A.7 Příklad neortogonální soustavy

Podívejme se nyní na jiný možný geometrický případ, který může vyžadovat zavedení neortogonální souřadné soustavy. Jedná se o geometrický popis rozsáhlého plynného disku, rozprostírajícího se okolo velmi rychle rotující a tudíž silně zploštělé hvězdy, který je v blízkosti hvězdy velmi tenký a ve velkých vzdálenostech od hvězdy se výrazně vertikálně rozšiřuje. Zároveň je samozřejmě rotačně (válcově) symetrický. Obrázek A.6 schématicky znázorňuje tuto soustavu ve vertikální rovině $\rho$-$\theta$ ($\phi=\text{konst.}$), souřadnicové směry zde jsou: $\rho$ – radiální cylindrická souřadnice, $\phi$ – azimutální úhel, $\theta$ – sférický úhel, který je ovšem počítán v kladném a záporném směru od rovníkové roviny. Volné parametry (kromě zvoleného rovníkového poloměru hvězdy $R_{\text{eq}}$) jsou maximální cylindrická radiální vzdálenost $\rho=R_{\max}$ a maximální sférický úhel, označený jako $\theta_{\max}$ (zrcadlově k němu je $\theta_{\min}$).

Obrazek — Obrázek A.6: Schématický obrázek *cylindricko-kónické* souřadné soustavy v rovině $\rho$-$\theta$ ($\phi=\text{konst.}$).

Soustava je válcově symetrická, osa symetrie je kolmá k rovině disku ($z=0\,\wedge\,\theta=0$) a prochází středem hvězdy ($\rho=0$). Můžeme ji tedy nazývat například cylindricko-kónickou soustavou Jako zkrácený pracovní název budeme v dalším textu používat výraz disková soustava. Radiální a azimutální souřadnice jsou shodné se soustavou válcovou, jednotlivé souřadnicové směry tedy značíme $\rho,\,\phi,\,\theta$, jednotkové bázové vektory značíme $\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}},\,\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}},\,\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}$. (standardní, tzv. kónická souřadná soustava znamená něco poněkud jiného – jde o ortogonální soustavu, definovanou soustřednými kulovými plochami a dvěma třídami vzájemně ortogonálních obecně eliptických kuželových ploch s osami $x$ a $z$, s vrcholy v počátku souřadného systému).

Transformační rovnice z této cylindricko-kónické do kartézské souřadné soustavy jsou (pro lepší grafickou přehlednost budeme v rovnicích této souřadné soustavy pro tangens používat v anglické literatuře zavedené označení tan, namísto v české literatuře běžného tg)

$$ x=\rho\cos\phi,\quad y=\rho\sin\phi,\quad z=\rho\,\text{tan}\,\theta. $$

A.108

Pro zpětnou transformaci z kartézské do diskové soustavy dostáváme V tomto místě platí totéž, co v případě válcových a kulových souřadnic.

$$ \rho=\sqrt{x^2+y^2},\quad \phi=\text{tan}\,\dfrac{y}{x},\quad \theta=\text{tan}\,\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}. $$

A.109

Analogicky k rovnicím A.30 a A.57 budou mít jednotkové vektory diskové báze v kartézské soustavě tvar (viz pravidla pro sčítání vektorů)

$$ \begin{aligned} \mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}&=\mathbf{\hat{x}}\cos\phi+\mathbf{\hat{y}}\sin\phi, \\ \mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}&=-\mathbf{\hat{x}}\sin\phi+\mathbf{\hat{y}}\cos\phi,\\ \mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}&=-(\mathbf{\hat{x}}\cos\phi+\mathbf{\hat{y}}\sin\phi)\sin\theta+\mathbf{\hat{z}}\cos\theta. \end{aligned} $$

