Metodu, která se velmi často používá při řešení parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu, si opět detailněji
ukážeme na řešených příkladech parabolických parciálních diferenciálních rovnic.
Homogenní jednorozměrná úloha, homogenní okrajové podmínky, obecná počáteční podmínka
$$ u_t=a^2u_{xx},\, t>0,\, x\in (0,\ell),\quad u(0,x)=\varphi(x),\quad u(t,0)=0=u(t,\ell). $$
B.59
Předpokládáme, že funkci $u(t,x)$ lze vyjádřit jako součin dvou separovaných funkcí, kdy každá je funkcí jen jedné z obou proměnných: $u(t,x)=T(t)X(x)$.
Obě strany rovnice B.59 lze potom vyjádřit následujícím způsobem:
$ T^\prime X=a^2TX^{\prime\prime}$, separujeme do podoby $\dfrac{T^\prime}{a^2T}=\dfrac{X^{\prime\prime}}{X}=-\lambda$. Řešení PS potom bude
B.60
$ X^{\prime\prime}+\lambda X=0$, z toho vyplývá $X(x)=v(x)=A\sin\sqrt{\lambda}x+B\cos\sqrt{\lambda}x$.
B.61
Zahrnutím okrajové podmínky získáme příslušné koeficienty PS:
$X(0)=B=0,\,\, X(\ell)=A\sin\sqrt{\lambda}\ell=0$, a tedy $\sqrt{\lambda}=\dfrac{k\pi}{\ell}$,
B.62
kde konstanta $A$ může nabývat libovolné hodnoty (např. 1). PS můžeme tedy zapsat jako
$$ X_k=v_k=\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right). $$
B.63
LS řešíme jako obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu,
$ \dfrac{T^\prime}{T}=-a^2\lambda$, z toho vyplývá $T=C_k\,\text{e}^{-a^2\lambda_k\,t}=C_k\,\text{e}^{-\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}\right )^2t}$,
B.64
Obě takto nalezené separátní funkce potom zapíšeme jako součin:
$$ u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty C_k\,\text{e}^{-\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\,x\right). $$
B.65
Fourierův koeficient $C_k$ získáme pomocí počáteční podmínky:
$\varphi(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} C_k\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\,x\right)= \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} C_k\,v_k$, a tedy $C_k=\dfrac{1}{\|v_k\|^2}\displaystyle\int_0^\ell\varphi(\xi)\,v_k(\xi)\,\text{d}\xi$.
B.66
Normu $\|v_k\|$ funkce $v_k$ řešíme jako normu spojitě definovaného vektoru (viz rovnice 2.1 ), tedy
$$ \|v_k\|^2=\int_0^\ell v_k^2(\xi)\,\text{d}\xi=\int_0^\ell\sin^2\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\,\text{d}\xi=\dfrac{\ell}{2},\,\,
C_k=\dfrac{2}{\ell}\int_0^\ell\varphi(\xi)\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\,\text{d}\xi\label{picrightj}. $$
B.67
Výslednou funkci můžeme potom zapsat ve tvaru
$$ u(t,x)=\dfrac{2}{\ell}\sum_{k=1}^\infty\int_0^\ell\left[\varphi(\xi)\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\,\text{d}\xi\right] \,\text{e}^{-\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right). $$
B.68
Homogenní dvourozměrná úloha, homogenní okrajové podmínky, obecná počáteční podmínka
Vedení tepla v pravoúhlých směrech:
$u_t=a^2\left(u_{xx}+u_{yy}\right),\,\,t>0,\,\,x\in(0,\ell_1),\,\, y\in(0,\ell_2),\,\, u(0,x,y)= \varphi(x,y)$,
$u(t,0,y)=0=u(t,\ell_1,y),\,\, u(t,x,0)=0=u(t,x,\ell_2)$.
B.69
Předpokládáme tři funkce, které lze separovat (srovnej rovnici B.60 ), takže každá je funkcí jen jedné ze tří proměnných: $u=TXY$.
