B.2.4 Jednoduché příklady prostorových úloh

Teplota v nekonečném rotačním válci (použití Besselových funkcí)

$ u_t=a^2\left(u_{\rho\rho}+\dfrac{1}{\rho}u_\rho\right)$, radiální část laplaciánu ve válcových souřadnicích A.46,

B.112

$t>0,\,\,\rho\in(0,c)$, kde $c$ je poloměr válce, $u(0,\rho)=f(\rho),\,\, u(t,0)=0=u(t,c)$.

B.114

Separací proměnných:

$$ u=R(\rho)T(t)\text{ a tedy }\dfrac{T^{\,\prime}}{a^2T}=\dfrac{R^{\,\prime\prime}}{R}+\dfrac{1}{\rho}\dfrac{R^{\,\prime}}{R}=-\lambda^2, $$

B.114

po úpravě dostáváme

$$ \begin{aligned}\label{beseda3} \text{PS: } &\rho R^{\,\prime\prime}+R^{\,\prime}+\lambda^2\rho R=0,\\ \text{LS: } & T^{\,\prime}+a^2\lambda^2T=0. \end{aligned} $$

B.115

Substitucí $\lambda\rho=z$ dostáváme tzv. Besselovu rovnici s indexem $\nu=0$,

$ \dfrac{\text{d} R}{\text{d}\rho}=\lambda\dfrac{\text{d} R}{\text{d} z},\,\,\dfrac{\text{d}^2R}{\text{d}\rho^2}= \lambda^2\dfrac{\text{d}^2R}{\text{d} z^2}$, z toho vyplývá $z\dfrac{\text{d}^2R}{\text{d} z^2}+\dfrac{\text{d} R}{\text{d} z}+zR=0$,

B.116

kdy obecná Besselova rovnice má tvar ${x^2y^{\prime\prime}+xy^\prime+(x^2-\nu^2)y=0}$. Jejím řešením je funkce

$\text{J}_\nu(x)=\left(\dfrac{x}{2}\right)^\nu\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)} \left(\dfrac{x}{2}\right)^{2k}$, z níž vyplývá $\text{J}_0(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2k}$,

B.117

kde výraz $\Gamma(\nu+k+1)$ je tzv. $\Gamma$ funkce, definovaná jako $\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^\infty\text{e}^{-t}t^{x-1}\,\text{d} t$. V našem případě dostáváme řešení PS ve tvaru

$R(z)=\text{J}_0(z),\text{ a tedy } R(\rho)=\text{J}_0(\lambda\rho)$, a tedy $\text{J}_0(\lambda_n\rho)=R_n(\rho)$,

B.118

s okrajovou podmínkou ${\text{J}_0(\lambda_nc)=0}$, kde $\lambda_n$ je kořenem této rovnice. Řešením LS bude funkce

$$ T_n(t)=\text{e}^{-a^2\lambda_n^2t}. $$

B.119

Pomocí tzv. Fourierova-Besselova rozvoje, definovaného jako ${\sum_{k=1}^\infty C_n\text{J}_\nu(\lambda_nx)=f(x)}$ v každém bodě spojitosti funkce $f(x)$, získáme koeficient $C_n$ (Fourierův-Besselův koeficient), kdy obecně platí:

$C_n=\dfrac{2}{c^2\text{J}_{\nu+1}^2(\lambda_nc)}\int_0^c\xi\,\text{J}_\nu(\lambda_n\xi)f(\xi)\,\text{d}\xi,\,\, n=1,2,3\ldots,\quad$ v našem případě tedy

B.120

$$ C_n=\dfrac{2}{c^2\text{J}_1^2(\lambda_nc)}\int_0^c\xi\,\text{J}_0(\lambda_n\xi)f(\xi)\,\text{d}\xi. $$

B.121

Výsledená funkce bude mít podobu

$$ u(t,\rho)=\dfrac{2}{c^2}\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\text{J}_0(\lambda_n\rho)}{\text{J}_1^2(\lambda_nc)} \int_0^c\left[\xi\,\text{J}_0(\lambda_n\xi)f(\xi)\,\text{d}\xi\right]\text{e}^{-a^2\lambda_n^2t}. $$

B.122

nahoru

Chladnutí koule (homogenní rovnice)

Obrazek — Obrázek B.2: Schématické znázornění průběhu funkce $w(r)$.