A.110

Zpětnou transformací jednotkových bázových vektorů (viz rovnice A.110) dostáváme

$$ \mathbf{\hat{x}}=\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\cos\phi-\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}\sin\phi,\quad \mathbf{\hat{y}}=\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\sin\phi+\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}\cos\phi,\quad \mathbf{\hat{z}}=\dfrac{\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\sin\theta+\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}}{{\cos\theta}}. $$

A.111

V diskové soustavě není žádný z vektorů báze konstantní. Derivace bázových vektorů ve směru jednotlivých souřadnicových os budou (z rovnice A.110)

$$ \begin{aligned} &\dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}}{\partial \rho}=\mathbf{0}, &&\dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}}{\partial{\phi}}=\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}, &&\dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}}{\partial{\theta}}=\mathbf{0},\\ &\dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol\phi}}}{\partial \rho}=\mathbf{0}, &&\dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol\phi}}}{\partial\phi}=-\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}, &&\dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}}{\partial{\theta}}=\mathbf{0},\\ &\dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol\theta}}}{\partial \rho}=\mathbf{0}, &&\dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol\theta}}}{\partial\phi}=-\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}\sin\theta, &&\dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}}{\partial{\theta}}=-\dfrac{\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}+\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}\sin\theta}{\cos\theta}. \end{aligned} $$

A.112

Časové derivace bázových vektorů budou

$$ \begin{aligned} \dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}}{\partial t}= \dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}}{\partial\phi}\dfrac{\partial\phi}{\partial t} &=\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}\dot{\phi},\\ \dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}}{\partial t}= \dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}}{\partial\phi}\dfrac{\partial\phi}{\partial t} &=-\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\dot{\phi},\\ \dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}}{\partial t}= \dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}}{\partial\phi}\dfrac{\partial\phi}{\partial t}+ \dfrac{\partial\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}}{\partial\theta}\dfrac{\partial\theta}{\partial t} &=-\dfrac{\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\dot{\theta}}{\cos\theta} -\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}\dot{\phi}\sin\theta-\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}\dot{\theta}\,\text{tan}\,\theta. \end{aligned} $$

A.113

Metrickou formu pro diskovou soustavu odvodíme diferencováním rovnice A.108,

$$ \begin{aligned} \text{d} x&=\cos\phi\,\text{d}\rho-\rho\sin\phi\,\text{d}\phi,\\ \text{d} y&=\sin\phi\,\text{d}\rho+\rho\cos\phi\,\text{d}\phi,\\ \text{d} z&=\text{tan}\,\theta\,\text{d}\rho+\dfrac{\rho}{\cos^2\theta}\,\text{d}\theta, \end{aligned} $$

A.114

dosazením do rovnice A.2 dostáváme nediagonální diskovou metrickou formu ve tvaru

$$ \text{d} s^2=\dfrac{\text{d}\rho^2}{\cos^2\theta}+\dfrac{2\rho\sin\theta}{\cos^3\theta}\,\text{d}\rho\,\text{d}\theta+ \rho^2\left(\text{d}\phi^2+\dfrac{\text{d}\theta^2}{\cos^4\theta}\right). $$

A.115

Kovariantní a kontravariantní metrické tenzory soustavy se souřadnicemi v pořadí $\rho,\phi,\theta$ budou

$$ \begin{aligned} g_{ij}=\, \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\cos^2\theta} & 0 & \dfrac{\rho\sin\theta}{\cos^3\theta}\\[8pt] 0 & \rho^2 & 0 \\[4pt] \dfrac{\rho\sin\theta}{\cos^3\theta} & 0 & \dfrac{\rho^2}{\cos^4\theta} \end{pmatrix}\!,\quad g^{ij}= \begin{pmatrix} {1} & {0} & {-\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{\rho}}\\ {0} & {\dfrac{1}{\rho^2}} & {0} \\ {-\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{\rho}} & {0} & {\dfrac{\cos^2\theta}{\rho^2}} \end{pmatrix}\!. \end{aligned} $$

