B.2 Parciální diferenciální rovnice 2. řádu

B.2.1 Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu

Obecná parciální diferenciální rovnice 2. řádu funkce $u(x,y)$ (pro jednoduchost se omezíme pouze na funkce dvou proměnných) má tvar:

$$ \begin{aligned} a_{11}(x,y) &\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+a_{12}(x,y)\dfrac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+ a_{22}(x,y)\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}+\\&+b_1(x,y)\dfrac{\partial u}{\partial x}+b_2(x,y)\dfrac{\partial u}{\partial y}+c(x,y)u+d(x,y)=0. \end{aligned} $$

B.32

nebo, ve zjednodušené notaci, používané v dalším textu ($u_{x}=\partial u/\partial x,\,u_{xx}=\partial^2u/\partial x^2$, atd.) :

$$ \begin{aligned} a_{11}(x,y)&u_{xx}+a_{12}(x,y)u_{xy}+a_{22}(x,y)u_{yy}+\\&+b_1(x,y)u_{x}+b_2(x,y)u_{y}+c(x,y)u+d(x,y)=0. \end{aligned} $$

B.33

Typ rovnice (v případě funkce dvou proměnných) je určen následujícími podmínkami:

$a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0 $	rovnice parabolická,	(B.34)
$a_{11}a_{22}-a_{12}^2<0$	rovnice hyperbolická,	(B.35)
$a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0$	rovnice eliptická.	(B.36)

Úpravou obecného tvaru rovnice transformací do nových proměnných prostřednictvím kvadratické formy lze získat kanonický tvar rovnic:

$$ \begin{array}{lcll} a_{11}(x,y)u_{x} &-&a_{22}(x,y)u_{yy}+\ldots=0 & \qquad\text{rovnice parabolická},\\[4pt] a_{11}(x,y)u_{xx}&-&a_{22}(x,y)u_{yy}+\ldots=0 & \qquad\text{rovnice hyperbolická},\\[4pt] a_{11}(x,y)u_{xx}&+&a_{22}(x,y)u_{yy}+\ldots=0 & \qquad\text{rovnice eliptická}. \end{array} $$

B.37

V případě rovnice více proměnných je situace komplikovanější, typ rovnice je jednoznačně určen tzv. maticí kvadratické formy, resp. druhem její definitnosti. Příkladem transformace obecného polynomu druhého stupně na kvadratickou formu může být:

$$ \begin{aligned} 3x^2+2xy+2y^2=3\left(x^2+\dfrac{2}{3}xy+\dfrac{2}{3}y^2\right)=3\left[\left(x+\dfrac{1}{3}y\right)^2-\dfrac{1}{9}y^2+\dfrac{2}{3}y^2\right]=\\ =3\left[\left(x+\dfrac{1}{3}y\right)^2+\dfrac{5}{9}y^2\right]=3\left(x+\dfrac{1}{3}y\right)^2+\dfrac{5}{3}y^2. \end{aligned} $$

B.38

Substitucí $\genfrac\{\}{0pt}{0}{x+\dfrac{1}{3}y=\xi_1}{y=\xi_2}$ dostáváme $3\,\xi_1^2+\dfrac{5}{3}\,\xi_2^2,$ což lze zapsat jako:

$$ \begin{pmatrix}\xi_1&\xi_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&0\\[2pt]0&\dfrac{5}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\xi_1\\[2pt]\xi_2\end{pmatrix}. $$

B.39

Obdobným způsobem můžeme transformovat obecnou parciální diferenciální rovnici 2. řádu: pokud je diagonální matice kvadratické formy pozitivně nebo negativně definitní, tj. její vlastní hodnoty (viz rovnice 2.17-2.19) jsou buď všechny kladné nebo všechny záporné, potom se jedná o rovnici eliptickou. Pokud je diagonální matice kvadratické formy indefinitní (tj. kdy některé vlastní hodnoty jsou kladné, některé záporné), potom se jedná buď o rovnici hyperbolickou (odlišuje se znaménko pouze jedné vlastní hodnoty) nebo ultrahyperbolickou. Pokud je diagonální matice kvadratické formy semidefinitní (některé vlastní hodnoty jsou nulové), potom se jedná se o rovnici parabolickou (jedna vlastní hodnota je nulová), případně tzv. parabolickou v širším smyslu.

Kanonický tvar jednotlivých typů rovnic, například pro obecnou funkci čtyř proměnných $u=u(x_1,x_2,x_3,x_4)$, vypadá potom schématicky následovně:

$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_3^2}\pm\dfrac{\partial u}{\partial x_4} + \ldots\ldots=0$	parabolická,	(B.40)
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}\pm \dfrac{\partial u}{\partial x_3}\pm\dfrac{\partial u}{\partial x_4} + \ldots\ldots=0 $	parabolická v širším smyslu,	(B.41)
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_3^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_4^2} + \ldots\ldots=0$	hyperbolická,	(B.42)
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_3^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_4^2} + \ldots\ldots=0$	ultrahyperbolická,	(B.43)
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_3^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_4^2} + \ldots\ldots=0$	eliptická.	(B.44)

V dalším výkladu ukážeme řešení některých vybraných parciálních diferenciálních rovnic parabolických, hyperbolických a eliptických.

Fyzikální podoba parabolických parciálních diferenciálních rovnic

Nejobvyklejší tvar parabolické parciální diferenciální rovnice (např. rovnice vedení tepla) je:

$$ u_t=k(u_{xx}+u_{yy}+\ldots),$$

B.45

kde konstanta $k$ (což nemusí být doslova konstanta, člen $k$ pouze neobsahuje funkci proměnných $x,y,\ldots$) má význam: $k={\lambda}/{(c_p\rho)}$, kde $\lambda$ znamená součinitel tepelné vodivosti, $c_p$ tepelnou kapacitu (při stálém tlaku) a $\rho$ hustotu.