A.4 Eliptická soustava

Dále stručně uvedeme tři specifické ortogonální soustavy, které mohou souviset s předchozí tématikou nebo s uvedenými příklady (případně mohou mít zajímavé fyzikální uplatnění) – eliptickou, parabolickou, a anuloidovou. Dvourozměrná eliptická souřadná soustava (viz obrázek A.3) je definována dvěma třídami souřadnicových křivek s konstantními parametry $\sigma\in\langle 0,\infty)$ a $\tau\in\langle 0,2\pi)$ (toto značení není zcela ustálené, v různých literaturách může být různé), se dvěma společnými ohnisky v bodech ($-a$, 0), ($a$, 0). V trojrozměrné verzi přibude ještě (válcová symetrie vzhledem k ose $z$) azimutální úhlový parametr $\phi$.

Obrázek A.3: Schéma dvourozměrné eliptické soustavy v rovině $x,y$, společná ohniska jsou v bodech ($-a$, 0), ($a$, 0). Modře vyznačené jsou eliptické křivky s konstantním parametrem $\sigma$, s posloupností (od nejužších k nejširším) $\sigma=0;\,0,2;\,0,4;\,0,6;\,0,8;\,1$, červeně vyznačené jsou hyperbolické křivky s konstantním parametrem $\tau$, s posloupností (zprava do leva) od $\tau=0$ do $\tau=\pi$ s intervalem $\pi/12$. V trojrozměrné verzi (viz popis) potom vyobrazenému směru $y$ odpovídá směr $z$.

Transformační rovnice z kartézské do eliptické soustavy v trojrozměrném případě budou

$$ x=a\cosh\sigma\cos\tau\cos\phi,\quad y=a\cosh\sigma\cos\tau\sin\phi,\quad z=a\sinh\sigma\sin\tau. $$

A.83

Z definice hyperbolického sinu a kosinu 1.15, 1.16 a z exponenciálního vyjádření sinu a kosinu (viz Eulerovy vztahy v příkladu 8.5) snadno odvodíme zpětné transformační vztahy, které ovšem budou mít (v pravotočivém pořadí proměnných $\sigma,\,\phi,\,\tau$) komplexní tvar (rovinu $\rho$-$z$, kde $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$, si můžeme představit jako Gaussovu rovinu),

$$ \begin{gather} \sigma=\dfrac{1}{2}\left[\text{argcoth}\,\dfrac{\rho+\text{i} z}{a}+\text{argcoth}\,\dfrac{\rho-\text{i} z}{a}\right],\quad \phi=\text{arctg}\,\dfrac{y}{x},\\ \tau=\dfrac{1}{2\text{i}}\left[\text{argcoth}\,\dfrac{\rho+\text{i} z}{a}-\text{argcoth}\,\dfrac{\rho-\text{i} z}{a}\right]. \end{gather} $$

A.84

Metrická forma takové eliptické soustavy bude mít tvar

$$ \begin{align} \text{d} s^2&=a^2\left[\left(\cosh^2\sigma\sin^2\tau+\sinh^2\sigma\cos^2\tau\right)\left(\text{d}\sigma^2+\text{d}\tau^2\right)+ \cosh^2\sigma\cos^2\tau\,\text{d}\phi^2\right]=\\ &= a^2\left[\left(\sinh^2\sigma+\sin^2\tau\right)\left(\text{d}\sigma^2+\text{d}\tau^2\right)+\cosh^2\sigma\cos^2\tau\,\text{d}\phi^2\right]=\\ &= a^2\left[\left(\cosh^2\sigma-\cos^2\tau\right)\left(\text{d}\sigma^2+\text{d}\tau^2\right)+\cosh^2\sigma\cos^2\tau\,\text{d}\phi^2\right]. \end{align} $$

A.85

Kovariantní metrický tenzor $g_{ij}$ a příslušné Laméovy koeficienty eliptické souřadné soustavy v pořadí směrů $\sigma,\phi,\tau$ budou,

$$ g_{ij}= \begin{bmatrix} a^2\left(\sinh^2\sigma+\sin^2\tau\right)& 0 & 0\\[4pt]0& a^2\cosh^2\sigma\cos^2\tau & 0\\[4pt]0 &0 & a^2\left(\sinh^2\sigma+\sin^2\tau\right) \end{bmatrix}, $$

A.86

$$ h_\sigma=a\sqrt{\sinh^2\sigma+\sin^2\tau},\quad h_\phi=a\cosh\sigma\cos\tau,\quad h_\tau=a\sqrt{\sinh^2\sigma+\sin^2\tau}. $$

A.87

Kontravariantní metrický tenzor $g^{ij}$ diagonální metriky bude tenzor s převrácenými hodnotami prvků na hlavní diagonále. Jakobián souřadnicové transformace z kartézské do eliptické soustavy bude

$$ J=a^3\left(\sinh^2\sigma+\sin^2\tau\right)\cosh\sigma\cos\tau= a^3\left(\cosh^2\sigma-\cos^2\tau\right)\cosh\sigma\cos\tau, $$

