A.5 Parabolická soustava

Parabolická souřadná soustava je ve dvourozměrné verzi (viz obrázek A.4) definována dvěma třídami parabolických souřadnicových křivek s konstantními parametry $u$ a $v$ (toto značení opět není zcela ustálené, v různých literaturách může být různé) a se společným ohniskem v bodě (0, 0). V trojrozměrné verzi přibude ještě (válcová symetrie vzhledem k ose $z$) azimutální úhlový parametr $\phi$.

Obrazek — Obrázek A.4: Schéma dvourozměrné parabolické soustavy v rovině $x,y$. Modře vyznačené jsou křivky s konstantním parametrem $u=0,\!5$ (nejužší)} $1;\,1,\!5;\,2;\,2,\!5;\,3$ (nejširší), červeně vyznačené jsou křivky se stejnou posloupností konstantních parametrů $v$. V trojrozměrném případě (viz popis) potom vyobrazenému směru $y$ odpovídá směr $z$.

Transformační rovnice v trojrozměrném případě budou

$$ x=uv\cos\phi,\quad y=uv\sin\phi,\quad z=\dfrac{u^2-v^2}{2}. $$

A.94

Zpětné transformační vztahy v pravotočivém pořadí proměnných $u,v,\phi$ budou mít tvar

$$ u=\sqrt{\sqrt{x^2+y^2+z^2}+z},\quad v=\sqrt{\sqrt{x^2+y^2+z^2}-z},\quad \phi=\text{arctg}\,\dfrac{y}{x}. $$

A.95

Metrická forma parabolické soustavy bude mít tvar

$$ \text{d} s^2=\left(u^2+v^2\right)\left(\text{d} u^2+\text{d} v^2\right)+u^2v^2\text{d}\,\phi^2. $$

A.96

Kovariantní metrický tenzor $g_{ij}$ a příslušné Laméovy koeficienty parabolické souřadné soustavy v pořadí směrů $u,v,\phi$ budou,

$$ g_{ij}= \begin{bmatrix} u^2+v^2& 0 & 0\\0& u^2+v^2 & 0\\0 & 0 & u^2v^2 \end{bmatrix},\quad h_u=\sqrt{u^2+v^2},\,h_v=\sqrt{u^2+v^2},\,h_\phi=uv. $$

A.97

Kontravariantní metrický tenzor $g^{ij}$ diagonální metriky bude tenzor s převrácenými hodnotami prvků na hlavní diagonále. Jakobián souřadnicové transformace z kartézské do parabolické soustavy bude

$$ J=uv\left(u^2+v^2\right), $$

A.98

jakobiánem zpětné transformace bude výraz $J^{-1}$. Nenulové Christoffelovy symboly parabolické metriky (viz rovnice A.12) budou,

$$ \Gamma_{uu}^{u}=\Gamma_{uv}^{v}\,(\Gamma_{vu}^{v})=\dfrac{u}{u^2+v^2},\, \Gamma_{vv}^{v}=\Gamma_{uv}^{u}\,(\Gamma_{vu}^{u})=\dfrac{v}{u^2+v^2},\, \Gamma_{uu}^v=\dfrac{2u-v}{u^2+v^2},\,\Gamma_{vv}^u=\dfrac{2v-u}{u^2+v^2}. $$

A.99

Diferenciální operátory gradientu skalární funkce, divergence a rotace vektoru a laplaciánu budou mít (s použitím formalismu Laméových koeficientů pro ortogonální soustavy a také rovnic A.14 a formalismu Laméových koeficientů pro ortogonální soustavy a také rovnic A.20) v parabolické souřadné soustavě postupně tvar,

$$ \vec{\nabla}f=\left(\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\sqrt{u^2+v^2}}, \dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial v}}{\sqrt{u^2+v^2}},\dfrac{1}{uv}\dfrac{\partial f}{\partial\phi}\right), $$

A.100

$$ \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\dfrac{\dfrac{\partial}{\partial u}\left(u\sqrt{u^2+v^2}\,A_u\right)}{u(u^2+v^2)}+ \dfrac{\dfrac{\partial}{\partial v}\left(v\sqrt{u^2+v^2}\,A_v\right)}{v(u^2+v^2)}+ \dfrac{1}{uv}\dfrac{\partial A_\phi}{\partial\phi}\,, $$

A.101

$$ \begin{aligned} \vec{\nabla}\times\vec{A} &=\dfrac{\dfrac{\partial}{\partial v}\left(uvA_\phi\right)- \sqrt{u^2+v^2}\,\dfrac{\partial A_v}{\partial\phi}}{uv\sqrt{u^2+v^2}} \,\mathbf{\hat{\boldsymbol{u}}}+ \dfrac{\sqrt{u^2+v^2}\,\dfrac{\partial A_u}{\partial\phi}- \dfrac{\partial}{\partial u}\left(uvA_\phi\right)}{uv\sqrt{u^2+v^2}}\,\mathbf{\hat{\boldsymbol{v}}}+\\ &+\dfrac{\dfrac{\partial}{\partial u}\left(\sqrt{u^2+v^2}\,A_v\right)-\dfrac{\partial}{\partial v}\left(\sqrt{u^2+v^2}\,A_u\right)}{u^2+v^2}\,\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}, \end{aligned} $$

A.102

$$ \Delta=\dfrac{\dfrac{1}{u}\dfrac{\partial}{\partial u}\left(u\dfrac{\partial}{\partial u}\right)+\dfrac{1}{v}\dfrac{\partial}{\partial v}\left(v\dfrac{\partial}{\partial v}\right)}{(u^2+v^2)}+ \dfrac{1}{u^2v^2}\dfrac{\partial^2}{\partial\phi^2}\,. $$

A.103

Ostatní operátorové identity a geometrické parametry odvodíme obdobně jako v případě válcové nebo sférické souřadné soustavy.