1.2 Neurčité integrály funkcí jedné proměnné
Neurčitým integrálem nazýváme nekonečně velkou množinu funkcí, tvořenou součtem libovolné reálné konstanty $\text{C}$ s tzv. primitivní funkcí $F(x)$ k dané původní funkci $f(x)$, pro niž platí $F^{\prime}(x)=f(x)$. V případě funkce jedné proměnné lze psát
-
Následující výčet shrnuje neurčité integrály elementárních funkcí jedné proměnnéneurčité integrály jsou vyčerpávajícím způsobem tabelovány například v Bartsch (2008); Rektorys (2009).:
| $\displaystyle\int\text{C}_1x^n\,\text{d} x$ | $=\text{C}_1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+\text{C}_2,\,\,\text{C}_1,\text{C}_2\in\mathbb{R},\,n\in\mathbb{R}\,\backslash\{-1\}$, jsou konstanty, | (1.28) |
| $\displaystyle\int\text{e}^x\,\text{d} x$ | $=\text{e}^x+\text{C},\,\,\text{C}\in\mathbb{R}$ je konstanta, | (1.29) |
| $\displaystyle\int\text{a}^x\,\text{d} x$ | $=\dfrac{\text{a}^x}{\ln\text{a}}+\text{C},\,\,\text{a}>0,\,\text{a}\ne 1$ je konstanta, | (1.30) |
| $\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\,\text{d} x$ | $=\ln|x|+\text{C}_1=\ln(\text{C}_2|x|),\,x\ne 0,\,\text{C}_2>0,\,\text{C}_1=\ln\text{C}_2$, | (1.31) |
| $\displaystyle\int\sin x\,\text{d} x$ | $=-\cos x+\text{C}$, | (1.32) |
| $\displaystyle\int\cos x\,\text{d} x$ | $=\sin x+\text{C}$, | (1.33) |
| $\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}\,\text{d} x$ | $=\text{tg}\, x+\text{C},\,x\ne(2k+1)\dfrac{\pi}{2},\,k\in\mathbb{Z}$, | (1.34) |
| $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x}\,\text{d} x$ | $= -\,\text{cotg}\, x+\text{C},\,x\ne k\pi,\,k\in\mathbb{Z}$, | (1.35) |
| $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\text{d} x$ | $=\arcsin x+\text{C}_1=-\arccos x+\text{C}_2,\,-1<x<1$, | (1.36) |
| $\displaystyle\int\dfrac{1}{1+x^2}\,\text{d} x$ | $=\text{arctg} \,x+\text{C}_1=-\text{arccotg}\, x+\text{C}_2$, | (1.37) |
| $\displaystyle\int\sinh x\,\text{d} x$ | $=\cosh x+\text{C}$, | (1.38) |
| $\displaystyle\int\cosh x\,\text{d} x$ | $=\sinh x+\text{C}$, | (1.39) |
| $\displaystyle\int\dfrac{1}{\cosh^2x}\,\text{d} x$ | $=\text{tanh}\,x+\text{C}$, | (1.40) |
| $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sinh^2x}\,\text{d} x$ | $=-\,\text{coth}\,x+\text{C},\,x\ne 0$, | (1.41) |
| $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,\text{d} x$ | $=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+\text{C}=\text{argtanh}\, x+\text{C}$, | (1.42) |
| $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2–1}}\,\text{d} x$ | $=\ln\left(x+\sqrt{x^2–1}\right)+\text{C}=\text{argcoth}\, x+\text{C},\,x>1$, | (1.43) |
| $\displaystyle\int\dfrac{1}{1-x^2}\,\text{d} x$ | $ =\left\{\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|+\text{C}&=\,\text{argsinh}\, x+\text{C},\,-1<x<1\\ \dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|+\text{C}&=\,\text{argcosh}\, x+\text{C},\,|x|>1,\end{aligned}\right.$, | (1.44) |
