1.3 Určité integrály funkcí jedné proměnné
Určitý integrál funkce $f(x)$ spojité na intervalu $a\leq x\leq b$, je definován předpisem
$$ \int_a^b\!f(x)\,dx=F(b)-F(a), $$
1.50
kde $F(a),\,F(b)$ jsou funkční hodnoty primitivní funkce $F(x)$ v bodech $x=a,\,x=b$. Geometrický význam určitého integrálu funkce jedné proměnné je dán velikostí celkové plochy v rovině $xy$, kde $y=f(x)$, která je ohraničená grafem funkce $f(x)$, osou $x$ a přímkami $x=a$ a $x=b$. Velikosti dílčích ploch nad osou $x$, tj. kde $f(x)>0$, přispívají k velikosti celkové plochy, velikosti dílčích ploch pod osou $x$, kde $f(x)<0$, se od velikosti celkové plochy odečítají.
Příklady
1.47
$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{x\,\text{d} x}{\sin^2x\cos^2x}$
$\left[x\left(\,\text{tg}\,x-\,\text{cotg}\, x\right)+\ln\left(\sin x\cos x\right)\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}= \dfrac{\pi}{\sqrt{3}}$
1.48
$\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{\pi}}x\sin\left(\dfrac{x^2}{4}\right)\cos\left(\dfrac{x^2}{4}\right)\,\text{d} x$
$\left[\sin^2\left(\dfrac{x^2}{4}\right)\right]_{0}^{\sqrt{\pi}}=\dfrac{1}{2}$
1.49
$\displaystyle\int_{2}^{3}\dfrac{2x-1}{x^2–4x+5}\,\text{d} x$
$[\ln(x^2–4x+5)+3\,\text{arctg}\,(x-2)]_2^3=\ln 2+\dfrac{3\pi}{4}$
1.50
$\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{4x^2+1}\,\text{d} x$
$\left[\dfrac{\ln(\sqrt{4x^2+1}+2x)}{4}+\dfrac{x\sqrt{4x^2+1}}{2}\right]_{-1}^1=\dfrac{\ln(\sqrt{5}+2)}{2}+\sqrt{5}\,\approx\,2.96$
1.51
$\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}[(x\,\text{tg}\, x+\text{a})\,\,\text{tg}\,x+1]\text{d} x$, $\text{a}$ je konstanta.
$\left[x\,\text{tg}\, x+(1-\text{a})\ln(\cos x)-\dfrac{x^2}{2}+x\right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}=\dfrac{\pi}{2}$
1.52
${\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}}(x+\text{a})\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^2\,\text{d} x$, $\text{a}$ je konstanta.
$\left[x\,\text{tg}\,x+\ln(\cos x)-\dfrac{x^2}{2}+\text{a}\,\text{tg}\,x-\text{a} x\right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\!\!\!\!\!=2\text{a}\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right)$
1.53
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{x\,\text{d} x}{\left(\cos^2x-\sin^2x\right)^2}$
$\left[\dfrac{x}{2}\text{tg}(2x)+\ln\sqrt[4]{\cos(2x)}\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}-\ln 2\right)$
1.54
$\displaystyle\int_{0}^{1}x\,\text{arctg}\,(x^2+1)\,\text{d} x$
$\left[\dfrac{x^2+1}{2}\,\text{arctg}\,(x^2+1)-\ln\sqrt[4]{x^4+2x^2+2}\right]_{0}^{1}=\text{arctg}\,2-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{2}{5}$
1.55
$\displaystyle\int_{0}^{1}x^3\ln\left(x^2+1\right)\,\text{d} x$
$\left[\dfrac{(x^4–1)\ln(x^2+1)}{4}-\dfrac{x^4}{8}+\dfrac{x^2}{4}\right]_0^1=\dfrac{1}{8}$