Obě strany rovnice B.69 lze potom vyjádřit následujícím způsobem:
$ T^\prime XY=a^2(TX^{\prime\prime}Y+TXY^{\prime\prime})$, tedy $\dfrac{T^\prime}{a^2T}=\dfrac{X^{\prime\prime}}{X}+\dfrac{Y^{\prime\prime}}{Y}=-(\lambda_1+\lambda_2)$.
B.70
Dále předpokládáme:
$$ \dfrac{X^{\prime\prime}}{X}=-\lambda_1,\,\,\dfrac{Y^{\prime\prime}}{Y}=-\lambda_2, $$
B.71
což si můžeme dovolit vzhledem k následným úpravám LS rovnice. Dostáváme tak řešení PS,
$$ X_m=\sin\left(\dfrac{m\pi}{\ell_1}x\right),\,\, Y_n=\sin\left(\dfrac{n\pi}{\ell_2}y\right). $$
B.72
LS opět řešíme jako obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu,
$$ T=C_{mn}\,\text{e}^{-a^2\left[\left(\dfrac{m\pi}{\ell_1}\right)^2+\left(\dfrac{n\pi}{\ell_2}\right)^2\right]\,t}, $$
B.73
Všechny tři nalezené separátní funkce potom zapíšeme jako součin
$$ u(x,y,t)=\sum_{m,n=1}^\infty C_{mn}\,\text{e}^{-a^2\left[\left(\dfrac{m\pi}{\ell_1}\right)^2+ \left(\dfrac{n\pi}{\ell_2}\right)^2\right]\,t}\times\sin\left(\dfrac{m\pi}{\ell_1}x\right)\sin\left(\dfrac{n\pi}{\ell_2}y\right). $$
B.74
Fourierův koeficient získáme pomocí počáteční podmínky:
$$ C_{mn}=\dfrac{1}{\|v_{mn}\|^2}\int_0^{\ell_1}\int_0^{\ell_2}\varphi(\xi,\eta)\sin \left(\dfrac{m\pi\xi}{\ell_1}\right)\sin\left(\dfrac{n\pi\eta}{\ell_2}\right)\,\text{d}\xi\,\text{d} \eta, $$
B.75
Norma $\|v_{mn}\|$ funkce $v_{mn}$ je analogicky k rovnici B.67 dána jako
$$ \|v_{mn}\|^2=\int_0^{\ell_1}\int_0^{\ell_2}\sin^2\left(\dfrac{m\pi\xi}{\ell_1}\right) \sin^2\left(\dfrac{n\pi\eta}{\ell_2}\right) \text{d}\xi\,\text{d}\eta=\dfrac{1}{2}\left[\xi\right]_0^{\ell_1}\times\dfrac{1}{2}\left[\eta\right]_0^{\ell_2}=\dfrac{\ell_1\,\ell_2}{4}. $$
B.76
Výslednou funkci můžeme zapsat ve tvaru:
$$ \begin{gather}
u(x,y,t)=\dfrac{4}{\ell_1\,\ell_2}\sum_{m,n=1}^\infty\int_0^{\ell_1}\int_0^{\ell_2}\left[\varphi(\xi,\eta)
\sin\left(\dfrac{m\pi\xi}{\ell_1}\right)\sin\left(\dfrac{n\pi\eta}{\ell_2}\right)\,\text{d}\xi\,\text{d}\eta\right]\times\\
\times\,\text{e}^{-a^2\left[\left(\dfrac{m\pi}{\ell_1}\right)^2+\left(\dfrac{n\pi}{\ell_2}\right)^2\right]\,t}\times
\sin\left(\frac{m\pi}{\ell_1}x\right)\sin\left(\frac{n\pi}{\ell_2}y\right).
