1 Diferenciální a integrální počet
1.1 Derivace funkcí jedné proměnné
Derivace je jedním ze základních pojmů diferenciálního počtu a matematické analýzy vůbec. Pomocí předem definovaného pojmu limita je derivace funkce jedné proměnné definovaná jako
$\dfrac{\text{d} f(x)}{\text{d} x}=f^\prime(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$, kde $h=\Delta x$ je přírůstek nezávisle proměnné $x$.
1.1
Následující výčet shrnuje derivace elementárních funkcí jedné proměnné:
| $(\text{C} x^n)^\prime $ | $=\text{C}\,nx^{n-1}$, kde $\text{C}\in\mathbb{R}$ je konstanta, $n\in\mathbb{R}$ je konstanta, | (1.2) |
| $(\text{e}^x)^\prime $ | $=\text{e}^{x}$, | (1.3) |
| $(\text{a}^x)^\prime$ | $=(\text{e}^{x\ln\text{a}})^\prime=\text{a}^x\ln\text{a}$, kde $\text{a}>0$ je konstanta, | (1.4) |
| $(\ln x)^\prime $ | $=\dfrac{1}{x},\,x>0$, | (1.5) |
| $(\log_\text{a} x)^\prime $ | $=\dfrac{1}{x\ln\text{a}},\,x>0$, kde $\text{a}>0,\,\text{a}\ne 1$ je konstanta, | (1.6) |
| $(\sin x)^\prime $ | $=\cos x$, | (1.7) |
| $(\cos x)^\prime $ | $=-\sin x$, | (1.8) |
| $(\text{tg}\, x)^\prime $ | $=\dfrac{1}{\cos^2x},\,x\ne(2k+1)\frac{\pi}{2},\,k\in\mathbb{Z}$, | (1.9) |
| $(\text{cotg}\, x)^\prime $ | $=-\dfrac{1}{\sin^2x},\,x\ne k\pi,\,k\in\mathbb{Z}$, | (1.10) |
| $(\arcsin x)^\prime $ | $=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},\,-1<x<1$, | (1.11) |
| $(\arccos x)^\prime$ | $=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},\,-1<x<1$, | (1.12) |
| $(\text{arctg}\, x)^\prime$ | $=\dfrac{1}{1+x^2}$, | (1.13) |
| $(\text{arccotg}\, x)^\prime$ | $=-\dfrac{1}{1+x^2}$, | (1.14) |
| $(\sinh x)^\prime$ | $=\left(\dfrac{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}{2}\right)^\prime=\dfrac{\text{e}^x+\text{e}^{-x}}{2}=\cosh x$, | (1.15) |
| $(\cosh x)^\prime$ | $=\sinh x$, | (1.16) |
| $(\text{tanh}\,x)^\prime$ | $=\dfrac{1}{\cosh^2x}=1-\text{tanh}^2\,x$, | (1.17) |
| $(\,\text{coth}\, x)^\prime$ | $=-\dfrac{1}{\sinh^2x}=1-\,\text{coth}^2\,x,\,x\ne 0$. | (1.18) |
Z rovnice 1.15 lze odvodit následující identity pro hyberbolometrické funkce (funkce inverzní k hyperbolickým funkcím):
| $\text{argsinh}\, x$ | $=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ | a tedy | $(\text{argsinh}\, x)^\prime$ | $=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, | (1.19) |
| $\,\text{argcosh}\, x$ | $=\ln\left(x+\sqrt{x^2–1}\right)$ | a tedy | $(\,\text{argcosh}\, x)^\prime$ | $=\dfrac{1}{\sqrt{x^2–1}},\,x>1$, | (1.20) |
| $\text{argtanh}\, x$ | $=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|$ | a tedy | $(\text{argtanh}\, x)^\prime$ | $=\dfrac{1}{1-x^2},\,-1<x<1$, | (1.21) |
| $\text{argcoth}\, x$ | $=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|$ | a tedy | $(\text{argcoth}\, x)^\prime$ | $=\dfrac{1}{1-x^2},\,|x|>1$. | (1.22) |
Pravidla pro derivování součtu, součinu a podílu funkcí jedné proměnné:
| $(\alpha f+\beta g)^\prime$ | $=\alpha f^\prime +\beta g^\prime$ pro libovolné funkce $f$ a $g$ a konstanty $\alpha$ a $\beta$, | (1.23) |
| $(fg)^\prime$ | $=f^\prime g + fg^\prime$ pro libovolné funkce $f$ a $g$, | (1.24) |
| $\left(\dfrac{f}{g}\right)^\prime=\left[{f}\left(\dfrac{1}{g}\right)\right]^\prime$ | $=\dfrac{f^\prime g-fg^\prime}{g^2}$ pro libovolné funkce $f$ a $g,\,g\ne 0$. | (1.25) |
Pravidlo pro derivování složené funkce $f\left(\phi(x)\right)$, kde $f$ je vnější a $\phi$ je vnitřní funkce proměnné $x$ (tzv. řetězové pravidlo pro derivace):
$$[f(\phi)]^\prime=\frac{\text{d} f}{\text{d}\phi}\frac{\text{d}\phi}{\text{d} x}=\frac{\text{d} f}{\text{d}\phi}\phi^\prime. $$
1.26
Pro budoucí praktické počítání (a to nejen derivací, ale víceméně ve všech oblastech matematiky), případně pro kontrolu správnosti mechanických výpočtů, lze využít analytické programové balíčky, například Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, jehož základní aplikace jsou volně dostupné, velmi pokročilý je také program Sage (SageMath), atd. V žádném případě to ovšem nenahrazuje vlastní dovednosti, pouze je doplňuje a pomáhá rychle a bezchybně zvládat, zjednodušovat a kontrolovat i velmi rozsáhlé, na mechanické počítání pracné výrazy.
