B Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic
Parciální diferenciální rovnice jsou, na rozdíl od obyčejných diferenciálních rovnic (viz kapitola 3), diferenciální rovnice, obsahující parciální derivace funkcí více proměnných. Jedná se například o rovnice vývojové (transportní – viz příloha C), které jsou jednosměrné v čase a zpravidla směřují k nějakému ustálenému stavu – rovnice 1. řádu (např. tzv. Burgersova rovnice) nebo o rovnice 2. řádu, tedy tzv. parabolické parciální diferenciální rovnice, nebo o parciální diferenciální rovnice, popisující periodické děje (vlnová rovnice) – tzv. hyperbolické parciální diferenciální rovnice, nebo se jedná o tzv. eliptické parciální diferenciální rovnice (Poissonova rovnice, Laplaceova rovnice), atd. Dělení parciálních diferenciálních rovnic na jednotlivé typy je i z praktického hlediska podstatné, poněvadž každý z nich se zpravidla řeší jiným způsobem.
B.1 Parciální diferenciální rovnice 1. řádu
B.1.1 Homogenní parciální diferenciální rovnice 1. řádu
Nejjednoduššími parciálními diferenciálními rovnicemi jsou lineární homogenní rovnice 1. řádu dvou nezávisle proměnných $x,y$, vyskytují se zde tedy pouze první (parciální) derivace v lineárním výrazu
Řešením takové rovnice bude funkce $u(x,y)$. Funkci dvou proměnných, reprezentovanou plochou, můžeme charakterizovat pomocí vrstevnic $x=x(s)$, $y=y(s)$, kde $s$ je parametr. Funkce $u\big[x(s),y(s)\big]$ je tedy na vrstevnicích konstantní, můžeme ji považovat za funkci jedné proměnné (parametru $s$),
kdy hledáme řešení systému obyčejných diferenciálních rovnic (tzv. charakteristické soustavy)
které označujeme jako charakteristiky (také 1. integrál). Obecnou rovnici charakteristik potom definujeme jako $\varphi(x,y)=C$ a obecné řešení rovnice dvou proměnných lze zapsat jako $u(x,y)=\Phi\big[\varphi(x,y)\big]$, kdy funkci $\Phi$ lze považovat za libovolnou funkci jedné proměnné $\varphi$. V případě rovnice $n$ nezávisle proměnných bude mít obecné řešení tvar
Příklady řešení lineárních homogenních parciálních diferenciálních rovnic
Mějme zadanou jednoduchou homogenní rovnici dvou nezávisle proměnných,
$$ x^2\dfrac{\partial u}{\partial x}+y^2\dfrac{\partial u}{\partial y}=0, $$B.5charakteristická soustava tedy bude $\text{d} x/\text{d} s=x^2,\text{d} y/\text{d} s=y^2$, jejím řešením budou charakteristiky $-1/x=s+C_1,\,-1/y=s+C_2$ a po vyloučení parametru $s$ dostáváme $1/y-1/x=C=\varphi(x,y)$. Výsledné obecné řešení tedy bude
$$ u(x,y)=\Phi\bigg(\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}\bigg).$$B.6Jiný jednoduchý příklad může představovat například homogenní rovnice
$$ \dfrac{\partial u}{\partial x}=6x^2\dfrac{\partial u}{\partial y}, $$B.7jejíž charakteristická soustava bude $\text{d} x/\text{d} s=1,\text{d} y/\text{d} s=-6x^2$, kdy řešením první rovnice soustavy bude charakteristika $x=s+C_1$ a protože $\text{d} y=-6\,(s+C_1)^2\,\text{d} s$, druhá charakteristika bude $y=-2s^3–6s^2\,C_1–6s\,C^2_1+C_2$. Vyjádříme-li z první charakteristiky $s=x-C_1$ a tento výraz dosadíme do druhé charakteristiky, dostáváme rovnici $y+2x^3=2\,C_1^3+C_2=C=\varphi(x,y)$. Výsledné obecné řešení tedy bude
$$ u(x,y)=\Phi\big(y+2x^3\big). $$B.8K tomuto výsledku lze ovšem dospět mnohem rychleji, uvědomíme-li si, že v případě homogenní rovnice dostaneme vydělením rovnic charakteristické soustavy obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu, tedy $(\text{d} y/\text{d} s)/(\text{d} x/\text{d} s)=\text{d} y/\text{d} x=-6x^2$ a tedy $y=-2x^3+C$.