\end{gather} $$
B.77
V případě nehomogenních okrajových podmínek bude nalezení partikulárního řešení komplikovanější:
Homogenní jednorozměrná úloha, nehomogenní okrajové podmínky, homogenní počáteční podmínka
Chladnutí tyče:
$$ u_t=a^2 u_{xx},\,\, t>0,\,\, x\in (0,\ell),\,\, u(0,x)=0,\,\, u(t,0)=T_1,\,\, u(t,\ell)=T_2. $$
B.78
Funkci linearizujeme: $u(t,x)=v(t,x)+w(t,x)$, kdy funkce
$w(t,x)$ přejde na stacionární funkci $w(x)$ a bude splňovat okrajové podmínky následujícím způsobem:
$$ w(t,0)=T_1,\,\,w(t,\ell)=T_2,\,\,v(t,0)=v(t,\ell)=0. $$
B.79
Obrázek B.1: Schématické znázornění průběhu funkce $w(x)$.
Pro stacionární funkce dále platí,
$$
w(x)=T_1+\dfrac{T_2-T_1}{\ell}x,\,\,v(0,x)=-T_1+\dfrac{T_1-T_2}{\ell}x,
$$
B.80
$$
v(0,x)+w(0,x)=0\text{ a tedy } v(0,x)=-w(0,x).
$$
B.81
Rovnice B.78 , rozdělená pro obě funkce $v$ a $w$ bude mít tvar
$$ v_t=a^2v_{xx},\,\, w_t=a^2w_{xx}, $$
B.82
kdy ovšem prostorové derivace funkce $w$ budou
$$ w_x=\dfrac{T_2-T_1}{\ell},\,\, w_{xx}=0,\,\,
v_t=a^2v_{xx},\,\, v=XT,\,\, (t,0)=0=v(t,\ell),$$
B.83
$ X(x)=A\sin\sqrt{\lambda}x+B\cos\sqrt{\lambda}x$, a tedy $X_k=\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)$,
B.84
$$ v(x,t)=\sum_{k=1}^\infty C_k\,\text{e}^{-\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}\right)^2\,t}\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right). $$
B.85
Z počáteční podmínky dále vyplývá
$$ \begin{gather}
v(0,x)=\sum_{k=1}^\infty C_k\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)=-T_1+\dfrac{T_1-T_2}{\ell}x,\text{ z toho vyplývá: }\\
C_k=\dfrac{2}{\ell}\int_0^\ell\left(-T_1+\dfrac{T_1-T_2}{\ell}x\right)\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\,\text{d}\xi=\\
=\dfrac{2}{\ell}\,T_1\dfrac{\ell}{k\pi}\left[\cos\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\right]_0^\ell+\dfrac{T_1-T_2}{\ell}\dfrac{2}{\ell}\int_0^\ell\xi
\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\,\text{d}\xi=\\
=\dfrac{2T_1}{k\pi}\left[(-1)^k-1\right]+\dfrac{2(T_1-T_2)}{\ell^2}\left\{\left[-\xi\dfrac{\ell}{k\pi}
\cos\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\right]_0^\ell+\dfrac{\ell}{k\pi}\int_0^\ell\cos\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\,\text{d}\xi\right\}=\\
=\dfrac{2T_1}{k\pi}\left[(-1)^k-1\right]+\dfrac{2(T_1-T_2)}{\ell^2}\left[-\dfrac{\ell^2}{k\pi}(-1)^k\right]=\\
=\dfrac{2\,T_1}{k\pi}\left[(-1)^k-1\right]-\dfrac{2(T_1-T_2)}{k\pi}(-1)^k=(-1)^k\left(\dfrac{2T_2}{k\pi}\right)-
\left(\dfrac{2T_1}{k\pi}\right).
\end{gather} $$
B.86
Výsledná funkce bude mít tvar:
$$ u(t,x)=T_1+\dfrac{T_2-T_1}{\ell}x+\sum_{k=1}^\infty\left[(-1)^k\left(\dfrac{2T_2}{k\pi}\right)- \left(\dfrac{2T_1}{k\pi}\right)\right]\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2\,t}\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right). $$
B.87
Nehomogenní jednorozměrná úloha s konstantním zdrojem tepla $T_0$, s homogenními podmínkami
$$ u_t=a^2u_{xx}+T_0,\,\,t>0,\,x\in(0,\ell),\,\,u(0,x)=0,\,\,u(t,0)=0=u(t,\ell). $$
B.88
$$ u(t,x)=TX,\,\, X(x)=A\sin\sqrt{\lambda}x+B\cos\sqrt{\lambda}x,\,\, X_k(x)=v_k(x)=\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right). $$
B.89
Zvolíme rovnici ve tvaru
$$ u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty C_k(t)\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right) $$
B.90
a pomocí další podmínky získáme nehomogenní obyčejnou diferenciální rovnici
$ C^{\,\prime}_k(t)+a^2\lambda_k C_k(t)=F_k(t)$, kde $F_k(t)$ je Fourierův koeficient nehomogenity.