A.116

Jacobiho matice transformace z kartézské soustavy a matice inverzní transformace budou

$$ \begin{aligned} J_{ij} &= \begin{pmatrix} \cos\phi &-\rho\sin\phi & 0 \\ \sin\phi &\rho\cos\phi & 0 \\ \text{tan}\,\theta &0 & \dfrac{\rho}{\cos^2\theta} \end{pmatrix},\\ J^{-1}_{ij} &= \begin{pmatrix} {\cos\phi} & {\sin\phi} & {0} \\[4pt] {-\dfrac{\sin\phi}{\rho}} & {\dfrac{\cos\phi}{\rho}} & {0} \\ {-\dfrac{\cos\phi\sin\theta\cos\theta}{\rho}} & {-\dfrac{\sin\phi\sin\theta\cos\theta}{\rho}} & {\dfrac{\cos^2\theta}{\rho}} \end{pmatrix}, \end{aligned} $$

A.117

příslušné jakobiány tedy budou,

$$ J=\left|\det J_{ij}\right|=\sqrt{\left|\det g_{ij}\right|}\,=\,\dfrac{\rho^2}{\cos^2\theta},\quad J^{-1}=\left|\det J^{-1}_{ij}\right|=\sqrt{\left|\det g^{ij}\right|}\,=\,\dfrac{\cos^2\theta}{\rho^2}. $$

A.118

Nenulové Christoffelovy symboly diskové metriky jsou

$$ {\Gamma_{\rho\phi}^{\phi}\,(\Gamma_{\phi \rho}^{\phi})= \Gamma_{\rho\theta}^{\theta}\,(\Gamma_{\theta \rho}^{\theta})=\dfrac{1}{\rho},\,\Gamma_{\phi\phi}^{\rho}=-\rho,\,\Gamma_{\phi\phi}^{\theta}=\sin\theta\cos\theta.} $$

A.119

Protože se nejedná o ortogonální metriku (vyjádřenou diagonálním metrickým tenzorem), nedefinujeme zde žádné Laméovy koeficienty.

nahoru

A.7.1 Diferenciální operátory

Gradient skalární funkce $f=f(\rho,\phi,\theta)$ v diskové soustavě odvodíme stejným způsobem, jako v předchozích soustavách. Jednotlivé nenulové parciální derivace pro diskovou soustavu z rovnice A.109 budou

$$ \begin{aligned} &\dfrac{\partial\rho}{\partial x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\cos\phi, &&\dfrac{\partial\phi}{\partial x}=-\dfrac{y}{x^2+y^2}=-\dfrac{\sin\phi}{\rho},\\ &\dfrac{\partial\rho}{\partial y}=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sin\phi, &&\dfrac{\partial\phi}{\partial y}=\dfrac{x}{x^2+y^2}=\dfrac{\cos\phi}{\rho},\\ &\dfrac{\partial\theta}{\partial x}=-\dfrac{xz}{\sqrt{x^2+y^2}\left(x^2+y^2+z^2\right)}=-\dfrac{\cos\phi\sin\theta\cos\theta}{\rho},\\ &\dfrac{\partial\theta}{\partial y}=-\dfrac{yz}{\sqrt{x^2+y^2}\left(x^2+y^2+z^2\right)}=-\dfrac{\sin\phi\sin\theta\cos\theta}{\rho},\\ &\dfrac{\partial\theta}{\partial z}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{{x^2+y^2+z^2}}=\dfrac{\cos^2\theta}{\rho}. \end{aligned} $$

Stejně jako v předchozích souřadných soustavách dostáváme gradient skalární funkce,

$$ \vec{\nabla}f=\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\dfrac{\partial f}{\partial \rho}+ \mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial f}{\partial\phi}+ \mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}\dfrac{\cos\theta}{\rho}\dfrac{\partial f}{\partial\theta}=\left(\dfrac{\partial f}{\partial \rho}, \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial f}{\partial\phi}, \dfrac{\cos\theta}{\rho}\dfrac{\partial f}{\partial\theta}\right). $$

