Obsah
Předmluva                                                                                               i
1    Úvod do předmětu                                                                           1
1.1    Komplexní čísla..........................      1
1.2    Přímka, kružnice, zobecněná kružnice.............      6
1.3    Některá zobrazení C do C....................      8
1.4    Gaussova a rozšířená Gaussova rovina jako metrické prostory     13
1.5    Konvergentní a absolutně konvergentní řady..........    18
1.6    Cvičení    ..............................    21
2    Funkce komplexní proměnné                                                        26
2.1    Derivace funkce..........................    26
2.2    Parciální derivace podle x, y, z, ž................    32
2.3    Holomorfní funkce, geometrický význam derivace.......    33
2.4    Funkční řady...........................    38
2.5    Mocninné řady..........................    40
2.6    Elementární funkce........................    46
2.7    Cvičení    ..............................    60
3    Integrál, Cauchyova teorie                                                           64
3.1    Křivky v C............................    64
3.2    Křivkový integrál.........................    68
3.3    Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě, primitivní funkce............................    73
3.4    Cauchyova věta..........................    76
3.5    Cvičení    ..............................    87
4    Vlastnosti holomorfních funkcí                                                    90
4.1    Liouvilleova věta.........................    90
4.2    Morerova věta...........................    92
4.3    Řady a posloupnosti holomorfních funkcí............    94
4.4    Taylorova věta..........................    97
iii
iv
4.5    Věta o jednoznačnosti......................    99
4.6    Singulární body..........................  100
4.7    Věta o otevřeném zobrazení, princip maxima modulu.....  102
4.8    Logaritmická derivace   . í....................  105
4.9    Cvičení    ..............................  106
5    Laurentova řada a teorie reziduí                                               107
5.1    Laurentova řada   .........................  107
5.2    Izolované singularity.......................  111
5.3    Teorie reziduí..........................;  118
5.4    Aplikace teorie reziduí......................  123
5.4.1     Výpočet integrálů  L" Q(cosx, siná;) dx........  124
5.4.2     Výpočet integrálů f     f (x) dx.............  124
5.4.3     Integrály f^ f (x) cos mxdx, f^ f(x) sin mxdx    . .  126
5.4.4     Výpočet integrálů J^° f(x)xa~1 dx...........  128
5.4.5     Výpočet integrálu /^ f{ex)eax dx, kde a G (0,1)    . .  131
5.4.6     Výpočet integrálů f£° f(x) Inxdx, /0°° f(x)dx   ....  132
5.5    Cvičení    ..............................  134
6    Celé funkce                                                                                    138
6.1    Nekonečné součiny.............,............138
6.2    Rozklad celé funkce na nekonečný součin............144
6.3    Cvičení    ..............................150
7    Meromorfní funkce                                                                       152
7.1    Princip argumentu, Rouchéova věta    ..............152
7.2    Funkce meromorfní v oblasti a v bodě.............154
7.3    Funkce meromorfní v C.....................156
7.4    Cvičení    ...............•...............165
8    Üvod do teorie konformního zobrazení                                    167
8.1    Homografie............................167
8.2    Konformní zobrazení a jeho vlastnosti.............177
8.3    Cvičení    ..............................187
Seznam označení                                                                                190
Literatura                                                                                           193
Rejstřík                                                                                               195