B.91
Tuto rovnici dále řešíme:
$ \begin{gather}\label{}
f(t,x)=\sum_{k=1}^\infty F_k(t)\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)\text{ a tedy }
F_k(t)=\dfrac{2}{\ell}\int\limits_{0}^\ell f(t,\xi)\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\,\text{d}\xi=\\
=\dfrac{2}{\ell}\int_0^\ell T_0\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\,\text{d} \xi=
\dfrac{2T_0}{\ell}\dfrac{\ell}{k\pi}\left[-\cos\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right]_0^\ell=\dfrac{2T_0}{k\pi}\left[1-(-1)^k\right].
\end{gather} $
B.92
Nejdříve řešíme homogenní rovnici
$ C^{\,\prime}_k(t)=-a^2\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\right)^2 C_k(t)$, a tedy $C_k(t)=K(t)
\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}$, z toho vyplývá
B.93
$ C^{\,\prime}_k(t)=-\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}\right)^2K(t)
\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}+K^{\,\prime}(t)\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}$.
B.94
Dosazením do nehomogenní rovnice dostáváme
$ -\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}\right)^2K(t)\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}+
K^{\,\prime}(t)\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}+\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}\right)^2K(t)
\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}=$
$=\dfrac{2T_0}{k\pi}\left[1-(-1)^k\right]$,
z toho vyplývá $K^{\,\prime}(t)=\dfrac{2T_0}{k\pi}\left[1-(-1)^k\right]\text{e}^{\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}$.
B.95
$$
K(t)=\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^2\dfrac{2\,T_0}{k\pi}\left[1-(-1)^k\right]\text{e}^{\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}+K_2.
$$.
B.96
Z počáteční podmínky $C_k(0)=0$ vyplývá:
$C_k(t)=\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^2\dfrac{2T_0}{k\pi}\left[1-(-1)^k\right]+K_2
\,\text{e}^{-\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}$, kde $C_k(0)=0$, tedy
$K_2=-\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^2\dfrac{2\,T_0}{k\pi}\left[1-(-1)^k\right]=
\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^2\dfrac{2T_0}{k\pi}\left[(-1)^k-1\right]$.
B.97
Výsledná funkce bude mít tvar:
$$ u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty\underbrace{\left(1-\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}\right) \dfrac{2T_0}{k\pi}\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^2\left[1-(-1)^k\right]}_{C_k(t)}\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right). $$
B.98
Nehomogenní jednorozměrná úloha s nekonstantním zdrojem tepla, homogenní podmínky
$$ u_t=a^2u_{xx}+tx,\,\, t>0,\,\, x\in(0,\ell),\,\, u(0,x)=0,\,\, u(t,0)=0=u(t,\ell), $$
B.99
$$ u(t,x)=TX,\,\, X(x)=A\sin\sqrt{\lambda}x+B\cos\sqrt{\lambda}x,\,\, X_k(x)=v_k(x)=\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right). $$
B.100
Opět řešíme rovnici ve tvaru:
$u(t,x)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty C_k(t)\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)$, tedy $C^{\,\prime}_k(t)+a^2\lambda_k C_k(t)=F_k(t)$.