A.120

Stejným postupem jako v předchozích souřadných soustavách můžeme také získat tenzor gradientu vektorového pole, který můžeme pomocí maticového formalismu v diskové soustavě zapsat,

A.121
Divergence vektoru (vektorového pole) $\vec{A}\,(\rho,\,\phi,\,\theta)$ je v diskových souřadnicích opět definována jako skalární součin vektoru gradientu s obecným vektorem, tedy

$$ \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\left(\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\dfrac{\partial}{\partial \rho}+ \mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial\phi}+ \mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}\dfrac{\cos\theta}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\right)\cdot \left(A_\rho\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}+A_{\phi}\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}+A_\theta\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}\right), $$

A.122

kde ovšem, na rozdíl od ortogonálních systémů, nejsou obecně skalární součiny rozdílných vektorů báze nulové, tedy neplatí $e_ie^j=\delta_i^j$. Jmenovitě v tomto systému bude nenulový součin

$$ \operatorname*{\it{e_ie^j}}_{i\ne j}=\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\cdot\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}=-\sin\theta. $$

A.123

Přímým výpočtem a po úpravách dostáváme

$$ \vec{\nabla}\cdot\vec{A}= \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\rho\right)+ \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial A_{\phi}}{\partial\phi}+ \dfrac{\cos\theta}{\rho}\dfrac{\partial A_\theta}{\partial\theta}- \dfrac{\sin\theta}{\rho}\left[ \dfrac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\theta\right)+\cos\theta\dfrac{\partial A_\rho}{\partial\theta}\right]. $$

A.124

Na rozdíl od ortogonálních soustav není v tomto případě divergence jednoduchou stopou tenzoru gradientu vektorového pole A.121, nýbrž je třeba ještě přičíst prvky na vedlejší diagonále (respektive ty, které odpovídají nenulovým prvkům metrického tenzoru A.116), násobené skalárním součinem příslušných jednotkových vektorů, v tomto případě rovnicí A.123.
Rotaci vektoru (vektorového pole) $\vec{A}\,(\rho,\,\phi,\,\theta)$ v diskových souřadnicích nemůžeme odvodit podle rovnice A.20 (soustava není ortogonální), v tomto případě musíme provést přímý výpočet z definice rotace vektoru,

$$ \vec{\nabla}\times\vec{A}=\left(\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\dfrac{\partial}{\partial \rho}+ \mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial\phi}+ \mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}\dfrac{\cos\theta}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\right)\times \left(A_\rho\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}+A_{\phi}\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}+A_\theta\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}\right), $$

A.125

kde musíme nejprve provést všechny (nenulové) derivace jednotkových bázových vektorů (viz rovnice A.112), potom vektorové součiny. Ponecháme-li pouze nenulové komponenty, tj. vypustíme-li nulové derivace jednotkových bázových vektorů a také členy se stejnými bázovými vektory a tedy s nulovým vektorovým součinem, dostáváme explicitní výraz

$$ \begin{aligned} \vec{\nabla}\times\vec{A}&=\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\times\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}} \left(\dfrac{\partial A_\phi}{\partial \rho}+\dfrac{A_\phi}{\rho}-\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial A_\rho}{\partial\phi}\right) +\\ &+ \mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}\times\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}} \left(\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial A_\theta}{\partial\phi}-\dfrac{\cos\theta}{\rho}\dfrac{\partial A_\phi}{\partial\theta}\right)+\\ &+\,\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}\times\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}} \left(\dfrac{\cos\theta}{\rho}\dfrac{\partial A_\rho}{\partial\theta}-\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \rho}-\dfrac{A_\theta}{\rho}\right). \end{aligned} $$

A.126

Vektorové součiny bázových vektorů zde ovšem nebudou tak jednoduché, jako v případě ortogonálních soustav, na základě rovnice A.110 pro sudé permutace dostaneme

$$ \mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\times\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}= \dfrac{\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\sin\theta+\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}}{\cos\theta},\quad \mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}\times\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}= \dfrac{\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}+\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}\sin\theta}{\cos\theta},\quad \mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}\times\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}= \mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}\cos\theta. $$