Mějme zadánu homogenní rovnici tří proměnných $x,y,z$,
$$ (z-y)\dfrac{\partial u}{\partial x}+(x-z)\dfrac{\partial u}{\partial y}+(y-x)\dfrac{\partial u}{\partial z}=0, $$B.9s okrajovou podmínkou $u(0,y,z)=yz$. Charakteristická soustava v tomto případě bude $\text{d} x/\text{d} s=(z-y),\text{d} y/\text{d} s=(x-z),\text{d} z/\text{d} s=(y-x)$, po jejím sečtení dostáváme $\text{d} x/\text{d} s+\text{d} y/\text{d} s+\text{d} z/\text{d} s=0$ a po integraci podle $s$ dostáváme $x+y+z=C_1$. Protože zadaná rovnice obsahuje tři proměnné, potřebujeme ještě jednu obecnou rovnici charakteristik, například vynásobením každé charakteristiky odpovídající proměnnou dostaneme výrazy $x\,\text{d} x/\text{d} s=(z-y)x,\,y\,\text{d} y/\text{d} s=(x-z)y,\,z\,\text{d} z/\text{d} s=(y-x)z$. Po jejím sečtení (opět s nulovým součtem), po její integraci podle $s$ a po vynásobení dvěma (kdy $x^\prime=\text{d} x/\text{d} s$, atd.) dostáváme $2xx^\prime+2yy^\prime+2zz^\prime=0$ a tedy $x^2+y^2+z^2=C_2$. Obecné řešení bude
$$ u(x,y,z)=\Phi\big(x+y+z,x^2+y^2+z^2\big). $$B.10Po dosazení okrajové podmínky dostaneme $\Phi\big(y+z,y^2+z^2\big)=yz$, označíme-li $y+z=\xi,\,y^2+z^2=\eta$, můžeme psát $\Phi\big(\xi,\eta\big)=(\xi^2-\eta)/2$. Explicitním řešením okrajové úlohy bude funkce
$$ u(x,y,z)=\dfrac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=xy+xz+yz. $$B.11
Nelineární homogenní parciální diferenciální rovnice – neviskózní Burgersova rovnice
Jedná se o nelineární rovnici (nazývanou také transportní rovnice) funkce $u(t,x)$ dvou nezávisle proměnných $t,x$ (kdy v prostorovém členu je tato funkce násobkem, tj. vyšší mocninou), která popisuje nelineární postupnou vlnu. V jednorozměrném případě má podobu
Charakteristické rovnice vzhledem k rovnici B.12 budou
Z první rovnice vyplývá $t=s$, jako parametr můžeme tedy zvolit přímo $t$. Třetí rovnice říká, že $u$ je konstantní podél charakteristik, ze druhé rovnice potom vyplývá, že charakteristiky budou přímkami v rovině $x,t$. Řešení druhé a třetí charakteristické rovnice je jednoduché:
Uvědomíme-li si, že $C_2$ musí být funkcí $C_1$, tedy $C_2=C_2(C_1)$, substitucí $x-ut$ za $C_1$ dostáváme obecné řešení parciální diferenciální rovnice:
Pro jednoznačné určení obecné funkce $\Phi$ zavedeme počáteční (okrajovou) podmínku, například $u(x,0)=x$. Potom můžeme psát $u(x,0)=C_2\big[x−u(x,0)\,\cdot\,0\big]=x$ a tedy $C_2(x)=x$. Dostáváme rovnici $u=x−ut$, výsledné jednoznačné řešení v tomto případě bude
B.1.2 Nehomogenní parciální diferenciální rovnice 1. řádu
Nehomogenní parciální diferenciální rovnici 1. řádu dvou nezávisle proměnných můžeme obecně zapsat ve tvaru
Obdobně jako v případě homogenní rovnice můžeme psát
kde potom hledáme řešení systému charakteristických rovnic
Příklady řešení lineárních nehomogenních parciálních diferenciálních rovnic
Uvažujme jednoduchou nehomogenní parciální diferenciální rovnici dvou nezávisle proměnných