B.101
Tuto rovnici dále řešíme:
$$
\begin{gather}
f(t,x)=\sum_{k=1}^\infty F_k(t)\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right)\text{ a tedy }
F_k(t)=\dfrac{2}{\ell}\int\limits_0^\ell f(t,\xi)\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\,\text{d}\xi=\\
=\dfrac{2}{\ell}\int_0^\ell t\xi\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\,\text{d}\xi=
\dfrac{2\,t}{\ell}\left\{\left[-\dfrac{\ell}{k\pi}\xi\cos\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\right]_0^\ell+
\dfrac{\ell}{k\pi}\int_0^\ell\cos\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\xi\right)\,\text{d}\xi\right\}=\\
=\dfrac{2t}{\ell}\dfrac{\ell^2}{k\pi}\,(-1)(-1)^k=\dfrac{2\ell\,t}{k\pi}\,(-1)^{k+1}=F_k(t).
\end{gather}
$$
B.102
Homogenní obyčejná diferenciální rovnice:
$C^{\,\prime}_k(t)+a^2\left(\dfrac{k\pi}{\ell}\right)^2\,C_k(t)=0$, tedy $C_k(t)=K(t)\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}$, z toho vyplývá
$C^{\,\prime}_k(t)=-\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}\right)^2K(t)\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}+
K^{\,\prime}(t)\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}$.
B.103
Opět dosadíme do nehomogenní rovnice, dostáváme:
$ -\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}\right)^2K(t)\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}+
K^{\,\prime}(t)\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}+\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}\right)^2K(t)\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}=$
$= \dfrac{2\ell\,t}{k\pi}\,(-1)^{k+1}$, a tedy $K^{\,\prime}(t)=\dfrac{2\ell\,t}{k\pi}\,(-1)^{k+1}\,\text{e}^{\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}$.
B.104
$K(t)=\dfrac{2\ell}{k\pi}(-1)^{k+1}\displaystyle\int t\,\text{e}^{\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}\,\text{d} t = $
$=
\dfrac{2\ell}{k\pi}(-1)^{k+1}\left[ t\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^2
\,\text{e}^{\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}\right]-
\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^2\displaystyle\int\,\text{e}^{\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}\,\text{d} t,$
$K(t)=\dfrac{2\ell}{k\pi}(-1)^{k+1}\left[t\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^2
\,\text{e}^{\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}\right]-\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^4\,\text{e}^{\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}+K_2$.
B.105
$$
C_k(t)=K_2\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}+\dfrac{2\ell}{k\pi}(-1)^{k+1}
\left[t\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^2-\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^4\right].
$$
B.106
$C_k(0)=0$, tedy $K_2=\dfrac{2\,\ell}{k\pi}(-1)^{k+1}\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^4$, a tedy
$C_k(t)=\dfrac{2\ell}{k\pi}(-1)^{k+1}\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^4\left[\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}+
t\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}\right)^2–1\right]$.
B.107
Výsledná funkce má tvar:
$$ u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty\dfrac{2\ell}{k\pi}(-1)^{k+1}\left(\dfrac{\ell}{ak\pi}\right)^4 \left[\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{\ell}\right)^2t}+ t\left(\dfrac{ak\pi}{\ell}\right)^2–1\right]\sin\left(\dfrac{k\pi}{\ell}x\right). $$
B.108
Nehomogenní jednorozměrná rovnice s nehomogenními podmínkami (nástin řešení)
$$ u_t=a^2u_{xx}+tx,\,\, t>0,\,\, x\in (0,\ell),\,\, u(0,x)=\varphi(x),\,\, u(t,0)=u_1(t),\,\, u(t,\ell)=u_2(t). $$
B.109
Funkci $u(t,x)$ opět rozložíme: $u(t,x)=v(t,x)+w(t,x)$, kde $w$ bude splňovat okrajové podmínky.
$$ v_t+w_t=a^2v_{xx}+a^2w_{xx}+f\text{ a tedy } v_t=a^2v_{xx}+\underbrace{f+a^2w_{xx}-w_t}_{\text{nehomogenita}}. $$
B.110
$ \varphi(x)=v(0,x)+w(0,x)$, a tedy $v(0,x)=\varphi(x)-w(0,x)$.
B.111
Pomocí funkcí $v$ a $w$ řešíme úlohu v principu stejně jako v předchozích případech.
