzálu E = {a} C M ku 7 (a : (—61,81) —> E = {a} C M, a je parametrizáciou tranzverzály E) v bode xq E 7 (cr(0) = ceo)' Formula pre |/i'(s)|, kde h(s) := a"1 o P o a(s), z Vety 4 zo str. 18, , je elegantná, vyjadrená v úspornej, geometrickej forme. Tento výsledok je dokázaný v práci [9].
Kapitola 4 a Kapitola 5 sú venované diferenciálnym rovniciam na " time-scales". Hlavným výsledkom uvedeným v Kapitole 4 je Veta 5 o existencii a spojitej závislosti riešení diferenciálnej rovnice
uA = f (u,t), u e Rd, t E A — time scale,
na A, kde A E TÍ0iT := {X C R : {t0,T} g X Q [t0,R]R,X je uzavretá v R}, uA{t) Je delta derivácia d—vektorovej funkcie u v bode t. Tato veta umožňuje zovšobecnenie topologického princípu Wažewského na dynamické rovnice na " time-scales" , ako je dokázané v práci [10]. Vo Vete 6 zo str. 28 (Kapitola 5) je tvrdenie o existencii a reprezentácii riešenia maticovej rovnice
UA=A(t)U, ÍG[í0,T]T,
3
ktorá dává do súvislosti riešenie tejto dynamickej rovnice s riešením systému obyčajných diferenciálnych rovníc
Ut = H(t, A(snp{s ET:s< t}))U,   t e [t0,T]R
a ukazuje ten prekvapivý fakt, že riešenia obidvoch systémov sú identické. Táto veta je dokázaná v práci [5]. Cenným príspevkom do teórie diferenciálnych rovníc na "time scales" je Veta 3.1 z práce [4], ktorá je verziou klasickej Floquetovej vety o reprezentácii fundamentálnej matice systému lineárnych diferenciálnych rovníc, definovaného maticou, ktorej prvky sú p—periodické funkcie.
Otázky oponenta k obhajobe habilitačnej práce:
Bolo by možné modifikovat dôkaz Vety 3.1 z práce [11] o spojitej závislosti riešení začiatočnej úlohy (5) na "time scale" A tak, aby sa dokázala aj spojitá závislost riešení na začiatočnej podmienke ?
Záver:
RNDr. Ladislav Adamec, CSc. dosiahol významné originálne a velmi cenné vedecké výsledky z kvalitatívnej teórie diferenciálnych rovníc, ktoré publikoval v kvalitných matematických časopisoch. Okrem toho publikoval viaceré práce týkajúce sa aplikácií matematiky pri analýze modelov technického a fyzikálneho charakteru. Všetky jeho práce majú vysokú matematickú kultúru a dokazujú, že má hlboké matematické znalosti a výborné pedagogické schopnosti. L. Adamec je nepochybné vyhranenou vedeckou a pedagogickou osobnostou. Podlá mojej mienky habilitačná práca RNDr. Ladislava Adamca, CSc. splňuje všetky požiadavky štandardne kladené na habilitačné práce v odbore Matematika - matematická analýza.
Bratislava, 14. 1. 2011
Milan Medveď