Příklady
Vypočítejte derivace uvedených funkcí a výsledky zjednodušte. V případě, že $\text{D}_f$ je pouze podmnožinou $\mathbb{R}$, určete průnik definičních oborů zadaných i vypočítaných funkcí.
1.1
$\dfrac{1+x-x^2}{1-x+x^2}$
$\dfrac{2(1–2x)}{(1-x+x^2)^2}$
1.2
$\dfrac{1}{\sin 2}\ln\dfrac{1+x}{1-x}-\ln\dfrac{1+x\cos 2}{1-x\cos 2}\,\text{cotg}\, 2$
$\dfrac{2\sin 2}{\left(1-x^2\right)\left(1-x^2\cos^2 2\right)},\,\,x\in(-1,1)$
1.3
$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}$
$-\dfrac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$
1.4
$\sin\left(\cos^2x\right)\cdot\cos\left(\sin^2x\right)$
$-\sin 2x\cdot\cos\left(\cos 2x\right)$
1.5
$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}$
$\dfrac{1+\sqrt{x}\left(2+4\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)}{8\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}},\,\,x>0$
1.6
$x\left(\sin\ln x-\cos\ln x\right)$
$2\sin\ln x,\,\,x>0$
1.7
$\sqrt{1+x^2}-\ln\left(\dfrac{1}{x}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\right)$
$\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x},\,\,x\ne 0$
1.8
$\dfrac{\arccos x}{x}+\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}$
$-\dfrac{\arccos x}{x^2},\,\,x\in\langle-1,1\rangle,\,\,x\ne 0$
1.9
$x^{x^x}$
$x^{x^x}\left[x^{x-1}+x^x\ln x\left(\ln x+1\right)\right],\,\,x>0$
1.10
$x\arcsin\sqrt{\dfrac{x}{1+x}}+\text{arccotg}\,\sqrt{x}-\sqrt{x}$
$\arcsin\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(x+1\right)},\,\,x>0$
1.11
$x^{\sin^2x}$
$x^{\sin^2x}\left(\dfrac{\sin^2x}{x}+2\sin x\cos x\ln x\right),\,\,x>0$
1.12
$x\arcsin\dfrac{x^2–1}{x^2+1}$
$\arcsin\dfrac{x^2–1}{x^2+1}+\dfrac{2x}{x^2+1}$
1.13
$5^{x\log_{10}x}$
$5^{x\log x}\ln 5\left(\log x+\dfrac{1}{\ln 10}\right),\,\,x>0$
1.14
$\log_7\dfrac{x^2–1}{x-1}$
$\dfrac{1}{\left(x+1\right)\ln 7},\,\,x>-1$
1.15
$x-\ln\sqrt{1+\text{e}^{2x}}+\text{e}^{-x}\text{arctg}\,\text{e}^x$
$\dfrac{2\,\text{e}^x-\left(1+\text{e}^{2x}\right)\text{arctg}\,\text{e}^x}{\text{e}^{3x}+\text{e}^{x}}$
1.16
$x^{\sin x}+\ln\cos\sqrt{\text{e}^x+1}$
$x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)-\dfrac{\text{e}^x\text{tg}\sqrt{\text{e}^x+1}}{2\sqrt{\text{e}^x+1}},\,\,x>0$
1.17
$x\ln^2(x+\sqrt{1+x^2})-2\sqrt{1+x^2}\ln(x+\sqrt{1+x^2})+2x$
$\ln^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$
1.18
$\dfrac{1+x^2}{\sqrt[3]{x^4}\sin^7x}$
$\dfrac{\dfrac{2}{3}\left(x^2–2\right)\sin x-7x\left(x^2+1\right)\cos x}{\sqrt[3]{x^7}\sin^8x},\,\,x\ne 0$
1.19
$f^\prime(2\pi)$ funkce $f(x)=x^2(\cos x)^{-\sin x}$