$\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial y}=x$ s okrajovou podmínkou $u(x,\text{a})=1$,B.20kde a je konstanta. Ze systému rovnic B.19 vyplývá charakteristická soustava $\text{d} x/\text{d} s=1,\text{d} y/\text{d} s=1,\text{d} u/\text{d} s=x$. Vydělením prvních dvou charakteristických rovnic a například třetí a první, dostáváme charakteristiky $C_1=y-x,\,C_2=u-x^2/2$. Dostáváme tedy obecné řešení parciální diferenciální rovnice ve tvaru:
$$ \Phi(y-x,u-x^2/2)=0, $$B.21kde $\Phi$ je libovolná funkce charakteristik. Přepíšeme nyní rovnici pomocí okrajové podmínky jako funkci charakteristik a konstant, tj. $\Phi(\text{a}-x,1-x^2/2)=\Phi(C_1,C_2)=0$, z první charakteristiky potom vyplývá $x=\text{a}-C_1$, z druhé charakteristiky dostáváme $C_2=1-(\text{a}-C_1)^2/2$. Poslední výraz můžeme přepsat jako $1-(\text{a}-C_1)^2/2-C_2=\Phi(C_1,C_2)=0$, po dosazení do charakteristik dostaneme explicitní výraz $1-\big[\text{a}^2–2\text{a}(y-x)+(y-x)^2\big]/2-u+x^2/2=0$. Výsledné řešení okrajové úlohy pro zadanou rovnici potom bude
$$ u(x,y)=xy+\text{a}(y-x)-\dfrac{y^2+\text{a}^2}{2}+1. $$B.22Nehomogenní parciální diferenciální rovnice dvou nezávisle proměnných má tvar
$$ y\dfrac{\partial u}{\partial x}-x\dfrac{\partial u}{\partial y}=y^2-x^2,\text{ s okrajovou podmínkou } u(x,\text{a})=x^2-\text{a}^2, $$B.23kde a je konstanta. Ze systému rovnic B.19 vyplývá charakteristická soustava $\text{d} x/\text{d} s=y,\text{d} y/\text{d} s=-x,\text{d} u/\text{d} s=y^2-x^2$. Všimněme si, že v tom případě platí $y\,\text{d} x/\text{d} s+x\,\text{d} y/\text{d} s=\text{d} u/\text{d} s$. Rovnice $\text{d} y/\text{d} x=-x/y$, její integrace dává první charakteristiku $x^2+y^2=C_1$. Rovnici $y\,\text{d} x/\text{d} s+x\,\text{d} y/\text{d} s=\text{d} u/\text{d} s$ můžeme zapsat jako $\text{d}(xy)/\text{d} s=\text{d} u/\text{d} s$, po její integraci dostáváme druhou charakteristiku $u-xy=C_2$. Obecné řešení parciální diferenciální rovnice bude mít tvar:
$$ \Phi(x^2+y^2,u-xy)=0, $$B.24kde $\Phi$ je libovolná funkce charakteristik. Přepíšeme nyní opět rovnici pomocí okrajové podmínky jako funkci charakteristik a konstant, tj. $\Phi(x^2+\text{a}^2,x^2-\text{a}^2-\text{a} x)=\Phi(C_1,C_2)=0$. Z první charakteristiky vyplývá $x=\pm\sqrt{C_1-\text{a}^2}$, z druhé charakteristiky potom vyplyne rovnice pro obě charakteristiky ve tvaru $C_1–2\text{a}^2\mp \text{a}\sqrt{C_1-\text{a}^2}-C_2=0$. Po dosazení původních výrazů do charakteristik dostaneme explicitní výraz $x^2+y^2–2\text{a}^2\mp\text{a}\big(\!\pm\!\sqrt{x^2+y^2-\text{a}^2}\big)-u+xy=0$. Výsledné řešení okrajové úlohy pro zadanou rovnici bude
$$ u(x,y)=x^2+y^2+xy-\text{a}\sqrt{x^2+y^2-\text{a}^2}-2\text{a}^2. $$B.25
Příklady řešení nelineárních nehomogenních parciálních diferenciálních rovnic
Nehomogenní nelineární parciální diferenciální rovnice dvou nezávisle proměnných má tvar