A.127
Po dosazení a úpravách dostaneme výslednou podobu rotace vektoru v diskové soustavě,

$$ \begin{aligned} \vec\nabla\times\vec{A}=&\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}} \left\{\dfrac{\text{tan}\,\theta}{\rho}\left[\dfrac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\phi\right)-\dfrac{\partial A_\rho}{\partial\phi}\right]+ \dfrac{1}{\rho}\left(\dfrac{1}{\cos\theta}\dfrac{\partial A_\theta}{\partial\phi}-\dfrac{\partial A_\phi}{\partial\theta}\right)\right\}+\\ &\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}} \left\{\dfrac{\cos\theta}{\rho}\left[\cos\theta\dfrac{\partial A_\rho}{\partial\theta}- \dfrac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\theta\right)\right]\right\}+\\ &\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}} \left\{\dfrac{1}{\rho\cos\theta}\left[\dfrac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\phi\right)-\dfrac{\partial A_\rho}{\partial\phi}\right]+ \dfrac{\sin\theta}{\rho}\left(\dfrac{1}{\cos\theta}\dfrac{\partial A_\theta}{\partial\phi}-\dfrac{\partial A_\phi}{\partial\theta}\right)\right\}. \end{aligned} $$

A.128
Laplacián odvodíme z rovnice divergence A.122, ve které nahradíme složky vektoru $\vec{A}$ odpovídajícími složkami vektoru gradientu z rovnice A.120, výsledný tvar (není nutné zde opakovat podrobný vektorový zápis, postup je zcela obdobný, jako v předchozích případech), zapsaný v kompaktní formě bude

$$ \Delta=\vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}=\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\dfrac{\partial}{\partial\rho}\right)+ \dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{\partial^2}{\partial\phi^2}+ \dfrac{\cos\theta}{\rho^2}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\cos\theta\dfrac{\partial}{\partial\theta}\right)- \dfrac{\sin 2\theta}{\rho}\dfrac{\partial^2}{\partial \rho\,\partial\theta}. $$

A.129

nahoru

A.7.2 Plochy, objemy

Stejně jako v předchozích soustavách odvodíme velikosti základních ploch a základního objemu prostorové buňky, tj. plochy a objem, ohraničené jednotlivými souřadnicovými rovinami (včetně stejného způsobu značení, další značení viz také obr. A.6). Objem jedné buňky souřadnicové sítě bude

$$ V=\int\limits_{\rho_1}^{\rho_2}\rho^2\,\text{d}\rho\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2}\,\text{d} \phi \int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}\dfrac{\text{d}\theta}{\cos^2\theta}= \dfrac{\rho_2^3-\rho_1^3}{3}\big(\phi_2-\phi_1\big) \big(|\text{tan}\,\theta_2|-|\text{tan}\,\theta_1|\big). $$

A.130

Determinanty submatic metrického tenzoru, odpovídající jednotlivým plochám prostorové buňky (způsob značení je popsán v rámci popisu válcové a kulové soustavy) budou

$$ J'_{\rho}=\dfrac{\rho^2}{\cos^2\theta},\quad J'_{\phi}=\dfrac{\rho}{\cos^2\theta},\quad J'_{\theta}=\dfrac{\rho}{\cos\theta} $$

