1.4 Jednoduché geometrické a fyzikální aplikace integrace funkce jedné proměnnéVe výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.

V následujících příkladech je vždy třeba sestavit určitý integrál funkce jedné proměnné. Pokud je v příkladu zadána spojitě proměnná tzv. intenzivní fyzikální veličina (hustota, tlak, hustota náboje, atd.), pomocí níž se má na dané oblasti stanovit odpovídající extenzivní veličina (hmotnost, tlaková síla, velikost náboje, …), výpočet provádíme jako integrál intenzivní veličiny přes tuto oblast. Například hmotnost $m$ kruhové desky o poloměru $R$ s plošnou hustotou $\sigma=\sigma(r)$, kde $r$ je vzdálenost od středu desky, určíme pomocí integrálu

$$ m=\int_S\sigma(r)\,\text{d} S=\int_0^R\sigma(r)\,2\pi r\,\text{d} r. $$

1.51

Příklady

1.56

Spočítejte velikost plochy, ohraničené zespoda parabolou $y=x^2$ a shora křivkou $y=\sqrt{x}$.

$\dfrac{1}{3}$

1.57

Spočítejte velikost plochy, ohraničené zespoda parabolou $y=x^2$ a shora přímkou $y={x}/{2}+5$.

$\dfrac{243}{16}$

1.58

Rychlost hmotného bodu v jednorozměrném případě je dána vztahem $$v=3t−\dfrac{18}{(t+1)}.$$ Určete dráhu, kterou projde hmotný bod v časovém intervalu od $t=0$ do zastavení. Bude hmotný bod v tomto časovém intervalu zrychlovat nebo brzdit (tj. bude se zvyšovat nebo snižovat velikost jeho rychlosti)?

$s=6\left(1–3\ln 3\right)$, hmotný bod bude brzdit, vektor zrychlení má opačný směr než vektor rychlosti.

1.59

Přehradní hráz je tvořena svislou betonovou zdí tvaru obdélníku, jehož délka je $L$. Hloubka vodní nádrže je v celé délce hráze přesně $H$. Jaká je celková tlaková síla, kterou voda působí na hráz?

$F_p=\left(\dfrac{\rho gH}{2}+p_0\right)LH$, kde $p_0$ je atmosférický tlak na hladině}.

1.60

Válcová nádoba o poloměru $R$ a výšce $H$ je zcela naplněna plynem, jehož hustota směrem od osy válce klesá. Pokles hustoty je vyjádřen funkcí $$\rho=\rho_0\,\text{e}^{-\frac{r^2}{10}},$$ kde $\rho_0$ je hustota plynu v ose válce, $r$ je vzdálenost od osy válce.

Vypočítejte hmotnost plynu v nádobě.

$m=10\pi\rho_0 H\left(1-\text{e}^{-\frac{R^2}{10}}\right)$
Vypočítejte celkovou tlakovou sílu, kterou působí plyn na všechny stěny nádoby, pokud tlak $p=a^2\rho,$ kde $a$ je konstantní (izotermická) rychlost zvuku.

$F_p=2\pi a^2\rho_0\left[10+\text{e}^{-\frac{R^2}{10}}\left(RH-10\right)\right]$
Jaká bude celková hmotnost a celková tlaková síla, pokud by poloměr vzrostl nade všechny meze ($R\rightarrow\infty$)?

$m=10\pi\rho_0 H$, $F_p=20\pi a^2\rho_0$

1.61

Válcová nádoba o poloměru $R$ a výšce $H$ je zcela vyplněna plynem, jehož tlak směrem vzhůru klesá. Pokles tlaku je vyjádřen funkcí $$p=p_0\,\text{e}^{-\frac{h}{20}},$$ kde $p_0$ je tlak plynu na dně válce, $h$ je svislá vzdálenost ode dna válce. Vypočítejte celkovou sílu, kterou plyn působí na všechny stěny nádoby.

$F_p=40p_0\pi R\left(1-\text{e}^{-\frac{H}{20}}\right)+p_0\pi R^2\left(1+\text{e}^{-\frac{H}{20}}\right)$

1.62

Válcová nádoba o poloměru $R$ a výšce $H$ je zcela vyplněna plynem, jehož tlak směrem od osy válce klesá. Pokles tlaku je vyjádřen funkcí $$p=\dfrac{p_0}{1+\left(\frac{r}{10}\right)^2},$$ kde $p_0$ je tlak plynu v ose válce, $r$ je vzdálenost od osy válce. Vypočítejte celkovou sílu, kterou plyn působí na všechny stěny nádoby.

$F_p=200\pi p_0\left[\dfrac{RH}{100+R^2}+\ln\left(1+\dfrac{R^2}{100}\right)\right]$

1.63

Nádoba ve tvaru kvádru o čtvercovém půdorysu s délkou strany $A$ a výšce $H$ je zcela vyplněna plynem, jehož vertikální pokles tlaku je vyjádřen funkcí $$p=\dfrac{p_0}{\frac{h}{10}+1},$$ kde $p_0$ je tlak plynu na dně nádoby, $h$ je svislá vzdálenost ode dna nádoby. Vypočítejte celkovou sílu, kterou plyn působí na (všechny) stěny nádoby.