$\begin{align}f^\prime(2\pi)&=(\cos x)^{-\sin x}\left.\left\{2x+x^2\left[ \dfrac{\sin^2x}{\cos x}-\cos x\ln(\cos x)\right]\right\}\right|_{2\pi}\\&=4\pi,\,x\in(4k-1,4k+1)\dfrac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\end{align},$
1.20
$x^{\ln(\sin x)}\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
$x^{\ln(\sin x)}\left[\dfrac{\ln(\sin x)+x\ln x\,\text{cotg}\, x}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{(1+x^2)^{3/2}}\right],\, x>0 \wedge x\in\left(2k,2k+1\right)\pi,\,k\in\mathbb{Z}$
1.21
$x^{\sin(\ln x)}\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}$
$x^{\sin(\ln x)}\dfrac{(x^2+1)\left[\sin(\ln x)+\ln x\cos(\ln x)\right]-1}{x^2\sqrt{1+x^2}},\,x>0$
1.22
$\text{e}^{\text{a} x\cos x}\dfrac{\text{a}\sin\text{b} x-\text{b}\cos\text{b} x}{\sqrt{\text{a} x^2+\text{b}^2}}$, kde $\text{a},\text{b}$ jsou kladné konstanty.
$\text{e}^{\text{a} x\cos x}\left[\dfrac{\text{a}\sin\text{b} x-\text{b}\cos\text{b} x}{\sqrt{\text{a} x^2+\text{b}^2}}\left(\text{a}\cos x-\text{a} x\sin x-\dfrac{\text{a} x}{\text{a} x^2+\text{b}^2}\right) + \dfrac{\text{a}\text{b}\cos\text{b} x+\text{b}^2\sin\text{b} x}{\sqrt{\text{a} x^2+\text{b}^2}}\right]$
1.23
$x^{\text{a} x\sin x}\dfrac{\text{a}\sin\sqrt{\text{b} x}-\text{b}\cos\sqrt{\text{b} x}}{\sqrt{\text{a}^2+\text{b}^2}}$, kde $\text{a},\text{b}$ jsou kladné konstanty.
$\dfrac{\sqrt{\text{b}}\cos\sqrt{\text{b} x}}{\sqrt{\text{a}^2+\text{b}^2}}\,x^{\text{a} x\sin x} \left[\dfrac{\text{a}\sin x}{\sqrt{\text{b}}}\left(1+\ln x+x\ln x\,\text{cotg}\, x\right) \left(\text{a}\,\text{tg}\sqrt{\text{b} x}-\text{b}\right)+
\dfrac{\text{a}+\text{b}\,\text{tg}\sqrt{\text{b} x}}{2\sqrt{x}}\right],$ $x>0$ (proč není nutná podmínka $x\ne (2k+1)\dfrac{\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$ ?)
1.24
$(\text{a} x\sin x)^{\frac{\text{b}\sin x}{x}}$, kde $\text{a},\text{b}$ jsou kladné konstanty.
$\text{b}\,(\text{a} x\sin x)^{\frac{\text{b}\sin x}{x}} \left[\dfrac{\sin x+x\cos x}{x^2}+\ln(\text{a} x\sin x)\left(\dfrac{\cos x}{x}-\dfrac{\sin x}{x^2}\right)\right], $
$\genfrac{}{}{0pt}{0}{x>0\wedge x\in(2k,2k+1)\pi}{x<0\wedge x\in(2k-1,2k)\pi},\,k\in\mathbb{Z}$
1.25
$(\text{a} x\,\text{e}^x)^{\frac{\text{b}\ln x}{x^2}}$, kde $\text{a},\text{b}$ jsou kladné konstanty.
$\dfrac{\text{b}}{x^3}(\text{a} x\,\text{e}^x)^{\frac{\text{b}\ln x}{x^2}} \left[(1+x)\ln x+ \ln(\text{a} x\,\text{e}^x)\left(1–2\ln x\right)\right],\,\,x>0$
1.26
$\left(x\,\text{e}^{x}\right)^{\frac{\text{a}}{x\ln x}}$, kde $\text{a}$ je kladná konstanta.
$-\dfrac{\text{a}(x+\ln^2x)}{x^2\ln^2x}\,\text{e}^{\frac{\text{a}(x+\ln x)}{x\ln x}},\,\,x>0,\,x\ne 1$.