A.131

a plochy jednotlivých buněk sítě budou mít velikost

$S_{\rho}$	$=\rho^2 \displaystyle\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2}\,\text{d}\phi\displaystyle\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}\dfrac{\text{d}\theta}{\cos^2\theta}= \rho^2\big(\phi_2-\phi_1\big)\big(\|\text{tan}\,\theta_2\|-\|\text{tan}\,\theta_1\|\big),$	(A.132)
$S_{\phi}$	$=\displaystyle\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}\dfrac{\text{d}\theta}{\cos^2\theta}\displaystyle\int\limits_{\rho_1}^{\rho_2}\rho\,\text{d}\rho= \dfrac{\rho_2^2-\rho_1^2}{2}\big(\|\text{tan}\,\theta_2\|-\|\text{tan}\,\theta_1\|\big),$	(A.133)
$S_{\theta}$	$=\dfrac{1}{\cos\theta}\displaystyle\int\limits_{\rho_1}^{\rho_2}\rho \,\text{d}\rho\displaystyle\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2}\,\text{d} \phi=\dfrac{\rho_2^2-\rho_1^2}{2} \dfrac{(\phi_2-\phi_1)}{\cos\theta}.$	(A.134)

nahoru

A.7.3 Vektory polohy, rychlosti a zrychlení

Při popisu vektorů v diskové soustavě vyjdeme jako obvykle z jejich základního popisu v soustavě kartézské, zahrneme všechny rovnice pro derivace jednotkových vektorů i vektorových složek (rovnice A.108-A.113). Polohový vektor v diskové soustavě bude

$$ \vec{r}=x\mathbf{\hat{x}}+y\mathbf{\hat{y}}+z\mathbf{\hat{z}}=\dfrac{\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\rho+\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}\rho\sin\theta}{\cos^2\theta}. $$

A.135

Tento závěr již není tak názorný a snadno představitelný, jako v případě předchozích typů souřadnic. Vektor rychlosti $\vec{v}$ bude

$$ \vec{v}=\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}\left(\dfrac{\dot{\rho}+\rho\dot{\theta}\,\text{tan}\,\theta}{\cos^2\theta}\right)+ \mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}\rho\dot{\phi}+ \mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}\left(\dfrac{\dot{\rho}\,\text{tan}\,\theta}{\cos\theta}+\dfrac{\rho\dot{\theta}}{\cos^3\theta}\right). $$

A.136

Vektory rychlosti a zrychlení musí být zároveň definovány jako

$$ \vec{v}=v_\rho\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}+ v_\phi\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}+v_\theta\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}},\quad \vec{a}=\dfrac{\text{d}\vec{v}}{\text{d} t}=a_\rho\mathbf{\hat{\boldsymbol{\rho}}}+a_\phi\mathbf{\hat{\boldsymbol{\phi}}}+ a_\theta\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}. $$

A.137

Derivováním rovnice A.136 podle času dostáváme jednotlivé složky vektoru zrychlení v diskové souřadné soustavě

$$ \begin{aligned} a_\rho&=\dfrac{\ddot{\rho}+\text{tan}\,\theta[\rho\ddot{\theta}+2\dot{\theta}(\dot{\rho}+\rho\dot{\theta}\,\text{tan}\,\theta)]}{\cos^2\theta}-\rho\dot{\phi}^2 = \\ &=\dfrac{\text{d} v_\rho}{\text{d} t}-\rho\dot{\phi}^2-\dfrac{\dot\theta}{\cos^2\theta}\!\left(\!\dot{\rho}\,\text{tan}\,\theta +\dfrac{\rho\dot{\theta}}{\cos^2\theta}\right),\\ a_\phi&=\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi} =\dfrac{\text{d} v_\phi}{\text{d} t}+\dot{\rho}\dot{\phi},\label{wedgerac}\\ a_\theta&=\dfrac{1}{\cos\theta}\left[\ddot{\rho}\,\text{tan}\,\theta+\dfrac{\rho\ddot{\theta}+2\dot{\theta}\,(\dot{\rho}+\rho\dot{\theta}\,\text{tan}\,\theta)}{\cos^2\theta}\right] =\\ &=\dfrac{\text{d} v_\theta}{\text{d} t}-\dfrac{\text{tan}\,\theta\,\dot{\theta}}{\cos\theta}\left(\dot{\rho}\,\text{tan}\,\theta+\dfrac{\rho\dot{\theta}}{\cos^2\theta}\right). \end{aligned} $$