$F_p=p_0A\left[2A\dfrac{H+5}{H+10}+40\ln\left(\dfrac{H}{10}+1\right)\right]$

1.64

Kruhová deska o poloměru $R$ je elektricky nabitá s plošnou hustotou náboje $\sigma$. Vypočítejte celkový elektrický náboj $Q$ desky (velikost náboje by v případě $\sigma=\text{konst.}$ byla dána jejím součinem s velikostí příslušné plochy, $Q=\sigma S$), pokud

$\sigma=A\,\text{e}^{Br^2}$,

$Q=\dfrac{\pi A}{B}\left(\text{e}^{BR^2}-1\right)$
$\sigma=A\ln(r^2+B)$,

$Q=\pi A\{(R^2+B)[\ln(R^2+B)-1]-B(\ln B-1)\}$
$\sigma=A\,\text{e}^{-\frac{r^2}{3}}+Br$,

$Q=3\pi A\left(1-\text{e}^{-\frac{R^2}{3}}\right)+\dfrac{2}{3}\pi BR^3$
$\sigma=A\ln\left(3r^2+B\right)+Ar$,

$Q=\dfrac{\pi A}{3}\left[\left(3R^2+B\right)\ln(3R^2+B)-B\ln B+2R^3–3R^2\right]$

kde $A$, $B$ jsou kladné konstanty a $r$ je vzdálenost od středu desky.

1.65

Tenká přímá tyč (zanedbatelného průřezu) o délce $L$ je kladně nabitá s homogenní délkovou nábojovou hustotou $\tau$. Koncové body tyče se nacházejí v bodech $(0,0,0)$, $(L,0,0)$. Určete elektrostatický potenciál $\phi$ buzený nábojem tyče a vektor intenzity elektrického pole v bodě $P\equiv(-D,0,0)$, $D>0$ (v případě bodového náboje $Q$ je elektrostatický potenciál $\phi= Q/(4\pi\epsilon r)$ a velikost intenzity elektrického pole je určena jako $E=Q/(4\pi\epsilon r^2)$, kde konstanta $\epsilon$ je tzv. permitivita a $r$ je vzdálenost náboje od daného bodu $P$). Výsledek vyjádřete pomocí celkového náboje $Q$ tyče.

$\phi=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon L}\ln\left(\dfrac{L+D}{D}\right),\quad\vec{E}=\left(-\dfrac{Q}{4\pi\epsilon D(L+D)},\,0,\,0\right)$.

1.66

$\phi=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon L}\ln\left(\dfrac{L+\sqrt{L^2+D^2}}{D}\right)$

1.67

Pro stejný případ tyče z příkladu 1.66 určete složky $E_x$ a $E_y$ vektoru intenzity elektrického pole v bodě $P\equiv(0,D,0)$, $D>0$.

$E_x=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon L}\left(\dfrac{1}{\sqrt{L^2+D^2}}-\dfrac{1}{D}\right),\quad E_y=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon D\sqrt{L^2+D^2}}$.

1.68

Pro stejný případ tyče z příkladu 1.66 určete elektrostatický potenciál $\phi$ a složky $E_x$ a $E_y$ vektoru intenzity elektrického pole v bodě $P\equiv(L/2,D,0)$, $D>0$.

$\phi=\dfrac{Q}{2\pi\epsilon L}\ln\left(\dfrac{L+\sqrt{L^2+4D^2}}{2D}\right),\quad E_x=0,\quad E_y=\dfrac{Q}{2\pi\epsilon D\sqrt{L^2+4D^2}}$.

1.69

Tenká oblouková tyč zanedbatelného průřezu s konstantním poloměrem $R$ je kladně nabitá s homogenní délkovou nábojovou hustotou $\tau$. Koncové body tyče se nacházejí (v polárních souřadnicích) v bodech $\left(R,\,{4\pi}/{3},\,0\right)$, $\left(R,\,{5\pi}/{3},\,0\right)$. Určete elektrostatický potenciál $\phi$ a složky $E_x$ a $E_y$ vektoru intenzity elektrického pole buzené nábojem tyče v bodě $P\equiv(0,0,0)$. Výsledek vyjádřete pomocí délkové hustoty $\tau$ i pomocí celkového náboje $Q$ tyče.

$\phi=\dfrac{\tau}{12\epsilon}=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon R},\quad E_x=0,\quad E_y=\dfrac{\tau}{4\pi\epsilon R}=\dfrac{3Q}{4\pi^2\epsilon R^2}$.

1.70

Předpokládejme hypotetické homogenní ($\rho=\text{konst.}$) kulové astronomické těleso o poloměru $R$. Gravitační potenciální energie libovolné vnitřní kulové slupky o poloměru $r\in(0,R)$ je $mgr$, kde $m$ je hmotnost kulové slupky a $g=GM_r/r^2$ je velikost gravitačního zrychlení v místě slupky ($G\approx 6,67\times 10^{-11}\text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}$ je gravitační konstanta). Veličina $M_r$ značí hmotnost koule o poloměru $r$. Jak velká bude celková gravitační potenciální energie homogenní koule o poloměru $R$? Výsledek vyjádřete pomocí hmotnosti celé koule $M$ a jejího poloměru $R$.

$E_p=\dfrac{3}{5}G\dfrac{M^2}{R}$