$u_t=a^2\triangle u,\,\, t>0,\,\, x^2+y^2+z^2\le R^2$, kde $R$ je poloměr koule,

$u(0,x,y,z)=f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)=f(r)$, a tedy $u(0,r)=f(r),\,\, r\in(0,R)$,

$u(t,x,y,z)=u(t,r),\,\, u(t,0)={T_1},\,\, u(t,R)=0. $

B.123

Jednotlivé parciální derivace budou:

$u_x=u_rr_x+\underbrace{u_\varphi\varphi_x+u_\vartheta\vartheta_x}_{0}$, z toho vyplývá $u_x=u_r\dfrac{x}{r}$,

B.124

$u_{xx}=u_{rr}\dfrac{x^2}{r^2}+u_r\dfrac{r-x\dfrac{x}{r}}{r^2}=u_{rr}\dfrac{x^2}{r^2}+u_r\dfrac{r^2-x^2}{r^3}$,

B.125

$\Delta u=u_{rr}\dfrac{x^2+y^2+z^2}{r^2}+u_r\dfrac{3r^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{r^3}=u_{rr}+\dfrac{2}{r}u_r$, z toho vyplývá

B.126

$u_t=a^2\left(u_{rr}+\dfrac{2}{r}u_r\right)$ (sférická radiální část Laplaciánu – viz rovnice A.72).

B.127

Pomocí substituce ${v(r)=ru(r)\text{ a tedy } u=v/r}$ dostáváme:

$u_t=\dfrac{1}{r}v_t,\,\,u_r=-\dfrac{1}{r^2}v+\dfrac{1}{r}v_r$,

$u_{rr}=\dfrac{2}{r^3}v-\dfrac{1}{r^2}v_r-\dfrac{1}{r^2}v_r+\dfrac{1}{r}v_{rr}=\dfrac{2}{r^3}v-\dfrac{2}{r^2}v_r+\dfrac{1}{r}v_{rr}$,

B.128

$u_t=a^2\left(u_{rr}+\dfrac{2}{r}u_r\right)$, tedy

$\dfrac{1}{r}v_t=a^2\left(\dfrac{2}{r^3}v-\dfrac{2}{r^2}v_r+\dfrac{1}{r}v_{rr}-\dfrac{2}{r^3}v+\dfrac{2}{r^2}v_r\right)$, a tedy

B.129

$v_t=a^2v_{rr}$, kde $v(0,r)=rf(r)\,\, v(t,0)=r{T_1},\,\, v(t,R)=0$.

B.130

Pomocí linearizace $u=z+w$ dále dostáváme:

$u(0,r)=f(r)$, tedy $z(0,r)=u(0,r)-w(r)$,

B.131

$w(r)=T_1-\dfrac{T_1}{R}r,\,\, z(0,r)=f(r)-T_1+\dfrac{T_1}{R}r,\,\, \widetilde{z}(0,r)=rz(0,r)$.

B.132

$v(0,r)=rf(r)$, tedy $\widetilde{z}(0,r)=r\left[f(r)-T_1+\dfrac{T_1}{R}r\right]$ dává:

B.133

$v=ru=r(z+w),\,\, z_t=a^2z_{rr},\,\, z(t,0)=z(t,R)=0,\,\, z=TX$, a tedy

B.134

$z(t,r)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty C_k\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{R}\right)^2t}\sin\left(\dfrac{k\pi}{R}r\right)$.

B.135

Fourierův koeficient bude mít tvar:

$$ C_k=\dfrac{2}{R}\int_0^R r\left[f(r)-T_1+\dfrac{T_1}{R}r\right]\sin\left(\dfrac{k\pi}{R}r\right)\,\text{d} r. $$

B.136

Výsledná funkce bude mít tvar:

$$ u(t,r)=\underbrace{T_1-\dfrac{T_1}{R}r}_{w}+\dfrac{2}{R}\int_0^R\left[f(r)-T_1+ \dfrac{T_1}{R}r\right]\times\sum_{k=1}^\infty\,\text{e}^{-\left(\frac{ak\pi}{R}\right)^2t} \sin\left(\dfrac{k\pi}{R}r\right)\,\text{d} r. $$

B.137