A.88

jakobiánem zpětné transformace bude výraz $J^{-1}$. Nenulové Christoffelovy symboly eliptické metriky (viz rovnice A.12) budou,

$$ \begin{aligned} \Gamma_{\sigma\sigma}^{\sigma}&=\Gamma_{\sigma\tau}^{\tau}(\Gamma_{\tau\sigma}^{\tau})=\dfrac{\sinh 2\sigma}{2\left(\sinh^2\sigma+\sin^2\tau\right)},\\ \Gamma_{\tau\tau}^{\tau}&=\Gamma_{\sigma\tau}^{\sigma}(\Gamma_{\tau\sigma}^{\sigma})=\dfrac{\sin 2\tau}{2\left(sinh^2\sigma+\sin^2\tau\right)}, \\ \Gamma_{\sigma\phi}^{\phi}(\Gamma_{\phi\sigma}^{\phi})&=\text{tanh}\,\sigma, \\ \Gamma_{\phi\phi}^{\sigma}&=-\dfrac{\sinh 2\sigma\cos^2\tau}{2\left(\sinh^2\sigma+\sin^2\tau\right)},\, \\ \Gamma_{\phi\phi}^{\tau}&=\dfrac{\cosh^2\sigma\sin 2\tau}{2\left(\sinh^2\sigma+\sin^2\tau\right)}, \\ \Gamma_{\phi\tau}^{\phi}(\Gamma_{\tau\phi}^{\phi})&=-\text{tg}\,\tau. \end{aligned} $$

A.89

Diferenciální operátory gradientu skalární funkce, divergence a rotace vektoru a laplaciánu budou mít (s použitím formalismu Laméových koeficientů pro ortogonální soustavy a také rovnic A.14 a A.20) v této eliptické souřadné soustavě postupně tvar,

$$ \vec{\nabla}f=\left(\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial\sigma}}{a\sqrt{\sinh^2\sigma+\sin^2\tau}},\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial\phi}}{a\cosh\sigma\cos\tau}, \dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial\tau}}{a\sqrt{\sinh^2\sigma+\sin^2\tau}}\right), $$

A.90

$$ \begin{aligned} \vec{\nabla}\cdot\vec{A}&=\dfrac{\dfrac{\partial}{\partial\sigma}\left(\sqrt{\sinh^2\sigma+ \sin^2\tau}\cosh\sigma\,A_\sigma\right)}{a\left(\sinh^2\sigma+\sin^2\tau\right)\cosh\sigma}+\\ &+ \dfrac{\dfrac{\partial A_\phi}{\partial\phi}}{a\cosh\sigma\cos\tau}+ \dfrac{\dfrac{\partial}{\partial\tau}\left(\sqrt{\sinh^2\sigma+\sin^2\tau}\cos\tau\,A_\tau\right)}{a\left(\sinh^2\sigma+\sin^2\tau\right)\cos\tau}, \end{aligned} $$

A.91

$$ \begin{aligned} \vec{\nabla}\times\vec{A} &=\dfrac{\cosh\sigma\dfrac{\partial}{\partial\tau}(\cos\tau\,A_\phi)- \sqrt{\sinh^2\sigma+\sin^2\tau}\,\dfrac{\partial A_\tau}{\partial\phi}}{a\sqrt{\sinh^2\sigma+\sin^2\tau}\cosh\sigma\cos\tau}\,\mathbf{\hat{\boldsymbol{\sigma}}}+\\ &+\dfrac{\dfrac{\partial}{\partial\sigma}\left(\sqrt{\sinh^2\sigma+\sin^2\tau}\,A_\tau\right)- \dfrac{\partial}{\partial\tau}\left(\sqrt{\sinh^2\sigma+\sin^2\tau}\,A_\sigma\right)}{a\left(\sinh^2\sigma+\sin^2\tau\right)}\,\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}+\\ &+\dfrac{\sqrt{\sinh^2\sigma+\sin^2\tau}\,\dfrac{\partial A_\sigma}{\partial\phi}- \cos\tau\dfrac{\partial}{\partial\sigma}(\cosh\sigma\,A_\phi)}{a\sqrt{\sinh^2\sigma+\sin^2\tau}\cosh\sigma\cos\tau}\,\mathbf{\hat{\boldsymbol{\tau}}}, \end{aligned} $$

A.92

$$ \Delta=\dfrac{\dfrac{\partial}{\partial\sigma}\left(\cosh\sigma\dfrac{\partial}{\partial\sigma}\right)+\dfrac{\partial}{\partial\tau}\left(\cos\tau\dfrac{\partial} {\partial\tau}\right)}{a^2\left(\sinh^2\sigma+\sin^2\tau\right)\cosh\sigma\cos\tau}+ \dfrac{\dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2}}{a^2\cosh^2\sigma\cos^2\tau}. $$

A.93

Ostatní operátorové identity a geometrické parametry odvodíme analogickým způsobem jako v případě válcové nebo sférické souřadné soustavy.