| $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2–1}\,\text{d} x$ | $=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+\text{C}$. | (1.45) |
Součin dvou funkcí $u(x)$ a $v^\prime(x)$ nezávisle proměnné $x$ můžeme integrovat metodou per partes, která je integrálem rovnice 1.24:
Substituční metodou můžeme integrovat složenou funkci (viz rovnice 1.26), kdy vnitřní funkci lze nahradit novou proměnnou, anebo můžeme integrovat jednoduchou funkci, kdy nezávisle proměnnou nahrazujeme novou vnitřní funkcí:
Substituční metodu 1. typu lze použít při integraci složené funkce $f[\phi(x)]$ nezávisle proměnné $x$ ve tvaru
$$\int f[\phi(x)]\phi^\prime(x)\,\text{d} x=\int f(z)\,\text{d} z=F(z)+\text{C}=F[\phi(x)]+\text{C},$$1.47kde můžeme nahradit (substituovat) vnitřní funkci novou proměnnou: $\phi(x)=z$, $\phi^\prime(x)\,\text{d} x=\text{d} z$. Substituční metodou 1. typu je i univerzální substituce $\text{tg}(x/2)=z$, pomocí které lze libovolnou goniometrickou funkci převést na funkci racionální.
Substituční metodu 2. typu lze použít při integraci jednoduché funkce $f(x)$ nezávisle proměnné $x$ způsobem
$$\int f(x)\,\text{d} x=\int f[\phi(z)]\phi^\prime(z)\,\text{d} z=F(z)+\text{C}=F[\phi^{-1}(x)]+\text{C},$$1.48kde můžeme nahradit původní proměnnou novou vnitřní funkcí nové proměnné: $x=\phi(z)$, $\text{d} x=\phi^\prime(z)\,\text{d} z$ a kde výraz $\phi^{-1}$ znamená inverzní funkci k $\phi$. Typickým příkladem této metody je substituce $x=\sin z$, pomocí níž lze iracionální funkce typu $\sqrt{1-x^2}\,\text{d} x$ anebo $\text{d} x/\sqrt{1-x^2}$ v integrandu nahradit v prvním případě goniometrickou funkcí $\cos^2z\,\text{d} z$, ve druhém případě pouze $\text{d} z$.
-
Racionální funkci ve tvaru
$$f(x)=\dfrac{P_m(x)}{Q_n(x)}=\dfrac{\text{a}_mx^m+\text{a}_{m-1}x^{m-1}+\dotsb+\text{a}_1x+\text{a}_0}{\text{b}_nx^n+\text{b}_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+\text{b}_1x+\text{b}_0}, $$1.49kde $P_m(x)$ a $Q_n(x)$ jsou polynomy stupně $m$ a $n$ (kdy $m\ge n$), lze rozložit na součet polynomu a ryze racionální funkce (kdy $m<n$). Racionální funkci lze vyjádřit buď jako součet parciálních zlomků, nebo, v případě kdy např. $f(x)=1/Q_2(x)$, kde $Q_2(x)$ je polynom 2. stupně dále nerozložitelný v $\mathbb{R}$, provedeme úpravu (tzv. doplnění na čtverec) $\text{b}_2x^2+\text{b}_1x+\text{b}_0=\left[\sqrt{\text{b}_2}x+\text{b}_1/(2\sqrt{\text{b}_2})\right]^2+\text{b}_0-\text{b}_1^2/(4\text{b}_2)$, vedoucí na integrál ve tvaru rovnice 1.37.
Obdobným způsobem můžeme řešit integrály iracionálních funkcí typu $f(x)=1/\sqrt{Q_2(x)}$, kde $Q_2(x)$ je polynom 2. stupně, jehož doplnění na čtverec vede na integrály ve tvaru rovnic 1.36, 1.42 nebo 1.43. Vyčerpávajícím způsobem jsou metody analytických výpočtů neurčitých integrálů funkcí všech typů tabelovány např. ve sbornících: Bartsch (2008); Rektorys (2009), atd.