2 Základy vektorové a tenzorové algebry

Vektorový počet

Základní operace s vektory lze (v ortonormálních bázích – viz odstavec 2.2) stručně zapsat následujícím způsobem:

• Norma (velikost) vektoru $\vec{a}$ je definovaná (v $\mathbb{R}^3$) jako

  $$\|\vec{a}\|=\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\sum_ia_i^2\right)^{\frac{1}{2}}, $$

  2.1

  kde poslední forma zápisu předpokládá, že index $i$ postupně běží přes všechny složky $1,2,3$, respektive $x,y,z$ vektoru $\vec{a}$. Tato konvence pro tzv. volné indexy umožňuje podstatně stručnější zápis operací s vektory a maticemi (v této kapitole zatím pro jednoduchost nezavádíme tzv. kovariantní formu zápisu s horními a dolními indexy).

• Vektorový součet dvou vektorů $\vec{a}$ a $\vec{b}$, jehož explicitní forma zápisu je

  $$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3=c_1,c_2,c_3,$$

  2.2

  lze pomocí uvedené konvence s použitím volného indexu $i$ zapsat jako

  $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=a_i\vec{e}_i+b_i\vec{e}_i=c_i\vec{e}_i$, se složkami $a_i+b_i=c_i$, (vektor),

  2.3

  kde ${\vec{e}_i}$ jsou vektory ortogonální (resp. ortonormální) báze (podrobněji viz odstavec 2.2).

• Skalární součin dvou vektorů $\vec{a}$ a $\vec{b}$ má v ortogonální bázi (viz odstavec 2.2) tvar

  $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_ib_j\delta_{ij}=a_ib_i=\alpha$, (skalár),

  2.4

  kde indexy $i,j$ opět běží přes všechny složky obou vektorů a kde symbol $\delta_{ij}$ (tzv. Kroneckerovo delta – podrobněji viz odstavec 2.3) nabývá hodnot $\delta_{ij}=1$ pro $i=j$ a $\delta_{ij}=0$ pro $i\ne j$. Navíc je zde zavedena tzv. Einsteinova sčítací (sumační) konvence, která říká, že pokud se některý index v nějakém členu vektorové rovnice opakuje dvakrát (tzv. sčítací index), členy s tímto indexem sčítáme a sumační symbol $\sum$ je tak možné vynechat. Geometrický význam skalárního součinu v Eukleidovském prostoru lze zapsat jako

  $$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\varphi, $$

  2.5

  kde $\varphi$ je úhel mezi oběma vektory.

• Vektorový součin dvou vektorů $\vec{a}$ a $\vec{b}$ je (obdobnou formou jako v rovnici 2.4) v ortogonální bázi (viz odstavec 2.2) definován jako

  $ \vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}=\varepsilon_{ijk}a_jb_k{\vec{e}_i}=c_i\vec{e}_i$, (vektor),

  2.6

  kde indexy $i,j,k$ označují jednotlivé složky vektorů $\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}$. Symbol $\varepsilon_{ijk}$ (tzv. Levi-Civitův symbol – podrobněji viz odstavec 2.3) nabývá hodnot $\varepsilon_{ijk}=+1$ pro sudé permutace indexů (tj. $123,\,231,\,312$), $\varepsilon_{ijk}=-1$ pro liché permutace indexů (tj. $132,\,213,\,321$) a $\varepsilon_{ijk}=0$ pro nulové permutace indexů (tj. pokud se některý z indexů opakuje). Geometrický význam velikosti vektorového součinu v Eukleidovském prostoru lze zapsat jako

  $$ \vec{a}\times\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\varphi, $$

  2.7

  kde $\varphi$ je úhel mezi oběma vektory. Velikost vektorového součinu vyjadřuje plochu rovnoběžníka, jehož dvě sousední strany tvoří vektory $\vec{a},\,\vec{b}$.