$ xu\dfrac{\partial u}{\partial x}+yu\dfrac{\partial u}{\partial y}=-xy$, s okrajovou podmínkou $u\left(x,\dfrac{\text{a}^2}{x}\right)=\text{h}$,B.26kde a, h jsou konstanty. Ze systému rovnic B.19 vyplývá charakteristická soustava $\text{d} x/\text{d} s=xu,\text{d} y/\text{d} s=yu,\text{d} u/\text{d} s=-xy$. Integrace rovnice $\text{d} y/\text{d} x=y/x$ dává první charakteristiku $y/x=C_1$. Všimněme si, že v tomto případě platí $y\,\text{d} x/\text{d} s+x\,\text{d} y/\text{d} s=2\,uxy$, tuto rovnici můžeme tedy zapsat jako $\text{d}(xy)/\text{d} s=-2u\,\text{d} u/\text{d} s=-\text{d} u^2/\text{d} s$, po její integraci dostáváme druhou charakteristiku $u^2+xy=C_2$. Obecné řešení parciální diferenciální rovnice bude mít tvar:
$$ \Phi\left(\dfrac{y}{x},u^2+xy\right)=0, $$B.27kde $\Phi$ je libovolná funkce charakteristik. Přepíšeme nyní opět rovnici pomocí okrajové podmínky jako funkci charakteristik a konstant, tj. $\Phi(\text{a}^2/x^2,\text{h}^2+\text{a}^2)=\Phi(C_1,C_2)=0$. Z první charakteristiky vyplývá $x=\pm\sqrt{\text{a}^2/C_1}$, z druhé charakteristiky potom vyplyne rovnice pro obě charakteristiky ve tvaru $\text{h}^2+\text{a}^2-C_2=0$. Po dosazení původních výrazů do charakteristik dostaneme explicitní výraz $\text{h}^2+\text{a}^2-u^2-xy=0$. Výsledné řešení okrajové úlohy pro zadanou rovnici bude
$$ u(x,y)=\sqrt{\text{h}^2+\text{a}^2-xy}. $$B.28Nehomogenní nelineární parciální diferenciální rovnice dvou nezávisle proměnných má tvar
$ yu\dfrac{\partial u}{\partial x}-xu\dfrac{\partial u}{\partial y}=x-y$, s okrajovou podmínkou $u(x,x)=\text{h}$,B.29kde h je konstanta. Ze systému rovnic B.19 vyplývá charakteristická soustava $\text{d} x/\text{d} s=yu,\text{d} y/\text{d} s=-xu,\text{d} u/\text{d} s=x-y$. Opět zde integrace rovnice $\text{d} y/\text{d} x=-x/y$ dává první charakteristiku $x^2+y^2=C_1$. Rovnici $\text{d} x/\text{d} s+\text{d} y/\text{d} s=\text{d}(x+y)/\text{d} s$ můžeme zapsat jako $\text{d}(x+y)/\text{d} s=u(x-y)=u\,\text{d} u/\text{d} s$, po její integraci dostáváme druhou charakteristiku $u^2+2x+2y=C_2$. Obecné řešení parciální diferenciální rovnice bude mít tvar:
$$ \Phi(x^2+y^2,u^2+2x+2y)=0, $$B.30kde $\Phi$ je libovolná funkce charakteristik. Přepíšeme nyní opět rovnici pomocí okrajové podmínky jako funkci charakteristik a konstant, tj. $\Phi(2x^2,\text{h}^2+4x)=\Phi(C_1,C_2)=0$. Z první charakteristiky vyplývá $x=\pm\sqrt{C_1/2}$, z druhé charakteristiky potom vyplyne rovnice pro obě charakteristiky ve tvaru $\text{h}^2\pm 4\sqrt{C_1/2}-C_2=0$. Po dosazení původních výrazů do charakteristik dostaneme explicitní výraz $\text{h}^2+2\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}-u^2–2x-2y=0$. Výsledné řešení okrajové úlohy pro zadanou rovnici bude
$$ u(x,y)=\sqrt{2\sqrt{2(x^2+y^2)}-2x-2y+\text{h}^2}. $$B.31
Analogickým způsobem lze řešit (téměř) jakoukoli parciální diferenciální rovnici 1. řádu. Podstatné je vždy nalezení jisté symetrie v zadání rovnice, která umožní sestavení charakteristických rovnic a nalezení příslušných charakteristik. Zájemce o hlubší porozumění této problematice odkazuji například na skripta Arsenin (1977); Pospíšil (2006); Franců (2011).