B.2.2 Metoda fundamentálního řešení (metoda Greenovy funkce)

Řešení rovnic pomocí formalismu Fourierovy transformace a konvoluce funkcí, zavedených v odstavci 9.2, si detailněji ukážeme na následujících řešených příkladech (v dalším textu budeme vždy uvádět zkratkami LS levou stranu rovnice a PS její pravou stranu) parabolických parciálních diferenciálních rovnic:

Homogenní rovnice, nehomogenní obecná počáteční podmínka

Homogenní úlohou rozumíme rovnici bez bez zdroje tepla, tj. bez pravé strany, nehomogenní pravá strana znamená dodatečný zdroj tepla. V případě homogenních počátečních respektive okrajových podmínek je příslušná funkce v čase $t=0$, případně na definovaných okrajích, nulová.

$ u_t=a^2 u_{xx},\, t>0,\, x\in\mathbb{R}$, s nehomogenní počáteční podmínkou $u(0,x)=\varphi(x)$.

B.46

LS:	$\widehat{u}_t\,=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty u_t(t,x)\,\text{e}^{-\text{i} x\xi}\,\text{d} x=\widehat{u}_t(t,x).$	(B.47)
PS:	$\begin{aligned} \widehat u_{xx}(t,\xi) & =\displaystyle\int_{-\infty}^\infty u_{xx}(t,x)\,\text{e}^{-\text{i} x\xi}\,\text{d} x= \\ & = \underbrace{\left[u_x\,\text{e}^{-\text{i} x\xi}\right]_{-{\infty}}^{\infty}}_{0}+ \text{i}\xi\int\limits_{-\infty}^\infty u_{x}(t,x)\,\text{e}^{-\text{i} x\xi}\,\text{d} x=-\xi^2\,\widehat{u}(\xi). \end{aligned} $	(B.48)

Dostáváme tedy obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu s jednoduše separovatelnými proměnnými: $\widehat{u}_t(\xi)=-a^2\xi^2\,\widehat{u}(\xi),$ jejíž řešení snadno určíme jako $\widehat{u}(\xi)=C\,\text{e}^{-a^2\xi^2t},\text{ respektive }\widehat{u}(t,\xi)=C(\xi)\,\text{e}^{-a^2\xi^2t}.$ Funkci $C(\xi)$ určíme z počáteční podmínky B.46: $\widehat{u}(0,\xi)=\widehat{\varphi}(\xi)=C(\xi),\,\widehat{u}(t,\xi)=C(\xi)\,\text{e}^{-a^2\xi^2t}.$ Zavedeme funkci $G(t,x)$ (Greenovu funkci) jako zpětný Fourierův obraz (vzor) funkce $\widehat{G}(t,\xi)=\text{e}^{-a^2\xi^2t}$, dostáváme tedy $\widehat{u}(t,\xi)=\widehat{\varphi}(\xi)\cdot\widehat{G}(t,\xi)=\widehat{(\varphi\ast G)}(t,\xi),\text{ a tedy } u(t,x)=(\varphi\ast G)(t,x)$:

$$ \begin{aligned} G(t,x) &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\widehat{G}(t,\xi)\,\text{e}^{\text{i}\xi x}\,\text{d}\xi=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\text{e}^{-a^2\xi^2t} \,\text{e}^{\text{i}\xi x}\,\text{d}\xi = \\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\text{e}^{-(a^2\xi^2t-\text{i}\xi x)}\,\text{d}\xi=\\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\text{e}^{-(a\xi\sqrt{t}-\frac{\text{i} x}{2a\sqrt{t}})^2}\,\text{e}^{-\dfrac{x^2}{4a^2t}}\,\text{d}\xi=\\ &= \genfrac \{\}{0pt}{0}{a\xi\sqrt{t}-\dfrac{\text{i} x}{2a\sqrt{t}}=\eta}{a\sqrt t\,\text{d}\xi=\text{d}\eta}= \dfrac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\,\text{e}^{-\frac{x^2}{4a^2t}}={G(x,t)}. \\ \end{aligned} $$

B.49

Výsledné řešení zadané parabolické parciální diferenciální rovnice potom bude

$$ u(t,x)=(\varphi\ast G)(t,x)=\int_{-\infty}^\infty\varphi(y)\,G(t,x-y)\,\text{d} y= \dfrac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^\infty\varphi(y)\,\text{e}^{-\frac{(x-y)^2}{4a^2t}}\,\text{d} y. $$