• Smíšený součin tří vektorů $\vec{a}$, $\vec{b}$ a $\vec{c}$ má, analogicky k rovnicím 2.4 a 2.6, v ortogonální bázi tvar

  $ \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\varepsilon_{ijk}a_ib_jc_k=\alpha$, (skalár),

  2.8

  kde indexy $i,j,k$ označují jednotlivé složky vektorů $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Jeho hodnota vyjadřuje objem rovnoběžnostěnu, jehož tři strany se společným vrcholem tvoří vektory $\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}$.

Maticový počet

Základní pojmy maticového počtu a základní operace s maticemi lze stručně zapsat následujícím způsobem:

• Násobení matice číslem: Vynásobíme-li matici $\mathbf{A}$ typu $m\times n$ ($m$ řádků a $n$ sloupců) číslem $\lambda\in\mathbb{C}$, výsledkem bude matice $\mathbf{B}=\lambda\mathbf{A}$ typu $m\times n$, kdy pro každý prvek $b_{ij}$ matice $\mathbf{B}$ (prvek na $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci) platí

  $$ b_{ij}=\lambda\,a_{ij}. $$

  2.9

• Součet matic: Součtem dvou matic $\mathbf{A}$ typu $m\times n$ a $\mathbf{B}$ typu $m\times n$ bude matice $\mathbf{C}$ typu $m\times n$, kdy pro každý prvek $c_{ij}$ matice $\mathbf{C}$ platí

  $$ c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}. $$

  2.10

• Násobení matic: Součinem dvou matic $\mathbf{A}$ typu $m\times\ell$ a $\mathbf{B}$ typu $\ell\times n$ bude matice $\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}$ typu $m\times n$, kdy pro každý prvek $c_{ij}$ matice $\mathbf{C}$ platí

  $$ c_{ij}=\sum_{k=1}^{\ell}a_{ik}b_{kj}=a_{ik}b_{kj},$$

  2.11

  kde poslední výraz je zapsán pomocí Einsteinovy sumační konvence. Násobení matic není komutativní, obecně tedy platí $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\neq\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}$.

• Hodnost matice lze definovat jako počet lineárně nezávislých řádků, tj. počet nenulových řádků po provedení tzv. Gaussovy eliminace (úpravě na schodovitý tvar). Je-li hodnost $h$ čtvercové matice $\mathbf{A}$ (typu $n\times n$) $h(\mathbf{A})<n$, jde o matici singulární, pokud $h(\mathbf{A})=n$, jde o matici regulární.

• Stopu čtvercové matice $\mathbf{A}$ lze definovat jako součet prvků na hlavní diagonále matice, tj. pro každý prvek $a_{ij}$ matice $\mathbf{A}$ platí

  $$ \text{tr}(\mathbf{A})=\sum_{i,j}a_{ij}\delta_{ij}=\sum_{i}a_{ii}=a_{ii}, $$

  2.12

  kde poslední výraz je zapsán pomocí Einsteinovy sumační konvence. Platí-li navíc $\mathbf{A}=a_{ij}\delta_{ij}$, jde o tzv. diagonální matici, platí-li $\mathbf{A}=\delta_{ij}$, jedná se o jednotkovou matici (značíme ji $\mathbf{E}$ nebo $\mathbf{1}$).

• Transponovaná matice $\mathbf{A}^T$ vznikne z matice $\mathbf{A}$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, pro jednotlivé prvky transponované matice platí $a_{ij}^T=a_{ji}$. Pokud platí $\mathbf{A}^T=\mathbf{A}$, pak matici $\mathbf{A}$ označujeme jako symetrickou, kde pro každý prvek platí $a_{ij}=a_{ji}$. Matici $\mathbf{A}$ označujeme jako antisymetrickou, pokud pro každý její prvek platí $a_{ij}=-a_{ji}$, pro všechny prvky na hlavní diagonále proto musí platit $a_{ij}\delta_{ij}=0$ a tedy také $\text{tr}(\mathbf{A})=0$.