A.138

Z uvedených rovnic snadno zjistíme, že pro hlavní členy složek rychlosti platí

$$ \dot{\rho}=v_\rho-v_\theta\sin\theta,\quad\dot{\phi}=\dfrac{v_\phi}{\rho},\quad\dot{\theta}=\dfrac{(v_\theta-v_\rho\sin\theta)\cos\theta}{\rho}. $$

A.139

Protože $\text{d}\vec{v}/\text{d} t=\partial\vec{v}/\partial t+\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}$, můžeme napsat zrychlení, vyjádřené v diskové souřadné soustavě, pomocí složek vektoru rychlosti

$a_\rho=\dfrac{\partial v_\rho}{\partial t}+\underbrace{v_\rho\dfrac{\partial v_\rho}{\partial \rho}+ \dfrac{v_\phi}{\rho}\dfrac{\partial v_\rho}{\partial\phi} +v_\theta\dfrac{\cos\theta}{\rho}\dfrac{\partial v_\rho}{\partial\theta}}_{\left(\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\right)v_\rho}- \dfrac{v_\phi^2+v_\theta^2}{\rho}+\dfrac{v_\rho v_\theta\sin\theta}{\rho} $	(A.140)
$ a_\phi =\dfrac{\partial v_\phi}{\partial t}+\underbrace{v_\rho\dfrac{\partial v_\phi}{\partial \rho}+ \dfrac{v_\phi}{\rho}\dfrac{\partial v_\phi}{\partial\phi} +v_\theta\dfrac{\cos\theta}{\rho}\dfrac{\partial v_\phi}{\partial\theta}}_{\left(\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\right)v_\phi}+ \dfrac{v_\rho v_\phi}{\rho}-\dfrac{v_\phi v_\theta\sin\theta}{\rho},$	(A.141)
$a_\theta =\dfrac{\partial v_\theta}{\partial t}+\underbrace{v_\rho\dfrac{\partial v_\theta}{\partial \rho}+ \dfrac{v_\phi}{\rho}\dfrac{\partial v_\theta}{\partial\phi} +v_\theta\dfrac{\cos\theta}{\rho}\dfrac{\partial v_\theta}{\partial\theta}}_{\left(\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\right)v_\theta}- \dfrac{v_\theta^2\sin\theta}{\rho}+\dfrac{v_\rho v_\theta\sin^2\theta}{\rho}.$	(A.142)

Členy na pravých stranách rovnic A.140–A.142, spojené svorkou, vyjadřují (nelineární) advekci, zbývající členy reprezentující tzv. fiktivní (setrvačné) síly – odstředivá síla, Coriolisova síla, Eulerova síla.

Porovnáním rovnic A.108 a A.139 můžeme zapsat složky vektoru rychlosti $v_\rho,\,v_\phi,\,v_\theta$ v diskové soustavě pomocí složek vektoru rychlosti $v_{\rho,\,\text{cyl}},\,v_{\phi,\,\text{cyl}},\,v_z$ ve standardní válcové souřadné soustavě (odstavec A.2). Dostáváme tak vzájemný vztah mezi velikostmi složek rychlosti v obou soustavách,

$$ v_\rho=v_{\rho,\,\text{cyl}}+\dfrac{z}{\rho}\,v_z=v_{\rho,\,\text{cyl}}+v_z\text{tan}\,\theta,\quad v_\phi=v_{\phi,\,\text{cyl}},\quad v_\theta=\dfrac{\sqrt{\rho^2+z^2}}{\rho}\,v_z=\dfrac{v_z}{\cos\theta}. $$

A.143

Vezmeme-li dále v úvahu vertikální hydrostatickou rovnováhu v takovém disku, $v_z=0$, pohybové rovnice A.140–A.142 budou identické s odpovídajícími pohybovými rovnicemi A.52–A.54 ve standardní válcové geometrii.