B.50

V obecném případě, kdy $u(\tau,x)=\varphi(x)$ dostáváme výslednou funkci ve tvaru:

$$ u(t,x)=\dfrac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^\infty\varphi(y)\,\text{e}^{-\dfrac{(x-y)^2}{4a^2(t-\tau)}}\,\text{d} y. $$

B.51

Nehomogenní rovnice s homogenní počáteční podmínkou

$u_t=a^2 u_{xx}+f,\,t>0,\,x\in \mathbb{R}$, s homogenní počáteční podmínkou $u(0,x)=0$.

Předpokládáme řešení ve tvaru: $u(t,x)=\int_0^t w(t,x,\sigma)\,\text{d}\sigma$, kdy

$u_t(t,x)=w(t,x,t)+ \displaystyle\int_0^t w_t(t,x,\sigma)\,\text{d}\sigma,\,u_{xx}(t,x)=\int_0^t w_{xx}(t,x,\sigma)\,\text{d}\sigma,$ potom platí

$w(t,x,t)+\displaystyle\int_0^t w_t(t,x,\sigma)\,\text{d}\sigma=a^2\int_0^t w_{xx}(t,x,\sigma)\,\text{d}\sigma+f(t,x)$, to odpovídá

$ \displaystyle\int_0^t\underbrace{\left[w_t(t,x,\sigma)-a^2w_{xx}(t,x,\sigma)\right]}_{\text{předpoklad}\,=\,0}\,\text{d}\sigma=\underbrace{f(t,x)-w(t,x,t)}_{\text{předpoklad}\,=\,0}\,=\,0$, z toho vyplývá

$w_t(t,x,\sigma)=a^2w_{xx}(t,x,\sigma)$, s počáteční podmínkou $w(\sigma,x,\sigma)=f(\sigma ,x)$, tedy

$$w(t,x,\sigma)=\dfrac{1}{2a\sqrt{\pi(t-\sigma)}}\int_{-\infty}^\infty f(\sigma ,y)\,\text{e}^{-\frac{(x-y)^2}{4a^2(t-\sigma)}}\,\text{d} y $$

B.52

Výsledné řešení bude

$$ u(t,x)=\dfrac{1}{2a}\int_0^t \int_{-\infty}^\infty\dfrac{f(\sigma,y)}{\sqrt{t-\sigma }}\,\text{e}^{-\dfrac{(x-y)^2}{4a^2(t-\sigma)}}\,\text{d}\sigma\,\text{d} y. $$

B.53

nahoru

Nehomogenní rovnice s nehomogenní počáteční podmínkou

$ u_t=a^2 u_{xx}+f,\,t>0,\,x\in\mathbb{R}$, s nehomogenní počáteční podmínkou $u(0,x)=\varphi(x)$.

B.54

Z linearity vyplývá, že funkci lze rozdělit následujícím způsobem:

$u(t,x)=v(t,x)+w(t,x),$			(B.55)
$v_t(t,x)=a^2v_{xx}+f,$	$v(0,x)=0$	1. funkce	(B.56)
$w_t=a^2w_{xx},$	$w(0,x)=\varphi(x) $	2. funkce	(B.57)

Z počáteční podmínky $\varphi(x)=v(0,x)+w(0,x)=w(0,x)$, kde ovšem $v(0,x)=0$, dostáváme:

$$ \begin{aligned} u(t,x)=\int_{-\infty}^\infty\varphi(y)\,G(x,y,t)\,\text{d} y+\int_0^t\int_{-\infty}^\infty f(\sigma,y)\,G(x,y,t-\sigma)\,\text{d}\sigma\,\text{d} y=\\ =\dfrac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^\infty\varphi(y)\,\text{e}^{-\dfrac{(x-y)^2}{4a^2t}}\,\text{d} y+\dfrac{1}{2a}\int_{0}^{t} \int_{-\infty}^\infty\dfrac{f(\sigma,y)}{\sqrt{t-\sigma }}\,\text{e}^{-\dfrac{(x-y)^2}{4a^2(t-\sigma)}}\,\text{d}\sigma\,\text{d} y. \end{aligned} $$

B.58