• Determinantem čtvercové matice $\mathbf{A}$ typu $n\times n$ bude skalár $\det\mathbf{A}$, který lze obecně určit např. pomocí Levi-Civitova symbolu:

  $$ \det\mathbf{A}=\sum_{j_1,\,j_2,\,\ldots,\,j_n}\varepsilon_{j_1 j_2\cdots j_n}a_{j_1 1}a_{j_2 2}\cdots a_{j_n n},$$

  2.13

  dostáváme tak $\det\mathbf{A}=a_{11}$ pro $n=1$, pro $n=2$ bude $\det\mathbf{A}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$, pro $n=3$ bude $\det\mathbf{A}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{31}a_{22}a_{13}$ (tzv. Sarussovo pravidlo). Determinant singulární matice $\det\mathbf{A}=0$, determinant regulární matice $\det\mathbf{A}\ne 0$.

• Inverzní maticí k regulární čtvercové matici $\mathbf{A}$ bude matice $\mathbf{B}=\mathbf{A}^{-1}$, pokud platí

  $$ \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{1}.$$

  2.14

• Hermiteovsky sdružená matice (značená obvykle $\mathbf{A}^H$ v lineární algebře, $\mathbf{A}^\dagger$ případně $\mathbf{A}^+$ v kvantové mechanice) je označení pro matici komplexně sdruženou a transponovanou,

  $$ \mathbf{A}^H=(\mathbf{A}^{*})^T. $$

  2.15

  Pokud $\mathbf{A}^H=\mathbf{A}^T$, jedná se o matici reálnou. Pokud $\mathbf{A}^H=\mathbf{A}$, mluvíme o tzv. Hermiteovské matici.

• Unitární matice $\mathbf{U}$ je regulární čtvercová matice, jejíž hermiteovsky sdružená matice je současně maticí inverzní, tj. $\mathbf{U}^H=\mathbf{U}^{-1}$ a tedy

  $$ \mathbf{U}^H\mathbf{U}=\mathbf{U}\mathbf{U}^H=\mathbf{1}. $$

  2.16

  Reálná unitární matice $\mathbf{U}^H=\mathbf{U}^T$ je tzv. maticí ortogonální, kdy její řádky, respektive sloupce, tvoří ortonormální soustavu vektorů (viz kapitola 2.2).

• Číslo $\lambda$ nazýváme vlastní hodnotou (vlastním číslem) a nenulový vektor $\vec{v}$ nazýváme (pravým) vlastním vektorem čtvercové matice $\mathbf{A}$ typu $n\times n$, pokud je splněna podmínka

  $$ \mathbf{A}\vec{v}=\lambda\vec{v}, $$

  2.17

  matice $\mathbf{A}$ tedy působí na vlastní vektor jako skalár, tj. nemění jeho směr (v případě tzv. levých vlastních vektorů bude mít podmínka 2.17 podobu $\vec{v}\mathbf{A}=\lambda\vec{v}$). Z rovnice 2.17 přímo vyplývá relace pro určení vlastních hodnot matice $\mathbf{A}$, kdy soustava $n$ lineárních rovnic

  $ \left(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{E}\right)\vec{v}=\vec{0}\,\wedge\,\vec{v}\ne\vec{0}$, tedy
  $\displaystyle\sum_{j=1}^n(a_{ij}-\lambda\delta_{ij})v_j=0$ pro $i=1,2,\,\ldots\,,n $

  2.18

  má nenulové řešení právě tehdy, pokud je matice této soustavy singulární, tj. pokud

  $$ \det\left(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{E}\right)=0.$$

  2.19

  Vlastní vektory příslušné jednotlivým vlastním hodnotám potom určíme z rovnice 2.18. Pravé vlastní vektory budou mít tvar $\text{c}_r(v_{1r},v_{2r},\cdots,v_{nr})^T$, levé vlastní vektory budou $\text{c}_l(v_{1\ell},v_{2\ell},\cdots,v_{n\ell})$, kde $\text{c}_r$ a $\text{c}_\ell$ jsou libovolné konstanty.

• Submatici matice $\mathbf{A}$ obdržíme vynecháním vybraných řádků a/nebo sloupců v matici $\mathbf{A}$. Determinant regulární čtvercové submatice se nazývá subdeterminant nebo také minor.

Příklady